Содержание к диссертации
Введение
1. Устойчивость комбинированного конвективного течения в плоском вертикальном слое в условиях бокового нагрева и продольного градиента давления 35
1.1. Постановка задачи. Метод решения 36
1.2. Гидродинамические механизмы неустойчивости комбинированного конвективного течения 51
1.3. Температурные волны 72
1.4. Предельный случай больших чисел Рейнольдса 93
2. Устойчивость комбинированного течения в вертикальном слое с движущимися границами 101
2.1. Постановка задачи 101
2.2. Гидродинамический механизм неустойчивости 105
2.3. Тепловые механизмы неустойчивости 112
2.4. Вторичные режимы конвекции в случае монотонной тепловой неустойчивости 135
2.5. Длинноволновая неустойчивость в слое с теплоизолированными границами 149
Заключение 163
Литература
- Гидродинамические механизмы неустойчивости комбинированного конвективного течения
- Предельный случай больших чисел Рейнольдса
- Тепловые механизмы неустойчивости
- Длинноволновая неустойчивость в слое с теплоизолированными границами
Введение к работе
І, В неравномерно нагретой жидкости, находящейся в поле силы тяжести, механическое равновесие, как правило, невозможно, и при любой сколь угодно малой неоднородности температуры возникает конвективное движение. Увеличение градиента температуры может привести к неустойчивости этого движения. При определенных условиях, а именно, когда градиент температуры вертикален и имеет постоянное значение, механическое равновесие возможно. Однако, если градиент температуры достаточно велик, равновесие становится неустойчивым, развитие возмущений приводит к смене его конвективным течением (имеется ввиду случай подогрева снизу). При дальнейшем увеличении неоднородности температурного поля это течение также может потерять устойчивость. Анализ конвективной устойчивости механического равновесия неравномерно нагретой жидкости и устойчивости конвективных течений содержится в книге Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого /I/ и в обзоре этих же авторов /2/.
Конвективная устойчивость равновесия и устойчивость конвективных течений жидкостей служат частными случаями явления гидродинамической устойчивости. Теория гидродинамической устойчивости представляет собой бурно развивающуюся в настоящее время область*физической гидродинамики. Необычайно возросший интерес к проблемам гидродинамической устойчивости (в том числе и к конвективной устойчивости) связан прежде всего с исследованием закономерностей возникновения и развития турбулентности /3/> с изучением гидродинамических процессов и процессов тепломассообмена в ламинарном и турбулентном режимах движения. В практичес- ~ 4 - ком плане этот интерес вызван различными приложениями результатов теории к решению многих технических и технологических задач. Развитие конвективной неустойчивости сопровождается изменением законов теплопередачи, знание которых необходимо при конструировании и проектировании различных объектов. Все это свидетельствует об актуальности изучения конвективной устойчивости как в теоретическом плане, так и с точки зрения её применения.
Исследования гидродинамической устойчивости сталкиваются с большими математическими трудностями; как указывает академик Г.И.Петров в своём предисловии к недавно вышедшей монографии Д.Джозефа А/, даже линейная теория устойчивости сейчас далека от завершения, не говоря уже о нелинейных аспектах этой проблемы. Успехи последних лет в значительной мере связаны с использованием ЭВМ.
Основные вопросы гидродинамической устойчивости освещены в монографиях Линя /5/, Р.Шлихтинга /6/, в книгах Р.Бетчова и В.Криминале /7/, М.А.Гольдштика и В.Н.Штерна /8/. Специальные задачи конвективной устойчивости равновесия подробно исследованы в классической монографии С.Чандрасекара /9/, вопросы конвективной устойчивости рассмотрены в книге А.В.Лыкова и Б.М.Берков-ского /10/; в уже упомянутой монографии Д.Джозефа обсуждается не только устойчивость различных изотермических течений, но и многие вопросы конвективной устойчивости.
В отличие от устойчивости изотермических течений, конвективная устойчивость характеризуется наличием дополнительных специфических механизмов неустойчивости. Это связано с тем, что в конвективных ситуациях спектр возмущений более разнообразный; наряду с гидродинамическими возмущениями в спектре присутствуют также тепловые возмущения. Гидродинамические и тепловые моды неустойчивости могут взаимодействовать, что приводит зачастую к сложной картине кризиса. Кроме того, взаимодействие возмущений различного типа может влиять на гидродинамические механизмы неустойчивости.
Знание закономерностей устойчивости конвективных течений подводит нас к возможности её управления. Имеется большое количество работ, в которых рассматривается воздействие различных факторов на механизмы неустойчивости: влияние магнитного поля, вращения, процессов диффузии, вибрации, присутствия в объеме, занятом жидкостью, пористой среды или твердых частиц и т.д. Все это безусловно интересно: новые факторы могут привести к появлению новых механизмов неустойчивости и, следовательно, к появлению новых рычагов управления конвективной устойчивостью. К числу таких факторов можно отнести и добавление к конвективному движению какого-либо течения неконвективной природы. При этом получается суперпозиция свободного и вынужденного течений -комбинированная (смешанная) конвекция.
Смешанная конвекция интересна и с теплофизической точки зрения, так как процессы, для которых характерен теплообмен в условиях комбинированной конвекции, встречаются часто в геофизике, атомной энергетике (например, тепловая защита реакторов), в металлургии. Комбинированным конвективным течениям посвящена книга О.Г.Мартыненко и Ю.А.Соковишина /II/.
В диссертации рассматривается устойчивость плоскопараллельных комбинированных конвективных течений. Обсуждаются два типа течений. Первое из них представляет собой суперпозицию свобод-ноконвективного движения жидкости в плоском вертикальном слое,; подогреваемом сбоку, и плоского течения Пуазейля, возникающего в слое под действием продольного (вертикального) градиента давления. Исследуется влияние прокачки жидкости на конвективные механизмы неустойчивости, а также влияние поперечной разности температур на развитие неустойчивости Толдмина-Шлихтинга. Рассмотрение устойчивости течения ведется в предположении высокой теплопроводности границ слоя.
Второе изученное комбинированное течение образовано свобод ноконвективным движением жидкости в вертикальном слое и плоским течением Куэтта, вызываемым движением границ слоя. .Б отличие от первого течения, здесь вынужденное движение жидкости в линейном приближении абсолютно устойчиво. При тех же тепловых граничных условиях рассматривается поведение конвективных механизмов неустойчивости; показано, что при определенных условиях возможен и оказывается наиболее опасным новый механизм кризиса, связанный с нарастанием монотонных тепловых возмущений. В области параметров, соответствующей монотонной тепловой неустой- . чивости рассмотрены нелинейные вторичные режимы движения. Кроме того, для данного комбинированного течения исследован иной вариант тепловых условий на границах - случай теплоизолированных границ.
2. Рассмотрим некоторые результаты исследований, имеющих непосредственное отношение к данной работе. Обзор литературы естественно начать с исследований течений, являющихся компонентами рассматриваемых комбинированных течений.
Конвекция в бесконечном плоском вертикальном слое жидкости, параллельные границы которого поддерживаются при разных температурах, является типичным течением, на примере которого можно _ 7 - продемонстрировать основные особенности конвективной устойчивости. Если слой замкнут сверху и снизу, то в нем устанавливается стационарное течение, образованное двумя встречными потоками - восходящим у теплой стенки слоя и нисходящим у холодной стенки. Если слой достаточно вытянут по вертикали, то в его центральной части движение можно считать плоскопараллельным с нечетными профилями скорости и температуры. Вследствие линейности распределения температуры теплоперенос при таком плоскопараллельном режиме движения осуществляется чисто теплопроводным путем. Параметром подобия этого конвективного течения является число Грасгофа G- Q&Qh /у , определенное по полуразности температур О на границах слоя и полуширине слоя h ; о -ускорение свободного падения, в и V коэффициенты теплового расширения и кинематической вязкости жидкости.
