Содержание к диссертации
Введение
Глаиа 1. Некоторые аспекты оеесимметричного пластического деформирования изделий 11
1.1. Технология деформирования изделий в режиме гидродинамического трения 11
1.2. Модели упруго-пластического деформирования 1С
1.3. О методах решения уравнений Навье-Стокса 21
1.4. Обзор задач оеесимметричного упругопластического деформирования в режимах граничного и гидродинамического видов трения 22
1.5. Выводы по главе 30
Глава 2. Математическая постановка задачи деформирования из делия в режиме гидродинамического трения 32
2.1. Основные гипотезы и допущения 32
2.2. Система уравнений математической модели деформирования изделия в режиме гидродинамического трения 33
2.3. Определяющие соотношения для упругопластического материала 3G
2.4. Определяющие соотношения для вязкой несжимаемой жидкости 40
2.5. Выводы но главе 40
Глава 3. Разрешающие соотношения и алгоритм решения задачи 41
3.1. Уравнения движения 41
3.2. Уравнение теплопроводности 49
3.3. Уравнение неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости 50
3.4. Схема решения нестационарных уравнений 53
3.5. Вид базисных функций 54
З.С. Алгоритм решения совместной задачи процесса течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия 55
3.7. Анализ течения смазочного слоя и напряженно - деформированного состояния изделия при помощи пакета прикладных программ 57
3.8. Выводы но главе 59
Глава 4. Решение тестовых задач G1
4.1. Напряженно - деформированное состояние длинного цилиндра при термоуиругом деформировании 61
4.2. Напряженно - деформированное состояние длинного цилиндра при упругопластическом деформировании
4.3. Упругоплаетическое деформирование прутка в режиме граничного трения G9
4.4. Течение вязкой жидкости в цилиндрическом канале 77
4.5. Течение вязкой жидкости в цилиндрической каверне 78
4.G. Выводы но главе 82
Глава 5. Прикладные задачи пластического деформирования ме таллов 84
5.1. Влияние вида трения на напряженно - деформированное состояние медного прутка 84
5.2. Деформирование биметаллической заготовки с сердечником из дисперсноуирочнеиного композиционного материала 91
5.3. Деформирование биметаллических сверхпроводящих заготовок 98
5.4. Деформирование изделия в режиме гидродинамического трения 107
5.5. Выводы но главе 116
Выводы 118
Литература
- Модели упруго-пластического деформирования
- Система уравнений математической модели деформирования изделия в режиме гидродинамического трения
- Схема решения нестационарных уравнений
- Напряженно - деформированное состояние длинного цилиндра при упругопластическом деформировании
Введение к работе
В промышленности широко применяется технология деформирования изделий в режиме гидродинамического трения, которая заключается в разделении инструмента и деформируемого изделия тонким смазочным слоем. В частности, но такой технологии производятся биметаллические изделия из дисперсноупрочненных композиционных материалов на основе порошковой меди. Указанную технологию предполагается использовать при производстве сверхпроводящих кабелей.
Исследование характеристик состояния изделии при деформировании в режиме гидродинамического трения выполняется на основе методов механики твердого деформируемого тела, жидкости и газа. Проблемами анализа упругопластического деформирования металлов занимались А. А. Ильюшин, А. А. Поздеев, Г. Я. Гун, В. Л. Колмогоров, Ю. И. Няшин, П. В. Трусов, Р. Хилл и др. Методам решения уравнений Навьс-Стокса посвящены работы О. М. Белоцерковского, О. А. Ладыженской, Л. Д. Ландау, Ф. Харлоу, Н. Н. Яненко и др. Над решением задач устойчивости течения тонкого смазочного слоя работали Г. Л. Колмогоров, Е. В. Славнов.
Для корректного описания процесса деформирования в режиме гидродинамического трения разработаны различные модели. Однако, их общим недостатком является разделение проблемы на две независимые задачи: деформирования изделия и течения смазочного слоя. Поэтому проблема построения математической модели совместной задачи является актуальной.
