Содержание к диссертации
Введение
1 Метод ГИУ первого рода для краевых задач с эллиптическими операторами ... 34
1.0. Основные краевые задачи 34
1.1. Сведение краевых задач к системам ГИУ 1-го рода 37
1.2. Схемы дискретизация системы ГИУ 40
1.3. Системы ГИУ 1-го рода для электроупругих тел 41
1.4. Примеры реализаций ГИУ 45
1.4.1. Антиплоская деформация изотропного тела 45
1.4.2. Антиплоская деформация ортотропного тела 52
1.4.3. Плоская деформация ортотропного тела 53
1.4.4. Антиплоская деформация электроупругого 55 тела
1.4.5. Плоская деформация электроупругого тела... 59
1.5. О поведении решения плоской задачи электроупругости в окрестности нерегулярной границы.. 68
1.5.1. Построение асимптотического решения системы дифференциальных уравнений электроупругости в плоской области 69
1.5.2. Пример численного определения показателя особенности решения 72
1.6. ГИУ для составных электроупругих, упругих и диэлектрических тел 73
2 Реализация в acelan метода конечных элементов для составных упругих, электроупругих и акустических тел 79
2.1. Постановки задач. Конечноэлементные модели 79
2.1.1. Краевые задачи акустоэлектроупругости . 81
2.1.2. Конечноэлементные модели 83
2.1.3. Симметричные формы разрешающих уравнений 84
2.2. Алгоритмы построения конечноэлементных объектов и их реализация 87
2.2.1. Технология формирования конечноэлементных объектов 87
2.2.2. Статический анализ 98
2.2.3. Установившиеся колебания 101
2.2.4. Нестационарный задачи 107
2.2.5. Модальный анализ 111
2.3. Конечные элементы для электроупругих пластин . 112
2.3.1. Изгиб электроупругих пластин 112
2.3.2. Изгиб биморфа. Потенциальная энергия 113
2.3.3. Метод деформации для пластин 115
2.4. Алгоритмы параллельных вычислений решения задач об установившихся колебаниях в ACELAN 121
2.4.1. Параллельные алгоритмы расчета АЧХ задач об установившихся колебаниях 123
2.4.2. Численный пример реализации кластерного алгоритма 126
3 Обратные задачи о восстановлении граничных волновых полей 131
3.1. Постановка краевых задач 4-го рода 131
3.2. Сведение к задаче Коши. Теорема единственности . 133
3.3. Сведение к системам ГИУ первого рода 135
3.4. Численная реализация систем ГИУ 137
3.5. Численные аспекты задачи восстановления полей . 142
3.6. Обратные граничные задачи для сред с диссипацией . 148
3.7. Конечноэлементные алгоритмы решения обратных граничных задач 157
3.7.1. Вспомогательные задачи 159
3.7.2. Алгоритм решения задачи восстановления . 161
3.7.3. Реализация алгоритмов идентификации на основе МКЭ 161
3.7.4. Пример численной реализации 165
4 Обратные задачи реконструкции интерфейсных дефектов 168
4.1. Идентификация интерфейсных дефектов, применение ГИУ 1-го рода 168
4.1.1. Постановка задачи и описание методики решения 168
4.1.2. Решение задачи идентификации дефекта для ортотропного прямоугольника 172
4.2. Некоторые полуявные алгоритмы реконструкции интерфейсных трещин 182
4.2.1. Постановка обратной задачи 182
4.2.2. Вспомогательные задачи 185
4.2.3. Вывод ГИУ с помощью решения задачи I... 186
4.2.4. Вывод ГИУ с помощью решения задачи II... 187
4.2.5. Частотное сканирование и регистрация трещин 187
4.2.6. Численный пример реконструкции трещин . 189
5. Идентификация трещиноподобных дефектов 194
5.1. Модели трещин без взаимодействия берегов 195
5.1.1. Постановка задачи 195
5.1.2. Функционал "невзаимности". Регистрация трещин 195
5.1.3. Плоские трещины, выбор пробных решений, определение плоскости с трещинами 197
5.1.4. Определение плоскости с трещинами при помощи ГИУ 1-го рода 200
5.1.5. Примеры реконструкции трещин в изотропном и ортотропном телах 205
5.2. Модели трещин с учетом взаимодействия берегов и тепловыделения 211
5.2.1. Формулировка модели 213
5.2.2. Регистрация трещин 214
5.2.3. Выбор пробных решений, определение плоскости 215
5.2.4. Асимптотические соотношения для определения размеров трещины 219
5.2.5. Численные эксперименты 220
6. Обратные коэффициентные задачи 230 электроупругости для стержней
6.1. Обратная задача определения пьезомодуля при поперечной поляризации пьезокерамического преобразователя 231
6.1.1. Постановка прямой задачи 231
6.1.2. Формулировка обратной задачи и сведение ее к нелинейному интегральному уравнению 232
6.1.3. Линеаризация, сведение к линейному интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода с гладким ядром 235
6.1.4. Численные эксперименты 237
6.2. Обратная задача определения пьезомодуля при продольной поляризации пьезокерамического преобразователя 242
6.2.1. Постановка прямой и обратной задач 242
6.2.2. Сведение обратной задачи к системе нелинейных интегральных уравнений 244
6.2.3. Алгоритм решения системы нелиннейных интегральных уравнений 245
6.2.4. Численные эксперименты 247
Заключение 249
Литература 251
Приложения 284
- Построение асимптотического решения системы дифференциальных уравнений электроупругости в плоской области
- Параллельные алгоритмы расчета АЧХ задач об установившихся колебаниях
- Решение задачи идентификации дефекта для ортотропного прямоугольника
- Формулировка обратной задачи и сведение ее к нелинейному интегральному уравнению
Введение к работе
Интерес к расчетам на прочность и колебания составных упругих и электроупругих тел продиктован многочисленными приложениями пьезоэлектрических преобразователей в различных областях. Прямые задачи для составных упругих, электроупругих и акустических тел моделируют функционирование разнообразных пьезоэлектрических устройств, широко применяемых в разных областях науки, техники, медицины и т.д.
Диссертационная работа посвящена разработке методов решения прямых и обратных задач теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров. Работа состоит из двух частей, первая часть включает в себя первую и вторую главы и посвящена разработке и реализации методов решения прямых задач. В качестве методов решения прямых задач в работе развивается метод неклассических граничных интегральных уравнений (ГИУ), а также метод конечных элементов (МКЭ), и в особенности его реализация в специализированном конечноэлементном комплексе ACELAN.
Интересом к разработке неклассических ГИУ, в частности в динамических задачах электроупругости, автор обязан своему научному руководителю кандидатской диссертации, научному консультанту проф. А.В.Бе-локоню и научному консультанту этой работы проф. А.О. Ватульяну. В работах [34]-[3б], [164]-[167],[135], [136] авторами метод А.В.Белоконя [19] был обобщен на задачи электроупругости и построены ГИУ для тел ограниченных координатными поверхностями (прямоугольник), однако для тел более сложной формы прямое применение этих методов невозможно. Говоря о методах решения задач электроупругости, разработанных в ростовской школе механики, следует отметить первые в этом направлении работы Ю.А.Устинова и его учеников [131, 100]. Линейная теория электроупругости к настоящему моменту является широко используемой математической моделью с большой степенью адекватности в описании функционирования пьезоэлектрических устройств, в построение этой модели и изучение ее свойств внесли вклад многие отечественные и зарубежные исследователи, среди них: И.И.Ворович, В.А. Бабешко, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.П. Гетман, В.Т.Гринченко, В.В.Калинчук, С.А. Кало-еров, Б.А.Кудрявцев, Ж.Можен, А.В.Наседкин, В.Новацкий, В.З.Партон, О.Д.Пряхина, А.Ф.Улитко, Ю.А. Устинов, Г.А. Шинкаренко, Н.А. Шульга, R.Hollahd, Е.Р. Eer Nisse, R.D.Mindlin, H.F.Tiersten и другие. Несмотря на бурное развитие МКЭ, построению методов решения краевых задач, основанных на ГИУ и с дальнейшим применением метода граничных элементов (МГЭ) посвящается много работ в отечественной и мировой литературе. Этот интерес связан с тем, что применение метода ГИУ снижает размерность задачи, что особенно важно при решении трехмерных задач, а также возможностью применения ГИУ в проблемах, где прямое применение МКЭ и других численных методов невозможно.
Математическое моделирование различных явлений и процессов в естествознании во многих случаях приводит к описанию их с помощью краевых задач с эллиптическими операторами. К этому классу операторов относятся операторы Лапласа и Гельмгольца, операторы, описывающие равновесие и установившиеся колебания в анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоупругости и других моделях.
