Содержание к диссертации
Введение
I. Напряженно-деформированное состояние цементируемых деталей машин 11
1.1 Механическое состояние материала при его поверхностной цементации (науглероживании) 11
1.2 Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру 24
1.3 Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементируемого по внешнему контуру, с переменной по длине цементацией 32
1.4 Оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру 42
1.5 Оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с переменной по длине цементацией 49
Выводы по 1 главе 58
II. Статические задачи деформирования цементируемых деталей машин 59
2.1 Кручение сплошного бруса круглого поперечного сечения с равномерно цементируемым внешним контуром 59
2.2 Оценка вторичных нормальных напряжений при кручении цементированной тонкостенной трубы 67
2.3 Чистый изгиб бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру 74
2.4 Поперечный изгиб цементированного бруса круглого поперечного сечения, оценка касательных напряжений 79
2.5 Кручение бруса круглого поперечного сечения с переменной по длине цементацией 85
Выводы по 2 главе 93
III. Динамические задачи деформирования деталей машин 94
3.1 Собственные изгибные колебания консольного цементированного бруса. Метод Граммеля 94
3.2 Собственные изгибные колебания двухопорного цементированного бруса. Метод Релея-Ритца 98
3.3 Продольные колебания бруса круглого поперечного сечения при его поверхностной цементации 106
3.4 Крутильные колебания бруса круглого поперечного сечения при его поверхностной цементации 114
3.5 Потери на внутреннее трение при крутильных колебаниях (при чистом сдвиге) цементированных валов 119
3.6 Потери на внутреннее трение при изгибе цементированных валов 130
Вывод по 3 главе 134
Заключение 136
Список литературы 139
Приложение 1 145
Приложение 2 153
Приложение 3 161
- Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру
- Оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с переменной по длине цементацией
- Оценка вторичных нормальных напряжений при кручении цементированной тонкостенной трубы
- Собственные изгибные колебания двухопорного цементированного бруса. Метод Релея-Ритца
Введение к работе
Для современной машиностроительной, автомобиле- и авиастроительной техники характерны непрерывно растущая энергонапряженность и тяжелые условия эксплуатации деталей машин и механизмов. Большинство деталей машин работают в условиях износа, кавитации, циклических нагрузок, коррозии при криогенных и высоких температурах, при которых максимальные напряжения возникают в поверхностных слоях металла, где сосредоточены основные концентраторы напряжений. Для повышения прочности наиболее ответственных деталей машин широко используются процессы поверхностного упрочнения: цементации (науглероживания), а также нитроцементации, азотирования и т.д. Это приводит к необходимости исследования проблем прочности элементов конструкций, подверженных упрочняющим технологиям, т.к. они приводят к неоднородной структуре материала деталей. В соответствии с этим для решения проблем механики сплошных сред для данных структур требуется новая, более совершенная постановка задачи и более точные методы ее решения.
Цементация, как химико-термическая обработка (ХТО), заключается в диффузионном насыщении поверхностного слоя стали углеродом при нагреве в углеродсодержащей среде. Ей сопутствуют два явления: неоднородность механических свойств материала по сечению и возникновение поля остаточных напряжений за счет расширения (распухания) начальных объёмов.
Исследованием механических свойств материала после упрочняющих обработок, в частности цементации, занимались Гурьев А.В. [12], Брагин В.В. [6], Невзоров Б.А. [25], Водопьянов В.И. [9]. Исследованию поля остаточных напряжений после цементации уделили внимание Фридман Я.Б. [47], Коваленко А.Д. [24], Шляхов СМ. [64, 58, 59], Шлехер А.В. [64], Минов А.В. [58, 59].
Основываясь на экспериментальных данных в указанных работах, можно сделать вывод, что цементация, как одна из упрочняющих технологий, приводит к необходимости оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) науглероженных деталей с позиции механики неоднородных тел, т.к. цементация, посредством воздействия углерода на структуру стали, меняет ее химический состав и физико-механические характеристики по глубине насыщения.
Предлагаемая в работе модель «распухания», по сути, аналогична, модели теплового расширения с нелинейной зависимостью от содержания углерода. Поэтому использовались труды Галеркина Б. Г. [10], Лебедева Н. Н. [29], Новацкого В. [32], Коваленко А. Д. [23], Подстригача Я. С. и Коляно Ю. М. [37], Ломакина В. А. [30] и других, по проблемам термоупругости. При выявлении закона распределения углерода по толщине цементированного слоя необходимо решить задачу диффузии. Уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, решение которого представлено в работах Карслоу Г. и Егера Д. [21], Лыкова А. В. [31], Шнейдера П. [66] и др.
