Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Метод построения вихрепотенциального течения по схеме Лаврентьева 40
1.1.Краткий обзор известных точных решений 40
1.2 Проблемы и модели отрывных течений 46
1.3 Метод «сшивки» однородно завихренных течений с потенциальными 50
1.3.1 Круговое обтекание цилиндра с образованием присоединенного вихря 58
1.3.2.Обтекание бугорка с образованием присоединенного вихря 67
1.3.3 Обтекание траншеи с образованием присоединенного вихря 73
1.4 Метод «сшивки» произвольно завихренных течений с потенциальными 81
Глава II. Новые способы представления уравнений гидродинамики в форме Лагранжа 91
2.1. Особенности лагранжевого подхода 91
2.2. Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа 93
2.3. Уравнения в форме Лагранжа в цилиндрической и сферической системах координат 97
2.4. Лагранжево описание вращающейся жидкости 100
2.5. Уравнения Лагранжа в комплексной форме. Якобианная форма уравнений для двумерных течений 106
2.6. Матричная форма уравнений Лагранжа ПО
2.7. Полярная форма матричных уравнений гидродинамики 127
2.8. Описание течения вязкой жидкости в переменных Лагранжа 134
Глава III. Птолемеевские течения 142
З.І.Птолемеевские течения 143
3.2. Примеры птолемеевских течений 155
3.2.1.Волны Герстнера' 155
3.2.2.Волны на воде при неоднородно распределенном вдоль поверхности и гармонически изменяющимся со временем давлением... 158
3.2.3.Эпициклоидальные волны во вращающейся жидкости (аналог волн Герстнера на цилиндрической поверхности) 160
3.2.4.Вихрь Кирхгофа 166
3.3.Метод «сшивки» птолемеевских течений с потенциальными 167
Глава IV Трехмерные обобщения птолемеевских течений 181
4.1 Обобщенные птолемеевские течения с прямыми вихревыми линиями 183
4.2 Обобщенные птолемеевские течения с криволинейными вихревыми линиями 191
Глава V Метод исследования нелинейного резонансного взаимодействия трех волн 197
5.1.Основные уравнения для резонансных нелинейных взаимодействий трех волн 198
5.1.Нелинейное взаимодействие трех волн 202
5.2.Нелинейное взаимодействие двух волн 215
Заключение 218
Литература ". 220
- Метод «сшивки» однородно завихренных течений с потенциальными
- Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа
- Примеры птолемеевских течений
- Обобщенные птолемеевские течения с криволинейными вихревыми линиями
Введение к работе
Своеобразие гидромеханики и, по-видимому, главное ее отличие от остальных областей механики и физики состоит в том, что основные уравнения гидродинамики (уравнения Эйлера для невязкой жидкости и уравнения Навье-Стокса в вязком случае), описывающие движение жидкости, является существенно нелинейными. Классическая электродинамика, например, создавалась как линейная наука, а нелинейные члены «добавлялись» в уравнения Максвелла по мере возрастания сложности рассматриваемых явлений. Нелинейная оптика вообще родилась только в 60-х годах XX века. Точно так же и квантовая механика, теория упругости, акустика и т.д. по преимуществу развивались как науки линейные.
Совсем иная судьба у механики жидкости. Для большинства ситуаций, представляющих интерес, нетривиальных линейных движений просто не существует. В тех ситуациях, когда линеаризация основных уравнений движения позволяет найти приближенное решение той или иной важной задачи, очень часто область его применимости оказывается очень узкой. В течение более двухсот лет с момента,когда Эйлером были сформулированы основные уравнения гидродинамики (в форме Эйлера и
Лагранжа), основной прогресс в теоретическом исследовании течений жидкости был связан, во-первых, с выявлением и «разработкой» таких ситуаций, а затем, в двадцатом столетии, с развитием и использованием асимптотических методов, применяемых к тому же классу явлений. Однако, эффективность асимптотических методов, как правило, ограничивается условием слабой нелинейности рассматриваемых движений или, реже, наличием другого малого параметра. В этой связи, в последние десятилетия 20го века наиболее интенсивно развивались численные подходы к решению как исходных уравнений, так и асимптотических моделей (в нашей стране основные достижения связаны с именами Лаврентьев, Белоцерковский, Сретенский, Гольдштик, Черный, Моисеев). Несмотря на огромные успехи этого направления и необыкновенный рост возможностей компьютеров, аналитические решения по-прежнему важны для выявления причин и механизмов сложных процессов, для радикального упрощения численных расчетов (а часто и для полного их исключения) и, наконец, как эталоны для проверки правильности прямого численного моделирования.
