Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы ii
2. Подавление неустойчивости рэлея-тейлора переменными полями (свободная поверхность) 20
2.1. Уравнение для возмущений поверхности жидкости в переменном поле тяжести 21
2.2. Границы устойчивости плоской поверхности жидкости в переменном поле тяжести 28
2.3. Устойчивость поверхности поляризующейся жидкости во вращающемся электрическом поле 57
2.4. Устойчивость поверхности жидкого проводника во вращающемся магнитном поле ТЕ
3. Особенности подавления неустойчивости рэлея-тейлора для границы раздела срвд и в сообщащихся сосудах . 79
3.1. Подавление неустойчивости Рэлея-Тейлора для границы раздела двух сред 79
3.2. Стабилизация неустойчивого равновесия жидкости в сообщающихся сосудах . 98
4. Нелинейная теория параметрического возбуждения волнна поверхности вязкой жидкости 117
4.1. Формулировка нелинейной задачи и метод решения 118
4.2. Вывод амплитудного уравнения . 123
4.3. Анализ амплитудного уравнения 137
4.4. Устойчивость стационарных решений 145
4.5. Сравнение результатов теории волн идеальной и вязкой жидкости 150
Заключение 163
Литература
- Границы устойчивости плоской поверхности жидкости в переменном поле тяжести
- Устойчивость поверхности жидкого проводника во вращающемся магнитном поле ТЕ
- Стабилизация неустойчивого равновесия жидкости в сообщающихся сосудах
- Анализ амплитудного уравнения
Границы устойчивости плоской поверхности жидкости в переменном поле тяжести
При - о решения уравнения (2.39) монотонно нарастают со временем, если волновое число возмущений к і . Для коротковолновых возмущений с к -/ решения (2.39) с р -о описывают затухающие капиллярно-гравитационные волны. Таким образом, плоская поверхность жидкости неустойчива относительно длинноволновых возмущений (неустойчивость Рэлея-Тейлора).
Вибрации, как уже упоминалось во введении и будет строго показано ниже, могут воздействовать на устойчивость поверхности жидкости двояким образом. С одной стороны, они могут подавить развитие длинноволновых возмущений, ответственных за неустойчивость Рэлея-Тейлора. С другой стороны, вибрации могут резонансным образом раскачать ранее ватухавшие коротковолновые возмущения. Следовательно, для того, чтобы плоская поверхность жидкости была устойчива, необходимо подобрать амплитуду и частоту вибраций таким образом, чтобы, подавляя развитие длинноволновых возмущений, они не вызывали при этом параметрически возбуждаемых колебаний на поверхности жидкости. Тот факт, что подбор таких параметров возможен, можно понять, анализируя качественно устойчивость решения уравнения (2.39). Удобно провести такой анализ в приближении малой вязкости. Действительно, опуская в (2.39) все степени вязкости выше первой, получим из него хорошо известное уравнение Матье с затуханием сироваввого звачевия & . Спектр Q Ck) (2.41) в неограничен-"1 вой по горизонтали сосуде непрерывен, поскольку могут возникнуть возмущения с любым значением волнового числа. Если же горизонтальные размеры сосуда конечны, то спектр Я1 сь) дискретен, при этом существует возмущение о некоторым минимальным значением к , определяемым размерами сосуда. В ситуации, изоб-ражеввой ва рис.2.1, для простоты полагается, что Q СО пробегает непрерывный ряд значений и конечность сосуда лишь налагает ва волновое число k ограничение снизу. В заштрихованных областях решения (2.43) неограниченно нарастают. Вве этих областей устойчиво решение g - о .Из диаграммы видно, что амплитуда внешних воздействий cj, , при которой плоская поверхность жидкости устойчива, должна быть ограничена как сверху,условием невозникновения параметрического резонанса, так и снизу, условием подавления длинноволновых возмущений. К&оме того, спектр должен быть ограничен со стороны больших по абсолютной величине отрицательных величин (пунктирная вертикальная кривая на рис. 2.1), в противном случае любая линия q,- сои і. пересечет кривую I и система попадет в область неустойчивости. В ситуации, изображеввой ва рисунке, существует полоса \ (отмеченная двойной штриховкой) такая, что принадлежащие ей значения амплитуды вибраций обеспечивают устойчивость плоской поверхности жидкости.