Для большинства краевых задач для этих операторов в случае достаточно сложной геометрии области точное решение построить не удается и возникает проблема эффективного численного анализа задачи. В настоящее время наиболее распространенными являются метод конечных разностей, метод конечных элементов, а также метод ГИУ и основанный на нем метод граничных элементов. Родоначальником метода ГИУ можно назвать Фредгольма, который впервые свел краевую задачу для оператора Лапласа к интегральному уравнению по границе области, используя понятие фундаментального решения и теоремы о потенциалах простого и двойного слоев. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах грузинской школы математиков, возглавляемой В.Д. Купрадзе. В этих работах построены и исследованы системы ГИУ для задач изотропной теории упругости и термоупругости [126, 127]. В 70-х и 80-х годах метод ГИУ в его дискретном варианте — методе граничных элементов (МГЭ - англ. ВЕМ) — стал бурно развиваться в западных странах, был распространен на некоторые классы нелинейных задач на основе метода последовательных приближений. Достаточно полное представление о методике и возможностях этого способа можно найти в монографиях [41, 37, 212]. В этой связи следует отметить замечательную обзорную работу [224], посвященную истории развития МГЭ.
Вывод ГИУ во всех этих случаях опирается на фундаментальные и сингулярные решения соответствующего дифференциального оператора, формулы Грина или Гаусса-Остроградского, основные теоремы, аналогичные теоремам теории потенциала. К сожалению, для многих операторов (анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоэлектроупру-гости) построить фундаментальные решения в явном виде не удается; возможно лишь построение их интегральных представлений, крупным шагом в этом направлении явились работы А.О.Ватульяна и его учеников [62, 51, 341, 61].
Первая глава диссертации посвящена построению неклассических ГИУ и их численной реализации в краевых задачах с эллиптическими операторами. В п.1.1 рассматриваются конечные области, к дифференциальным уравнениям применяется преобразование Фурье и ГИУ формулируются на основе анализа характеристического многочлена и свойства аналитичности образов Фурье функций с компактными носителями. Следует отметить, что ядра полученных ГИУ являются гладкими функциями, а сами уравнения относятся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода. Решение полученных ГИУ сводится к обращению вполне непрерывных операторов, а эта процедура в общем случае является некорректной и требует регуляризации. В п. 1.2 предлагается один из возможных способов решения сформулированных ГИУ на основе идей МГЭ и регуляризации А.Н.Тихонова. В п.1.3 развитая методика применяется к оператору электроупругости и формулируются соответствующая система ГИУ. П. 1.4 посвящен некоторым частным реализациям предложенного метода и их численным реализациям для двумерного оператора Гельмгольца, задачам об антиплоских и плоских колебаниях упругого ортотропного и электроупругого тел. В приведенных численных примерах исследуется вопросы сходимости, сравнения с точными решениями и решениями, полученными МКЭ в ACELAN. В п.1.5 предложенная методика распространяется на случай составных упругих тел, рассматривается модельный пример.
Следует отметить, что наиболее универсальным методом решения линейных краевых задач для упругих и пьезоэлектрических твердых тел в настоящее время является МКЭ. Имеются общепризнанные и менее известные программные продукты на его основе, позволяющие производить расчет пьезоэлектрических устройств, среди них можно назвать ANSYS, ATILA, PZFlex, FlexPDE, COSMOS/M, Feapiezo, ACELAN. Интерес автора к проблематике МКЭ и его реализации в программном продукте в первую очередь связан с разработкой специализированного конечноэлементного комплекса ACELAN, которая ведется с 1997 года в РГУ под руководством А.В.Белоконя и А.В.Наседкина. В докторской диссертации А.В.Наседкина [147] можно найти достаточно полный обзор литературы и формулировку континуальных и конечноэлементных моделей акустотермоэлектроупруго-сти.
Вторая глава работы посвящена реализации в ACELAN МКЭ для составных упругих, электроупругих и акустических тел. В п.2.1 приводятся постановки задач акустоэлектроупругости и их конечноэлементные модели [147]. В п.2.2 разрабатываются алгоритмы построения конечноэлементных объектов и описывается их реализация в комплексе ACELAN. Рассматриваются статические задачи, задачи модального анализа, гармонического и нестационарного анализа. Приведены результаты расчетов различных составных упругих, электроупругих конструкций, нагруженных на акустические среды, и их сравнений, в которых обнаружено хорошее совпадение с аналогичными результатами, полученными другими методами, в частности, с помощью пакета ANSYS. Расчеты в ACELAN проведены автором, однако при этом использовались результаты коллег по разработке комплекса. В коллектив разработчиков в разное время входили О.Н.Акопов (препроцессор, управляющая оболочка), Р.В.Галкин (трехмерная триангуляция и визуализация), В.А.Еремеев (адаптация программ ARPACK), М.И.Карякин (трехмерная триангуляция), Н.В.Курбатова (подпрограммы учета механических граничных условий контактного типа, документация), К.А.Надолин (модули триангуляции), А.В.Наседкин (постановки задач, конечноэлементные модели, симметричные алгоритмы), А.А.Никитаев (препроцессор, визуализация), А.Л.Петушков (управляющая оболочка, внутренний командный язык, пакетный режим, визуализация), А.С.Скалиух (локальные элементные матрицы жесткости и масс, подпрограммы учета естественных граничных условий и постпроцессора), А.Н.Соловьев (конечноэлементные объекты, "решатели"статических задач, задач модального, гармонического и нестационарного анализа для плоских, осесимметричных и трехмерных составных упругих, электроупругих и акустических тел, обсуждение принципов построение оболочки комплекса, командного языка, препроцессора, постпроцессора и интерфейсов между оболочкой, решателями и модулями постпроцессора, разработка и реализация параллельных алгоритмов, а также руководство программной реализацией всего комплекса). В этой же главе в п.2.3 разработаны прямоугольные 12-ти-и 16-ти узловые конечные элементы для электроупругих пластин.
Современные КЭ пакеты предоставляют пользователю возможность вычислений на компьютерных кластерах. Некоторые разработки в этом направлении осуществлены в комплексе ACELAN. Так в п.2.4 представлены алгоритмы параллельных вычислений при построении АЧХ в задачах гармонического анализа. Получены оценки ускорения этого алгоритма, проведен асимптотический анализ этих оценок. Представлены результаты расчетов, проведенных автором в кластерной версии комплекса ACELAN, установленной на компьютерном кластере, созданном К.Е. Васильченко, в вычислительной лаборатории НИИМ и ПМ им. И.И. Воровича РГУ.
Вторая часть работы, состоящая из глав с третьей по шестую, посвящена постановкам и разработке методов решения обратных задач. Это граничные обратные задачи (глава 3), геометрические обратные задачи реконструкции дефектов в твердых телах (главы 4 и 5), методы применяемые в этих главах в основном опираются на результаты, полученные в первой части работы. Несколько особняком стоит шестая глава в которой решается ряд одномерных обратных коэффициентных задач электроупругости. Результаты этой части работы получены в тесном научном сотрудничестве с проф. А.О.Ватульяном и проводились в рамках выполнения грантов РФФИ. Среди опубликованных в этом направлении работ автору особенно дорога работа [49], выполненная в соавторстве с академиком РАН И.И. Егоровичем, который в свое время являлся руководителем дипломной работы автора.
В обратных задачах теории упругости [274] (там же можно найти обзор ранних работ) можно выделить некоторые направления:
1) обратные граничные задачи, в которых на части границы восстанавливаются поля смещений и напряжений при известной границе;
2) обратные геометрические задачи, в них восстанавливаются внутренние (включения, полости, трещины) или внешние границы при известном типе граничных условий на них;
3) обратные коэффициентные задачи, в которых находятся свойства однородных или неоднородных тел;
4) всевозможные комбинации предыдущих направлений.
Следует отметить, что во многих подходах успех в решении обратных задач, в особенности по реконструкции дефектов, зависит от построения эффективных способов решения прямых задач с включениями, полостями, трещинами и в особенности с условием контактного взаимодействия их берегов; некоторые подходы в такого рода задачах развиты в [9, 10, 11, 15, 16, 101, 102, 103, 140, 159, 303].