Исходный плоскопараллельный режим движения существует не при любых значениях числа Грасгофа. С увеличением разности температур при некотором критическом числе Грасгофа течение становится неустойчивым. Линейная устойчивость такого течения впервые исследовалась в работе Г.З.Гершуни /12/. Спектральная краевая задача для амплитуд малых нормальных возмущений функции тока и температуры решалась с применением метода Галеркина. В качестве базисных функций выбирались полиномы, причем для аппроксимации возмущений функции тока использовалась одна базисная функция и две - для возмущений температуры. В работе рассматривались только нейтральные возмущения. Несмотря на небольшое число базисных функций удалось сделать вывод о неустойчивости стационарного конвективного течения относительно колебательных возмущений; в работе получена оценка критических чисел Грасгофа Gm . При больших числах Прандтля г имеет место зависимость Gm=U^p\ В совместной работе Г.З.Гершуни и Е.МЛуховицкого /13/ для анализа устойчивости этого течения применяется метод Галеркина с четырьмя полиномиальными базисными функциями - по четной и нечетной функции для функции тока и температуры. Для аппроксимации температурных возмущений привлекаются дополнительные граничные условия, вытекающие из уравнения переноса тепла и его граничных условий - равенство нулю на границах слоя второй производной температурных возмущений по поперечной координате. Использование большего числа базисных функций и более естественный их выбор привели к качественно новым результатам. Во-первых, выяснилось, что существуют два механизма неустойчивости - монотонный и волновой. Во-вторых, как выяснилось, "степень опасности" механизмов кризиса существенно зависит от соотношения вязкости и температуропроводности жидкости, т.е. от числа Прандтля ir . При малых числах J? неустойчивость обусловлена развитием монотонных возмущений, причем получены достаточно точные значения критических чисел Грасгофа (с ростом Р минимальное критическое число Grn меняется в пределах 390 - 520). При Р>Р появляются волновые возмущения, которые в дальнейшем становятся более опасными; величина г оказалась равной 1,8 (в работе /12/ Р = 0,96). Получение более точных результатов, а также анализ всего спектра возмущений (в /12,13/ рассматривались лишь нейтральные возмущения) с вычислительной точки зрения представляет собой очень трудную задачу. Применение ЭВМ для проведения гидродинамических расчетов позволило использовать не только методы Галеркина с представительным базисом, но и эффективные методы пошагового интегрирования.
В работе /14/ изучены общие свойства спектров возмущений плоскопараллельных течений с четными и нечетными профилями скорости. Использован аппарат разложения по малому параметру, в качестве которого выбрана величина число Рейнольдса, К - волновое число возмущений (применение техники разложения по малому параметру для задач конвекции предложено И.Г.Шапошниковым /15/). Расмотрение проводилось в чисто гидродинамической постановке ( Р= 0). Б этом предельном случае задача конвективной устойчивости плоскопараллельного течения сводится к решению краевой задачи Орра-Зоммерфельда для изотермического течения с выбранным профилем скорости. Показано, что в случае нечетного профиля при малых значениях числа Рейнольдса все нормальные возмущения монотонно затухают. Установлено, что простые "пересечения" декрементов запрещены ; слияние двух вещественных уровней приводит.к образованию комплексно-сопряженной пары декрементов (возникновение волновых возмущений).
Решение задачи Орра-Зоммерфельда при произвольных значениях К и R (в том же предельном случае Р =0) проведено в /16,17/ методом Галеркина. В качестве базиса принята полная система функций, описывающая возмущения в покоящейся жидкости. В вычислениях использовалось до 36 базисных функций. Высокий порядок метода Галеркина позволил с большой точностью определить II нижних уровней спектра декрементов при k R ^ 1500. Подтвержден вывод работы /14/ о существовании в спектре точек слияния вещественных уровней; показано, что колебательные возмущения затухают. Обнаружены нарастающие монотонные возмущения, построена нейтральная кривая монотонной неустойчивости. Для минимального критического числа Грасгофа получена величина Gm = 498, при этом km= 1.3. В работе приводятся формы нарастающих монотонных и затухающих волновых возмущений. Показывается, что монотонная неустойчивость связана с образованием вихрей на границе встречных потоков (неустойчивость границы их раздела), волновые возмущения локализованы в восходящем и нисходящем потоках.
Исследование спектров декрементов конвективного движения в вертикальном слое в полной постановке, т.е. с учетом тепловых факторов, проведено в /18,19/. В работе /19/ методом Галеркина рассмотрено поведение спектра при изменении числа Прандтля ( Р^ 10). С ростом Р наблюдается существенная перестройка спектра; величина декрементов тепловых возмущений уменьшается, наблюдается сложная картина перецепления различных уровней спектра. При этом критическое значение числа Грасгофа меняется мало, что позволяет сделать вывод о гидродинамической природе кризиса течения при малых и умеренных Р . Для предельного случая Р« I получено &т= 495. Форма возмущений при Р=1 рассмотрена в /20/.
В /21/ показано, что волновая неустойчивость конвективного течения появляется при Р>Р = 11,4 и становится наиболее опасной при Р > 12. Неустойчивость реализуется комплексно-сопряженной парой декрементов. Подтвержден вывод, сделанный в работе /12/, что с увеличением Р величина Grrn монотонно падает по закону &m = CX//pl . Для асимптотического коэффициента CL получено значение (К = 470.
В работе /22/ для решения задачи конвективной устойчивости используется сведение спектральной краевой задачи для амплитуд малых нормальных возмущений к задаче Коши. Для численного решения задачи Коши применяется метод Рунге-Кутта-Мерсона /23/. - II -
Впервые при решении задач конвективной устойчивости применяется техника ортогонализации векторов решений, причем выбран вариант, сохраняющий ориентацию векторов решений /7/. Такой способ орто гонализации в ряде случаев оказывается более выгодным, чем ор- тогонализация по Грама-Шмидту /24/. Принятая методика численно го исследования позволила провести вычисления в большом диапазо не чисел Прандтля ( Р^ 10 ). Для коэффициента CL асимптоти ческого закона убывания Crm получено значение (X = 533. Не обходимо отметить, что в работе /25/ с использованием разложе ния по малой величине Р получено Д. =590; такое же значение получено и в /26/. В работе /22/ показано также, что с уменьшением волнового числа к поведение нейтральных кривых волновой моды неустойчивости описывается асимптотическим зако ном Gm = C/L при к-* 0 Аналогичная асимптотика справед лива и для длинноволновой части нейтральной кривой невязких гидродинамических возмущений.
В предельном случае больших чисел Грасгофа, когда метод Галеркина с ограниченным числом базисных функций неприменим, японскими авторами использовался метод асимптотических разложений, аналогичный методу, развитому Линем /5/. В работе /27/ сделан вывод о колебательной неустойчивости конвективного течения в вертикальном слое. Эта неустойчивость, очевидно, связана с существованием волн Толлмина-Шлихтинга в каждом из встречных потоков. Построена нейтральная кривая бегущих возмущений; минимальное критическое число Грасгофа оказалось очень большим ( Gm53 4,6*10 в единицах данной работы) и достигается при
К « 0,3. Существование еще одного гидродинамического механизма неустойчивости конвективного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое достаточно интересно. Позднее результаты этой работы были подтверждены в /28/, где рассматривалась более общая ситуация с присутствием вертикального градиента температуры. Здесь же получена и неустойчивость, связанная с нарастающими тепловыми волнами.
Асимптотическим методом монотонная неустойчивость рассматриваемого конвективного течения была получена в /29/. Здесь для двух ветвей нейтральной кривой выведены разные зависимости критического числа Грасгофа от волнового числа. Для Р = 7,5 минимальное число LTrn = 492 при "k = 1,4.
Рассмотрим влияние на устойчивость течения в плоском слое некоторых осложняющих факторов. Обзор исследований начнем с ситуаций, когда проявляется еще один - существенно конвективный механизм неустойчивости, связанный с вертикальной температурной стратификацией жидкости. Эта неустойчивость может появиться, если верхние слои жидкости имеют меньшую температуру, чем нижние. При подогреве сверху стратификация жидкости устойчива, что приводит к стабилизации.
Устойчивость конвективного движения в подогреваемом сбоку вертикальном слое с учетом влияния дополнительного вертикального градиента температуры рассматривалась в ряде работ /30-36/. Первое исследование относится к 1961 году /30/. Сделан вывод о повышении колебательной устойчивости при подогреве сверху (монотонная неустойчивость не могла быть рассмотрена, так как использовалось приближение метода Галеркин с тремя базисными функциями). В /31/ методами Галеркина и Рунге-Кутта изучено влияние вертикального градиента температуры при умеренных числах Прандтля Р^5 . При подогреве снизу с увеличением числа Релея - ІЗ -
КСХ устойчивость течения понижается и с Кй-> JC (крити-ческое значение для равновесия в вертикальном слое, подогреваемом снизу; см., например, /I/) конвективное течение становится неустойчивым при сколь угодно малой разности температур на границах слоя; минимальное критическое число Gry\ обращается в нуль. Неустойчивость имеет стратификационную природу, величина критического числа Релея слабо зависит от Р . Обсужден случай подогрева сверху, показано, что с ростом \ Кщ устойчивость течения повышается вплоть до полной его стабилизации. При этом характерные значения К а невелики ( « 100). Аналогичные вычисления для Р = 0 проведены в /32/.
