Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнения РсЛншіьдса для вязкого газа 8
1.1. Уравнения Напье-Стокса . 8
1.2. Осреднение уравнений Навьс-Стокса 10
1.3. Уравнения для кинетической энергии турбулентности и скорости её диссипации
1.4. Замыкание осредненных уравнений 12
1.5. Осесимметричпый случай 15
2. Квазимоиотонный численный метод повышенного порядка точности для расчета двумерных течений 17
2.1. Метод контрольного объема 18
2.2. Решение задачи Римана 22
2.3. Аппроксимация но времени 24
2.4. Процедуры восстановления 26
2.5. Численные результаты 31
2.5.1. Иатекание сверхзвукового потока на ступеньку в канале 32
2.5.2. Ламинарный пограничный слой 33
2.5.3. Взаимодействие косой ударной волны с ламинарным пограничным слоем 34
2.5.4. Взаимодействие отраженной ударной вол им с ламинарным пограничным слоем 37
3. Построение адаптивной сетки для метода контрольного объема 40
3.1. Основные подходы к построению адаптивных сеток 40
3.2. Метод минимальных моментов 43
3.3. Модификация метода минимальных моментов 46
3.4. Численные результаты . 49
4. Построение нелинейной модели напряжений Рейнольдса на основе модели турбу лентного смешения 57
4.1. Нелинейные модели напряжений Рейнольдса 57
4.2. Модель турбулентного переноса 63
4.3. Определение дисперсий начальных распределений пульсаций скорости
4.4. Двумерные течения 68
4.5. Течение с постоянным сдвигом 72
4.6. Расчет плоской автомодельной струи 77
5. Моделирование турбулентного течения в модели отсека модуля МКС 83
5.1. Модель горения в турбулентном потоке при возгорании в ГО МКС 83
5.2. Преобразование системы уравнений для температуры и концентраций к переменным Шваба-Зельдовича 87
5.3. Схема отсека модуля МКС 90
5.4. Об одном возможном механизме поддержания горения в замкнутых областях при невесомости . 93
5.4.1. Краткое описание экспериментов с горением свечи в условиях мик-рогравитацпи 94
5.4.2. Математическая модель горения 95
5.4.3. Расчетная область и граничные условия 97
5.4.4. Результаты расчета горения, поддерживаемого струей продуктов сгорания 100
5-4.5. Учет дополнительных физических процессов 104
5.5. Расчет турбулентных вентиляционных потоков в ГО ФГБ МКС на основе уравнений Навье-Стокса 105
5.6. Распространение пламени в ГО ФГБ МКС 117
Заключение 120
Литература
- Уравнения для кинетической энергии турбулентности и скорости её диссипации
- Процедуры восстановления
- Модификация метода минимальных моментов
- Определение дисперсий начальных распределений пульсаций скорости
Введение к работе
Актуальность темы. Расчет течений газовых сред с зонами больших градиентов параметров является актуальной задачей современной вычислительной газо- и гидродинамики. Это связано с тем, что зоны больших градиентов встречаются в большинстве течений, представляющих практический интерес. В случае высокоскоростных течений это ударные полны и контактные разрывы. Теория газодинамических разрывов хорошо развита, но при их численном моделировании часто встречаются трудности, обусловленные недостатками используемых численных методов (особенно в многомерном случае) и/или недостаточным разрешением расчетных сеток.
В случае вязких течений зоны больших градиентов параметров также являются широко распространенным явлением. Это, в первую очередь, пограничные слои и слои смешения. И если в ламинарном случае теоретическое описание этих явлений достаточно развито, то в турбулентном случае помимо вычислительных трудностей возникает необходимость корректного теоретического описания этих явлений.
Не смотря на определенные успехи достигнутые за последние годы в прямом численном моделировании турбулентности и в разработке дифференциальных моделей для напряжений Рейнольдса двухпараметрические модели турбулентности еще довольно долгое время будут главным инструментом моделирования турбулентности при проведении массовых расчетов большинства практических важных классов турбулентных течений. Использование двухнараметрических моделей представляет собой компромисс между точностью и эффективностью. За прошедшие несколько десятилетий интенсивного использования двухнараметрических моделей турбулентности их достоинства и недостатки хорошо изучены. К последним в первую очередь следует отнести недостаточную точность при расчете течений с сильной кривизной линий тока, сильно закрученных течений, течений вблизи точки торможения и ряд других.