Третья глава посвящена первому из выделенных направлений. В ней изучаются проблемы постановки и решения неклассических краевых задач теории упругости, сходных по постановкам с задачей Копій для эллиптического оператора. Некоторые задачи, возникающие в георазведке, мониторинге энергетических конструкций, требуют знания граничных механических и температурных полей на границах тел, недоступных для прямого их измерения. Задача восстановления поля в упругой среде является весьма важной задачей интенсиметрии, где определение потоков вибрационной энергии в конструкциях основано на измерении поверхностных значений вектора напряжений и вектора смещений на одной и той же части границы. Особенно важен с точки зрения приложений случай обращения в нуль компонент вектора напряжений на границе упругого тела, соответствующий измерению компонент векторов смещений на свободной границе тела.
В классической динамической теории упругости, как известно, имеется три основных типа краевых задач, для которых доказаны теоремы существования и единственности [151]. Развитие методик восстановления волновых полей внутри упругих тел на основе измеренных граничных волновых полей приводит к новым постановкам краевых задач в динамической теории упругости. Краевые задачи такого типа возникают при математической формулировке обратных граничных задач теории упругости. Отметим, что весьма важными аспектами при исследовании этих краевых задач являются вопросы единственности, корректности и построения алгоритмов восстановления неизвестных полей. В настоящий момент эти задачи привлекают возрастающее количество отечественных [157, 158, 39, 40, 121] и зарубежных исследователей. Подобного рода задачи для уравнений Лапласа и Пуассона рассматривались в [246, 226, 230, 253, 254, 321, 278, 234, 309, 302, 223], для уравнения Гельм-гольца — в [215, 294, 296, 292, 295, 270, 301], для статической теории упругости и установившихся колебаний — в [352, 271, 293, 266, 310]. Отметим, что задачи такого типа, как правило, являются некорректными [181].
В разделе 3.1 приводится постановка краевых задач 4-го рода для установившихся колебаний анизотропного упругого тела, в которых на части границы тела граничные условия переопределены (известен, как вектор смещения, так и вектор напряжения), тогда как на другой его части, ни тип граничных условий, ни амплитудные значения граничных волновых полей не заданы. В разделе 3.2 задачи сводятся к задаче Коши и приводится теорема единственности, обсуждаются условия существования решения. Центральным в этой главе является раздел 3.3, где эти задачи с помощью методики, разработанной в первой главе, сводятся к системам ГИУ. Однако, полученные ГИУ могут быть классифицированы, как уравнения Фредголь-ма первого рода с гладкими (экспоненциальными) ядрами и процедура их обращения требует регуляризации. Разделы 3.4, 3.5 посвящены численной реализация предложенного метода для плоской деформации ортотропно-го тела на основе идей МГЭ и метода регуляризации А.Н.Тихонова. Здесь же приводятся результаты численных экспериментов по восстановлению граничных полей и обсуждаются численные аспекты погрешности восстановления в зависимости от числа точек измерения, размеров области измерения и других параметров. В разделе 3.6 методы предыдущих разделов распространяются на среды с диссипацией, которая учитывается с помощью общепринятых методик (введением сил, зависящих от скорости и в рамках модели вязкоупругого тела и комплексных модулей). Здесь представлены результаты численных экспериментов по оценке погрешностей восстановления в зависимости от параметров, характеризующих затухание.
Отметим, что в силу специфики краевых условий задач 4-го типа прямое применение к ним МКЭ невозможно, однако он может быть применен, если исходная задача сводится к решению ряда прямых классических краевых задач. Построенные на этой основе итерационные методы можно найти в [348]. В разделе 3.7 разработан метод восстановления граничных полей на основе сочетания идей МГЭ и МКЭ, в котором с помощью МКЭ строятся некоторые функции влияния. При этом МКЭ решается серия вспомогательных задач. Блочное представлении результирующей СЛАУ позволяет сохранить свойства симметричности и положительной определенности матрицы системы. Предложенные алгоритмы проиллюстрированы на задаче восстановления кусочно-линейной нагрузки для составного упругого тела, при этом прямые задачи решались в комплексе ACELAN, описанном во второй главе. В четвертой и пятой главах рассматриваются проблемы идентификации дефектов в упругих телах. В качестве таких дефектов могут выступать трещины, жесткие или упругие включения, полости и т.д. Задача реконструкции трещиноподобного может быть разбита на несколько этапов. На первом этапе определяется носитель дефекта - поверхность, в частном случае плоскость, содержащая дефект. Если задача первого этапа успешно решена, то на втором этапе разыскивается интерфейсный дефект - трещина с известным носителем. Последняя задача представляет самостоятельный интерес — реконструкции разрыва сплошности соединения составных конструкций, которыми являются пьезоэлектрические устройства.
Интерес к задачам идентификации дефектов (полостей, трещин) в твердых телах в последние годы привлекает внимание все большего количества исследователей. Это связано как с практическими приложениями задач такого типа в дефектоскопии, сейсморазведке и геофизике, математической экологии, так и новыми постановками обратных задач для операторов в частных производных и разработкой более эффективных и совершенных методов их исследования. В НИИМ и ПМ им. Воровича И.И. ведутся исследования в этом направлении, в частности, геометрическую реконструкцию дефектов в твердых телах в коротковолновой области (в акустическом приближении) можно найти в [38].
В этих геометрических обратных задачах можно выделить следующие направления исследований:
1) оптимизация и проектирование формы изделия или конструкции;
2) идентификация дефектов;
3) определение неизвестной границы, в частности границы раздела фаз. В рамках первого направления для упругих тел с помощью МГЭ и его разновидностей выполнены работы [347, 329, 211, 222, 331].
Второму направлению для упругих сред посвящено значительное число работ, в частности, в [263, 264] с помощью граничных измерений смещений, даны оценки размеров и положения дефектов в изотропном и анизотропных случаях; в [332] путем измерения деформаций и напряжений определяются трещины и дефекты в конструкциях; одиночные и множественные полости, а так же трещины и неизвестные граничные условия находятся в [333, 334, 335, 336, 210, 300, 267, 340] посредством измерения смещений в различных частях границы в статических и динамических постановках.
Наиболее значительные теоретические и численные результаты, относящиеся к третьему направлению, достигнуты для уравнения Лапласа. Так в работах [200, 208, 216, 260, 261, 262, 259, 312] с помощью граничных измерений и применения МГЭ, методов сопряженных градиентов, метода Левенберга-Марквардта и других способов решаются обратные проблемы, связанные с оператором Лапласа. В теории упругости этот вопрос гораздо менее изучен, здесь можно указать работы [209, 277, 298].
Среди дефектов в твердых телах особую роль играют трещины и расслоения на границе раздела разнородных материалов. Эти дефекты , возникающие как на стадии изготовления , так и на стадии эксплуатации, наиболее опасны с точки зрения механики разрушения, поскольку при нагружении инициируют значительные поля напряжений в окрестности края, что может приводить к их росту и глобальному разрушению конструкции [153]. Наиболее эффективными способами выявления дефектов в твердых телах являются акустические и тепловые методы исследования.
С математической точки зрения присутствие трещины в твердом теле обычно моделируется наличием скачков физических полей на некоторой двусторонней поверхности, причем в подавляющем количестве работ берега трещины не взаимодействуют и свободны от нагрузок. При этом прямые задачи в линейной постановке о расчете характеристик физических полей в теле с трещиной достаточно хорошо изучены как при помощи аналитических, так и численных методов (обзор по применению конечно-элементных технологий в неразрушающем контроле см. [284]). Одним из наиболее эффективных методов исследования прямых и обратных задач для упругих тел с дефектами в условиях установившихся колебаний является метод сведения к системам ГИУ, позволяющий понизить размерность прямых задач математической физики и сформулировать систему нелинейных операторных уравнений для решения обратных. На основании решения систем сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся подобные задачи, выявлена структура полей в окрестности края трещины. На основе анализа структуры полей у края обычно формулируются критерии развития трещины в зависимости от параметров пагружения [153]. В рамках изотропной теории упругости методом ГИУ получены решения широкого класса задач о колебаниях упругих тел с полостями и трещинами без взаимодействия берегов. Для трещин простой геометрии (плоские трещины в слоистой среде) были разработаны методы [16], позволяющие изучать колебания тел с одиночной трещиной, а также тел с системой параллельных трещин в полупространстве, слое, и получать решение интегральных уравнений в полуаналитической форме, что не требует больших вычислительных затрат. Если же трещина наклонена по отношению к прямолинейной границе, или же не является плоской, то единственно эффективным средством исследования прямых и обратных задач теории трещин является общий метод ГИУ, а при численной реализации - основанный на нем метод граничных элементов [41].