Цель работы заключается в создании математической модели совместного течения смазочного слоя и деформирования многослой-
ного изделия для изучения процессов, происходящих в смазке и деформируемом изделии. Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи:
Разработать математическую постановку совместной нестационарной неизотермической осесимметричной краевой задачи течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия;
Построить разрешающие соотношения для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих деформирование многослойного изделия;
Построит!) разрешающие соотношения для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих течение смазочного слоя;
Разработать методику совместного решения задачи деформирования многослойного изделия и течения смазочного слоя;
Реализовать методику решения в виде пакета прикладных программ;
G. Выполнить верификацию математической модели на задачах механики деформируемого твердого тела;
Выполнить верификацию математической модели на задачах механики жидкости;
С использованием разработанной математической модели получить решения прикладных задач деформирования многослойных изделий в режимах граничного и гидродинамического видов трения.
Научная новизна работы:
предложена оригинальная математическая постановка динамической совместной краевой задачи течения смазочного слоя и деформирования изделия;
разработана методика решения динамической краевой задачи упругопластического деформирования многослойного изделия;
разработана методика решения динамической краевой задачи течения тонкого вязкого несжимаемого жидкого слоя;
построена математическая модель совместного течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия;
показана возможность применения разработанной математической модели к исследованию эволюции состояния деформируемого изделия и смазочного слоя для некоторых процессов осе-еимметричного формоизменения.
Практическая значимость работы заключается в создании па основе разработанной методики алгоритмов и пакета программ, которые использованы при исследовании процессов нестационарного осесимметричного упругопластического деформирования многослойных изделий в режимах граничного и гидродинамического видов трения.
Методики, алгоритмы и пакет программ используются в учебном процессе Пермского государственного технического университета при выполнении курсовых и дипломных работ.
Достоверность результатов. Справедливость применяемых гипотез, допущений и результатов, полученных с использованием разработанной методики и пакета программ, подтверждается удовлетворительным соответствием получаемых решений точным решениям известных задач и экспериментальным данным.
Общий объем работы - 136 страниц, включая 80 рисунков, 10 таблиц и библиографический список в количестве 144 наименований.
Do введении обосновывается актуальность проблемы моделирования процесса унругопластического деформирования многослойных изделий в режимах граничного и гидродинамического видов трения, формулируются цель и задачи работы, излагается краткое содержание глав диссертации.
Первая глава содержит обзор литературных источников, посвященных анализу пластического деформирования металлов, методам решения уравнений Навье-Стокса и исследованиям эффекта гидродинамического трепня.
Во второй главе строится математическая модель нестационарного унругопластического деформирования многослойных изделий в режимах граничного и гидродинамического видов трения.
Третья глава посвящается построению разрешающих соотношений и описанию алгоритма решения задачи. При построении соотношений используется метод Галерки на с конечно - элементной аппроксимацией решения.
В четвертої"! главе выполняется верификация математической модели на задачах: определение напряженно - деформированного состояния длинного цилиндра при термоупругом и пластическом деформировании (погрешность при упругом деформировании составила 1,88%; при термоупругом — 0,21%; при пластическом — 6,28%); определение напряженно - деформированного состояния прутка при деформировании в коническом инструменте (показано, что траектории деформирования удовлетворяют соотношениям малой кривизны); определение поля вектора скорости и давления при течении жидкости в цилиндрическом канале (погрешность составила 1,84%)
и цилиндрической каверне (выполнена оценка сходимости при вычислении давления с использованием базисных функций первого и второго порядка аппроксимации). Результаты удовлетворительно согласуются с теоретическими и экспериментальными данными.
D пятой главе рассматриваются прикладные задачи пластического деформирования металлов. В первой части главы выполняется сравнение полей температуры, скорости и напряжений при деформировании изделия в режимах граничного, смешанного и гидродинамического видов трения. Для моделирования режима трения используются различные значения коэффициента трения. Во второй и третьей части главы исследуются процессы унругопластического деформировании биметаллической заготовки электрода для контактной технической сварки (медная оболочка и сердечник из ДУКМ) и биметаллических сверхпроводящих заготовок (медная оболочка и ниобиевый или титановый сердечник). В четвертой части главы решается совместная задача течения смазочного слоя и деформирования изделия в режиме гидродинамического трения.
Приведенные в диссертации материалы являются результатами исследований, выполненных автором в Пермском государственном техническом университете.
Аннробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались па 10-й, 11-й, 12-й и 13-й Всероссийских конференциях молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (г. Пермь, 2001 - 2004 гг.); Всероссийских научно-технических конференциях «Аэрокосмическая техника и высокие технологии» (г. Пермь, 2002, 2004 гг.); Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (г. Москва, 2002 г.); международной
научно-технической конференции «Моделирование и развитие процессов обработки металлов давлением» (г. Магнитогорск, 2002 г.); областной научной конференции молодых ученых, студентов и аспирантов «Молодежная наука Прикамья» (г. Пермь, 2002 г.); 13-ой и 14-й международных зимних школах по механике сплошных сред (г. Пермі), 2003, 2005 гг.); первой российской научно-технической конференции по трубному производству «Трубы России» (г. Екатеринбург, 2004 г.); пятом Всероссийском симпозиуме но прикладной и промышленной математике, весенняя сессия (г. Кисловодск, 2004 г.); пятом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, осенняя сессия (г. Сочи, 2004 г.), научной конференции молодых ученых по механике сплошных сред «Поздеевские чтения» (г. Пермь, 200G г.) и отражены в публикациях статей и тезисов конференций, [1 - 21].
Модели упруго-пластического деформирования
Научную базу расчетов деформационных процессов составляют теория пластичности и ее приложения. Теоретический расчет конкретного процесса сводится к составлению системы уравнений, описывающих процесс, и ее решению. Возможность получения аналитического решения распространяется лишь на простые описания идеализированных процессов.
В последние годы в работах по теории пластичности широко используется предложенное А. А. Ильюшиным векторное представление процесса деформирования и нагружения [52, 53. Согласно этому представлению, пяти независимым компонентам девиатора деформаций Cjj и напряжений sij во взаимнооднозначное линейное соответствие ставятся пять компонент вектора деформаций єг- и напряжений Е/, которые относят к векторам ортонормированного базиса, фиксированного в соответствующем пространстве деформаций или напряжений аг (і = 1,5). Векторы деформаций ё и напряжений Е определяются как пятимерные некторные пространства деформаций и напряжений. Линейное соответствие є ь- ё, SH Е выбирается обычно таким образом, что модули є и Ё векторов деформации и напряжений равны соответственно интенсивно-стям тензоров деформаций є и напряжений а.
Наиболее простой является теория малых упругопластических деформаций (А. А. Ильюшин), справедливая для случая простого нагружеиия [53]. Векторы напряжений и деформаций в этом случае направлены вдоль одного луча в совмещенных пространствах е и (5\ так что при активной деформации Е - - е, (1.6) где Ф(б ) определяется в экспериментах на простое (одноосное) на-гружеиие, при разгрузке используется закон Гука в приращениях, с учетом возможной анизотропии.
Предложенная А. А. Ильюшиным теория пластичности для траекторий малой кривизны основана на экспериментальных данных, і s согласно которым р = т=у, откуда 2-J rff = Lfc = iLiLs. (1.7) В. И. Малым в GO-70-x годах были получены соотношения теории ср(щней кривизны, стандартная форма которых имеет вид [53]: ядро, определяемое экспериментально.
Классическая теория пластического течения (ТПТ), базируется па понятии поверхности текучести и трех основных законах упрочнения (изотропного, кинематического и комбинированного типов). Она позволяет описілвать процессы деформирования с достаточной для прикладных задач точностью лишь при нагружениях, близких к простым (деформирование по траекториям малой кривизны). Данное обстоятельство, имеющее широкое экспериментальное подтверждение, стимулировало исследования в теории пластического течения, имеющие целью создание теории, позволяющей описывать процессы сложного нагружения без отказа от основных положений теории течения.
Созданные теории в рамках ТПТ сконцентрированы на построении различных законов упрочнения. При построении законов упрочнения разделяют одно-поверхностные и много-поверхностные теории, в рамках каждой из них формулируются законы трансляции и эволюции формы поверхности или поверхностей течения. Определяющие соотношения ТПТ в дальнейшем получают, как правило, с использованием принципа градиентальности, согласно которому бесконечно малое приращение тензора (девиатора) пластических деформации пропорционально градиенту функции, описывающей поверхность текучести, в пространстве девиаторов напряжений. Иными словами, вектор бесконечно малых приращений пластической деформации направлен по нормали к соответствующей поверхности текучести в текущей точке процесса нагружения.
Система уравнений математической модели деформирования изделия в режиме гидродинамического трения
Метод гидродинамического ввода смазки [24, 25] заключается в создании в ней повышенного давления за счет возникновения гидродинамического эффекта при трении смазки о движущийся пруток (рис. 2.1). Свободно находящаяся в резервуаре 5 смазка 6 захватывается движущимся прутком 1 и вовлекается в микрозазор 4 между трубкой-насадкой 3 и прутком 1. В результате давление смазки вблизи зоны деформации повышается до величины, обеспечивающей ее ввод в контактную область.