Случай подогрева сверху подробно рассмотрен в /33/» Использован метод Галеркина с большим числом базисных функций (24-30 функций в разложениях амплитуд функции тока и температуры). Вычисления проводились для различных чисел Прандтля в большом диапазоне значений безразмерного продольного градиента температуры х* . Утверждается, что при Р< 12,7 и Т < Г± неустойчивость вызвана монотонными возмущениями, при Т>Ті. -тепловыми волнами. Величина У*^ убывает с увеличением р и при J? = 12,7 оказывается равной нулю. Тем самым дается завышенная оценка (примерно на 10$) числа Прандтля х , при котором появляется вязкий тепловой механизм кризиса. Показано, что при ]l <Р< 50 и любых значениях Г наиболее опасны бегущие возмущения. Обнаружен новый тип неустойчивости: при Р> 50 и У^Уа появляются и становятся наиболее опасными монотонные тепловые возмущения. С ростом і величина jT2 понижается.
Сопоставление границ устойчивости относительно плоских и пространственных возмущений проведено в /3V» гидродинамическая мода неустойчивости при Р = 7,5 рассмотрена в /35/; в упоминавшейся уже работе /28/ рассмотрено влияние продольного градиента температуры на волновые моды неустойчивости (температурные волны и волны Толлмина-Шлихтинга). Форма возмущений подробно проанализирована в /36/.
Вертикальная составляющая градиента температуры и связанная с ним стратификация жидкости появляется также при наклоне подогреваемого сбоку плоского слоя жидкости. Исследования устойчивости в случае произвольной ориентации слоя начались с работы /37/. Для реализации метода Галеркина принят такой же базис, как и в /12/. Указано на существование двух механизмов кризиса; при горизонтальном расположении слоя и подогреве снизу - реле-евская неустойчивость на фоне медленного конвективного движения (при слабой негоризонтальности); при вертикальном расположении слоя - гидродинамическая неустойчивость. Позднее /38,39/ численное исследование спектра декрементов было проведено методом Галеркина с базисом из возмущений покоящегося слоя жидкости. Использованы высокие приближения метода Галеркина (до 24 базисных функций). Исследование /38/ проведено для малых и умеренных Р . Публикация работы /21/ инициировала анализ устойчивости наклонного слоя при больших числах Прандтля /39/, при которых в вертикальном слое возможна и опасна вязкая тепловая мода неустойчивости. В работах /38,39/ показано, что при малых Р и любой ориентации слоя неустойчивость имеет гидродинамическую природу. При умеренных и больших х с изменением ориентации слоя от горизонтальной (подогрев снизу) к вертикальной происходит смена механизмов кризиса. При небольшом наклоне слоя к горизонтали неустойчивость имеет релеевский характер; с изменени- ' ем х критическое число Грасгофа меняется так, что параметром подобия является число Релея (как обычно бывает в задачах с релеевским механизмом кризиса). При ориентациях слоя, близких к вертикальной, неустойчивость течения вызвана либо вихрями на границе встречных потоков, либо температурными волнами и характеризуется числом Грасгофа. Приведена карта устойчивости на плоскости &-(& ( оС - угол наклона слоя).
В работе /40/ произведено обобщение преобразований Сквайра /41/ на случай конвективного течения в наклонном слое. Эти новые преобразования позволяют по результатам решения плоской задачи сделать вывод об устойчивости относительно пространственных возмущений. Показано, что для рассматриваемого течения в общем случае теорема Сквайра не применима. Плоские возмущения наиболее опасны при любой ориентации слоя для < 0,25; неустойчивость имеет гидродинамическую природу. В противном случае плоские возмущения являются более опасными только при малых углах отклонения слоя от вертикального положения. С достижением предельного угла наклона слоя к вертикали оС# самыми опасными в смысле устойчивости становятся возмущения спиральной структуры. Величина об^ зависит от Р .
На характеристики устойчивости конвективного течения влияют и другие факторы.В /42/ проведен учёт зависимости вязкости от температуры при анализе устойчивости конвективного течения в вертикальном слое. С усилением зависимости вязкости от температуры увеличивается интенсивность встречных потоков, профиль скорости искажается и теряет свою антисимметричность, что приводит к понижению порога устойчивости. Задача устойчивости решалась и в /43/. Принимался линейный закон уменьшения вязкости с ростом температуры. Расчеты при больших числах Прандтля приведены в /26/, где показано, что учет температурной зависимости вязкости не меняет характера асимптотики х »1 ; величина асимптотического коэффициента OL зависит от параметра Г , характеризующего температурную неоднородность вязкости в слое.
Работами /44,45/ начато изучение конвективной устойчивости жидкости в магнитном поле. Рассмотрено обобщение результатов /12/ на случай электропроводящей жидкости, находящейся во внешнем постоянном магнитном поле ( продольном или поперечном). Интенсивность конвективного движения из-за тормозящего действия индукционных токов уменьшается, что приводит к повышению устойчивости. Получена зависимость G*m от числа Гартмана Н& ; особенно сильное стабилизирующее влияние оказывает поперечное поле. Более точное решение получено в приближении малости магнитного числа Прандтля (слабые индуцированные поля) в работе /46/. Показано, что поперечное магнитное поле при Ti& ~Ю на четыре порядка повышает гидродинамическую устойчивость течения. Влияние продольного магнитного поля менее выражено, так как оно действует только на возмущения. Использованы метод Галеркина (в случае продольного поля) и Рунге-Кутта с ортогонализацией (поперечное поле).
Остановимся коротко на результатах исследования конвективной устойчивости в слое пористой среды. В таких условиях тепловая конвекция описывается уравнениями - аналогами уравнений Буссинеска с заменой вязкости силы на силу сопротивления Дарси. Для подогреваемого сбоку плоского вертикального пористого слоя в /47/ получены результаты, свидетельствующие о линейной устойчивости течения при любых числах Релея. Для плоского наклонного слоя ситуация иная. Важную роль играют спиральные возмущения. Положение границы устойчивости относительно таких возмущений зависит от угла наклона слоя к горизонтали Ф . Спиральные возмущения наиболее опасны при малых углах кр /48/.
В работах /49-51/ рассмотрено влияние на устойчивость конвективного течения твердых частиц примеси. Учитывался теплообмен между жидкостью и частицами; действие жидкости на частицы описывается законом Стокса. Инертные свойства частиц приводят к дополнительной диссипации энергии возмущений, что сказывается на численных характеристиках устойчивости. Учёт осаждения частиц приводит к стабилизации течения. Так, на гидродинамической моде неустойчивости наблюдается двукратное повышение устойчивости; сильное повышение устойчивости наблюдается и для бегущих тепловых возмущений.
Отметим также работу /52/, в которой устойчивость течения в вертикальном слое рассматривается при нетрадиционных тепловых граничных условиях (очень часто предполагается исчезновение возмущений температуры на границах слоя - случай границ высокой теплопроводности), а именно, в предельном случае теплоизолированных границ. Как и следовало ожидать, изменение тепловых условий слабо сказывается на гидродинамическом механизме кризиса. Достаточно неожиданным является факт относительно слабой чувствительности к тепловым граничным условиям волнового механизма.
, начиная с которого появляется волновая мода неустойчивости, уменьшается примерно на 20% ( Р*«8).
Существуют и другие факторы, влияющие на устойчивость конвективных течений. Здесь мы не останавливались на рассмотрении влияния диффузии, вибрации, учета неньютоновских свойств жидкости, присутствия в объеме, занятом жидкостью, внутренних источников тепла и т.п.
В упомянутых выше исследованиях анализ устойчивости течений проводился в линейном приближении. Линейная теория устойчивости позволяет определить характеристики критических возмущений, положение границы устойчивости, более или менее надежно установить природу того или иного механизма неустойчивости.
