Содержание к диссертации
Введение
Глава II. Однофазные системы 41
1. Однородное вибрационное воздействие 41
1.1. Получение уравнений 42
1.2. Получение граничных условий 44
1.3. Анализ полученной системы уравнений и граничных условий 48
1.4. Выбор начала отсчета для потенциала пульсационного поля скорости 53
1.5. Плоский бесконечный горизонтальный слой 55
1.6. Квадратная полость 56
1.7. Приближение малых чисел Маха 62
1.8. Приближение малых чисел Маха для задач о конвекции в околокритической жидкости 64
1.9. Теплоперенос на диссипативных временных масштабах 65
2. Вибрации общего вида 68
2.1. Вывод уравнений движения 68
2.2. Получение граничных условий 71
2.3. Примеры граничных условий 75
2.4. Анализ полученных уравнений 80
2.5. "Изотермическое" течение 84
2.6. Критерий конвективной устойчивости плоского горизонтального слоя жидкости 86
2.7. Случай неидеально теплопроводящих стенок 88
3. Изотермическая замкнутая полость в невесомости 90
3.1. Постановка задачи 90
3.2. Плоский слой 92
3.3. Цилиндрическая полость квадратного сечения 94
3.4. Цилиндрическая полость круглого сечения 101
3.5. Классификация построенных математических моделей 106
Глава III. Двухфазные системы 108
1. Равновесный зародыш 108
1.1. Теория Лапласа. Бесконечный объем 108
1.2. Теория Лапласа. Замкнутая полость 110
1.3. Градиентная теория 112
1.4. Зародыш новой фазы в замкнутой полости. Градиентный подход. Аналитические результаты 113
1.5. Зародыш новой фазы в замкнутой полости. Градиентный подход. Численное решение 117
1.6. Сопоставление результатов с теорией Максвелла 121
2. Динамическая теория. Средние эффекты вибрационного воздействия 123
2.1. Основные уравнения. Неоднородное вибрационное воздействие 123
2.2. Однородные вибрации. Плоский слой 130
2.3. Цилиндрическая полость 131
Заключение 133
Список литературы 140
- Плоский бесконечный горизонтальный слой
- Критерий конвективной устойчивости плоского горизонтального слоя жидкости
- Цилиндрическая полость круглого сечения
- Зародыш новой фазы в замкнутой полости. Градиентный подход. Аналитические результаты
Введение к работе
Цель работы - исследовать средние эффекты, вызываемые высокочастотным вибрационным воздействием, и их влияние на состояние и поведение околокритической жидкости.
Описание влияния вибрационного воздействия на поведение жидкости производится в рамках осредненного подхода. Если частота вибраций со намного больше характерных обратных гидродинамических и тепловых времен {со»v/l},х/і}), то в жидкости могут быть индуцированы как "быстрые" движения с характерным временем порядка \/со, так и "медленные", характерные времена которых порядка L2/v,L2/%. Причем в большинстве практик ческих ситуаций необходимо знать структуру средних течений, поскольку часто только они проявляются в экспериментах и важны, например, при моделировании технологических процессов. Осредненный подход позволяет разделить систему уравнений Навье-Стокса на две системы для отдельного описания пульсационных и средних гидродинамических полей.
Исследования термовибрационной конвекции начались с работы СМ. Зеньковской и И.Б. Симоненко [2] (1966 г.), где методом осреднения получены уравнения, описывающие средние конвективные течения в приближении Буссинеска. В этой работе рассматривался плоский слой жидкости, подогреваемый снизу, совершающий вертикальные вибрации. В выведенных уравнениях впервые появляется вибрационный аналог числа Рэлея Rav.
Строгое математическое обоснование метода осреднения было дано в [3], где доказывается, что при со —»оо решения исходной и осредненной систем совпадают.
М.П. Заварыкин, СВ. Зорин, Г.Ф. Путин впервые экспериментально подтвердили наличие, наряду с термогравитационным, специфического термовибрационного механизма тепловой конвекции [4]. В лабораторных условиях было показано, что переменные инерционные ускорения способны индуцировать конвективный тепло- и массообмен в невесомости, где обычная термогравитационная конвекция невозможна. Вертикальный слой, подогреваемый сбоку, совершал продольные горизонтальные вибрации. В эксперименте удалось разделить термогравитационный и термовибрационные механизмы: было получено вибрационное течение, предсказываемое в работе [5] для условий невесомости.
В некоторых работах [5,6,7,8] рассчитаны структуры конкретных течений на основе полных нестационарных уравнений гидродинамики и на основе осредненного подхода. При высокочастотных вибрациях с малой амплитудой (когда справедливы осредненные уравнения) оба подхода дают полностью согласующиеся результаты.
В работах 1980-1995 гг., рассматривались частные задачи о структуре конвективных течений в неоднородно нагретой жидкости в замкнутых полостях с твердыми стенками, совершающих поступательные вибрации в уст ловиях невесомости и при различных осложняющих обстоятельствах. Обзор исследований в этом направлении приведен в статьях [9,10], а также в книге [1].
Кроме генерации средних течений, вибрации могут привести и к некоторым другим средним эффектам. Укажем на экспериментальную работу [11], в которой описывается образование волнового рельефа на поверхности раздела системы двух несмешивающихся жидкостей в вибрационном поле. Д.В. Любимов и А.А. Черепанов в [12] теоретически подтвердили возникновение стационарного волнового рельефа на поверхности раздела двух жидкостей с соизмеримыми, но различными плотностями.
Интересный пример среднего эффекта вибрационного воздействия описал В.Н. Челомей [13], поставивший ряд экспериментов по наблюдению за поведением твердых тел, находящихся в вибрирующей жидкости. В опытах наблюдалось всплывание тел более плотных по сравнению с жидкостью, и наоборот, тела более легкие, чем окружающая среда, при определенных условиях тонули. Д.В. Любимов, Т.П. Любимова, А.А. Черепанов в [14] теоретически проанализировали необычное влияние вибраций на условия плаву 8
чести тел. Методом многих масштабов (в приближении высоких частот и малых амплитуд колебаний сосуда) произведено осреднение исходных уравнений. Показано, что наряду с силой тяжести и архимедовой силой в осредненных уравнениях появляется специфическая вибрационная сила, действующая на погруженное в жидкость тело.