Наведенная неоднородность материала, обусловленная науглероживанием, влияет и на жесткостные параметры детали и, следовательно, влияет на частоту собственных колебаний и должна быть учтена при решении динамических задач деформирования цементированных деталей машин.
Важным фактором в инженерных расчетах динамических процессов является учет затухания колебаний, обусловленное как внешним, так и внутренним трением.
Внешнее трение часто описывается моделью Фойгхта, согласно которой затухание пропорционально скорости движению системы. Эта модель удовлетворительно аппроксимирует вязкое трение тонких слоев жидкости (масленого слоя в подшипниках и т.д.). Данная модель позволяет описать процесс движения с помощью линейных дифференциальных уравнений, при этом может быть получен коэффициент динамического нарастания колебаний Р и построена резонансная кривая, которая позволяет инженеру рассчитать режим скоростного перехода через резонанс, а также критическое время нахождения конструкции в резонансной области.
Помимо внешнего трения (сопротивление среды) присутствует внутренние трение, обусловленное структурными особенностями материала. Исследованием затухания, вызванного потерями на внутреннее трение, занимались Писаренко Г.С. [35, 36], Давиденков Н.Н. [13], Пановко Я.Г. [34] и др.
Приложение к исследованиям внутреннего трения модели Фойгхта не подтверждается экспериментально. По этой причине в данной работе предлагается использовать в исследованиях затухания, вызванного потерями на внутренние трение цементированных деталей, гипотезу Давиденкова, согласно которой затухание в материале пропорционально амплитуде колебаний и обуславливаются местными пластическими деформациями на границах отдельных зерен металла.
Целью данной работы является разработка доступного инженерного расчета по оценке НДС неоднородных деталей машин, разработка методов решения некоторых статических и динамических задач деформирования цементированных деталей. Отдельно можно выделить разработку расчета потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов, который основан на модели Н.Н. Давиденкова.
Для достижения этих целей поставлены следующие задачи исследования:
1. разработать механическую модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации);
2. разработать методы решения задач по оценке НДС брусьев круглого поперечного сечения, цементированных по внешнему контуру;
3. разработать методы решения задач по оценке НДС цементированных валов при таких видах нагружения, как кручение, чистый и поперечный изгибы;
4. разработать методы решения задач по расчету частот собственных изгибных, крутильных и продольных колебаний брусьев, подверженных науглероживанию;
5. разработать метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов.
На защиту выносятся:
1. Механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации).
2. Метод последовательных приближений в решении задач оценки НДС цементированных валов на основе вариационных принципов и метода конечных элементов при равномерной по длине цементации.
3. Метод решения задач по оценке НДС цементированных валов на основе вариационных принципов и схемы суперэлементов при переменной по длине цементации.
4. Схема применения теории безмоментных цилиндрических оболочек к решению задач оценки НДС цементированных валов.
5. Решения задач по расчету частот собственных колебаний цементированных валов.
6. Метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
В первой главе рассмотрены задачи по оценке НДС цементированных деталей машин (сплошных и полых валов). В пункте 1.1 предлагается механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации). Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с равномерной и переменной по длине цементацией дана в пунктах 1.2 и 1.3. В пунктах 1.4 и 1.5 рассмотрена оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с равномерной и переменной по длине цементацией. В конце каждого пункта данной главы приведены исходные данные и результаты численных расчетов.
Во второй главе описаны задачи по расчету НДС науглероженных валов при следующих видах нагружения: кручение, чистый и поперечный изгибы. В пункте 2.1 представлено решение задачи кручения сплошного бруса круглого поперечного сечения с равномерно цементируемым внешним контуром. Оценка вторичных нормальных напряжений при кручении цементированной тонкостенной трубы дана в пункте 2.2. В пункте 2.3 решена задача чистого изгиба бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру. Поперечный изгиб цементированного бруса круглого поперечного сечения, оценка касательных напряжений, рассмотрен в пункте 2.4. В пункте 2.5 дана задача кручения бруса круглого поперечного сечения с переменной по длине цементацией. Исходные данные и результаты численных расчетов приведены в конце каждого пункта данной главы.
