Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обтекание цилиндра и сферы потоком весомой жидкости с границами раздела 29
Глава 2. Поступательное движение крылового профиля в многослойном потоке 69
Глава 3. Установившиеся колебания контура под поверхностью раздела сред в ограниченной снизу весомой жидкости 123
Глава 4. Обтекание подводного контура с учетом поверхностного натяжения на свободной границе 153
Литература 208
Приложение 232
- Обтекание цилиндра и сферы потоком весомой жидкости с границами раздела
- Поступательное движение крылового профиля в многослойном потоке
- Установившиеся колебания контура под поверхностью раздела сред в ограниченной снизу весомой жидкости
- Обтекание подводного контура с учетом поверхностного натяжения на свободной границе
Введение к работе
Диссертация посвящена решению задач теории подводного крыла с помощью развития аналитико-численных методов. В работе затронуты, как традиционная область волн малой амплитуды в рамках линейной и нелинейной теории, так и мало исследованная область больших скоростей движения в весомой жидкости, когда деформация свободной поверхности может быть весьма значительной. В каждой из них рассмотрены или новые задачи, или известные задачи, решенные в диссертации благодаря применяемым методам в более полном объеме или при более точном отражении модели течения.
Актуальность темы. Изучение движения тел в поле силы тяжести вблизи границ раздела сред относится к числу актуальных проблем современной гидроаэродинамики, что в значительной мере связано с созданием транспортных средств: судов на подводных крыльях, экранопланов, использующих крылья в качестве несущих элементов и средств управления движением.
Результаты, представленные в данной диссертации, группируются вокруг двух основных направлений исследования. Первое направление связано с рассмотрением установившихся течений весомой жидкости, в которой находится телесный контур произвольной формы, при наличии дополнительных факторов, усложняющих модель течения: поток с двумя границами раздела - свободной поверхностью, границей раздела жидкостей разной плотности и скорости течения, горизонтальной стенкой (дно или твердая крышка), в их различной комбинации с изучением поступательного и колебательного-установившихся движений; учет наряду с силой тяжести силы поверхностного натяжения на свободной границе. В настоящее время решение задач теории подводного крыла с учетом дополнительных факторов моделирования потока -быстроразвивающаяся область исследований.
Второе направление, связанное с исследованием нелинейных поверхностных волн при обтекании подводного контура, представляет одно из традиционных направлений теории подводного крыла, нацеленное на как можно более точное выполнение граничных условий на профиле и свободной поверхности. Здесь основное внимание уделено рассмотрению движения контура произвольной формы в различных диапазонах числа Фруда и анализу нелинейных эффектов, учет влияния которых при малой
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ) БИБЛИОТЕКА 1
глубине погружения и больших скоростях движения актуален для более точного расчета гидродинамических характеристик.
Теоретическое значение и научная новизна работы определяются следующим:
- решены, в том числе новые, задачи обтекания профиля произвольной
формы:
в двухслойной жидкости при наличии горизонтального дна;
под свободной поверхностью весомой жидкости конечной глубины;
в канале с твердыми стенками;
над и под границей раздела двух весомых жидкостей с верхним слоем, имеющим свободную поверхность;
в трехслойной жидкости ступенчатой стратификации,
а также задачи с одной границей раздела;
исследованы установившиеся колебания плоского контура в двухслойной ограниченной снизу жидкости и в открытом канале;
решена задача обтекания подводного контура с образованием капиллярно-гравитационных поверхностных волн;
разработан метод решения задач об установившихся движениях тела в многослойном потоке весомой жидкости;
изучены нелинейные эффекты на свободной поверхности при обтекании гидропрофиля;
исследовано движение подводного контура в весомой жидкости при больших числах Фруда и малых отстояниях до свободной поверхности на основе применения нового аналитико-численного метода.
Обоснованность и достоверность полученных результатов в рамках принятой модели идеальной несжимаемой жидкости обеспечиваются: применением строгих математических методов при построении аналитических решений, проведением внутренних проверок точности при численных расчетах, сравнением результатов вычислений с результатами других авторов и экспериментальными данными.
Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты способствуют лучшему пониманию влияния различных типов границ раздела сред, их взаимодействия, сил весомости и капиллярности, разных типов движения, нелинейных эффектов на суммарные и распределенные гидродинамические характеристики подводного крыла. Эти результаты были использованы при выполнении хоздоговорных работ с ЦНИИ им. А.Н. Крылова (Ленинград, 1988 *-1993 гг.) по проектированию подводных крыльев. Проведенные исследования получили финансовую поддержку
РФФИ (проекты 96-01-00111, 99-01-00169, 99-01-00173, 02-01-00836, 03-01-00015), программы "Университеты России" (2000 - 2001 гг.), фонда НИОКР АНТ (2000 - 2003 гг.).
Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения
докладывались: на научной конференции "Математические проблемы
аэрогидродинамики" (Москва, 1986), на II Республиканской конференции
"Механика машиностроения" (Набережные Челны, 1987), на семинаре
"Математические модели и их применение в судостроении" НТО им. акад.
А.Н. Крылова (Ленинград, 1988), на научно-технической конференции
"Крыловские чтения" (Ленинград 1985, 1988, 1993), на Всесоюзном
совещании по численным методам в задачах волновой гидродинамики
(Ростов-на-Дону, 1990), на VII Всесоюзном съезде по теоретической и
прикладной механике (Москва, 1991), на Всероссийской научной школе
"Модели механики сплошной среды" (Казань, 1993), на международной
научно-технической конференции "Актуальные проблемы
математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" (Казань, 1995), на Всероссийских (Всесоюзных) школах "Гидродинамика больших скоростей" (Красноярск, 1987; Чебоксары, 1989, 1992, 1996), на научно-технических конференциях Казанского филиала военного артиллерийского университета (Казань, 1996 - 1999), на Всероссийской конференции "Краевые задачи и их приложения" (Казань, 1999), на международной научной конференции "Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения" (Казань, 2000), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2000), на международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (Казань, 2001), на международной научной школе "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2001), на итоговых научных конференциях Казанского университета и семинарах НИИММ им. Н.Г. Чеботарева (1985 - 2003).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-21]. Ряд работ выполнен в соавторстве. При написании совместных работ автор диссертации принимал непосредственное участие во всех этапах их выполнения. Всем своим соавторам автор диссертации выражает искреннюю благодарность.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих тринадцать параграфов, списка цитированной литературы из 220 наименований и приложения. Диссертация изложена на
Обтекание цилиндра и сферы потоком весомой жидкости с границами раздела
Рассмотрим поток идеальной несжимаемой жидкости, ограниченный свободной поверхностью М, и состоящий из слоя толщины Н плотности р0 и бесконечно глубокого слоя плотности р2 с границей раздела Е2 . Жидкость находится под действием силы тяжести, ускорение которой равняется g . Пусть контур расположен в верхнем слое. В системе координат, связанной с контуром так, что ось оххх расположена на невозмущенном уровне свободной поверхности и направлена навстречу потоку, а ось охух направлена вверх и проходит через середину хорды профиля С , течение плоскопараллельное, установившееся.
Наряду с кинематическим условием должно выполняться условие динамического характера, которое состоит в том, что давление не испытывает разрыва при пересечении поверхности раздела жидкостей. Метод решения заключается в распределении двойных слоев особенностей (диполей) вещественной плотности по невозмущенным уровням свободной поверхности М, и линии раздела жидкостей Е2, к потенциалам которых добавляются такие регулярные вне цилиндра функции, что условие на цилиндре (1.14) выполняется точно. Как отмечалось во введении такой метод был впервые предложен в [108]. Здесь wfco0(z,) - комплексный потенциал возмущенного течения при обтекании цилиндра С безграничным потоком, m(fi) Н-г г) вещественные плотности непрерывно распределенных по линиям ух = О и ух=-Н диполей ( под i2(f2) подразумеваются ц2(ґ2- Я)). Оункции 0,(7,), 02(z,) построены с использованием теоремы Милн-Томсона об окружности [76] так, чтобы мнимая часть их суммы с V,(Z,)H V2(Z,) .
Полученные системы линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода (1.30), (1.37) для определения \Xi(xx)t \i2(x2) и (1.40), (1.41) для \iyl(x{), Цу2(х2) решались численно методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения для решения системы (1.30), (1.37) может быть выбрано решение уравнения (1.30) при ц2( )г 0. Такое уравнение соответствует задаче о бесциркуляционном движении кругового цилиндра под свободной поверхностью неограниченной снизу жидкости и исследовано в работе [108]. Если рассмотреть уравнение (1.37), то при щ( і)- 0 оно отвечает задаче о движении кругового цилиндра над границей раздела двух полубезграничных жидкостей с плотностями Ро и р2. Эта задача рассматривалась в [154].