В этой связи, особенно актуальным становится поиск новых аналитических подходов к решению уравнений гидродинамики, как направленных на непосредственное получение решений, так и на создание
новых методов численного моделирования. Удачным примером последнего рода является метод контурной динамики развитый для двумерной гидродинамики [1]. Он удобен для численных расчетов контура вихря.
Наиболее значительные аналитические продвижения для
существенно нелинейных движений были достигнуты для потенциальных движений и двумерных течений с постоянной завихренностью. Одной из ключевых причин успехов в этой области было применение мощных аналитических методов теории функций комплексного переменного, развитых до высокой степени совершенства М.А. Лаврентьевым и его школой. Были получены широкие классы точных решений и существенные редукции, значительно упрощающие численное решение ряда фундаментальных и практически важных задач. В реальных течениях область потенциального движения обычно не заполняет все пространство, а граничит с вихревым течением. Таковы, например, практически чрезвычайно важные задачи отрывного обтекания. Задача сшивки потенциальных и вихревых течений, т.е. построения «составного» движения во всем пространстве, занимаемом жидкостью, была выделена М.А. Лаврентьевым в качестве ключевой фундаментальной проблемы на пути дальнейшего развития этого плодотворного подхода еще в 1962 году
[27]. Эта проблема, несмотря на целенаправленные усилия многих ученых, не поддавалась решению/и сохранила свою актуальность.
Важной особенностью гидродинамики является тот факт, что существует два теоретически равноправных,но концептуально различных способа описания движения жидкости, которые принято называть лагранжевым и эйлеровым описанием. В целом, в силу разного рода причин, эйлеров подход оказался абсолютно доминирующим, однако в последние годы практические задачи, связанные с анализом движения лагранжевых трассеров в океане, атмосфере и гидродинамических экспериментах, стимулировали развитие численных алгоритмов, основанных на прямом интегрировании лагранжевых уравнений,и новый интерес к их более глубокому теоретическому исследованию. Ввиду того обстоятельства, что крупномасштабные движения океана и атмосферы, определяющие погоду и климат, представляют собой движения в тонком сферическом слое и с хорошей точностью могут считаться двумерными, предметом особого внимания стала двумерная динамика в рамках лагранжевых уравнений. Здесь определенный прогресс был достигнут на пути анализа сравнительно простых моделей, например, динамики конечного числа точечных вихрей (см. [9] и цитируемую там литературу) и прямого численного моделирования. В этом контексте особо
желательным было бы построение классов точных решений, способных, с одной стороны, описать" более широкий круг ситуаций, а с другой-служить в качестве базовых решений для теории возмущений, в качестве тестовых при построении численных схем, а также способствовать развитию интуиции исследователей.
Помимо «злободневных» проблем гидродинамике присущи и «вечные» темы и одной из них является не закрытая, но и не реализованная возможность принципиально новых парадигм, связанных с концептуально и математически иными подходами к описанию движений жидкости. По существу, со времен Эйлера, развившего эйлеров и «лагранжев» подходы, пожалуй, наиболее значительным шагом стало осознание и использование векторной природы поля скорости и, соответственно, привлечение аппарата векторного анализа. Фундаментальный вопрос о возможности построения гидродинамики на основе более богатых математических объектов, например матриц, оставался открытым. Весьма ограниченный успех попыток Максвелла, Гамильтона и Лаврентьева и его школы в этом направлении привел к тому, что такая возможность даже перестала обсуждаться. Тем не менее, по мере того как исчерпывались относительно доступные возможности,
развития в рамках традиционных подходов, актуальность поиска альтернатив лишь увеличивалась со временем.
