Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Разработка метода определения двоякопериодических решений уравнений Лапласа, бигармонического, Ляме и Гельмгольца . 19
1.1. Двоякопериодические решения уравнения Лапласа.. 19
1.2. Двоякопериодические решения бигармонического уравнения . 28
1.3. Двоякопериодические решения уравнений Ляме 36
1.4. Двоякопериодические решения уравнения Гельмгольца 40
ГЛАВА 2. Напряженное состояние и физико-механические характеристики волокнистых композитных материалов 48
2.1. Продольный сдвиг и теплопроводность волокнистой композитной среды 49
2.2. Обобщенная плоская деформация волокнистой среды 63
2.3. Зависимость анизотропии упругих свойств волокнистого композита от его структуры 72
2.4. Температурные напряжения в волокнистом композите 83
2.5. Зависимость анизотропии теплового расширения волокнистого материала от его структуры 92
ГЛАВА 3. Напряженное состояние перфорированной пластины, сквозь отверстия которой пропускается газ с периодически изменяющейся во времени температурой 98
3.1. Постановка задачи термоупругости
3.2. Приведение пространственной задачи теплопроводности к двумерной 107
3.3. Решение задачи теплопроводности... 118
3.4. Напряженное состояние перфорированной пластины, сквозь отверстия которой пропускается газ с периодически изменяющейся во времени температурой 129
3.5. Эффективные упругие характеристики перфорированных пластин 144
Заключение 160
Литература 163
- Двоякопериодические решения бигармонического уравнения
- Зависимость анизотропии упругих свойств волокнистого композита от его структуры
- Зависимость анизотропии теплового расширения волокнистого материала от его структуры
- Напряженное состояние перфорированной пластины, сквозь отверстия которой пропускается газ с периодически изменяющейся во времени температурой
Введение к работе
Создание новых пористых и волокнистых композитных материалов с наперед заданными физико-механическими свойствами является актуальной проблемой материаловедения.
Волокнистые композиты, обладающие более высокой, чем у металлов, удельной жесткостью и прочностью, химической стойкостью и антикоррозионновтью, повышенной демпфирующей способностью, жаропрочностью и другими полезными свойствами находят широкое применение в авиационной, космической и судостроительной отраслях техники, в машиностроении, энергетике, химической и газовой промышленности, транспорте^ [29,35,40,41].
Однородные материалы с цилиндрическими пустотами можно рассматривать как частный случай волокнистых, когда роль включений выполняет воздух, газ или вакуум [ 39] . Среди них -перфорированные пластины произвольной толщины, а также предельные варианты таких пластин - тонкие перфорированные пластины и сплошная среда, содержащая однонаправленную систему цилиндрических каналов.
Перфорированные пластины применяются во многих инженерных конструкциях: в теплообменных аппаратах, ядерных реакторах, в прессах и давильных аппаратах, в качестве элементов многих рамных конструкций и т. д. [47,58]. в частности, одна из широко распространенных конструкций теплообменника регенеративного типа имеет форму пластины с регулярно раположенными цилиндрическими каналами [50].
Во время работы такого теплообменника через одну и ту же матрицу поочередно пропускаются два потока газа. При этом
горячий газ отдает тепло стенкам матрицы, а холодный газ, проходя через то же пространство в последующий интервал времени, забирает отданное тепло. Тепловая энергия аккумулируется в твердом теле, проникая в него до глубины, которая автоматически достигается тепловым потоком в зависимости от эксплуатационных условий.
Существующие в настоящее время описания работы регенератора базируются на ряде упрощающих предположений.
Так, в зависимости от конструкции теплообменника для него принимают некоторое идеализированное допущение относительно его теплопроводности в продольном Ji% и поперечном А%, направлении[9 : Л# =А# =^ j Л^ =<^, Лх=/7; ^ = ^^ = ^
^=0,^=/71 (т = СРПЗІ).
Пористая матрица теплообменника моделируется сплошным телом
(прямоугольная плита [94| , набор кольцевых сегментов [59] и т. д.), которое поочередно омывается двумя газами. Далее выделяется малый элемент матрицы и для него с учетом упрощающих предположений о теплопроводности составляется баланс энергии, приводящий к дифференциальным уравнениям относительно неизвестных температур матрицы и газа в функции времени и координат (одной или двух). Полученные дифференциальные уравнения решаются аналитически или приближенно.
Большинство численных результатов^, 59,73,1получено в предположении о бесконечно большой теплопроводности матрицы в поперечном к потокам теплоносителя направлении. В работах 150,5 показано влияние осевой теплопроводности матрицы, а в [ЮО] - поперечной теплопроводности. Б статье [112] сообщается о развитии теории расчета регенераторов с появлением ЭВМ.