Для выяснения таких важных вопросов, как структура вторичных течений, их развитие, устойчивость в существенно надкритической области параметров, характер теплопередачи, необходимо использовать полные нелинейные уравнения конвекции. Здесь можно выделить три группы методов нелинейных исследований. Методы малого параметра позволяют определить характер ответвления вторичных режимов движения и их характеристики при небольшой над -или подкритичности. Конечно-разностные методы обладают большими преимуществами, так как они, в принципе, позволяют исследовать нелинейные режимы на достаточном удалении от границы линейной устойчивости. Основные трудности здесь связаны с выбором способа дискретизации уравнений конвекции, с ограничениями, накладываемыми объемом оперативной памяти и быстродействием ЭВМ. Кроме того, сеточные методы позволяют проводить численные эксперименты, т.е. следить за судьбой конечно-амплитудных возмущений при различных начальных условиях (что представляет собой достаточно трудную задачу и для физического эксперимента в конвекции). Нелинейную задачу с начальными данными позволяет решать и интенсив-: но разрабатываемый в последнее время подход, основанный на конечномерной аппроксимации полных уравнений конвекции (см., например, /53-55/).
В работах /56,57/ методом сеток исследованы вторичные конвективные движения в плоском вертикальном слое. Показано, что в подкритической области параметров существует устойчивое плоскопараллельное течение. В надкритической области развиваются возмущения в виде вихрей на границе встречных потоков. Вычисления проводились на равномерной сетке при Р = I /56/ и г = 0 /57/. Получено удовлетворительное согласие с результатами линейной теории в значении Gt^ . В районе минимума нейтральной кривой монотонной моды неустойчивости возбуждение вторичного режима движения происходит мягким образом.
Нелинейная волновая неустойчивость рассматривалась в /58, 59/. Показано, что в надкритической области параметров формируется автоколебательный режим; в потоках образуются бегущие волны, на оси канала устанавливаются пульсирующие вихри.
В работе /60/ методом амплитудных уравнений исследованы на устойчивость конечноамплитудные режимы. Показано, что вторичные течения устойчивы только в некоторой области параметров, расположенной внутри нейтральной кривой невязкой моды. Для плоских возмущений применение теории ветвления показало жесткий характер возбуждения вторичных режимов в длинноволновой области. Вблизи минимума нейтральной кривой невязких возмущений вторичные резкими возбуждаются мягко. В /61/ при х = 0 обнаружено четыре типа нестационарных движений в надкритической области. В /62,63/ пространственно-периодические вторичные режимы рассмотрены на основе модели нелинейного взаимодействия возмущений с кратными волновыми числами.
В экспериментах /64/ были обнаружены вихри на границе встречных потоков, получено удовлетворительное согласие с теоретическими значениями Gm и кт . Результаты /58,59/ также подтверждены экспериментами /65/.
В экспериментах можно реализовать конвекцию в слое, имеющем в вертикальном направлении только ограниченную протяженность, поэтому на результатах, естественно, сказывается влияние устойчивой температурной стратификации жидкости из-за накопления тепла в верхней части канала. В работах /66,67/ численно моделировалась конвекция в прямоугольной, сильно вытянутой по вертикали области. Наблюдались в надкритической области эволюция ламинарного конвективного течения и его переход в турбулентную фазу.
Конечноамплитудные движения в наклонном слое изучались аналитически в /68/ и численно в /69/. Для случая неустойчивой температурной стратификации обнаружены два типа вторичных режимов - вихри на границе встречных потоков и жестко возбуждаемые спиральные пространственные структуры. Области существования этих движений перекрываются; при переходах от одной моды неустойчивости к другой наблюдаются гистерезисные явления.
Рассмотрим теперь результаты исследований устойчивости плоских течений Куэтта и Пуазейля. Обширную библиографию и обзор применяемых методов можно найти в книге /8/. Здесь мы укажем только на некоторые работы.
Теоретические исследования гидродинамической устойчивости начались с изучения плоского течения Куэтта. Краевая задача для амплитуд малых нормальных возмущений была получена Орром и Зом-мерфельдом /70,71/. Было показано, что с помощью введения новой функции, связанной с вихрем скорости, уравнение Орра-Зоммерфель- да сводится к уравнению Эйри. Исследования последнего проводились в /72-74/; определенных результатов получить не удалось.
Характеристическое соотношение для уравнения Эйри было исследовано в /75/, где показано, что монотонные возмущения должны затухать. Из численных исследований уравнения Орра-Зоммер-фельда для течения Куэтта укажем на работы /76,77/. Б работе /76/ автором на примере течения Куэтта опробовалась методика, применяемая затем для анализа устойчивости конвективных течений /16/. Результаты сопоставлялись с данными из /77/. Для четырех нижних уровней спектра отмечено хорошее совпадение. Установлено, что в интервале чисел Рейнольдса is, ^ 1000 нормальные возмущения в течении Куэтта затухают.
Наиболее подробное численное исследование спектра возмущений изотермического течения Куэтта было проведено в работах /78,79/. Показано, что для наиболее опасной спектральной моды величина декремента затухания не превосходит 0,226. Результаты практически исчерпывающе свидетельствуют об абсолютной устойчивости течения относительно малых нормальных возмущений. Строгое доказательство этого вывода получено в /80,81/ на основе анализа дисперсионного соотношения для уравнения Эйри.
Плоское течение Пуазейля оказалось более удачным объектом для изучения явления гидродинамической устойчивости. Для него получены прекрасные аналитические и численные результаты; не случайно библиография исследований течения очень обширна, см. /5,7,8/.
Первые, достаточно надежные аналитические результаты были получены Линем /5/, который развил для исследования изотермических течений технику асимптотических разложений. Обобщение метода на случай течений с несимметрично расположенными критическими точками дано в работе /82/; подробные таблицы используемой в аналитической теории функции Титьенса можно найти в книге А.М.Басина, А.И.Короткова, Л.Ф.Козлова /83/.
Первые численные результаты были получены методом разностной прогонки в /84/. Весьма точные численные исследования вблизи минимума нейтральной кривой проведены в /85/. Б работе /86/ для анализа устойчивости использован метод Галеркина с базисом из полиномов Чебышева.
Подробный анализ спектра возмущений выполнен в работах /87,88/. Установлено, что неустойчивость течения связана с первой спектральной модой; возмущения симметричны относительно оси канала. Построена нейтральная кривая в большом интервале чисел Рейнольдса, подтверждены асимптотические зависимости Линя для ветвей нейтральной кривой. Минимальное критическое число Рейнольдса Km - 7696 в единицах настоящей работы. При исследовании течений Куэтта и Пуазейля использовались эффективные методы исключения и дифференциальной прогонки /8/.
Из работ, посвященных анализу ветвления в плоском течении Пуазейля, укажем на работы /89,90/. Показано, что вблизи минимума нейтральной кривой ответвляющиеся автоколебательные режимы неустойчивы, для течения Пуазейля характерен жесткий тип ветвления.
В /91/ в рамках моногармонического приближения построена конечно-амплитудная нейтральная поверхность. Показано, что жесткое возбуждение неустойчивости течения Пуазейля возможно при R>R*=3264.
Отметим также работу /92/, в которой предлагается модифици- рованный метод разложения по амплитуде малых возмущений и на его основе исследуются нейтральные возмущения в плоском течении Пуазейля.
Перейдем к обсуждению ситуаций, для которых характерны процессы в условиях комбинированной конвекции. Известны многочисленные исследования по тепломассообмену в случае комбинированной конвекции для внутренних и внешних задач. При решении внутренних задач рассмотрена комбинированная конвекция в трубах различного сечения при разных их ориентациях, в щелях и замкнутых объемах (см., например, /93-95/.
В случае внешних задач комбинированной конвекции очень часто изучались процессы переноса в различных пограничных слоях около горизонтальной, наклонной, вертикальной пластины. Большая библиография по смешанной конвекции в условиях внешней задачи, приведена в книге /II/.
Несмотря на обилие данных по гидродинамике и режимам теплообмена при смешанной конвекции, публикации по устойчивости комбинированных конвективных течений весьма немногочисленны.
В работе /96/ Р.В.Бирихом и Р.Н.Рудаковым рассмотрено влияние встречного движения границ на устойчивость конвективного течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое. Исследования проводились в гидродинамическом приближении ( г - 0), использовалась методика сведения краевой задачи Орра-Зоммеррельда к задаче Коши. Интенсивность вынужденного движения характеризуется числом Рейнольдса R , определенном по полуширине слоя и скорости движения его границ. Показано, что слабое движение границ, когда вынужденное течение и свободноконвективное движение направлены в одну сторону в каждой из половин слоя ( К, >0), при- водит к небольшому понижению устойчивости. С дальнейшим увеличением числа Рейнольдса происходит повышение устойчивости. При движении границ, направленных навстречу конвективному течению ( К < 0), происходит резкая стабилизация невязкого монотонного механизма неустойчивости.