Одним из наиболее успешно развивавшихся в последние десятилетия разделов гидродинамики является теория нелинейных волновых движений конечной амплитуды. Успех в исследовании слабонелинейных волн для очень широкого круга различных гидродинамических ситуаций связан с осознанием и активной эксплуатацией факта универсальности слабонелинейных моделей. Наиболее прозрачный вид этот факт приобретает для консервативных систем при использовании метода гамильтоновского формализма, развитого Захаровым: в результате применения систематической асимптотической процедуры все разнообразие волновых процессов, будучи представленным в некоторых канонических переменных,сводится к небольшому числу универсальных «канонических» моделей, описываемых сравнительно простыми, так называемыми, укороченными уравнениями. При этом уникальность каждого волнового процесса и особенность гидродинамической ситуации аккумулируется в коэффициентах канонических моделей. В ситуации общего положения большинство волн в гидродинамике является диспергирующими. Для диспергирующих слабонелинейных волн в устойчивых ситуациях
И
%
реализуется одна из двух возможностей: либо закон дисперсии
«распадный» и, соответственно, разрешены трехволновые резонансные
взаимодействия; либо, закон нераспадный, тогда трехволновые
резонансные взаимодействия запрещены и доминирующим типом
взаимодействия являются резонансные четырехволновые процессы. В
любом случае, фундаментальным элементом эволюции волнового поля
становится особенности динамики изолированного триплета или
квартета резонансно взаимодействующих волн. Несмотря на то, что
возникающие укороченные уравнения существенно проще,чем исходные,
тем не менее они представляют собой системы нелинейных уравнений в
частных производных,не имеющих малого параметра в ситуации общего
положения. Их доскональное исследование является одной
из первоочередных задач теории волн. Так называемые «уравнения трех
волн», описывающие эволюцию резонансного триплета
взаимодействующих волн, исследовались методами обратной задачи теории рассеяния [3,4], однако попрежнему остается актуальным поиск новых классов точных решений.
Цель работы. Диссертация посвящена разработке новых аналитических методов анализа движения идеальной и вязкой жидкости, а также их использованию для получения точных решений. В число
основных проблем, решаемых в диссертации, в частности, входят следующие:
Развитие метода сшивки произвольно завихренных течений с потенциальными и его применение к классическим задачам обтекания с отрывом.
Исследование уравнений гидродинамики в форме Лагранжа, включая поиск их новых форм и точных решений.
Ш. Развитие нового матричного описания идеальной и вязкой
гидродинамики. IV. Развитие нового метода исследования резонансного
взаимодействия трех волн.
Научная новизна работы. Все результаты работы, выносимые на защиту, оригинальны, развитые теоретические подходы не имеют аналогов и прямых предшественников. В частности, в работе впервые: I. Развит метод сшивки однородно завихренных течений с
потенциальными и на его основе решены задачи обтекания
цилиндрической поверхности с образованием присоединенного
вихря. Указанный метод сшивки обобщен на случай неоднородной
и нестационарной завихренности.
Для уравнений гидродинамики в форме Лагранжа найдены новые формы представления, более удобные для анализа, что позволило построить класс точных решений, включающий, помимо обширного семейства новых решений, все ранее известные точные решения двумерных лагранжевых уравнений.
Показана возможность описания произвольных движений идеальной и вязкой жидкости в терминах лагранжевой матрицы Якоби, что позволило развить новое матричное описание гидродинамики и, в частности, построить обширные классы точных и приближенных решений.
