Содержание к диссертации
Введение
2 Явления, возникающие при импульсном нагружении конденсированной среды, и математическая модель . 21
2.1 Способы динамического нагружения твердых сред 21
2.1.1 Воздействие ударной нагрузки на образец 21
2.1.2 Взаимодействие детонационной волны с металлом при контактном взрыве 22
2.2 Фазовые превращения среды и их влияние на распространение возмущений 25
2.2.1 Фазовые превращения 25
2.2.2 Ударные волны разрежения 26
2.2.3 Расщепление ударных волн сжатия 28
2.3 Упругопластичность среды и ее влияние на распространение возмущений 30
2.4 Режимы отражения ударных волн от плоскости симметрии . 32
2.5 Разрушение 38
2.6 Математическая модель 39
2.6.1 Основные уравнения 39
2.6.2 Уравнение состояния 40
2.6.3 Граничные условия 43
2.6.4 Начальные условия 44
2.6.5 Учет нарушения сплошности среды 44
3 Численная схема . 46
3.1 Введение 46
3.1.1 Характерные особенности задачи и требования к методу моделирования 46
3.2 Сравнение некоторых схем 47
3.3 Численная схема для решения уравнений на треугольной сетке. 54
3.3.1 Эйлеров этап 54
3.3.2 Лагранжев этап 57
3.3.3 Устойчивость 57
3.3.4 Реализация граничных условий на нагружаемой и свободной поверхностях 57
3.4 Расчетная сетка 58
3.4.1 Начальная сетка 59
3.4.2 Адаптация 60
3.5 Тестирование алгоритма 64
3.5.1 Соударение двух плоских пластин 64
3.5.2 Распад разрыва поля давления 65
3.5.3 Распад цилиндрического разрыва 66
3.5.4 Сужающийся сверхзвуковой поток идеального газа 66
3.5.5 Сходимость решения по расчетным сеткам 67
4 Результаты. 71
4.1 Одномерные задачи 71
4.1.1 Нагружение взрывом 71
4.1.2 Нагружение ударом 73
4.2 Исследование косого взаимодействия ударных волн 75
4.2.1 Постановка задачи и известные экспериментальные данные. 76
4.2.2 Тестовая задача: нерегулярное взаимодействие ударных волн в алюминии 76
4.2.3 Регулярные режимы взаимодействия волн в железе 77
4.2.4 Нерегулярные режимы взаимодействия волн в железе 77
4.2.5 Давление на оси симметрии 78
4.3 Схождение конической волны 79
4.4 Исследование взаимодействия двух синхронных взрывных импульсов 80
Заключение 100
Литература 101
- Фазовые превращения среды и их влияние на распространение возмущений
- Сравнение некоторых схем
- Тестирование алгоритма
- Исследование косого взаимодействия ударных волн
Введение к работе
1.1 Изучаемые физические процессы и цели работы.
Настоящая работа посвящена численному исследованию динамического (ударного и взрывного) нагружения конденсированной среды, способной претерпевать полиморфные фазовые переходы. Прежде всего поясним, какие среды имеются в виду. Многие твердые вещества могут при разных условиях пребывать в различных кристаллических модификациях. При некоторых значениях давлений и температур, связанных определенной зависимостью, возможны переходы из одной модификации в другую. Эти переходы сопровождаются изменением объема. Они являются фазовыми переходами первого рода и называются полиморфными превращениями вещества. Например, полиморфное превращение а-железа в е-железо, графит — алмаз, превращения в минералах, в ионных кристаллах, сульфиде кадмия, кварце, нитриде бора и т.д.
Процессы, происходящие в твердом теле под действием быстро изменяющейся нагрузки, фундаментальным образом отличаются от имеющих место в статическом или квазистатическом случае. При квазистатической деформации в любой момент времени мы имеем статическое равновесие, т.е. сумма сил, действующих на любой элемент тела, близка к нулю. Когда же деформация передается снаружи с очень большой скоростью, одна часть тела сжата, в то время как другая еще не почувствовала этой нагрузки. Таким образом, в то время как квазистатическая деформация может рассматриваться как последовательность состояний равновесия динамическая обычно включает в себя распространение волн. Поэтому динамическая деформация конденсированной среды является предметом изучения гидродинамики.
Рассмотрим общую схему процессов, происходящих при динамическом нагружении взрывом или ударом. При взрыве заряда конденсированного взрывчатого вещества на поверхности образца материала образующаяся детонационная волна, воздействуя на образец, формирует в нем импульс, состоящий из ударно-волнового сжатия и затем постепенной разгрузки, вызванной разлетом продуктов детонации. По образцу распро- страняется ударная волна сжатия и волны разрежения. При соударении ударника с образцом со скоростью удара, сравнимой со скоростью звука в рассматриваемой среде, в мишени и ударнике формируются ударные импульсы по форме близкие к прямоугольным. Генерируемые в момент соударения скачки сжатия движутся от контактной поверхности в толщу мишени и ударника. Основными параметрами, влияющими на характер соударения двух тел или взрывного нагружения тела, являются скорость соударения или мощность взрыва и геометрия тел. Изменением плотности и массы накладного заряда, также как и скорости ударника можно варьировать давления, достигаемые при нагружении образца. При рассматриваемых в данной работе скоростях соударения (порядка 1 км/с), а также при взрывном нагружении возникающие в образце давления намного превышают упругие и прочностные характеристики материала, но еще не происходит плавления материала в ударных волнах.
Поверхность образца, к которой приложена взрывная нагрузка назовем нагружаемой, поверхность соударения ударника с мишенью - контактной, а границу образца с окружающей воздушной средой - свободной поверхностью. Волны сжатия взаимодействуют со свободными границами образцов, образуя вторичные волны разрежения, распространяющиеся внутрь. Течение характеризуется развитой волновой структурой и сильно деформирующимися свободными поверхностями.
Взаимодействие первичных и вторичных волн разрежения в толще материала вызывает растягивающие напряжения, превышающие порог прочности, и приводит к разрушению образца. Разрушение, обусловленное взаимодействием волн разрежения, называется отколом.
При определенных условиях рассмариваемые среды в ударных волнах и волнах разрежения претерпевают фазовые переходы, что, в свою очередь, оказывает существенное влияние на распространение этих волн и, в частности, приводит к расщеплению фронтов ударных волн и к образованию ударных волн разрежения. Такая структура течения является причиной разнообразия форм разрушения: многоволновая структура взаимодействующих импульсов является причиной множественных отколов, а при взаимодействии ударных волн разрежения формируются тонкие области с большими растягивающими напряжениями и откольные поверхности получаются гладкими.
Интересным случаем является нагружение материала, способного претерпевать фазовые переходы, несколькими пространственно разнесенными взрывами или ударами. При этом в образце формируется сложная нестационарная картина взаимодействия волн, включающая в себя регулярное и маховское взаимодействие, и вызывающая образование нескольких областей разрушения с гладкими и шероховатыми поверхностями. Исследование такого нагружения и является целью данной работы.
Таким образом, при динамическом наружении твердых сред проявляется множество упомянутых физических процессов. Аналитическое исследование этих явлений возможно лишь в некоторых идеализированных ситуациях, например, когда интенсивность ударных волн мала. Экспериментальный подход дорог и трудоемок, кроме того он не дает полной информации о процессе, так как ни один из существующих экспериментальных методов не позволяет определить все параметры, характеризующие состояние среды в каждой точке течения. Поэтому численное моделирование представляется эффективным методом, дающим исчерпывающую информацию о течении и позволяющим исследовать влияние различных процессов на течение в целом, а также взаимосвязь этих процессов. Кроме того, вычислительный эксперимент постоянно дешевеет по сравнению с физическим и является более мобильным благодаря легкости смены параметров задачи, таких как геометрические параметры образца, материал, начальные условия и т.п. Вместе с тем, необходимо давать себе отчет о корректности используемой модели и метода расчета, что требует дополнительных усилий по тестированию метода на системе специально подобранных модельных задач, содержащих наиболее существенные черты изучаемых процессов. Построению адекватного инструмента для численного моделирования ударноволнового деформирования конденсированной среды с полиморфными фазовыми переходами посвящена большая часть настоящей работы.
1.2 Практические приложения изучаемых процессов.
В настоящее время интенсивно развивается раздел физики и механики, связанный с изучением механических и физико-химических процессов, происходящих при прохождении сильных ударных волн в металлах, минералах, полимерах и других твердых телах. Это связано с развитием как традиционных направлений человеческой деятельности, где используются взрыв и высокоскоростное соударение, так и с развитием новых технологических процессов. Рассмотрим основные приложения, где используется динамическое деформирование твердых сред и их разрушение.