Используя процедуру осреднения, В.Г. Козлов [15] получил уравнения вибрационной конвекции для полости, совершающей высокочастотные вращательные (маятниковые) качания. Оказалось, что наряду с обычными безразмерными числами подобия Прандтля и Рэлея в систему уравнений входят два дополнительных параметра: Rav - вибрационное число Рэлея и RaK -вибрационный параметр Кориолиса. Безразмерные параметры Ra, Rav, RaK описывают три массовые силы, способные вызвать осредненное конвективное движение: силу Архимеда, подъемную силу, возникающую в результате нелинейного взаимодействия пульсационной составляющей скорости и температуры, и силу Кориолиса.
В 1995 г. Д.В. Любимовым [16] было показано в общем случае, что поведение неоднородно нагретых жидкостей различно в случаях однородных и неоднородных вибрационных воздействий. При однородных вибрациях (наиболее распространенным примером являются поступательные движения сосуда с твердыми стенками, полностью заполненного жидкостью), при отсутствии внешнего градиента температуры пульсационное поле однородно -жидкость движется как твердое тело вместе с сосудом и действие вибраций сводится лишь к перенормировке давления. При вибрациях общего вида пульсационное поле скорости неоднородно, и среднее течение может генерироваться даже в однородной жидкости. Показано, что в случае вибраций общего вида приближение Буссинеска неприменимо и получены уравнения термовибрационной конвекции, учитывающие неоднородность плотности не только в массовой силе, но и в инерционных слагаемых. Термовибрационная сила оказывается пропорциональна параметру Буссинеска, а не квадрату этого параметра, как при однородных вибрациях.
Кроме того, при вибрациях общего вида, в отличие от случая однородных вибраций, становятся существенными эффекты генерации осредненной завихренности в вязких скинслоях вблизи твердых границ области, свободных границ и поверхностей раздела [17]. Это явление было замечено и описано при исследовании колеблющихся пластин еще Фарадеєм. После этого были проведены исследования вихревых движений, возникающих вблизи колеблющихся цилиндров и сфер, в трубке Кундта, в окрестностях отверстия, через которое проходит звуковой луч, вблизи колеблющихся мембран и пульсирующих пузырьков, а также в пространстве между плоской твердой границей и концом колеблющегося стержня [18]. Характерным для всех этих случаев является то, что вибрации вызывают тангенциальные движения вдоль границ раздела; вследствие этого возникают пограничные слои, которые необходимо учитывать при исследовании. Эти тангенциальные движения вызывают постоянные вязкие напряжения на границах, где появилась циркуляция. Первый теоретический анализ явления, так называемых акустических течений, дал Рэлей [19]. Вблизи же свободной границы перенос массы, связанный с океанскими волнами, впервые исследовал Лонге-Хиггинс [20]. В работе [16] сформулированы эффективные граничные условия для термовибрационных течений, учитывающие эти эффекты.
Теоретический подход, развитый в работе [16], применен к решению ряда конкретных задач термовибрационной конвекции при неоднородных вибрациях. Этот подход был использован для исследования вибрационной конвекции в средах с особыми свойствами: взвесях, неньютоновских жидкостях и др. [21].
Представляемая диссертация продолжает эти исследования воздействия вибраций, рассматривая еще один пример среды с особыми свойствами -вещество в условиях, близких к термодинамической критической точке. Интерес к изучению критического состояния вырос в последнее десятилетие благодаря возможности ставить космические эксперименты. Вследствие этого появились новые экспериментальные открытия, в которых ярко проявились специфические свойства критического состояния вещества.
Так, важнейшей особенностью этого состояния является аномально высокая сжимаемость. Первые исследования гравитационных конвективных течений были выполнены Е.А. Spiegel и G. Veronis [22], В.И. Полежаевым [23], М.Ш. Гитерманом и В.А. Штейнбергом [24].
Теоретические исследования вибрационной конвекции в сжимаемой среде начаты работой Д.В. Любимова [25] по термоакустической конвекции и работами В.В. Пухначева [26] по исследованию "микроконвекции" (конвективные движения, возникающие под действием микроускорений или в микромасштабах, таких, что параметр gL?/v% \) в "изотермически несжимаемой жидкости" (плотность жидкости зависит только от ее температуры).
Целью работы [25] была разработка теоретического подхода для описания тепловой вибрационной конвекции сжимаемой среды вдали от критической точки и исследование влияния сжимаемости на поведение неоднородно нагретой среды в вибрационном поле. В работе получены уравнения термовибрационной конвекции в случаях слабой и сильной сжимаемости. Параметр, характеризующий сжимаемость представляет собой квадрат отношения длины звуковой волны и размера задачи. Под слабой сжимаемостью понимается случай, когда введенный параметр мал, сильной - когда длина звуковой волны и размер сосуда величины одного порядка. Важным результатом работы является факт, что сжимаемость несущественна только когда введенный параметр намного меньше параметра Буссинеска; в случае если эти два параметра малы, но одного порядка - учет сжимаемости уже приводит к новым эффектам. В работе сформулированы эффективные граничные условия для случая неоднородных вибраций, учитывающие сжимаемость. Показано, что для среды, находящейся вдали от критической точки, при высоких частотах вибраций важен учет сжимаемости в уравнениях для пульсаций, в то время как вклад сжимаемости в уравнения для средних пренебрежимо мал. Обнаружено дестабилизирующее влияние сжимаемости, приводящее к неустойчивости даже в условиях невесомости.
В.В. Пухначевым получены поправки к классическим уравнениям Бус-синеска [27], которые должны приниматься во внимание при пониженной гравитации.
В диссертации при использовании подхода [25] произведен учет всех прочих особенностей термодинамических параметров и коэффициентов переноса вещества в околокритической области: аномально большой теплоемкости, теплопроводности и т.д., наличие которых приводит к замечательным особенностям тепло- и массопереноса.