Предложен метод исследования резонансного взаимодействия трех волн, позволяющий описывать процессы, недоступные для изучения традиционными методами.
Научная и практическая значимость. В диссертации разработаны и апробированы принципиально новые методы теоретического анализа динамики несжимаемой жидкости.
На их основе рассмотрен широкий круг задач, имеющих фундаментальный характер, такие, как методы сшивки вихревых и потенциальных течений, новые формы уравнений Лагранжа, матричное
описание вихревых течении, формулировка лагранжевых уравнений для вязкой жидкости.
В месте с тем ряд результатов, полученных в диссертации, представляет и практический интерес. Так, предложенные методы сшивки вихревых течений с потенциальными могут быть использованы при анализе движения квазидвумерных вихрей в атмосфере и океане. Полученные точные решения двумерных и трехмерных уравнений гидродинамики могут быть использованы при тестировании численных моделей. Результаты точного решения задачи о динамике триплета резонансно взаимодействующих волн будут полезны для практического анализа широкого круга различных волновых процессов.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан обзор затрагиваемых в ней проблем и существующих методов их решения. Сформулированы цели и задачи исследования, кратко изложено содержание работы, включающее предварительную сводку основных результатов, полученных в диссертации.
Первая глава посвящена рассмотрению одной из центральных проблем гидродинамики вихревых течений - склеивание вихревых и потенциальных областей.
В разделах 1.1 и 1.2 дан краткий обзор точных решений, не использующих наш метод, а также моделей и схем для описания локализованных вихрей в потенциальном потоке. В конце раздела отмечено отсутствие аналитических методов, связанное с необходимостью преодоления двух трудностей: определения течения в вихревой области и сшивки его с внешним потенциальным потоком.
В разделе 1.3 излагается метод сшивки однородно завихренного, локализованного внутри односвязанной области, течения с внешним потенциальным потоком. Скорость на границе с внешнем течением предполагается непрерывной (схема Лаврентьева). Суть метода заключается в следующем. Пусть нам известно стационарное течение внутри вихревой области с постоянной завихренностью Q. Общее выражение для комплексной скорости внутри вихря будет
в 2 dW
где W=x—iy,a Ф - некоторая аналитическая функция.
Полагая, что границе вихря соответствует значение функции тока,
равное l|/ о, получим уравнение границы
— WW- І[Ф(Щ - Ф(Щ = 2% (2)
Движение жидкости вне вихря запишется как
Vn=i^z+^m
п 2 dW
где Z -.решение уравнения
^ZlV-i[0(W) - Ф(2)] = 2 (4)
В самом деле, с одной стороны выражение (4) определяет Z как функцию W и, следовательно, скорость Vn - потенциальна, а с другой -на границе вихря Z равно W (это видно из сравнения (2) с (4)). Отсюда на
границе скорости вихревого (1) и потенциального (3) потоков равны. При этом граница вихря автоматически совпадает с граничной линией тока обоих типов течений.
Далее в этом разделе тестируются основные вычислительные приемы предлагаемого метода на простейшем известном примере -эллиптическом вихре во внешнем потенциальном потоке.
Затем в разделах 1.3.1 - 1.3.3 развитый метод применяется для решения задач кругового обтекание цилиндра с образованием присоединенного вихря, обтекания траншеи с образованием присоединенного вихря, обтекания бугорка с образованием присоединенного вихря. Определены условия существования присоединенного вихря. Подчеркнем, что указанная методика впервые позволила найти аналитические решения задач обтекания по схеме Лаврентьева.
В разделе 1.4 указано дальнейшее развитие способа сшивки поля скорости вихревой области с внешним потенциальным течением, если известно поле скорости в вихревой области даже для неоднородной завихренности.
Наш метод построения вихре-потенциального течения был обобщен на случай тангенциального разрыва на границе вихревого и
потенциального потоков Бунякиным, Чернышенко и Степановым (J. Fluid Mech. 1996. V.323. Р.367-376). В разделе 1.5 кратко изложено содержание этой работы.