Достаточно подробное изучение причин снижения точности двухнараметрических моделей в этих случаях показало, что это происходит из-за использования модели вихревой вязкости, т.е. линейной зависимости тензора напряжений Рейнольдса от тензора скоростей деформации. Поэтому одним из самых многообещающих методов преодоления перечисленных выше недостатков является разработка нелинейных или анизотропных моделей напряжений Рейнольдса.
Исследования проведены при финансовой поддержке РФФИ (гранты: 95-01-00149-а, 98-01-00352-а, 98-01-00943-а, 00-01-00401-а, 00-01-00643-а, 01-01-00745-а, 01-01-007GO-а, 01-01-01011-а, 02-01-00318-а, 02-01-00948-а, 03-01-00866-а).
-4-Цель исследования.
Разработка численного метода с высоким разрешением для решения нестационарных двумерных уравнений Нанье-Стокса для течений сжимаемого газа с большими градиентами параметров на криволинейных и подвижных сетках.
Создание программного комплекса для расчета двумерных нестационарных течений в областях сложной геометрической формы.
Разработка достаточно простого и надежного метода адаптации расчетных сеток к особенностям течения.
Построение нелинейной модели напряжений Рейнольдса и турбулентных потоков тепла.
Исследование динамики ламинарных и турбулентных вентиляционных потоков и их влияния на развитие очага возгорания в отсеке модуля МКС.
Научная новизна. Новыми в диссертационной работе являются следующие положения и результаты:
Разработан численной метод с высоким разрешением для решения нестационарных двумерных уравнений Напье-Стокса. Предложены новый вариант двумерной процедуры восстановления и модификация явного метода Рунгс-Кутты для аппроксимации дополнительных жестких источииковых членов в уравнениях.
Предложена модификация метода адаптации расчетной сетки к особенностям течения ("метода минимальных моментов") и дано его обобщение для неструктурированных сеток и для пространственного случая.
Разработаны нелинейная модель напряжений Рейнольдса и турбулентных потоков тепла.
Предложен механизм поддержания стационарного поверхностного горения в невесомости.
Проведено численное моделирование ламинарного и турбулентного вентиляционных течений в отсеке модуля Международной космической станции. Исследованы стационарный режим течения и процесс затухания скорости при выключении вентиляторной установке в отсеке.
Обоснованность и достоверность выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, определяется методическими расчетами, контролем точности вычислений, сравнением численных результатов с аналитическими решениями и с опубликованными расчетными и экспериментальными результатами.
Практическая ценность. Разработанный метод может быть применен для численного моделирования широкого круга задач нестационарной газо- и гидродинамики.
Предложенная модель напряжений Рейпольдса позволяет повысить точность расчета ряда турбулентных течений, в том числе и имеющих практическое значение.
Результаты численного моделирования динамики вентиляционных потоков и процессов распространения горения п отсеке модуля МКС могут быть использованы для создания надежной системы тушения пожара на борту МКС.
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
1). Численной метод с высоким разрешением для решения нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса для ламинарных и турбулентных течений сжимаемого газа с большими градиентами параметров на криволинейных и подвижных сетках.
2). Метод адаптации расчетной сетки к особенностям течения, учитывающий особенности метода контрольного объема и легко встраевыемый в готовые программы решения уравнений Эйлера или Навье-Стокса.
3). Обобщение па двумерный и трехмерный случаи модели турбулентного смешения и па ее основе разработка нелинейной модели напряжений Рейпольдса, учитывающая влияние градиента энергии турбулентности, близость твердых поверхностей и градиентов плотности.
4). Исследование одного из возможных механизмов поддержания стационарного поверхностного горение в невесомости.
5). Результаты численного моделирования турбулентного вентиляционного течения в отсеке модуля Международной космической станции.
