Введение к работе
Актуальность темы. В современной технике широко используются гибкие датчики и элементы конструкций, а также технологические процессы получения панелей и оболочек путем гибки.
Поэтому возникает необходимость моделирования процессов деформирования тонких полос на упругой и упругопластической стадиях при произвольных углах поворота поперечных сечений.
Исследование поведения гибких упругих стержней начато классиками механики Л. Эйлером и Ж. Лагранжем. Были установлены точки бифуркации процесса осевого сжатия и получены решения, описывающие закритический изгиб в квадратурах через эллиптические интегралы. Дальнейшее развитие теория гибких стержней получила в работах Г. Кирхгоффа, А. Лява, С.П. Тимошенко, Е.П. Попова, В.А Светлицкого и многих других учёных.
Е. Л. Николаи, Г. Ю. Джанелидзе, И. Е. Шашковым, В. И. Реутом, К. Н. Гопаком, В. В. Болотиным было показано, что деформирование гибких стержней существенно зависит от характера приложения внешней нагрузки. В частности, с помощью динамического подхода установлено, что равновесное деформирование при воздействии сжимающей силы, направленной по нормали к торцевому сечению («следящая» нагрузка) невозможно. В случае действия «мёртвой» (неизменно ориентированной в пространстве наблюдателя) силы процесс протекает равновесно.
Переход от упругого деформирования к пластическому и дальнейшее рассмотрение эволюции зон пластичности приводит к существенному усложнению постановки и решения задач даже без учёта геометрической нелинейности. Подобного типа задачи рассматривались в работах А.А. Гвоздева, М.И. Ерхова, Ю.П. Работнова в рамках концепции пластического шарнира. При этом пластическая область ограничивалась локальной зоной. Существенный прогресс в постановке и решении упругопластических задач достигнут благодаря работам А. А. Ильюшина. Предложенная им теория малых упругопластических деформаций, а также метод упругих решений позволяют успешно ставить и решать задачи о нагружении стержней, пластин и оболочек в геометрически линейном приближении.
Учёт геометрической нелинейности по Карману в задачах упругого и упругопластического деформирования пластин производился в работах В. В. Петрова, Н. Н. Столярова, А.А Покровского, Н. М. Матченко и А. А. Трещева. Наряду с итерационным методом упругих решений использовались различные варианты метода последовательных нагружений, предложенным В. З. Власовым и развитым В. В. Петровым. Н. М. Матченко и А. А. Трещев предложили варианты комбинированного пошагово-итерационного метода, сочетающего процедуру пошаговых изменений внешней нагрузки с промежуточными итерациями.
Число работ, в которых упругопластическое деформирование гибкой полосы рассматривается за рамками приближения Кармана при произвольных углах поворота поперечных сечений весьма ограничено. В статьях Макарова Б.П., Лейтеса С.Д., Гречухо Г.И., Алешанского Ю.Н. рассматривается внецентренное сжатие гибкой полосы с учётом осевых сжимающих сил, однако процедура описания эволюции зон пластичности не приведена. Использование метода последовательных нагружений ограничивает процесс достижением сжимающей силой максимального значения. Используемый метод не позволяет рассмотреть поведение полосы в неустойчивом режиме, когда нагрузка убывает с ростом прогиба.
Представляется актуальным построение моделей, адекватно описывающих поведение гибких элементов конструкций при комбинированном нагружении на стадиях упругого и упругопластического деформирования как с точки зрения возможных приложений, так и с целью разработки эффективного метода интегрирования исходных нелинейных уравнений.
Научные исследования, проведенные в диссертационной работе, поддержаны грантом РФФИ (проекты №10-01-97500, №10-01-97501-р_центр_а) и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект №2.1.1/10918).
Цель работы. Разработка метода исследования процессов равновесного упругопластического деформирования, основанного на сочетании условия равновесия текущего состояния и условия равновесности, представленного через "скорости" характеристик напряженно-деформированного состояния; постановка и решение на основе данного метода известных и новых задач, моделирующих упругопластические процессы деформирования гибкой полосы.
Научная новизна. Исходя из вариационного принципа Лагранжа, получены локальная аналитическая и дискретная интегральная формы условий равновесия и равновесности в скоростях, моделирующие процесс деформирования гибкой полосы с учетом внутренних осевых сил при произвольных углах поворота поперечных сечений.
Предложен пошагово итерационный алгоритм интегрирования существенно нелинейных условий равновесия и равновесности, представленных в аналитическом виде при упругом деформировании и дискретном виде в общем случае упругопластического деформирования.
Получены решения новых задач, описывающие эволюцию зон упругости и пластичности в процессе равновесного деформирования гибких пластин, нагружаемых произвольно ориентированной торцевой "мертвой" силой. При этом закон изменения величины силы не задаётся, а определяется как реакция на задание угла поворота торцевого сечения. Наряду с устойчивой стадией процесса, когда сила растет, рассматривается и неустойчивая стадия убывания торцевой силы с ростом угла поворота сечения.
Теоретическая ценность работы состоит в установлении эффективности использования метода, основанного на удовлетворении не только условию равновесия текущего состояния, но и условию равновесности относительно скоростей, для решения задач упругопластического деформирования гибкой полосы.
Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты можно использовать для моделирования взаимодействия инструмента в форме тонкой полосы с поверхностью заготовки в процессах электроэрозионной обработки. Предложенный метод также можно использовать для моделирования технологических процессов гибки.
Достоверность полученных результатов обосновывается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, а также сравнением решений с известными теоретическими данными. В частности, показано практическое совпадение в упругой области решений, получаемых предлагаемым методом, с известными решениями через эллиптические интегралы. При выходе в пластическую область достоверность метода подтверждена сравнением с полученными аналитическими решениями для чистого изгиба и изгиба поперечной силой в геометрически линейной постановке.
Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены на молодежной научно-практической конференции «Молодежные инновации», г. Тула 2009 г.; Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики», г. Тула 2009, 2010 гг.; XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» г. Москва 2008г; на регулярных семинарах кафедры Математического моделирования г. Тула 2007-2011гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, 4 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех основных разделов, заключения, списка литературы. Содержит 130 страниц и 47 рисунков.
Похожие диссертации на Условия равновесного нагружения гибкой полосы в упругопластических процессах