Перейдем теперь к количественным оценкам. Выясним сначала условия подавления длинноволновых возмущений. Заметим, что при Яг=о (что соответствует k ) решение (2.39) имеет нейтральную и затухающую моды. При %= о и Я , мало отличном от нуля, затухающая мода остается затухающей, а нейтральная переходит в затухающую при Qz o Ck i) ив нарастающую - при Яг о сь ) . Поскольку нас интересуют сейчас длинноволновые возмущения, рассмотрим, как влияют вибра ции на возмущения с Q о . Уравнение (2.39) инвариантно по отношению к трансляции t - t +?с f и ддя него справедлива теорема Флоке: решения уравнения (2.39) имеют вид где ) - периодическая, е периодом , функция. В области неустойчивости л , в области устойчивости А . 1анице устойчивости соответствует = о , так что 0 можно представить в виде ряда Фурье:
Устойчивость поверхности жидкого проводника во вращающемся магнитном поле ТЕ
Уравнения (3.41)-(3.42) и граничные условия (3.43)-(3.47) совпадают с уравнениями (3.11)-(3.12) и граничными условиями (3.13)-(3.17) задачи об устойчивости поверхности раздела жидкостей в поле вибраций. Таким образом,рассматриваемые здесь задачи формально отличаются только граничными условиями, определяющими скачок нормальных напряжений (условия (3.18) и (3.48)). Поэтому сразу можно воспользоваться результатами вычисления (3.20)-(3.21). Подставляя найденные выражения для w/j В (3.48), получим для коэффициентов с„ фурье-разложения (3.19) возмущений поверхности 2 систему уравнений (3.23) с
Ограничиваясь опять случаем маловязких жидкостей, получим из (3.23) о учетом (3.49)-(3.50) методом,изложенным в п.2.2, условие подавления длинноволновых возмущений, оводящееся здесь, как и в п.2.3, к условию положительности ъс
Из (3.51) следует, что стабилизация равновесия возможна только в ограниченных по горизонтали сосудах, при этом (3.51) должно выполняться при lt= fcw. ( If , , как и ранее, минимально возможное волновое число возмущений).
Отметим еще, что чем ближе между собой жидкости по электрическим свойствам, тем большие нужны поля для стабилизации равновесия и при вл = г стабилизация становится невозможной. Амплитуда стабилизирующего поля не зависит от знака разности
Что касается устойчивости поверхности жидкости по отношению к параметрическому резонансу, здесь, как и ранее, наиболее опасной является первая резонансная зона, так что легче всего возбуждаются волны с волновым числом, определяемым уравнением при этом для амплитуды вращающегося электрического поля получим из (3.23) с учетом (3.49)-(3.50) ограничение сверху и поэтому условие невозникновения параметрического резонанса (3.53) может быть переписано в виде
Заметим, что в области рассматриваемых здесь частот слагав мое —— составляет 7-1( от « о уже для поверхности раздела керосин-воздух. Если же плотности и вязкости жидкостей сравнимы, то член i- вносит основной вклад в правую часть (3.56).
Критическое поле, определяемое (3.51), не зависит от частоты, в то время как поле, определяемое (3.56), растет с частотой. Таким образом, всегда найдется критическая частота со , начиная с которой условия (3.51) и (3.56) становятся совместными. Эта частота определяется уравнением
Карта устойчивости плоской поверхности раздела жидкостей во вращающемся электрическом поле приведена на рис.3.4 и имеет типичный вид для задач о параметрической стабилизации. Кривые построены для поверхности раздела анилин-керосин при размерах сосуда
Карта устойчивости поверхности раздела жидких диэлектриков во вращающемся электрическом поле Чэ см. Как видно из рисунка, экспериментально предотвращение неустойчивости Рэлея-Тейлора для такой системы вполне достижимо. Критическая частота вращения поля ел $Ос t а амплитуда удерживающего электрического поля Во около 8»103 В/см.
Изложенные здесь результаты опубликованы автором в [109] . В работе [88] исследовалась возможность подавления неустойчивос ти Рэлея-Тейлора для поверхности раздела невязких жидкостей по схеме, изложенной в п.2.3. При этом требования к частоте вращаю щегося электрического поля, стабилизирующего поверхность, ока зываются гораздо жестче, чем полученные выше (3.57) с учетом вязкости.
Как видно из сравнения полученных здесь условий предотвращения рэлей тейлоровской неустойчивости для границы раздела сред с условиями для свободной поверхности, качественная картина стабилизации равновесия одинакова. Учет конечных плотности и вязкости легкой жидкости существенно влияет при этом на количественные результаты.
В рассмотренных выше задачах речь шла о равновесии жидкости в отдельном сосуде. Между тем интересными особенностями обладает задача о параметрической стабилизации неустойчивого равновесия жидкости в сообщающихся сосудах.
Рассмотрим в качестве примера вопрос об устойчивости равновесия несжимаемой жидкости в сосудах, сообщающихся своими верх частями, но открытых снизу (рис.3.5). Для простоты выберем в качестве таких сосудов V -образную трубку квадратного сечения со стороной квадрата с/ Считаем, что величина с/ больше капиллярной длины, так что изображенное на рисунке положение жидкости неустойчиво (в отсутствие переменных полей). В качестве стабилизирующего фактора рассматриваются вертикальные колебания (вибрации) сосудов как целого. В неинерциальной системе отсчета, связанной с сосудами, вибрации приводят к перенормировке силы тяжести (2-1).
