Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Вдавливание жестких штампов в изотропное идеальнопластическое полупространство
1.1 Вдавливание гладкого жесткого кольцевого штампа в идеально пластическое полупространство. 10
1.2 Вдавливание эллиптического в плане штампа в идеальнопластическое полупространство . 17
ГЛАВА II. Вдавливание жестких штампов в анизотропное идеальнопластическое полупространство
2.1 Основные соотношения теории предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. 23
2.2 Вдавливание круглого в плане штампа в полупространство с центральной анизотропией . 27
2.3 Основные соотношения теории предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. Пространственная задача. 30
2.4 Вдавливание круглого в плане штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство. 37
ГЛАВА III. Внедрение жесткого конуса в изотропное идеальнопластическое полупространство
3.1 Геометрия внедрения жесткого конуса в идеальнопластическое полупространство. 40
3.1 Определение предельных усилий при вдавливании жесткого конуса в идеальнопластическое полупространство. 43
Литература
- Вдавливание эллиптического в плане штампа в идеальнопластическое полупространство
- Вдавливание круглого в плане штампа в полупространство с центральной анизотропией
- Вдавливание круглого в плане штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство.
- Определение предельных усилий при вдавливании жесткого конуса в идеальнопластическое полупространство.
Введение к работе
Теория идеальной пластичности ведет начало от работ Треска (1870 ) и Сен — Венана (1871). Сен - Венан сформулировал соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности, сохранившие свое значение до наших дней.
Теория идеальной пластичности получила мощный импульс с опубликованием замечательных работ Прандтля [57] и Генки [7].
В этих классических работах, опубликованных последовательно в сравнительно короткий промежуток времени (Прандтль (1921), Генки (1923), Прандтль (1923)), содержатся идеи и результаты, определившие все дальнейшее развитие теории идеальной пластичности. Большой интерес представляют взгляды Прандтля и Генки на роль и место статически определимых задач теории идеальной пластичности. Генки считал круг статически определимых задач узким, Прандтль показал, что это не так.
Прандтль [57] (1921) дал решение задач теории идеальной пластичности о вдавливании жесткого штампа в полупространство и усеченного клина в случае плоской деформации. Прандтль пишет: «Относительно напряженного состояния в пластической области предполагается, в согласии с Мором, что касательное напряжение на плоскостях скольжения имеет всюду одно и то Dice значение, зависящее от соответствующего значения нормального напряжения в этих плоскостях; при этом оно не должно зависеть от величины деформации сдвига ». Другими словами, Прандтль использует условие пластичности максимальных касательных напряжений Трески, Сен - Венана. Прандтль получил значение предельных усилий вдавливания.
Генки [7] (1923) посвятил свою работу статически определимым случаям равновесия в пластических телах. Генки: « Следуя Хаару и Карману, мы будем различать полное пластическое состояние от неполного пластического состояния. Если обозначить через o~i,o~2, о~3 главные напря- жения в какой — нибудь точке и через к — предельное касательное напряжение, то, как известно, максимальные касательные напряжения будут равны, по своей абсолютной величине, разности каких — либо двух главных напряжений: \сгх — сг21 — 2&, |ctj - <т31 < 2k, |сг2 - "з | - 2-
Если в записанных выше соотношениях имеют место три знака неравенства, то мы будем иметь упругое состояние обычной теории упругости. При одном знаке равенства и двух знаках неравенства получается неполное пластическое состояние. При двух знаках равенства и одном знаке неравенства имеем полное пластическое состояние. Все три знака равенства, конечно, никогда не могут иметь место. Каждому такому пластическому состоянию соответствует большая или меньшая степень подвижности континиума.
Но к такому подразделению задач должно быть присоединено другое, практически также очень важное, а именно — разграничение статически определимых и статически неопределимых задач пластичности.
Задача является статически определимой, если три уравнения равновесия и условия пластичности достаточны для определения тензора напряжений в каждой точке тела. Но статическая определимость, как будет показано, носит очень ограниченный характер и вообще имеет место только для вполне определенных нагрузок. Только особая практическая важность тех случаев, в которых распределение напряэ/сений не зависит от деформаций, может оправдать введение понятия статической определимости в теорию пластичности.»
В этой работе для случая плоской задачи Генки дал интегралы, носящие его имя. Используя условие Хаара и Кармана, Генки получил статически определимые соотношения осесимметричной задачи теории идеальной пластичности.