Отметим, что во многих случаях для построения адекватной модели отражения упругих волн от трещины необходим учет анизотропии, которой обладают многие реальные конструкционные материалы и сплавы горные породы, что в значительной степени усложняет расчет отраженных от дефекта волновых полей. При этом экспериментальные данные свидетельствуют о том, что если полость является линейным дефектом, для которого справедлив принцип суперпозиции, то для трещин это не так [115]. Нелинейность их поведения при ультразвуковом зондировании невозможно описать при помощи классических подходов теории упругости, в которых трещина моделируется математическим разрезом, берега которого не взаимодействуют. В то же время учет взаимодействия приводит в очень сложным смешанным задачам теории упругости с переменной во времени области контакта, решение которых требует совершенно иных подходов,чем классические методы динамической теории упругости [359, 114], в частности, основывающихся на вариационных неравенствах. Обратные задачи о нахождении поверхности трещины по заданным (измеренным) физическим полям на границе тела в последние годы весьма интенсивно исследуются в различных постановках [201, 273, 46]. При этом отметим, что даже при линейной постановке прямой задачи обратные задачи существенно нелинейны и некорректны и требуют совершенно иных подходов при решении, чем классические прямые задачи математической физики. Одним из принципиальных вопросов в теории обратных задач является формулировка условий единственности реконструкции трещины. Многообразие постановок обратных задач теории трещин привело к различным условиям теорем единственности; при этом совершенствовалась и техника доказательств. Проанализируем основные направления исследований в этой области математической физики. Что касается процедуры определения конфигурации трещин в твердом теле по информации о физических полях на его границе, то в последние годы исследования ведутся в нескольких направлениях.
Первое направление связано с изучением обратных задач для уравнений Лапласа и Пуассона, для уравнения теплопроводности и моделирование процедуры идентификации трещины при помощи изучения особенностей строения либо тепловых, либо электростатических полей в телах с дефектами [201, 325, 196, 197, 244]. При этом сформулированы подходы, основанные на теории потенциала или на использовании некоторого функционала "невзаимности", так и иные. В работе [323] рассмотрена задача об идентификации поперечной трещины в проводящем полупространстве при задании на всей границе нормальной компоненты магнитного поля. Задача сведена к исследованию обратной задачи для уравнения Пуассона. При априорных предположениях о том, что область трещины ограничена эллипсом, на основе детального анализа свойств интегралов типа потенциала, участвующих в представлении решения, получены явные формулы для его полуосей. В работе [193] исследован вопрос о единственности определения множественных трещин в электропроводном теле, который приводит к обратной задаче для уравнения Лапласа. Цикл работ выполнен коллективом авторов [201, 196, 197] на основе введения понятия пробного решения, удовлетворяющего соответствующему операторному уравнению и использованию теоремы взаимности. В случае плоских трещин оказалось возможным определить параметры плоскости, содержащей трещину по некоторым функционалам от граничных значений функции и ее нормальной производной. Так, в работе [186] доказана теорема единственности для обратной задачи об определении конфигурации трещин для нестационарной задачи телопроводности по известному полю температуры и тепловому потоку, заданным на всей на границе области. Основная идея доказательства носит конструктивный характер и основана на формуле Грина для оператора теплопроводности. Построен некоторый функционал несовместности, обобщающий результаты цикла статей [201] и позволяющий получить формулы для некоторых параметров трещины (или системы трещин) в случае, когда априорная информация состоит в том, что все трещины лежат в одной плоскости. В работе [187] развиты методы идентификации на случай неполного задания граничных полей для уравнения Лапласа.
В работах [198, 185] для обратной задачи статической теории упругости получены формулы для определения плоскости, содержащей трещины и выведены условия однозначной ее реконструкции по граничным ПОЛЯМ векторов смещений и напряжений.
В работах [83]-[85] изложено обобщение аналогичных подходов для уравнений анизотропной теории упругости в случае установившихся колебаний; построены трансцендентные уравнения для определения параметров плоскости с дефектами, проведена серия модельных расчетов по реконструкции трещин для плоских задач изотропной и анизотропной теории упругости.
Второе направление связано с исследованием обратных геометрических задач для уравнений теории упругости в конечной области [248]-[89] или в области типа слоя [47, 48], полупространства, причем дополнительной информацией являются граничные поля перемещений на части границы [322].
При этом формулируются системы нелинейных операторных уравнений с компактными операторами, а нахождение неизвестной конфигурации трещины осуществляется из линеаризованной системы операторных уравнений; начальное приближение при этом находится из минимизации функционала невязки в классе трещин простейшей конфигурации (наклонные прямолинейные трещины). В работе [248] для статических уравнений изотропной теории упругости получены граничные интегральные уравнения для тел с малыми дефектами (полости, трещины) и предложено их использование совместно с генетическими алгоритмами для процедуры идентификации.
Третье направление посвящено реконструкции трещины в бесконечной среде по диаграммам направленности упругих волн [194, 273, 195] и формулировке систем нелинейных операторных уравнений первого рода с гладкими ядрами. Так, в работе [273] для плоской задачи теории упругости развиваются подходы, использованные ранее для дефектов типа полостей. Параметризация трещины приводит к системе нелинейных уравнений с компактными операторами относительно функций, определенных на [0,1].
К этому же направлению относится статья [221], которая посвящена исследованию обратных задач теории трещин для уравнения Гельмгольца в дифракционной постановке.
Четвертое направление связано с изучением расположения трещин, находящихся на границе раздела двух упругих материалов [87, 89, 348], моделирующих непровар или непроклей контактирующих материалов, и сочетающее как процедуру решения прямой задачи на основе метода конечных элементов, так и решение задачи продолжения полей. Особенностью задач такого типа является априорная информация о месте расположения дефекта; определение его размеров осуществляется при помощи либо минимизации функционала невязки, либо из анализа структуры полей напряжений и смещений в окрестности трещины.
Одна из проблем, возникающих в динамических обратных задачах для сред с диссипацией — это формирование информативного акустического сигнала}по отклику которого идентифицируются дефекты, некоторые задачи реконструкции трещин в неоднородных анизотропных телах, в том числе в композитных материалов и при динамическом воздействии решены в [307, 256, 305, 322, 269].
В работах [240, 217] идентификация трещин основана на вейвлет-анализе и отображении областей с помощью преобразовании Кристоффеля-Шварца соответственно.
Различные априорные предположения о размерах трещин и частотах колебаний позволяют упрощать процедуру решения прямой задачи и совершенствовать постановки и методы решения обратной.
Заметим, что новые вычислительные технологии, такие как генетические алгоритмы и нейронные сети, также находят приложение в задачах идентификации трещин [248, 279, 218, 330, 257, 251, 308, 242].
Все перечисленные направления относятся к модели трещин с невзаимодействующими берегами. Значительно более сложным для исследования является класс задач математической физики, в постановке которых присутствует более адекватная модель трещины, чем математический разрез с невзаимодействующими берегами. Отметим, что постановка задач идентификации трещин в случае взаимодействия берегов при воздействии на объект короткими волнами (порядка сотен килогерц) является чрезвычайно сложной в силу переменной во времени области контакта и регистрация полей перемещений на свободной границе , как в задачах без взаимодействия, не позволяет сформулировать систему разрешающих операторных соотношений. В то же время для решения задачи об идентификации трещины по измеренным на границе тела физическим полям (например, тепловым) нет необходимости решать задачу с взаимодействующими берегами. Отметим, что в ходе экспериментальных исследований выявлено, что при интенсивном низкочастотном акустическом воздействии (в диапазоне от 20 до 40 кгц) в результате взаимодействия берегов трещины происходит диссипация энергии, индуцируя разогрев примыкающей к трещине области. Это изменение поля температур, достигающее даже десятой доли градуса, можно регистрировать на поверхности тела термовизором [111, 122]. Если относительные размеры трещины не слишком велики, то при постановке задачи идентификации воздействие трещины на распределение тепловых полей и полей напряжений внутри и на границе твердого тела в рамках модели термоупругости может быть приближенно заменено воздействием источников с неизвестными плотностями, расположенными на ее берегах. Таким образом, задача о реконструкции трещины может быть сведена к определению геометрического носителя предполагаемых источников возмущений, причем их интенсивность может оставаться неизвестной. Достаточно учесть тот факт, что при взаимодействии берегов часть энергии, подводимой к исследуемому образцу,трансформируется в тепловую. При этом тепловыми источниками являются берега трещины, хотя сам закон распределения функции источника неизвестен. В такой постановке достаточно решить обратную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности (для изотропной среды в установившемся случае распределения температуры - это уравнение Пуассона) с источником на линии или на поверхности, заключающуюся в определении носителя источников. Наличие априорной информации о том, что трещина (или система трещин) расположена в некоторой плоскости, значительно упрощает процедуру их реконструкции и приводит проблему определения параметров плоскости к системе трансцендентных уравнений; в двумерном случае это предположение позволяет получить явные формулы. После этого реконструкция "источников-трещин" проводится аналогично схеме, предложенной в [201, 87] для обнаружения областей разрыва в компонентах физических полей.
