Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Течение в пограничном слое градиентного потом несжшдаемой щдкости на движущейся с постоянной скоростью в направлении потока поверхности 27
1.1. Математическая формулировка задачи определения характеристик поля течения потока несжимаемой жидкости при заданном градиенте давления 27
1.2. Ламинарный двухмерный пограничный слой на подвижной поверхности кругового цилиндра 31
1.3. Теоретические основы управления градиентным потоком жидкости в пограничном слое при помощи подвижной стенки 58
Глава 2. Расчет поля скорости! пограшшого слоя несжи маемой жидкости на подвижной поверхности крыла бесконечного размаха, контуром которого является овал ренкина . 67
2.1. Плоское стационарное течение несжимаемой жидкости в ламинарном пограничном слое на подвижной цилиндрической поверхности овала Ренкина. 68
2.2. Двухмерный турбулентный пограничный слой на подвижной поверхности цилиндрического тела (овала Ренкина). Модель турбулентной вязкости 81
2.3. Методика численных расчетов. Разностная схема решения уравнений пограничного слоя 107
Глава 3. Плоской подвижной проницаемой поверхности потоком несжимаемой жидкости в изобарическом стационарном пограничном слое 123
3.1. Характерная область течения. Постановка краевой задачи 123
3.2. Классификация неавтомодельных решений, близких к автомодельным 128
3.3. Асимптотические решения уравнений пограничного слоя в случаях, когда неавтомодельность вызвана малым возмущением краевых условий 131
Заключение 139
Литература
- Ламинарный двухмерный пограничный слой на подвижной поверхности кругового цилиндра
- Теоретические основы управления градиентным потоком жидкости в пограничном слое при помощи подвижной стенки
- Двухмерный турбулентный пограничный слой на подвижной поверхности цилиндрического тела (овала Ренкина). Модель турбулентной вязкости
- Классификация неавтомодельных решений, близких к автомодельным
Введение к работе
Без большого преувеличения можно сказать, что в гидродинамике у истока проблемы управления движением потока с помощью движущейся стенки стоит работа Исаака Ньютона [851, в которой сообщалось об отклонении летящего вращающегося шара от прямой траектории за счет боковой силы. Своеобразная гидродинамика летящего вращающегося шара и причина возникновения этого явления издавна привлекала внимание исследователей и инженеров. Такие крупнейшие ученые как Магнус \_85,187J , Релей [85,I87j , Ланчес-тер[8б], Прандтль [74,75,120,186-188] , Титьенс [75,18б]| , Аккерет2І, Голдстейн |_85 J и другие (см. также обзоры [l63, 207 J ) посвятили свои труды изучению механизма образования поперечной -силы (эффект Магнуса). Это явление привлекало исследователей не только своей природой, но и возможностями рационального использования в техничесішх целях, порой самых неожиданных. Так,например, Антон Флетнер [_2,56,193J использовал в 1922-26 гг. эффект Магнуса при постройке роторного корабля "Букау" с вращающимися вертикальными цилиндрами - ветросиловыми башнями вместо парусов. При боковом ветре на эти цилиндры действовала сила, которая по отношению к кораблю являлась тягой. Однако, из-за неэкономичности, тогда применение эти корабли не получили.
В последнее время усиливающийся энергетический кризис стимулировал повышенный интерес к практическому использованию (на новом технически более совершенном уровне) такого движителя в качестве дополнительного на танкерах и баржах, обеспечивающего до 30$ мощности |_56 j. Другой способ применения подвижной поверхности использован для подъема жидкости (воды или нефти) на большую высоту за счет вязкого трения с помощью "веревочного"
или "ленточного" насоса. Подобные исследования, связанные с приложением подвижной поверхности, были проведены советским инженером, изобретателем В.Г.Шуховым и русским ученым, основоположником современной аэродинамики Н.Е.Жуковским |_42].
Непрерывное производство химических материалов основано на вытягивании постоянно образующейся поверхности ленты или нити из расплавов полимеров через фильеру в охлаждающую жидкость с последующей коагуляцией, вследствие потери тепла, или растворителя или в результате химической реакции. Получающийся материал вовлекается в последующие процессы и затем наматывается на приемную бобину (см., например, 46,132,144,172, 178,224] ).
Законы тепломассо - и импульсообмена между поверхностью материала и различными обрабатывающими растворами определяют процессы коагуляции, отмывания и растягивания поверхности и тем самым влияют на процесс его производства. Члола Рей-нольдса для этих процессов лежат в области ( Ке^Ю -5-Ю ), что позволяет применить предпосылки теории пограничного слоя к образующемуся движению жидкости вокруг непрерывной поверхности. Задачи о течении и теплообмене в пограничном слое на непрерывно образующихся движущихся поверхностях стали рассматриваться недавно.
В общем случае задача о стационарном конвективном тепло- и массообмене подвижной поверхности (пластины или цилиндра) с окружающей жидкостью сводится к решению системы уравнений гидродинамического обтекания поверхности и уравнения теплопроводности (конвективной диффузии) с соответствующими граничными условиями на стенке и вдали от нее. При этом часто оказывается возможным отделить гидродинамическую часть задачи об обтекании от тепловой или диффузионной. Однако и в
этих случаях решение тепловой (диффузионной) задачи не может быть получено без знания закономерностей гидродинамического обтекания поверхности, которое является важной составной частью общей задачи. Особое внимание уделяется таким задачам со времени появления работ [_I68,195-197 І , в которых рассмотрен гидродинамический пограничный слой на плоской пластине и тонком цилиндре при их движении через неподвижную среду в постановке, аналогичной задаче Блазиуса для обтекаемой плоской пластины. Решению задач в такой постановке посвящено значительное количество работ. Исследования ведутся как аналитическими, так и экспериментальными методами. Уравнения теплового пограничного слоя, вопросы гидродинамики и теплопередачи от непрерывно движущейся поверхности при вынужденной и свободной кон-векциях рассматривались в работах (_4,8,17-21,32,33,35,36,47, 48,65-67,77,78,114,118,122,124,125,134,136-138,140-142,145-149, 154,156-158,165,170-172,175,185,190,200,204,206,215,216,22l] .