Ударно-волновая обработка металлов появилась в 60-х годах и до сих пор возникают интересные и уникальные технологические приложения в этой области. Наиболее разработанными являются сварка высокоскоростным соударением и штамповка взрывом. Применение высокоскоростного соударения для сварки металлов подробно изложено в работе [1]. Интересный метод подводной ударно-волновой сварки описан в статье [2]. Процесс ударной сварки заключается в следующем. Металлическая пластина помещается над другой на определенном расстоянии. Детонация ВВ над верхней пластиной разгоняет ее к нижней под некоторым небольшим углом со скоростью порядка 103 м/с. Столкновение пластин продуцирует высокое давление на контактной поверхности, а это давление, в свою очередь, вызывает появление кумулятивной струи в зоне соударения, что приводит к металлургическому связыванию поверхностей. Эта технология применяется для соединения металлов с очень разными точками плавления, которые не могут быть сварены обычным образом. Так, например, алюминий и титан могут быть приварены к стали. Для такого способа сварки необходимо правильно определить параметры заряда ВВ, чтобы с одной стороны, обеспечить необходимую скорость соударения для данных металлов, но с другой, не разрушить метаемую пластину.
Второе приложение, которое успешно применяется в промышленности - взрывная штамповка. Энергия взрыва заставляет металлическую заготовку распределяться по форме. Это может быть сделано в передающей среде, такой как вода, или через прямой контакт ВВ со штампуемым металлом.
Также взрывы используются для резки металлов, например, с помощью линейных профилированных кумулятивных зарядов. Детонация ВВ инициирует металлическую кумулятивную струю, которая режет металл под зарядом.
Выработка горной породы - другое важное приложение, где динамическое поведение среды играет большую роль. Волны сжатия и сдвиговых напряжений распространяются по породе и фрагментируют ее. Это приложение очень важно как в горной так и в строительной промышленности.
Существует ряд приложений, основанных на способности некоторых веществ претерпевать полиморфные фазовые переходы в ударных волнах. В первую очередь это - ударный синтез. Ударный синтез используется для промышленного синтеза алмазного порошка из графита, боразона из нитрида бора и т.п. В одном из методов ударного прессования порошок помещается в цилиндрическую оболочку, окруженную ВВ. Детонация инициируется на одном конце и ускоряет стенки оболочки вовнутрь, сжимая порошок до очень высоких давлений. Это высокое давление приводит к соединению частиц порошка и/или переходу в другую твердую фазу. Таким же способом прессуют металлические, полимерные и керамические порошки.
Большой практический интерес представляют "гладкие"отколы, получаемые при нормальном и косом взаимодействии ударных волн разгрузки. А.Г.Ивановым и С.А.Новиковым [3] доказано, что при определенной организации взаимодействия волн разгрузки в металле можно получать поверхности разрушения сложной формы с чистотой, соответствующей токарной обработке. Это создает предпосылки для использования "гладкого" откола в технологических процессах резки металлов взрывом [4].
Ударная сварка, штамповка металлов, взрывная резка, образование новых веществ, их модификаций и фаз, все это связано с процессами, инициируемыми ударными волнами с давлениями 1-Ю2 ГПа.
Кроме того существует еще ряд практических задач, связанных с защитой космических аппаратов от разрушения ударами микрометеоритов.
Разработка, применение и оптимизация описанных выше технологий требует знания происходящих процессов в каждом конкретном случае, для чего необходимо использование математических моделей, способных описывать поведение материалов при интенсивном динамическом нагружении.
Таким образом, задача о распространении, взаимодействии ударных волн в твердых средах и их разрушении представляет не только фундаментальный, но и практический интерес.
Рассмотрим теперь существующие подходы к изучению этих процессов, а также историю их развития.
1.3 Обзор работ по изучению ударноволнового деформирования и разрушения твердых сред.
Ударноволновое нагружение конденсированных сред исследуется, начиная с 40-х годов, как экспериментально, так и теоретически с помощью численного моделирования.
1.3.1 Экспериментальные исследования.
Экспериментальным исследованиям в области ударных волн в конденсированных средах посвящены обзоры [5],[6],[7]. В [5] описаны методы измерения ударной сжимаемости с помощью различных устройств. Дан обзор по экспериментальному изучению ударного полиморфизма, в частности железа и титана, а также горных пород. В [6] излагаются методы динамического нагружения конденсированных сред, используемых в лабораторных и полигонных экспериментальных исследованиях. В обзоре обобщены результаты исследований, нацеленных на построение ударных адиабат металлов.
Значительная часть экспериментальных работ [8]- [17] по динамическому нагруже-нию конденсированных сред проводилась в одномерной постановке, позволяющей выявить наиболее характерные черты изучаемого явления и понять механизм происходящих процессов. Подобные экспериментальные работы были нацелены на построение уравнений состояния материала, и, в частности, изучение влияния полиморфных фазовых переходов на эти уравнения [8], [3],[14], разработку моделей откола [11],[10],[15],[12]. Как правило, в экспериментах осуществлялось нагружение плоской пластины изучаемого материала ударом пластины-ударника, летящей со скоростью 102 — 103 м/с. В некоторых случаях,[11],[9], [10],[13],[16] образец нагружался взрывом накладного заряда взрывчатого вещества. В подобных экспериментах основными измеряемыми величинами являются скорость движения тыльной поверхности образца и толщина откольного слоя. В [17] описаны способы измерения скорости свободной поверхности в таких "одномерных" экспериментах, особенности получаемых профилей и их интерпретация. В качестве примера приведено множество экспериментальных кривых, полученных для разных металлов при различных условиях взрывного и ударного нагружения. В работах [18] также фиксировалось давление во внутреннем сечении образца в зависимости от времени с помощью манганиновых датчиков, вмонтированных в образец.
В результате экспериментов впервые были обнаружены структурные изменения мартенситного типа по микроструктуре стальных образцов, испытавших ударно-волновое сжатие. Эти опыты проводились в 40-х годах в рентгеновской лаборатории Института машиноведения АН СССР под руководством В.А.Цукермана и описаны в [19]. Правильная интерпретация результатов была получена в [20] после открытия Банкрофтом, Петерсоном и Миншеллом [8] фазового а — є перехода в железе при давлении 13 ГПа.
В работах Иванова, Новикова и их сотрудников [21], [22], [23] были исследованы особенности фазового превращения в железе, измерены профили ударных волн и шир- ина фронта фазового перехода, составившая 2 мкс. Исследования обратных фазовых превращений, описанные в этих работах, привели к экспериментальному обнаружению ударных волн разрежения, возможность которых следует из отрицательности кривизны адиабаты разгрузки. В этих экспериментах при столкновении встречных волн разрежения, обусловленных обратным фазовым превращением в железе, наблюдался гладкий откол металла, что свидетельствует об очень малой толщине области растягивающих напряжений из-за чрезвычайно высоких скоростей обратного фазового перехода є —» а. Эти исследования явились доказательством существования ударных волн разрежения в веществах, имеющих точки излома на ударной адиабате. Анализ полученных в [22], [23] экспериментальных результатов был дан Зельдовичем [24]. Прямая регистрация ударной волны разрежения осуществлена с применением манганиновых датчиков давления в [18].
В [15], [3],[10],[11] представлены результаты исследования критических разрушающих напряжений при взрывном нагружении для стали нескольких марок, алюминиевого сплава и меди. Приведены оценки для критического напряжения и толщины откола.
Множество работ посвящена также изучению высокоскоростного проникания ударника в мишень. В большей мере изучены тонкие и полубесконечные плиты.
В [25] рассмотрена классификация основных факторов и условий физико-механического поведения металлических плит при проникании. Приведены различные инженерные методы оценки прочности плит. Дан обзор результатов численного моделирования процесса. S.Yoshie и T.Usui [26] измеряли напряжения датчиками, расположенными в нескольких точках на лицевой поверхности поверхности мишени при проникании в нее медного ударника.
Теперь рассмотрим результаты исследований, наиболее близких по теме к настоящей работе, а именно посвященных изучению волновой картины при взаимодействии и фокусировке ударных волн в конденсированных средах, в частности, в железе.
Систематическое изучение взаимодействия плоских ударных волн в конденсированных средах началось с экспериментального обнаружения маховского отражения ударных волн в твердых взрывчатых веществах и в алюминии Е.А.Феоктистовой [27]. Дальнейшему исследованию нерегулярного отражения в конденсированных ВВ посвящены работы [28],[29].