6). Создание программного комплекса для расчета двумерных нестационарных течений в областях сложной геометрической формы.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Проблемы стратифицированных течений" (Юрмала, 1988), 5-th EPS Liquid State Conference "On turbulence" (Moscow, Russia, 1989), Parallel Computing Technologies (PaCT-93) (Obninsk, Russia, 1993), Первой Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994), 77 Fluid Dynamic Panel Symp. "Progress and Challenges in CFD. Methods and Algorithms" (Seville, Spain, 1995), III Межгосударственной научно-технической конференции "Оптические методы исследования потоков" (Москва, 1995), XIX-XX научных чтениях по космонавтике (Москва, 1995, 1996), 1-4 меж д. конф. по неравновесным процессам и соплах и струях (Москва, 1995, Санкт-Петербург, 1998, Истра-Москва, 2000, Санкт-Петербург, 2002), ШТАМ
Symp. On Variable Density Low Speed Turbulent Flows (Marseille, France, 1996), 6th Japan-Russia Joint Symposium on CFD (Nagoya, Japan, 1998), X-X1I международной конференции "Вычислительная механика и современные прикладные программные системы" (Переславль-Залесский, 1999, Москва, 2001, Владимир, 2003), 8th Int. Meshing Roundtable 99 (South Lake Tahoe, USA, 1999), 8th Int. symp. on Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications (Magdeburg, Germany, 2000), Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), V World Congress on Computational Mechanics (Vienna, Austria, 2002), ESO/CERN/ESA Symp. "Astronomy, cosmology and fundamental physics"(Garching, Germany, 2002).
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.
Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования, а также кратко излагается содержание глав и параграфов.
В первой главе диссертации приводится описание математической модели течений турбулентного сжимаемого газа, которая используется в последующих главах.
Во второй главе для численного решения уравнений Иавье-Стокса предложен численный метод повышенного порядка точности с высоким разрешением разрывов, построенный на основе метода Годунова. Метод использует двумерные процедуры восстановления, приближенные способы решения задачи Римана с коррекцией для низких чисел Маха и различные явные процедуры интегрирования по времени (Лаке а-Ведро фа или Руиге-Кутты) второго или третьего порядков. При наличии жестких источииковых членов применяется модифицированный метод Руйге-Кутты второго порядка с неявной аппроксимацией источниконого члена. В качестве иллюстрации возможностей метода приведено решение ряда задач со сложной ударно-волновой структурой.
Уравнения для кинетической энергии турбулентности и скорости её диссипации
В турбулентных потоках поля скоростей, давлений, температур и других газодинамических величин имеют весьма сложную структуру. Сложность структуры этих нолей обусловлена в целом нерегулярным и случайным характером их изменения в пространстве и во времени. Так как в большинстве случаев практический интерес представляют в основном средние значения, то Рейнольде [S4J предложил представлять мгновенные значения каждой из неизвестных величин или любой их комбинации в виде суммы осредпенной / и иульсационной / составляющих
Процедура осреднения должна строится таким образом, что бы выполнялись условия Рейнольдса
Выбор процедуры осреднения не единственен. Сравнение различных процедур осреднения можно найти в 8. Рейнольде предложил использовать осреднение но времени причем интервал осреднения At предполагается достаточно большим по сравнению с характерным временем пульсаций и существенно малым по сравнению с характерным временем осредпешюго движения.
При описании турбулентных течений сжимаемого газа более предпочтительным оказывается осреднение по Фавру, при котором для плотности и давления применяется осреднение по Рейпольдсу, а для других параметров потока вводятся средневзвешенные значения
Мгновенные значения параметров представляются, как и в методе Рейпольдса, в виде суммы осредпенной и пульсационной составляющих Предполагая, что пульсациями коэффициентов вязкости и массовой силы можно пренебречь, получим осредпенное уравнение баланса импульса (1.8) Непосредственное осреднение уравнения энергии (1.9) дает - полная энтальпия. Осредпенное значение полной энергии можно представить в следующем виде Осреднение уравнения состояния (1.10) дает равнения для кинетической энергии турбулентности и скорости её диссипации Уравнение для мгновенных значений кинетической энергии получается из (1.8) умножением на V
Осредпяя это уравнение получим Уравнение для осредненной кинетической энергии получается из (1.14) умножением на К Вычитая уравнение (1-19) из (1.18) получим уравнение для кинетической энергии турбулентности к
В уравнении (1.20) первый член слева характеризует изменение кинетической энергии турбулентности во времени, второй - конвективный перенос энергии турбулентности осредненным течением. Первый член в правой части уравнения (1-20) выражает диффузионный перенос энергии турбулентности за счет пульсаций скорости, второй - работу сил давления в нульсациошюм движении, третий - работу вязких напряжений в пульсацион-ном движении, четвертый - взаимные превращения энергии осредпепиого и пульсацион-ного движения.