Исследованиям весьма распространенного класса струйных течений - затопленным ламинарным и турбулентным полуограниченным струям несжимаемой жидкости, распространяющихся в спутном потоке вдоль движущихся поверхностей цилиндрической и плоской стенок, посвящены работы Гб,7,І6,68,69,92,ІІ4І . Исследования закономерностей ламинарных и турбулентных полуограниченных струй базируются на теории пограничного слоя несжимаемой жидкости. Расчет ламинарных струй проводился различными способами: приближенным методом локальной автомодель-ности и точным - путем численного решения исходных уравнений пограничного слоя. Турбулентные струи исследовались с помощью приближенного интегрального метода, в котором используются интегральные соотношения импульсов для пристенной и
струйной областей течения, и экспериментально.
Создание теории динамического пограничного слоя и первые попытки предсказания и объяснения его отрыва поставили перед исследователями задачу о предотвращении срыва потока со стенки. "Наиболее простой способ предупреждения отрыва пограничного слоя и его контроля заключается, очевидно, в том, чтобы вообще устранить образование пограничного слоя" [_II2J, т.е. ликвидировать торможение жидкости в пограничном слое между внешним течением и неподвижной стенкой, путем приведения стенки в движение в направлении потока. Это было впервые осуществлено Прандтлем Прандтлем и Титьенсом [75,186J , а позднее Голдстейном |^85 1. Прандтль уже в 1906 г. [l20,I88J демонстрировал тело "нулевого" сопротивления, состоящее из двух противоположно вращающихся параллельных круговых цилиндров. Некоторые опыты по влиянию движущейся стенки (вращающегося цилиндра) на аэродинамические характеристики крыла проводились в Голландии Вольфом и др. Г75,85І , во Франции - Фавром [_143J , последний экспериментально показал возможность достижения больших значений коэффициента подъемной силы (~3,5) и критического угла атаки (до 55) в безотрывном обтекании крыла с помощью замены части его верхней поверхности движущейся лентой. О непрекращающемся интересе к исследованиям влияния подвижной стенки на управление пограничным слоем при обтекании сильно изогнутого профиля крыла самолета или плохообтекаемого тела малого удлинения свидетельствуют работы [62,63,123,126,128,129,164,181,184,192, 211,212J . Изучению отдельных аспектов двухмерного течения около вращающегося кругового цилиндра в равномерном потоке и возникновению отрыва пограничного слоя посвящены работы 73,101,152,153,182,211,223J . Несмотря на широкую извест-
ность и несомненную практическую ценность указанного метода управления пограничным слоем, теоретическому исследованию течений, взаимодействующих с подвижными поверхностями, до последнего времени уделялось мало внимания.
Начало теоретическому изучению пограничного слоя на подвижной поверхности положено работами |_13,30,50,76,105-107, 109,134,166,167,203,205J . Основное внимание в этих работах уделено постановке задачи при исследовании параметров изобарического пограничного слоя на плоской подвижной пластине при ламинарном режиме течения жидкости и существованию автомодельных течений, являющихся решениями уравнения Блазиуса с ненулевым значением касательной составляющей скорости стенки. К уравнению такого типа (Блазиуса) приводят: задачи о косом вдуве в ламинарный пограничный слой 135,49,102,158,160]; моделирование турбулентного пограничного слоя (как аналогичного ламинарного течения двух слоев разных жидкостей), внешняя часть которого может быть описана решениями уравнения Блазиуса с граничными условиями 11(0)Д)[53~] ; анализ установившегося течения в ламинарном пограничном слое, образующемся за плоским скачком на твердой поверхности |~1,64,91,115, 116,133,179,180,199,20l] .
Как известно из II06,I07,I66,I67j , в условиях однородного внешнего потока автомодельные течения в плоском несжимаемом ламинарном пограничном слое на подвижной поверхности возможны только в случае полубесконечной поверхности, движущейся с постоянной скоростью относительно фиксированного начала развития пограничного слоя. Причем, если для движения поверхности пластины вниз по потоку, в рамках существующей теории пограничного слоя найденные автомодельные решения ос-
- II -
таются пригодными и для пластины конечной длины, то для движения поверхности навстречу потоку два существующих автомодельных решения распространяются лишь на описание обтекания пластины бесконечной длины. Классификация возможных случаев течения в гидродинамическом пограничном слое по схеме "движущаяся плоская поверхность - движущаяся среда" приводится в |_32j . Приближенные инженерные расчеты ламинарного пограничного слоя на движущейся поверхности (или частично подвижной) на основе интегрального метода Лойнянского приведены в[5,30, 67,7cfJ .
В работе |_I09J в постановке задачи для пограничного слоя впервые получены значения коэффициента сопротивления (тяги) и подводимой извне мощности, требуемой для движения пластины конечной длины с постоянной скоростью в несжимаемой жидкости, в зависимости от скорости движения ее поверхности. Анализ поля течения жидкости около пластины с подвижной поверхностью с помощью полных уравнений Навье-Стокса проведен bJ_I50,I5IJ , где также получена зависимость коэффициента силы трения плоской пластины от разности скоростей стенки и невозмущенного потока.
Изучению автомодельных решений уравнений плоского ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости (типа Фолкне-ра-Скэн) на подвижной поверхности при наличии продольного градиента давления посвящены работы |_37,83,93J .
Решение уравнений пограничного слоя в области внезапного изменения граничных условий (частично подвижная поверхность тела) с помощью метода сращиваемых асимптотических разложений приводится в работах (_38,39,61,80,81,177J , впервые примененного Голдстейном. В основе этих решений лежит
модель, в которой вся вязкая область рассмотрена как две, одна из которых принята в качестве нового пограничного слоя, развивающегося внутри старого. Влияние внезапного изменения движения поверхности на течение в ламинарном пограничном слое в сверхзвуковом потоке исследовалось в 40,41,59,86J в рамках теории свободного взаимодействия течения в пограничном слое с внешним потоком. В отличие от традиционной теории пограничного слоя Прандтля, градиент давления полагают обусловленным вытесняющим действием вязкого пристеночного подслоя, где проявляется действие сил вязкости |_29J. Как показано в работах j_88-90j, отрыв пограничного слоя на подвижной поверхности происходит самоиндуцированно под действием большого локального градиента давления. Численному исследованию движения несжимаемой жидаости в пограничном слое на частично подвижной поверхности плоской пластины при нулевом градиенте давления посвящены работы |_203,2I4j .