Б нелинейной постановке надкритические режимы движений, возникающие после потери устойчивости исходного течения, методом сеток исследованы в том же предельном случае Р = О Е.Л. Таруниным /97/. Результаты счета показали, что в области параметров внутри нейтральной кривой развивается вторичное движение, характеризуемое образованием системы вихрей в центральной части слоя. Интенсивность вынужденного движения принималась такой, что и при R > 0, и при К < 0 циркуляция в центральной части канала имеет конвективный характер. Линии тока искривлены - течение сильно отличаются от плоскопараллельного. Вблизи порога устойчивости амплитуда вторичного течения меняется по корневому закону; полученные результаты свидетельствуют о мягком возбуждении вторичных режимов.
В 1982 г. появилась статья /93/, в которой рассматривается влияние продольной прокачки жидкости на устойчивость конвективного течения в вертикальном слое (вынужденное течение имеет параболический профиль скорости и характеризуется числом Рейнольдса). Приводятся результаты теоретического и экспериментального исследований при R <Ю0. Показано, что имеет место стабилизация; величина Gm^R
В работе /99/ исследуется устойчивость течения в подогреваемом сбоку вертикальном плоском слое, который совершает колебания в вертикальном направлении с высокой частотой СО
Рассмотрение ведется на основе осредненных уравнений тепловой конвекции. Исходное осредненное плоскопараллельное течение характеризуется кубическим профилем скорости, температура линейно зависит от поперечной координаты. Анализируется зависимость критического числа Грасгофа от вибрационного числа Грасгофа о Приводится диаграмма устойчивости на плоскости (J - S ; выявлено наличие двух механизмов неустойчивости - обычного (гидродинамического) и вибрационного.
В работах В.М.Шихова /100-102/ исследовано влияние на устойчивость течения поперечного просачивания жидкости через границы слоя. Использовались методы исключения и пошагового интегрирования с ортогонализацией решений. Вынужденное течение реализуется путем однородного вдувания через холодную границу слоя и отсасывания с такой же скоростью через теплую границу. Как и в случае течения в слое с движущимися границами, вынуждающее движение само по себе устойчиво, следовательно приходится ожидать стабилизирующего влияния поперечного потока жидкости на механизмы неустойчивости конвективного течения.
В такой ситуации профиль температуры становится нелинейным. Взаимодействие поперечного потока и конвективного течения приводит к искажению профиля скорости, который становится асимметричным, интенсивность конвективных потоков уменьшается, граница раздела встречных потоков сдвигается к нагретой стенке слоя. Поперечное просачивание повышает устойчивость течения относительно возмущений в виде вихрей на границе встречных потоков. При асимметричном профиле скорости эти вихри не могут, оставаться неподвижными ; они сносятся восходящим потоком со скоростью порядка разности максимальных скоростей восходящего и нисходящего пото- ком. При малых интенсивностях вынужденного течения фазовая скорость гидродинамических возмущений линейно увеличивается с ростом К (число Рейнольдса R определено по скорости поперечного движения жидкости). Минимальное критическое число Gr^^K .
В /100/ рассмотрение проводилось в гидродинамическом приближении. Последовательный учет тепловых факторов проведен в /101,102/. Поперечное гидродинамическое течение снимает вырождение между тепловыми волнами, бегущими вверх и вниз по течению (такое вырождение наблюдается в подогреваемом сбоку плоском вертикальном слое). Наиболее опасной оказывается волна, распространяющаяся вверх в восходящем потоке. При малых скоростях вынужденного движения происходит некоторое понижение устойчивости течения относительно тепловых возмущений с положительной фазовой скоростью. С усилением интенсивности поперечного просачивания наступает стабилизация вязкого теплового механизма кризиса. Устойчивость относительно бегущих температурных волн с фазовой скоростью С < 0 всегда характеризуется большими числами Грас-гофа, чем в чисто конвективном случае.
Остановимся кратко на некоторых работах, в которых исследуется влияние вынуждающего течения на конвективную устойчивость равновесия.
В работе /103/ рассматривается влияние поперечного просачивания жидкости через границы на устойчивость равновесия вертикального слоя при подогреве снизу. Показано, что на плоскости R-Cl( (Х- число Пекле) существует ограниченная область монотонной неустойчивости течения. С ростом числа Пекле критическое число Релея повышается примерно на 30$. Если число Пекле 0X0,8, то неустойчивость вызывается волновыми возмущениями.
В работе /104/ рассматривается влияние поперечного просачивания через проницаемые границы на устойчивость равновесия горизонтального слоя, подогреваемого снизу. Профиль температуры стационарного течения имеет такой же вид, как и в /102/. Используется метод Галеркина, при числе 1=1 анализируется изменение спектра декрементов с усилением поперечного однородного потока. Поперечный поток жидкости приводит к сильному подавлению конвективного механизма неустойчивости. Этот эффект не зависит от направления скорости вынужденного движения. "Сдувание" возмущений к одной из границ слоя приводит к существенному увеличению их волнового числа.
Подобная ситуация в полуограниченной области рассмотрена в /105/. Исследуется устойчивость ламинарного конвективного течения, возникающего над горизонтальной пластиной при ее нагреве относительно окружающей среды. Стационарный характер течения обеспечивается равномерным отсосом жидкости через поверхность пластины. Приведены результаты расчетов параметров нейтральных возмущений. В присутствии вынужденного течения развитие возмущений подавляется, уменьшается их длина волны.
В работах /106,107/ исследовано влияние встречного движения границ на конвективную устойчивость подогреваемого снизу плоского горизонтального слоя жидкости. Вынужденное течение имеет линейный профиль скорости (течение Куэтта). Показано, что движение границ не меняет численные характеристики устойчивости относительно возмущений в виде валов, вытянутых вдоль направления движения границ слоя; для таких возмущений критическое число Релея не зависит от скорости движения границ. При других ориен-тациях валов наблюдается сильная стабилизация. С ростом числа
Прандтля эффект стабилизирующего действия вынужденного движения усиливается.
Влияние продольной прокачки жидкости на устойчивость равновесия плоского горизонтального слоя рассмотрено в /108/. В данном случае вынужденное движение является плоским течением Пуазейля. Так же, как и в /106,107/, вынуждающее движение не влияет на возмущения в виде валов, ориентированных вдоль напорного градиента давления. При другой ориентации валов происходит повышение устойчивости. С ростом числа Рейнольдса, характеризующего интенсивность вынужденного движения, увеличение критического числа Релея сначала замедляется, затем происходит резкая дестабилизация. При некотором значении R^ , соответствующем неустойчивости течения Пуазейля относительно плоских возмущений, критическое число Релея уменьшается до нуля.
В заключение остановимся на работе /109/, посвященной исследованию устойчивости погранслойного течения в условиях смешанной конвекции на наклонной пластине. Характеристики устойчивости зависят от знака и величины параметра ^=G*/Rw( G% и К# - локальные числа Грасгофа и Рейнольдса). При Ё > О подъемная сила действует в направлении вынужденного течения. Установлено, что при любых углах наклона пластины, кроме близких к 90, подъемная сила повышает устойчивость течения при ^ > О и понижает устойчивость при < 0, причем изменение порога устойчивости тем сильнее, чем меньше угол наклона. В случае горизонтальной ориентации пластины влияние подъемной силы на устойчивость обратное.
3. Остановимся теперь на кратком содержании диссертации. В первой главе рассматривается устойчивость комбинированного конвективного течения, возникающего в плоском вертикальном слое, подогреваемом сбоку, в условиях действия продольного градиента давления. В I.I дана постановка задачи: выписаны уравнения тепловой конвекции, выбраны единицы измерения, получена система уравнений, описывающая эволюцию малых возмущений. Обсуждается преобразования, являющиеся аналогами преобразований Сквайра. Излагается применяемая методика численного исследования линейной устойчивости комбинированных течений.