Вторая глава посвящена изложению новых форм представления уравнений лагранжевой гидродинамики. Изложенные в ней оригинальные подходы к лагранжевой гидродинамике позволяют развить новые направления исследований течений жидкости.
В разделе 2.1 дана сравнительная характеристика эйлерова и лагранжевого описания течений жидкости. Здесь же отмечены выигрышные стороны лагранжевого подхода, использованные в других разделах работы.
Метод «сшивки» однородно завихренных течений с потенциальными
Своеобразие гидромеханики и, по-видимому, главное ее отличие от остальных областей механики и физики состоит в том, что основные уравнения гидродинамики (уравнения Эйлера для невязкой жидкости и уравнения Навье-Стокса в вязком случае), описывающие движение жидкости, является существенно нелинейными. Классическая электродинамика, например, создавалась как линейная наука, а нелинейные члены «добавлялись» в уравнения Максвелла по мере возрастания сложности рассматриваемых явлений. Нелинейная оптика вообще родилась только в 60-х годах XX века. Точно так же и квантовая механика, теория упругости, акустика и т.д. по преимуществу развивались как науки линейные.
Совсем иная судьба у механики жидкости. Для большинства ситуаций, представляющих интерес, нетривиальных линейных движений просто не существует. В тех ситуациях, когда линеаризация основных уравнений движения позволяет найти приближенное решение той или иной важной задачи, очень часто область его применимости оказывается очень узкой. В течение более двухсот лет с момента,когда Эйлером были сформулированы основные уравнения гидродинамики (в форме Эйлера и Лагранжа), основной прогресс в теоретическом исследовании течений жидкости был связан, во-первых, с выявлением и «разработкой» таких ситуаций, а затем, в двадцатом столетии, с развитием и использованием асимптотических методов, применяемых к тому же классу явлений. Однако, эффективность асимптотических методов, как правило, ограничивается условием слабой нелинейности рассматриваемых движений или, реже, наличием другого малого параметра. В этой связи, в последние десятилетия 20го века наиболее интенсивно развивались численные подходы к решению как исходных уравнений, так и асимптотических моделей (в нашей стране основные достижения связаны с именами Лаврентьев, Белоцерковский, Сретенский, Гольдштик, Черный, Моисеев). Несмотря на огромные успехи этого направления и необыкновенный рост возможностей компьютеров, аналитические решения по-прежнему важны для выявления причин и механизмов сложных процессов, для радикального упрощения численных расчетов (а часто и для полного их исключения) и, наконец, как эталоны для проверки правильности прямого численного моделирования.
В этой связи, особенно актуальным становится поиск новых аналитических подходов к решению уравнений гидродинамики, как направленных на непосредственное получение решений, так и на создание новых методов численного моделирования. Удачным примером последнего рода является метод контурной динамики развитый для двумерной гидродинамики [1]. Он удобен для численных расчетов контура вихря.
Наиболее значительные аналитические продвижения для существенно нелинейных движений были достигнуты для потенциальных движений и двумерных течений с постоянной завихренностью. Одной из ключевых причин успехов в этой области было применение мощных аналитических методов теории функций комплексного переменного, развитых до высокой степени совершенства М.А. Лаврентьевым и его школой. Были получены широкие классы точных решений и существенные редукции, значительно упрощающие численное решение ряда фундаментальных и практически важных задач. В реальных течениях область потенциального движения обычно не заполняет все пространство, а граничит с вихревым течением. Таковы, например, практически чрезвычайно важные задачи отрывного обтекания. Задача сшивки потенциальных и вихревых течений, т.е. построения «составного» движения во всем пространстве, занимаемом жидкостью, была выделена М.А. Лаврентьевым в качестве ключевой фундаментальной проблемы на пути дальнейшего развития этого плодотворного подхода еще в 1962 году [27]. Эта проблема, несмотря на целенаправленные усилия многих ученых, не поддавалась решению/и сохранила свою актуальность.