Поскольку выбор упрощающих предположений о продольной и поперечной теплопроводности матрицы для той или иной конструкции теплообменника является весьма субъективным, а моделирование матрицы сплошным телом не отражает реальной структуры, представляется целесообразной разработка более точной модели. Эта задача особенно важна при разработке и исследовании керамических теплообменников[34,36, имеющих относительно невысокий коэффициент теплопроводности и довольно толстые стенки матрицы.
Создание новых пористых и волокнистых композитных материалов и их рациональное использование требует развития моделей и методов для описания их физико-механических свойств и законов деформирования.
Определению напряженного состояния и физико-механических характеристик таких материалов посвящены многие специальные исследования и ряд книг. Среди них - монографии [14,25,28,30, 39,48,54,90] , содержащие обширную библиографию.
В [54] отмечается необходимость разработки методов инженерных расчетов разной точности: прикидочные расчеты (с точностью ± 20%), приближенные (±10%) и точные (±5%). Прикидочные расчеты используются для подбора подходящего материала и способа изготовления, приближенные - для сравнения возможных вариантов конструкций из подобранного материала, точные - для установления оптимальной формы изделия и определения гарантийного срока службы.
Важным достоинством точных методов является возможность использования их для выяснения погрешности и пределов приемлемости различных приближенных методов.
_ 7 -
В последние два десятилетия строгие подходы к решению задач механики структурно-неоднородных материалов получили интенсивное развитие. Из них наиболее широко распространены статистические методы и моделирование реальных неоднородных структур регулярными.
Статистическими методами исследования структурно-неоднородных материалов занимается большая группа как советских, так и зарубежных исследователей. Обзоры этих методов можно найти в [6,28,39,51,87,91] . Основным преимуществом статистических методов является возможность "охватить более широкий класс композитных материалов, причем они более соответствуют реальным структурам, имеющим хаотический характер" [28] .
Второй метод - регуляризации - исходит из того факта, что нередко в пространственном расположении неоднородностей имеется определенный порядок: волокна или пустоты в матрице имеют одинаковое направление, а их расположение в поперечном сечении носит характер, близкий к двоякопериодическому; перфорированные пластины имеют, как правило, правильную регулярную решетку перфорации.
Проблема исследования задач теории упругости для регулярных структур к настоящему времени продвинута достаточно далеко.
* Заметим, что такая модель композитного материала нередко хорошо отражает реальную структуру, так как одним из основных требований при "конструировании" волокнистого материала является строго параллельная ориентация и равномерное распределение волокон [4] .
В многотомных изданиях под редакцией Л. Браутмана, Р. Крока, А.Н. Гузя, а также в работах А.Л. Бердичевского, Г.А. Ванина, Э.И. Григолюка и Л.А. Филыптинского, В.Т. Голов-чана, А.С. Космодамианского, Г.Н. Савина и других обсуждается состояние проблемы, систематизируется накопленный материал.
Выделяются два основных подхода к решению двоякопериоди-ческих задач: использование симметрии для сведения задачи к краевой задаче в конечной области и применение дваякопериоди-ческих функций.
При первом подходе, принимая во внимание, что геометрические и физические свойства упорядоченной структуры периодически повторяются в пространстве, выделяют элементарную ячейку - элемент объема, повторяя который можно получить весь материал. Далее при помощи соображений симметрии задача сводится к задаче о четырехгранной или шестигранной призме, содержащей одно отверстие или волокно. Затем задача о призме решается каким-либо численным или аналитическим методом.
Так, например, в монографиях!^, 79] при исследовании де-формативных и прочностных свойств армированных пластиков решения плоских задач теории упругости ищутся в пределах элементарной ячейки для прямоугольной и гексагональной укладки волокон. Бигармоническая функция напряжений или перемещения запи-
и гиперболические сываются в виде рядов, содержащих тригонометрическиеУфункции.
Неопределенные постоянные в рядах ищутся методом точечного удовлетворения граничным условиям, который состоит из выбора конечного числа членов в разложениях соответствующих функций и последующего вычисления коэффициентов ряда исходя из удовлетворения граничным условиям задачи в конечном числе точек
границы.
В статье [89] рассматриваемся волокнистый композитный материал с прямоугольной укладкой волокон под действием продольного сдвига. Решение двумерного уравнения Лапласа в пределах элементарной ячейки, которому удовлетворяет продольное перемещение, записывается при помощи тригонометрических рядов, содержащих произвольные постоянные. Эти постоянные определяются при выполнении граничных условий с использованием метода Фурье. Получены численные значения коэффициентов концентрации напряжений и эффективные модули продольного сдвига для прямоугольной решетки при различных значениях относительного объема волокон.