В авиационной и судостроительной технике особенно важными с практической точки зрения являются течения при больших числах Рейнольдса, когда влияние вязкости обычно ограничено тонким пограничным слоем, примыкающим к поверхности обтекаемого тела. Если жидкость движется вдоль тела в направлении возрастающего давления, то под действием даже умеренного неблагоприятного (положительного) градиента давления жидкость в этом слое будет тормозиться. Увеличение числа Рейнольдса при обтекании твердого тела, при этом,как правило, сопровождается образованием отрывных рещіркуляционннх зон, что приводит к существенному изменению распределения силовых нагрузок на обтекаемое тело. Анализ полных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса показывает, что в ряде случаев, когда возникающая вблизи обтекаемой стенки область обратных
- ІЗ -
токов локализуется внутри пограничного слоя, течение жидкости может быть исследовано в рамках теории обычного пограничного слоя. Подробный обзор современного состояния проблемы об отрыве пограничного слоя в потоке несжимаемой жидкости содержится в [29,72,98,110,111,127] .
Результаты изучения отрыва потока при обтекании подвижных стенок, движущихся как вниз по потоку, так и навстречу потоку, в рамках теории ламинарного пограничного слоя для заданного произвольного распределения продольного градиента давления приводятся в [5,23,24,37,43,44,70,73,83,93,94,97--103,110,161,162,166,167,176,208,209,222] . Установление соотношения между нестационарным отрывом пограничного слоя на неподвижной стенке и стационарным отрывом на движущейся стенке [88,89,93,97,99,209] и для простого случая внешнего линейно замедленного течения Хоуарта дало тот же результат, что и в ранних исследованиях Мура [l83] , Ротта [l94] и Сир-са[84]. В соответствии с моделью Мура-Ротта-Сирса интегрирование уравнений стационарного пограничного слоя на движущейся стенке заканчивалось в окрестности особой точки внутри пограничного слоя, в которой трение и продольная составляющая вектора скорости обращаются в нуль (критерий отрыва МРС). Исследование ламинарного пограничного слоя на движущейся стенке и расчет его основных гидродинамических характеристик приближенным интегральным методом для заданного произвольного распределения продольного градиента давления приведено в [5,70] . В частности здесь получено, что точка отрыва смещается вниз по течению и вверх по нормали к движущейся поверхности . В [_94] исследовалось конечно-разностным методом обтекание параболы под некоторым углом атаки с движением
стенки вниз по потоку, а в JJ02] решалась та же задача об отрыве ламинарного пограничного слоя, но с учетом величины и направления скорости вдува на стенке. Особенность в решении уравнений пограничного слоя типа Голдстейна возникала в точке, находящейся внутри пограничного слоя над стенкой. В работе L^J исследован один из существующих возможных классов автомодельных решений уравнений плоского ламинарного пограничного слоя на подвижной поверхности при наличии продольного градиента давления. Для случая, когда скорости внешнего потока и стенки имеют степенную зависимость от продольной координаты, получающиеся профили продольной составляющей вектора скорости удовлетворяют условию отрыва МРС.
Влияние подвижного элемента поверхности на развитие ламинарного пограничного слоя на примере обтекания кругового цилиндра потоком несжимаемой жидкости исследовались на основе результатов численных. решений в [23,24,222J . Профили продольной составляющей вектора скорости соответствуют предотрывным профилям модели МРС. В каждой из этих работ установлено, что отрыв на прикрытом кожухом вращающемся цилиндре задерживался (смещался вниз по внешнему потоку), когда стенка допалась в направлении невозмущенного потока.
Смещение точки отрыва, как видно из работ, сильно зависит от скорости стенки и практически может быть реализовано вплоть до задней критической точки за счет сравнительно небольшой величины скорости движения стенки.
Построение решения уравнений ламинарного двухмерного пограничного слоя, образующегося при обтекании, в котором скорость внешнего течения или скорость стенки могут зависеть от продольной координаты проведено [37,І39,2Іі]. Так,в Гі39~1 дано решение
для случая течения в окрестности критической точки тела на стенке, движущейся с постоянной скоростью (случай вращающегося тела, расположенного нормально набегающему потоку). В работе 2Il] рассчитан пограничный слой на вращающемся цилиндре, начиная от точки ветвления потока. Интегральный метод расчета пограничного слоя на движущейся поверхности [iOOJ, применительно к нормально обтекаемому вращающемуся цилиндру, дает линейную зависимость угла отрыва от относительной окружной скорости стенки. Приведенные результаты расчета распределения трения вдоль поверхности медленно вращающегося вокруг своей оси цилиндра хорошо согласуются с нашими данными [_44 J.
Из анализа результатов последних лет, как асимптотических решений уравнений Навье-Стокса [88-96] при больших числах Рейнольдса, так и численных расчетов |_І6І,І62| параболизован-ных уравнений Навье-Стокса в области отрывных пузырей следует вывод, что в точке отрыва (особой точке) пограничного слоя на подвижной поверхности, движущейся вниз по потоку, одновременно обращаются в нуль трение и продольная составляющая вектора скорости , т.е. выполняется критерий отрыва Му-ра-Ротта-Сирса. Появляющаяся особенность решения уравнений пограничного слоя в точке одновременного обращения в нуль трения и продольной составляющей вектора скорости при заданном распределении давления, не позволяет продолжить решение за эту точку [_88-9oJ. Проведенный асимптотический анализ уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, для течения в окрестности точки отрыва несжимаемой жидкости на поверхности, движущейся вниз по потоку, также показал Г88-90І , что отрыв происходит под действием большого локального гра-
диента давления, который индуцируется самим пограничным слоем.
