Введение к работе
Актуальность темы. Магнитная гидродинамика (МГД) изучает движение электропроводящей среды при наличии магнитного поля. Существенная особенность такого движения состоит в том, что возникающие в жидкости электрические токи меняют внешнее поле, а взаимодействие индуцированного тока и магнитного поля оказывает механическое воздействие на поток, изменяя его состояние. Действительно, если в движущейся среде имеются электрические заряды, то они испытывают действие сил Лоренца. Если эти заряды обладают свободой перемещения, т.е. среда электропроводящая, то в ней возникают индуцированные электрические токи, которые взаимодействуют с обусловившим их магнитным полем двояким образом. Первый вид взаимодействия выражается в появлении действующих на среду пондеромо-торных сил, второй проявляется в возмущении самого исходного магнитного поля. Совокупность этих эффектов составляет предмет изучения магнитной гидродинамики.
Для применимости магнитной гидродинамики необходимо, чтобы для рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени были велики по сравнению, соответственно, с длиной пробега и временем пробега носителей тока (электронов, ионов). В область применения магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты - от жидких металлов до космической плазмы. Струи проводящей жидкости часто встречаются в промышленности и в природных явлениях, например, электрический разряд молнии (модель проводящей жидкости), торнадо, астрофизические струи. Струйные течения проводящей жидкости являются объектом активных фундаментальных исследований и часто встречаются в приложениях. В промышленности МГД струи возникают при воздействии магнитного ноля на проводящую среду. В ряде практических приложений электрический ток протекает через жидкий металл, как при электродуговой сварке и в дуговой электропечи или в ртутном дуговом выпрямителе. Случай, когда электрический ток распространяется от анода малого размера к катоду большого, является типичной ситуацией для вышеперечисленных практических приложений. Тогда, можно полагать, что анод представляете собой точечный электрод, из которого растекается радиальный ток по среде. Решения такого типа принадлежат классу конических течений, когда и скорость, и магнитное поле обратно пропорциональны расстоянию от начала координат (от электрода). Если же источника тока в пространстве нет (астрофизические струи), то можно сформулировать асимптотическую задачу струйного движения в нри-сутсвии магнитного поля, когда скорость принадлежит коническому классу,
а магнитное поле затухает быстрее, чем обратное расстояние от источника движения.
Целью работы был поиск новых точных решений уравнений магнитной гидродинамики; распространение асимптотического метода на точения проводящей жидкости; изучение законов сохранения струйного МГД течения; построение общего решения течения неавтомодельной струи, определяемое интегралами сохранения; сравнение экспериментальных результатов измерений затопленной струи с теоретическим расчетом, используя асимптотический подход; изучение вопроса устойчивости затопленной струи к бесконечно малым возмущениям.
Для достижения этих целей решены следующие задачи:
-
Получена система уравнений магнитной гидродинамики для конического класса и для неавтомодельной задачи.
-
Создан регулярный алгоритм расчета дифференциальных уравнений типа Лежандра, используя асимптотические разложения в окрестности особых точек.
-
Построено общее решение неавтомодельной задачи, опираясь на законы сохранения, вытекающие из уравнений движения магнитной гидродинамики.
-
Изучена система уравнений для бесконечно малых возмущений, линеаризованная на решении Слезкина-Ландау-Сквайра.
В работе получены новые научные результаты:
-
Получено точное решение уравнений магнитной гидродинамики для класса конических течений. В задаче струйное движение задастся точечным источником механического импульса и источником тока, расположенными на конце полубесконечного изолированного проводника. Обнаружен эффект запирания плотности электрического тока в точке пространства от величины тока в проводнике. В задаче решение существует не при всех параметрах течения; построена область существования решения. Найдена бифуркация, при которой от решения для незакрученной струи ответвляются два решения для закрученной струи.
-
Построено общее решение неавтомодельной МГД задачи о струйном течении. Выписаны основные интегралы движения: закон сохранения импульса, массы, момента импульса, магнитного потока, магнитного заряда. Найдено общее решение в виде ряда по степеням обратного сферического радиуса, причем первые члены этого разложения определяются вышеперечисленными точными интегралами сохранения. Выявлено наличие дополнительных законов сохранения в задаче, однако, сами инварианты не найдены.
3. Получены результаты, свидетельствующие об устойчивости струи Слсзкина-Ландау-Сквайра к бесконечно малым возмущениям определенного класса. Если полагать, что возмущения приносит источник импульса, создающий струйное течение, тогда самые сильные возмущения также должны принадлежать коническому классу. На основе анализа размерности выписан вид поля скорости; найдено аналитическое решение для состояния покоя. Показано, что на больших временах амплитуда возмущений затухает не как эксноненциальныая зависимость, а как степенная зависимость от времени.
Практическая ценность:
Полученные результаты могут быть использованы для объяснения ряда явлений, наблюдаемых при исследовании МГД струй. Разработанный асимптотический подход для затопленных струй проводящей жидкости в магнитном ноле может быть использован при проектировании реальных установок. Полученные данные представляют теоретическую основу для практической реализации струйных течений.
Достоверность полученных результатов обоснована тем, что при расчете линейных и нелинейных уравнений тина Лежандра, иснользовались широко известные численные методы, верифицированные для задач такого типа, а также проводилось тестирование на аналитических решениях. Проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных других исследователей, которое указывает па правильность использованных подходов.
Положения, выносимые на защиту:
-
Найдено новое семейство точных решений уравнений магнитной гидродинамики для конического класса.
-
Разработан асимптотический подход, который представляет собой обобщенное мультиіюльное разложение, для описания исавтомодельных МГД струй.
-
Исследован вопрос устойчивости затопленной струи Слезкина-Ландау-Сквайра. Показано, что для бесконечно малых возмущений определенного класса она является устойчивой.
-
Найдено представление ноля скорости, соответсвующсс компонентам вектора момента количества движения, перпендикулярным импульсу, порождающим затопленную струю. Эти компоненты соответсвуют описанию нсосесимметричной струи.
Личный вклад соискателя. Результаты, представленные в диссертации, получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Автор диссертации участвовал в постановке задач, решаемых в диссертационной работе. Им разработаны компьютерные программы для численного расчета дифференциальных уравнений. Интерпретация полученных резуль-
татов проведена автором совместно с научным руководителем. Кроме того, автор занимался подготовкой публикаций.
Апробация результатов исследования. Результаты диссертации представлялись на научных конференциях: 8-ой Международной конференции PAMIR по фундаментальной и прикладной МГД (Борго, Франция, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); 4-ой Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2011); Всероссийской конференции научной молодежи ЭРЭЛ-2011 (Якутск, 2011); 8-ой конференции EUROMECH по механике жидкости (Бад Райхенхаль, Германия, 2010); XI Всероссийской школе-конференции молодых учёных «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики» (Новосибирск, 2010); Всероссийской молодежной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 2010); XLVI и XLVIII Международной научной студенческой конференции (Новосибирск, 2008 и 2010).
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе в 3 статьях в научных журналах и трудах конференций, две из них -в российских журналах из списка ВАК, а также в 6 тезисах докладов на конференциях различного уровня.
Структура и объем работы. Диссертация включает в себя введение, 5 глав и заключение, изложена на 108 страницах машинописного текста, содержит 44 рисунка, список литературы состоит из 86 наименований.