Так, по мере приближения к критической точке, температуропроводность вещества х стремится к нулю. Следуя стандартной оценке характерного времени релаксации температурных возмущений: td = L2/%, надо ожидать, что установление теплового равновесия за счет процесса теплопроводности будет происходить за весьма длительные промежутки времени, которые обращаются в бесконечность в самой критической точке. Ограничения на бесконечные значения времен релаксации можно получить, учтя гидростатический эффект. Однако, даже при учете этого эффекта, время установления равновесного распределения температуры в полости все равно получается значительным (для слоя толщиной L = 1 см и при относительном отклонении температуры от критического значения АГ/ТС КГ5 оно получается равным 45 часам [28]).
Такие значения времен релаксации противоречат экспериментальным данным, что объяснялось наличием конвективных течений, которые должны возникать во всех экспериментах, проводимых в земных условиях. Действительно, одним из критериев возникновения конвективной неустойчивости служит превышение числом Грассгофа Gr = g/3QL?/v2 (или числом Рэлея Ra = gfi©]}/v%) порогового значения [27]. Так как вблизи критической точки коэффициент теплового расширения J3 обращается в бесконечность, следует ожидать, что любой, даже самый малый, градиент температуры способен привести к возникновению конвекции. Подобные рассуждения приведены, в частности, в работах [29,30,31,32,33]. Так, в работе [29] даны следующие оценки характерных значений чисел Рэлея для проводимого
эксперимента: при АТ/ТС Ю \ Ra-5-W5; и при ДГ/ -КГ4, Ra-4-Ю7 (Не3 и L = 0.36 см). Для сравнения, критическое число Рэлея, определяющее начало возникновения конвективного движения в плоском бесконечном горизонтальном слое жидкости, при подогреве снизу и идеально теплопроводящих границах, равно 1708 [27]. На основе этого сравнения, авторы заключают, что при настолько больших числах Рэлея в изучаемом слое должно существовать развитое турбулентное конвективное течение.
В принципе, описанный критерий возникновения конвективной неустойчивости получен при рассмотрении несжимаемой жидкости, и некорректно использовать его для анализа устойчивости околокритических сред, сжимаемость которых аномально высокая. Но факт существования развитых конвективных течений в подобных жидкостях в присутствии поля тяжести был подтвержден прямыми экспериментальными наблюдениями.
Впервые критерий возникновения конвективной неустойчивости в околокритической жидкости для классической проблемы Рэлея-Бенара (плоский горизонтальный слой жидкости в поле тяжести, подогреваемый снизу) с учетом аномально высокой сжимаемости был получен М.Ш. Гитерманом и В.А. Штейнбергом [34]. Их подход к рассматриваемой проблеме основывался на получении уравнений конвекции в сжимаемой, вязкой и теплопроводной среде [24], а затем распространении этих уравнений на околокритическую область параметров.
В вязкой жидкости, для того чтобы более низкий, и при этом более легкий объем жидкости, поднялся вверх, необходимо также, чтобы выигрыш потенциальной энергии при таком перемещении превосходил работу, затрачиваемую на преодоление сил трения. Критерий возникновения конвективного движения, описывающий взаимодействие между подъемными и вязкими силами, называется критерием Рэлея [27]. Классически такой критерий изучается применительно к жидкости Буссинеска (учитываются изменения плотности, обусловленные только тепловым расширением). Получаемый при этом порог возникновения конвективного движения характеризуется превышением числа Рэлея Ra (или числа Грассгофа Gr) некоторого критического значения, различного для каждой конкретной геометрической конфигурации. Критерий конвективной стационарной неустойчивости, полученный М.Ш. Гитерманом и В.А. Штейнбергом, представляет собой сумму критериев Рэлея и Шварцшильда с различными добавками в разных областях термодинамических параметров. Позднее результаты их работы были подтверждены численным моделированием, выполненным I. Raspo и др. [35].
М.Ш. Гитерман и В.А. Штейнберг [24] также впервые показали, что процесс установления равновесного распределения температуры при подогреве снизу всегда сопровождается конвективным движением.
Основываясь на результатах работ М.Ш. Гитермана и В.А. Штейнберга, следовало бы, однако, заключить, что в отсутствии поля тяжести время установления теплового равновесия все же должно обращаться в бесконечность. Эксперименты [30,31], проведенные в условиях невесомости, не подтвердили этого. Наоборот, анализ экспериментов позволяет утверждать, что время, необходимое для достижения теплового равновесия, тем меньше, чем ближе термодинамические условия к критическим.
Для объяснения несоответствия теоретических предсказаний и экспериментальных данных был проведен анализ некоторых ранее не учитывавшихся сил, способных приводить к возникновению конвективных течений. Данные силы незаметны в большинстве экспериментов, проводимых в земных условиях, поскольку незначительны по сравнению с подъемными силами, обусловленными полем тяжести. Однако в условиях микрогравитации подобные силы могут стать определяющими для возникновения конвекции. Хорошо известным примером такого вида конвективного движения служит конвекция Марангони, определяемая зависимостью поверхностного натяжения жидкости от некоторых параметров системы (например, температуры, концентрации и т.д.) [36]. Менее известно, однако, о существовании течений в газовых средах, генерируемых локальным нагревом. Данный эффект называется термоакустическим или термомеханическим взаимодействием и обусловлен сжимаемостью газов, позволяющей им расширяться при нестационарном нагреве, генерируя несоленоидальное поле скорости. Так, D.R. Kassoy и A.M. Rahdwan [37], в частности, изучали подобные течения, генерируемые тепловым импульсом на границе полости. Они показали, используя метод сращиваемых асимптотических разложений, что вблизи нагреваемой границы создается температурный скин-слой, который, расширясь, действует на основной объем жидкости подобно поршню. Более того, ими было показано, что если нагрев достаточно сильный и происходит очень быстро, то возможно образование ударных волн, распространяющихся в основной объем жидкости.