Для большинства реально протекающих процессов в природе, турбулентность является обычным состоянием движущейся жидкости, за исключением течений при малых числах Рейнольдса. В работе L26J освещены современные методы расчета турбулентного пограничного слоя жидкости и газа на неподвижной поверхности обтекаемого тела. Применительно к плоскому турбулентному пограничному слою на подвижной поверхности известен ряд методов решения задачи, в основном эти методы приближенные. К таким работам относятся исследования безградиентного плоского и осесимметричного течений в турбулентном пограничном слое на подвижной поверхности плоской пластины или при продольном обтекании круглого цилиндра, которые проводились разными авторами экспериментальными и приближенными аналитическими методами [9-11,47,79,128,135,189,191,197,2I5J . Учет влияния турбулентности в этих задачах проводился, как правило, при достаточно грубых упрощениях. Необходимо отметить, что эти методики расчета турбулентного пограничного слоя на движущейся поверхности и достоверность полученных результатов не могут быть в полной мере оценены из-за невозможности сравнить результаты расчетов с экспериментальными данными. Отсутствие различного рода экспериментальных результатов для подобного типа задач оставляет открытым вопрос о точности того или иного метода и правильности принятых гипотез и предположений, а в рамках турбулентного пограничного слоя, и принятых моделей турбулентности. При турбулентном режиме течения для замыкания системы уравнений плоского пограничного
слоя используются модели и гипотезы турбулентности с различной степенью сложности и характером принятых предположений. Наибольшее применение и широкое использование на практике ввиду большей экономичности получили так называемые алгебраические модели турбулентности.
Исследование турбулентного пограничного слоя на подвижной поверхности при наличии продольного градиента давления в[27, 28,45,96,210] проводилось конечно-разностными методами расчета. В предположении о монотонности профиля скорости в работах [27,28] применялась двухслойная модель турбулентной вязкости Себеси-Смита-Мосинскиса с учетом перемежаемости во внешней части слоя. Несколько примеров расчета течений вязкой несжимаемой жидкости с использованием модифицированной формулы Клаузера для определения коэффициента вихревой вязкости во внешней части пограничного слоя содержится в работах J_96,2I0J , где получено вполне удовлетворительное согласование с опытными данными. В работах |_3,10,95,96,210,2121 рассматриваются примеры течений в пограничном слое с резким изменением граничных условий. Течения такого рода довольно часто встречаются на практике, к ним относятся: течения с сильным ускорением потока, течения на частично подвижной поверхности и др. Решение задачи о снижении сопротивления тел при турбулентном режиме течения в пограничном слое, а также исследование влияний различных возмущающих факторов на течение в турбулентном пограничном слое (влияние продольного знакопеременного градиента давления, подвижная поверхность обтекаемого тела) осуществлялось в [_45 J . С целью более полного изучения рассматриваемого явления, позволяющего предотвратить отрыв пограничного слоя, проведено исследование влияния движения по-
верхности в направлении основного потока на аэродинамические характеристики профиля.
Точное численное решение задачи об отрыве пограничного слоя в настоящее время представляет значительные трудности, т.к. в области отрыва необходимо решать полные уравнения Навье-Стокса. С другой стороны, в технических приложениях детальное описание течения не является необходимым и достаточно знать информацию лишь о распределении поверхностных сил, о наличии, о положении и размерах зон отрыва. Поэтому для вычисления профильного сопротивления применяется априорный выбор модели отрывного течения с учетом ранее проведенного численного или физического эксперимента. При достаточно больших числах Рейнольдса (|\0«Ш -f-Ю ), по имеющимся экспериментальным данным, за точками отрыва могут наблюдаться области с приблизительно постоянным давлением. Такая простейшая модель изменения параметров потока в характерных областях отрыва позволяет: во-первых, легко получить решение; во-вторых, описать качественные особенности поведения важнейших характеристик; в-третьих, дать правильные количественные оценки влияния подвижной стенки на снижение сопротивления движущегося тела.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ заключается в следующем.
Исследовать плоское (ламинарное и турбулентное) течение несжимаемой жидкости в пограничном слое на подвижной поверхности обтекаемого тела (цилиндра), движущейся вниз по потоку с постоянной скоростью.
Оценить полную затрату энергии на перемещение тела с подвижной поверхностью, т.е. определить работу сил трения при перемещении тела и работу, расходуемую на движение его поверхности, а в случае отрывного обтекания - и работу сил давления. Для
оценки величин сил сопротивления принимается простая модель распределения параметров в области отрыва, в которой предполагается постоянство напряжения трения на стенке и давления в отрывной зоне.
Исследовать течения, близкие к автомодельным, в пограничном слое несжимаемой жидкости у полубесконечной пластины при движении ее поверхности с постоянной скоростью в равномерном набегающем потоке.
НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ:
1. Результаты исследования течения несжимаемой жидкости
в плоском ламинарном пограничном слое на подвижной поверхности кругового цилиндра и овала Ренкина (крыло бесконечного размаха) при заданном из идеального обтекания продольном градиенте давления.
Результаты исследования двухмерного турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости на подвижной стенке овала Ренкина (в диапазоне чисел Рейнольдса от 5«10 до 5»10 и относительных скоростей движения стенки от 0 до 6).
Результаты определения сил сопротивления трения и давления (в случае отрывного обтекания), а также минимальной подводимой извне мощности, требуемой для движения поверхности обтекаемого тела, в зависимости от скорости перемещения подвижной
стенки.
Полученная зависимость пропульсивного коэффициента полезного действия движителя (в случае, когда подвижная поверхность тела обладает тягой) от скорости стенки.
Полученные асимптотические решения уравнений ламинарного пограничного слоя, близкого к автомодельному, в задаче об об-
текший несжимаемой жидкостью плоской проницаемой полубесконечной пластины с движущейся поверхностью в случае, когда не-автомодельность вызвана малым возмущением граничных условий.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ.
Проведено численное исследование двухмерного ламинарного и турбулентного пограничных слоев несжимаемой жидкости на подвижной поверхности тела при заданном из потенциального обтекания продольном градиенте давления.
Проанализировано на примере кругового цилиндра и овала Ренкина влияние движения стенки на гидродинамические параметры пограничного слоя и на аэродинамические характеристики крылового профиля. Подтверждено, что при наличии подвижной стенки наступление отрыва (возвратного течения) имеет место внутри пограничного слоя. Показано, что при соответствующем выборе скорости движения поверхности точка отрыва может быть смещена как угодно далеко вниз по потоку (вплоть до задней критической точки тела).
Впервые оценена работа, расходуемая на движение подвижной поверхности с постоянной скоростью, и определена оптимальная скорость движения ленты в направлении набегающего потока, соответствующая минимальной суммарной затрачиваемой на перемещение тела внешней энергии.
Определен пропульсивный коэффициент полезного действия движителя в зависимости от скорости перемещения стенки.