Определив Р-\(Х\), \х2(х2) из уравнений, соответствующих задачам с одной границей раздела, подставим ц,, в уравнение (1.37), а \х2 в (1.30), что приводит к изменению свободных членов уравнений. Далее повторяем решение уравнения (1.30) относительно щ и (1.37) относительно ц2 ПРИ новых свободных частях. Продолжаем данный процесс до достижения заданного порядка точности для JI, и ц2. Таким же образом решается ъ система (1.40), (1.41).
По найденным значениям плотностей можем определить комплексный потенциал возмущенного течения и по формуле Чаплыгина [54] вычислить подъемную силу и волновое сопротивление цилиндра .
Разработанный алгоритм решения систем линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода (1.30), (1.37) и (1.40), (1.41), вычисления сил, действующих на цилиндр, и определения форм линий раздела сред (1.42), (1.44) был реализован с помощью программы, составленной на языке Фортран.
Полученные результаты для одной границы раздела сред совпадают с результатами работы [149]. Выделение интервала небольших чисел Фруда Fr 0.35 (рис. 1.3, 1.4) объясняется тем, что при заданных р2/ро HI а, как показали числовые расчеты, именно в этом интервале изменения числа Фруда на линии раздела двух жидкостей существуют волны с амплитудами значительно большими чем на свободной поверхности.
Поступательное движение крылового профиля в многослойном потоке
Лотфуллина [56]. Наряду с методом [56] применялся и усовершенствованный метод, принадлежащий также М.В. Лотфуллину, в котором в качестве нулевого приближения использовалось отображение внешности дужки, что позволило получить более точное отображение. В представленных расчетах оба метода дали очень близкие результаты. Рассмотрим задачу обтекания профиля потоком жидкости имеющей три слоя с плотностями pj р0 р2 . Расположение профиля показано на рис. 4.1. Система координат связывается с профилем так, что ось ох параллельна невозмущенным границам раздела жидкостей и направлена навстречу потоку, скорости которого на бесконечности равны - V,. Ось оу направлена вертикально вверх, а начало координат лежит на середине хорды профиля. Задача состоит в отыскании комплексных потенциалов в областях D , удовлетворяющих условиям (1.12), (1.13) для А; = 1,2, (1.14), (1.15), (1.17), (1.18) с учетом преобразования координат z = zx +ih.
Записывая комплексный потенциал WJ(Z)-VJWJ(Z) (j = О, і) суммой (1.19) для бесциркуляционного и циркуляционного течений, где функция Wj(z) удовлетворяет условиям (1.12)-(1.15) при к = \ и (1.17), (1.18), а также условию на дне канала (2.2), методом, изложенным в 4, задачу можно свести к решению двух систем линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода (4.6), (4.9) и (4.12), (4.13) относительно плотностей особенностей, распределенных по линии раздела и дну. При этом уравнения на линии раздела жидкостей (4.6) и (4.12) сохраняют свой вид, а в уравнениях (4.9), (4.13) нужно положить 2. )= [ 2( 2 2)+ 2( 2 2)] (5Л) % 3fe2 l)= 1 2 + 2,-0 -86 Y2fe2)=-2Re[w;oo(q2)]. Форма поверхности раздела жидкостей определяется по формуле (4.17), где плотности особенностей находятся с учетом (5.1). Из уравнений (4.6) и (4.12) при И 2 fe 2) - У2 fe2 ) - О получим решение задачи о движении профиля под границей раздела двух неограниченных жидкостей, то есть при /г, = оо. На рис. 5.2-5.9 приведены примеры числовых расчетов, выполненных на основе разработанного алгоритма решения систем линейных интегральных уравнений и вычисления гидродинамических характеристик. На рис. 5.2, 5.3 сплошными кривыми представлены графики зависимости коэффициентов волнового сопротивления сх (а = Г), подъемной силы су и момента ст относительно точки максимальной кривизны на носике профиля z А (в плоскости ; угол, определяющий положение точки zA, QA =0.0216рад.) от числа Фруда T = V0/ JgL для профиля NACA 66mod при длине хорды профиля L = 1 для углов атаки а = {о\1в} (кривые I, 2), VX=VQ, H/L = \, A/Z = 0.5, р,/р0=0.97. Штриховые линии отвечают случаю Л, = оо.