В результате подобных исследований [38] значительное уменьшение характерных временных масштабов, необходимых для достижения теплового равновесия, даже в отсутствие поля тяжести, было объяснено в 1990 году независимо тремя исследовательскими группами (Zappoli и др. [39]; Onuki, Нао & Ferrell [40]; Boukari и др. [41]) существованием нового механизма теплопе-реноса - "поршневого эффекта". Этот эффект дополняет ряд уже известных механизмов тепломассопереноса: конвекции, диффузии и излучения.
В соответствии со статьей [42] механизм теплопереноса, называемый поршневым эффектом (в некоторых работах этот механизм называют термоакустической конвекцией), может быть представлен в виде последовательного действия следующих процессов:
1. Пусть первоначально околокритическая жидкость находится в состоянии равновесия. В этот момент на одной из стенок сосуда мгновенно вводится некоторое количество тепла, которое диффузионным образом распространяется в пределах тонкого теплопроводного пограничного слоя.
2. Благодаря высокой сжимаемости нагретый пограничный слой резко расширяется и адиабатически сжимает остальную часть жидкости. Это адиабатическое сжатие приведет к однородному прогреву всего слоя: тепловая энергия будет распространяться в основной объем жидкости быстрее, чем при чисто диффузионном процессе.
Показано, что данный эффект работает тем эффективнее, чем ближе термодинамические параметры жидкости к критическим значениям. То есть, чем ближе к критической точке, тем меньше время установления теплового равновесия. Характерное время поршневого эффекта определяется следующей величиной [42] тРЕ L2/y2%, где у = cp/cv - отношение изобарической ср и изохорической cv теплоємкостей.
Важно отметить, что описанный механизм переноса тепла наблюдается только в околокритических средах, поскольку только в них, за счет аномально высокой сжимаемости, при нагреве теплопроводного пограничного слоя происходит его резкое расширение, в результате чего основной объем жидкости сжимается адиабатическим образом. Математически этот факт выражается в том, что на внешней границе пограничного слоя возникает нормальная компонента скорости, генерирующая звуковую волну. При отражении от противоположной стенки образуется набор звуковых волн, распространяющихся в основном слое жидкости и разогревающих его.
В работе [35] также проанализирована устойчивость образующегося теплопроводного скин-слоя в поле тяжести при подогреве снизу и продемонстрировано, что развитие конвективного течения довольно скоро приводит к образованию термиков на поверхности слоя. Для объяснения данной неустойчивости необходимо учесть аномально большие флуктуации в околокритических средах: длина корреляции, по-видимому, становится порядка толщины пограничного слоя.
В течение нескольких последующих лет были исследованы различные особенности этого эффекта как в экспериментах, проводимых в условиях невесомости [43,44,45,46], так и теоретически [42,45,47,48]. До сих пор остается неизученным вопрос о взаимодействии поршневого эффекта с уже известными механизмами теплопереноса. Например, если установление теплового равновесия происходит полностью благодаря поршневому эффекту (его характерные времена значительно меньше диффузионных и конвективных временных масштабов), почему тогда в присутствии поля тяжести наблюдаются значительные конвективные течения: поршневой эффект отсутствует в поле тяжести, он оставляет градиенты температуры или плотности, достаточные для возникновения конвективной неустойчивости или что-нибудь еще? Для выяснения роли такого рода взаимодействий недавно проведен ряд экспериментальных исследований в земных условиях [49], и выполнен ряд работ по численному моделированию процессов в околокритических средах [35,50,51,52], учитывающих влияние тяжести. Проведены некоторые экспериментальные исследования, направленные на изучение поведения околокритических жидкостей, подверженных другим классическим гидродинамическим неустойчивостям (Марангони, Фарадея) [52].
В работах [43,52] дается также описание нового, характерного только для околокритических жидкостей, типа неустойчивости (струйная неустойчивость), возникающей в случае узкой локализации источника тепла (или в случае несовершенства термистора [49]). Эта неустойчивость проявляется в образовании струи на внешней поверхности температурного скин-слоя, распространяющейся в основной объем жидкости.
Одной из целей диссертации является рассмотрение влияния поля тяжести (тепловая конвекция) и вибрационных воздействий (вибрационная конвекция) на тепло- и массоперенос в околокритических жидкостях, в частности, получение уравнений и граничных условий, описывающих средние течения, генерируемые вибрациями в однофазной и двухфазной околокритической среде, рассмотрение взаимодействия вибрационных течений с классическими механизмами тепломассопереноса (конвекцией, диффузией).
Число необычных свойств в поведении жидкости значительно увеличивается при рассмотрении гидродинамики околокритических сред ниже критической температуры. В этом случае сохраняются все аномальные особенности в поведении термодинамических и транспортных коэффициентов, например, все особенности теплопереноса, характерные для однофазных околокритических сред [44,53,54,55]. Однако ситуация еще более осложняется возможностью фазового перехода: возможностью образования второй фазы, наличием двухфазных течений.
Исследования по гидродинамике многофазных систем имеют более чем вековую историю, начиная со знаменитой работы Дж. Гиббса "О равновесии гетерогенных веществ" [56]. В настоящее время можно выделить три основных подхода, используемых для описания поведения двухфазной среды: классический подход Лапласа, когда вводится граница раздела фаз [27,57], градиентный подход, когда не предполагается наличие строгой поверхности раздела [58], и статистический подход молекулярной динамики [59]. Теория Лапласа достаточно хорошо обоснована при описании жидкостей вдали от критической точки, поскольку тогда граница раздела фаз дейт ствительно очень тонкая (несколько молекулярных слоев) и ее структура не может быть рассмотрена в рамках гидродинамической теории. Однако вблизи критической точки нет принципиального различия между жидкостью и паром, профиль плотности гладкий и невозмолшо строго определить границу раздела фаз (межфазная граница имеет конечную толщину). Вблизи критической точки градиентный подход оказывается более обоснованным, по сравнению с классическим описанием, использующим представление о поверхности разрыва, наделенной собственными свойствами. Результаты статистических численных расчетов соответствуют результатам градиентного подхода [60].