На основании асимптотического анализа уравнений пограничного слоя (в переменных Крокко) установлены собственные числа двух краевых задач, к выявлению которых привел поиск неавтомодельных решений (методом разложения по малому параметру), ела-
бо отличающихся в краевых условиях от автомодельных, в задаче об обтекании несжимаемой жидкостью плоской полубесконечной пластины с движущейся поверхностью.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты диссертационной работы рекомендуются использовать в расчетах течений в пограничном слое на подвижной поверхности при заданном распределении давления с целью определения зависимости гидродинамических параметров слоя от скорости движения стенки.
Проведенные исследования могут быть использованы в дальнейшем при изучении влияния движущихся элементов поверхности профиля (крыла) на его интегральные аэродинамические характеристики (коэффициенты сил сопротивления, характерные толщины пограничного слоя, координаты точки отрыва, форм-параметр и другие величины) в целях создания систем оптимального управления пограничным слоем и разработки новых перспективных экономичных ветроэнергетических установок (движителей) в связи с увеличением масштабов использования энергии ветра.
В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ диссертации решается задача ламинарного пограничного слоя на круговом цилиндре с подвижной поверхностью, движущемся с постоянной скоростью в несжимаемой жидкости. В отличие от работ [23,24,222] , предполагается, что поверхность тела всюду от передней критической точки до задней критической точки внешнего идеального течения движется с постоянной касательной скоростью в
потоке вязкой жидкости.
В первом параграфе приводится формулировка задачи для двухмерного течения несжимаемой жидкости при заданном продольном градиенте давления в ламинарном и турбулентном пограничных слоях на подвижной поверхности тела, движущейся вниз по потоку с постоянной
скоростью. Распределение скорости (или давления) на внешней границе пограничного слоя определяется из решения соответствующей задачи невязкого обтекания.
Если .жидкость движется вдоль тела в направлении возрастающего давления, то даже при умеренном градиенте давления жидкость в пограничном слое будет тормозиться. Поскольку поверхность тела движется и увлекает за собой наиболее близко прилегающую к ней часть жидкости, то, начиная с некоторой точки с продольной координатой ir = ^ , течение над движущейся стенкой становится отрывным (согласно критерию Мура-Ротта-Сирса), т.к. здесь одновременно обращаются в нуль трение и продольная составляющая вектора скорости.
Во втором параграфе приводятся результаты численного интегрирования уравнений пограничного слоя для упомянутых течений на поверхности кругового цилиндра вплоть до особой точки решения.
В третьем параграфе на примере обтекания кругового цилиндра рассмотрены основные вопросы проблемы управления движением жидкости в пограничном слое. В качестве средства управления рассматривается подвижная стенка, в качестве целей управления - уменьшение сопротивления. В работе показано, что плохообтекаемое тело (такое как круговой цилиндр) за счет небольшой затраты энергии может обтекаться безотрывно и иметь малый коэффициент сопротивления.
Для того чтобы оценить истинное преимущество управления пограничным слоем с помощью подвижных элементов поверхности тела в смысле снижения сопротивления, следует учесть мощность, которую необходимо дополнительно затрачивать на движение стенки. Профильное сопротивление тела, складывающееся, как известно, из сопротивления трения и сопротивления давления, получается интегрированием поверхностных сил по всему контуру тела. При вычислении интегралов сил, действующих на единицу длины образующей цилиндра и половину поверхности тела, принималось предположение о постоянстве давления и напряжения трения в области отрыва (в случае ее появления), причем значения давления и напряжения трения на стенке брались равными соответствующим значениям в особой точке решения.
Результаты, полученные в этой главе, позволяют для наиболее технически легко осуществимого случая подвижной поверхности (кругового цилиндра) определить значения скорости движения стенки в следующих случаях, когда имеет место: I) нулевая сила сопротивления трения; 2) нулевая сила сопротивления давления; 3) минимальная (оптимальная) затрачиваемая внешняя энергия для конкретного числа Рейнольдса.
ВТОРАЯ ГЛАВА диссертации посвящена исследованию течения в плоском ламинарном и турбулентном пограничных слоях несжимаемой жидкости, возникающих на подвижной поверхности цилиндрического тела (овала Ренкина с относительным удлинением 4), при движении его с постоянной скоростью.
В первом параграфе дается формулировка задачи о плоском ламинарном пограничном слое на крыле бесконечного размаха, контур которого образован нулевой разделяющейся линией тока
в классической задаче идеального обтекания источника и стока равной мощности равномерным потоком.
Во втором параграфе рассмотрена задача о плоском полностью турбулентном пограничном слое на подвижной поверхности овала Ренкина с относительным удлинением 4. При численном моделировании турбулентного течения жидкости пограничный слой разбивается^ соответствии с двухслойной моделью, на внешнюю и внутреннюю области, для которых используются разные выражения для коэффициента турбулентного переноса. При этом для внутренней области коэффициент турбулентной вязкости находится по теории длины пути смешения Прандтля с демпфирующим множителем Ван Дриста J220j , модифицированным в[Ї04І для течений с продольным градиентом давления. Во внешней области коэффициент турбулентного переноса определяется соотношением |_96, 21 о! , использующим толщину пограничного слоя и среднюю динамическую скорость. Результаты расчетов на основе такой модели достаточно хоро-що согласуются с экспериментальными данными [_96,2I0j , что позволяет использовать закон турбулентной вязкости для моделирования турбулентных течений со знакопеременным градиентом давления на подвижной поверхности. Точка сопряжения между двумя областями турбулентного пограничного слоя получается из условия непрерывности вихревой вязкости, заданной двумя различными формулами.
Результаты расчетов, полученные в этой главе и в главе I, позволяют определить пропульсивный коэффициент полезного действия такого движителя, как отношение работы, затраченной на преодоление силы профильного сопротивления, к работе, расходуемой на движение поверхности и совершаемой подвижной стенкой над жидкостью.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА диссертации посвящена исследованию неавтомодельных решений уравнений ламинарного пограничного слоя для плоского стационарного течения несжимаемой жидкости на подвижной проницаемой поверхности полубесконечной пластины при постоянной скорости внешнего потока.
В первом параграфе в переменных Крокко приводится формулировка задачи об обтекании плоской подвижной проницаемой поверхности потоком несжимаемой жидкости в изобарических стационарных пограничных слоях. В работах j_I06,I07] проведено подробное систематическое исследование автомодельных решений задачи о пограничном слое на пластине при постоянной скорости движения ее поверхности.