Скорость диссипации кинетической энергии турбулентности определяется следующим
образом Процедура получения уравнения для скорости диссипации сводится к дифференцированию проекции уравнения баланса импульса (1.8) на ось ХІ ПО переменной Xj, умножению полученного результата па dvi/dxj и последующему осреднению. Полученное таким образом уравнение является довольно сложным и при замыкании уравнений не используется. Вместо этого для скорости диссипации выписывается модельное уравнение где порождение скорости диссипации; Д. -диффузионный перенос; Ее - "диссипация" скорости диссипации.
Полученные уравнения (1.14), (1.15), (1.20) и (1.22) содержат ряд дополнительных членов (например, третьи моменты скорости, корреляции скорости и давления и т.н.), для которых отсутствуют уравнения. Попытка выписать уравнения для этих членов подобно уравнению для кинетической энергии турбулентности приведет к появлению новых членов - моментов более высокого порядка. Поэтому замыкание уравнений Рейнольдса проводится на полуэмпирической основе.
Сначала рассмотрим некоторые упрощающие предположения относительно малости некоторых членов уравнений (1.14), (1.15) и (1.20).
Процедуры восстановления
Сделаем несколько замечаний относительно этих трех способов восстановления:
1). первый и второй способы эквивалентны на не очень криволинейных сетках, у которых центр тяжести ячейки, в котором хранятся осредненные значения, совпадает с геометрическим центром По-видимому, на сильно криволинейных сетках первой способ работает немного лучше, но требует больше памяти при необходимости сохранения рассчитанного восстановления во время вычислений.
2). первый и второй способы на прямоугольных сетках переходят в хорошо известную одномерную процедуру восстановления с minmod функцией-ограничителем [98], которая применяется вдоль каждого сеточного направления.
3). при использовании третьего способа в качестве шаблонов-кандидатов нужно использовать все четыре минимальных шаблона PNE, PSW, PSE и PNW. В первых же двух случаях это приводит к дублированию, что хорошо видно для прямоугольной сетки. -28-4). при использовании третьего способа необходима дополнительная проверка на наличие экстремума в точке Р. В этом случае необходимо брать постоянное распределение и{х,у) = иР внутри ячейки.
Хорошо известно, что minmod ограничитель является наиболее диффузионной функцией-ограничителем [98]. Поэтому и процедура восстановления, предложенная в [19], может приводить (см. замечание 2)), к излишнему сглаживанию разрывов газодинамических параметров. Рассмотрим модификацию этой процедуры восстановления, которая позволяет заметно уменьшить искусственную численную диффузию схемы.
Для этого рассмотрим расширенный "центральный" шаблон-кандидат, в который входят все пять точек PNESW. По нему требуется провести плоскость, которая бы с максимальным порядком точности восстанавливала бы распределение и внутри ячейки. В данной работе для этого рассматривались два варианта:
В обоих случаях на прямоугольной сетке получим центрально-разностные соотношения для производных. Оба варианта (2,36) и (2.37) приводят к примерно одинаковым результатам. Окончательно, приращения в точках Гаусса определяются по соотношению
В данном случае на прямоугольной сетке получим одномерную процедуру восстановления, известную как "монотопизироваиные центральные разности" [105].
Аналогичным образом может быть уменьшена искусственная численная диффузия, возникающая при использовании процедуры восстановления из [44. В этом случае по всем шаблонам-кандидатам проводятся плоскости. Для каждой плоскости вычисляется значениє модуля вектора градиента Vu. Для "центрального" шаблона вводится весовой множитель 1/2. Затем в качестве требуемого линейного представления выбирается плоскость с минимальным значением Vu.
В самой работе [44] был предложен несколько иной способ уменьшить численную диффузию. Как и ранее, но всем шаблонам-кандидатам строятся плоскости. Для каждой плоскости вычисляется значение модуля вектора градиента. Затем все плоскости упорядочиваются по убыванию этого значения. Для каждой плоскости проверяются условия итах __ max Up и ипь значение и в центре соседней с ячейкой Р ячейке, иа грани которой располагается соответствующая точка Гаусса (жьУ ) В качестве искомого линейного представления выбирается первая (с учетом упорядоченности) плоскость, удовлетворяющая этому условию. То есть выбирается плоскость с максимальным значением модуля вектора градиента, значения которой в точках Гаусса лежат между минимальным и максимальным по точкам шаблона значениям заданной величины.