В работе принимаются следующие допущения: рассматриваемый процесс является нестационарным, осесимметричпым, неизотермическим; энергия пластического деформирования полностью дисси-пирует в тепло; смазка считается вязкой и песжимаемаемои; пруток состоит из отличающихся по своим свойствам изотропных материалов с первоначально известной границей раздела; предполагается что физико - механические свойства материалов в начальный момент времени известны. При исследовании процесса деформирования принимается теория пластического течения с линейным анизотропным упрочнением.
В настоящее время различают три основных формулировки задач механики сплошных сред: лагрнижеву, модифицированную лагран-жеву и эйлерову. Для лагранжевой формулировки независимыми переменными являются координаты частицы в некоторой произвольно выбранной фиксированной отсчетпой конфигурации и время. Эта формулировка широко используется при решении задач теории пластичности [ПО, 111]. Для модифицированной лагранжевой формулировки в качестве отсчетпой рассматривается текущая конфигурация. Поэтому отсчетпая конфигурация изменяется с течением времени. На этапе реализации численных алгоритмов в качестве отсчетпой используется конфигурация, полученная в конце предыдущего шага по времени. Для эйлеровой формулировки в качестве независимых переменных используются пространственные координаты и время. Для сред с памятью, к которым относятся металлические; изделия, фиксация истории деформирования частиц требует использования лагранжеиых координат. С другой стороны, при изучении движения жидкостей следует использовать эйлеров подход. Поэтому в диссер тациопной работе используется комбинация лаграижеиа и эйлерова подходов.
Пусть в некоторый момент времени t Є [0, г] многослойное изделие и смазочный слой занимают ограниченную область Г2 = Qlp U Qf,pUQi С Л3 с границей Г и границами раздела материалов Г между слоями Qlp и 0% изделия и Г;? между оболочкой Q}cp и смазочным слоем Qi. Обозначим через Qcp = Q]p U Qlp область упругопластиче-ского де(1)ормирования с границей Тер, Uep = Qep U Гср.
интенсивности напряжений, скоростей пластических деформаций; v, й — векторы скорости, перемещений; Т — температура; Р — давление; c,x,&,P,il — коэффициенты удельной теплоемкости, теплопроводности, температурного расширения, плотности, кинематической вязкости; W — мощность внутренних источников тепла; WT — мощность трения на границе; FT, FTl — векторы напряжения трения, нормального давления; fT — коэффициент трения; п — единичный вектор внешней нормали; IV, Гг, Г71, Г ,, — границы, на которых задаются значения силы, скорости, температуры и теплового потока; Гс = {Г , Г } — граница раздела материалов; Tjr — контактная граница с трением. Требуется найти функции v(x,t), T(x,t), u(x,t), e(x,t), cr(x, t), P(x,t), удовлетворяющие системе (2.1) - (2.8h), определить контактные и свободные границы, а также границы раздела материалов.
Компоненты депиатора напряжении sij определяются суммоіі компонент дспнатороп активных напряжений s j и остаточных ми-кропаиряжеиий atj
Приращения компонент тензора пластических деформаций пропорциональны компонентам депиатора активных напряжений где T — температура; а? — предел текучести активных напряжений; є1?,, = J de1 — накопленная пластическая деформация; а , (Т{а — интенсивности активных напряжений и остаточных микронапряжении; dab aja — проекции векторов do{ и 7г-я на направление сг ; е\ — интенсивность пластических деформаций, Л„ — скалярная функция температуры.
Условия развития пластической деформации требуют, чтобы интенсивность активных напряжений о\ достигла значения а (є1 ,Т) и осталась равной при изменении значений
Схема решения нестационарных уравнений
Вопросы полноты конечно-элементных базисных функции, сходимости решения на этих функциях исследованы в работах [128, 129, 130]. Там же рассматриваются вопросы построения галеркинских приближений.
Линейные базисные функции в методе Галеркина при решении задач в диссертационной работе представляются в цилиндрической системе координат в виде Сопоставление результатов использования (3.43) и (3.44) приведено і , главе 4.5.