Второй параграф третьей главы посвящен рассмотрению некоторых возможных случаев неавтомодельности из-за малых возмущений в краевых условиях задачи. В том случае, когда отличие течения от автомодельного характеризуется малым параметром , неизвестная функция находится в виде ряда, где первый член асимптотического разложения по малому параметру отвечает автомодельному решению. Для следующих двух членов асимптотического разложения получены уравнения и краевые условия, когда неавтомодельность вызвана линейным по возмущением, в том числе: I) условия для искомой функции в сечении, где имеется вблизи стенки возвратное течение; 2) скорости движения стенки или параметра вдува; 3) условия в начальном сечении задачи о продолжении.
В третьем параграфе излагаются результаты исследования асимптотического поведения спектра собственных значений двух краевых задач (объединяющих три случая неавтомодельности) для второго члена асимптотического разложения искомой функ-
ции по малому числу . Здесь собственные числа и собственные
функции есть решение задач типа Штурма-Лиувилля на отыскание собственных значений в широком диапазоне изменения определяющего параметра - скорости движения поверхности плоской пластины. Определены асимптотические зависимости собственных чисел при встречном движении поверхности, при скорости поверхности пластины близкой к скорости внешнего потока и, в случае, когда скорость ее движения очень большая.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику Горимиру Горимировичу Черному за постоянное внимание к работе, ценные советы и обсуждение результатов, а также профессору Юрию Дмитриевичу Шевелеву за полезные обсуждения и помощь в работе. Автор искренне признателен проф. В.А.Левину, проф. А.Л.Гонору, старш. науч. сотр. Л.И.Заку, старш. науч. сотр. А.А.Маркову, к.фгм.н. В.А. Алексину, к.фг-м.н. В.С.Аставину, м.н.с. Н.В.Погорелову, за большой интерес к моим исследованиям, многочисленные советы и плодотворное обсуждение полученных результатов.
Ламинарный двухмерный пограничный слой на подвижной поверхности кругового цилиндра
Здесь все размеры отнесены к характерной длине обтекаемого тела L , компоненты вектора скорости - к скорости невозмущенного потока Ц ; индекс оо соответствует набегающему потоку, в - внешней границе пограничного слоя, "W - поверхности тела, V - параметрам турбулентного движения.
Отметим, что для искомой функции f имеем особенность в граничном условии на стенке для любого значения вблизи передней критической точки внешнего идеального течения
Эта особенность может быть устранена например, как в работах [23,24J , считая, что Другой способ заключается очевидно в следующем. Задание "правильного" начального профиля скорости при , соответствующего фактической картине течения в пограничном слое на подвижной поверхности, обеспечивает адекватное решение поставленной задачи. Численные эксперименты показывают, что ошибка, связанная с использованием конкретного начального профиля, затухает на расстоянии порядка 0,02«О толщин пограничного слоя.
Рассмотрим в качестве обтекаемого тела круговой цилиндр, расположенный перпендикулярно набегающему потоку. Распределение скорости 1Хе на внешней границе пограничного слоя находися из решения соответствующей задачи невязкого обтекания. В частности, для кругового цилиндра известно потенциальное распределение скорости на его поверхности
Здесь и далее в первой главе (кроме оговоренных особо случаев) в качестве характерного размера выбран радиус кругового цилиндра К и Re= -»
Интегрирование уравнений (I.I.I) с граничными условиями (I.I.2) начиналось с некоторого сечения 0 и прекращалось с появлением особенности, как это сделано в Г94,208. Особенность свидетельствует о появлении обратных токов, т.е. о выполнении критерия отрыва Мура-Ротта-Сирса Г98І при стационарном обтекании подвижных стенок
На фиг. I показана зависимость напряжения трения на стен до особой точки от координаты & при различных значениях скорости поверхности цилиндра 1lw= 0; 0,4; 0,8; 1,2; 1,6; 2; 2,4; 2,8; 3,2; 3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2; 5,6; 6; 6,4; 6,8; 7,2; 7,6; 8; 8,4; 8,8; 9,2 (кривые 1-24 соответственно). Для случаяi =0 задача была рассмотрена ранее в работе Г ІЗІ . Полученное численное значение координаты особой точки -#= = 1,827 согласуется с соответствующим значением \= 1,823 из [2I3J . Сравнение с результатами расчетов других авторов [_І0І,І52І трения на поверхности Ъ1\С медленно вращающегося вокруг своей оси CUW= 0,1) кругового цилиндра в потоке несжимаемой жидкости представлено на фиг. 2. Здесь штриховая линия взята из работы [iOIj , ромбы соответствуют результатам, полученным в _152_ . Результаты расчета данным методом (сплошная линия) хорошо согласуются с данными, полученными
Для случая подвижной стенки цилиндра (0,$tiw 1,73), как видно из результатов данной работы, имеется один локальный максимум трения при I , который смещается в сторону больших значений продольной координаты с ростом скорости движения поверхности. Начиная с /UW I,6,на задней части цилинд-ра появляется и конечный локальный минимум величины w Дня скоростей движения стенки Ц 1,73 наблюдается второй локальный максшлутл напряжения трения вблизи задней критической точки внешнего невязкого обтекания. Общая тенденция в распределении поверхностного трения - уменьшение местного напряжения трения на стенке за счет ускорения прилегающих к ней слоев жидкости при помощи подвижной поверхности. Существует, как видно из фиг. I, такая скорость tlwsz 2,5,что величина локального трения отрицательна для всех значений 0 -V (tiw) и скоростей движения стенкиЦ г.б. Дальнейшее увеличение скорости движения поверхности кругового цилиндра ведет к тому, что первый локальный максимум напряжения трения на стенке пропадает CUW 6,2), а наибольшая величина трения достигается на задней поверхности цилиндра вблизи критической точки.
На фиг. 3 даны характерные профили продольной составляющей вектора скорости tivU") для некоторых сечений пограничного слоя, соответствующие скорости поверхности цилиндра w= = I и следующим значениям координаты -& : 0,1; 0,35; 0,5; 0,6; 1,5; 2,0; 2,2; 2,3; 2,4; 2,45 (кривые 1-Ю). Из фиг. 3 видно, что,начиная с некоторого значения продольной координаты &= 2, профиль скорости в каждом сечении -=С(ЙЙи будет иметь точку минимума, находящуюся внутри пограничного слоя,и которая очевидно совпадает с точкой нулевого трения.