Эту процедуру восстановления также можно модифицировать, приняв во внимание "центральный" шаблон. В этом случае па выполнение условия (2.39) первой (вне зависимости от величины модуля вектора градиента) должна проверяться плоскость, построенная но "центральному" шаблону.
Еще один интересный вариант линейной процедуры восстановления предложен в работе [26]. В этом случае искомое линейное представление записывается в виде
Это условие монотонности отличается от условия монотонности, предложенного в [57], но согласуется с условием монотонности, использованным в работе [95j для структурированных многомерных сеток. Следует отметить, что условие (2.41) является более строгим, чем условие (2.39), т.к. ограничивает значения и{х,у) по всей ячейке, а не только в точках Гаусса. Для линейного восстановления экстремумы и{х, у) располагаются в угловых точках ABCD расчетной ячейки.
В каждой угловой точке ячейки ABCD вычисляются значения ограничителя Окончательное значение ограничителя определяется следующим образом Как отмечалось в 2G вместо условия монотонности (2.41) вполне можно использовать и условие (2.39). По-видимому, в случае линейного восстановления оба варианта будут давать примерно одинаковые результаты и потребуют лишь самых минимальных модификаций при реализации. В настоящей работе использовался только вариант (2.41).
При предложенном в [26 подходе существенное значение приобретает вопрос о способе вычисления градиента Vw в (2.40). Так как ограничитель Фр будет сильно отличаться от 1 только в окрестности экстремумов, то для повышения точности восстановления (2.32) вдали от экстремумов желательно вычислять Vup с повышенным порядком точности. Для этого градиент можно рассчитывать через контурные интегралы (2.36) или по методу наименьших квадратов (2.37) на "центральном" шаблоне.
При этом в соответствии с рекомендацией работы [26 следует расширить "центральный" шаблон PNESW, включив в него все ячейки, имеющие хотя бы одну точку соприкосновения с ячейкой ABCD. В случае регулярной четырехугольной сети в "центральный" шаблон войдут все девять ячеек, показанные на рис. 2.1. Такое расширение шаблона может улучшить точность расчета градиента (их , щ ) в случае сильно искривленной сетки и может ослабить условие монотонности, увеличив интервал [upin, up0 ]. Однако, увеличение шаблона приведет и к увеличению времени счета. Поэтому оценка влияния величины шаблона на точность получаемого решения будет дана в ходе численного эксперимента далее.
В работе 107] показано, что ограничитель (2.42) имеет ряд существенных недостатков. Например, его использование может существенным образом замедлить скорость сходимо -31-сти к стационарному решению. Анализ, проведенный в [107], показал, что это происходит по двум причинам: - ограничитель (2.42) не является гладким из-за наличия функций тій и max; - ограничитель (2.42) может оставаться активным и в относительно гладких областях течения, например, в дальнем поле, где возможно наличие незначительных паразитических возмущений решения.
Модификация метода минимальных моментов
Важной особенностью метода минимальных моментов и большинства других методов адаптации является ориентация на конечно-разностные сетки. С одной стороны это уменьшает количество требуемой для адаптации информации (требуются только координаты точек и значения функции в этих точках), но с другой стороны это может приводить к увеличению времени счета при перевычислении дополнительной геометрической информации, например, в методе минимальных моментов вводятся дополнительные треугольники Т(к), определяются их площади, центры тяжести и т.п. (см. предыдущий параграф), но с другой стороны это может приводить к нарушению условий аппроксимации, например, при использовании алгоритмов адаптации, ориентированных на конечно-разностные сетки, совместно с методом конечных объемов.
К числу методов конечных объемов относятся и метод Годунова и его обобщения повышенного порядка, описанные в предыдущей главе. Поэтому рассмотрим вопрос о нарушении условий аппроксимации более подробно. Пусть в некоторой расчетной ячейке Л мы хотим получить линейное представление некоторой зависимой переменной / относительно произвольного центра (хр,ур): где fz, fy - постоянные градиенты / по х и у.
Необходимым условием аппроксимации исходного уравнения со вторым порядком и выше по пространственным переменным в методе контрольного объема является условие
Простой подстановкой можно убедится, что это условие выполняется для произвольного постоянного вектора градиентов, если (хр,ур) является центром тяжести ячейки Л.