Как показывают расчеты, периодические волны на границе раздела жидкостей, когда нижний слой жидкости ограничен дном, при данных р,/р0 и НIL существуют при Fr 0.17. Пример расчета этих волн представлены на рис. 5.4, 5.5.
В данной задаче проводилось также исследование влияния разных скоростей потоков на гидродинамические характеристики (рис. 5.8, 5.9) при HIL = \, р,/р0=0.97, а = Г. Сплошные, штриховые и штрих-пунктирные кривые на рисунках соответствуют: VXIVQ =0.8, h/L = QA; V]/V0=\.2, h/L = 0A; Vx /V0 =1.2 , h /L = 0.6. На рис. 5.8 даны расчеты коэффициента подъемной силы c (Fr). Как можно видеть на графиках, наибольшее и наименьшее значения cy{Fr) достигаются при меньших значениях Vx /V0 и h/L. Пример расчета формы волн при Fr = 0.07 и разных V /VQH h/L представлен нарис. 5.9.
Рассмотрим задачу обтекания профиля под свободной поверхностью весомой жидкости при наличии горизонтального дна (рис. 5.10). В отличие от предыдущей задачи в данном случае на линии y h выполняется условие постоянства давления, то есть комплексный потенциал возмущенного течения удовлетворяет условию (1.11), которое приводит к интегральным уравнениям вида (4.6), (4.12) со следующими ядрами и свободными частями.
Как видно, качественный характер поведения коэффициента подъемной силы и момента профиля, обтекаемого в ограниченной и неограниченной снизу жидкостях совпадает, то есть эффект влияния свободной поверхности в целом ф сохраняется. При Fr-»0 влияние свободной поверхности аналогично влиянию твердой стенки. С возрастанием числа Фруда коэффициенты подъемной силы и момента увеличиваются и тем интенсивнее, чем ближе крыло к свободной поверхности. При дальнейшем возрастании числа Фруда коэффициент подъемной силы после достижения максимума уменьшается. Причем подъемная сила становится тем меньше, чем ближе профиль к свободной поверхности. Влияние дна сказывается в том, что при приближении к нему подъемная сила при положительных углах атаки а растет. Так при а = 2 для /г,/1 = 0.25 (рис. 5.12) вся сплошная кривая расположена выше штриховой, в то время как при A, IL = 0.55 (рис. 5.11) выше расположена штриховая кривая. На рис. 5.15, 5.17 представлены расчеты формы свободной поверхности: на рис. 5.15 при Fr = 0.5, h/L = QA5, H/L = l, а = 3;на рис. 5.17 - A/I = 0.45, H/L = \, а = 2 при Fr = {0.4,0.5, 0.6,0.7}. Как щ видно из рис. 5.15 при одном и том же числе Фруда для ограниченной снизу жидкости имеют место более длинные волны, чем для неограниченной снизу жидкости.
Установившиеся колебания контура под поверхностью раздела сред в ограниченной снизу весомой жидкости
Рассмотрим плоскую задачу о волновых движениях, возникающих в весомой жидкости при колебаниях тела под свободной поверхностью жидкости при наличии горизонтального дна. Направим ось х по горизонтали, а ось у вертикально вверх. Предполагаем, что жидкость идеальная, несжимаемая и однородная; плотность ее обозначим через р. Считаем глубину жидкости конечной величины Н и полагаем, что в состоянии равновесия жидкости свободная граница ее совпадает с осью х.
Допустим теперь, что внутри жидкости находится тело С, которое колеблется периодически. Это тело может не быть твердым, лишь бы период деформации тела совпадал с периодом его колебаний. Будем считать, что образующееся в силу этих колебаний тела движение будет безвихревым. На свободной поверхности жидкости образуются волны.
Предположим, что эти волны будут расходится в обе стороны от тела, то есть что нет волн, набегающих на тело с одной или с другой стороны оси х. Естественно также потребовать, чтобы скорость жидкости на бесконечности оставалась ограниченной.