Теоретические основы управления градиентным потоком жидкости в пограничном слое при помощи подвижной стенки
При расчете конкретных течений в пограничном слое обычно преследуют следующую цель - определение интегральных силовых характеристик (коэффициентов сил сопротивления). Управление пограничным слоем на обтекаемой поверлюсти тела за счет использования движущихся элементов поверхности показало, что при соответствующем выборе скорости подвижной части поверхности точка отрыва может быть смещена как угодно далеко вниз по потоку.
На фиг. 25 в качестве примера представлена зависимость координаты особой точки от К, . Из анализа кривой следует, что с увеличением скорости стенки 1/6 координата особой точки смещается в заднюю критическую точку тела, а для скоростейІІ U (tL%I,9) имеет место безотрывное обте-кание. Численные результаты также показывают, что влияние скорости движения стенки Hw на наблюдаемое положение точки отрыва ламинарного потока определяется почти линейной зависимостью для 0 :1( .1,8. Отметим, что и в случае частично подвижной поверхности кругового цилиндра (экранированного крышкой вращающегося цилиндра) точка отрыва перемещается вниз по потоку, и это перемещение зависит от скорости стенки по линейному закону Г23,24,НО,176J . Координата точки отрыва пограничного слоя по результатам численных расчетов при /w- oo стремится к = %.
Рассмотрим работу, необходимую для перемещения тела (цилиндра) с подвижной поверхностью со скоростью [} в единицу времени в неподвижной .жидкости. Суммарная мощность, которую необходимо затрачивать для такого перемещения, равна необходимые для преодоления соответственно сил сопротивления трения и давления в единицу времени; /\г - работа, совершаемая над жидкостью подвижной поверхностью цилиндра в единицу времени; X »А силы С0ПРтивления соответствен - интеграл по поверхности от напряжения трения; (t «Ц»)» (Л»14,) - углы, образуемые соответственно касательной % и внешней нормалью YI к поверхности тела с направлением скорости набегающего потока; Z. - поверхность тела; , CL , CLb t CL„- безразмерные величины.
Если выбрать систему координат, связанную с телом так, что ось абсцисс X. направлена по вектору скорости (7 от передней кри-тической точки тела, а ось ординат ti ориентирована нормально набегающему потоку, то формулы (I.3.I) для сил сопротивления име-ют вид длина образующей вджндра; fflJU uCJ- координаты со-ответственно передней и задней критических точек, лежащих на оси-М = 0, так что: \$\-\Х{),= L » 3S " контур интегрирования, содержащий часть направляющей цилиндра от точки (СХ.) ,0) до точки (( ОСА »0). Необходимо отметить, что реакции поверхностных сил на движущееся в жидкости тело в нашем случае (имеющем одну ось симметрии) дают только составляющие результирующих сил в направлении оси %.
При вычислении интегралов (1.3.2) для сил, действующих на единицу длины образующей цилиндра и половину поверхности цилиндра, принималось, что за особой точкой (если она есть) расположена область постоянного давления и постоянного напряжения трения на стенке.
При вычислении интегралов (1.3.2) для диапазона 0 о $С1 производилось экстраполирование функций.
На фиг. 26 приведены зависимости коэффициентов сил трения Ci—Ci iRg (кривая I) и давления GL (кривая 2) от скорости движения стенки tiw» Видно, что для относительной скорости движения поверхности 1Х 1,58 цилиндр обладает не вязким сопротивлением трения, а тягой (CL 0), и сама поверхность цилиндра служит движителем, для которого надо подводить внешнюю энергию. Результаты расчета коэффициента силы сопротивления давления показывают, что, начиная со значений скорости движения поверхности 11 2, величина(Х«0. Для случая кругового цилиндра с областью постоянного давления за особой точкой легко получить следующую зависимость безразмерного коэффициента силы давления от продольной координаты особой точки
Двухмерный турбулентный пограничный слой на подвижной поверхности цилиндрического тела (овала Ренкина). Модель турбулентной вязкости
Графики зависимости CLотЦ на фиг. 36 (кривые 3,4) показыва-ют существенное падение сопротивления у тела (овал Ренкина) с движущейся поверхностью в 8-П раз, когда скорость стенки от нулевого значения мгновенно достигает величины {,«0,7-0,8. Кривые 3,4 на фиг. 36 соответствуют телу с характерными линейными размерами L = = 0,5м; 1м (jRe= 2,49«Ю6; 4,98»Ю6 - числа Рейнольдса здесь соответствуют условно реализованному ламинарному режиму течения). Зависимость внешней энергии CL CU ) которую необходимо расходовать на преодоление профильного сопротивления тела при фиксированном f\g , позволяет выделить область , где сопротивление трения невелико и основной вклад в общее профильного сопротивление дает сопротивление давления. Для скоростей стенки tiw 0,5 роль сопротивления трения возрастает и профильное сопротивление целиком определяется сопротивлением трения. С возрастанием числаг«2 при фиксированной скорости стенки t/w 0,4 величина внешней энергии повсюду имеет меньшие значения, при этом локальный минимум энергии d достигается для большего значения ХЬ . Таким образом, на основе этих результатов напрашивается вывод, что для каждого решения задачи обтекания тела с подвижной поверхностью желательно достижение оптимальной скорости движения стенки в направлении набегающего потока (соответствующей минимальной суммарной затрачиваемой внешней энергии), при которой профильное сопротивление тела и величина работы, совершаемой над жидкостью подвижной поверхностью, малы по сравнению со случаем неподвижной стенки.
В данном параграфе представлены результаты численного исследования двухмерного турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости на подвижной поверхности цилиндрического тела (овала Ренкина с относительным удлинением 4 под нулевым углом атаки), движущейся с постоянной скоростью в направлении набегающего потока. В расчетах использовались значения основных определяющих параметров и распределение скоростей Ц (- ), полученные в 1 второй главы из решения соответствующей задачи невязкого обтекания. Проведено также сравнение интегральных динамических характеристик турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости, таких, как коэффициенты сил сопротивления, тела простой формы, интегральных толщин пограничного слоя, с теми же характеристиками, полученными при ламинарном режиме течения, на подвижной поверхности плоской пластины 1109 J и крыла бесконечного размаха, контуром которого является овал Ренкина _43 .