В [96] рассматривается плоская двоякопериодическая задача для перфорированных пластин с квадратной решеткой перфорации. Бигармоническая функция напряжений записывается в полярной системе координат в виде ряда; коэффициенты ряда определяются выполнением граничных условий и условий двоякой периодичности напряжений в решетке.
Гексагональные укладки волокон исследовались в работах [97], LI06J 9 гексагональные решетки перфорации пластин - в [99,ПО],
[ш]
В статье [82] для неограниченного упругого массива с дво-якопериодической системой одинаковых цилиндрических каналов функция напряжений аппроксимируется тригонометрическими полиномами таким образом, чтобы для случаев гексагонального и тетрагонального расположения каналов в поперечном сечении выполнялись условия геометрической и силовой симметрии.
Метод конечных элементов в пределах элементарной ячейки V в &7J при решении двоякопериодических задач для перфорирован-
ных пластин произвольной толщины с правильной треугольной решеткой перфорации, в [15,72] - при интегрировании уравнений теории упругости для однонаправленных волокнистых композитных материалов.
Использование двоякопериодических функций наиболее распространено в отечественных публикациях. Рассматриваются однонаправленные волокнистые композиты, перфорированные пластины. Решаются плоские задачи теории упругости с применением методов теории функций комплексного переменного. Двоякопериодические решения выражаются при помощи эллиптических функций Вейерштрасса, специальных мероморфных функций, двойных рядов.
Эллиптические функции Вейерштрасса и специальные мероморф-ные функции были впервые применены В.Я. Натанзоном[бі] для решения первой основной двоякопериодической задачи плоской теории упругости для внешности конгруэнтной системы одинаковых кругов, расположенных в шахматном порядке. На бесконечности рассматриваемая пластина равномерно растягивалась вдоль оси
X , совпадающей с линией центров отверстий; края отверстий предполагались свободными от внешних сил. Комплексные потенциалы, определяющие двоякопериодическое распределение напряжений в решетке, представлялись рядами по эллиптическим функциям Вейерштрасса и специальным мероморфных функциям, коэффициенты разложения определяются решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, которая получается при выполнении граничных условий. Бесконечная система является квазирегулярной при любом относительном размере области.
Эллиптические функции Вейерштрасса и специальные меро-морфные функции нашли последовательное применение в работах
- II -
многих авторов и позволили решить широкий класс двоякоперио-дических задач теплопроводности, упругости и термоупругости.
Так в статье Л.М. Куршина и Л.А. Филыптинского [4-9] эллиптические функции Вейерштрасса используются при решении задачи о растяжении изотропной плоскости с гексагональным расположением одинаковых круглых отверстий. Решена задача приведения двоякопериодической решетки к эквивалентной сплошной плоскости. В последующих работах Э.И. Григолюка, Л.А. Филыптинского, обобщенных в [25] , приводится обоснование и дальнейшее развитие подхода. Исследуется растяжение и изгиб тонких пластинок со свободными отверстиями и отверстиями с включениями из инородного материала. Расположение отверстий - гексагональное или тетрагональное. Приводятся результаты вычисления распределения напряжений вблизи отверстий и значения жесткости решетки в зависимости от параметров решетки. В дальнейшем результаты были распространены на волокнистые композитные материалы. В частности, в статье [26] дается теория плоской задачи и задачи о продольном сдвиге упругого композитного материала, армированного конгруэнтными группами волокон произвольного поперечного сечения на базе функций Вейерштрасса и интегральных уравнений. В качестве примера рассматриваются эффективные модули сдвига боралюминия со сплошными волокнами эллиптического сечения, расположенными в вершинах прямоугольной решетки.
В [74] помещен обзор работ по концентрации напряжений около двоякопериодической системы отверстий; отмечается, что комплексные потенциалы могут быть построены или на основе представления Аппеля, или с помощью эллиптических фукций,
причем в последнем случае возможны различные представления решений, но наиболее просто, по-видимому, воспользоваться функциями Вейерштрасса и теоремой о представлении любой дво-якопериодической функции через известные эллиптические функции и их производные.
В работах Г.А. Ванина [9 - 12, 38] двоякопериоди-ческие функции систематически применяются при исследовании волокнистых композитных материалов. Задача об общем напряженном состоянии композитов регулярной структуры сводится к системе двумерных задач при различных видах напряженного состояния. Решаются плоские задачи теории упругости с применением методов теории функций комплексного переменного. Решения представляются в виде рядов по функциям Вейерштрасса и специальным мероморфным функциям с последующим определением коэффициентов разложения из граничных условий. Исследуется распределение напряжений в композите,получены точные и приближенные формулы для эффективных физико-механических характеристик композитов со сплошными и полыми волокнами. Для композитных материалов, имеющих гексагональную и тетрагональную структуры, получен большой объем численных результатов. В итоговой работе [28] проведено выборочное исследование влияния геометрии и состава композита на его интегральные параметры и континуальные микронапряжения для случая простых решеток общего вида.