Нетрудно убедиться, что в таком колеблющемся сосуде возможно равновесие, когда количества жидкости в обеих коленах трубки одинаковы. Задача об устойчивости этого равновесия не сводится к рассмотренной в п.п.2.1-2.2 задаче о подавлении неустойчивости Рэлея-Тейлора вибрациями, поскольку в сообщающихся сосудах, кршіе возмущений, развивающихся независимо в каждом колене (рис.3.5а), возможны связанные возмущения (рис.3.56-3.5в).
Вопрос о типах собственных колебаний в V -образной трубке довольно подробно исследован в 197,98] . Известны также работы по возбуждению параметрического резонанса в сообщающихся сосудах. Впервые такая задача рассматривалась в [59] и подробно в [60, П2] . В двух последних работах тщательно изучался вопрос о разных типах собственных колебаний жидкости. В [97,98,59,60, 112] рассматривалось, естественно, положение жидкости, устойчивое в отсутствие вибраций.
Стабилизация неустойчивого равновесия жидкости в сообщающихся сосудах
В предыдущих главах уже отмечалось, что если амплитуда воздействия превышает порог возникновения параметрического резонанса, на поверхности жидкости возникает система стоячих волн. Вопрос об амплитуде и форме этих волн выходит за рамки построенной в главах 2 и 3 линейной теории.
Нелинейная задача о параметрически возбуждаемых переменным гравитационным полем поверхностных волнах рассматривалась в [29] для невязкой жидкости. В работе [30] диссипация энергии учитывалась следующим образом: уравнения движения жидкости записывались в лагранжевой форме, а сила трения считалась пропорциональной скорости жидкой частицы (а не градиенту скорости, как это считается в общепринятых моделях). В работе [44] при расчете нелинейного режима волн, возбуждаемых переменным электрическим полем, вязкость вводилась феноменологически на конечном этапе вычислений.
Между тем, вязкость жидкости играет важную роль в формировании параметрических волн. Как уже показывалось выше, именно ею определяется порог возникновения параметрического резонанса. Кроме того, как будет видно из изложенных в настоящей главе результатов, решения нелинейной задачи о параметрических волнах, полученные без последовательного учета вязкости, расходятся в коротковолновой части спектра. Отметим еще, что, как показано (Захаровым в [45] , вообще нет устойчивых решений для капиллярно-гравитационных волн на поверхности идеальной жидкости. Поэтому в настоящей главе нелинейная теория параметрически возбуждаемых поверхностных волн строится, исходя из уравнения Навье-Стокса и соответствующих граничных условий на поверхности вязкой жидкости. В качестве возбуждающего волны фактора выбрано переменное гравитационное поле. Параметрический резонанс характерен для той части спектра волновых возмущений, в котором квадрат собственной частоты свободных волн положителен, так что для теории параметрического резонанса не так уж важно, рассматривается устойчивое (жидкость под газом) или неустойчивое (жидкость над газом) в отсутствие вибраций положение равновесия. Поэтому для простоты будем рассматривать устойчивую стратификацию, когда тяжелая жидкость находится внизу.
Рассмотрим плоские волны, возникающие на поверхности жидкости, находящейся в сосуде, совершающем вертикальные гармонические колебания с частотой 2 со и амплитудой (3 . В системе отсчета, связанной с сосудом, вибрация приводит к перенормировке ускорения свободного падения (2.1).
Введем декартову систему координат, направив ось z вертикально вверх и совместив плоскость г о с плоской невозмущенной поверхностью жидкости.
Введены безразмерные параметры v = W 7r) J гсоьгг/ , Л-- Знак тильды над и v будем в дальнейшем опускать. и и « г и -компоненты скорости, индекс у входящих в rt4.6)-(4.II) величин означает дифференцирование по соответствуй щей переменной. Под р имеется в виду добавка к равновесному давлению (4.6).
Нелинейную задачу (4.6)-(4.11) будем решать в предположении малости амплитуды возникающих волн. Кроме того, считаем малой вязкость жидкости. Таким образом, в задаче имеется два малых параметра - вязкость и надкритичность. Как известно [100] , при наличии в задаче нескольких малых параметров удобно исследовать решения задачи на криволинейных лучах в пространстве этих параметров. Заметим, что при независимом разложении по параметрам существует опасность потери некоторых асимптотик Можно показать, что при другом выборе криволинейных лучей получаются лишь тривиальные результаты. Из (4.13) видно, что разложение ведется, в сущности, по корню квадратному из вязкости жидкости.