В диссертационной работе используется градиентный подход, развитый в работах Ван-дер-Ваальса [61], D.J. Korteweg [62], J.W. Cahn и J.E. Hilliard [63]. Применительно к околокритическим средам, этот подход используется в [64].
В рамках данного подхода поверхность раздела пар-жидкость моделируется сплошной средой, вдоль которой физические свойства изменяются хотя и резко, но непрерывным образом. Описание не использующим представление о поверхности разрыва становится возможным при введении в свободную энергию жидкости дополнительного слагаемого, пропорционального квадрату градиента плотности. Подобное описание оказывается очень удобным, поскольку теперь одна система дифференциальных уравнений достаточна для определения течений во всей двухфазной среде; фазовые переходы, форма и эволюция поверхности раздела фаз являются решениями этой системы [65].
Градиентная теория позволяет ввести в рассмотрение "эффективный зародыш Лапласа" [66]. В рамках этой концепции можно определить поверхностное натяжение и радиус зародыша, получить теоретические предсказания существования минимального радиуса зародыша и получить зависимость поверхностного натяжения от радиуса зародыша. Оказывается также возможным рассмотреть устойчивость зародышей.
Известно, что зародыш новой фазы в бесконечной среде, в теории Лапласа, абсолютно неустойчив [67]. Но, по крайней мере, в двух предельных случаях этот результат оказывается неверным.
Во-первых, поверхностное натяжение малых капель (пузырей) является функцией их размера. Еще Гиббс отметил [68], что при стремлении радиуса зародыша а к нулю, коэффициент поверхностного натяжения а тоже должен обращаться в нуль. Это предотвращает обращение в бесконечность разности давлений во внутренней и внешней фазах. Оказалось, что в рамках градиентной теории, как показано в работе [69], малые зародыши устойчивы.
Другой предельный случай - замкнутая полость. В замкнутой полости размер зародыша ограничен балансом массы, поэтому достаточно большой зародыш будет устойчивым. В рамках теории Лапласа подобные решения изучались в работах [70,71], где действительно была доказана их устойчивость.
В диссертации рассмотрена задача о формировании зародыша новой фазы в замкнутой полости в рамках градиентного подхода. Затем рассмотрена динамическая теория. Уравнения, описывающие движение жидкости, на деленной внутренней капиллярностью получены в [58,72]. Мы предполагаем, что сосуд, в котором заключена околокритическая жидкость, подвержен высокочастотному вибрационному воздействию, и интересуемся средними эффектами. Применительно к двухфазной околокритической жидкости возможные средние эффекты еще не исследовались.
Изучено формирование зародыша новой фазы в присутствии высокочастотного вибрационного воздействия. В частности, рассмотрены прямые и обратные переходы однородной однофазной жидкости в двухфазное состояние за счет вибрационного воздействия, другими словами, рассмотрены возможные механизмы, которые могут позволить управлять фазовым переходом жидкость-пар посредством вибраций.
В заключение вводной части отметим, что абсолютное большинство экспериментальных исследований по гидродинамике околокритических сред проводятся в настоящее время в условиях космического эксперимента. Поэтому значительная часть диссертации ориентирована на работы в условиях микро гравитации.
Во всех экспериментах, проводимых на орбитальных станциях, научно-исследовательских спутниках, при полетах по параболическим траекториям никогда не удается полностью избавиться от воздействия вибраций. Так, например, исследования условий микрогравитации [43] (Texus 25, IML-1, Mir-Antares, Mir-Altair) показали, что во время типичного орбитального полета торможение, вызванное трением корабля о верхние слои атмосферы, и собственное гравитационное поле корабля приводят к ускорениям порядка 10-7д (д - величина ускорения поля тяжести на поверхности Земли). Более того, на орбитальной станции присутствуют также постоянные, произвольно ориентированные вибрации, обычно не превышающие величины Ю 4д, но иногда достигающие значений 0.1 д, в зависимости от активности станции. В результате, в условиях пониженной гравитации, вибрации нередко играют определяющую роль в развитии тепловой конвекции. Поэтому в последнее время появилось множество работ, направленных на изучение поведения жидкости в условиях микрогравитации [44,46,49,73].
Кроме того, есть основания надеяться, что анализ различных характеристик отклика околокритической среды на вибрационное воздействие позволит изучить некоторые фундаментальные физические свойства вещества в околокритической области параметров.
Плоский бесконечный горизонтальный слой
Неравенство нулю пульсационной составляющей скорости представляет собой основное отличие найденного состояния квазиравновесия от состоя ния, которое получается при использовании обычных уравнений вибрационной конвекции СМ. Зеньковской-И.Б. Симоненко (в случае СМ. Зеньковской-И.Б. Симоненко состояние квазиравновесия совпадает с обычным механическим равновесием при рассмотрении задачи в системе отсчета сосуда [2]). Пульсационное поле скорости генерируется двумя причинами: (і) неоднородная составляющая обусловлена сжимаемостью среды; (іі) постоянная добавка, приводящая к движению основного объема жидкости относительно стенок, обусловлена новым механизмом генерации пульсационного поля в пограничном слое. Однако, данный механизм приводит к однородному движению основного объема жидкости (как твердое тело), что не скажется при рассмотрении устойчивости состояния квазиравновесия - задача об устойчивости будет такой же, как и при учете только двух механизмов генерации пульсационного поля: за счет неоднородности температуры и за счет сжимаемости. Такая задача уже была рассмотрена [25]. Было обнаружено, дестабилизирующее влияние сжимаемости, приводящее к неустойчивости даже в невесомости. Нас главным образом интересуют особенности, обусловленные околокритичностью жидкости. Подробно устойчивость найденного состояния здесь не рассматривается. Рассмотрим поведение околокритической жидкости, заполняющей квадратную полость (Рис. 6), совершающую вертикальные поступатель ные условия на горизонтальных стенках предполагаются такими, как для плоского слоя; на вертикальных стенках поддерживается линейное распределение температуры. Вследствие сжимаемости среды состояние квазиравновесия невозможно. Определим структуру стационарных режимов. Рассмотрим только двумерные течения, для описания введем функцию тока д и завихренность П: Вектор j направлен за плоскость Рис. 6.