Им получены соотношения вдоль линий скольжения: 'ссг
Рах = lh
Рр2 - Ррх = 2к< w?4 W5 4 а2 (r \ ГД "І
Впервые приближенное решение задачи о вдавливании осесимммет-ричного штампа в идеальнопластическое полупространство при условии полной пластичности было дано Генки [7]. При интегрировании уравнений (*) Генки использовал прандтлевскую сетку характеристик при вдавливании плоского штампа.
По поводу утверждения Генки [7] об ограниченном характере статической определимости Прандтль [58] (1923) пишет: «Генки показывает, что уравнения, выражающие его теоремы, удовлетворяются только тогда, когда система линий скольжения представляет собой систему прямоугольных или полярных координат. Разнообразие семейств кривых, удовлетворяющих вышеприведенным теоремам, является, к счастью, гораздо более широким». Прандтль приводит простой пример, ускользнувший от внимания Генки: толстостенную трубу, находящуюся под действием равномерного давления, в этом случае линии скольжения криволинейны и являются логарифмическими спиралями.
Далее Прандтль продолжает: « Само собой разумеется, что очень ваоїсное значение имел бы переход от плоской задачи к задаче с осевой симметрией , но здесь следует опасаться математических трудностей, которые будут очень велики. Однако метод, которым Генки пользуется при рассмотрении осесимметрической задачи по определению сопротивления вдавливанию, показывает, как можно получить приближенные результаты уже путем сравнительно простых оценок».
А.Ю. Ишлинский [зо] численно проинтегрировал уравнения осесим-метричной задачи при условии полной пластичности и дал решения задач о вдавливании круглого в плане штампа и жесткой полусферы (проба Бри- нелля) в идеальнопластическое полупространство. Позднее решение задачи о вдавливании кругового штампа было дано также Шилдом [76].
В М. Пучков в диссертации, выполненной под руководством А.А. Ильюшина [59], использовал прием Генки [7] и получил приближенные решения ряда задач о вдавливании осесимметричных штампов, в том числе и пробы Бринелля. Он показал, что приближенные решения хорошо согласуются с решениями А.Ю. Ишлинского.
В работе [21] численным методом рассмотрена задача о вдавливании кольцевого штампа в идеальнопластическое полупространство.
Д.Д. Ивлев [21] получил статически определимые соотношения теории идеальной пластичности для пространственной задачи при условии полной пластичности. В работах Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Р.И. Не-першина [22] показано, что при определении предельного напряженного состояния при вдавливании штампов эллиптической, овальной и т.п. форм в плане вдоль нормали к контуру реализуется напряженное состояние осе-симметричной задачи для круглого в плане штампа с радиусом, равным радиусу кривизны в данной точке контура.
Результаты, изложенные в [22] позволили распространить прием Генки для определения приближенного решения задачи о вдавливании жестких штампов с эллиптической и др. в плане формы в идеальнопластическое полупространство.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и литературы.
В первой главе, посвященной задачам определения предельного состояния изотропных идеальнопластических тел, рассматриваются соотношения для определения предельного напряжения при вдавливании гладкого жесткого кольцевого штампа и эллиптического в плане штампа в изотропное идеальнопластическое полупространство.