Гидродинамические механизмы неустойчивости (вихри на границе встречных потоков и волны Толлмина-Шлихтинга) в предельном случае х = 0 рассматриваются в 1.2. Показано, что суперпозиция двух течений приводит к их взаимной стабилизации. Особенно сильно подавляется невязкий механизм кризиса; в присутствии продольного градиента давления возможно почти 60-кратное повышение устойчивости. Боковой нагрев приводит к повышению устойчивости течения Пуазейля относительно волн Толлмина-Шлихтинга. Приводятся зависимости минимального критического числа Грасгофа &го от числа Рейнольдса tv , характеризующего интенсивность вынужденного течения, а также аналогичные зависимости для фазовых скоростей нейтральных возмущений Ст и критических волновых чисел km . Обсуждается эволюция нейтральных кривых вязких и невязких возмущений.с изменением К» .
Далее решается полная задача устойчивости с учетом тепловых факторов. Показано, что при увеличении числа Прандтля количественные характеристики неустойчивости гидродинамических механизмов меняются незначительно.
В 1.3 обсуждается устойчивость течения относительно возмущений типа бегущих температурных волн. Рассмотрение нейтраль- - зо - ных кривых в координатах kG-k (к - волновое число возмущений) позволяет уточнить критическое число Прандтля, при котором в свободноконвективном течении появляются нарастающие температурные волны. Далее рассматриваются зависимости Qm , Q, Km от R . Показано, что в присутствии вынужденного течения снимается вырождение, характерное для тепловых волн, бегущих вверх и вниз в случае свободноконвективного движения: наиболее опасными являются всегда возмущения, распространяющиеся в направлении прокачки жидкости (попутные возмущения). Кроме того, нарастающие тепловые волны оказываются возможны в комбинированном течении и при їси < х <Р (при Rft является убывающей функцией интенсивности вынужденного течения.
Рассматривается также зависимость характеристик устойчивости от числа R . Показано, что слабая прокачка приводит к некоторому понижению устойчивости течения относительно попутных возмущений. С дальнейшим увеличением интенсивности вынужденного течения происходит стабилизация. Особенно сильно подавляются возмущения, бегущие навстречу вынужденному движению. При больших К численные характеристики устойчивости (для волн, бегущих вверх и вниз) выходят на асимптотические зависимости вида
В следующем параграфе рассматривается предельный случай высоких скоростей вынужденного движения ( К» ^>1 ) Для асимптотических коэффициентов (X , о » d- получены зависимости от числа Р . Они оказываются аналогичными соответствующим зависимостям для Grm , Спі » km * - ЗІ -
Во второй главе рассматривается влияние движения границ на устойчивость течения а подогреваемом сбоку вертикальном слое. Вынужденное движение жидкости в вертикальном направлении характеризуется линейным профилем скорости (течение Куэтта). В данном случае существует один невязкий гидродинамический механизм кризиса (волны Толлмина-Шлихтинга в каждой из половин слоя не рассматриваются), так как течение Куэтта абсолютно устойчиво относительно малых возмущений. Показано, что встречное движение границ слоя приводит к повышению устойчивости относительно возмущений в виде неподвижных вихрей на границе встречных потоков. Наиболее сильное стабилизирующее действие оказывает движение ограничивающих слой плоскостей, подавляющее конвективное течение ( R<0; "теплая" граница слоя движется вниз).
В следующем параграфе рассмотрена устойчивость течения относительно бегущих тепловых волн. В отличие от ситуаций, рассмотренной в первой главе, профиль скорости комбинированного течения нечетный, поэтому здесь сохраняется равноправность (в смысле устойчивости) бегущих вверх и вниз волновых возмущений. Приводятся карты устойчивости на плоскостях Gr-JCv и G~x Показано, что колебательная неустойчивость возможна и при
Р < Р . Движение границ приводит к эффективному подавлению колебательных тепловых возмущений, при больших скоростях вынужденного движения величина (j^\ линейно увеличивается с "В . В этом же параграфе обсуждается дополнительный тепловой механизм кризиса, связанный с нарастанием монотонных тепловых возмущений. Такая неустойчивость возможна только в присутствии вынужденного движения, характеризуемого отрицательными значениями числа Рейнольдса. Монотонная тепловая неустойчивость реали- зована нижними тепловыми уровнями спектра декрементов. При фиксированном значении К она появляется, начиная с некоторого числа Прандтля, при этом числа (тт невелики. С ростом г происходит объединение областей монотонной и волновой тепловой неустойчивости. Таким образом, движение границ при К > 0 приводит к стабилизации течения относительно тепловых возмущений; противоположный случай К < 0 отличается резким понижением устойчивости течения.
Область существования монотонной тепловой неустойчивости исследована в нелинейной постановке. Используется метод сеток. Показывается, что в надкритической области развивается вторичный режим конвекции в виде системы вихрей в середине слоя. Направление циркуляции жидкости определяется движением границ слоя. Вблизи нижней границы области устойчивости вторичные режимы возбуждаются мягко. На верхней границе области неустойчивости происходит жесткое возбуждение нелинейного конечноампли-тудного режима.
При исследовании устойчивости двух комбинированных течений предполагалась высокая теплопроводность границ слоя. Другой предельный случай теплоизолированных границ рассмотрен в последнем параграфе второй главы. При этом анализируются только длинноволновые тепловые возмущения, которые в этом случае наиболее опасны. Используется разложение по малому параметру, которым является волновое число возмущений k . Во втором порядке разложения определяется область неустойчивости комбинированного течения. Граница области является гиперболой на плоскости \s>(X ~іЄ ( Rq - число Релея, Ре - число Пекле). Неустойчивость существует только при Ре <С - 9,4032. Для решения амплитудных краевых задач в старших порядках разложения по волновому числу использован аппарат аналитических преобразований на ЭВМ. Автором представляются к защите: результаты исследования устойчивости конвективного движения в плоском вертикальном слое в условиях действия бокового нагрева и продольного градиента давления; результаты исследования устойчивости конвективного движения в подогреваемом сбоку плоском вертикальном слое с движущимися гранипами; результаты исследования нового механизма - монотонной тепловой неустойчивости комбинированного течения в слое с подвижными гранипами; результаты исследования конечноамплитудного вторичного режима конвекпии в слое с движущимися гранипами в области монотонной тепловой неустойчивости плоскопараллельного течения; результаты анализа длинноволновой тепловой неустойчивости течения в слое с движущимися теплоизолированными гранипами.
Материалы диссертапии содержатся в работах /II0-II6/. Работы /II0-II2/ выполнены без соавторов. В работах /ИЗ, 114/ соавтором являлся студент-дипломник, работавший под руководством диссертанта. Работа /115/ выполнена совместно с соавтором. В работе /116/ постановка задачи и обсуждение результатов принадлежат обоим авторам; алгоритм аналитических преобразований был реализован диссертантом.
Результаты работы докладывались на Ш Школе-семинаре МГУ по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчивости (Москва, 1980), УІІ Всесоюзной Школе-семинаре по численным методам механики вязкой жидкости (Махачкала, 1978), на областной отчетной научной конференции (Пермь, 1980), на отчетных научных конференпиях преподавателей и сотрудников Пермского государственного университета (1977-1983). Материалы диссертапии обсуждались на семинаре по вычислительной гидродинамике матема-тико-механического факультета ЛГУ под руководством к.ф.-м.н. В.Я.Ривкинда, на Пермском гидродинамическом семинаре под руководством профессоров Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого.
Автор выражает глубокую благодарность профессору Г.З.Гершуни, под руководством которого была выполнена данная работа, профессору Е.М.Жуховипкому за постоянное внимание к работе, Д.В.Любимову за полезное обсуждение результатов.
Гидродинамические механизмы неустойчивости комбинированного конвективного течения
Линейная однородная краевая задача (I.16 - 1,18) есть задача на собственные значения: нетривиальные решения существуют лишь при определенных значениях X , являющихся собственными числами. В силу несамосопряженности краевой задачи декременты
А , вообще говоря, комплексны. Они определяют временную эволюцию возмущений. Соответствующими собственными функциями являются амплитуды возмущений 0)(Х) и т)(х) . Собственные функции описывают структуру характеристических возмущений скорости и температуры. Декременты Л-Л - ІЛі являются функциями парамет ров задачи К G- L и волнового числа k . Если ограни читься рассмотрением нейтральных возмущений ( Лг=0 ), то при решении спектральной краевой задачи можно определить вид ней тральной поверхности в пространстве параметров, а также частоту осцилляции нейтральных возмущений. Сечения этой поверхности плоскостями K COnst и G= Const при любом фиксирован ном значении числа Прандтля дают нейтральные кривые соответст венно , а экстремумы нейтральных кривых (проекции складок нейтральной поверхности на плоскость &-Тч ) определяют границы устойчивости комбинированного течения?