Также введем функцию тока у/ для пульсационного поля скорости и (1) и потенциал ср для пульсационного поля и/2): Полная система нестационарных уравнений, определяющих структуру течений, имеет следующий вид: Видно, что сжимаемость среды приводит к появлению эффективной, зависящей от вертикальной координаты силы тяжести. Даже в условиях невесомости половина слоя будет иметь потенциально неустойчивую стратификацию. Накладываемые граничные условия: Сначала найдем основное стационарное среднее течение в приближении ползущего течения (предполагаем, что малы скорости и перепады температур). Поле температуры в таком приближении легко найти: T = -z. С использованием данного соотношения для пульсационного и среднего поля скорости могут быть написаны следующие задачи: Две последние задачи решались численно с помощью метода сеток [77,78]. Результаты вычислений представлены на Рис. 7, 8 (величина " перемасштабирована следующим образом: -»C,Grm.) 0.25 Т.о. от центра более нагретой стенки вверх будет подниматься поток жидкости. Структура течений, генерируемых в квадратной полости, была изучена и для более широкой области управляющих параметров. Тем не менее, задача содержит слишком много параметров, поэтому проанализированы только некоторые сечения параметрического пространства. Для этого был применен метод конечных разностей к уравнениям, записанным в терминах завихренность - функция тока (2.20). Стационарные режимы определялись методом установления, использовалась явная численная схема [78,79]. Были получены зависимости интегральных величин, характеризующих интенсивность течения ( у/тах - максимальное значение функции тока) и ин тенсивность теплопереноса (Nu = - — d I, где производная по норма ли от температуры на границе полости, интегрирование ведется по всей границе), от параметров. Задача в данной геометрической конфигурации для несжимаемой жидкости рассматривалась в работе Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкого, Е.Л. Тарунина [36,80,81]. Случай сжимаемой жидкости, но при фиксированном числе Прандтля (Рг = 0.71) и без вибраций, был рассмотрен В.И. Полежаевым [23]. Нами были выполнены расчеты тепловой конвекции для умеренных и больших значений числа Прандтля (1 - ад ) и было показано, что при числах Прандтля 1 наблюдается одновихревая структура течения; при более высоких значениях происходит переход к двухвихревому течению (Рис. 9). Для данных переходов характерно явление гистерезиса. Предел Рг — ад имеет особый интерес для околокритических жидкостей, поскольку соответствует пределу —»0. Поведение жидкости в этом пределе подчиняется упрощенным уравнениям, в которых пренебрегается слагаемыми в левой части уравнения Навье-Стокса.
Результаты на Рис. 10 представляют зависимость среднего значения поля температуры в установившихся стационарных течениях от теплового числа Прандтля. Это значение отлично от нуля для двухвихревых течений -верхние и нижние ветви соответствуют разным направлениям "закрутки". При некоторых начальных возмущениях возможно установление метаста-бильного четырехвихревого течения, для него средняя температура в области равна нулю. Новое слагаемое в уравнении теплопереноса d(T)/dt описывает распространение тепла за счет поршневого эффекта, однако для стационарных режимов течений, которые изучаются здесь, данное слагаемое оказывается несущественным. Тем не менее, численный счет ведется методом установления, и рассматриваемые уравнения содержат это слагаемое.
Критерий конвективной устойчивости плоского горизонтального слоя жидкости
Применим также систему уравнений (2.36) для рассмотрения задачи об устойчивости состояния покоя плоского горизонтального слоя жидкости. Физическая постановка задачи полностью совпадает с подобной задачей, рассмотренной в пункте 1.5 (Рис. 5), только теперь считаем, что слой не подвержен вибрационному воздействию. Система уравнений, описывающая поведение, рассматриваемой жидкости, полностью совпадает с уравнениями (2.36) - в них уже не осталось воспоминаний о вибрациях. Граничные условия, накладываемые на эти уравнения: Здесь внешний перепад температур в принят за единицу измерения температуры. Теплопроводное распределение Т0 = -z представляет состояние равно: весия рассматриваемой задачи. Изучим устойчивость этого состояния, ограничиваясь только линейной теорией. Линеаризованная система уравнений (2.36) имеет вид: Возмущения предполагаются симметричными, поэтому d(T)/dt = 0. Граничные условия, накладываемые на решения данных уравнений: Путем следующего перемасштабирования переменных: задача (2.40), (2.41) сводится к классической проблеме Рэлея-Бенара об устойчивости несжимаемой, вязкой теплопроводной жидкости [27]. Решение этой задачи хорошо известно - критическое число Рэлея Ra равно 1708. Здесь Ra - обычное тепловое число Рэлея, Ra = — аналог числа Рэ лея, в котором перепад температур определяется гравитационной стратификацией. Основное влияние сжимаемости изучаемой жидкости свелось к перенормировке характерной разности температур, входящей в определение числа Рэлея, а именно, теперь необходимо учитывать гидростатическое сжатие рассматриваемого конвективного слоя. Фактически, полученный критерий устойчивости представляет собой сумму критериев Рэлея и Шварцшильда, что согласуется с результатами работ [34,35,83].