Интересные эксперименты проводил Л.В.Альтшулер с сотрудниками [30] для исследования режимов косого взаимодействия двух ударных волн в металлах (алюминии, железе, меди). Цель экспериментов заключалась в регистрации размера и формы головной волны при маховском взаимодействии ударных волн амплитудой в несколько десятков гигапаскалей в ряде металлов, в частности, в алюминии и железе. Угол столкновения волн варьировался от 30 до 60. Авторы применили остроумный способ визуализации ударных волн, выходящих на свободную повехность образца. Основание образца прикрывалось прозрачной пластиной из плексигласа. По мере движения падающих волн линия пересечения ударных фронтов с поверхностью плексигласа перемещалась от краев образца к середине его основания. Перемещение фронта волны сопровождалось кратковременным свечением воздуха в зазоре между плексигласовой пластиной и образцом. При выходе ножки Маха на нижнюю поверхность образца возникало одновременное свечение всего занятого ею участка поверхности. Последовательное пересечение волнами поверхности прозрачной пластины снималось на скоростном фотохронографе через щель, расположенную перпендикулярно плоскости соударения волн. Заснятые фотохронограммы позволили определить автомодельный характер движения конфигурации волн при маховском режиме взаимодействия волн, измерить угол движения тройной точки в зависимости от угла столконовения волн, вычислить давление за ножкой Маха , определить критические углы перехода к маховскому взаимодействию. Кроме того, авторам удалось измерить угол изгиба маховской волны в предположении о постоянстве ее кривизны. Все эти результаты были получены для алюминия. В железе же при взаимодействии ударных волн рассматриваемой в [30] интенсивности (42 ГПа) величина угла движения тройной точки сравнима с погрешностью его измерения, а в некоторых случаях даже меньше ее, что позволяет использовать результаты [30] только для примерной оценки критического угла. T.Neal [31] с применением методов импульсной рентгенографии исследовал нерегулярное отражение ударных волн в призматическом и плоском образцах из алюминия с давлениями 27,7 и 12.1 ГПа. Для визуализации смещения частиц среды в образец были вмонтированы листы танталовой фольги перпендикулярно оси симметрии. Обработка рентгенограмм позволила автору восстановить картину нерегулярного взаимодействия ударных волн внутри образца, измерить размер маховской области и определить углы наклона падающей и отраженной ударных волн. Фольга не была разорвана в области за тройной точкой, что свидетельствует об отсутствии контактного разрыва и о неприменимости классической трехударной конфигурации с контактным разрывом для описания отражения ударной волны. Автор приписывал такой эффект влиянию вязкости.
Тут необходимо обратиться к истории исследований нерегулярного взаимодействия ударных волн в газах, поскольку для конденсированных сред не существует теории на этот счет, но отдельные работы в этой области показывают применимость положений, разработанных для газа для рассмотрения нерегулярного взаимодействия ударных волн в конденсированных средах. Маховское взаимодействие сильных ударных волн в газах довольно хорошо изучено. Здесь необходимо оговорить, что "сильной" падающая ударная волна считается, если поток за отраженной волной сверхзвуковой, а "слабой" - если дозвуковой (в системе координат, связанной с тройной точкой). Экспериментальные результаты в области взаимодействия сильных волн неплохо описываются теорией элементарного маховского отражения [32], [33], в которой падающий, отраженный и маховский скачки считаются плоскими. При уменьшении числа Маха падающей волны (до М — 1.5 для газа с показателем адиабаты j = 1.4)начинаются сильные расхождения данной теории с экспериментом, а при дальнейшем уменьшении М (для газа при 1 < М < 1.25) теория вообще не дает решений. Существование нерегулярного отражения в этой области параметров носит название парадокса фон Неймана. В большинстве случаев ударные волны в конденсированных средах, реализуемые на практике, являются слабыми. Рассматриваемые в данной работе ударные волны в металлах также являются слабыми (числа Маха падающей волны М < 1.5). Принципиальное отличие схем отражения "сильных"и "слабых"волн состоит в том, что для всей области течения за отраженной ударной волной скорость звука больше скорости потока, следовательно звуковые возмущения из области ниже по потоку достигают фронта отраженной ударной волны, искривляя ее на всем протяжении. Тем самым нарушаются основные предпосылки применимости элементарной трехударной теории. Для маховского взаимодействия слабых ударных волн в условиях парадокса фон Неймана до сих пор не существует законченной теории, нет схемы, адекватно описывающей течение среды в окрестности тройной точки. В работах [34],[35],[36], [37], [38], [39], [40] и других, предлагаются различные теории на этот счет. Попытки теоретического обоснования парадокса в основном сводятся к ревизии тех или иных положений трехударной теории. В [41] с помощью численного моделирования было показано, что в случае взаимодействия слабых волн существует область парамеров взаимодействия, в которой отраженная волна представляет собой не ударную волну, а группу нестационарных автомодельных сжатий конечной толщины, при этом течение за отражением неоднородно.
Эксперименты по изучению сходящейся конической волны описаны в [42], [43], [44] и [45],[46]. В их экспериментах цилиндрические образцы (из меди, алюминия и железа в [42] и из плексигласа в [43], [44],[45],[46]) нагружались детонацией концентрического цилиндра из взрывчатого вещества, инициируемой с его торца. Распространение детонационной волны по взрывчатке вдоль боковой поверхности цилиндра вызывало формирование конической ударной волны, сходящейся к оси симметрии образца. Снималась фотохронограмма смещения торцевой поверхности образца в отраженном свете, что позволило наблюдать ударные волны, выходящие на свободную поверхность образца. В [45] давление во внутреннем сечении образца фиксировалось кольцеобразными датчиками на различном расстоянии от центра цилиндра. В [46] в качестве образцов использовались составные плексигласовые цилиндры. Также, как и в [30], снималось свечение воздуха в зазорах при прохождении ударных волн. Во всех этих работах был зафиксирован осесимметричный аналог маховского отражения с образованием диска Маха, причем отмечается, что спустя некоторое время после инициации взрыва устанавливается стационарная конфигурация волн, с диском Маха постоянного радиуса, распространяющимся вдоль оси симметрии со скоростью детонации. В железе наблюдались [42] три сходящиеся конические ударные волны, что связано с наличием упругой фазы деформации и фазовым переходом, причем маховское отражение наблюдалось только для последней из этих волн, в которой среда переходит из а в є-фазу. В [46] и [45] по результатам измерений профилей давления внутри образца отмечается, что отраженная волна сжатия представляет собой относительно плавное нарастание давления, причем это плавное нарастание фиксируется сразу же вслед за скачком давления в падающей ударной волне. После достижения некоторой максимальной величины, давление плавно падает. В области, сжимаемой диском Маха, фиксируется острый пик давления. Эти экспериментальные результаты совпадают с представлениями [41], сформированными для слабых ударных волн в газе с помощью численного моделирования.
Отметим еще две интересные экспериментальные работы, в которых изучалось взаимодействие синхронных взрывных импульсов в стальных образцах. В.И. Зельдович, Н.П.Пурыгин и др. [47] исследовали деформацию толстых металлических дисков, подвергнутых с торцов воздействию синхронных взрывов, генерирующих в образце ударные волны с давлением порядка 60 ГПа. Использовалась осесимметричная схема нагружения, т.е. взрывы инициировались в центре торцов. Отмечено образование двух областей трещин, направленных соответственно вдоль и перпендикулярно оси симметрии диска.
Б.В.Литвинов, М.А.Лебедев и Д.М.Лебедев [48] осуществляли симметричное взрывное нагружение стального шара следующим образом: в центр кубического заряда взрывчатого вещества помещался образец, детонация инициировалась симметрично по трем различным схемем, а именно: одновременно в центрах всех граней куба; в 10-ти точках на каждом ребре; в 16 точках на каждой грани. Были получены различные симметричные картины разрушения, вызванные сходящимися волнами различной формы.
Таким образом, количество параметров доступных для регистрации в экспериментах по динамическому нагружению твердых сред весьма ограничено, особенно это касается экспериментов в неодномерной постановке. Поэтому для изучения этих процессов особенно эффективен численный эксперимент.
1.3.2 Численное моделирование. Применяемые математические модели.
В случае, приближенном к одномерному, численное моделирование дает возможность детально сопоставить расчетные данные с контролируемыми в экспериментах параметрами и ответить на вопрос об адекватности модельных представлений реальному физическому процессу. Таким образом, одномерная задача о соударении двух плоских пластин используется для тестирования различных моделей среды, уравнений состояния, моделей фазовых переходов [59],[49],[50] и откольного разрушения [55].