Исследование устойчивости течений жидкости представляет собой достаточно сложную задачу, поэтому даже в простых случаях анализ устойчивости приходится проводить с использованием ЭВМ. Так как значения & , R , Р и к могут быть велики, что приводит к появлению малых параметров при старших производных в уравнениях (I.I6), (1,17), то при численном решении краевой задачи приходится применять различные специальные методы. К их числу относятся, например, методы ортогонализации /7,22/, дифференциальной прогонки /8/.
Основные результаты данной работы были получены с использованием дифференциальной прогонки, поэтому ниже рассматривается только эта методика нахождения собственных значений применительно к спектральной краевой задаче (I.I6-I.18). Только в предельном случае малых чисел Прандтля исследование линейной устойчивости комбинированного конвективного течения (1.6) проводилось методом ортогонализации /7/, причем впоследствии были выполнены контрольные счеты с применением дифференциальной прогонки.
Имея ввиду численное решение краевой задачи методом пошагового интегрирования, приведем её к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Из прогоночного соотношения (1.23) следуют граничные условия для элементов матрицы A. : Х=-і С«і к=0 ъ t K =1,2.,3. (1.26)
Интегрируя систему (1.25), мы можем определить связь между векторами V и w в любом месте промежутка интегрирования, в том числе и на правом его конце, т.е. при .х=- -1 . Восстанавливая смысл элементов векторов V и "W (I.I9), при Х=+1 имеем:
Система (1.27) позволяет вычислить недостающие граничные значения , , v при Х- + 1 При этом условием существования нетривиального решения система (1.27) является следующее характеристическое соотношение: где Dr и и\ - соответственно вещественная и мнимая части комплексного определителя D матрицы А . Уравнения (1.29) неявным образом определяют зависимость декрементов задачи от параметров и волнового числа.
Практически ввиду определенных свойств характеристической функции /8/ для определения собственных значений задачи устойчивости комбинированного конвективного течения использовался несколько иной путь получения характеристического соотношения. Для этого система уравнений для элементов прогоночной матрицы интегрировалась с однородными граничными условиями от =-1 до так называемой точки стыковки Х= Xt f-l,l] . Затем проводилось интегрирование этой же системы с нулевыми граничными условиями во встречном направлении, от Х--+1 до У -Х .В точке стыковки прогоночные соотношения имеют обычный вид:
Здесь чертой сверху отмечены величины, относящиеся к интегрированию во встречном направлении. Полагая, что в точке стыковки "V"(4U,) = "V4XGJH "WCVO- CXC") автоматически получаем требование выполнения при Х-Хс матричного равенства что приводит к такой форме дисперсионного соотношения:
Определитель 3) обращается в нуль на собственных значениях краевой задачи (1.16-1« 18) при данном наборе Р , R , Gr ,К. В противном случае и вещественная и мнимая части ( Х ґ и I t ) имеют ненулевые значения,их величина зависит от положения точки
Хс Показательной является зависимость модуля комплексного определителя ІЇМ от Хс . В общем случае величина 12 \ на границах слоя минимальна. Экстремумы функции \ Х ( х"с.) располагаются вблизи критических точек профиля скорости (где совпадают скорость основного течения ТГо и фазовая скорость возмущений C- Al/k ) и точки перегиба при данных значениях 1 Gr » В # W. Обращение в ноль определителя D в одной из таких точек (с точностью, принятой при использовании конкретного численного алгоритма решения уравнения (I.3I) относительно, скажем декрементов задачи) приведет к выполнению этого равенства с большей точностью в любой другой точке участка интегрирования, в том числе и при Хс=+1 . Таким образом, можно надеяться, что процедура стыковки позволит решить задачу нахождения собственных чисел с большей простотой. Сказанное выше подтверждают карты нулей функций Ъг (Ар j Лі) и ЗХ (XPj A-J в случае плоского течения Пуазейля
Предельный случай больших чисел Рейнольдса
Как и следовало ожидать, прокачка дестабилизирует течение в некотором интервале чисел Рейнольдса; кризис обусловлен при этом развитием попутных возмущений. С дальнейшим увеличением интенсивности вынужденного течения устойчивость относительно попутных возмущений повышается.
Развитие температурных волн, бегущих навстречу вынужденному движению, затруднено, что отражается в резком повышении минимального критического числа Грасгофа Ьггк с увеличением К При больших Пм параметры критических возмущений, бегущих как вверх, так и вниз, выходят на асимптотические зависимости Обсуждение асимптотических коэффициентов (X , t , ol приводится в параграфе 1.4. Для Р = 15, например, О 6,97; {?« 0,964; dps 14,94 (попутные возмущения).
На рис. 1.23 приведена сводная карта устойчивости течения - зависимости минимального по к критического числа Грасгофа &т от R для Р = 100; 21; 15; 12; 11,562; 10,5; 9,82. Внизу рисунка показаны зависимости km(R) ; соответствующие кривые СгтДК) приведены на рис.1.24.
Кривая I ( Р=Р ) делит плоскость Gr- R на две части. При Р х кривые Gryv (Р) являются нижними границами областей неустойчивости. Их поведение аналогично соответствующей зависимости для X = 15 (см.также рис. 1.22). При любом Р имеется интервал чисел Рейнольдса, при которых происходит понижение устойчивости; его величина может быть оценена по формуле:
С увеличением К устойчивость течения повышается,причем встречные тепловые волны менее опасны, чем попутные. При больших (ч зависимости &т (Ю, WMjtmCM (рисі.23-1.24) выходят на асимптотические зависимости типа (1.33).
При достаточно больших числах Прандтля различие применительно к устойчивости течения между тепловыми волнами, бегущими вверх и вниз, сглаживается. Это отражается в выравнивании угловых коэффициентов асимптот для правых ( "К 0) и левых ("R 0) границ устойчивости. Таким образом, в случае больших Р и конечных (ТУ наблюдается тенденция к тому вырождению, которое имело место при R = 0. Это связано, очевидно, с тем, что случай больших Р соответствует относительно высокой вязкости среды, что приводит к повышению роли тепловых факторов во взаимодействии полей температуры и функции тока, ответственном за формирование критических возмущений. С тепловой точки зрения температурные волны, бегущие в любом направлении, равноправны.
При Р Р области неустойчивости ограничены сверху и снизу по числам Грасгофа; при конкретном значении R течение неустойчиво лишь в определенном интервале чисел Gr . С убыванием Р величина интервала неустойчивости уменьшается, что согласуется с результатами, приведенными на рис.1.17 (образование выпуклости на границе устойчивости для попутных возмущений). Очевидно, величина л есть значение числа Прандтля, для которого нейтральная линия T (K) касается прямой к = сс пт . Таким образом, с увеличением "R устойчивость течения, в целом, повышается, зона неустойчивости вытесняется на бесконечность (при R oo їа- Ра , Gv -» x ).
Асимптотическая связь G- и R (1.36) характерна как для нижних ветвей границ областей неустойчивости, так и для верхних ветвей. Поэтому применение преобразований (І.ІЗ) позволяет сделать вывод, что и в случае вязкого теплового механизма кризиса плоские возмущения являются более опасными, чем пространственные.
Зависимости экстремальных волновых чисел от "R (рис.1.23) показывают, что, как и говорилось выше в связи с нейтральными кривыми для X = 15 (рис.1.20), в присутствие слабой прокачки нейтральные кривые 6r(k) сдвигаются в сторону больших волновых чисел; на кривых kmCR) имеются четко выражение максимумы. С дальнейшим ростом R кризис течения вызывается возмущениями со все большей длиной волны; это же происходит и в области к 0. При Jc L кривые KmCR) двузначны, что соответствует существованию двух экстремумов на нейтральных кривых (рис. I.I5, I.I6).
Тепловые механизмы неустойчивости
Для выяснения деталей поведения областей неустойчивости течения с изменением параметров задачи полезно обратиться к нейтральным кривым в координатах к&(1 ) .На рис. 2.6 приведены нейтральные кривые к(т(1 ) температурных волн для Р = 4,95; 9; 11,562; 30; 50 (кривые 1-5) при фиксированном
R = -50. Области неустойчивости течения заключены внутри замкнутых нейтральных кривых, причем неустойчивость (при Г Р ) может существовать как при положительных, так и при отрицательных значениях k .
