Содержание к диссертации
Введение
1. Устойчивость свободной поверхности слоя гранулированного материала, движущегося по наклонной плоскости 17
1. Постановка задачи 17
2. Медленное движение 21
1. Вывод уравнения для формы свободной поверхности. 21
2. Случай малых, но конечных возвышений 23
3. Случай произвольных возвышений 25
3. Быстрые течения 30
1. Вывод уравнений, осредненных по толщине слоя 30
2. Линейный анализ устойчивости 34
3. Возмущения конечной амплитуды 42
2. Устойчивость слоя степенной среды на наклонной плоскости 49
1. Математическая модель 50
2. Медленное движение слоя 51
1. Уравнения и граничные условия 51
2. Анализ уравнения для свободной поверхности 53
3. Быстрые движения слоя 56
1. Осредненные уравнения 56
2. Линейный анализ устойчивости 58
3. Нелинейные решения 65
3. Устойчивость гранулированного сдвигового течения в инерционном режиме 78
1. Постановка задачи 78
1. Законы сохранения 78
2. Замыкающие соотношения 79
2. Стационарные решения 84
1. Течения с постоянным сдвигом скоростей 84
2. Течения со сдвигом скоростей, зависящим от координаты поперек канала 85
3. Анализ устойчивости неограниченного течения при постоянном сдвиге скоростей 91
1. Линейные уравнения 93
2. Дисперсионное уравнение 94
3. Решение дисперсионного уравнения в длинноволновом приближении 96
4. Результаты численного решения дисперсионного уравнения при произвольных волновых числах возмущений 98
Заключение 115
Введение к работе
Гранулированными называются среды, состоящие из большого числа твердых частиц (гранул), погруженных в жидкость и/или газ, причем свойства среды в значительной степени, а иногда и полностью определяются поведением твердой фазы. Такие среды - непременные участники сложных природных явлений, примерами которых могут служить каменные и снежные лавины, вулканические выбросы, оползни, обвалы, грязевые сели, песчаные и пылевые бури, движущиеся пески, например, [1-4]. С использованием гранулированных сред связаны и технологические процессы, составляющие основу различных областей производства. Это порошковая металлургия, химическая промышленность, создание керамических и композитных материалов и изделий из них, химические реакторы с кипящим слоем, разработка месторождений минерального сырья и его переработка, хранение и транспортировка зерна, каменного угля, например, [1-6].
Даже сухие гранулированные среды, часто называемые сыпучими, в которых нет усложняющего влияния жидкости или газа, в разных условиях ведут себя и как твердое тело, например, неподвижные угольные терриконы, и как текучее вещество (струйка песка в песочных часах). Поэтому теоретическое описание сухого сыпучего материала основывается на идеях и методах теории деформируемого твердого тела, реологии, гидродинамики, кинетической теории плотных газов. В настоящее время считается общепринятым выделение трех режимов поведения такого материала в зависимости от его плотности и скорости сдвига течения, например, [4,7,8].
Квазистатический режим, соответствующий большим кон-
b.
центрациям и малым (в том числе, и нулевым) скоростям сдвига. В подобных условиях гранулы находятся в постоянном тесном контакте, когда они скользят и перекатываются друг через друга.
2)Промежуточный режим, соответствующий большим плотностям материала и умеренным скоростям сдвига. Взаимодействие гранул осуществляется как при их скольжении, так и при соударениях друг с другом.
3)Инерционный режим, соответствующий меньшим плотностям и большим скоростям сдвига. При таких условиях между гранулами всегда имеются некоторые зазоры и взаимодействие гранул происходит в результате их непрерывных столкновений, а скольжение играет несущественную роль. В моменты соударений частицы резко меняют направление движения, описывая зигзагообразные траектории. Предельным случаем этого режима является режим трансляционный, который соответствует очень малым объемным концентрациям гранул, их большим свободным пробегам и редким столкновениям.
Описание квазистатического режима основано на законе Мора - Кулона, который гласит, что сыпучий материал, рассматриваемый как континуум, при приложении сдвигающего усилия начинает скользить там, где между нормальным напряжением а и напряжением сдвига г выполняется соотношение \ т \= иідф + с. Здесь угол внутреннего трения ф и константа с > 0- характеристики материала. Величина с связана со степенью слипания гранул, значение с = 0 отвечает материалу, состоящему из отдельных неслипшихся частиц. Что касается величины угла внутреннего трения, то, например, ф = 24 для сферических стеклянных шариков и ф = 37 для необработанного песка.
6.
Поведение сыпучего материала в промежуточном и инерционном режимах анализируется, как правило, в рамках механики сплошных сред, оперируя величинами, осредненными по большому числу частиц. При условиях, которые приводят к возникновению режима поведения материала, называемого промежуточным, энергия хаотического движения гранул мала. Если скорость сдвига среды достаточно велика, то энергия хаотического движения гранул, являющегося следствием столкновений частиц, становится большой и начинает играть значительную роль в поведении гранулированного материала (инерционный режим). Существование и основные качественные закономерности этих режимов были установлены в ставших теперь классическими опытах Багнольда [9], которые мы сейчас кратко опишем.Одинаковые твердые шарики с диаметром 0,132 см были взвешены или в воде, или в водной смеси глицерина со спиртом, чтобы можно было менять вязкость среды. Такая смесь твердых частиц и жидкости заполняла кольцевой зазор шириной 1,1 см между двумя соосными барабанами (внутренний неподвижен, внешний может вращаться с различной скоростью). Когда внешний барабан начинает вращаться, среда вовлекается в движение и создается течение с постоянным сдвигом скоростей, величина которого может меняться, если изменять скорость вращения барабана. Объемная концентрация частиц, равная отношению объема, занимаемого частицами, к полному объему, занимаемому средой, менялась от 62 до 13 процентов. Часть поверхности внутреннего барабана представляла собой резиновую мембрану, что давало возможность измерять давление; измерялось также напряжение сдвига на внешнем барабане. В экспериментах было обнаружено превышение давления над статическим уровнем, свя-
7.