Важной особенностью гидродинамики является тот факт, что существует два теоретически равноправных,но концептуально различных способа описания движения жидкости, которые принято называть лагранжевым и эйлеровым описанием. В целом, в силу разного рода причин, эйлеров подход оказался абсолютно доминирующим, однако в последние годы практические задачи, связанные с анализом движения лагранжевых трассеров в океане, атмосфере и гидродинамических экспериментах, стимулировали развитие численных алгоритмов, основанных на прямом интегрировании лагранжевых уравнений,и новый интерес к их более глубокому теоретическому исследованию.
Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа
Ввиду того обстоятельства, что крупномасштабные движения океана и атмосферы, определяющие погоду и климат, представляют собой движения в тонком сферическом слое и с хорошей точностью могут считаться двумерными, предметом особого внимания стала двумерная динамика в рамках лагранжевых уравнений. Здесь определенный прогресс был достигнут на пути анализа сравнительно простых моделей, например, динамики конечного числа точечных вихрей (см. [9] и цитируемую там литературу) и прямого численного моделирования. В этом контексте особо желательным было бы построение классов точных решений, способных, с одной стороны, описать" более широкий круг ситуаций, а с другой-служить в качестве базовых решений для теории возмущений, в качестве тестовых при построении численных схем, а также способствовать развитию интуиции исследователей.
Помимо «злободневных» проблем гидродинамике присущи и «вечные» темы и одной из них является не закрытая, но и не реализованная возможность принципиально новых парадигм, связанных с концептуально и математически иными подходами к описанию движений жидкости. По существу, со времен Эйлера, развившего эйлеров и «лагранжев» подходы, пожалуй, наиболее значительным шагом стало осознание и использование векторной природы поля скорости и, соответственно, привлечение аппарата векторного анализа. Фундаментальный вопрос о возможности построения гидродинамики на основе более богатых математических объектов, например матриц, оставался открытым. Весьма ограниченный успех попыток Максвелла, Гамильтона и Лаврентьева и его школы в этом направлении привел к тому, что такая возможность даже перестала обсуждаться. Тем не менее, по мере того как исчерпывались относительно доступные возможности, развития в рамках традиционных подходов, актуальность поиска альтернатив лишь увеличивалась со временем.
Одним из наиболее успешно развивавшихся в последние десятилетия разделов гидродинамики является теория нелинейных волновых движений конечной амплитуды. Успех в исследовании слабонелинейных волн для очень широкого круга различных гидродинамических ситуаций связан с осознанием и активной эксплуатацией факта универсальности слабонелинейных моделей. Наиболее прозрачный вид этот факт приобретает для консервативных систем при использовании метода гамильтоновского формализма, развитого Захаровым: в результате применения систематической асимптотической процедуры все разнообразие волновых процессов, будучи представленным в некоторых канонических переменных,сводится к небольшому числу универсальных «канонических» моделей, описываемых сравнительно простыми, так называемыми, укороченными уравнениями. При этом уникальность каждого волнового процесса и особенность гидродинамической ситуации аккумулируется в коэффициентах канонических моделей. В ситуации общего положения большинство волн в гидродинамике является диспергирующими. Для диспергирующих слабонелинейных волн в устойчивых ситуациях
И реализуется одна из двух возможностей: либо закон дисперсии «распадный» и, соответственно, разрешены трехволновые резонансные взаимодействия; либо, закон нераспадный, тогда трехволновые резонансные взаимодействия запрещены и доминирующим типом взаимодействия являются резонансные четырехволновые процессы. В любом случае, фундаментальным элементом эволюции волнового поля становится особенности динамики изолированного триплета или квартета резонансно взаимодействующих волн. Несмотря на то, что возникающие укороченные уравнения существенно проще,чем исходные, тем не менее они представляют собой системы нелинейных уравнений в частных производных,не имеющих малого параметра в ситуации общего положения. Их доскональное исследование является одной из первоочередных задач теории волн. Так называемые «уравнения трех волн», описывающие эволюцию резонансного триплета взаимодействующих волн, исследовались методами обратной задачи теории рассеяния [3,4], однако попрежнему остается актуальным поиск новых классов точных решений.