В случае комбинированного течения (1.6) ось к.& разделяла области неустойчивости относительно попутных и встречных тепловых волн. В рассматриваемом сейчас течении тепловые волны, бегущие вверх и вниз, равноправны и деление области неустойчивости на -части, расположенные при положительных и отрицательных
К имеет иной смысл. Нейтральные кривые KG(U) при к О характеризуются отрицательными числами Грасгофа ( W О,
Как следует из вида профиля течения (2.3) и свойств симметрии краевой задачи для возмущений, случай Q- 0 и "R О эквивалентен случаю (т 0 и "R 0. Таким образом на плоскости к&-к , в сущности, изображаются нейтральные кривые тепловых волн (бегущих как вверх, так и вниз) при "R 0 и
Поэтому, если в случае течения (1.6) решающее значение с точки зрения устойчивости имело направление распространения тепловых волн относительно вынужденного движения, то в рассматриваемой ситуации важно направление вынужденного течения относительно свободноконвективного. Имея ввиду это обстоятельство, мы и говорим о "попутном" и "встречном" движении границ слоя.
Итак, при Р Р две области неустойчивости течения ограничены единой нейтральной кривой, которая (при конкретном значении К ) пересекается с осью W.G в двух точках (см.рис. 2.6). С убыванием Р область неустойчивости уменьшается в размерах, причем очень быстро уменьшается область неустойчивости, характеризуемая значением к 0 (нейтральные кривые I и 2 при к 0).. Точки пересечений линий k(J(k) с осью KQ сближаются и при Р= Р (кривая 3) комбинированное течение при попутном движении границ становится устойчивым относительно температурных волн. Это соответствует вытеснению "обычных" нейтральных кривых G-(k) на бесконечность на плоскости Gr-k . При этом течение в слое с встречным движением границ по-прежнему может быть неустойчивым.
Совпадение точек пересечений кривой kG- (к) с осью к(т при х = Р в случае R 0 соответствует слиянию верхней и нижней ветвей кривой нейтральных режимов Gr(k) . С дальнейшим уменьшением Р область нестабильности течения отходит от осуществует лишь в правой части рис.2.6 (при Т 0). С убыванием X нейтральные кривые волновой моды стягиваются в точку при Р=Ра ; Рас 4,36 для "R = -50. Обратим внимание на то, что при значениях числа Прандтля, лежащих в интервале Р - Р , неустойчивость течения характеризуется конечными Gr и к .
Расчёты показывают, что движение границ, когда вынужденного течение направлено навстречу свободноконвективному (встречное движение; V 0 при G 0), приводит к появлению нового механизма кризиса - неустойчивость течения относительно моно - 118 тонных тепловых возмущений. Для обсуждения отой моды неустойчивости обратимся к нейтральным кривым в координатах
На рис.2.7 приведены нейтральные кривые G-lk) двух типов возмущений комбинированного течения при К = -50. В верхней части рис.2.7 расположены нейтральные кривые для возмущений в виде бегущих температурных волн; J- = 4,95; 9; 30. В соответствии со сказанным выше, при Y t нейтральные кривые имеют вид замкнутых петель. Ниже расположены области неустойчивости относительно монотонных возмущений ( Л{, =0), ограниченные замкнутыми нейтральными кривыми.
При фиксированном 1 О такая неустойчивость появляется, начиная с некоторого значения числа. П ранд тля - ± (ip5r2,4 для случая К = -50). С ростом 1 область монотонной неустойчивости сначала очень быстро увеличивается в размерах - на рис. 2.7 приведены нейтральные кривые для 2 = 2,4; 10. При дальнейшем увеличении Р вертикальные размеры области неустойчивости меняются медленно; левая граница приближается к оси Q- , а правая - быстро сдвигается в сторону больших волновых чисел. На рис.2.7 нейтральные кривые монотонных возмущений при Р = 30 и 50 показаны не полностью; границы областей неустойчивости находятся при к = 3,57 ( Г = 30) и к = 5,05 ( Р = 50). При данной скорости движения границ слоя, начиная уже с "]?« 5, нижние части нейтральных кривых характеризуются относительно медленным изменением критического числа Грасгофа при вариации к .
Длинноволновая неустойчивость в слое с теплоизолированными границами
На верхней части нейтральной кривой монотонной моды возбуждение вторичного режима происходит жестким образом. Так, при значениях числа Грасгофа, лежащих в интервале 420 & 440 численный эксперимент обнаруживает два режима течения - режим, которому соответствует плоскопараллельное течение (2.15), и вторичный режим. С достижением верхней границы области неустойчивости (по линейной теории) при приближении к ней со стороны больших чисел Грасгофа плоскопараллельное течение становится неустойчивым, и скачком возникает вторичный конечно-амплитудный режим движения. С увеличением числа Грасгофа происходит обратный переход; интенсивность вторичного движения становится нулевой и устанавливается снова плоскопараллельное течение. Соответствующие переходы отмечены на рис.2.17 и рис.2.18 стрелками. Таким образом имеет место гистерезис, связанный с возможностью жесткого возбуждения вторичного движения в надкритической области. Очевидно, имеется еще одна, неустойчивая ветвь амплитудной кривой 6 т(,&), которая замыкает нелинейную область монотонной тепловой неустойчивости комбинированного конвективного течения.
Структура течения (а) и поля температуры (б) стационарного вторичного течения при б = 330 и 420 представлены на рис.2.19. Видно, что вторичное течение характеризуется, как и в ситуациях, рассмотренных в работах /56,57,97/, образованием вихря в центральной части слоя. При малых числах Грасгофа бо ль-шая часть канала охвачена медленным вихревым движением; с ростом G локализация вихря становится более выраженной. Появление вихря увеличивает тепловой поток поперек слоя (рис.2.18).
В результате решения большинства задач теории конвективной устойчивости оказывается, что длинноволновые возмущения затухают; неустойчивость, как правило, обусловлена нарастанием возмущений с конечной длиной волны. С уменьшением волнового числа к устойчивость обычно повышается. Такова ситуация, например, в случае течения в подогреваемом сбоку вертикальном слое (как для вязкого, так и для невязкого механизмов неустойчивости) /і/, в случае устойчивости пограничного слоя у вертикальной изотермической пластины /125/, а также при фиксировании на ней однородного по высоте теплового потока /126/. К аналогичному выводу приводит анализ устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости при разных гидродинамических и тепловых условиях на его границах (см./і/).
Однако, в некоторых специальных условиях длинноволновые возмущения (предел k = 0) могут не только нарастать, но и быть наиболее опасными. Имеется ряд работ, в которых рассматривается такого рода неустойчивость.
В работах /127,128/ было показано, что в подогреваемом снизу плоском горизонтальном слое, ограниченном массивами, теплопроводность которых много меньше теплопроводности жидкости (предельный случай теплоизолированных границ), возмущения с бесконечной длиной волны являются самыми опасными. Подобная ситуация в пористой среде обсуждалась в работе /129/.
Длинноволновая неустойчивость равновесия жидкости присутствует и в случае наклонного плоского слоя, подогреваемого снизу /130,131/. Если угол наклона слоя к вертикали меньше некоторого предельного угла с 0 t то минимальное критическое число Рэлея соответствует плоскопаралдельным возмущениям. При больших углах наклона длинноволновая неустойчивость присутствует, но не является наиболее опасной; на нейтральных кривых появляются минимумы, расположенные при конечных k .
Присутствие пористой среды в наклонном слое (при тех же тепловых граничных условиях) существенно меняет ситуацию. Длинноволновые возмущения являются наиболее опасными лишь в случае строго вертикального слоя /132/.
Обычно длинноволновая неустойчивость связана с существованием при любых параметрах нейтральных возмущений, не зависящих от продольной координаты. Так, в горизонтальном слое при подогреве снизу по мере уменьшения относительной теплопроводности ограничивающих массивов длина волны критических возмущения неограничивающих массивов длина волны критических возмущений неограниченно возрастает. В этом случае существование в слое жидкости вертикальных движений и связанного с ними вертикального конвективного переноса тепла становится невыгодным. В вертикальном плоском слое (случай подогрева снизу) критическое число Релея оказывается наименьшим для возмущений с бесконечной длиной волны вдоль слоя в горизонтальном направлении.