занное Багнольдом со столкновениями гранул друг с другом и названное им дисперсным. Результаты измерений показали, что при достаточно больших скоростях вращения внешнего барабана, то - есть при больших скоростях сдвига течения (поскольку ширина зазора между барабанами постоянна), и давление, и напряжение сдвига пропорциональны квадрату скорости сдвига. Такая зависимость была найдена при всех значениях (s/a) > О,08. Здесь а - диаметр гранул, s - среднее расстояние между их поверхностями. Это соответствует объемным концентрациям v = ит{\ + s/a)~^ < 0,59,где ит - объемная концентрация гранул (отношение собственного объема гранул к объему, занятому веществом) при их максимально плотной упаковке, когда s = 0; в частности, для сферических частиц ит = 0, 74. Давление и напряжение сдвига определяются соударениями гранул друг с другом, и этот режим назван Багнольдом инерционным.
Эксперименты и оценки [9] дают следующие зависимости дисперсного давления и напряжения сдвига от величины сдвига скоростей
р = ppa2f(u)T2 cos<^, г = р tg
где рр - плотность вещества гранул, f(u) - некоторая функция, зависящая от объемной концентрации твердых частиц, ф^ - угол динамического трения, Г - величина сдвига скоростей. Если угол динамического трения не зависит от сдвига скоростей, то давление и напряжение сдвига квадратично зависят от сдвига течения. Это сильно отличает гранулированную среду от обычной (ньютоновской) жидкости, в которой связь напряжения сдвига от скорости сдвига линейна: т = 7](dU/dy), где 7] - коэффициент динамической вязкости, постоянный при за-
8.
данных температуре, давлении и составе жидкости (указанная связь записана для простейшего случая плоского течения со сдвигом, U - скорость потока, у - координата поперек потока). Таким образом, гранулированная среда в промежуточном и инерционном режимах обнаруживают свойства неньютоновской жидкости.
Поскольку, как сказано выше, в промежуточном режиме энергия хаотического движения гранул мала и ее влиянием пренебрегается, математическое описание этого режима может быть основано на уравнениях, выражающих законы сохранения массы и импульса, которые имеют форму, аналогичную теории неньютоновских жидкостей. Для них напряжение сдвига связано со сдвигом скоростей соотношением г = г)(ди/ду), где " коэффициент вязкости " 7] есть функция величины сдвига скоростей. В частности, существует большой класс так называемых степенных жидкостей, для которых г/ — —щ | dU/dy \п~1; величина ?7о = const (мера консистенции вещества) и показатель п являются характеристиками рассматриваемой жидкости. Из приведенной формулы следует, что при п > 1 вязкость увеличивается в тех частях потока, где скорость сдвига больше. Такие неньютоновские среды называются дилатантными ,см., например, [12-14]. К ним относится и сыпучая среда, так как т ~ (dU/dy)2, что соответствует значению п — 2. Если показатель п < 1, то вязкость меньше ам, где скорость сдвига больше. К таким средам, называемым псевдопластическими, относятся, например, нефть и многие полимерные растворы и расплавы [12-14].
При условиях, соответствующих режиму поведения сыпучего материала, который называется инерционным, энергия хаотического движения гранул становится существенной и для
9.
описания этого режима необходимо учитывать не только законы сохранения массы и импульса, как в промежуточном режиме, но и закон сохранения энергии хаотического движения гранул [4,5,7,8]. Такую энергию по аналогии с газом, состоящим из молекул, принято называть квазитепловой или просто тепловой энергией. В уравнениях, выражающих законы сохранения указанных физических величин, появляются дополнительные функции, которые с помощью некоторых соотношений должны быть связаны с плотностью и тепловой энергией среды,иначе система уравнений будет незамкнутой. Это - давление гранул р, возникающее при их соударениях (дисперсное давление, по терминологии Багнольда), коэффициенты вязкости ту, диффузии тепловой энергии к, а также функция /, описывающая уменьшение тепловой энергии среды при столкновениях гранул, которые всегда являются неупругими.
Прежде чем говорить о способах получения замыкающих соотношений, отметим, что опыты Багнольда были повторены и расширены в работах [10,11]. Хорошо развитый инерционный режим в экспериментах [9-11] наблюдался при относительной плотности гранулированного вещества р/рр ~ 0, 5 в интервале скоростей сдвига бОсеАг1 < Г < lOOOcefc"1, соответственно. Поэтому в качестве нижней границы инерционного режима можно принять скорость сдвига Г = 50се&-1, а в качестве типичных значений скоростей сдвига для квазистатического и промежуточного режимов - 0 < Г < lcefc-1 и leek"1 < Г < lOcefc"1, соответственно.
Замыкающие соотношения во многих работах выводятся с помощью методов статистической физики, исходя из кинетического уравнения Больцмана для функции распределения гранул по скоростям, как это делается в теории молекулярных газов
ю.