В результате работы алгоритма адаптации, ориентированного на конечно-разностные методы, сместятся центры ячеек (т.к. это точки, в которых хранятся зависимые переменные). Информация о геометрии расчетных ячеек (контрольных объемов) в процессе адаптации не используется, поэтому после адаптации возникает вопрос о построении вокруг полученных центров новых расчетных ячеек так, чтобы полученные центры ячеек являлись их центрами тяжести. Это чрезвычайно сложная задача, решение которой потребует существенных затрат машинного времени. Поэтому желательно избежать решения этой задачи вообще.
В данном параграфе предлагается модификация метода минимальных моментов, описанного в предыдущем параграфе. Суть предложенной модификации заключается в следующем:
1). в ходе адаптации перемещаются не центры расчетных ячеек, а их вершины. После перемещения расчетной ячейки (т.е. всех ее вершин) центр тяжести ячейки определяется по простым алгебраическим формулам;
2). не вводятся вспомогательные геометрические объекты, такие как треугольники Т(к), к = 0,...3, а более полно используется доступная геометрическая информация, требуемая для метода конечных объемов;
3). метод формулируется для произвольной расчетной сетки, т.е. без учета размерности задачи и регулярности сетки.
Запишем алгоритм модифицированного метода минимальных моментов в виде последовательности шагов: 1). Вычисление весовых функций для всех ячеек сетки С - индекс ячейки; Рс - координаты центра ячейки; /с - значение функции / в центре ячейки; nb - индексы соседних с ячейкой С ячеек (т.е. ячеек, имеющих общую грань с С). 2). Ограничение значений весовой функции: а). Определяются минимальное и максимальное значения весовой функции по всей расчетной области где Р - координаты угловой точки ячейки; к - индекс для расчетных ячеек, для которых точка Р является угловой; Вк и 14 - центры тяжести и объем (площадь) расчетных ячеек. 4). Пересчет геометрических параметров расчетных ячеек (центра тяжести и объема), 5). Переинтерполяция всех зависимых переменных.
Сделаем несколько замечаний относительно алгоритма модифицированного метода минимальных моментов:
1). Новое положение точки Р соответствует центру тяжести фигуры, являющейся объединением всех ячеек, у которых точка Р - угловая точка. Т.е. дополнительные геометрические объекты, такие как треугольники Т(к) в исходном методе, не вводятся. Для тех же целей используются сами расчетные ячейки. Это позволяет использовать геометрическую информацию о расчетных ячейках (их центры тяжести и площади), которая уже имеется в наличии перед началом адаптации, т.к. она требуется для метода конечных объемов.
2). В модифицированном методе сохранилось естественное ограничение на перемещение точки на одном шаге адаптации - это перемещение ограничивается многоугольником, вершинами которого являются центры тяжести ячеек, у которых Р - угловая точка. Теоретически, однако, стала возможна ситуация, когда две соседние угловые точки переместятся в одну, т.к. прямоугольники, ограничивающие перемещение этих точек, могут иметь общую границу. Но при правильном выборе весовой функции это практически никогда не происходит.
Определение дисперсий начальных распределений пульсаций скорости
Не смотря на определенные успехи достигнутые за последние годы в прямом численном моделировании турбулентности и в разработке дифференциальных моделей для напряжений Рейнольдса двух параметрические модели турбулентности еще довольно долгое время будут главным инструментом моделирования турбулентности при проведении массовых расчетов большинства практических важных классов турбулентных течений. Использование двухпараметрических моделей представляет собой компромисс между точностью и эффективностью. За прошедшие несколько десятилетий интенсивного использования двухпараметрических моделей турбулентности их достоинства и недостатки хорошо изучены. К последним в первую очередь следует отнести недостаточную точность при расчете течений с сильной кривизной линий тока, сильно закрученных течений, течений вблизи точки торможения и ряд других.
Достаточно подробное изучение причин снижения точности двухпараметрических моделей в этих случаях показало, что это происходит из-за использования модели вихревой вязкости, т.е. линейной зависимости тензора напряжений Рейнольдса от тензора скоростей деформации. Линейная модель вихревой вязкости для течений типа пограничного слоя была предложена еще Буссинеском [29] в конце прошлого века. Эта модель легко обобщается на случай трехмерных течений (например, [73]).