В работах А.С. Космодамианского и его учеников [4.3 - i&\ при решении многочисленного класса двумерных и трехмерных задач теории упругости для многосвязных пластин комплексные потенциалы, удовлетворяющие условиям периодичности
- ІЗ -
по двум периодам ( » ^ » представляются рядами:
где %-X+LU'y P-/7lct)jt/l(i> (ГП9П=0,±{у.у, штрих означает отсутствие членов, соответствующих fU~JZ=0» Коэффициенты Д%- » b^k-і определяются из бесконечной системы, которая получается при выполнении граничных условий на контуре основного отверстия.
В работах Н.А.Шульги [28, 92, 93] изложено строгое решение динамических задач теории упругости для волокнистых композитных материалов регулярной структуры. Используются двойные ряды, содержащие цилиндрические функции. Неопределенные постоянные являются решениями бесконечных систем алгебраических уравнений.
В.Т.Гринченко [27 J систематически использует и детально исследует свойства бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при строгом подходе к решению задач теории упругости для тел сложной формы.
Представление комплексных потенциалов в виде рядов, содержащих двоякопериодические функции, используется при решении:.: задач плоской теории упругости в работах [103, 104-, 108] . При этом в [I08J комплексные потенциалы задаются своими лоранов-скими разложениями, а в JI03, 104] представляются интегралами типа Коши с ядром вида дзета-функции Вейерштрасса и задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Характерно, что применение двоякопериодических функций не . накладывает ограничений на характер симметрии структуры. Однако их использование связано с трудностями вычислительного характера, поскольку приводит к необходимости суммирования двойных
-За-
рядов, В итоге - опубликованные в литературе численные результаты до последнего времени относились лишь к симметричным структурам.
Проведенный анализ состояния рассматриваемых вопросов позволяет сформулировать цель настоящего исследования:
- разработка эффективного в вычислительном отношении метода решения двоякопериодических задач теории упругости и термоупругости, ориентированного на решение следующих практических проблем: а) определение теплоаккумулирующих свойств и напряженно-деформированного состояния теплообменника регенеративного типа; б) исследование зависимости напряженного состояния и физико-механических характеристик пористых и волокнистых композитных материалов от параметров их структуры.
Для достижения указанной цели была поставлена задача создания соответствующих алгоритмов и программ для ЭВМ, позволяющих определение следующих параметров: распределение температуры в теплообменнике регенеративного типа; эффективные теплопроводность и упругие характеристики матрицы теплообменника; распределение термоупругих напряжений в регенераторе; распределение напряжений в волокнистом композитном материале в условиях продольного сдвига и обобщенной плоской деформации; распределение температуры при поперечном потоке тепла и термоупругих напряжений при равномерном нагревании волокнистого композита; определение эффективных коэффициентов теплопроводности, температурного расширения и тензора упругих модулей для композитного волокнистого материала.
Наиболее важные требования, предъявляемые к программам -эффективность численной реализации задач, применимость программ для любых значений исходных физико-механических характеристик материалов, а также отсутствие ограничений на характер симметрии структуры.
В основу развиваемого в работе метода положена идея, предложенная В.Т. Головчаном в работе [is] при исследовании свободных волн сдвига в композитной волокнистой среде.
Сущность метода состоит в том, что решения, удовлетворяющие необходимым условиям периодичности, записываются для слоя, содержащего один ряд каналов или волокон и представляются рядами, содержащими достаточно произвола для выполнения граничных условий. При этом используются лишь одинарные, хорошо сходящиеся ряды.
Таким образом, научная новизна и значимость работы заключается в следующих основных положениях:
развит строгий аналитический метод решения двоякоперио-дических задач теплопроводности, упругости и термоупругости;
новым методом решены два класса задач: задачи, связанные с исследованием теплообменников регенеративного типа и задачи для волокнистых композитных материалов;
соответствующие алгоритмы реализованы в виде комплекса- программ для исследования напряженного состояния и физико-механических характеристик пористых и волокнистых композитных материалов регулярной структуры;
разработанный метод является эффективным в плане численной реализации: проведен большой объем расчетов для широкого диапазона изменения параметров структуры и физико-механических характеристик материалов. При этом найараметры структуры не накладывались никакие ограничения5
для конкретных задач получены численные результаты, описывающие механические эффекты, характерные для данного класса задач.