Переходя к граничному условию на контуре С, отметим, что в силу линейности задачи достаточно рассмотреть лишь гармонические колебания контура, поскольку любое периодическое движение представимо в виде суммы гармонических движений. Следовательно фДх, ) и Ф2 іх у) являются однозначными функциями в области течения D. Тогда wk(z) при обходе контура С может меняться лишь на мнимую циклическую постоянную iAk.
Считаем, что вещественные функции Ц (т), (xi) таковы, что интегралы vk{z), vk(z) сходятся. Функции Fl(zix)y F2(z,xl) строятся на основании теоремы Милн-Томсона об окружности так, чтобы Im [vk(z)+vk(z)+Ok(z) + k(z)]=constt zeC. То есть wk в виде (7.16) будет удовлетворять условию (7.9).
Проведем преобразование координат z = zx -Ш. Подставим wk в форме (7.16) в условие в (7.12). После применения приема регуляризации аналогичного (7.17) - (7.19) с учетом предельного перехода для vk [zx) при zx -+ хх +І-0 на основании формулы Сохоцкого и выделения действительной части равенства.
Примеры различного типа колебаний круглого цилиндра и пластинки представлены на рис. 7.2 - 7.9. На рис. 7.2 изображены расчеты вертикальной силы ср. Y = 7фГ0(Зсо)2 при вертикальных колебаниях круглого цилиндра по закону у0 =-/i + {3 sin of в зависимости от безразмерной частоты колебаний со = со — при h=h/r0={2, 3} (кривые /, 2), # = оо. Здесь х0, у0 -\8 результаты, полученные по гипотезе Кочина, которые совпадают с расчетами, сделанными по формулам работы [50]. В случае вертикальных — 2R колебаний нетрудно найти [50], что wIo0(z) = —, w2oo(z)=0, а z + ih функции F,, F2 определяются формулами (1.19). Хср при вертикальных колебаниях круга равно нулю.
По результатам расчетов можно отметить, что если при h = 3 применение гипотезы Кочина позволяет получить удовлетворительные результаты, то при h = 2 ее применение дает слишком большую погрешность и гипотеза может использоваться лишь для выяснения качественного поведения гидродинамических характеристик. Примеры расчета вида свободной поверхности при вертикальных (рис. 7.3), горизонтальных (рис. 7.4) по закону / ч _ / ч асог02 x0=acosf, wleo(z) = 0, w2oo(z) = z + ih и смешанных (рис. 7.5) колебаний, представляющих совокупность двух первых, представлены при ю = 1.4, h = 2, НI г0 = 4, / = a / = — (j -1), 7 = 1, 4. Возвышение свободной поверхности на рис. 7.3 - 7.5 отнесено к малому параметру, который равен соответственно Р или а. В случае смешанных колебаний Р = а. Можно отметить, что, в отличие от чисто горизонтальных и чисто вертикальных колебаний, когда форма свободной поверхности обладает симметрией, при смешанных колебаниях вид волн слева и справа от оси у различен, причем при определенных параметрах, как видно на рис. 7.5, волны могут образовываться только с одной стороны от тела.
Вертикальные колебания подводного кругового цилиндра. Зависимость вертикальной силы от безразмерной частоты колебаний при Л={2,3} (кривые /, 2), Я=оо. Штриховые линии отвечают гипотезе Кочина. - конформное отображение внешней по отношению к пластинке области комплексного переменного z на внешность единичного круга ; 1 вспомогательного переменного q. Функции Fl5 F2 в данном случае определяются формулами (4.3) с учетом отображения (7.29).
При исследовании пульсирующего контура под свободной поверхностью весомой ограниченной снизу жидкости постановка задачи и ее граничные условия аналогичны рассмотренным в п. 7.1. Однако в данном случае при пульсирующих колебаниях изменяется площадь контура и Уіс{х у) будут получать приращение при обходе контура, то есть Ак определенные формулой (7.15) отличны от нуля.