Добавление к данной задаче вертикальных однородных вибраций, подобно конфигурации, рассмотренной ранее (Рис. 5), приведет лишь к однородному прогреву всего слоя жидкости: Т = -9W -9z и никак не отразится на устойчивости теплопроводного распределения. В работе [84] показано, что неидеальность граничных условий может существенно повлиять на теплоперенос в околокритической среде. Данное обстоятельство часто служит причиной плохого согласования теоретических и экспериментальных данных и должно учитываться при конструировании экспериментальных установок. Температуропроводность околокритических жидкостей мала, поэтому полезно принять во внимание конечность коэффициента теплопроводности стенок полости. В случае неидеально теплопроводящих стенок возмущения температуры на границах будут удовлетворять условию: где кв, Хв теплопроводность и температуропроводность стенок. Предполагается, что распространение тепла внутри стенки подчиняется обычному уравнению теплопроводности и поток тепла на границе жидкость-стенка должен быть непрерывным. Такое модифицированное граничное условие приведет к следующему распределению пульсационной плотности в пограничном слое: Это сведет учет неидеальности теплопроводности стенок к умножению некоторых эффективных граничных условий на поправочный коэффициент 1/(1+ Ь). В частности, необходимо изменить условия (2.14)з, (2.32)з,4 следующим образом: Показатель равен (Ф+ /)/2 = 0.9 (здесь Ф - критический показатель, см. параграф 3, в Главе I). Т.о. при стремлении к критической точке значение этого эффекта достаточно быстро растет. Самое интересное следствие системы полученных уравнений (2.31) и граничных условий (2.32), рассмотренное в предыдущем параграфе, - это возможность индуцировать средние неоднородности поля температуры посредством вибрационного воздействия, что, как было показано, может привести к возникновению конвективных течений даже в изотермической полости. Здесь мы рассмотрим задачи, где среднее движение индуцируется с помощью этого "околокритического" механизма, но в условиях невесомости.
Другая цель данного параграфа - сравнить результаты, полученные из системы осредненных уравнений, с результатами прямого численного моделирования полных уравнений Навье-Стокса для сжимаемой жидкости [85]. Рассмотрим изотермическую полость, заполненную околокритической жидкостью, в условиях невесомости. Предполагается, что полость подвержена однородному вибрационному воздействию. Пульсационная скорость может быть представлена в виде ъи0 =acojcos{oyi), где j - единичный вектор; потенциал пульсационной скорости - 0 = 0ocos(cot) = acolj-r)cos{cot). Среднее течение нельзя описать с помощью ранее полученных уравнений: необходимо учесть еще более слабые эффекты. Чтобы получить новую систему определяющих уравнений, начнем с (2.26). Предположим, что малые неоднородности температуры индуцируются только вибрациями. Возникающий при этом параметр Буссинеска примем за малый параметр задачи j59w = є є.\. Используя стандартную процедуру осреднения (вывод почти полностью аналогичен выводу уравнений и граничных условий, данному в первой части этой Главы, - такие же исходные уравнения и те же уравнения в различных порядках; только малый параметр определен иначе, что однако не скажется на выводе, и при формулировке гра ничных условий, значение температуры должно быть отлично от нуля на границе за счет вибраций), получим следующую систему уравнений для средних и пульсационных полей:
Цилиндрическая полость круглого сечения
Поскольку пульсационное течение несоленоидально, для описания невозможно ввести функцию тока. Тем не менее, по-прежнему возможно описать эти течения, используя понятие линий тока (линий, касательные к которым сонаправлены с вектором скорости). Линии тока определяются выражением: Интегрируя это выражение, можно получить следующее семейство линий тока: Теперь проанализируем структуру средних гидродинамических полей. Эти поля определяются следующей задачей (в безразмерной форме; L, L2/ х, Рассмотрим только стационарные решения (d/dt = 0) в приближении ползу ре Можно ввести в рассмотрение функцию тока обычным образом: чины: В заключение приведем структуру среднего поля температуры и структуру среднего течения (Рис. 36, 37). Структура полученного течения близка к экспериментальным результатам, цитируемым в статье [46] (в статье есть ссылка на оригинальный источник [86], который, к сожалению, не доступен). Статья носит обзорный характер и на ее основе невозможно подробно сопоставить результаты. Тем не менее, сообщается об экспериментальных исследованиях термовибрационной конвекции на станции "МИР", в рамка проекта "ALICE". Конвективная ячейка (размеры не указаны), заполнена околокритической жидкостью. В ее центре установлен термистор, который позволяет регулировать температуру жидкости. Ячейка подвержена поперечному вибрационному воздействию.
В результате при высокочастотном воздействии (частота вибраций не указана, но рассматривается два типа вибраций: низко- и высокочастотные) в ячейке генерируются течения, имеющие четырехвихревую структуру, как раз изображенную на Рис. 37. В этом параграфе обсудим, почему для описания термовибрационной конвекции в околокритической жидкости понадобилось сформулировать три разные математические модели. В основном различие между предложенными математическими задачами связано с порядком температурных неоднородностей. Обозначим безразмерную величину изменений температуры в = в /Тс (в - размерное значение). Мы упоминали, что случай в (Т0-ТС)/ТС = є не рассматривается нами в данной работе. Мы рассматриваем только малые колебания около положения равновесия. Во время этих колебаний система не может перейти через критическую точку. Первая задача, рассмотренная в диссертации, может быть отнесена к случаю "неоднородного нагрева". Это означает, что существует внешний нагрев (или охлаждение) области с характерной амплитудой порядка 0 є2. Сформулированная математическая модель напоминает обычные уравнения термовибрационной конвекции (для обычной жидкости). Тем не менее, есть несколько новых эффектов, описываемых дополнительными параметрами. Эти эффекты в основном вызваны аномально высокой сжимаемостью околокритической среды. Свойства жидкости описываются числом Прандтля Рг и параметром сг, ответственным за выбор термодинамической модели околокритической жидкости. Необходимость введения нового параметра, для характеристики уравнения состояния, как раз обусловлена учетом сжимаемости. Интенсивность течений определяется тепловым и вибрационным числами Рэлея: Ra и Rav, а также двумя аналогами этих чисел: Raa, RaPE (2.17). Вторая задача может быть названа случаем "слабо неоднородного нагрева".