Практическая ценность работы заключается в следующем:
- разработанный комплекс программ для ЭВМ может быть эффективно использован при создании оптимальных конструкций теплообменников регенеративного типа и в процессе "конструирования" новых композитных материалов волокнистого строения с требуемыми свойствами. Это обеспечивается положенным в их основу развитым в работе строгим эффективным методом решения соответствующих двоякопериодических задач для структур общего типа. Данный метод может быть использован для выяснения погрешности различных приближенных подходов решения задач рассматриваемого класса,
В диссертации изложены результаты исследований, выполненных автором в процессе работы в Институте сверхтвердых материалов АН УССР,
Работа состоит из введения, трех глав и заключения.
В первой главе для однородной многосвязной среды, представляющей собой неограниченную матрицу, содержащую однонаправленные цилиндрические каналы круглого сечения, расположение которых в поперечном сечении двоякопериодическое, строятся решения уравнений Лапласа, бигармонического уравнения, уравнений Ляме и Гельмгольца. Для записи искомых решений вводятся две системы периодических по Z частных решений соответствующих уравнений. Первая система затухающих при jijl-^oo внутренних решений получается методом разделения переменных. Вторая система внешних решений строится так, чтобы она в верхней и нижней полуплоскости выражалась через частные решения первого типа. При этом используются интегральные экспоненциальные преобразования Фурье и бесконечные
последовательности соответствующих дифференциальных операторов. Решения определяются для регулярных структур общего вида; единственное ограничение на параметры структуры -естественное требование некасания пор.
Во второй главе построенные двоякопериодические решения применяются в ряде задач для волокнистых композитных материалов регулярной структуры общего вида. Решаются задачи о продольном сдвиге и теплопроводности, об обобщенной плоской деформации и температурных напряжениях волокнистого материала. Исследуется зависимость эффективных коэффициентов теплопроводности, упругости и термического расширения волокнистых композитов от параметров их структуры. Решение этих задач позволило апробировать метод, сравнить его для частных типов структур с опубликованными результатами, а в силу отсутствия ограничений на параметры структуры получить ряд новых результатов для структур, которые ранее не исследовались.
В третьей главе решаются задачи, связанные с описанием работы теплообменников регенеративного типа. Теплообменник моделируется перфорированной пластиной конечной толщины. Сквозь каналы пластины пропускается газ, температура которого на входе периодически изменяется. На поверхности каналов и на плоских поверхностях пластины происходит конвективный теплообмен.
Ставится несвязная квазистатическая задача термоупругости, которая сводится к последовательному решению задачи теплопроводности и задачи теории упругости. Задача теплопроводности представляет самостоятельный интерес, поскольку позволяет описывать теплоаккумулиругощие свойства матрицы.
Эта задача состоит в совместном интегрировании трехмерного уравнения теплопроводности для матрицы и одномерного - для газа. Применением символического метода [52] в комплексе с методом усреднения температуры по толщине пластины &6,68] трехмерная задача теплопроводности сводится к двумерной. Предполагается кубическое рапределение температуры матрицы по толщине.
Анализ результатов вычисления распределения температуры в матрице позволил для оценки температурных напряжений, возникающих при работе теплообменника, воспользоваться решениями плоской задачи термоупругости. Эффективные упругие постоянные для перфорированных пластин с регулярной решеткой общего типа определялись на основании строгого решения задачи об обобщенном плоском деформированном состоянии [81]
Решение всех задач в главе выполняется на базе единого, развиваемого в работе подхода. Для записи искомых решений используются двоякопериодические решения уравнений Ляме, Гельмгольца, бигармонического, построенные в первой главе.
Заключение содержит основные выводы по результатам исследования.
Основные положения диссертации докладывались на научно-технических конференциях [19,21,62] и отражены в публикациях [20,22,23,63] .
В заключение считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук В.Т. Головчану за помощь, оказанную при выполнении данной работы.
Двоякопериодические решения бигармонического уравнения
В основу развиваемого в работе метода положена идея, предложенная В.Т. Головчаном в работе [is] при исследовании свободных волн сдвига в композитной волокнистой среде.
Сущность метода состоит в том, что решения, удовлетворяющие необходимым условиям периодичности, записываются для слоя, содержащего один ряд каналов или волокон и представляются рядами, содержащими достаточно произвола для выполнения граничных условий. При этом используются лишь одинарные, хорошо сходящиеся ряды. Таким образом, научная новизна и значимость работы заключается в следующих основных положениях: - развит строгий аналитический метод решения двоякоперио-дических задач теплопроводности, упругости и термоупругости; - новым методом решены два класса задач: задачи, связанные с исследованием теплообменников регенеративного типа и задачи для волокнистых композитных материалов; - соответствующие алгоритмы реализованы в виде комплекса- программ для исследования напряженного состояния и физико-механических характеристик пористых и волокнистых композитных материалов регулярной структуры; - разработанный метод является эффективным в плане численной реализации: проведен большой объем расчетов для широкого диапазона изменения параметров структуры и физико-механических характеристик материалов. При этом найараметры структуры не накладывались никакие ограничения5 - для конкретных задач получены численные результаты, описывающие механические эффекты, характерные для данного класса задач. Практическая ценность работы заключается в следующем: - разработанный комплекс программ для ЭВМ может быть эффективно использован при создании оптимальных конструкций теплообменников регенеративного типа и в процессе "конструирования" новых композитных материалов волокнистого строения с требуемыми свойствами. Это обеспечивается положенным в их основу развитым в работе строгим эффективным методом решения соответствующих двоякопериодических задач для структур общего типа. Данный метод может быть использован для выяснения погрешности различных приближенных подходов решения задач рассматриваемого класса,
В диссертации изложены результаты исследований, выполненных автором в процессе работы в Институте сверхтвердых материалов АН УССР, Работа состоит из введения, трех глав и заключения.