[15-22]. Конечно, гранулированная среда чрезвычайно сильно отличается от газа. И, прежде всего, размерами частиц, поскольку гранулы - объекты макроскопические, а молекулы -микроскопические. Это очень важно при рассмотрении вопроса применимости использования понятий механики сплошных сред. Каждое столкновение гранул, в отличие от молекул, приводит к потере их кинетической энергии, так как все соударения носят неупругий характер. Поэтому в уравнение для тепловой энергии необходимо включить слагаемое, описывающее ее уменьшение. В естественных условиях гранулы имеют большое разнообразие в размерах и форме, что трудно учесть в теоретических построениях. Кроме того, шероховатость гранул может приводить к возникновению их трения и вращения при столкновениях. Вывод замыкающих соотношений путем приближенного решения кинетического уравнения и сами формулы являются очень громоздкими и, что представляется еще важнее, эти построения могут быть превышением точности, поскольку в них по необходимости вводятся серьезные идеализации.
Поэтому в ряде работ замыкающие соотношения выписываются на феноменологическом уровне, опираясь на наглядные физические соображения, выбирая функциональную зависимость искомых величин по их размерностям и оставляя входящие в формулы коэффициенты порядка единицы параметрами задачи [23-25,6,7].
Помимо указанных методов механики сплошных сред, некоторое распространение получили методы прямого численного моделирования динамики гранул с последующим вычислением средних величин, имеющих физический смысл [8,26-28]. 'Компьютерная' гранулированная среда представляется набо-
n.
ром сферических частиц (или дисков, если решается задача в двумерной постановке), число которых зависит от возможностей компьютера. Эти частицы помещаются в область пространства, ограниченную непроницаемыми для них или периодическими границами. Частицам предписываются выбранные случайным образом координаты и скорости, затем изучается их передвижение в соответствии с уравнениями движения с использованием законов центральных соударений, после чего вычисляются средние характеристики - плотность, макроскопическая скорость, энергия, - необходимые для определения состояния среды.
Много сведений о свойствах различных сред обычно можно получить из анализа их волновых характеристик, позволяющих судить об устойчивости состояний сред по отношению к тем или иным классам возмущений. Рассмотрению именно таких теоретических вопросов для ряда задач механики сухих гранулированных (или сыпучих) материалов посвящена предлагаемая работа.
Медленное движение
C Из второго уравнения этой системы, используя условие р — 0 на свободной поверхности слоя у = H(x,t), получается выражение для давления р = рд{Н — у) cos а, откуда следует связь между производными давления и формы свободной поверхности рх = рдНх, что позволяет исключить давление из приведенной системы уравнений, в результате имеем Считая иу 0 (профиль скорости монотонный), проинтегрируем первое из этих уравнений по координате у с граничными условиями и = 0 при у = 0 и иу — 0 при у = H(x,t). Поскольку правая часть от у не зависит, то легко получить профиль продольной скорости среды Скорость вдоль наклонной плоскости зависит от времени и координаты х параметрически, через зависимость от этих переменных формы свободной поверхности H(x,t). Для областей течения, где наклон свободной поверхности к подстилающей плоскости Нх 0, этот анализ справедлив, когда Нх tga. Вблизи основания слоя профиль продольной скорости является линейной функцией поперечной координаты: Подставим профиль (1.7) в уравнение непрерывности и проинтегрируем по координате у, используя граничное условие v = О при у = 0; в результате найдем профиль поперечной скорости среды: Как и продольная, поперечная скорость зависит от времени и координаты вдоль наклонной плоскости параметрически через зависимость H(x,t). Если теперь подставить выражения (1.7), (1.8) для компонент скорости в кинематическое условие, то получим искомое уравнение для формы свободной поверхности рассматриваемого слоя сыпучего материала Слагаемые в левой части представляют изменение формы поверхности слоя с течением времени и нелинейный перенос, правая часть характеризует нелинейное расплывание профиля свободной поверхности. 2.Случай малых, но конечных возвышений. Если возвышения свободной поверхности слоя сыпучего материала над некоторым средним постоянным уровнем HQ малы, то, полагая Н = HQ + h, h С HQ, hx С tga и подставляя в (1.9), получим уравнение где с = (gsina/vo)1/2 HQ . Уравнение (1.10) можно записать в более компактной форме, если перейти в систему координат, движущуюся в положительном направлении оси х с постоянной скоростью с. Это эквивалентно переходу от переменных ж, t к новым переменным x J1, связанных формулами х = х — ct, t = і.Тогда, так как д/dt = д/dt — сд/дх1 , д/дх = д/дх , уравнение (1.10) принимает вид Здесь штрихи у величин a/, t опущены. Полученное уравнение для малых возвышений свободной поверхности слоя над средним уровнем представляет квазилинейное уравнение Бюргерса где а — 3C/2HQ 0, Ь — (cHo/b)ctga 0. Оно содержит квадратичную нелинейность, появляющуюся в большинстве задач гидродинамики, и диффузию с постоянным положительным коэффициентом.