С перечисленными выше недостатками двухпараметрических моделей разработчики и пользователи столкнулись практически сразу с момента начала использования моделей этого класса. Для преодоления этих недостатков значительные усилия многих исследователей были направлены на разработку нелинейных или анизотропных моделей напряжений Рейнольдса. Для случая турбулентного пограничного слоя первую нелинейную модель для турбулентной вязкости предложил Г.С.Глушко [15] в 1971 г. Долгое время его модель была единственной явной моделью, в которой касательные напряжения были ограничены, т.е. при стремлении градиента средней скорости к бесконечности касательное напряжение стремилось к некоторому фиксированному значению, а не к бесконечности как в линейной модели.
Для случая трехмерного течения общего вида первую нелинейную (квадратичную) модель для всего тензора напряжений Рейнольдса предложили Ламли и др. [73].
Следующим важным этапом на пути развития нелинейных моделей для напряжений Рейнольдса явилось использование гипотезы о локальном равновесии [S3] и [85]. В основе этой гипотезы лежит предположение о пропорциональности конвективного и диффузионного переноса напряжении Рейнольдса и кинетической энергии турбулентности. Использование этой гипотезы позволяет получить нелинейные алгебраические выражения для тензора напряжений Рейнольдса, которые следует разрешать либо итерационно, либо вводить некоторую эмпирическую функцию от отношения Pk/є производства Р/с кинетической энергии турбулентности к скорости ее диссипации є.
В работе [83 получено с точностью до коэффициентов общая полиномиальная зависимость тензора напряжений Рейнольдса 7 от градиентов средней скорости, т.е. от тензора скоростей деформации S и тензора завихренности W. На основе теоремы Гамильтона-Якоби доказано, что тензор напряжений Рейнольдса может зависеть максимально от квадратов тензоров скоростей деформации и завихренности в двумерном случае и от четвертых-степеней этих тензоров в трехмерном.
Интерес к разработке нелинейных моделей напряжений Рейнольдса обусловил появление теоретических исследований этого класса моделей. Так в работе [111] была получена квадратичная модель напряжений Рейнольдса общего вида на основе двухмасштабного приближения прямых взаимодействий (DIA). Аналогичная модель в [88] была получена с применением ронорм-группового подхода.
Так же квадратичная модель (с некоторыми дополнительными членами) была получена в [96] путем разложения тензора напряжений Рейнольдса в ряд Тейлора и последующего применения инвариантности преобразования Галилея в двумерном случае к членам полученного ряда.
Квадратичные модели, полученные на основе этих теоретических исследований, имели один существенный недостаток - все коэффициенты, стоящие перед градиентами средней скорости, были константами, что в случае полиномиальной модели неизбежно приводит к нарушению реализуемости этих моделей. То есть напряжения Рейнольдса растут неогра ниченно при росте градиентов средней скорости и, кроме того, нормальные напряжения могут становиться отрицательными, Поэтому появившиеся в середине 90-х годов и полу чившие довольно широкое распространение нелинейные модели напряжений Рейнольдса содержат еще и нелинейную зависимость коэффициентов модели от градиентов средней скорости. Среди этих моделей следует отметить квадратичную модель [49), кубическую модель [37], модель [50], в которой введено понятие о слабом локальном равновесии, и модель [62], которая была первой моделью, использующей все десять членов в полино миальном представлении напряжений Рейнольдса через тензора скоростей деформации и завихренности.
Тензор напряжений Рейнольдса может зависеть не только от градиентов средней скорости. Например, в [15) показано, что существует зависимость напряжения трения от градиентов энергии турбулентности и масштаба турбулентности. В [11] на основе модели турбулентного смешения [16] построена квадратичная модель напряжений Рсйнольдса, в которой тензор напряжений Рсйнольдса зависит ие только от градиентов средней скорости, йо и от градиента кинетической энергии турбулентности.
Алгебраические модели напряжений Рейиольдса строятся па основе предположения, что тензор напряжений Рейнольдса зависит от градиентов средней скорости, турбулентных масштабов длины L и времени т
Рассмотрим некоторые модели напряжений Рейнольдса. Модель [111] была получена на основе двухмасштабного приближения прямых взаимодействий (DIA). В исходном виде эта модель представляет квадратичную модель с дополнительными членами, содержащими производные по времени и производные более высоких порядков по пространству. Однако, в работе [78], где эта модель использовалась автором для расчета конкретных течений, эти дополнительные члены отсутствуют. Без дополнительных членов эта модель будет иметь вид