В первой главе для однородной многосвязной среды, представляющей собой неограниченную матрицу, содержащую однонаправленные цилиндрические каналы круглого сечения, расположение которых в поперечном сечении двоякопериодическое, строятся решения уравнений Лапласа, бигармонического уравнения, уравнений Ляме и Гельмгольца. Для записи искомых решений вводятся две системы периодических по Z частных решений соответствующих уравнений. Первая система затухающих при jijl- oo внутренних решений получается методом разделения переменных. Вторая система внешних решений строится так, чтобы она в верхней и нижней полуплоскости выражалась через частные решения первого типа. При этом используются интегральные экспоненциальные преобразования Фурье и бесконечные последовательности соответствующих дифференциальных операторов. Решения определяются для регулярных структур общего вида; единственное ограничение на параметры структуры -естественное требование некасания пор.
Во второй главе построенные двоякопериодические решения применяются в ряде задач для волокнистых композитных материалов регулярной структуры общего вида. Решаются задачи о продольном сдвиге и теплопроводности, об обобщенной плоской деформации и температурных напряжениях волокнистого материала. Исследуется зависимость эффективных коэффициентов теплопроводности, упругости и термического расширения волокнистых композитов от параметров их структуры. Решение этих задач позволило апробировать метод, сравнить его для частных типов структур с опубликованными результатами, а в силу отсутствия ограничений на параметры структуры получить ряд новых результатов для структур, которые ранее не исследовались.
В третьей главе решаются задачи, связанные с описанием работы теплообменников регенеративного типа. Теплообменник моделируется перфорированной пластиной конечной толщины. Сквозь каналы пластины пропускается газ, температура которого на входе периодически изменяется. На поверхности каналов и на плоских поверхностях пластины происходит конвективный теплообмен.
Зависимость анизотропии упругих свойств волокнистого композита от его структуры
В данной главе рассматривается композитный волокнистый материал регулярной структуры. Принимаются следующие предположения: материалы матрицы и волокон изотропны и однородны; контакт между матрицей и волокнами идеален; волокна непрерывны и параллельны; внешние размеры композитного тела значительно превосходят периоды структуры.
Решаются краевые задачи теорий теплопроводности, упругости и термоупругости, В качестве решений для матрицы используются двоякопериодические решения соответствующих уравнений, построенные в предыдущей главе. Решения для волокна получены методом [SO] . Неопределенные постоянные определяются из бесконечных систем линейных алгебраических уравнений, редуцируемых соответствующими граничными условиями. Исследуется теплопроводность волокнистого материала при поперечном потоке тепла и его напряженное состояние при продольном сдвиге, обобщенной плоской деформации, при равномерном нагревании композита на некоторую величину Т-СО/75І»
На основе строгого решения соответствующих краевых задач получены формулы для определения эффективных коэффициентов теплопроводности, упругости и температурного расширения. Выражения для эффективных характеристик получаются после усреднения соответствующих параметров исследуемого физического поля в пределах элементарной ячейки.
Реализация разработанных алгоритмов на ЭВМ позволила исследовать композитные волокнистые материалы регулярной структуры наиболее общего вида, ранее в литературе не рассматривавшиеся.
Рассмотрим композитную волокнистую среду, состоящую из бесконечной матрицы и однонаправленных круглых волокон бесконечной длины и радиуса R Контакт волокон и матрицы идеален, а расположение волокон двоякопериодическое с периодами Сд±=(1 , & = » что соответствует рис.1.1 ( где поры заполнены материалом волокон). Предположим, что рассматриваемая среда находится в состоянии деформации продольного сдвига.