Линейный анализ этого уравнения, записанного в прежней (неподвижной) системе координат, есть ht + chx = bhxx. Ищем решение в виде суперпозиции плоских волн hk ехрг(А;ж — ш$), где к — волновое число, ш — комплексная частота волны, соответствующая волновому числу к, подставляем в указанное уравнение и получаем дисперсионное уравнение Так как величина коэффициента диффузии Ь положительна, то мнимая часть комплексной частоты отрицательна для всех возможных длин волн возмущений, а это означает, что рассматриваемое медленное движение слоя сыпучего материала по шероховатой наклонной плоскости устойчиво по отношению к бесконечно малым возмущениям любых длин волн. Свойства решений квазилинейного уравнения (1.12) хорошо известны (см., например, [36]). Когда диффузией можно пренебречь (Ь = 0), то решение описывает увеличение крутизны фронта начального возмущения с образованием разрыва за конечный промежуток времени. Если диффузией пренебречь нельзя (Ь ф 0), то рост крутизны профиля свободной поверхности вследствие нелинейности компенсируется сглаживающим влиянием диффузии, то есть слагаемого, пропорционального величине hxx, в результате чего возникает возможность образования гладких переходов — ударных волн со структурой, имеющих постоянную ширину А , пропорциональную коэффициенту диффузии, и движущихся с постоянной скоростью U. Ширина и скорость определяются формулами где h\ = lim h при х —» —оо, h% — lira h при х — ею. Перейдем теперь к рассмотрению движения слоя сыпучего материала, когда возвышения его свободной поверхности не ма- лы по отношению к некоторой средней толщине слоя. 3.Случай произвольных возвышений. Вернемся к уравнению (1.9), в котором правая часть является результатом того, что нами учтен градиент давления вдоль потока рх. Если пренебречь изменением величины давления по оси ж, то уравнение примет вид решение которого допускает образование разрывов ( профилей с нулевой шириной), поскольку скорость участков профиля свободной поверхности H(x,t) больше там, где толщина слоя больше ( так как скорость пропорциональна Я3/2). Изучение поведения слоя сыпучего материала в случае произвольных возвышений свободной поверхности над средним уровнем проведем на основе численного решения нелинейного уравнения в частных производных (1.9), которое запишем в виде, удобном для численного интегрирования, а именно Это уравнение имеет стандартную форму: изменение с течением времени искомой функции определяется переносом ( нелинейным) и диффузией (нелинейной). Введем дискретные значения аргументов tn = n6t, ж; = iSx, где 6t- шаг по времени, 6х — шаг по координате, п = 0,1,..., і = 1,2, ...,N, и дискретные значения искомой функции Щ = H(xi,tn). Производную по времени аппроксимируем односторонней разностью вперед: (НІ)" (Я"+1 — Щ)[8і.
Первую производную искомой функции по координате аппроксимируем односторонней разностью назад: (Ях)" {Щ — Щ /бх. Вторую производную по координате аппроксимируем симметричной формулой: (Яхя)" {Щ+ Щ+Щ /бх2. Коэффициенты F{H), G{H) вычисляются по значениям искомой функции в момент времени tn. Используя такие аппроксимации, получаем явную схему, так как значения искомой функции во всех точках по координате ж в момент времени tn+1 определяется по явной формуле через значения искомой функции в предыдущий момент времени п, которые известны в начале расчета из начального условия, а затем из предыдущих циклов вычислений. Эта схема имеет вид где для упрощения записи введены обозначения Я1г = Щ+\ Нг = Щ, Ft = F{Hi), Gt = G{Hi). Конвективный перенос аппроксимирован разностью назад, иначе схема будет абсолютно неустойчива, так как коэффициент перед производной Нх всегда положителен. Разностная схема (1.14) условно устойчива в том смысле , что для устойчивости численного решения нужно выбирать отношение шагов 6t/6x 1, например,[36,37], причем степень малости этого отношения должна подбираться с помощью конкретных методических расчетов. Нами использованы односторонние аппроксимации первых производных и по времени, и по координате, поэтому ошибка аппроксимации при переходе к конечно-разностной задаче будет иметь первый порядок по временному и пространственному шагам, 0(6t/6x), и схема (1.14) вносит в решение счетную диффузию, дополнительно сглаживая резкие профили, но не внося в решение счетных немонотонностеи, вследствие чего разностная схема является монотонной. Существенно уменьшить влияние счет- ной диффузии, не присутствующей в исходном дифференциальном уравнении, можно путем измельчения конечно-разностной сетки. В данном случае это было легко осуществимо, так как уравнение (1.10) одномерное и не представляет принципиальных трудностей выбрать очень мелкие шаги 5t, 8х.
Возмущения конечной амплитуды
Для изучения эволюции начальных возмущений конечной амплитуды мы численно решали систему уравнений (1.20), переписанную в более удобном виде для этой цели дивергентном виде: где для простоты через и = Q/H обозначена средняя по толщине слоя продольная скорость материала и . Здесь использованы введенные ранее безразмерные переменные. Введем конечно - разностную сетку хг = i8x , tn = nbt и дискретные значения искомых функций в точках этой сетки. Используем явную схему, согласно которой функции в следующий момент времени определяются по явным формулам по значениям искомых функций, уже вычисленных в предыдущий момент времени. Производные по времени профиля свободной поверхности Ht и потока массы Qt аппроксимируются односторонними разностями вперед. Производные по координате от потока массы Qx и потока импульса (uQ)x аппроксимируются односторонними разностями с учетом знака продольной скорости, что необходимо для устойчивости конечно-разностной схемы. Градиент давления аппроксимируется центральными разностями. Функции Я, Q вычисляются в точках ібх, скорость — в точках (г± 1/2)6х. Тогда конечно-разностная схема, которую мы применяли в расчетах, имеет следующий вид: разностные схемы, являются условно-устойчивой, то есть устойчивой только при условии 6t 6х. Нужное для устойчивого численного решения отношение 6t/6x определялось пробными расчетами. В качестве начального возмущения был выбран треугольник высотой Hi — 0.1 и шириной основания А = 2 в безразмерных единицах. В момент времени t = 0 это возмущение, помещенное на однородном слое с невозмущенной поверхностью Н = 1, внезапно освобождается и начинает двигаться вдоль слоя, изменяясь по форме. На рис.8-14 представлены результаты численных расчетов, выполненных для аспектного отношения 6 = 0.1 и угла с горизонталью а = 45 при различных числах Багнольда. Рис. 8,9 показывают эволюцию профиля указанного начального возвышения, соответствующую числу Багнольда В а = 4 Ва (напомним, что критическое число Багнольда Ва = bctga, так что при а = 45 это число равно 5). На рис.8 показана начальная стадия такой эволюции: "остроконечная" форма сглаживается, амплитуда медленно уменьшается, ширина профиля увеличивается, крутизна переднего фронта возвышения остается почти постоянной, что свидетельствует о компенсации действия нелинейных эффектов и диффузии вследствие вязкости. Скорость движения, определяемая по движению максимума возмущения, равна приблизительно U = 1.83. На рис.9 представлены мгновенные профили свободной поверхности слоя сыпучего материала при больших временах.