Примеры птолемеевских течений
В месте с тем ряд результатов, полученных в диссертации, представляет и практический интерес. Так, предложенные методы сшивки вихревых течений с потенциальными могут быть использованы при анализе движения квазидвумерных вихрей в атмосфере и океане. Полученные точные решения двумерных и трехмерных уравнений гидродинамики могут быть использованы при тестировании численных моделей. Результаты точного решения задачи о динамике триплета резонансно взаимодействующих волн будут полезны для практического анализа широкого круга различных волновых процессов. Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан обзор затрагиваемых в ней проблем и существующих методов их решения. Сформулированы цели и задачи исследования, кратко изложено содержание работы, включающее предварительную сводку основных результатов, полученных в диссертации. Первая глава посвящена рассмотрению одной из центральных проблем гидродинамики вихревых течений - склеивание вихревых и потенциальных областей. В разделах 1.1 и 1.2 дан краткий обзор точных решений, не использующих наш метод, а также моделей и схем для описания локализованных вихрей в потенциальном потоке. В конце раздела отмечено отсутствие аналитических методов, связанное с необходимостью преодоления двух трудностей: определения течения в вихревой области и сшивки его с внешним потенциальным потоком. В разделе 1.3 излагается метод сшивки однородно завихренного, локализованного внутри односвязанной области, течения с внешним потенциальным потоком. Скорость на границе с внешнем течением предполагается непрерывной (схема Лаврентьева). Суть метода заключается в следующем.
В самом деле, с одной стороны выражение (4) определяет Z как функцию W и, следовательно, скорость Vn - потенциальна, а с другой -на границе вихря Z равно W (это видно из сравнения (2) с (4)). Отсюда на границе скорости вихревого (1) и потенциального (3) потоков равны. При этом граница вихря автоматически совпадает с граничной линией тока обоих типов течений.
Далее в этом разделе тестируются основные вычислительные приемы предлагаемого метода на простейшем известном примере -эллиптическом вихре во внешнем потенциальном потоке. Затем в разделах 1.3.1 - 1.3.3 развитый метод применяется для решения задач кругового обтекание цилиндра с образованием присоединенного вихря, обтекания траншеи с образованием присоединенного вихря, обтекания бугорка с образованием присоединенного вихря. Определены условия существования присоединенного вихря. Подчеркнем, что указанная методика впервые позволила найти аналитические решения задач обтекания по схеме Лаврентьева. В разделе 1.4 указано дальнейшее развитие способа сшивки поля скорости вихревой области с внешним потенциальным течением, если известно поле скорости в вихревой области даже для неоднородной завихренности. Наш метод построения вихре-потенциального течения был обобщен на случай тангенциального разрыва на границе вихревого и потенциального потоков Бунякиным, Чернышенко и Степановым (J. Fluid Mech. 1996. V.323. Р.367-376). В разделе 1.5 кратко изложено содержание этой работы. Вторая глава посвящена изложению новых форм представления уравнений лагранжевой гидродинамики. Изложенные в ней оригинальные подходы к лагранжевой гидродинамике позволяют развить новые направления исследований течений жидкости. В разделе 2.1 дана сравнительная характеристика эйлерова и лагранжевого описания течений жидкости. Здесь же отмечены выигрышные стороны лагранжевого подхода, использованные в других разделах работы. Раздел 2.2 посвящен изложению лагранжевой формы уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Наряду с исходной системой уравнений приводится также система уравнений для вихря (уравнения в форме Коши).