Задача определения напряженного состояния среды состоит в интегрировании уравнения Лапласа (I.I) в области, представ ленной на рис.1.1, при следующих условиях на поверхностях контакта матрицы и волокон: . где IV и щ У - продольные перемещения точек матрицы и волокон; (о» ,%)- локальная полярная система координат с началом в центре kxh -го волокна (кл-О, t { ± )t соответствующая декартовой системе координат XfL Z-kCL-CLbCOidi) Уба=у-ф&. Здесь и далее все линейные координаты безразмерны (расстояния измеряются в долях И ). Аналогичная задача возникает при исследовании распределе ния температуры в рассматриваемом волокнистом материале при наличии постоянного во времени поперечного потока тепла. Тог да значения температуры в точках матрицы и kfy -х волокон; /J$/JLL ( обычно обозначают J pj\ ) - отношение коэффициентов теплопроводности материалов волокон и матрицы. Решение уравнения Лапласа для матрицы, удовлетворяющее необходимым условиям периодичности, построено в п. I.I. Представим его в следующем виде: где wJZyljJ- функция (1.23), а о и и - постоянные, задающие возмущение. Структура рассматриваемой волокнистой среды получается путем двоякопериодического продолжения в плоскости, перпендикулярной ориентации волокон, элементарной ячейки, которая представляет собой призматическое тело, основание которого имеет форму параллелограмма со сторонами, равными периодам структуры (рис.2.1 - параллелограмм/?BD). В каждой ячейке содержится по одному волокну. Принимая во внимание периодичность задачи, в дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь элементарной ячейки, связанной с волокном к=0ч CL-0. Индексы Я , СЬ для этого волокна в дальнейшем опускаем. Решение уравнения Лапласа для нулевого волокна имеет вид где Lfi - неопределенные постоянные. Предполагается, что нулевое волокно не перемещается как твердое тело. Для выполнения условий сопряжения (2.1) воспользуемся представлением функции 1/\А в полярных координатах. Подставив выражения (1.27) и (2.3) в (2.1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях В , приходим к следующей бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно постоянных А
Зависимость анизотропии теплового расширения волокнистого материала от его структуры
Графики на рис. 2.7 »2.8 показывают зависимость соотносительного наполнения и структуры коэффициента Р/# для стеклопластика { -=ЩВ 7 ty = %2P) ) = 0;38 ) и модуля сдвига PlZ, для металлопластика.
Сравнение результатов с ранее опубликованными проведем на примере вычисления поперечного модуля Юнга Е± На рис.2.9 помещены взятые из [80] кривые изменения Еі в зависимости от, полученные методами работ [{} 5} Ч} 8у 40} В9У 80, 8В3 409]. Там же нанесены точки, рассчитанные нами для гексагональных структур. Рассматривался стеклопластик с параметрами.
Индексами 1-9 обозначены результаты работ [80,86.69 У 409 40 5" 4 8І соответственно. Как и следовало ожидать, наши результаты совпадают с данными работы [4о] , полученными на основании строгого решения краевой задачи с использованием двоякопериоди-ческих функций Вейерштрасса.
Сравнение расчетных значений с экспериментальными данными, взятыми из работы [40z] , представлено на рис. 2.10 . Рассматривался бороэпоксид с параметрами =44Я,$, =0}ZO } $=0,3 , , Принималось С/и -i . Как видно из рисунка, расчетные данные хорошо соответствуют эксперименту. Характерно, что с увеличением объемного содержания волокон экспериментальные данные ближе к расчетньм значениям, соответствующим гексагональной структуре ( плотная упаковка), что представляется вполне естественным. Сравнение всех упругих характеристик для частных значений параметров структуры ( гексагональное и тетрагональное расположение волокон ) с представленными в работах [38} 9У} /0/J также обнаружило хорошее совпадение. Эффективные упругие модули в предложенном подходе выражаются лишь через первые неизвестные бесконечных систем (2.19), (2.29). Как показали вычисления, для определения этих неизвестных оказалось достаточным удержание в бесконечных системах не более восьми уравнений. Ошибка выполнения граничных условий при этом не превышала 1%. Структура систем такова, что для уточнения результатов достаточно увеличить число уравнений. Элементы матриц бесконечных систем выражаются одинарными хорошо сходящимися рядами, в результате чего алгоритм задачи легко реализуется на ЭВМ. Б итоге предлагаемый подход позволяет определять эффективные модули упругости без каких-либо ограничений на характер периодичности структуры. Результаты вычислений показали, что влияние вида структуры на упругие характеристики композита оказывается весьма существенным, что, очевидно, следует иметь в виду при строгом подходе к рассматриваемой задаче. Рассмотрим упругую неоднородную среду, состоящую из бесконечной матрицы и однонаправленных круглых волокон бесконечной длины. Контакт волокон и матрицы идеален, расположение волокон двоякопериодическое (рис. I.I). Коэффициенты Пуассона, модули сдвига и коэффициенты теплового расширения материалов матрицы и волокон обозначим соответственно через р , и, , Р и , 11д , ве -, а объемную концентрацию волокон - через I . Пусть температура среды повышается ( понижается ) на некоторую величину 7= СОПбЬ Из-за разницы коэффициентов теплового расширения волокна и матрицы в композитном материале возникают температурные напряжения.