Амплитуда возвышения монотонно уменьшается (вдвое за время t = 10), что свидетельствует об устойчивости свободной поверхности при докритических числах Багнольда. Рис. 10 -12 демонстрируют результаты численного расчета для сверхкритического значения числа Багнольда, Ва — 6. Амплитуд а профиля сначала довольно быстро уменьшается, а сам профиль становится шире вследствие диффузии. Затем амплитуда начинает возрастать, указывая на неустойчивость (Ва Ва ), форма возвышения становится несимметричной: передний фронт увеличивает свою крутизну вследствие нелинейных эффектов, остальная часть профиля сильно искажается. Наконец, с течением времени профиль приобретает пилообразную форму, когда неустойчивость проявляется в полную силу. При еще больших числах Багнольда такое изменение профиля возвышения начинает проявляться в более ранние моменты времени (рис. 13-14, Ва — 10, значительная неустойчивость). В этой Главе приводится обобщение результатов Главы 1 на случай сред, подчиняющихся уравнению состояния типа Оствальда-де Виля, то есть степенному закону с различными для разных сред значениями показателя п, входящего в соотношение, связывающее напряжение сдвига и сдвиг скоростей. Напомним, что сухой гранулированный материал в промежуточном режиме при умеренных скоростях сдвига может рассматриваться как степенная среда с показателем п = 2 (Глава 1). Как отмечено во Введении, показатели п 1 соответствуют псевдопластическим жидкостям, а показатели п 1 - дилатантным средам. Примером первых служит раствор ги-дроксилметилцеллюлозы, для которого хорошо подходит показатель п = 1/2, а также нефть и ряд масел с п = 0, 8 [12 — 14]. Дилатантной средой, кроме сухого сыпучего материала, является, в частности, засахарившийся мед, который можно рассматривать как гранулированную среду (гранулы в жидкости) с уравнением состояния, имеющим показатель п 2 [14]. В работах [39,40] представлен короткий анализ устойчивости / неустойчивости слоев вязкоупругой жидкости с уравнением состояния, учитывающим постепенно затухающую память среды, на горизонтальной осциллирующей в продольном направлении плоскости и на наклонной поверхности с учетом условий прилипания и условий на свободной поверхности. В нашей работе рассматривается слой несжимаемой среды с уравнением состояния Оствальда-де Виля при произвольном значении п, движущийся вдоль шероховатой наклонной плоскости под дей- по координате поперек слоя, то равенство нулю напряжения сдвига на свободной поверхности, тху = 0, означает условие иу = 0 при у — Я(ж, t).Уравнения (2.2) и граничные условия (2.3) формулируют задачу. В зависимости от величины сдвига скоростей могут существовать два режима течения. Первый соответствует небольшим скоростям сдвига и является медленным, в котором инерционными слагаемыми можно пренебречь. Второй соответствует большим скоростям сдвига, при этом слагаемыми, описывающими ускорение среды вдоль наклонной плоскости, не пренебрегаем.
Подчеркнем, что для промежуточного режима характерны умеренные скорости сдвига, следовательно, упомянутые выше "небольшие" и "большие" скорости сдвига "входят" в определение "умеренных" скоростей сдвига. 2.Медленное движение слоя. 1.У равнения и граничные условия. В пренебрежении ускорением уравнения (2.2) принимают вид Из второго уравнения этой системы и граничного условия р = 0 при у = H(x,t) имеем р = рд(Н-у) cos а.Подставим это выражение в первое уравнение системы (2.4), предположим выпуклость профиля продольной скорости, иу 0, и проинтегрируем полученное уравнение по толщине слоя с граничными условиями и = 0 при у = 0 и иу = 0 при у = H(x,t). В результате профиль продольной скорости (2.5) Для областей течения, где Нх 0, этот анализ в случае четных показателей п справедлив, когда Нх tga. Используя профиль продольной скорости (2.5), интегрируем уравнение непрерывности с граничным условием v = 0 на дне слоя у — О, что позволяет найти профиль поперечной скорости Если теперь подставим выражения (2.5), (2.6), вычисленные на свободной поверхности у — H(x,t) в кинематическое граничное условие Ht + и{Н)Нх — г (Я), то получим уравнение для профиля свободной поверхности слоя степенной среды 2п + 1 vn Формула (2.7) дает нелинейное волновое уравнение для толщины слоя неньютоновской среды, в котором локальное временное изменение и конвективный перенос (левая часть) находятся в балансе с эффектом диффузии (правая часть). В безразмерных переменных уравнение (2.7) принимает вид где невозмущенная толщина слоя Щ - масштаб толщины, LQ - масштаб длины (Яо = еЬ0), to = {vn/gHo)l/n масштаб времени. Это уравнение (2.8) справедливо с точностью до слагаемых 0(е2). 2. Анализ уравнения для свободной поверхности. В случае малых, но конечных возвышений свободной поверхности слоя над некоторым средним уровнем, Н — 1 + h, /і 1, уравнение (2.8) приобретает вид где сп = 6(sina)1//n, Ьп = б2(2п + l) l {sm. a)1 lnct да. Дисперсионное уравнение, соответствующее линейному аналогу уравнения (2.9), есть ix k — спк — ibnk2. Здесь и;&, к - комплексные частоты и волновые числа бесконечно малых периодических возмущений. Так как мнимая часть комплексной частоты отрицательна, то рассматриваемое медленное движение устойчиво по отношению к таким возмущениям средней постоянной толщины слоя, которые распространяются с фазовой скоростью vPh — и/к — сп и амплитуда которых уменьшается экспоненциально как ехр(—bnk2t). Скорость малых возмущений зависит от показателя п, характеризующего конкретную степенную среду, и возрастает с увеличением этого показателя.
