Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка математических задач при моделировании движения геофизически сложных сред
1.1. Оценка сложности математической модели
1.2. Учет априорной информации при идентификации математических моделей процессов
1.3. Особенности постановки и анализа краевых задач нелинейной фильтрации 82
1.4. Исследование нелинейных гидродинамических моделей с помощью теорем сравнения 92
2. Исследование устойчивости движения многокомпонентных и геофизически сложных сред
2.1. Анализ сдвиговой неустойчивости в двухслойных жидкостях с учетом эффекта Марангони
2.2. Анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации полимерных растворов 125
2.3. Исследование устойчивости работы газлифтной скважины 139
3. Динамический хаос при движении тиксотропных жидкостей 148
4. Исследование особенностей движения реопектических сред 177
5. Процессы самоорганизации в газожидкостных системах вблизи давления насыщения 210
6. Исследование процессов нестационарной фильтрации на фракталах 2^6
7. Временная фрактальность процессов релаксации реофизически сложных сред 269
8. Применение динамических характеристик для контроля и управления процессами нефтегазодобычи 288
8.1. Диагностирование состояния динамических систем нефтегазодобычи с помощью корреляционной размерности
8.2. Анализ фрактальных характеристик временных рядов замеров 295
Выводы и рекомендации
Литература 305
Приложение 331
- Учет априорной информации при идентификации математических моделей процессов
- Анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации полимерных растворов
- Динамический хаос при движении тиксотропных жидкостей
- Процессы самоорганизации в газожидкостных системах вблизи давления насыщения
Учет априорной информации при идентификации математических моделей процессов
При описании гидродинамических процессов в нелинейных средах определяющее значение имеет этап постановки соответствующих математических задач. В настоящей главе рассмотрен круг вопросов, относящихся именно к этому этапу.
Как уже отмечалось, априорные сведения о структуре модели изучаемого процесса часто отсутствуют. В связи с этим, в первом разделе главы приведены некоторые алготитмы оценки сложности модели - определения числа динамических переменных и выявления нелинейности процессов фильтрации. Во втором разделе главы рассмотрены методы идентификации в узком смысле этого слова, т.е. методы оценки параметров математических моделей, структура которых считается известной. Приведены помехоустойчивые алгоритмы решения обратных задач, основанные на различных способах учета априорной информации.
Часто полагают, что если изучаемое явление математически описано, то решение задачи должно существовать само по себе и определяться единственным образом. Однако, при движении реофи-зически сложных сред условия существования и единственности могут быть нарушены. В третьем разделе главы это показано на примере краевых задач нелинейной стационарной фильтрации.
При описании движений реофизически сложных сред приходится, как правило, обращаться к приближенным методам исследования, обоснованный выбор которых невозможен без оценки их точности. В четвертом разделе главы для решения этой задачи предлагается использовать двухсторонние оценки решений, получаемые с помощью теорем сравнения. Приведены примеры использования последних для исследования нелинейных гидродинамических моделей.
Одним из крупнейших научных достижений последних лет стало открытие детерминированного хаоса - нерегулярных колебаний в детерминированных системах. Было показано, что в сравнительно простых системах без источников случайных шумов возможны сложные непредсказуемые движения. В настоящее время известно большое количество реальных и модельных механических, физических, химических и биологических систем, в которых проявляется детерминированный хаос (см., например, [88, 151, 171, 172, 194]). В данной работе показано, что хаотические колебания могут иметь место также при движении реофизически сложных жидкостей в трубах и пористых средах.
Если некоторый хаотический сигнал генерируется конечномерной динамической системой, то эволюцию системы можно представить как движение изображающей точки в фазовом пространстве на странном аттракторе. Очевидно, что при малых m размерность Vyy, с ростом VY) должна увеличиваться. Однако, если регистрируемый случайный сигнал есть проявление детерминированного хаоса, то при некотором W = и\0 величина УА перестает расти. Достигнутое при этом значение »1М0 принимается за размерность V странного аттрактора исходной системы и называется размерностью реализации. Если же рост Vy продолжается без насыщения, то это свидетельствует о том, что наблюдаемый сигнал шумовой (т.е. невоспроизводим с помощью алгоритма).
Таким образом, обычный шумовой случайный процесс можно рассматривать как движение системы на аттракторе бесконечной размерности. Конечная размерность V означает, что данный сигнал можно воссоздать с помощью динамической системы. При решении задач управления технологическими процессами важно отличать детерминированный хаос от обычных "шумов" или помех. Дело в том, что наличие внутреннего порядка в детерминированном хаосе позволяет, в принципе, управлять им, в то время как шумовой хаос неуправляем.