В известных работах для описания поведения конденсированной среды используют систему уравнений сжимаемой жидкости [14], [60], [67] это т.н. "гидродинамический" подход, или уравнения упругопластического тела [49],[50],[53],[54]. Упругие свойства металлов существенным образом проявляются при распространении ударных волн с давлениями порядка 1 ГПа. Как показывают результаты расчетов по обеим моделям в одномерном случае учет упругой фазы деформации не оказывает заметного влияния на картину течения и толщину откола при давлениях порядка 10 ГПа. Система уравнений упругопластического тела в многомерном случае является очень громоздкой и до появления работы Кондаурова [71] она не поддавалась решению с помощью гидродинамических численных методов. Кондауров записал систему уравнений упругопластического тела в дивергентной форме, что позволило применить для ее решения метод Годунова. С помощью разработанного инструмента Ломову и Кондаурову удалось получить подробные картины распространения и взаимодействия ударных волн в задачах соударения в большом диапазоне скоростей соударения (102 — 104 м/с). Нужно отметить, что упругие свойства среды проявляются в таких эффектах, как распространение упругих предвестников волн сжетия и разрежения, упрочнение среды, разрушение при сдвиговых деформациях, и могут оказывать существенное влияние на картину деформирования и разрушения образца. Однако, при давлениях, существенно превышающих предел текучести материала, гидродинамическая модель без учета упругих свойств среды позволяет получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментом. Эти результаты позволяют изучить эффекты, проявляющиеся при распространении волн, связанные с полиморфными фазовыми переходами, что и является основным предметом исследования настоящей работы.
Существует два основных подхода к моделированию полиморфных фазовых переходов в ударных волнах. Первый используется в [59],[67]. В рамках этого подхода состояния задаются для каждой фазы. Выбор неоходимого уравнения состояния обеспечивается заданием номера фазы при обращении к уравнению состояния. Одновременно с термодинамическими функциями рассчитывается контрольная функция, зависящая от плотности и внутренней энергии, в зависимости от значений которой вещество считается относящимся к той или иной фазе.
Другим подходом к построению математических моделей среды с фазовыми переходами, используемым в [49],[50],[51], [52], [56], является рассмотрение среды как смеси фаз и для ее описания использование уравнений движения многофазной среды с учетом массообмена и описанием кинетики фазовых переходов.
Проблема описания разрушения в численном алгоритме сводится к решению двух задач: выбору критерия откола, то есть определению параметров, при которых материал считается разрушенным, и учету разрушения материала, то есть выбору соотношений, описывающих поведение разрушенного материала и их реализации на расчетной сетке.
Обзор критериев откола приведи в [58]. С целью анализа мгновенного критерия откола в [55] рассматривался процесс одномерного нагружения стальной мишени ударником на основе модели упругопластической двухфазной среды. Моделировалась серия экспериментов [11], в которой стальная пластина соударялась с мишенями разной длины со скоростью 960 м/с, и [12] - соударение алюминиевой и стальной пластин со скоростью 1310 м/с. Представленные результаты сравнения с экспериментом показали, что рассмотренная схема мгновенного откола удовлетворительно описывает отколы, реализующиеся при быстром росте растягивающих напряжении в достаточно сильных волнах разрежения с амплитудами порядка 8 ГПа. Для описания волн меньшей интенсивности, характеризующихся образованием микродефектов в процессе действия растягивающего импульса напряжений, необходимо вводить в рассмотрение кинетику образования микротрещин и микропор, являющихся источниками снижения действующих напряжений.
Существует два различных способа учета разрушения материала: введение "разрушенных" ячеек и явное выделение поверхностей разрыва, образующих полость трещины. Первый из них, более простой, использовался в [51], [63]. Он может быть применен как в лагранжевых, так и в эйлеровых численных алгоритмах. В [52] разрушение рассматривается как процесс роста пор в деформированном материале под действием растягивающих напряжений. Моментом завершения локального макроскопического разрушения при таком подходе является достижение пористостью критической величины. Разрушенный материал описывается как порошок. Реализация второго способа с раздвоением узлов сетки представлена в [64], [66] и [61], без раздвоения - в [65]. Этот подход наиболее удобен для применения в лагранжевых алгоритмах. Основным его недостатком является сложность построения модели трещины, проходящей не по координатным линиям сетки, в случае четырехугольной сетки, или не по границам элементов в случае треугольной.
Известные результаты.
Подавляющее большинство работ по численному моделированию ударных волн конденсированных средах посвящено задачам проникания ударников различной формы в мишени [68], [69],[60], [52], [62], [61], [26], [70]. При этом рассматривается как нормальный, так и косой удар.
Т.Рини [68] рассматривал различные осесимметричные конфигурации "ударник - мишень", в частности, слоистые мишени, полые цилиндрические и сферические ударники с тонкими мишенями и ударники малой плотности с толстыми мишенями, при скорости соударения 1.5 км/с. В случае с полыми цилиндрическими ударниками исследовались механизмы фокусировки ударной волны и образования струи. Рассматривались очень высокие скорости соударения - 7.6 и 15 км/с. Цилиндрическая фокусировка ударной волны приводит к повышению давления до максимального значения около 1 ТПа по сравнению со значением при ударе 0.31 ТПа (в 3 раза). Затем образуется центральная кумулятивная струя, движущаяся со скоростью 7-9 км/с. Для моделирования использовался метод крупных частиц и модель сжимаемой жидкости.
В.Д.Иванов, И.П.Петров и др.[62] расчитывали косое соударение бесконечного деформируемого гранитного цилиндра с деформируемой преградой из органопластика, защищенной тонким пенопластовым экраном и столкновение алюминиевого стержня со стальной плитой в рамках упругопластической модели. Скорость удара 870 м/с. Использовался сеточно-характеристический метод на четырехугольной сетке. В расчетах получены качественные картины деформации ударника и мишени, области высокого давления.
А.В.Фонарев [69] с помощью метода Уилкинса занимался изучением влияния параметров цилиндрического бойка на напряженно-деформированное состояние преграды при высокоскоростном ударе.
Н.Н.Белов, С.А.Афанасьева и др.[52] занимались вопросом прогнозирования последствий удара потока частиц на процесс пробивания мишеней конечной толщины. С этой целью они рассчитывали задачу о высокоскоростном ударе (со скорост- ью до 3 км/с) двух одинаковых стальных шариков о стальную плиту. Рассматривалась двумерная осесимметричная задача о последовательном ударе и трехмерная задача об одновременном ударе. Во втором случае было отмечено возникновение областей разрушения между шарами вблизи срединной поверхности, обусловленное взаимодействием волн разгрузки. Для моделирования использовался метод крупных частиц на сетке, состоящей из ячеек-параллелепипедов.
В.А.Горельский с сотрудниками [70] также проводили численное моделирование двумерной задачи об одновременном проникании двух ударников в преграду со скоростью около 3 км/с. Ударники в сечении, перпендикулярном плоскости преграды, -квадратные, столкновение происходит под углом 15 к мишени. Численный эксперимент проводился с разнами расстояниями между центрами ударников, отмечено, что при больших расстояниях, порядка 5 размеров ударника, нет взаимного влияния частиц на развитие зон разрушений. В случае расстояний порядка 2-х размеров ударника зоны разрушений частиц сливаются и развиваются совместно.
Представленные в этих работах результаты численных расчетов весьма поверхностно отражают существо явления. В частности, не выявлен ударноволновой характер процессов, волны сжатия сильно размыты. Отсутствие адаптации и низкий порядок аппроксимации численных схем не позволили выделить особенности течения и получить решение с достаточной точностью. В большинстве случаев результаты приведены в виде формы окончательного деформирования мишени. Видны глубина и форма кратера.Таким образом количество работ, посвященных изучению волновой картины при взаимодействии и фокусировке ударных волн в металлах весьма ограничено.
1.3.3 Традиционные численные методы интегрирования уравнений движения среды со свободными поверхностями.
Компьютерное моделирование ударного и взрывного нагружения образца сводится к численному интегрированию рассмотренной в гл.2 системы нелинейных дифференциальных уравнений гиперболического типа. Успех численного моделирования обусловлен выбором численных алгоритмов и зависит от точности воспроизведения ими волновых процессов. Используемые при этом численные схемы, помимо очевидных свойств аппроксимации, устойчивости и сходимости, должны удовлетворять некоторым дополнительным требованиям, которые определяются физическими особенностями рассматриваемой задачи.
Отмеченные физические особенности течения при ударе с математической точки зрения классифицируются как сильные, слабые и контактные разрывы, местоположение которых заранее неизвестно и определяется в процессе решения задачи. Разрывы различных типов, взаимодействуя друг с другом и с внешними границами, приводят к довольно сложной волновой картине, которая со временем усложняется настолько, что следить за отдельными особенностями течения и выделять каждый разрыв как границу между областями непрерывного движения становится практически невозможным. С этой точки зрения предпочтение отдается разностным схемам сквозного счета, позволяющим вести счет по единообразным формулам независимо от наличия и характера особенностей течения. Однако, используя схемы сквозного счета, все же необходимо выделять границы раздела различных материалов и свободные поверхности, чтобы исключить численные, не имеющие физического смысла, процессы диффузии и взаимного перемешивания материалов вблизи контактных границ.