Замечание. Подходы, опирающиеся на идеи теоремы взаимности, стали весьма популярны при решении различных задач математической физики [190]. Отметим, что во многих постановках обратных задач информация о полях задана лишь на части границы; именно поэтому для использования многих подходов, описанных выше требуется осуществить процедуру продолжения полей с части границы на всю границу. Эта некорректная задача на практике решается обычно или при помощи метода регуляризации А.Н. Тихонова, либо при помощи итерационной альтернирующей процедуры.
Четвертая глава посвящена разработке методов реконструкции интерфейсных дефектов. Рассмотрены неподвижные жесткие включения и трещины, представляющие собой разрезы без взаимодействия их берегов. В разделе 4.1 разработана методика реконструкции дефекта, основанная на частотном анализе тел с дефектами и без них, а также на реконструкции внутренних полей в окрестности дефекта, по структуре которых определяется тип и положение дефекта. При этом продолжение полей внутрь тела осуществляется методами третьей главы. Приведен численный пример реконструкции дефектов в составном прямоугольнике, в численном эксперименте использовались результаты второй главы, при модальном анали 27
зе и моделировании процесса измерения граничных полей использовались полученные в ACELAN. В разделе 4.1 основой реконструкции трещин на границе раздела двух тел (одно из которых может и электроупругим) также служит структура внутренних механических полей на линии раздела. Однако способ нахождения этих полей отличается от применяемого в п.4.1 и основан на решении некоторых вспомогательных задач и получения системы ГИУ относительно смещений или напряжений на границе раздела, при этом ядра этих уравнений строятся с помощью решения некоторых прямых задач, которые предлагается осуществлять с помощью МКЭ. Приведен пример численной реализации предложенного метода по определению разрыва сплошности в полупассивном пьезокерамическом биморфе. В этом примере решение прямых задач проводится в ACELAN.
Пятая глава посвящена разработке методов определения носителей трещин, причем рассматриваются как классические модели, когда берега трещин не взаимодействуют между собой, так и модель учета этого взаимодействия с помощью диссипации механической энергии, которая приводит к локальному тепловыделению в окрестности трещин. Отметим, что решение прямых задач контактного взаимодействия упругих тел представляет собой сложную математическую проблему, ряд результатов в этой области можно найти в [8, 10, 11].
В разделе 5.1 строится функционал "невзаимности", равный интегральным скачкам смещений на трещине с некоторыми весовыми функциями, имеющими смысл вектора напряжений (пробного решения) на линии трещины в задаче без дефекта и выражающиеся через граничные волновые поля. Специальный выбор пробных решений позволил получить систему трансцендентных уравнений относительно параметров носителя трещины в случае априорной информации о ее плоскостном характере. Рассмотрены численные примеры по определению этих параметров для плоской деформации изотропного и ортотропного квадратов с трещинами. При этом решение прямой задачи, моделирующей измерения и модальный анализ, проводился в ACELAN.
В разделе 5.2 рассматривается неклассическая модель тел с трещинами с учетом взаимодействия берегов посредством тепловыделения. Трещины моделируются неизвестными источниками тепла на ее границе. Применяется теорема взаимности и специальным образом выбираются пробные решения для тела без внутренних источников, в случае плоских трещин, как и в п.5.1 удается сформулировать систему трансцендентных уравнений относительно параметров плоскости с трещиной, а в случае одиночной трещины в изотропном теплопроводном теле предложить явные формулы для внутренних точек трещины, что при разных способах акустического облучения тела позволяет получить явные формулы для параметров плоскости. Приведен численный пример нахождения, как одиночной, так системы трещин-источников в четверти круга. Исходной информацией для задачи реконструкции служит температурный портрет внешней поверхности тела.
В настоящее время пьезоэлектрические преобразователи энергии нашли широкое применение в технике. Активными элементами этих устройств, в основном, являются пьезокерамические тела. Использование пьезокерами-ки позволяет создавать пьезоэлементы различной формой и со сложным электродным покрытием. Условия эксплуатации и создание элементов с заданными полезными свойствами приводят к неравномерной объемной поляризации этих элементов. Для разработки технологии изготовления и расчета пьезоэлектрических устройств с неравномерной поляризацией необходимо уметь рассчитывать объемные распределения упругих и пьезоэлектрических характеристик в этих элементах. Как показывают измерения, наиболее изменяемыми, в случае неравномерной поляризации, являются пьезомодули. Задачу определения координатных зависимостей пьезомоду-лей можно решать двумя путями: в первом - предполагается решение пря 29
мой задачи о фазовых переходах в керамике под действием физических полей, в этом направлении в настоящее время проводятся многочисленные исследования, среди которых выделю появившиеся недавно работы коллеги по проекту ACELAN А.С.Скалиуха [162, 163]. Во втором способе решается обратная задача по определению этих зависимостей по выходным характеристикам пьезоэлетрических устройств (в том числе оптимизируемым), такая постановка относит эти задачи к коэффициентным обратным задачам [158]. Ряд задач в русле второго направления решен в последнее время в [52, 53, 54].
Одними из наиболее простых задач такого типа являются одномерные коэффициентные обратные задачи об определении пьезомодулей с?зі(жі) и зз(жз) при задании амплитудного значения тока как функции частоты колебаний.
Шестая глава посвящена решению задачи об определении объемного распределения пьезомодуля в стержневых пьезокерамических преобразователях, широко используемых в качестве силовых элементов различных устройств. В разделе 6.1 рассматривается задача определения модуля зі( і) при поперечной поляризации стержня по АЧХ электрического тока в цепи пьезоэлемента (следует отметить, что именно эта характеристика наиболее просто может быть измерена в эксперименте), которая сводится к нелинейному интегральному уравнению 1-го рода, и ее решение строится на основе сочетания метода линеаризации и метода регуляризации А.Н.Тихонова [181]. Проведены численные эксперименты для различных законов поляризации. В разделе 6.2 рассматривается задача определения пьезомодуля с?зз(жз) при продольной поляризации стержня, также по АЧХ электрического тока в цепи пьезоэлемента, которая сводится к системе 2-х нелинейных интегральных уравнений, их решение строится на основе итерационной процедуры в сочетании с методом регуляризации на компактных множествах [180]. Проведены численные эксперименты для гладкого и кусочно-постоянного законов поляризации.
В концентрированном виде результаты диссертации представлены в заключении.
Публикациями, отражающими материал диссертации, являются следу-ющие работы: [2]-[7], [17], [21]-[27], [29]-[33], [42], [43], [49], [58], [59], [63], [64], [67]-[96], [99], [110], [134], [141], [148], [149], [156], [168]-[177], [191], [203]-[207], [219], [220], [342] (всего - 82 наименования). Некоторые из этих работ выполнены в соавторстве, поэтому далее описывается вклад автора диссертационной работы в таких публикациях.
В работах [58], [59], [67], [70], [72], [74], [75], посвященных разработке ГИУ для анизотропных упругих, электроупругих и составных тел, Вату-льяну А.О. принадлежит общая идеология получения систем ГИУ, диссертанту принадлежат вывод различных вариантов систем ГИУ, составление программ и проведение расчетов при решении конкретных краевых задач, Ковалеву О.В. принадлежит разработка граничноэлементной реализации на основе аппроксимаций высокого порядка.
В работах [49], [76]-[80], посвященных решению обратных граничных задач динамической анизотропной теории упругости, Воровичу И.И. принадлежит общая постановка задач об идентификации нагрузок, Ватульяну А.О. принадлежит сведение исходной задачи к задаче Коши для эллиптического оператора и доказательство теоремы единственности, диссертанту принадлежат формулировка систем ГИУ и их исследование на основе сочетания граничноэлементных, конечноэлементных аппроксимаций и метода регуляризации А.Н.Тихонова, а также проведение численных экспериментов.
В работах [81], [82], [87]-[89], посвященных решению обратных задач реконструкции интерфейсных дефектов в упругих и электроупругих телах, Ватульяну А.О. принадлежит общая постановка задач и обсуждение результатов, диссертанту принадлежат разработка методов выявления интерфейсных дефектов и их численная реализация на основе ГИУ и МКЭ.