В первом параграфе рассматривается вдавливание жесткого гладкого кольцевого штампа в изотропное идеальнопластическое полупространство. Контур штампа ограничен двумя концентрическими окружностями радиуса а и Ъ (a Во втором параграфе рассматривается вдавливание штампа эллиптической формы в плане в изотропное идеальнопластическое полупространство. Дано приближенное аналитическое решение задачи в зависимости от радиуса кривизны. Во второй главе рассматриваются задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. Для пространственной задачи, в силу анизотропии материала, предельная нагрузка зависит от ориентации вдавливаемых тел относительно осей анизотропии. В первом параграфе рассматривается центральная анизотропия, определяемая соотношением: Ар - <02 + 4Вт1 + 21(ар - ^К = 4*о» А> в> L> К -const. Полагается: А = 1 + да, В = 1 + Sb, L = 5с, (**) где а,Ъ,с- константы анизотропии, s- малый безразмерный параметр, характеризующий анизотропию материала. При = 0, соотношение (**) представляет собой условие пластичности для изотропного тела. Исходные выражения разложены по степеням малого безразмерного параметра 8 до второго приближения включительно. Во втором параграфе рассматривается задача о вдавливании круглого в плане штампа в полупространство с центральной анизотропией. Дано приближенное аналитическое решение задачи. В третьем параграфе рассматривается анизотропия, определяемая соотношением: а(стх -ауУ + В(сту -a,J + С(а2 -aj+ 6(/ + Gt)z + Нтгя)= 8k20,kQ -const. Рассматриваются основные соотношения в разложении по малому параметру до второго приближения включительно. В четвертом параграфе рассмотрено вдавливание круглого в плане штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство. Определяется предельное давление в зависимости от ориентации штампа относительно осей анизотропии. В третьей главе рассматривается задача определения предельных усилий при вдавливании жесткого конуса в изотропное идеальнопластическое полупространство. В первом параграфе рассматривается геометрия вдавливания жесткого конуса в изотропное идеальнопластическое полупространство. Во втором параграфе находится приближенное аналитическое решение задачи о вдавливании жесткого конуса в изотропное идеальнопластическое полупространство. Теория идеальной пластичности ведет начало от работ Треска (1870 ) и Сен — Венана (1871). Сен - Венан сформулировал соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности, сохранившие свое значение до наших дней. Теория идеальной пластичности получила мощный импульс с опубликованием замечательных работ Прандтля [57] и Генки [7]. В этих классических работах, опубликованных последовательно в сравнительно короткий промежуток времени (Прандтль (1921), Генки (1923), Прандтль (1923)), содержатся идеи и результаты, определившие все дальнейшее развитие теории идеальной пластичности. Большой интерес представляют взгляды Прандтля и Генки на роль и место статически определимых задач теории идеальной пластичности. Генки считал круг статически определимых задач узким, Прандтль показал, что это не так. Прандтль [57] (1921) дал решение задач теории идеальной пластичности о вдавливании жесткого штампа в полупространство и усеченного клина в случае плоской деформации. Прандтль пишет: «Относительно напряженного состояния в пластической области предполагается, в согласии с Мором, что касательное напряжение на плоскостях скольжения имеет всюду одно и то Dice значение, зависящее от соответствующего значения нормального напряжения в этих плоскостях; при этом оно не должно зависеть от величины деформации сдвига ». Другими словами, Прандтль использует условие пластичности максимальных касательных напряжений Трески, Сен - Венана. Прандтль получил значение предельных усилий вдавливания. Генки [7] (1923) посвятил свою работу статически определимым случаям равновесия в пластических телах. Генки: « Следуя Хаару и Карману, мы будем различать полное пластическое состояние от неполного пластического состояния. Если обозначить через o i,o 2, о 3 главные напря жения в какой — нибудь точке и через к — предельное касательное напряжение, то, как известно, максимальные касательные напряжения будут равны, по своей абсолютной величине, разности каких — либо двух главных напряжений: \сгх — сг21 — 2&, CTJ - т31 2k, сг2 - "з - 2 Если в записанных выше соотношениях имеют место три знака неравенства, то мы будем иметь упругое состояние обычной теории упругости. При одном знаке равенства и двух знаках неравенства получается неполное пластическое состояние. При двух знаках равенства и одном знаке неравенства имеем полное пластическое состояние. Все три знака равенства, конечно, никогда не могут иметь место. Каждому такому пластическому состоянию соответствует большая или меньшая степень подвижности континиума. Но к такому подразделению задач должно быть присоединено другое, практически также очень