В ударно-волновых процессах за время At ~ Ах/а (Ах - характерный размер расчетной ячейки; а - скорость звука в среде) происходит заметное изменение структуры течения. Следовательно, ограничение, накладываемое на шаг по времени условием Куранта - Фридрикса - Леви, диктуется не только формальным соображением обеспечения устойчивости счета, но и самой сущностью протекающего физического процесса. Отсюда ясно, что при моделировании динамики удара предпочтение следует отдать явным схемам, как более экономичным и в то же время лучше передающим локальные свойства систем уравнений гиперболического типа.
Итак, высказанные соображения говорят о целесообразности применения для рассматриваемого класса задач высокоскоростного соударения явных схем сквозного счета. Остановимся кратко на качественных особенностях традиционных численных методов для уравнений движения жидкости со свободными поверхностями.
Лагранжевы алгоритмы имеют некоторые преимущества перед эйлеровыми для задач со свободными и контактными поверхностями, поскольку позволяют точно отслеживать эти границы. С другой стороны они не являются консервативными для импульса, а также приводят к сильным искажениям ячеек расчетной сетки. Эйлеровы алгоритмы, в свою очередь, обладают следующими основными недостатками: они приводят к размазыванию контактных поверхностей, а также отслеживание подвижных границ в рамках этих методов связано с дополнительными трудностями, такими, как использование метода маркеров. Поэтому наиболее популярными являются смешанные эйлерово-лагранжевы алгоритмы. К подобным алгоритмам относятся метод крупных частиц [72]. В них счет фактически ведется в локальных лагранжевых координатах с последующим пересчетом (интерполяцией) на фиксированную эйлерову расчетную сетку. Переход с одного временного слоя на другой осуществляется в два этапа. На первом этапе не учитываются эффекты перемещения среды и вычисляются промежуточные значения параметров течения. Далее, на основе конечно-разностных представлений законов сохранения рассматриваются потоки "крупных частиц" через эйлерову расчетную сетку. Таким образом, схема метода крупных частиц допускает трактовку как схема расщепления по физическим процессам. В методе крупных частиц используется по сути дела совместное эйлерово - лагранжево описание движения среды.
Как показал анализ, представленный в главе 3, для рассматриваемой задачи с учетом полиморфных фазовых переходов свойство консервативности схемы является весьма существенным. В то же время сложности с искажением ячеек в лагранжевых алгоритмах и с размазыванием разрывов в эйлеровых могут быть преодолены путем использования перестраивающихся неструктурированных адаптивных сеток. Поэтому предлагается другой лагранжево-эйлеров подход, в котором решаются уравнения, записанные в эйлеровой системе, а затем сетка передвигается лагранжевым образом.
Традиционным методом решения задач о нестационарном течении сжимаемой жидкости является метод маркеров и ячеек (MAC-marks and cells) [73]. В нем используется конечно-разностная схема для решения уравнения неразрывности и уравнений Навье-Стокса, зависящих от времени. Данным методом можно расчитывать задачи со свободными поверхностями, при этом положение жидкости отмечается частицами-маркерами. Такие частицы перемещаются вместе с жидкостью по эйлеровой расчетной сетке. Их скорости определяются линейной интерполяцией по скоростям в узлах эйлеровой сетки. Если в процессе счета некоторые маркеры из граничных ячеек перемещаются во внутреннюю ячейку, такие маркеры удаляются, если они расходятся на слишком большое расстояние, то добавляются новые маркеры. Подробное описание этого метода дано в работе [74]. Метод получил развитие в работах, приведенных в сборнике [75]. Такой способ расчета подвижных границ был реализован в методах Мак-Кормака [76], Лакса-Вендроффа [77], крупных частиц [72].
Разностная схема Мак-Кормака является двухшаговой схемой типа предиктор - корректор второго порядка точности. Она относится к так называемым нецентральным разностным схемам, когда производные по пространственным переменным на первом и втором шаге вычисляются как левые и правые соответственно. Отметим, что схему Мак - Кормака можно рассматривать как нецентральный вариант схемы Лакса - Вендроф-фа. Схема Мак - Кормака не является монотонной. Поэтому при сквозном счете ударных волн наблюдается появление нефизических осцилляции численного решения в зоне разрыва и на некотором расстоянии от него. Для устранения этого недостатка применяется нелинейное сглаживание, основанное на методе коррекции потоков [78]. Суть его состоит в том, что сначала в решение вносится большая численная диффузия, обеспечивающая монотонность схемы. Затем, за счет антидиффузионных потоков, диффузия исключается всюду, где это не приводит к появлению новых нефизических экстремумов или к усилению существующих. При решении двумерных задач сглаживание осуществляется последовательно по каждой из координат.
Метод Уилкинса хорошо известен и подробно описан в [79]. Основные уравнения в данном методе аппроксимируются со вторым порядком точности.
Для сквозного расчета течений с ударными волнами в методах крупных частиц, Уилкинса и конечных элементов используется искусственная вязкость. Она имеет тензорную или скалярную природу. Произвольные константы, входящие в искусственную вязкость, сильно влияют на качественный характер решения. Их численные значения подбираются экспериментально, исходя из требований минимального размазывания разрывов и устранения нефизических осцилляции в их окрестности. Эти требования в значительной степени являются противоречивыми и удовлетворить им можно лишь частично.
Для расчета течений жидкости при произвольном числе Маха Ф.Харлоу, Э.Амсден и С.Херт предложили метод ICE (Implicit Continuous-fluid Eulerian) [75] (1971). Метод основан на использовании неявной конечно-разностной схемы для уравнений Эйлера и уравнения Пуассона на структурированной сетке. Метод не обладает способностью качественного разрешения ударных волн, требование структурированности сетки не позволяет рационально использовать компьютерные возможности.
Начиная с работ B.Van Leer'a [80] (1977) и A.Harten'a [81] (1983), течения с ударными волнами эффективно расчитываются по схемам семейства TVD (Total Variation Diminishing) -схем. Надежным и эффективным методом расчета течений с ударными волнами в газах является конечно-объемный вариант схемы типа Годунова повышенного порядка точности для уравнений Эйлера на неструктурированных треугольных адаптивных сетках, описанный в работах [82],[92],[93].
Методы конечных объемов, построенные на основании метода Годунова, включают в себя процедуру решения задачи распада произвольного разрыва на границах контрольных объемов. Решение этой задачи для сред, поведение которых описывается уравнением состояния политропного газа хорошо известно. Для баротропного уравнения состояния решение этой задачи не сложно.В случае же других уравнений состояния, например, для среды с полиморфными фазовыми переходами, решение этой задачи затруднено, а в ряде случаев невозможно . Для этих уравнений состояния удобно применять характеристические схемы типа Хартена, в которых задача Римана решается приближенно.
В [83] проведен сравнительный анализ различных способов построения квазимонотонных явных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для расчета нестационарных разрывных течений совершенного сжимаемого газа. Представлены результаты тестирования TVD-схем Хартена, MUSCL-алгоритмов, семейства TVD-схем типа Годунова второго порядка и схемы Родионова на модельных задачах о распаде произвольного разрыва. Приведены оценки вычислительной эффективности этих схем.
В [84] дан обзор текущего состояния методов численного моделирования для задач динамического нагружения конденсированной среды.
Таким образом, задача о распространении и взаимодействии ударных волн в конденсированной среде является интересной как с фундаментальной, так и с инженерной точек зрения. В то же время обсуждавшиеся работы оставляют неразрешенным вопрос об интерференции двух импульсов нагружения в среде с полиморфными фазовыми переходами, в частности, о таких проявляющихся при этом эффектах, как регулярное и маховское взаимодействие, косое взаимодействие ударных волн разрежения, образование области нарушения сплошности в плоскости симметрии между импульсами, о влиянии геометрических параметров и интенсивности нагрузки на эти эффекты.
На основании предложенного обзора можно сделать вывод о насущности исследования с помощью численного моделирования волновой картины в конденсированной среде с полиморфными фазовыми переходами при ее нагружении с интенсивностью, при которой существенными оказываются эффекты сжимаемости. С этой целью в данной работе была разработана математическая модель деформирования конденсированной среды, основанная на уравнениях гидродинамики, учитывающая полиморфные фазовые переходы и разрушение материала. Ранее использовавшиеся для решения подобных задач численные методы, очевидно, не являются оптимальными и не позволяют добиться разрешения ряда важных поставленных проблем. Поэтому обоснованным является построение численного метода для решения задач, характеризующихся доминирующим влиянием сжимаемости среды, наличием ударных волн сжатия и разрежения, а также сильной деформацией свободной поверхности. В настоящей работе предпринята попытка построения требуемого численного алгоритма, использующего на основе лагранжевого подхода современные идеи построения TVD-схем и адаптивных сеток. Разработанные математическая модель и численный алгоритм, а также аналитические оценки позволили ответить на ряд поставленных выше вопросов.