Внешний нагрев имеет порядок в « є2. На фоне таких малых неод нородностей температуры необходимо учесть гидростатический эффект и средние возмущения температурного поля, индуцируемые вибрационным воздействием. Соотношение между этими величинами определяется параметрами 0д and 0W (2.35). Интенсивность конвективного движения задается только обычным тепловым числом Рэлея Ra. Эффекты, описываемые вибрационными аналогами числа Рэлея, оказываются незначительными. Действительно, если допустить, что 9w,9g \, тогда, например, Ra/Raa = \у9д — о з поскольку у = cp/cv — со . Следовательно, тепловые гравитационные течения окажутся преобладающими. Поскольку есть три источника неоднородностей температуры, один из них (например, внешний градиент) можно устремить к нулю. Это даст нам задачу, определяющую конвективные течения в изотермических граничных условиях. Последняя математическая задача определена в данной части Главы 1. Здесь предполагается, что отсутствуют внешние градиенты температуры. Более того, предполагается, что полость находится в условиях невесомости. В отсутствие поля тяжести, тем не менее, могут генерироваться некоторые слабые средние течения вибрационной природы. Эти течения будут достаточно интенсивными в случае сильного вибрационного воздействия (с частотой порядка нескольких килогерц). Задача определяется следующим набором параметров: Pr, т, Rav, Raa, RaPE, однако, приведенные оценки показывают, что Rav sc 1 (это единственный параметр, пропорциональный квадрату малой величины р9).
Зародыш новой фазы в замкнутой полости. Градиентный подход. Аналитические результаты
Применим градиентную теорию для рассмотрения формирования зародыша в замкнутой полости, ограничиваясь рассмотрением сферической капли в сферическом сосуде. В состоянии равновесия жидкости, наделенной внутренней капиллярностью, свободная энергия минимальна. Для сферически симметричных состояний получаем где к - лагранжевый множитель, ответственный за дополнительное условие, что система замкнута, т.е., масса неизменна. Таким образом, профиль плотности в равновесии должен удовлетворять дифференциальному уравнению и связью Аж \ pr2 d г = т В околокритической области, предполагая, что система изотермична, свободную энергию можно представить соотношением: Данное выражение приведено в следующей системе единиц: f = pcf, p = (p- уравнения состояния Ван-дер-Ваальса да /дТ = 6, д2а2т/др2 = 9. Таким образом, уравнение (3.3) принимает следующую безразмерную форму: Задача (3.5) характеризуется двумя безразмерными параметрами: а0 = а0У]Лрс/а - безразмерный радиус сосуда («0 - размерное значение), q = m/([p]I?) среднее значение плотности системы. Поставленная задача (3.5) имеет как однородные, так и неоднородные решения. Однородные решения тривиальны p = q. Конечные неоднородные решения существуют при где ay = 4.49 в случае сферической геометрии. Для плоского слоя можно получить полностью аналогичные результаты с а = я. Решения задачи (3.5) также можно интерпретировать механически, как поведение шарика между двумя холмами, но с "трением, зависящим от времени". Изотермическая скорость звука равна а2т =(др/др)т =-\ + 3q2 (нами используется это обычное обозначение для изотермической скорости звука, однако в рамках нашего рассмотрения эта величина может быть отрицатель ной). Следовательно, внутри неустойчивой области эта производная отрицательна и в соответствии с классической теорией физическая система не может существовать здесь в однородном состоянии [67]. Однако введение капиллярного слагаемого в свободную энергию приводит к удивительному эффекту: в достаточно малом сосуде система может быть однородной, даже если (др/др)т 0.
Этот критический радиус сосуда чрезвычайно мал вдали от критической точки и не может быть рассмотрен в рамках гидродинамического подхода, вблизи же критической точки значение радиуса может быть и не малым, поскольку а \/J() , т.е. расходится при Т —» 0. Изучим, какие решения могут реализоваться в "неустойчивой области". Предположим стандартные формальные разложения: Это означает, что мы пересекаем границу "области неустойчивости" параллельно вертикальной оси (q). y0=qQ - точка пересечения нейтральной кривой. Слабо - нелинейный анализ дает нам следующее решение: В том случае, если мы пересекаем "неустойчивую область" параллельно горизонтальной оси (а0) получим решение Пересекая эту область по вертикальной оси q = О, получим Необходимо заметить, что подобное "двухслойное" решение реализуется вблизи щ . Если a af -7.13, то кроме "двухслойных" могут сформироваться "трехслойные решения" (жидкость-пар-жидкость или наоборот). Для сосудов еще больших размеров оказываются возможными и более сложные структуры. Ясно, что многослойные системы будут метастабильными, все многослойные структуры будут соответствовать более высоким значениям свободной энергии. Минимум функционала свободной энергии определялся численно с помощью градиентного метода, т.е. постулируем существование следующего соотношения: Необходимо подчеркнуть, что t - это не реальное физическое время, а только вспомогательная переменная. Однако стационарные решения этого уравнения соответствуют экстремалям функционала F, определенного формулой (3.2). Более того, стационарные решения соответствуют локальным минимумам функционала F, т.е. это уравнение дает также информацию об устойчивости профиля плотности. Докажем, что эволюция по "времени" t в соответствии с (3.6) приводит к состоянию, доставляющему минимум (по крайней мере локальный) функционалу (3.2). Действительно, с учетом равенства (3.6), можно получить:
Поскольку функционал свободной энергии ограничен снизу, то из (3.7) следует, что при — со функционал F достигнет своего минимального значения. Теперь наша задача может быть сведена к следующей: Здесь использована система единиц, в которой радиус сосуда выбран в качестве единицы длины. Характерные профили плотности, полученные конечно-разностным методом, приведены на Рис. 42, 43. На основе полученных графиков можно сделать следующие выводы. Во-первых, видно, что профили плотности различны для разных начальных возмущений. Если сосуд достаточно большой, то могут реализоваться разные типы решений. Для графиков на Рис. 42 мы выбрали начальное приближение вида sinir/сц J/г, для графиков на Рис. 43 было выбрано smlr/a j/r. Толщина переходного слоя, или так называемая капиллярная длина:, равна: Видно, что для достаточно больших сосудов распределение плотности будет ступенчато-образным. Если уменьшить радиус сосуда, то распределение будет более гладким; если радиус сосуда меньше некоторого критического значения, то только однородные решения смогут реализоваться. Также