Показано (см. там же), что минимальное число динамических переменных, необходимое для описания наблюдаемого движения, равно \ "3+/Л- , где L l целая часть V . При реконструкции динамического аттрактора по замерам одной переменной возникает вопрос: какой размерности должно быть вложенное пространство, чтобы отобразить все топологические особенности исходного аттрактора? Ф. Такенсом доказано, что для почти любых наблюдаемой реализации XvU и времени задержки Т аттрактор вложенного пространства размерности УК1 будет иметь те же свойства (ту же размерность),что и исходный, если только YY1 " / VY] = 2 о0+ 1. гДе 0І) хаусдорфова размерность странного аттрактора [151].
В качестве иллюстрации рассмотрим применение процедуры Паккарда - Такенса для обработки записей пульсаций давления, вызванных работой штангового глубинного насоса. На рис. 1.1. приведены кривые, полученные с помощью дистанционного тензо-метрического датчика, установленного на глубине 390 м в одной из скважин НГДУ "Аксаковнефть" [43]. Во время проведения замеров насос скважины перекачивал различные жидкости по замкнутому циклу насос - НКТ - затрубное пространство - насос.
Анализ устойчивости стационарных режимов фильтрации полимерных растворов
В настоящем разделе на примере исследования фильтрации полимерных растворов показано, что к возникновению неустойчи-востей может привести также наличие времени запаздывания в процессах структурной перестройки реофизически сложных сред.
Многочисленные экспериментальные работы [85, 254, 158] показывают, что для некоторых полимерных систем (например, растворов полиакриламида) при повышении скорости фильтрации наблюдается резкое увеличение сопротивления, необъяснимое данными вискозиметрических исследований. Предполагается [23], что это явление вызвано наличием в растворах вязкоупругих частиц, размеры которых сопоставимы с размерами пор. При быстром движении по поровым каналам эти частицы испытывают деформации, под действием которых постепенно "твердеют" за характерное -время, равное времени релаксации. Затвердевая, клубки забивают часть поровых каналов, что и приводит к увеличению сопротивления. При обратном уменьшении скорости фильтрации частицы начинают релаксировать и становятся более податливыми, так что восстанавливается исходное (или близкое к нему) состояние системы .
С учетом этих представлений рассмотрим модель, описывающую процессы нестационарной фильтрации полимерных растворов под действием постоянного градиента давления. При ее выводе учтем три следующих эффекта: 1) при малых скоростях фильтрации ЯГ проявляется начальный градиент давления; при больших "О происходит запирание потока затвердевающими клубками полимера (см. выше); 3) структурные преобразования в полимерных системах характеризуется некоторым временем запаздывания С . В этом выражении мы использовали экспоненту, а не степенную функцию видадля того, чтобы проверить ус тойчивость полученных результатов относительно смены способа параметризации функции C(v). Расчеты показали, что отмеченные выше эффекты возникновения периодических и стохастических автоколебаний имеют место и в этом случае. Приведем здесь результаты, полученные при А = 10, G = 2, N = 5, " =5.
Вначале увеличение В ведет, через цепь бифуркаций удвоения периода в точках В % 1,205, Вг - 1,456, В3 1,602 ..., к установлению хаотического режима. Дальнейшее увеличение В приводит к тому, что движение в системе упорядочивается. Возникают предельные циклы, периоды которых по мере роста В последовательно уменьшаются вдвое, т.е. возникают обратные бифуркации Фейгенбаума. Для экспериментальной проверки возможности возникновения колебаний расхода при фильтрации растворов полимера нами были проведены эксперименты на лабораторной установке, представляющей термостатируемую стальную колонку диаметром 0,032 м и длиной 1,0 м, набитую кварцевым песком. Проницаемость пористой среды по воздуху составляла 3-10 м . Перед проведением опытов колонка тщательно вакуумировалась, а затем заполнялась раствором полиакриламида. В ходе экспериментов давление на выходе колонки rj,ix поддерживалось равным атмосферному, а на входе - некоторому постоянному значению \Ri В процессе фильтрации полимерного раствора снимались временные ряды замеров расхода жидкости. Опыты показали, что при малых значениях перепада давления Л у = rfU _ Гьых существуют устойчивые стационарные режимы фильтрации. Незначительные колебания расхода, регистрируемые при этом, находятся в пределах ошибок измерений. Но если перепад давления достигает некоторого критического значения (зависящего от концентрации ПАА в растворе), то стационарные режимы фильтрации теряют устойчивость и наблюдаются незатухающие колебания расхода. Анализ фрактальных характеристик полученных кривых показывает [225], что увеличение перепада давления, производимое после установления хаотических колебаний расхода, часто приводит к уменьшению степени неупорядоченности наблюдаемых процессов.