Набегающий поток характеризуется большими числами Рей-нольдса (Jre«:I0 -гЮ ), и ламинарный режим течения переходит в турбулентный вблизи передней критической области, поэтому течение в пограничном слое рассматривается полностью турбулентным.
В настоящее время все существующие методы, основанные на численном расчете характеристик турбулентного пограничного слоя по всей обтекаемой (неподвижной) поверхности, определяют точку отрыва как точку, в которой С.= 2 /(РVQ) Для случая движущейся стенки, как показывают результаты численных расчетов, по мере приближения к отрыву на движущейся поверхности возникает особенность, аналогичная той, которая проявляется при ламинарном отрыве. Эта особенность возникает в окрестности особой точки внутри пограничного слоя, в которой продольная составляющая скорости и касательное напряжение обращаются в нуль (1.2.2).
При турбулентном режиме течения для замыкания системы уравнений плоского пограничного слоя используются, как правило, модели и гипотезы турбулентности, различающиеся степенью сложности и характером принятых предположений [261 . Широкое распространение получило применение некоторых вариантов турбулентной вязкости и выражений для длины пути смешения (так называемые алгебраические модели турбулентности), учитывающих демпфирующее действие в пристеночной области молекулярной вязкости на турбулентные пульсации. Проверка этих моделей вихревой вязкости, в которых учтено взаимодействие эффектов молекулярной и молярной природы в пристеночной части слоя и гипотез турбулентности, осуществляется обычно путем сопоставления результатов расчета с эксперимен тальными данными.
Турбулентный пограничный слой, согласно двухслойной модели турбулентности, предполагается состоящим из внутренней и внешней областей. В пристеночной и внешней частях пограничного слоя используются различные модели вихревой вязкости, апробированные результатами расчетов и экспериментом работ [96,210 J . При этом для внутренней области коэффициент турбулентной вязкости находится по теории длины пути смешения
Классификация неавтомодельных решений, близких к автомодельным
Проведенные расчеты пограничного слоя при ламинарном и турбулентном режимах течения показывают, что и в случае турбулентного режима действие большого положительного локального градиента давления на диффузорном участке внешнего течения приводит к появлению минимума у продольной составляющей вектора скорости над движущейся стенкой. Особенность решения уравнений пограничного слоя для турбулентных течений возникала в окрестности точки одновременного обращения в нуль трения и продольной составляющей вектора скорости.
Сопоставление результатов численного расчета продольной составляющей вектора скорости для различных чисел Jve еде-лано на следящем графике. Три профиля скорости U $ на фиг. 53 построены при турбулентном режиме течения соответственно для Re= 4,98-106 ; 4,98-Ю7 ; 4,98-Ю8 при скорости стенки равной удвоенной скорости набегающего потока в сечении с продольной координатой &= 0,057 ( 11е= = 1,0019). Как видно из фиг. 53, с увеличением числа Рейнольд-са профили продольной составляющей вектора скорости становятся все более полными во внешней части пограничного слоя. Наблюдаемый локальный максимум профиля скорости, достигаемый внутри пограничного слоя, смещается с увеличением числа U к движущейся поверхности тела и для \е=4,98«10 имеется при \L= 0, т.е. на стенке.
Графики зависимости Cv (-) при турбулентном режиме течения (jje=4,98»I0 }для различных значений скорости стенки t(,w приведены на фиг. 54 (кривые 1-2 соответствуют ti = = 0; 2). Общий характер влияния параметра ttw такой же, как и в случае ламинарного пограничного слоя [ 43 1. Так видно, что любое движение стенки с постоянной скоростью вниз по потоку вызывает уменьшение величины коэффициента поверхностного трения и даже реализует отрицательную величину коэффициента С, для всех Ц 3,8. Значение этой характерной скорости движения стенки, служащей границей между кривыми поверхностного трения, лежащими выше или ниже нулевого распределения коэффициента С вдоль тела, зависит при турбулентном режиме течения от числа
Рейнольдса. Соответствующие значения скорости движения поверхности для Re= 4,98-I07; 4,98-Ю8 будут MW«2,I; 1,8. Так же как и в случае ламинарного режима течения жидкости для Kw= О (неподвижная стенка) в области миделя тела имеется локальный минимум трения. С увеличением координаты вблизи особой точки решения наблюдается локальный максимум коэффициента трения С . Для профиля с движущейся поверхностью в области близкой к лобовой части тела появляется второй локальньш максимум трения. Для сравнения на фиг. 54 показан штриховой линией I график зависимости С, ( ) = Ю-С,( ь ) при условной реализации обтекания тела с полностью ламинарным пограничным слоем при 1хв= 4,98-10 , когда поверхность, тела неподвижна Г 43 1. Видно, что турбулиза-ция течения приводит к увеличению локального коэффициента трения примерно на порядок. Координата особой точки решения в случае турбулентного течения ( fxQ 4,98 10") близка к 1,06, при обтекании с ламинарным режимом
Характер влияния числа Рейнольдса на распределение форм-параметра }-J = $ / Q вдоль поверхности тела ( %w= 0) следует из представленных кривых 3-5 фиг. 54, соответствующих Де = 4,98-106 ; 4,98-107 ; 4,98-Ю8 . - 100 Из рассмотрения кривых 3-5 и аналогичной зависимости rife) ПРИ ламинарном обтекании (кривая 4 на фиг. 29) следует вывод: турбулентность ведет к уменьшению величины форм-параметра до значения «1,4 при отходе от передней критической точки. За областью резкого падения величины форм-параметра следует относительно пологий участок изменения величины р вдоль тела, который сменяется подъемом вблизи особой точки. Для турбулентных режимов течений в пограничном слое на овале Ренкина с относительным удлинением 4, соответствующих числам Рейнольдсайг ЭФЮ, 4,98-Ю7; 4,98-I08 , отрыв наступает при [\ = 1,5294- 1,541. Видно, что ламинарный отрыв течения на овале Ренкина характеризуется значительно большей величиной форм-параметра М , чем турбулентный режим. Приведенные результаты расчетов показывают незначительное изменение форм-параметра с увеличением числа Рейнольдса ( . Здесь толщина вытеснения Q и толщина потери импульса Q вычислялись по формулам (2.1.3).