Параметры 4j , t и tOj являются внешними, поэтому имеет- ся произвол в их выборе. Полагая, например, to= аэ0 , ш будем рассматривать волны с различной частотой накачки, но с разными длинами волн. Практически, однако (вследствие большого числа координатных производных в задаче), удобнее фиксировать волновое число (полагая k= ко и 1с4-1сг=-г о ). Обратный пересчет к фиксированным частотам легко произвести в окончательных результатах. Индекс у в дальнейшем для краткости записи опускаем. Воспользуемся методом многих масштабов [102,1031 , полагая где так называемые медленные времена. Производные по ос в виде ряда по . представлять не нужно, поскольку мы считаем фиксированным волновое число.
Для капиллярно-гравитационных волн на поверхности вязкой жидкости характерно наличие вихревого скин-слоя, толщина которого пропорциональна корню из вязкости [33 3 . Поэтому при малой вязкости жидкости производные по вертикальной координате г могут быть велики. С учетом этого обстоятельства ряд для производной по вертикальной координате представим в виде Индекс о у слагаемых нулевого порядка в дальнейшем опущен.
Граничные условия (4.9)-(4.11) выполняются на искривленной поверхности жидкости, форма которой заранее не известна и подлежит определению. Снесем эти граничные условия к г= о , одновременно разлагая в ряд по в дроби, в них содержащиеся
Анализ амплитудного уравнения
Отметим, что именно такая нейтральная кривая и такой порог возбуждения получены ранее в четвертом порядке теории возмущений для вязкой жидкости (см. (4.60)-(4.62)), что, естественно, поскольку и там, и в проводи мых сейчас расчетах учитывалось только линейное затухание пер вого порядка по вязкости. Нейтральная кривая (кривая I) и об ласть существования решения (4.34) изображены на рис.4.8. В за штрихованной области существуют решения, возбуждаемые конечны ми возмущениями. На правой ветви нейтральной кривой волны воз буждаются жестким образом, на левой - мягким. Если не учитывать феноменологическое затухание, гипербола нейтральнойк кривой вы рождается в прямые
При этом, разумеется, на прямой А- ІГ возбуждение жесткое, на прямой мягкое. (Такие же результаты для идеальной жидкости получены в [29] , выражение для амплитуды волны в этой работе не получено). Отметим еще, что без феноме-нологического учета вязкости решения при о существуют при любых А .
Приведем еще рисунок, иллюстрирующий зависимость амплитуды волны (4.134) от расстройки по волновому числу к при фиксированном значении надкритичности (рис.4.9). (Здесь и далее для определенности считаем к , при этом G - &л -» &г о ). Как видно из рисунка (и формулы (4.134)), решение существует при сколь угодно больших значениях расстройки Тс , причем j 2- oo при к - оо . это означает, что в зависимости от начальных условий при данных частоте вибраций и надкритичности может реализоваться установившаяся волна со сколь угодно большой амплитудой. Отметим, что при последовательном учете вязкости возможны лишь конечные амплитуды волн в узком интервале расстройки по волновому числу (см. формулу (4.102) и рис.4.6а - 4.6г).
Для окончательного ответа о возможности реализации тех или иных решений следует рассмотреть еще вопрос об их устойчивости. Подобно тому, как это сделано раньше, при обсуждении вопроса об устойчивости решений (4.102), введем в системе (4.124) явные производные по медленной координате ос заменой «- на :
Нижней (меньшей) ветви решения (4.133)-(4.134) соответствует и поэтому (4.147) невозможно выполнить при = о . Это означает, что нижняя ветвь найденного стационарна абсолютно неустойчива. В то же время (4.147) автоматически, при любых значениях fy выполняется на верхней ветви (4.134), поскольку для нєє отрицателен
Следовательно, условие (4.148) определяет устойчивость верхней ветви найденного стационара. Как видно из структуры (4.148), неустойчивость, если она имеется, есть неустойчивость Экхауза. Если условие (4.148) выполнено при = о , то оно выполняется и при любых Ц,Ф о . Таким образом условие устойчивости (4.148) можно переписать в виде
Здесь учтено, при сокращении на с 2ср f что на верхней ветви c 2cf отрицателен. Из (4.149) видно, что если QA- 0j то (4.149) невыполнимо на верхней ветви при любых значениях надкритичности и, следовательно, система (4.124) вообще не имеет устойчивых решений. (Табулирование функций (4.121) дает, что G -G-г о в интервале о.-?о?м k o,s3ts3 и отрицательно вне этого интервала). Последовательный же учет вязкости, как следует из изложенного выше, приводит к существованию устойчивых режимов и в этом случае.