Структура следующих глав диссертации такова.
Фазовые превращения среды и их влияние на распространение возмущений
Многие твердые вещества могут при разных условиях пребывать в различных кристаллических модификациях. При некоторых значениях давлений и температур, связанных определенной зависимостью, возможны переходы из одной модификации в другую. Эти переходы сопровождаются изменением объема. Они являются фазовыми переходами первого рода и называются полиморфными превращениями вещества. На рисун-ке2.5 для примера представлена фазовая диаграмма железа, которая характеризуется наличием а и 6 (с объемно-центрированной кубической решеткой), 7 (с гранецентриро-ванной кубической) и є(с гексогональной плотноупакованной структурой) фаз. Ударно-волновое нагружение твердых тел приводит к многочисленным фазовым превращениям - ударному полиморфизму. К настоящему времени полиморфные переходы в ударных волнах зафиксированы у многих металлов, полупроводников, ионных соединений и практически у всех минералов и горных пород. Прежде всего скажем несколько слов о механизме и кинетике полиморфных фазовых переходов. Фазовые переходы в ударных волнах в основном происходят по мартенситному типу превращений, основанных на сдвиговых деформациях вещества. Мартенситные бездиффузионные перестройки обеспечивают сверхбыстрое преобразование одного вида решетки в другой на основе кооперативного смещения многих атомов на малые расстояния.
Такое практически атермическое превращение, не требующее энергии активации, протекает при не очень высоких температурах со скоростями роста единичных зерен за время 10_8с. Если превращение по мартенситному механизму в принципе возможно, то во многих случаях, в частности, в железе, висмуте, кремнии и др., в ударных волнах, распространяющихся по холодному веществу, оно происходит при тех же или примерно при тех же давлениях, как и в случае низкотемпературного квазистатического сжатия. Зоны, в которых имеется смесь обеих фаз, обычно узки, так как скорости фазовых переходов в ударных волнах чрезвычайно высоки, и поэтому нет необходимости очень подробного описания зон двухфазного состояния. Измерения толщин волн, в которых происходят полиморфные фазовые превращения засчет перестройки кристаллической решетки показали, что характерные времена этих переходов составляют величины порядка 0.1 мкс (для перехода Fe — Fe это примерно 0.2 мкс). Структура течения по составу среды представляет следующую картину: исходная фаза, затем узкая зона, состоящая из смеси обеих фаз, в которой происходит переход исходной фазы низкого давления (1) в фазу высокого давления (2) и, наконец, зона, где имеется только фаза высокого давления. В разгрузке далее снова идет узкая зона, где имеется смесь и происходит переход 2-ій, наконец, зона фазы 1. Такая особенность позволяет для описания распространения ударных волн в среде с фазовыми переходами не использовать модель многофазной среды, а просто учитывать наличие разных фаз в уравнении состояния, параметры которого в одной области значений (р, Т) на фазовой диаграмме будут соответствовать первой фазе, а в другой области - второй. Такое простейшее описание для рассматриваемых ниже задач вполне достаточно. На рис.2.6 в (р, У)-плоскости схематически изображена адиабата вещества, испытывающего полиморфное превращение (здесь V — 1/р - удельный объем). При сжатии от нормального объема по достижении некоторого состояния А начинается переход из фазы / в фазу II. Кристаллическая решетка перестраивается таким образом, что новые равновесные положения атомов соответствуют меньшим межатомным расстояниям, поэтому сокращение объема в области перехода требует гораздо меньшего увеличения давления, чем в начальной фазе / (при абсолютном нуле температуры фазовый переход I - II происходит при постоянном давлении и участок АВ адиабаты 5 = 0- это прямая горизонтальная линия). В области АВ вещество находится в двухфазном состоянии. Полная перестройка решетки и полное превращение вещества из фазы / в фазу II заканчивается к моменту В, после чего адиабата второй фазы снова круто идет вверх. Сжимаемости вещества в разных фазах различны, так что наклоны кривых, соответствующих однофазному состоянию в точках А и В, вообще говоря, различны. При аномальном ходе ударных адиабат, когда имеются участки, на которых обращена выпуклостью кверху), теоретически возможно возникновение скачков разрежения. Адиабата твердого тела, испытывающего фазовый переход, обладает таким свойством. Анализ структуры волны разрежения в среде, испытывающей фазовое превращение выполнен в работах [58], [24]. Рассмотрим, следуя [24], механизм образования скачка разрежения. Будем предполагать, что адиабата термодинамически равновесна (т.е. фазовые превращения происходят достаточно быстро). Адиабата на рис.2.6 имеет два излома: в точке А - начало и точке В - завершение фазового превращения. Пусть в момент времени t = 0 в среде, сжатой до состояния D {PD,PD), создается область разрежения, в которой давление и плотность плавно меняются до своих значений в точке Е (РЕ PD, РЕ PD)- Начальное распределение давления по координате показано на рис. 1В. Для вещества с нормальной ударной адиабатой при t 0 течение остается непрерывным. Если адиабата обладает аномальными свойствами, возникает иная ситуация.
Рассмотрим эволюцию начального профиля давления с течением времени. Для простой волны, распространяющейся вправо С+-характеристики представляют собой прямые с наклонами = и + а. Скорости распространения возмущений (скорости звука) в различных точках начального распределения определяются наклонами касательных к адиабате в соответствующих точках. В двух точках излома А и В скорость звука испытывает скачок (см. рис.2.7). Скорость вещества непрерывна в точках А и В ввиду постоянства противоположного инварианта Римана, так что наклоны характеристик скачкообразно меняются вместе со скачками скорости звука. Таким образом, из точки В выходят две С+-характеристики с различным наклоном в х, і-плоскости, несущие одинаковые давления, причем чуть большее значение давления Рв +є (є - бесконечно малая) распространяется скорее, чем чуть меньшее рв — Область между этими характеристиками, следовательно, есть область постоянного давления Рв (см. рис.2.9). Напротив, в точке излома А большее давление распространяется с меньшей скоростью. Поэтому характеристики, выходящие из точек, находящихся в правой и левой окрестностях точки А, будут пересекаться, что приводит к образованию разрыва. Возникший в точке А скачок разрежения растет в соответствии с пересечением характеристик. Амплитуда скачка Ар = \рЕ — рр\ растет до тех пор, пока верхняя точка скачка бежит по среде перед скачком со сверхзвуковой скоростью, а нижняя - бежит по среде за скачком с дозвуковой скоростью. При этом верхняя граница скачка как бы "съедает"участки плавного возрастающего распределения давления, а возмущения разрежения снизу за скачком догоняют его, усиливая разрыв. Процесс увеличения амплитуды скачка прекратится, когда верхнее давление достигнет давления в плато, а скорость распространения нижней границы по веществу за скачком становится звуковой. 2 _ /-/-, 2 _ тл 2РВ -PC Установившееся положение разрыва (точки В-С на адиабате рис.2.6) и профиль давления в волне разрежения показаны на рис.2.9. Скорости распространения разрыва В-С по веществу перед ним щ и по веществу за ним «2 определяются наклоном прямой ВС:
Сравнение некоторых схем
В этом параграфе мы кратко опишем несколько численных схем, которые могут быть использованы для решения поставленной задачи и проведем их сравнение на тестовой задаче о распаде разрыва поля давления. Сравнение схем будем производить для модели баротропной сжимаемой жидкости, т.е. при Г(р) = 0 в уравнении (2.16). В этом случае система уравнений баланса импульса и неразрывности с уравнением состояния является замкнутой относительно плотности, давления и скорости, что значительно упрощает получение аналитического решения для тестовой задачи. Поскольку "тепло-вая"часть давления мала по сравнению с "холодной"и не имеет особенностей, ее учет не внесет качественных изменений в свойства схем и их основные достоинства и недостатки выявляются уже при такой упрощенной постановке задачи. Кроме того будем рассматривать схемы на примере одномерных уравнений. Эйлерова TVD-схема. Для получения адекватной ударно-волновой картины течения в качестве базовой численной схемы удобно использовать схему из семейства TVD-схем повышенного порядка точности для гиперболических уравнений, которая обеспечивает необходимые свойства, в частности, монотонность и "размазывание"скачков не более, чем на несколько ячеек. Данная схема является одним из вариантов [91] конечно-объемной схемы Хартена. Имеются в виду такие схемы, в которых на грани контрольного объема не решается задача о распаде разрыва, как в схеме Годунова, а потоки находятся с помощью характеристических переменных. Метод разработан для уравнений (2.5)-(2.8), записанных в эйлеровых координатах. Запишем систему уравнений Эйлера для одномерного случая в матричном виде Дч-і/2 " вект0Р потока, определяемый в ячейке і на грани і+1/2: где Л1, Л2-собственные числа матрицы Л, а-градиенты характеристических переменных, 0,—градиенты характеристических переменных, ограниченные в узле г, 7-Добавка, модифицирующая скорость переноса, Дж = х +і — ЖІ - шаг сетки. В Ф второе слагаемое -диссипативный член, превращающий центрально-разностную схему в противопоточную схему первого порядка точности; а первое - антидиффузионное слагаемое, повышающее порядок аппроксимации.