Нелинейные решения
помощью численного решения уравнений (2.12) нами изучена эволюция возмущений конечной амплитуды, которые возбуждаются на ровной поверхности слоя неньютоновской среды, движущегося с постоянной скоростью вдоль шероховатой наклонной плоскости. Конечно-разностная схема строится по аналогии со схемой, которая нами описана в разделе, посвященном анализу устойчивости слоя сыпучего материала (Глава 2): явная формулировка с односторонней аппроксимацией конвективного переноса с учетом знака продольной скорости и = Q/H и центральной аппроксимацией слагаемого, обозначающего градиент давления. Схема условно- устойчива, 8t/5x 1, и отношение 5/ 5ж, необходимое для устойчивости, определялось пробными расчетами. В момент t = 0 начальное возвышение в виде треугольника высоты Н\ = 0.1 и ширины Л = 2 задается на невозмущенной поверхности слоя Н = 1. На рис. 16-25 представлены результаты численного решения уравнений (2.12) по конечно-разностной схеме (2.20), демонстрирующие профили свободной поверхности текущего вдоль наклонной плоскости слоя степенной среды в зависимости от координаты вдоль слоя для различных сред, характеризуемых разными значениями показателя п, для ряда значений числа Оствальда (и докритических, и сверхкритических) в два момента времени, кроме начального. Напомним, что уравнения (2.12) записаны в безразмерных переменных с помощью масштабов, в которые входят поток QQ и средняя скорость щ. Эти масштабы зависят от кинематической вязкости ип и, стало быть, от числа Оствальда. Поэтому результаты указанных расчетов, соответствующих разным значениям Оп, приведены в одни и те же моменты "физического" времени t = 1, t = t2, принимая во внимание то обстоятельство, что масштаб времени является функцией числа Оствальда: видно, что начальное возмущение конечной амплитуды распространяется вниз по слою, при этом его амплитуда с течением времени уменьшается.Скорость движущихся возвышений свободной поверхности монотонно возрастает с увеличением показателя среды п: она минимальна для псевдопластической среды (п = 1/2) и максимальна для сильно дилатантной среды (n = 10). Рис.21-25 соответствуют расчетам, выполненным для тех же сред при сверхкритических значениях числа Оствальда. Согласно линейному анализу, эти течения неустойчивы, поэтому на начальной стадии возвышение движется вниз по слою с увеличивающейся амплитудой (вследствие неустойчивости).
При больших временах профиль свободной поверхности сильно искажается, приобретая пилообразную форму. Если сухая сыпучая среда не слишком плотная и находится при условиях, обеспечивающих большой сдвиг скоростей (что соответствует инерционному режиму), то энергия хаотического движения гранул, возникающего вследствие их соударений друг с другом, становится весьма существенной и сильно влияет на характеристики течения. В этом случае в математическое описание, помимо законов сохранения массы и импульса, необходимо ввести закон сохранения энергии хаотического ( теплового) движения гранул, составляющих среду. Сдвиговое течение сыпучей среды может быть создано, например, в плоском канале ( ось х направлена вдоль, а ось у поперек канала), ограниченном сверху и снизу непроницаемыми для гранул шероховатыми пластинами, причем верхняя движется со скоростью U в положительном направлении оси ж, а нижняя неподвижна. Верхняя пластина вовлекает в движение прилегающие к ней гранулы, которые при соударениях передают импульс нижним слоям гранул и т.д., в результате чего в канале создается течение со сдвигом скоростей. Предполагая, что состояние среды соответствует инерционному режиму, сформулируем исходные уравнения. Поведение рассматриваемой среды в указанном режиме определяется законами сохранения массы, импульса и тепловой энергии, которые мы запишем в тензорных обозначениях: Здесь p - плотность среды, и - макроскопическая скорость, Т - температура среды, Р —тензор вязких напряжений, равный где к - коэффициент теплопроводности, 7} - коэффициент вязкости, / - уменьшение энергии хаотического движения гранул ввиду того, что соударения гранул друг с другом всегда неупругие. Связь температуры Т со среднеква дратичной скоростью гранул VT определяется формулой Т = у . Система уравнений (3.1) является незамкнутой, так как коэффициенты переноса к, ], давление р и сток энергии / пока еще не записаны как функции плотности, макроскопической скорости и тепловой энергии. Поэтому для завершения постановки задачи нам нужны замыкающие соотношения , которые позволили бы выразить указанные величины через искомые функции. Нами принят феноменологический подход [23], основанный на использовании размерностей определяющих величин для установления связей между указанными выше функциями. Дисперсное давление р по размерности есть произведение массы на ускорение, поделенное на площадь. При каждом соударении импульс гранулы меняется на величину тьт, где VT - средняя скорость хаотического движения гранул (тепловая скорость). Если умножить это изменение импульса на характерную частоту соударений VT/S, где s С а - средний свободный пробег гранул, а - их средний диаметр, и разделить на характерную площадь а2, то получим давление Здесь рр - плотность гранулированного материала при максимальной упаковке. Коэффициент динамической вязкости ц по размерности есть произведение плотности на площадь, поделенное на время. Характерное время в рассматриваемом случае равно среднему времени свободного пробега частиц между столкновениями S/VT, поэтому Коэффициент теплопроводности к связан с обменом энергией теплового движения гранул при их столкновениях.