Динамический хаос при движении тиксотропных жидкостей
В настоящее время в нефтяной промышленности активно развивается новое перспективное направление - реотехнология, которая представляет собой совокупность методов и способов управления технологическими процессами с учетом реофизических особенностей систем нефтегазодобычи [135, 198, 79, 13]. В основе этого направления лежит идея о возможности использования процессов самоорганизации в реофизически сложных средах для образования пространственно - временных структур с заранее определенными свойствами.
В диссертации рассмотрены некоторые нелинейные эффекты, которые могут быть использованы при создании реотехнологий неньютоновских систем. В частности, исследованы диссипативные структуры и хаотические колебания, возникающие при движении тиксотропних и реопектических жидкостей.
Реология таких сред определяется процессами разрушения и восстановления структуры, которые можно схематично представить как прямую и обратную химические реакции, суммарное действие которых описывается некоторым кинетическим уравнением относительно концентрации разрушенных (или восстановленных) связей [46]. Предполагается, что коэффициенты этого уравнения (константы скоростей разрушения и восстановления структуры) зависят от скорости деформаций. В рамках такого структурно - кинетического подхода удалось объяснить многие особенности стационарных реологических характеристик неньютоновских жидкостей, а также описать процессы релаксации к стационарным состояниям [29, 46, 187, 192, 193, 214]. При этом использовались, как правило, линейные относительно концентрации связей уравнения. В настоящей работе процессы разрушения - восстановления структуры неньютоновских сред описываются при помощи нелинейных кинетических моделей, что открывает возможности для предсказания и описания существенно нестационарных течений.
Опыт реологии тиксотропных сред показывает, что в ряде случаев экспериментальное определение их реологических параметров затрудняется невозможностью поддержания стационарных режимов течения. Так, при постоянном числе оборотов двигателя вискозиметра величина измеряемого касательного напряжения может меняться во времени достаточно сложным образом. Качественное описание этого эффекта приведено в [29]. Аналогичные осложнения возможны и в случае капиллярного вискозиметра, что, в частности, подтверждается опытами по исследованию колебательных режимов истечения полимерных растворов из капилляра [248]. Это явление в научной литературе получило название эластичной турбулентности. Для его объяснения привлекалась гипотеза проскальзывания жидкости у стенок вискозиметра или капилляра [39, 99, 253]. Высказывалось также предположение о том, что причиной возникновения эластичной турбулентности являются происходящие в процессе течения структурные перестройки [250].
Рассмотрим математическую модель, описывающую движение тиксотропной жидкости в зазоре между цилиндрами ротационного вискозиметра. Считая толщину зазора малой по сравнению с радиусами цилиндров, примем плоскую схему течения, согласно которой исследуемая жидкость находится между двумя параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстоянии h Нижняя бесконечно протяженная пластина неподвижна, а верхняя -подвижная - обладает достаточно большой площадью, чтобы можно было бы пренебречь краевыми эффектами. Вязкость тиксотропнои жидкости зависит от степени ее структурированности. В качестве количественной характеристики степени структурированности жидкости будем использовать концентрацию разрушенных в процессе течения связей s . Результаты расчетов суммированы на рис. 3.1, где показана зависимость безразмерного касательного напряжения Т от Е. Эта зависимость характеризует положения равновесия рассматриваемой динамической ситемы, к которым, в случае устойчивости, решение стремится с течением времени. На рисунке эти устойчивые ветви отмечены жирными линиями. При малых значениях скорости сдвига (Е 0,95 ) структурные связи в жидкости не разрушаются. Имеет место простое сдвиговое течение жидкости с большой вязкостью, в которой не происходит разрушения поля течения на доменные структуры. Если в начальный момент времени по каким -либо причинам часть структурных связей нарушена, т.е. S- Ч0) f 0, то эти разрушенные связи со временем полностью восстанавливаются .