Обобщенные птолемеевские течения с криволинейными вихревыми линиями
Следует отметить ряд важных свойств полученных уравнений. Они не содержат других неизвестных функций, кроме матрицы Якоби. Они однородны, т.е. R входит в каждое уравнение в одинаковых степенях. Это позволяет надеяться на получение в будущем автомодельных решений. Уравнение для завихренности (8) содержит только производные по времени, уравнение совместности (10) - производные только по лагранжевым переменным, а уравнение непрерывности (9) вообще алгебраическое. Далее в этом разделе после анализа свойств полученных матричных уравнений выводятся аналогичные матричные уравнения из комплексной формы уравнений Лагранжа. Получается система комплексных матричных уравнений того же вида, что и система (8-Ю). В заключение этого раздела рассматриваются граничные условия различного типа для лагранжевых уравнений идеальной жидкости.
Другим важным свойством полученных уравнений является линейность по отношению к 6 как уравнения движения, так и условия градиентности. Интересной особенностью полученной формы уравнения (12) является его удобство для получения членов ряда возмущений для 0 . На первый взгляд даже, если известно возмущение для D (тем самым определено возмущение матрицы А) определение возмущения для 0 связано с решением системы дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Однако структура матричного уравнения (12) позволяет довести определение возмущения 0 до квадратур в любом порядке.
В разделе 2.8 предлагается описание течений вязкой жидкости в переменных Лагранжа. Основная идея вывода соответствующих уравнений заключается в следующем. В отсутствии вязкости инварианты Коши, как известно, постоянны. В присутствии вязкости они уже постоянными не будут. Наряду с традиционными неизвестными функциями X,Y,Z инварианты Коши рассматриваются как еще три неизвестных функции. Далее показано, что при наличии вязкости они будут описываться уравнением диффузии во «вмороженной» в жидкость системе координат.
Далее в разделе указывается, что в этом приближении возможны такие режимы течений,когда все пространство можно разбить на области двух типов движений жидкости: «плавные», уже отмеченные, и «резкие», представляющие из себя относительно тонкие слои между «плавными» течениями с существенно разными S.
Об этом классе рассказывается в разделе 3.1. Выражение, описывающее этот тип течений, имеет вид где G,F - аналитические функции, Л,_і - произвольные действительные числа. Отметим, что функции G и FB значительной степени произвольны, т.к. единственным ограничением на их выбор является требование необращения в нуль якобиана D.
Траекториями жидких частиц при таком движении жидкости будут эпициклоиды (гипоциклоиды), т.е. частицы описывают окружность, центр которой в свою очередь движется по другой окружности. По таким орбитам вращались планеты в Птолемеевой картине Мира. В связи с этим данный тип течений был назван птолемеевским.
Далее в этом разделе подробно рассматриваются свойства птолемеевских течений: изучена их динамика, распределение завихренности и давления, получено в неявном виде выражение для скорости как функции эйлеровых переменных.
Показано, в частности, что из всех возможных решений в лагранжевых переменных, содержащих конечный набор временных (не зависящих от координат) частот, уравнениям двумерной гидродинамики удовлетворяет только двухчастотное решение, описывающее птолемеевские течения. Во избежание недоразумений подчеркнем, что это относится только к лагранжевому описанию. В разделе 3.2 рассмотрены примеры птолемеевских течений: такие известные как волны Герстнера и их обобщение для неоднородного давления на поверхности жидкости, полученное А.А. Абрашкиным. В подразделе 3.2.2 описаны эпициклоидальные волны, которые были подробно исследованы А.А. Абрашкиным в дипломной работе (1981 г.), выполнявшейся под руководством автора и позднее им опубликованной. В 3.2.4 описан вихрь Кирхгофа.
Эти выражения совпадают с выражениями для W и V птолемеевского течения на границе вихря. Следовательно, они удовлетворяют условиям непрерывности скорости и давления на границе. Во избежания недоразумений подчеркнем, что переменная v в выражениях (17) уже не является лагранжевой переменной. Она совпадает с переменной Лагранжа только на границе вихря при v = 1.