В работах [83]-[8б], [90]-[96], [177], [342], посвященных решению обратных задач реконструкции трещиноподобных дефектов в упругих и теплопроводных телах, Ватульяну А.О. принадлежит построение разрешающих уравнений по определению параметров прямолинейных трещин на основе идей неклассических ГИУ, диссертанту принадлежат введение функционала невзаимности, введение пробных решений и построение на их основе разрешающих уравнений относительно параметров прямолинейных трещин без учета взаимодействия берегов и с его учетом, а также, проведенный численный анализ по определению параметров трещин.
В работах [68], [71], [73], посвященных определению законов неоднородной поляризации стержневых пьезоэлементов, Ватульяну А.О. принадлежит формулировка разрешающих интегральных уравнений и доказательство теоремы единственности, диссертанту принадлежит разработка численных схем решения нелинейных интегральных уравнений и их численная реализация, выбор оптимальных частотных диапазонов, численное решение конкретных задач.
В работе [17] диссертанту принадлежат результаты по индентификации дефектов в телах конечных размеров и расчеты по МКЭ.
Работы [2]-[7], [21], [22], [25]-[27], [29]-[33], [99], [ПО], [148], [149], [156], [191], [203]-[207], посвящены результатам, связанным с разработкой КЭ комплекса ACELAN, в них диссертанту принадлежит разработка и программная реализация "решателей"комплекса, обсуждение принципов разработки оболочки, визуализации результатов и интерфейса между "ре-шателями"и оболочкой, руководство программной реализацией всего комплекса, а также проведенные расчеты в ACELAN для конкретных задач статического, гармонического, модального и нестационарного анализа составных упругих, электроупругих конструкций, в том числе, нагруженных на акустические среды. Более подробно о вкладе коллег по разработке комплекса и соавторов публикаций описано выше.
Работы [23], [24], [42], [43], [141], [219], [219] посвящены результатам, связанным с модификацией управляющей оболочки и разработкой кластерной версии КЭ комплекса ACELAN, в них диссертанту принадлежит разработка алгоритмов распределенных вычислений, их программная реализация и проведение расчетов в задачах об установившихся колебаниях, в частности, построения АЧХ в задаче о колебании многослойного контейнера при нарушении его сплошности; постановки задач о распараллеливании блоков решателей, связанных с вычислением конечноэлементных объектов и обсуждение способов их решения; обсуждение путей модификации управляющей оболочки комплекса.
В работах [69], [134] диссертанту принадлежат разделы, связанные с разработкой конечных элементов для электроупругих пластин и построению асимптотических решений в плоской теории электроупругости в окрестности нерегулярной границы и проведение соответствующих расчетов.
На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ, коды проектов: 97-01-00633а, 00-01-00545а, 02-01-01124а, 03-07-9041ІВ, 05-01-00690а, 05-01-00734а.
Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своим научным консультантам, проф. А.В. Белоконю и проф. А.О. Ватульяну за постоянное внимание и помощь в работе.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за успешное сотрудничество и поддержку всем коллегам по разработке комплекса ACELAN и в особенности А.В. Наседкину, В.А. Еремееву, М.И. Корякину, Н.В. Курбатовой, К.А. Надолину, А.С. Скалиуху, О.Н. Акопову, Р.В. Галкину, А.А. Никитаеву, А.Л. Петушкову.
Автор выражает благодарность участникам семинаров, за обмен мнениями и обсуждение результатов, проводимых под руководством проф. А.О.Ватульяна, в разное время в РГУ и в ДГТУ, и в особенности М.А. Сум-батяну, И.В. Баранову, О.В. Булгурян, Н.В. Боеву.
Построение асимптотического решения системы дифференциальных уравнений электроупругости в плоской области
В 1996 г. на кафедре математического моделирования Ростовского университета под руководством проф. А.В.Белоконя была начата работа над программным продуктом, получившим впоследствии название ACELAN (ACoustoELectric ANalysis). В настоящее время ACELAN является тщательно оттестированным конечно-элементным пакетом, предоставляющим возможности для проведения всех важнейших типов расчета пьезоэлектрических устройств для двумерных плоских и осесимметричных составных областей, а также для трехмерных областей обобщенной цилиндрической формы. В ACELAN имеются возможности для реализации статического расчета пьезоустроиств; для определения частот электрических резонансов и антирезонансов; для построения амплитудно-частотных характеристик; для расчета нестационарных процессов.
В первых версиях пакет ACELAN позволял проводить только расчеты двумерных плоских и осесимметричных задач электроупругости, затем в ACELAN последовательно были добавлены возможности модального анализа, расчет тел обобщенной цилиндрической формы, специализированный постпроцессор, гармонический и нестационарный анализы. Развернутое описание ACELAN на 1999 г. было дано в [4], более современная информация о пакете вместе с подробной библиографией приведено в [29, 43].
В основу ACELAN положен комплекс блочных симметричных алгоритмов для седловых матриц, характерных для конечно-элементных задач электроупругости [26, 31]. Эти алгоритмы были разработаны как для статических, так и для нестационарных задач с применением схемы Ньюмарка интегрирования по времени в альтернативной форме. На основе анализа метода разложения по модам для динамических задач электроупругости [112] А.В. Наседкиным была предложена новая модель учета демпфирования в пьезоэлектрических устройствах [145, 146]. Добавление к конечно-элементному анализу пьезоэлектрических устройств возможности расчета связанных акустических полей, новые модели демпфирования, более совершенные постпроцессоры для динамических задач и возможности вычислений на компьютерных кластерах были представлены в последних версиях ACELAN [23, 43].
В восьмой версии ACELAN снижены требования к ресурсам компьютера — объему потребляемой памяти, ресурсов Windows (GDI h User) — за счет перехода на более экономичные компоненты. ACELAN сейчас работоспособен на Windows 9х, 2000. Появилась возможность одновременного запуска нескольких копий пакета, повышена стабильность работы управляющей оболочки. По сравнению с предыдущими версиями, новая версия пакета содержит постпроцессор для нестационарных задач и задач на установившиеся колебания. Для реализации всех необходимых эффектов визуализации потребовалось применение современных графических языков программирования — OpenGL и DirectDraw. Подверглись значительным изменениям постпроцессор для задачи на нахождение собственных частот, процедура сохранения результатов в файл, расширено количество визуализируемых параметров и многое другое. К пакету подключены библиотеки DelphiX и RxLib, что позволило ускорить вывод графических изображений и создать качественную анимацию, а также несколько упростить пользовательский интерфейс.
В последние три года ведется разработка версии комплекса ориентированной на кластерные вычисления, в первую очередь для задач, требующих большого объема вычислений, в частности, построения АЧХ [43] и анализа трехмерных конструкций [220]. Следует отметить, что в рамках проекта ACELAN основные постановки полевых и конечноэлементных моделей упругих, пьезоэлектрических и акустических сред осуществлены А.В.Наседкиным [147], конечноэлемент-ные формулировки этого класса краевых задач приведены также в [353], поэтому в следующих трех параграфах приведем лишь основные результаты. Рассмотрим задачи конечно-элементного моделирования работы составных пьезоэлектрических устройств. Пусть такое устройство занимает область Q,, представленную набором областей Qj = Qpk] k—l,2,...,Np] j = к со свойствами пьезоэлектрических матриалов и набором областей Q,j = Qem; m=l,2,...,iVe; j = Np + m со свойствами упругих материалов. Будем считать, что физико-механические процессы, происходящие в средах Qpk и Г2ет, можно адекватно описать в рамках теорий пьезоэлектричества (электроупругости) и упругости. Для пьезоэлектрических сред Clj — Qpk будем предполагать, что выполняются следующие полевые уравнения и определяющие соотношения где ctdj, 0dj, Cd неотрицательные коэффициенты демпфирования, а остальные обозначений стандартны для теории электроупругости, за исключением дополнительного индекса "j", указывающего на принадлежность к среде Qj с номером j (здесь и ниже соответсвующий индекс "Уу компонент НДС, электрического и акустического полей опущен). Для сред Qj = іїет с чисто упругими свойствами будем учитывать только механические поля, для которых примем аналогичные (2.1.1)—(2.1.3) полевые уравнения и определяющие соотношения в пренебрежении электрическими полями и эффектами пьезоэлектрической связности. Наконец, пьезоэлектрическое устройство может быть нагружено на рабочие акустические среды flj = Qai; l—l,2,...,Na; j = I -f Np + Ne. Для этих областей будем использовать уравнения акустики с учетом линейных диссипативных эффектов [124] где pj - равновесное значение плотности; Cj - скорость звука; bj - дис-сипативный коэффициент для среды О,- = Qai; р - звуковое давление; v - вектор скорости; ф - потенциал скоростей; а - тензор напряжений; I -единичный тензор. Отметим, что принятые здесь модели (2.1.1)—(2.1.5) отличаются специфическими способами учета демпфирования. Для упругих сред имеем модель учета демпфирования по Релею. Эта модель в в (2.1.1)—(2.1.3) обобщена на пьезоэлектрические среды. Подробное обсуждение модели в (2.1.1)-(2.1.3) содержится в [145, 146], а обсуждение модели (2.1.4), (2.1.5) для акустической среды с диссипацией - в [124, 144, 143]. К (2.1.1)—(2.1.5) необходимо добавить соответствующие главные и естественные граничные условия, условия согласования полей по границам контакта различных сред, импедансные условия для "усечения "акустических областей [124, 143], а также начальные условия для нестационарных задач. Для решения динамических задач акустоэлектроупругости будем использовать МКЭ в классической лагранжевой формулировке. Выберем согласованную конечно-элементную сетку, задаваемую в областях Qhj, аппроксимирующих области Qj.