важное, а именно — разграничение статически определимых и статически неопределимых задач пластичности. Задача является статически определимой, если три уравнения равновесия и условия пластичности достаточны для определения тензора напряжений в каждой точке тела. Но статическая определимость, как будет показано, носит очень ограниченный характер и вообще имеет место только для вполне определенных нагрузок. Только особая практическая важность тех случаев, в которых распределение напряэ/сений не зависит от деформаций, может оправдать введение понятия статической определимости в теорию пластичности.» Впервые приближенное решение задачи о вдавливании осесимммет-ричного штампа в идеальнопластическое полупространство при условии полной пластичности было дано Генки [7]. При интегрировании уравнений ( ) Генки использовал прандтлевскую сетку характеристик при вдавливании плоского штампа. По поводу утверждения Генки [7] об ограниченном характере статической определимости Прандтль [58] (1923) пишет: «Генки показывает, что уравнения, выражающие его теоремы, удовлетворяются только тогда, когда система линий скольжения представляет собой систему прямоугольных или полярных координат. Разнообразие семейств кривых, удовлетворяющих вышеприведенным теоремам, является, к счастью, гораздо более широким». Прандтль приводит простой пример, ускользнувший от внимания Генки: толстостенную трубу, находящуюся под действием равномерного давления, в этом случае линии скольжения криволинейны и являются логарифмическими спиралями. Далее Прандтль продолжает: « Само собой разумеется, что очень ваоїсное значение имел бы переход от плоской задачи к задаче с осевой симметрией , но здесь следует опасаться математических трудностей, которые будут очень велики. Однако метод, которым Генки пользуется при рассмотрении осесимметрической задачи по определению сопротивления вдавливанию, показывает, как можно получить приближенные результаты уже путем сравнительно простых оценок». А.Ю. Ишлинский [зо] численно проинтегрировал уравнения осесим-метричной задачи при условии полной пластичности и дал решения задач о вдавливании круглого в плане штампа и жесткой полусферы (проба Бри нелля) в идеальнопластическое полупространство. Позднее решение задачи о вдавливании кругового штампа было дано также Шилдом [76]. В М. Пучков в диссертации, выполненной под руководством А.А. Ильюшина [59], использовал прием Генки [7] и получил приближенные решения ряда задач о вдавливании осесимметричных штампов, в том числе и пробы Бринелля. Он показал, что приближенные решения хорошо согласуются с решениями А.Ю. Ишлинского. В работе [21] численным методом рассмотрена задача о вдавливании кольцевого штампа в идеальнопластическое полупространство. Д.Д. Ивлев [21] получил статически определимые соотношения теории идеальной пластичности для пространственной задачи при условии полной пластичности. В работах Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Р.И. Не-першина [22] показано, что при определении предельного напряженного состояния при вдавливании штампов эллиптической, овальной и т.п. форм в плане вдоль нормали к контуру реализуется напряженное состояние осе-симметричной задачи для круглого в плане штампа с радиусом, равным радиусу кривизны в данной точке контура. Результаты, изложенные в [22] позволили распространить прием Генки для определения приближенного решения задачи о вдавливании жестких штампов с эллиптической и др. в плане формы в идеальнопластическое полупространство. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и литературы. В первой главе, посвященной задачам определения предельного состояния изотропных идеальнопластических тел, рассматриваются соотношения для определения предельного напряжения при вдавливании гладкого жесткого кольцевого штампа и эллиптического в плане штампа в изотропное идеальнопластическое полупространство. В первом параграфе рассматривается вдавливание жесткого гладкого кольцевого штампа в изотропное идеальнопластическое полупространство. Контур штампа ограничен двумя концентрическими окружностями радиуса а и Ъ (a b). Рассматриваемая задача является осесимметричной. Находится приближенное аналитическое решение задачи о вдавливании кольцевого штампа в идеальнопластическое полупространство. Во втором параграфе рассматривается вдавливание штампа эллиптической формы в плане в изотропное идеальнопластическое полупространство. Дано приближенное аналитическое решение задачи в зависимости от радиуса кривизны. Во второй главе рассматриваются задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. Для пространственной задачи, в силу анизотропии материала, предельная нагрузка зависит от ориентации вдавливаемых тел относительно осей анизотропии. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и литературы. В первой главе, посвященной задачам определения предельного состояния изотропных идеальнопластических тел, рассматриваются соотношения для определения предельного напряжения при вдавливании гладкого жесткого кольцевого штампа и эллиптического в плане штампа в изотропное идеальнопластическое полупространство. В первом параграфе рассматривается вдавливание жесткого гладкого кольцевого штампа в изотропное идеальнопластическое полупространство. Контур штампа ограничен двумя концентрическими окружностями радиуса а и Ъ (a b). Рассматриваемая задача является осесимметричной. Находится приближенное аналитическое решение задачи о вдавливании кольцевого штампа в идеальнопластическое полупространство. Во втором параграфе рассматривается вдавливание штампа эллиптической формы в плане в изотропное идеальнопластическое полупространство. Дано приближенное аналитическое решение задачи в зависимости от радиуса кривизны. Во второй главе рассматриваются задачи определения предельного состояния анизотропных идеальнопластических тел. Для пространственной задачи, в силу анизотропии материала, предельная нагрузка зависит от ориентации вдавливаемых тел относительно осей анизотропии. В первом параграфе рассматривается центральная анизотропия, определяемая соотношением: Ар - 02 + 4Вт1 + 21(ар - К = 4 о» А в L К -const. Полагается: А = 1 + да, В = 1 + Sb, L = 5с, ( ) где а,Ъ,с- константы анизотропии, s- малый безразмерный параметр, характеризующий анизотропию материала. При = 0, соотношение ( ) представляет собой условие пластичности для изотропного тела. Исходные выражения разложены по степеням малого безразмерного параметра 8 до второго приближения включительно. Во втором параграфе рассматривается задача о вдавливании круглого в плане штампа в полупространство с центральной анизотропией. Дано приближенное аналитическое решение задачи. В третьем параграфе рассматривается анизотропия, определяемая соотношением: А(СТХ -ауУ + В(сту -a,J + С(а2 -aj+ 6(/ + GT)Z + Нтгя)= 8k20,kQ -const. Рассматриваются основные соотношения в разложении по малому параметру до второго приближения включительно. В четвертом параграфе рассмотрено вдавливание круглого в плане штампа в анизотропное идеальнопластическое полупространство. Определяется предельное давление в зависимости от ориентации штампа относительно осей анизотропии. В третьей главе рассматривается задача определения предельных усилий при вдавливании жесткого конуса в изотропное идеальнопластическое полупространство. В первом параграфе рассматривается геометрия вдавливания жесткого конуса в изотропное идеальнопластическое полупространство. Во втором параграфе находится приближенное аналитическое решение задачи о вдавливании жесткого конуса в изотропное идеальнопластическое полупространство. ГЛАВА I Вдавливание жестких штампов в изотропное идеальнопластическое полупространство Вдавливание гладкого жесткого кольцевого штампа в изотропное идеальнопластическое полупространство. Рассмотрим вдавливание жесткого гладкого кольцевого штампа в идеальнопластическое полупространство. Контур штампа ограничен двумя концентрическими окружностями радиуса а и Ъ (a b). Рассматриваемая задача является осесимметричной. Направим ось z вглубь, ось г-перпендикулярно к ней (рис. 1.1.1). В дальнейшем будем считать все величины, имеющие размерность, безразмерными, отнесенными к некоторой характерной длине. Уравнения равновесия имеют вид + + = o, + + = 0, (1.1.1) dr dz r dr dz г где Tr, T0, 7z, rrz-компоненты напряжения в цилиндрической системе координат rdz. Будем считать, что имеет место условие пластичности Треска (ar-az)2 +4T?Z =4к2, ав =-(ar+crz)±k,k-const, (1.1.2) здесь к - предел текучести. Условиям (1.1.2) удовлетворим, полагая jr —-V — к sin 2(0, jr =-р + к sin 2т, r F У z F (1.1.3) rrz = к cos 2(р, Ge =-р± к. Подставляя выражения (1.1.3) в уравнения (1.1.1), получим уравнения гиперболического типа, имеющие характеристики — = tg P (а -линии), — = -ctg(p (/? -линии). (1.1.4) dr dr Соотношения на характеристиках (1.1.4) могут быть записаны в виде dp + 2kd(p = —(dz ± dr) (вдоль а - линий), г dp-2kd(p = —(dz + dr) (вдоль /? -линий). (1.1.5) г Следует отметить, что в соотношениях (1.1.3), (1.1.5) выбор знака определяется конкретными условиями задач. При вдавливании кольцевого штампа пластическая зона материала возникает как с внешней, так и с внутренней стороны штампа. Рассмотрим область I (рис. 1.1.1) тГ2 =0, p = —,d p = 0. (1.1.6) Уравнение а - линии имеет вид г + z = const. (1.1.7) Продифференцировав, получимВдавливание эллиптического в плане штампа в идеальнопластическое полупространство
Вдавливание круглого в плане штампа в полупространство с центральной анизотропией
Вдавливание круглого в плане штампа в анизотропное идеально пластическое полупространство.
Определение предельных усилий при вдавливании жесткого конуса в идеальнопластическое полупространство.
Похожие диссертации на Задачи определения предельных усилий при вдавливании жестких штампов и тел