Процессы самоорганизации в газожидкостных системах вблизи давления насыщения
Экспериментальные и теоретические исследования, проведенные в последнее время с газосодержащими жидкостями, показали, что в предпереходных условиях (т. е. в области давлений, превышающих давление насыщения, но близких к нему) реологические и релаксационные свойства газожидкостных систем во многом определяются наличием "микрозародышей" - мельчайших газовых пузырьков, кооперативное действие которых проявляется при приближении к давлению насыщения [11, 35, 127, 131, 186, 198]. Существование подобных образований предполагают также в теории кавитации, чтобы объяснить резкое уменьшение реальной кавита-ционной прочности по сравнению с теоретической [102, 163, 188]. Некоторые оценки характеристик микрозародышей получены в опытах по измерению скорости и коэффициента поглощения звука [35], кавитационных шумов [188] и дифракции лазерного пучка. Причины, ведущие к образованию зародышей, и механизмы, обеспечивающие их стабильное существование, к настоящему времени до конца не выяснены.
Предпереходные явления могут быть объяснены в рамках теории Я.И. Френкеля, в соответствии с которой вблизи давления насыщения в жидкости имеется динамическая "популяция" зародышей, образованная гетерофазными флуктуациями плотности газа (А.Х. Мирзаджанзаде и др.).
Другие возможные причины, рассматриваемые в литературе, требуют наделения газожидкостных систем некоторыми дополнительными свойствами. Гарвей и др. предположили, что ядра не растворенного газа могут существовать в субмикроскопических гидрофобных трещинах, имеющихся на стенках сосудов или на поверхности примесных твердых частиц [102, 163]. Ряд авторов считает, что существование стабильных зародышей газа связано со следами ПАВ, которые адсорбируются на поверхности пузырька и создают пленку, упругость которой препятствует его охлопыванию [102, 188]. В работе [37] предполагается, что стабилизация пузырьков обеспечивается выделением на их поверхности пленок ПАВ с отрицательным поверхностным натяжением. Однако, в рамках этой модели возникает проблема устойчивости поверхности раздела относительно малых отклонений от сферической формы. П. Айзенберг связывает стабилизацию пузырьков со взаимодействием между ионами, адсорбированными на поверхности пузырька, и свободными ионами, находящимися в объеме жидкости [102].
Процессы зародышеобразования могут привести к ряду весьма интересных эффектов. Так, в работе [11] показана возможность образования в системах с зародышами газа локализованных структур. P.M. Саттаровым и М.М. Абдуллаевым построена модель движения газожидкостной системы в трубах, допускающая решения в виде периодических автоколебаний.
В настоящей главе рассмотрены процессы самоорганизации в средах с зародышами газа. Изучено влияние последних на движение по трубам и фильтрацию газожидкостных систем в предпере-ходных условиях.
Появление зародышей газа при приближении давления к давлению насыщения Рн приводит к изменению сжимаемости газожидкостной системы, что проявляется в характерном изломе на изотермах Р - P(V) . Эксперименты показывают, что число изломов на Р - V - зависимости может быть достаточно велико, что сви-дедельствует о целом ряде изменений состояния "популяции" зародышевых пузырьков [127, 131]. Рассмотрим эвристическую модель, описывающую один из возможных сценариев изменения состояния зародышей газа при снижении давления.
Пусть Ху\ - концентрация микрозародышей газа в диск-кретные моменты времени С у\ - И 1\х , где /\х - характерное время "жизни" микрозародышей. Предположим, что скорость образования зародышей пропорциональна их концентрации. При столкновении двух зародышей может произойти образование более крупного зародыша, который "живет" намного меньшее время, чем мелкие зародыши. Будем считать, что газ, содержащийся в крупных зародышах, переходит при их разрушении в растворенное состояние .
Поскольку Н с - \JH , то при выполнении (5.2) давление насыщения должно соответствовать предельному значению \л оо : Гц = \ Лоо // п . На рис 5.2 представлены точки ( CXfc, R. ), полученные по значениям (Х\ , К. , приведенным выше. В полном соответствии с соотношением (5.2), эти точки ложатся на прямую, причем давление насыщения Рн = 0,468 действительно соответствует значению 01-01 3,57.
Таким образом, фазовый переход в системах с зародышами газа может происходить аналогично переходу от детерминированного поведения к хаотическому. При приближении к давлению насыщения ансамбль зародышей газа становится все более неупорядоченным, что косвенным образом сказывается на виде P-V зависимостей. Отметим, что эти явления весьма сходны с дискретными эффектами, наблюдающимися при разрушении металлов [92].
Похожие диссертации на Исследование движений реофизически сложных жидкостей в трубах и пористых средах