Считаем, что сечения волокнистого материала Z=CDiut остаются плоскими. Такое условие выполняется в композитах при достаточном удалении от границ и при медленном остывании ( нагревании) .
Задача состоит в интегрировании уравнений Ляме (1.54) при &= в области, представленной на рис.1.1. Граничные уело-вин, соответствующие идеальному контакту матрицы и волокон, записываются так же, как (2.22). Использование закона Дюгаме-ля-Неймана вместо закона Гука при выводе этих соотношений не изменяет конечного результата.
В связи с этим в качестве решения уравнений Ляме, удовлетворяющего необходимым условиям периодичности, можем использовать выражения (2.23), (2.25) для матрицы и выражение (2.26) для волокна.
Различие в математических постановках данной задачи и задачи об обобщенной плоской деформации появляется при выводе выражений для тензора напряжений:
Напряженное состояние перфорированной пластины, сквозь отверстия которой пропускается газ с периодически изменяющейся во времени температурой
Как показано во введении, до настоящего времени существуют лишь инженерные подходы для описания работы теплообменников регенеративного типа, в основе которых - упрощающие предположения относительно структуры и продольной и поперечной теплопроводности матрицы.
Представляется целесообразным более строгое исследование теплоаккумулирующих свойств и напряженно-деформированного состояния теплообменника, в том числе - определение влияния на указанные характеристики параметров структуры.
В настоящей главе регенеративный теплообменник моделируется пластиной конечной толщины с периодически расположенными цилиндрическими каналами. Сквозь каналы пропускается газ, температура которого на входе периодически изменяется (горячий-холодный). При этом на поверхности каналов, а также на плоских поверхностях пластины происходит конвективный теплообмен. Считается, что теплообменник работает в установившемся режиме.
Определяется температурное поле, возникающее в пластине и в газе, а также термоупругое напряженное состояние матрицы. Исследуется зависимость эффективных упругих характеристик перфорированных пластин от параметров структуры.
Решается несвязная квазистатическая задача линейной термоупругости, которая сводится к последовательному решению задачи теплопроводности и задачи теории упругости.
Пространственная задача теплопроводности сводится к двумерной применением символического метода [52] в комплексе с методом усреднения температуры по толщине пластины [46,68] . Дальнейшие исследования производятся в предположении кубического распределения температуры матрицы по толщине. При этом периодические во времени температуры матрицы и газа раскладываются в соответствующие ряды Фурье. Двумерные двоякопериоди-ческие коэффициенты рядов Фурье представляют собой решения уравнений Гельмгольца, которые построены в п. I.4-.
Термоупругие напряжения, возникающие в теплообменнике, обусловлены, в основном, двумя причинами: неравномерностью распределения температуры в матрице и наличием холодного обода, с помощью которого осуществляется обычно закрепление теплообменника и который препятствует свободному температурному расширению матрицы.
Анализ численных результатов задачи теплопроводности показал допустимость использования для оценки уровня возможных напряжений решений плоской задачи термоупругости. Время при этом рассматривается как параметр. Для оценки напряжений, связанных с действием обода, рассматривалась задача о всестороннем сжатии бесконечной перфорированной пластины. Решения задач записывались через решения бигармонического уравнения, уравнений Ляме и Гельигольца, построенные в п. 1.2 - I.4-.
Рассмотрим бесконечную пластину толщиной %d с цилиндрическими каналами радиуса R Расположение каналов двоякопе-риодическое (рис.3.1) с периодами &), = # , o)z = CtcC. Пластина не подвержена механическим воздействиям. Сквозь каналы пластины протекает газ со скоростью 1УЬ Температура газа на входе изменяется во времени периодически с периодом Р При этом на поверхностях каналов и на плоских поверхностях пластины происходит конвективный теплообмен. Определим нестационарное температурное поле, возникающее в пластине и в газе, а также термоупругое напряженное состояние пластины, являющееся следствием неравномерности распределения температуры. Будем решать краевую задачу термоупругости в области, представленной на рис.» 3.1. При этом предполагаем, что значения удельных теплоємкостей, упругих и термических коэффициентов постоянны, деформации малы, и что температуру можно определять без учета деформации пластины. Считаем также, что изменения температуры пластины во времени происходят без резких скачков и что можно пренебречь обусловленными этими изменениями силами инерции.
Таким образом, имеем несвязную квазистатическую задачу линейной термоупругости, которая сводится к последовательному решению задачи теплопроводности и задачи теории упругости. При этом время t в уравнениях теории упругости рассматривается как параметр.