Градиенты характеристических переменных а находятся с помощью матрицы L, составленной из строк - левых собственных векторов матрицы А: Градиенты характеристических переменных огрничиваются следующим образом Функция ограничителя limiter может браться в форме Когана, Van-Leer a, MinMod, SuperBee и т.д. В данном случае используем функцию Собственные числа матрицы А: Нужно отметить, что уравнение состояния среды с полиморфным фазовым переходом требует иного по сравнению с идеальным газом способа определения скорости звука сг+і/2 на границе контрольного объема, что продемонстрировано на рис.3.1 на примере решения задачи о распаде разрыва поля давления в идеальном газе и в железе. В первом случае скорость звука на границе контрольного объема определялась как функция от независимых переменных в этой точке, что привело к немонотонности решения для железа. Во втором же случае скорость звука определялась как полусумма значений в правом и левом контрольных объемах, что дает плохой результат для идеального газа. Это связано с различным характером нелинейности уранений состояния идеального газа и железа, а именно с тем, что скорость в идеальном газе, имея сильную зависимость от плотности, непрерывна, а скорость звука для железа имеет разрыв. Лагранжева TVD- схема. Эта схема разработана в [94] для уравнений сжимаемого баротропного газа, записанных в лагранжевых координатах Чтобы показать происхождение данной схемы приведем ее вначале для уравнений, записанных в инвариантах Римана а1 — и + f(p), а2 — и — f{p), где /(/?) = /рр0 с/р dp. Эта система уравнений имеет вид: Она представляет собой два уравнения, описывающих перенос возмущений со скоростью звука с. Уравнения связаны между собой за счет зависимости скорости звука от обоих инвариантов. Запишем для этих уравнений TVD-схему: ограниченная производная функции a1, I = 1,2. Нижние индексы обозначают конечно-разностные аналоги производных. В качестве функции limiter может быть использована любая из известных ограничивающих функций. В данном случае также используем функцию MinMod. Схема (3.3) монотонна при (с+ \u\)At/Ax 1. Схема (3.3) может быть записана с помощью переменных (и, /) следующим образом: Щ= с Л = с Jx "г 2 яя 2 I \Их)х "г 2 \}х)з —Ux Л 2 Jxx г "2" I {Jx)x Н V V (3.4) Лагранжева схема Куропатенко. Эта конечно-разностная схема, описанная в [58], разработана В.Ф.Куропатенко для расчета деформирования конденсированных сред. В [59] она обобщена для сред с полиморфным фазовым переходом.
Этот метод также предназначен для уравнений, записанных в лагранжевых координатах.Схема перехода на следующий временной слой для баротропной среды выглядит следующим образом: где Ді-шаг по времени, /іг+і/г-шаг по лагранжевой координате (он не меняется со временем). Значения Р вычисляются по-разному в зависимости от характера решения. Если 0 (т.е. ди/дх 0), то предполагается, что в этой ячейке в промежутке времени At распространяется ударная волна. Тогда р"+1/2 считается плотностью р0 перед ударной волной, а и" 1 — и"+1 - скачком скорости Аи на сильном разрыве. Для нахождения Pi+i/2 используется система соотношений на скачке При предварительном анализе устанавливается, в какой фазе вещества может существовать ударная волна разрежения. Эта фаза помечается меткой. Если в процессе разгрузки среда перешла в фазу с меткой (и и+1 — и"+1 0), то величины в процессе разгрузки рассчитываются также с помощью соотношений на скачке. В остальных случаях течение в ячейке считается адиабатическим и Pj+m просто находится из уравнения состояния -P,"i/2 =Р(РГ+І/2) (3.5)-(3.6) можно интерпретировать как схему 2-го порядка с добавлением в областях ударных волн и в области сжатия искусственной вязкости, понижающей порядок схемы.
Тестирование алгоритма
При соударении двух плоских пластин в начальный момент удара в плоскости соударения создается прямоугольный импульс давления, состоящий из двух ударных волн, движущихся к свободным поверхностям ударника и мишени (см гл.2). До момента, когда ударные волны достигают этих свободных поверхностей, можно построить аналитическое решение. Решение задачи представлено на рис.3.12. Показано распределение плотности в слое, представляющем собой совместно деформирующиеся стальные ударник и мишень одинаковой толщины 0.5L, через время t = 0.3 L/CQ после начала удара со скоростью 1200 м/с, здесь с0 = 4695 м/с - скорость звука в среде при нормальных условиях. В начальный момент времени ударник, ограниченный свободной границей в точке х = 0 и мишенью в точке х — 0.5, двигался слева направо, а мишень покоилась. Расчетная сетка на графике плотности представляет численные данные, изолинии плотности - точное решение. Параметры расчетной сетки таковы: площадь минимального элемента Smin = 0.316 10 7 L2 (площадь элементов начальной грубой сетки - 10 4 L2), общее количество узлов 5663. Число Куранта в областях наиболее мелкой сетки - 0.4. Результаты теста свидетельствуют о хорошем качестве расчета ударно-волновых картин с параметрами, характерными для задач, решаемых в данной работе. Чтобы проверить насколько точно двумерный вариант программы описывает волны разрежения рассмотрим задачу о распаде разрыва поля давления в плоском железном образце. В начальный момент времени среда неподвижна и в левой половине расчетной области находится под давлением р\ = 20 ГПа, а в правой - под давлением р2 — 0.1 МПа. Длина расчетной области - L, ширина - 0.4L, первоначальное положение разрыва - х = 0.5. На рис.3.13 представлены результаты тестирования.
На рисунке показано распределение плотности в момент времени t = 1 L/CQ, где с0 - скорость звука в среде при нормальных условиях. Расчетная сетка на графике плотности представляет численные данные, изолинии плотности - точное решение. Параметры расчетной сетки такие же, как и в предыдущем случае, общее количество узлов - 4615. Число Куранта в областях наиболее мелкой сетки - 0.4. Скорость распространения и амплитуда скачка разрежения совпадают с точными значениями; то же можно сказать и о гладкой волне разрежения. Вид схемы требует при обобщении на неструктурированную сетку проверки влияния направления осей координат на решение. Рассмотрим задачу о распаде цилиндрического разрыва поля давления в железном образце. На рис.3.14 представлены результаты расчета в виде расчетной сетки и изолиний плотности. Расчетная область представляла собой четверть сечения образца, изображенного на рис.3.14. В начальный момент времени среда неподвижна и во внутренней части сечения находится под давлением pi = 20 ГПа, а во внешней - под давлением р2 = 0.1 МПа. Видно, что направление координатных осей не оказывает никакого влияния на решение задачи. Как уже было отмечено в главе 2,при рх = 0, ех — 0,7 = к — 1 уравнение состояния (2.16) сводится к уравнению состояния идеального газа с показателем адиабаты к. Из чего следует, что разработанный численный алгоритм при указанных параметрах должен быть применим для расчетов течений газа. На рис.3.15 представлены результаты тестирования двумерной программы для случая установления течения идеального газа около клина. В качестве начальных условий был задан однородный поток газа с числом Маха М = 4. Угол полураствора клина 9 = 10, показатель адиабаты к — 1.4. На рисунке показано распределение давления в установившемся течении, а также аналитическое положение скачка, тангенс наклона которого был найден из уравнения [97] Результаты теста подтверждают применимость численного алгоритма для расчета течений газа, а также точность решения при учете тепловой зависимости давления для металлов. В рассматриваемых в главе 4 задачах наиболее трудноразрешимой деталью течения является маховская ударная волна, поэтому проиллюстрируем сходимость решения на примере осесимметричной задачи, которая подробно будет рассмотрена в п.З следующей главы. В этой задаче вдоль поверхности цилиндрического образца из железа движется взрывной импульс, который формирует в образце сходящуюся коническую ударную волну. Давление в сходящейся волне - 23 ГПа. При схождении волны к оси симметрии с течением времени формируется стационарное течение с диском Маха, давление за которым очень чувствительно к выбору параметров сетки.