Параллельные алгоритмы расчета АЧХ задач об установившихся колебаниях
Современные конечно-элементные программные комплексы, такие, как например, ANSYS [199], предоставляющие возможности расчета связанных физических полей в элементах конструкций, предлагают пользователю широкий арсенал средств и приемов их использования. К ним относятся, в частности, интерактивный режим, предусматривающий непосредственное описание задачи во время сеанса работы с использованием интерфейса пакета, а также пакетный режим, в котором пользователь должен предварительно изучить некоторый специализированный язык команд и затем описать исследуемую задачу с его помощью. Возможности использования компьютерных кластеров, которые также предусматривают современные программные комплексы, позволяют решать задачи с большим объемом вычислений. К таким задачам относятся расчеты пьезоэлектрических преобразователей [29], которые находят свое применение во многих технических устройствах, и представляют собой существенно трехмерные составные конструкции, нагруженные на газообразные или жидкие среды. Динамические режимы функционирования преобразователей обычно являются установившимися или, что несколько реже, нестационарными. Конечно-элементное моделирование таких процессов [31], приводит к большому объему вычислений, которые целесообразно проводить на компьютерных кластерах.
В последние годы интенсивно развиваются методы решения обратных граничных и геометрических задач механики деформируемого твердого тела, которые, в частности, могут быть сведены к неклассическим краевым задачам [49]. Некоторые из этих методов [121, 348, 171, 87] предполагают решение последовательности прямых задач, основные блоки конечно-элементных моделей которых не изменяются от шага к шагу, что допускает простые схемы распараллеливания таких вычислений.
В настоящее время разрабатывается версия комплекса ACELAN, в которой имеется возможность кластерных вычислений. Рассмотрим некоторые алгоритмы этих вычислений, реализованные в комплексе. Отметим, что, как и большинство подобных КЭ комплексов, ACELAN состоит из трех основных блоков: препроцессора, "решателей"и постпроцессора. Обмен данными между этими блоками производится посредством файлов на жестком диске. Следует отметить, что при создании "решателей"были использованы в основном оригинальные разработки авторского коллектива, поэтому процесс перехода на параллельные вычисления в первую очередь затронул этот блок.
При построении в ACELAN амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и при реализации нестационарного анализа пьезоэлектрических преобразователей основной ресурс времени тратится на пошаговое преобразование и решение систем линейных алгебраический уравнений (СЛАУ). В случае установившихся колебаний и построения АЧХ распараллеливание можно осуществить путем разделения частотного интервала и использования на каждом компьютере "не распараллеленных" "решателей"прежних версий. При нестационарном анализе распараллеливаются преобразование и решение СЛАУ на каждом временном слое. Алгоритмы параллельных вычислений решения СЛАУ можно найти в [152]. При статическом анализе время, затраченное на решение СЛАУ, сопоставимо со временем построения конечно-элементных объектов, включающего следующие основные операции: формирование матрицы смежности графа геометрической модели и графа узловых неизвестных; перенумерацию узлов; сборку матриц жесткости, масс, демпфирования и учет главных и естественных граничных условий. Алгоритмы описанных подпрограмм, основанные на поэлементном построении КЭ объектов, допускают простой способ распараллеливания. Важным показателем эффективности кластерного алгоритма является равномерная по времени загрузка процессоров кластера. Для составных упругих и электроупругих конструкций, нагруженных на акустические среды, мы имеем дело с конечными элементами с различным числом степеней свободы, для которых время обработки (поиск смежных степеней свободы, построение локальных матриц жесткости и масс и т.д.) не одинаково.
Поэтому при распараллеливании цикла по конечным элементам в настоящей версии комплекса предусмотрено разделение элементов по телам с одинаковыми механическими и электрическими степенями свободы.
Конечно-элементные модели установившихся колебаний с частотой / = uj/2-к составных упругих, электроупругих и акустических тел описываются соотношениями (2.1.8)-(2.1.9) и могут быть представлены в виде где А.еН{ш) эффективная матрица очевидным образом получающаяся из (2.1.8).
Рассмотрим далее задачу построения в ACELAN АЧХ на интервале частот и Є [u;i,ct 2]. Тогда, кроме этого частотного интервала, пользователю необходимо задать количество Nu точек, равномерно распределенных в этом интервале. Отметим, что для получения адекватных экспериментальным данным АЧХ Nu обычно должно иметь порядок нескольких десятков и более в зависимости от размера частотного интервала и его положения относительно резонансных частот. Основной ресурс времени в этом случае связан с преобразованием матрицы системы (2.4.1) (шаги п = 1,2 описанного выше алгоритма) и ее решением на каждом частотном шаге. Пусть в распоряжении пользователя имеется кластер, состоящий из Npr0C одинаковых процессоров со скоростью передачи информации vc. Процесс подготовки задания, триангуляция области производится пользователем на центральном компьютере, не входит в рассматриваемый ниже алгоритм распараллеливания и является, в связи со структурой комплекса, специальным предметом разработки.
Применяемый в ACELAN алгоритм распараллеливания вычислений в "решателе"может быть представлен следующей схемой. 1. Центральный процессор считывает данные о задаче и рассылает их на процессоры кластера за время Т{п. 2. Каждый процессор за время Twev производит подготовку конечно-элементных объектов — матриц и векторов в уравнении (2.1.9), которые в дальнейшем хранятся в памяти каждого процесса. 3. В цикле по частотному интервалу каждый процесс обрабатывает свой набор частот (шаги п — 1,2 параграфа 2, решение СЛАУ (2.4.1)) и после каждого решения посылает найденный вектор а центральному процессу, который осуществляет вывод этих данных в соответствующий файл. Обозначим время обработки одного частотного варианта через Т\, время вывода одного варианта Т = Vr/vout и время передачи-приема вектора а через Tr = Vr/vc, где Vout — скорость вывода информации в файл, Vr — объем информации в векторе а, который пропорционален некоторому параметру 5, характеризующему "сложность"задачи (количество узлов конечно-элементной сетки или степеней свободы).
Решение задачи идентификации дефекта для ортотропного прямоугольника
Ниже приводятся результаты численных экспериментов, моделирующие процесс измерения смещения. В частности, исследуется вопрос о точности восстановления искомых волновых полей в зависимости от размера области измерений, способов размещения датчиков, их числа, случайных ошибок измерений.
Численные эксперименты проведены для плоской деформации круговой области радиуса R из аустенитной стали [65]. Граница области L , на которой восстанавливались векторы смещений и напряжений, определяется углом фо, а з — {#1 = R + Rcost/ , Х3 — R + Rsinift, ф Є [О, ]}. Положение и размер области " измерений "Li задавались углами ф\ и ф2, а Li = {xi = R + Rcosф, ж3 = R + Rsmф, ф Є [Фо + фі,фо-\-фі + ф2]}- На остальной части границы L2 задавался вектор напряжений, причем в качестве тестового волнового поля выбирались следы плоской волны, амплитудные значения смещений которой, определялись соотношениями (3.4.3)
Дискретизация системы ГИУ (3.5.5) (в которой, так же как и ранее интегрирование по поверхностям Si, і = 1,2,3 в плоском случае следует заменить на интегрирование по границам L{, г = 1,2,3) осуществлялась на основе идей метода граничных элементов, при этом граница области аппроксимировалась ломаной, а каждый граничный элемент состоял из последовательного набора отрезков этой ломаной. В проведенных расчетах размер одного отрезка ломаной соответствовал центральному углу, размером не более 1. Для известных ("измеренных") амплитудных значений граничных полей, а также для восстанавливаемых их значений была принята кусочно-постоянная аппроксимация. В этом случае интегрирование в системе ГИУ можно провести в аналитическом виде. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) формируется при требовании выполнения равенства соответствующих интегральных уравнений в наборе точек в комплексной плоскости. Решение СЛАУ осуществлялось методом регуляризации А.Н.Тихонова [181].