Поток энергии есть ее средний перенос во время одного соударения, умноженный на частоту столкновений и поделенный на площадь. Средний обмен энергией при одном столкновении по порядку величины есть TTIVTAVT , где AVT - разность средних тепловых энергий соседних гранул. Поток энергии Q тогда пропорционален тьтАУт(Ут/з)/а2, или Q « pp{vT/s)a2 f, поэтому что совпадает с выражением (3.3) для коэффициента динамической вязкости. При каждом соударении гранула теряет энергию вследствие неупругости, по порядку величины равную (1/2)(1 — e2)mv\, где е - коэффициент восстановления скорости при неупругом ударе. Умножая на частоту соударений VT/S и на число частиц в единице объема п , получим потерю тепловой энергии в единице объема за единицу времени В рамках данной модели в [23] рассмотрены следующие задачи. 1) Гранулированная среда имеет некоторую начальную однородную температуру, макроскопическое движение отсутствует. С помощью решения уравнения для тепловой скорости найдены законы временного изменения температуры и давления. Показано, что характерное время убывания этих величин прямо пропорционально средней длине свободного пробега гранул и обратно пропорционально их начальной тепловой скорости. 2) Изучены стационарные распределения температуры и плотности гранулированной среды, заключенной между двумя параллельными пластинами, при отсутствии макроскопического движения и силы тяжести. Показано, что давление постоянно, а тепловая скорость изменяется экспоненциально между значениями, заданными на нижней и верхней стенках. 3) Изучено стационарное распределение температуры сыпучей среды при условиях предыдущей задачи, но с учетом силы тяжести. 4) Стационарное гранулированное течение Куэтта в плоском канале с учетом и без учета силы тяжести. Показано, что ее основной эффект заключается в сдвиге области термализации гранул от центра канала ближе к его верхней стенке. В таком подходе предполагается, что гранулы - абсолютно жесткие, в результате чего время контакта гранул при соударениях является бесконечно малым. В [25] представлено обобщение приведенных соображений, предполагая, во-первых, что плотность материала р переменная в соответствии с изменяемостью средней длины свободного пробега и, во-вторых, принимая во внимание возможную деформацию гранул при столкновениях, что делает время контакта гранул конечным. Таким образом, в теории [25] вводятся переменная плотность (в зависимости от среднего свободного пробега) и конечное время контакта tc — аа/с, где с = (Е/рр)1 2 есть скорость упругой волны в веществе гранулированного материала, Е - модуль упругости, а - безразмерный параметр, который можно положить равным двум. В этом случае время контакта tc есть время, которое тратит упругая волна сжатия, чтобы пройти диаметр гранулы туда и назад.
Стационарные решения
Рассмотрим стационарный (установившийся) поток сухого сыпучего материала с макроскопической скоростью щ = {щ(у), 0,0}. Индекс "0" соответствует стационарному решению. Предполагая, что сила тяжести не играет сколько-нибудь значительной роли,запишем уравнения стационарного течения, являющегося следствием общих уравнений (3.1), а именно: Рассмотрим решения этой системы уравнений с замыкающими соотношениями (3.7). 1.Течения с постоянным сдвигом скоростей. Простейшим решением указанных уравнений является течение, соответствующее однородному потоку с постоянным сдвигом скоростей duo/dy = Г. В этом случае имеем Все функции, характеризующие состояние среды, не зависят от координат, кроме скорости потока. 2.Течения со сдвигом скоростей, зависящим от координаты поперек канала. Уравнения (3.8-3.10) с замыкающими соотношениями (3.7) имеют также более сложное решение. Оно соответствует неоднородному гранулированному потоку, в котором все функции зависят от координаты у. Это решение, в общем случае требующее численных расчетов, может быть получено почти полностью аналитически, если предположить малость средних длин свободного пробега гранул: SQ -С а. При таком ограничении плотность будет константой, PQ — рр, а, остающиеся величины - функциями координаты у: Из уравнения (3.8) следует, что давление ро постоянно поперек канала, т.е. откуда получаем, что постоянны и отношения Из уравнения (3.9) следует, что напряжение сдвига поперек канала постоянно: Откуда получаем скорость сдвига скоростей Если подставить сюда выражение щ из (3.12) и воспользоваться соотношением (3.13), то найдем для сдвига скоростей формулу Уравнение (3.14) показывает, что сдвиг скоростей пропорционален отношению напряжения сдвига к давлению. Чем меньше это отношение, тем меньше сдвиг скоростей. В уравнении для тепловой энергии запишем K dT /dy в виде (aKppa2/te)3v (dv /dy), так как Го = (i4)2. Заменив отношение fy/ig равным ему отношением Ро/аррра (см.(З.ІЗ)) и воспользовавшись формулой г/о = а аро/о.р Уг, запишем уравнение тепловой энергии в следующем виде Таким образом, для тепловой скорости v? в предположении so -С а мы получим уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решения зависят от знака величины в квадратных скобках и, соответственно, от граничных условий, которые мы примем для тепловой скорости. Введем обозначения Поскольку скорость сдвига течения duo/dy пропорциональна отношению то/ро (см.(3.14)), то "малые" скорости сдвига соответствуют режимам, когда Ъ\ 0, а "большие" скорости сдвига - режимам, для которых Ь\ 0 ( или Ь\ 0).