При недостаточном сгущении сетки в области маховского скачка или недостаточной толщине шубы происходит его размазывание в веер волн сжатия, что приводит к существенному занижению давления за ним. Были произведены расчеты на семи сетках различной подробности, размер минимальной ячейки которых изменялся от 3.6 10 2Я0 до 1.125 10_3Я0, где #о - высота расчетной области (радиус образца). Для сравнения решений выделим из полей параметров, полученных на каждой из сеток, профили в сечении у = 0.05Н0, пересекающем падающую и отраженную первую волну и диск Маха в середине между осью и тройной точкой, в момент времени, когда уже устанавливается стационарная картина течения. Для этого с помощью интерполяции определим параметры в точках, равномерно расположенных вдоль этого направления. На рис. 3.16 представлены профили давления, полученные в результате расчетов на разных сетках. В левой и правой верхней части рисунка представлены более подробно фрагменты профилей на падающей и отраженной первой ударной волне и пик за диском Маха соответственно. Видно, что на двух самых мелких сетках (Ах = 1.125 10 3Я0 и 2.25 10 3Я0) волновая картина уже практически перестает зависеть от минимального размера ячейки, хотя возможны еще некоторые колебания давления за диском Маха.
Исследование косого взаимодействия ударных волн
В настоящем разделе представлены результаты моделирования косого взаимодействия ударных волн в сравнении с результатами экспериментов, проведенных Л.В.Альтшулером и др. [30]. Цель экспериментов Альтшулера заключалась в регистрации размера и формы головной волны при маховском взаимодействии ударных волн в ряде металлов, в частности, в алюминии и железе, на некотором фиксированном расстоянии от точки ее зарождения h. Образцы, предназначенные для исследования режимов косого столкновения, имели форму равнобедренных треугольных призм (рис.4.15). В опытах к боковым граням призм синхронно подводились плоские детонационные волны, создававшие в образцах ударные волны амплитудой в несколько десятков гигапаскалей. Фронты ударных волн, параллельные граням образца сталкивались под углом 1а. Пределы изменения угла alpha составляли 30 — 60. Высоты образцов h составляли 20-40 мм. Основание образцов прикрывалось прозрачной пластиной из плексигласа. По мере движения падающих волн линия пересечения ударных фронтов с поверхностью плексигласа перемещалась от краев образца к середине его основания. Перемещение фронта волны сопровождалось кратковременным свечением воздуха в зазоре между плексигласовой пластиной и образцом. При выходе головной волны на нижнюю поверхность образца возникало одновременное свечение всего занятого ею участка поверхности. Последовательное пересечение волнами поверхности прозрачной пластины снималось на скоростном фотохронографе через щель, расположенную перпендикулярно плоскости соударения волн. Таким образом, регистрация процесса соударения давала ширину головной волны 21 и разность времен выхода ее краев и центра на основание образца At. Последующая обработка этих данных позволила экспериментаторам вычислить угол Таким образом, в эксперименте рассматривалось взаимодействие двух плоских ударных волн. Это позволяет при моделирвании рассматривать двумерную плоскую область течения, одна из сторон которой является следом плоскости симметрии.
Расчетная область имела форму четырехугольника, на верхней границе и на части правой, пройденной ударной волной, задавалось постоянное давление р\, на левой границе -условия симметрии, на нижней и правой границах - условия для свободной поверхности. В алюминии при углах взаимодействия а, больших 35 формируется маховская конфигурация, которая, как показывают результаты экспериментов [30] и результаты настоящих расчетов, распространяется автомодельно вдоль плоскости симметрии, т.е. распределения гидродинамических величин в разные моменты времени являются подобными. При этом с течением времени тройная точка движется под углом ф к плоскости симметрии. На рис.4.16 представлены изолинии давления при маховском отражении ударной волны от оси симметрии в алюминии для разных моментов времени, полученные в результате расчета с помощью разработанной программы. Полученная тройная конфигурация состоит из падающей и маховской ударных волн и отраженной сильно искривленной гладкой волны сжатия. Такая картина подтверждается экспериментальной фотохронограммой [30], где отчетливо видны падающая и маховская ударные волны. Расчетный угол наклона траектории тройной точки к плоскости симметрии ф можно определить, например,графическим способом по полям давления в разные моменты времени, полученным в результате численного эксперимента. На графике рис.4.17 представлены расчетные значения угла ф при разных углах взаимодействия, в сравнении с экспериментальными данными [30] , амплитуда взаимодействующих волн - 33 ГПа. По хорошему совпадению расчетных точек с экспериментальными (расчетные точки попадают в область погрешности измерений в эксперименте) можно судить о том, что используемая модель сжимаемой жидкости хорошо описывает распространение ударных волн в металлах в рассматриваемом диапазоне давлений. Как было показано в п.З главы 2 для железа существуют три диапазона давлений внутри которых распространение и взаимодействие ударных волн происходит по-разному. Эти регулярные режимы взаимодействия подробно описаны в п.З главы 2 на основании общих соображений и аналитических соотношений. Численный эксперимент подтверждает аналитические предположения. На рис.4.19 представлены результаты расчетов в виде изолиний модуля градиента плотности (слева от плоскости симметрии) и давления (справа). Они полностью соответствуют схемам 2.15. Аналитическая зависимость угла перехода к маховскому взаимодействию от амплитуды сталкивающихся волн с двумя разрывами также подтверждается численными эксприментами. При углах взаимодействия а аст во всех рассмотренных диапазонах давлений Pi реализуется маховское взаимодействие волн. Причем картина распространения волн во всех трех случаях является автомодельной, т.е. распеределения полей гидродинамических величин в разные моменты времени являются подобными. В первом случае pi 40 ГПа, пример которого представлен на рис.4.20а (для рх = 42 ГПа) в виде расчетных изолиний градиента плотности и поля давления, реализуется такой вариант взаимодействия, как и в среде без фазовых переходов. Подобная картина взаимодействия уже была описана в п.2.2 настоящей главы для алюминия. В эксперименте Аль-тушулера [30] для железа рх = 42 ГПа, т.е. реализуется данный случай взаимодействия.
Как показывают результаты расчетов, и это пдтверждается экспериментальными данными [30], в железе, в отличие от алюминия, угол ф траектории тройной точки относительно оси симметрии очень мал (порядка одного градуса). Поэтому сравнение расчетных результатов с экспериментальными лишено смысла, поскольку погрешность определения угла, как в расчете, так и в эксперименте, сравнима с его значением, а в некоторых случаях даже превосходит его. Рассмотрим второй случай при 13 ГПа pi 40 ГПа (см. рис.4.20Ь для pi = 20 ГПа), когда падающая ударная волна расщеплена на два фронта. Здесь отражение первого фронта падающей волны происходит регулярным образом при любых углах падения а, поскольку скорость распространения отраженной волны, в которой происходит фазовый переход, всегда меньше скорости первого фронта падающей волны. При взаимодействии отраженного от плоскости симметрии первого фронта со вторым скорость последнего значительно увеличивается, поскольку данная уларная волна переходит в є-фазу, в область давлений, выше давления фазового перехода. Таким образом, угол падения второго фронта на плоскость симметрии увеличивается по сравнению с исходным углом а, что приводит к маховскому отражению при меньших а, чем в случае, когда фазовый переход не оказывает влияния на картину отражения. При дальнейшем увеличении угла падения а отраженный от плоскости симметрии первый фронт начинает взаимодействовать со вторым фронтом нерегулярным образом (см. рис.4.20с для pi = 15 ГПа). После взаимодействия образуются два веера искривленных волн сжатия. Часть этих волн сжатия замыкается, образуя область повышенного давления, примыкающую к маховскому скачку. Остальные волны выходят на плоскость симметрии под прямым углом. В области давлений рх 13 ГПа маховское взаимодействие реализуется при настолько больших углах взаимодействия (близких к 90), что его не удалось выделить. Как при маховском, так и при регулярном отражении большой интерес представляет максимальное достигаемое давление на оси симметрии. Рассмотрим изменение отношения давлений за падающей и отраженной волнами рз/рі Эта величина меняется при изменении угла а от 0 до 90 при постоянной силе падающей волны. При регулярном отражении давление возрастает от давления лобового столкновения волн при а = 0. При маховском отражении это возрастание прекращается и снова уменьшается стремясь к 1 при а, стремящемся к 90 . Такая зависимость давления рз от угла а отличает взаимодействие ударных волн в конденсированной среде от взаимодействия в газе. В