Обтекание подводного контура с учетом поверхностного натяжения на свободной границе
Волновое сопротивление и подъемную силу кругового цилиндра можно определить по формуле Чаплыгина (1.46) при Г = 0. Результаты некоторых числовых расчетов представлены на рис. 10.2 - 10.7. На рисунках представлены расчеты коэффициента подъемной силы и волнового сопротивления в зависимости от числа Фруда. Сплошные кривые 7, 2 на рис. 10.2, 10.3 соответствуют обтеканию цилиндра с числами Вебера Weg={l.855;0.824} при h / а = 3, что отвечает, к примеру, обтеканию цилиндров с радиусами а = 0.002 и а = 0.003 при коэффициенте поверхностного натяжения а = 0.0728 для границы вода-воздух при температуре Т = 20 С. Штриховые кривые соответствуют учету только силы весомости при той же относительной глубине погружения. Значит, влияние силы поверхностного натяжения может быть значительным, однако для границы вода-воздух это имеет место только для тела небольших размеров, так как максимальное значение длины капиллярно-гравитационных волн X =0.0173 [54].
Данные результаты можно трактовать как обтекание цилиндров радиусов а = 0.002 и а = 0.003, расположенных на одной глубине погружения А = 0.0096 при а = 0.0728. Можно отметить, что влияние капиллярности для цилиндра большего радиуса начинается при меньших значениях числа Фруда и кривые су(т) имеют разные асимптоты при h/a = 4 для цилиндров с а = 0.003 при а = 0.0712 (Weg =0.806 ) и а = 0.0757 (We =0.857). Данные значения коэффициента поверхностного натяжения соответствуют разным значениям температуры воды Т = 30С и Т = 0С (сплошные и штриховые кривые). Уточненные значения коэффициента поверхностного натяжения, полученные из эксперимента, заимствованы из работы [4]. Увеличение температуры воды приводит к уменьшению критического значения числа Фруда. Как можно видеть на графиках, с увеличением числа Фруда влияние температуры на гидродинамические характеристики ослабевает.
Выше нами рассмотрено бесциркуляционное обтекание. В общем случае комплексный потенциал течения можно представить в виде суммы потенциалов бесциркуляционного и чисто циркуляционного течения:1(z) = W (z) + Wy(z), где W (z) имеет вид (10.6). Потенциал чисто циркуляционного течения Wy (z) наряду с удовлетворением условию на свободной поверхности (10.5) и на бесконечности должен еще удовлетворять условиям. Таким образом для циркуляционного течения уравнение (10.11) необходимо численно решать дважды - относительно \х и ц,у. Результаты числовых расчетов для циркуляционного обтекания представлены на рис. 11.1 - 11.3. На рис. 11.1, 11.2 даны графики расчета коэффициента волнового сопротивления сх и подъемной силы су кругового цилиндра в зависимости от числа Фруда при Weg = 0.824 , hi а = 4. Кривые 1-4 соответствуют обтеканию цилиндра с циркуляцией у = Г l{Ua) - {і; 0.5; - 2; - 2.5} соответственно. Как можно видеть на рис. 11.1, если для положительных у значение сх уменьшается с увеличением числа Фруда, то для отрицательных у значение сх вначале уменьшается, а затем растет, то есть кривые 3, 4 имеют минимум. Коэффициент подъемной силы су (рис. 11.2) имеет знак аналогичный знаку циркуляции.
С увеличением Fr при Fr 1,5 су практически не меняется. Выбор интервала изменения числа Фруда при расчетах, связан с одной стороны с применением теории волн малой амплитуды, а с другой - тем что смешанные волны существуют при Fr Fr . Качественное продолжение графиков, представленных на рис. 11.1, при больших числах Фруда можно увидеть на рис. 13.2. главы 5. В 13 рассмотрено воздействие только силы тяжести, но для значительных Fr влияние поверхностного натяжения несущественно [89]. Можно отметить качественное согласование результатов, представленных на рис. 11.1 и рис. 13.2. На рис. 11.3 представлены примеры расчета формы свободной поверхности. Варианты а, б, в, г отвечают у = {l;-1;-3;-5} при Fr = 1.7, h/ а = 6 , Weg = 1.855. Отметим, что с уменьшением циркуляции, амплитуда гравитационно-капиллярные волн, образующихся вниз по потоку, вначале уменьшается, а затем растет. В точке минимума сх кривых 3, 4 рис. 11.1 гравитационно-капиллярные волны вообще отсутствуют. Но минимум не нулевой, так как в потоке присутствуют капиллярно-гравитационные волны. Амплитуда капиллярно-гравитационных волн, образующихся вверх по потоку, как показывают расчеты, с уменьшением циркуляции вначале уменьшается до нуля, а затем также растет, но это нулевое значение амплитуды достигается при больших отрицательных значениях у, чем для гравитационно-капиллярных волн.