Третья глава посвящена решению динамических задач деформирования цементируемых деталей машин. В,пункте 3.1 дан расчет собственных изгибных колебаний консольного цементированного бруса на основе метода Граммеля. В пункте 3.2 представлен расчет собственных изгибных колебаний двухопорного цементированного бруса на основе метода Релея-Ритца. Расчет продольных и крутильных колебаний бруса при его поверхностной цементации, приведен в пунктах 3.3 и 3.4. В пунктах 3.5 и 3.6 описаны задачи потерь на внутреннее трение при крутильных и изгибных колебаниях цементированных валов. Также в конце каждого пункта данной главы приведены численные примеры с результатами расчетов.
В заключении приведены общие выводы по диссертации.
Результаты численных расчетов представлены в виде графиков. Расчеты выполнены на IBM PC.
Отдельные результаты работы докладывались:
• на научных семинарах кафедры «Механика деформируемого твердого тела» (СГТУ, 2005-2008 гг.);
• на седьмой Международной научно-технической конференции АКТ-2006 (Воронеж, 2006г.);
• на четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием (Самара, 2007г.).
• на двенадцатой Международной научной конференции имени академика М.Кравчука (Киев, 2008г.);
• на двадцать первой Международной научной конференции ММТТ-21 (Саратов, 2008г.).
В целом работа докладывалась на объедененном научном семенаре кафедр МДТ, ТМ и ВМ.
Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру
Для современной машиностроительной, автомобиле- и авиастроительной техники характерны непрерывно растущая энергонапряженность и тяжелые условия эксплуатации деталей машин и механизмов. Большинство деталей машин работают в условиях износа, кавитации, циклических нагрузок, коррозии при криогенных и высоких температурах, при которых максимальные напряжения возникают в поверхностных слоях металла, где сосредоточены основные концентраторы напряжений. Для повышения прочности наиболее ответственных деталей машин широко используются процессы поверхностного упрочнения: цементации (науглероживания), а также нитроцементации, азотирования и т.д. Это приводит к необходимости исследования проблем прочности элементов конструкций, подверженных упрочняющим технологиям, т.к. они приводят к неоднородной структуре материала деталей. В соответствии с этим для решения проблем механики сплошных сред для данных структур требуется новая, более совершенная постановка задачи и более точные методы ее решения.
Цементация, как химико-термическая обработка (ХТО), заключается в диффузионном насыщении поверхностного слоя стали углеродом при нагреве в углеродсодержащей среде. Ей сопутствуют два явления: неоднородность механических свойств материала по сечению и возникновение поля остаточных напряжений за счет расширения (распухания) начальных объёмов.
Исследованием механических свойств материала после упрочняющих обработок, в частности цементации, занимались Гурьев А.В. [12], Брагин В.В. [6], Невзоров Б.А. [25], Водопьянов В.И. [9]. Исследованию поля остаточных напряжений после цементации уделили внимание Фридман Я.Б. [47], Коваленко А.Д. [24], Шляхов СМ. [64, 58, 59], Шлехер А.В. [64], Минов А.В. [58, 59].
Основываясь на экспериментальных данных в указанных работах, можно сделать вывод, что цементация, как одна из упрочняющих технологий, приводит к необходимости оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) науглероженных деталей с позиции механики неоднородных тел, т.к. цементация, посредством воздействия углерода на структуру стали, меняет ее химический состав и физико-механические характеристики по глубине насыщения.
Предлагаемая в работе модель «распухания», по сути, аналогична, модели теплового расширения с нелинейной зависимостью от содержания углерода. Поэтому использовались труды Галеркина Б. Г. [10], Лебедева Н. Н. [29], Новацкого В. [32], Коваленко А. Д. [23], Подстригача Я. С. и Коляно Ю. М. [37], Ломакина В. А. [30] и других, по проблемам термоупругости. При выявлении закона распределения углерода по толщине цементированного слоя необходимо решить задачу диффузии. Уравнение диффузии аналогично уравнению теплопроводности, решение которого представлено в работах Карслоу Г. и Егера Д. [21], Лыкова А. В. [31], Шнейдера П. [66] и др.
Наведенная неоднородность материала, обусловленная науглероживанием, влияет и на жесткостные параметры детали и, следовательно, влияет на частоту собственных колебаний и должна быть учтена при решении динамических задач деформирования цементированных деталей машин.