Актуальным, с точки зрения практического применения предложенного метода, является вопрос о количестве измерений, гарантирующих восстановление с определенной степенью точности. Очевидно, что ответ на этот вопрос в общем случае зависит от частоты колебаний, от быстроты изменяемости волнового поля вдоль границы. На рис. 3.6 представлены зависимости относительных погрешностей восстановления компонент векторов смещений 6 (кривая 1) и напряжений є (кривая 2) на границе Ь3 от числа измерений N для частоты колебаний, не превышающей первую резонансную частоту второй краевой задачи для данной области. При этом Фо = к/2, ф\ = 7г/4, -02 = 7Г. Как видно из этих графиков, точность восстановления в целом улучшается при увеличении числа измерений. Однако, существует некоторое разумное число измерений (здесь 10 N 20), даже при значительном увеличении которого выигрыш в точности несущественен.
Наряду с числом измерений важным практическим вопросом является выбор схемы расположения датчиков на доступном для измерений участке границы. Этот вопрос связан с относительным размером области измерений и ее расположением относительно части границы, на которой нужно восстановить поля смещений и напряжений. Оказалось, что точность восстановления не столь существенно зависит от расположения области измерений, сколько от ее размера. Это отчасти объясняется рассмотрением тела конечных размеров и установившихся колебаний, в то время, как для бесконечных и полубесконечных тел и нестационарных воздействий ситуация может быть иной [55]. Расчеты проводились для тех же данных и при ф\ Є (0,7г/2), крайние значения ф\ соответствуют примыканию области "измерений"к недоступной для "измерений"части границы слева и справа. На рис.3.7 представлены зависимости относительных погрешностей восстановления 6 и є (здесь и далее номера кривых соответствуют данным на рис.3.6) от размера ф2 области L\ в том случае, когда она расположена симметрично области Ь$ при фо = 7г/8. Как показывают расчеты, погрешность убывает с увеличением размера области L\ и достигает предельных значений (здесь не более 5%), когда размер L\ составляет около половины всей окружности (ф2 = 37г/4). В то же время погрешность в пределах 12% достигается уже при L\, составляющей около четверти окружности (ф2 = 5тг/8).
Система ГИУ (3.5.5) представляет собой операторное уравнение первого рода с вполне непрерывным оператором, поэтому его обращение и решение СЛАУ, как дискретного аналога системы (3.5.5), требует процедуры регуляризации. Кроме того, условием существования решения неклассической краевой задачи (3.5.1)-(3.5.4) является когерентность или согласованность полей смещений и напряжений, задаваемых на границе L\. Таким образом, вопрос о погрешности измерений и влиянии ее на адекватность восстанавливаемого поля приобретает в данном случае особое значение. В проведенных численных экспериментах погрешность измерений моделировалась возмущением краевого условия (3.5.2) по следующей схеме где Н(х) случайная функция с равномерным законом распределенния при х Є S\. На рис. 3.8 представлены зависимости относительных погрешностей S и є от показателя порядка погрешности т (размеры областей и частота колебаний такие же, как для рис.3.6). Расчеты показывают, что если погрешность измерения смещения составляет не более 1%, то это не приводит к значительной потере точности восстановления нагрузки. Для адекватного восстановления точной структуры поля смещений этот порог понижается до 0,1%.
Проведенные расчеты показали, что точность восстановления интегральных характеристик нагрузки (главный вектор и главный момент) значительно выше точности восстановления структуры нагрузки. Этот результат может быть положен в основу построения итерационной схемы определения точной структуры нагрузки, в которой данные о главном векторе и главном моменте являются начальным приближением.
Формулировка обратной задачи и сведение ее к нелинейному интегральному уравнению
Изучено влияние величины коэффициента є на точность восстановления граничных полей. Проведенные численные эксперименты показали, что это влияние при малом затухании є Є [0,0001; 0,1] в низкочастотной области невелико. Зависимость точности восстановления граничных полей от меры области 1,2 оказалась такой же , как и в идеальной среде.
На рис. 3.11, 3.12, 3.13, слева, представлены графики функций щ(ф) и щ(ф), ф Є [0,-?/ ()] причем сплошные кривые соответствуют точному решению (3.6.4); кривые 1 и 2 - Re пі и Re щ; кривые 3 и 4 - Im щ и Im щ; звездочки и кружочки соответствуют восстановленным значениям. На рис. 3.11, 3.12, 3.13, справа, представлены аналогичные результаты для Нарис. 3.11 при к = 0,9, фо = 5п/8 представлены результаты восстановления полей в случае малого затухания (є = 0,01). Как видно из рисунка, результаты мало отличаются от случая идеальной среды [1]. На рис. 3.12 при к = 2,0 ,фо = 77г/16 представлены аналогичные результаты при учете внутреннего трения (є = 0,1) в измеренных величинах (3.6.4), но без учета его в математической модели (3.6.1), (3.6.2). Погрешность в восстановлении смещений составляет 30%, а напряжений - 60% внутри интервала. Расчет, проведенный с учетом диссипации в модели, приводит к погрешностям 8% и 14% соответственно. На рис.3.13 при тех же значениях к, фо и при большой интенсивности трения є = 1,0 изображены аналогичные графики, построенные с учетом затухания, как в данных измерений, так и в модели. Как видно из рисунка, точность восстановления компонент вектора напряжений ниже точности восстановления смещений, однако главный вектор и главный момент искомой нагрузки восстанавливаются достаточно точно (погрешность менее 3% и 4% соответственно).
Анализ представленных результатов показывает, что малое затухание є 0, Оінезначительно изменяет волновую картину в низкочастотной области. Однако для адекватного восстановления граничных полей необходим учет априорной информации о наличии трения в модели при є 0,1. Интегральные характеристики, такие как главный вектор и главный момент восстанавливаемой нагрузки, определяются гораздо точнее чем амплитудные значения силовых граничных полей и в более широком диапазоне изменения параметров к, фо, є. Этот факт может быть использован для построения алгоритмов, уточняющих восстанавливаемые граничные поля, в которых в качестве первого приближения выбрана некоторая нагрузка с найденными главным вектором и главным моментом.
Один из способов определения вибрационных потоков в конструкциях основан на измерении поверхностных значений векторов напряжений и смещений, которые могут быть произведены на какой-то части поверхности конструкции. При этом на другой части поверхности компоненты одного из указанных векторов или обоих являются неизвестными. Таким образом, задача интенсиметрии сводится к задаче восстановления поля в упругой среде, на части поверхности которой заданы избыточные граничные условия, в то время, как на другой ее части граничных условий недостаточно для формулировки корректной классической краевой задачи математической физики, в частности теории упругости. При исследовании таких неклассических краевых задач главными вопросами являются вопросы единственности, устойчивости решения по отношению к малым возмущениям, определения меры граничной области, на которой необходимо провести измерения, наилучшего положения этой области, и достаточного количества точек, в которых эти измерения проводятся. Отметим, что постановка и решение некоторых задач восстановления волнового поля для односвяз-ных однородных анизотропных упругих тел даны в предыдущих параграфах.
В настоящем параграфе обсуждаются аналогичные задачи для неоднородных анизотропных упругих тел, возможно с полостями и жесткими включениями, предлагаются алгоритмы восстановления волнового поля, основанные на решении некоторых вспомогательных задач, в которых на недоступной для измерения поверхности предполагаются условия силового нагружения. Решение этих задач, а также задачи восстановления поля проводятся с помощью идей метода граничных элементов и конечно-элементном анализе при блочном представлении результирующей системы линейных алгебраических уравнений, что позволяет сохранить свойства симметричности и положительной определенности матрицы системы. Предложенные алгоритмы проиллюстрированы на задаче восстановления кусочно-линейной нагрузки для составного упругого тела.
Рассмотрим равновесие или установившиеся колебания анизотропного упругого тела V (рис.3.14, слева), ограниченного поверхностью S = S\ U 2 U 5з (причем части Sk к = 1,2,3 не пересекаются). Пусть поверхность Si доступна для измерения смещений, и на ней известен вектор напряжений. Поверхность 5г состоит из нескольких частей, на которых заданы возможные для классической теории упругости типы граничных условий (кинематические, силовые, смешанные); для определенности будем рассматривать условия, при которых известен вектор напряжений. На поверхности з ни тип граничных условий, ни значения граничных полей неизвестны. Тогда задача восстановления поля для тела V может быть сформулирована следующим образом: найти компоненты вектора смещения и = (щ,и2,щ), удовлетворяющие системе уравнений [151]