Рассмотрим решения уравнения (3.15) с такими же, как в [23], граничными условиями Первое условие соответствует вибрирующей нижней стенке (энергия этих вибраций должна компенсировать уменьшение тепловой энергии из-за неупругости соударений гранул), второе условие соответствует "мягкой" стенке, которая гасит соударения гранул с верхней стенкой. При небольших скоростях сдвига, когда Ь\ 0, решение уравнения (3.15) с граничными условиями (3.17) имеет вид Подставим это выражение в (3.14) и проинтегрируем полученное уравнение с граничными условиями Используя первое граничное условие, щ(0) = 0, найдем Отношение то/ро пока неизвестно, но для его определения у нас есть условие на верхней пластине щ(Н) — U. Если его использовать в (3.20), то и выражение для продольной скорости течения (3.20) может быть переписано в виде Подставим отношение напряжения сдвига к давлению т0/ро (3.21) в формулу для параметра Ь\ (3.16) и получим в результате алгебраическое трансцендентное уравнение на собственные значения "пространственной частоты" Ьі, входящей в формулы для тепловой и продольной скоростей среды.Это уравнение имеет вид Если задать значения диаметра гранул а, коэффициента восстановления е, высоты слоя Н, скорости верхней пластины U и тепловой скорости на нижней пластине vw, а также ар, av, аЛ, а/, то численное решение трансцендентного уравнения (3.23) позволит найти собственное значение параметра Ь\ и затем из (3.21)—отношение то/ро- Определив Ъ\ и т0/ро, можно вычислить профили тепловой скорости (3.18) и продольной макроскопической скорости (3.20) при небольших скоростях сдвига. На рис.26 представлены найденные таким способом функции Vj,{y) и щ(у), соответствующие значениям параметров а = 0.1 см, е = 0.9, Н = 10 см, U = 10 см/сек, vw = 1 см/сек (при этом ab\ = 0.0421). Профиль продольной скорости выпуклый, профили и тепловой, и продольной скоростей -монотонные. Теперь рассмотрим случай больших сдвигов скоростей, когда Ъ\ 0. Решение уравнений (3.15), (3.14) с граничными условиями (3.17), (3.19) имеет вид По сравнению со случаем небольших сдвигов скоростей здесь произошла замена гиперболических функций на тригонометрические, что свидетельствует о периодическом характере решений. Уравнение на собственные значения "пространственной частоты" 62: Левая часть (3.26) есть периодическая функция с периодом 7г, а правая часть - монотонная функция аргумента а&2, которая асимптотически стремится к по стоянному значению 2ак/3 при аЪ2 — оо. Следовательно, уравнение (3.26) имеет бесконечное число корней. Но тепловая скорость не отрицательна, по определению, поэтому значения аргумента Ь2Н должны быть меньше 7Г (см. (3.24)) и имеющие смысл значения корней Ъ2 должны быть меньше тг/Н. Наш анализ показывает, что для реалистических параметров задачи даже минимальный корень (&2)mm больше, чем тг/Н. Таким образом, решения (3.24), (3.25), полученные для больших сдвигов скоростей, не имеют физического смысла.
Пусть, например, верхняя пластина движется со скоростью U = 20см/сек, а остальные параметры такие же, как в случае небольших сдвигов скоростей. Тогда первый корень уравнения (3.26) на собственные значения равен &2 = 0.4119 тг/Н = 0.3141. Перейдем теперь к исследованию устойчивости. 3.Анализ устойчивости неограниченного течения при постоянном сдвиге скоростей. Запишем уравнения (3.1) в компонентах, используя декартовы координаты x,y,z и обозначения Следуя обычной процедуре, для изучения дисперсионных свойств любой среды исходная система уравнений линеаризуется относительно некоторого стационарного (равновесного) состояния, возмущенного малыми изменениями искомых функций. Если представить решение полученной системы линейных уравнений для возмущений в виде суперпозиции плоских волн вида expi(kf — ujt), то условие существования нетривиального решения приводит к дисперсионному алгебра- ическому уравнению ш = со(к), определяющему зависимость частоты плоских волн от их волнового числа. Анализ корней этого уравнения позволяет сделать вывод об устойчивости либо неустойчивости исходного равновесного состояния. Если при вещественных волновых числах частота комплексна, то ехрг(&г — out) = exp(Imuut)expi(kf — Recot) и легко видеть , что положительный знак Imuj = 7, означает рост амплитуды возмущений, а отрицательный знак - уменьшение амплитуды. В первом случае равновесное состояние среды неустойчиво, во втором - устойчиво. Соударения гранул всегда неупругие, поэтому состояние, соответствующее макроскопически неподвижной среде (и = 0), не будет равновесным. Действительно, в простейшем случае однородной неподвижной среды уравнение для темпертуры сводится к уравнению dT/dt — —21/Зр. Так как величина / положительна, то температура с течением времени уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю; при этом к нулю стремятся и все коэффициенты переноса. Следовательно, нетривиальная ситуация возможна лишь тогда, когда имеется некоторый механизм восполнения энергии хаотического движения гранул. Такой механизм возникает, в частности, в рассматриваемом нами течении со сдвигом, где диссипация энергии хаотического движения гранул компенсируется работой внешних сил, которые обеспечивают движение верхней пластины и существование течения со сдвигом скоростей.