Важным фактором в инженерных расчетах динамических процессов является учет затухания колебаний, обусловленное как внешним, так и внутренним трением. Внешнее трение часто описывается моделью Фойгхта, согласно которой затухание пропорционально скорости движению системы. Эта модель удовлетворительно аппроксимирует вязкое трение тонких слоев жидкости (масленого слоя в подшипниках и т.д.). Данная модель позволяет описать процесс движения с помощью линейных дифференциальных уравнений, при этом может быть получен коэффициент динамического нарастания колебаний Р и построена резонансная кривая, которая позволяет инженеру рассчитать режим скоростного перехода через резонанс, а также критическое время нахождения конструкции в резонансной области.
Оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с переменной по длине цементацией
Помимо внешнего трения (сопротивление среды) присутствует внутренние трение, обусловленное структурными особенностями материала. Исследованием затухания, вызванного потерями на внутреннее трение, занимались Писаренко Г.С. [35, 36], Давиденков Н.Н. [13], Пановко Я.Г. [34] и др.
Приложение к исследованиям внутреннего трения модели Фойгхта не подтверждается экспериментально. По этой причине в данной работе предлагается использовать в исследованиях затухания, вызванного потерями на внутренние трение цементированных деталей, гипотезу Давиденкова, согласно которой затухание в материале пропорционально амплитуде колебаний и обуславливаются местными пластическими деформациями на границах отдельных зерен металла.
Целью данной работы является разработка доступного инженерного расчета по оценке НДС неоднородных деталей машин, разработка методов решения некоторых статических и динамических задач деформирования цементированных деталей. Отдельно можно выделить разработку расчета потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов, который основан на модели Н.Н. Давиденкова.
Для достижения этих целей поставлены следующие задачи исследования: 1. разработать механическую модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации); 2. разработать методы решения задач по оценке НДС брусьев круглого поперечного сечения, цементированных по внешнему контуру; 3. разработать методы решения задач по оценке НДС цементированных валов при таких видах нагружения, как кручение, чистый и поперечный изгибы; 4. разработать методы решения задач по расчету частот собственных изгибных, крутильных и продольных колебаний брусьев, подверженных науглероживанию; 5. разработать метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов. На защиту выносятся: 1. Механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации). 2. Метод последовательных приближений в решении задач оценки НДС цементированных валов на основе вариационных принципов и метода конечных элементов при равномерной по длине цементации. 3. Метод решения задач по оценке НДС цементированных валов на основе вариационных принципов и схемы суперэлементов при переменной по длине цементации. 4. Схема применения теории безмоментных цилиндрических оболочек к решению задач оценки НДС цементированных валов. 5. Решения задач по расчету частот собственных колебаний цементированных валов. 6. Метод решения задач по расчету потерь на внутреннее трение при колебаниях цементированных валов. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.
В первой главе рассмотрены задачи по оценке НДС цементированных деталей машин (сплошных и полых валов). В пункте 1.1 предлагается механическая модель упругого состояния материала при его поверхностном науглероживании (цементации). Оценка НДС сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с равномерной и переменной по длине цементацией дана в пунктах 1.2 и 1.3. В пунктах 1.4 и 1.5 рассмотрена оценка НДС полого бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру, с равномерной и переменной по длине цементацией. В конце каждого пункта данной главы приведены исходные данные и результаты численных расчетов.
Во второй главе описаны задачи по расчету НДС науглероженных валов при следующих видах нагружения: кручение, чистый и поперечный изгибы. В пункте 2.1 представлено решение задачи кручения сплошного бруса круглого поперечного сечения с равномерно цементируемым внешним контуром. Оценка вторичных нормальных напряжений при кручении цементированной тонкостенной трубы дана в пункте 2.2. В пункте 2.3 решена задача чистого изгиба бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру. Поперечный изгиб цементированного бруса круглого поперечного сечения, оценка касательных напряжений, рассмотрен в пункте 2.4. В пункте 2.5 дана задача кручения бруса круглого поперечного сечения с переменной по длине цементацией. Исходные данные и результаты численных расчетов приведены в конце каждого пункта данной главы.
Третья глава посвящена решению динамических задач деформирования цементируемых деталей машин. В,пункте 3.1 дан расчет собственных изгибных колебаний консольного цементированного бруса на основе метода Граммеля. В пункте 3.2 представлен расчет собственных изгибных колебаний двухопорного цементированного бруса на основе метода Релея-Ритца. Расчет продольных и крутильных колебаний бруса при его поверхностной цементации, приведен в пунктах 3.3 и 3.4. В пунктах 3.5 и 3.6 описаны задачи потерь на внутреннее трение при крутильных и изгибных колебаниях цементированных валов. Также в конце каждого пункта данной главы приведены численные примеры с результатами расчетов.
Оценка вторичных нормальных напряжений при кручении цементированной тонкостенной трубы
Изменение механических свойств сталей при науглероживании в натрии исследуются в работе [25]. Зависимости предела прочности и относительного удлинения сталей от содержания углерода показаны на рис. 1.5 (образцы проходили изотермическую выдержку в атмосфере аргона в течение 1000 ч при 650С). Анализируя данные зависимости видно, что от увеличения содержания углерода С, %, относительное удлинение 5, %, стали уменьшается, а предел прочности УЙ , МПа, увеличивается.
Вышесказанное дает основание полагать, что хотя свойства сплавов определяются всеми входящими в него легирующими элементами (примесями), углероду, несомненно, принадлежит решающая роль в формировании широкого комплекса физико-механических свойств.
В данной работе предлагается использовать в расчетах НДС другую физико-механическую характеристику стали - модуль Юнга Е, на которую содержания углерода также оказывает существенное влияние, и который имеет прямую связь с расчетом на прочность, нежели микротвердость [25].
Анализируя функцию концентрации углерода по сечению вала, видим, что до середины слоя цементации концентрация углерода изменяется по радиусу практически по линейному закону, а затем асимптотически приближается к начальному фону науглероживания. Механизм возникновения остаточных напряжений после науглероживания описан в работе Фридмана Я.Б. [47] и заключается в следующем: при цементации, за счет диффузии, в поверхностный слой внедряется углерод. Внедрение в кристаллическую решетку атомов углерода изменяет объём структурных элементов (происходит «распухание») и вызывает появление структурных остаточных напряжений в поверхностном слое и реактивных - в сердцевине.
Величина и характер распределения остаточных напряжений в цементированной стали зависит от относительной глубины цементированного слоя (глубины слоя отнесенная к максимальному размеру сечения), содержания углерода в сердцевине, распределения углерода по сечению цементированного слоя и структуры цементированного слоя (рис. 1.10).
Если стержень свободен от закрепления, то пренебрегая краевым эффектом, остаточные напряжения в стержне будут равны сумме напряжений (1.6) с напряжениями от нагрузки (1.7), которая действует по торцам
Для нахождения этих напряжений по методу суперэлементов разобьем стержень по высоте на ряд слоев. В пределах толщины каждого из слоев примем физико-механические характеристики постоянными, средними по толщине. Очевидно, что силовой фактор Р распределяется по слоям в соответствии с жесткостными параметрами слоев при соблюдении равновесия и условий совместности деформаций.
Рассмотрим сплошной вал радиусом г = R2 и длиной /, подверженный равномерной по длине цементации. Торцы цилиндра свободны от закреплений, внешние нагрузки отсутствуют. Отнесем цилиндр к группе цилиндров средней длины, т.е. полагаем, что краевыми эффектами на торцах цилиндра можно пренебречь. Обозначим R,, Д,+ - средние радиусы соседних колец, ащ, er«w) -окружные напряжения в элементах, q,, qM - контактные давления. Рассмотрим каждый элемент как тонкостенную цилиндрическую оболочку и далее используем для описания их НДС безмоментную теорию. Решение системы уравнений (1.25) удобно искать методом последовательных приближений. Изложенная методика позволяет определить напряженно-деформированное состояние цементируемых по контуру сплошных валов. Пример расчета сплошного бруса круглого поперечного сечения, цементированного по внешнему контуру Проведем практическое исследование НДС сплошного бруса, цементированного по внешнему контуру. Цементация равномерная по всей длине бруса. Исходные данные: брус с геометрическими размерами г0 = 0,028м, Я2=0,03м. Полутолщина Д цементированного слоя разбивается на N = 20 кольцевых элементов. Толщина кольцевого элемента ht =0,0001 м. Результаты вычислений приведены на рис. 1.15 и в приложении 1 (табл. 1,2,3). На рисунке представлены графики распределения напряжений по слою цементации и слева от графиков схемы распределения соответствующих напряжений в сердцевине вала.
Рассмотрим сплошной цилиндр радиусом г = R2 и длиной /, цементируемый по контуру, с переменной по длине цементацией. Торцы цилиндра свободны от закреплений, внешние нагрузки отсутствуют. Отнесем цилиндр к группе цилиндров средней длины, т.е. полагаем, что краевыми эффектами на торцах цилиндра можно пренебречь, но с другой стороны, нельзя пренебречь уровнем касательных напряжений, возникающих в сечениях из-за переменной по длине цементации.
Собственные изгибные колебания двухопорного цементированного бруса. Метод Релея-Ритца
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние цилиндра. Для решения задачи используем метод суперэлементов. Разбиваем цилиндр по длине / на ряд коротких цилиндров, или толстых плит, которые условно названы «дисками». «Диски» соединены продольными связями и в радиальном направлении перемещения не стеснены. Длина каждого «диска» равна шагу разбиения //.=0,1/ по оси z (рис. 1.16, а). В пределах каждого суперэлемента принимаем половинный слой цементации равномерным, средним по суперэлементу (рис. 1.16, б). Для оценки НДС отдельного «диска» разобьем его поперечное сечение по полутолщине науглероженного слоя Д на N кольцевых элементов. Рассмотрим два соседних кольцевых элемента с номерами і, і +1 (рис. 1.17). Рассмотрим тонкую трубку круглого поперечного сечения (поршневой палец), подверженную равномерной по длине цементации. Распределение углерода по толщине слоя цементации известно из решения задачи диффузии [21] и аппроксимируется линейной функцией (рис. 2.7). Трубка может быть как свободной по торцевым поверхностям, так и защемлена. При действии крутящего момента Мкр на трубку, в ней возникают как касательные, так и вторичные нормальные напряжения.
В основу решения положен МКЭ. Согласно МКЭ представляем тонкую трубку многослойной конструкцией, со свойствами средними и постоянными по каждому слою. Разбиваем поперечное сечение по толщине диффузионного слоя на п кольцевых элементов. Соответственно G2,G2,,,Gn - модули сдвига отдельных кольцевых элементов; гп 5, - средний радиус кольцевого элемента и его толщина. В свою очередь нецементированный слой трубки считается первым слоем (рис.2.7), и соответственно G, - его модуль сдвига, а г0- внешний радиус.
Рассмотрим сплошной брус круглого поперечного сечения с радиусом г = R2 , который подвержен равномерной по длине цементации. Распределение углерода по полутолщине слоя цементации известно из решения задачи диффузии [21] и аппроксимируется линейной функцией (рис. 2.14). Брус изгибается в одной из главных плоскостей двумя равными и противоположными моментами м (чистый изгиб). В основу решения положены гипотеза плоских сечений и гипотеза одноосного напряженного состояния [44]. Проведем практическое исследование НДС сплошного бруса, равномерно цементированного по внешнему контуру, при чистом изгибе. Пример расчета выполнен для вала с геометрическими размерами г0=0,028м, Я2=0,03м. Толщина кольцевого элемента h, =0,0001 м. Шаг по «р = 0,00524 рад. Концентрация углерода в поверхностном слое вала С = 1%, материал вала - сталь 45Х. Значение модуля Юнга Е0 =2,15-105 МПа и экспериментальный коэффициент к0 =0,108-105 МПа. Коэффициент Пуассона /л = 0,29. Изгибающий момент, действующий на брус равен М = 3000Н м. Известно, что при изгибе бруса поперечной нагрузкой, в поперечном сечении возникает не только нормальные напряжения, но и касательные напряжения. Определим их в случае круглого поперечного сечения сплошного цементированного бруса. На основе полученных теоретических исследований был проведен практический расчет касательных напряжений. Пример расчета выполнен для вала с геометрическими размерами г0=0,028м, і?2=0,03м. Толщина кольцевого элемента /г, =0,0001 м.
Концентрация углерода в поверхностном слое вала С = 1 %, материалом вала является сталь 45Х. Значение модуля сдвига G0 =0,833-105 МПа и экспериментальный коэффициент /с, =0,0417-105 МПа. Коэффициент Пуассона // = 0,29. Поперечная сила равна Q = 150000 Н. Эпюра напряжений, по диаметральному сечению цементированного и однородного вала, представлена в виде графиков (рис. 2.17 и 2.18), а также в виде таблиц (прил.2 табл. 8,9). Полученные расчетные формулы, позволяют оценить напряженно-деформированное состояние сплошного бруса круглого поперечного сечения, подверженного равномерной по длине цементации при его изгибе.