Для совместного решения задачи (2.4), (2.5), (3.24) - (3.29), (3.39) с красными условиями (2.7а - 2.8Ь) используется следующий численный алгоритм. Пусть для произвольного момента времени t известно напряженно - деформированное состояние материала. Тогда для t + At при совместном использовании разрешающих соотношений (3.24), (3.25) определяются компоненты вектора скорости v для всей исследуемой области. По известному полю скорости вычисляются приращения компонент вектора перемещений, тензоров деформаций и напряжений в металле; для жидкости из уравнения (3.39) находится приращение давления 5Р и корректируются компоненты полей скорости и давления; вычисляется мощность внутренних источников тепла. Из соотношения (3.29), с учетом поверхностных и внутренних источников тепла, рассчитывается иоле температуры Т. Далее, для металла определяются упругие и пластические зоны.
Найденные значения переменных позволяют определить компоненты тензоров D и R для выполнения очередного шага расчетов. По наиденному приращению й вычисляется положение границ изделия в пространстве, уточняются новые свободные и контактные границы, а. также границы раздела материалов. Затем выполняется переход к следующему шагу вычислений. Вычисления продолжаются до достижения требуемого момента времени. Таким образом, алгоритм позволяет проследить эволюционное развитие напряженно -деформированного состояния изделия, полей скорости и давления в смазочном слое.
На основе предложенного алгоритма реализации математической модели процесса создай пакет прикладных программ для персональных ЭВМ. Пакет разработан на языке программирования среды инженерных и научных расчетов MATLAB с использованием функций для работы с разреженными матрицами, оптимизированных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, инструментов конечно-элементной аппроксимации геометрических областей и средств визуализации. Выбор среды MATLAB объясняется высокой производительностью выполнения матричных вычислений, наличием проверенных оптимизированных алгоритмов решения больших систем линейных алгебраических уравнений, а также базовых средств визуализации данных.
Определение напряженно - деформированного состояния металла и движения смазочного слоя включает следующие этапы: 1. подготовка входных данных (препроцессор); 2. расчет напряженно - деформированного состояния материала (процессор); 3. отображение полученных результатов (постпроцессор).
Подготовка входных данных заключается в создании файлов с описанием геометрической области задачи, физико-механических свойств материалов, граничных условий первого, второго, третьего и четвертого рода, причем допускается запись в аналитическом виде.
При расчете выполняется промежуточное сохранение всех вычисленных данных о состоянии процесса на каждом временном шаге, но зволяющее при необходимости останавливать и возобновлять расчеты. Для каждого конечного элемента исследуемой области сохраняется история иагружения. Условно, этапы вычислений представлены па рис. 3.1.
Напряженно - деформированное состояние длинного цилиндра при упругопластическом деформировании
Результаты расчетов поля скорости, температурного поля и напряженно - деформированного состояния прутка для указанного режима в осевом сечении приведены на рис. 4.8 - 4.9.
На рис. 4.8а, б изображены изолинии радиальных и осевых скоростей. В местах контакта металла и инструмента появляются отрицательные радиальные скорости материальных частиц, что говорит о радиальной деформации прутка под воздействием инструмента. Максимальные значения при этом достигаются вблизи конусной части волоки. Уменьшение диаметра прутка также оказывает существенное влияние на изменение продольных компонент скорости вдоль зоны деформации.
Температурное поле металла (рис. 4.8в) обладает неравномерностью по осевому и радиальному сечению, которая обусловлена теплопроводностью металла. Неравномерность по радиальному сечению вызвана также тем, что в процессе теплообмена заготовки и инструмента участвуют лишь приконтактные слои металла [134]. Внутри прутка повышение температуры определяется энергией пластического деформирования.
Распределение зон упругости и пластичности (рис. 4.8г) обусловлено упругопластическим деформированием металла. На рис. 4.9а представлены изолинии радиальных напряжений. Значения напряжений максимальны в конусной части волоки. Причина повышения напряжений па входе — резкое изменение траектории движения материальных частиц при встрече с инструментом. Значительное повышение температуры поверхности прутка вызывает соответствующее тепловое расширение металла. Однако, вследствие стесненности условий деформирования расширение металла невозможно, что обуславливает пик сжимающих напряжений в поверхностных слоях при выходе из рабочей зоны. На расстоянии от зоны деформации наблюдаются небольшие положительные значения радиальных компонент тензора напряжений, указывающие на упругое; восстановление металла.
Отрицательные окружные напряжения (рис. 4.96) рабочей зоне обусловлены пластическим сжатием кольцевых волокон. Также как и в предыдущем случае, на расстоянии от зоны деформации присутствуют небольшие положительные значения окружных компонент тензора напряжений, что тоже является следствием упругого восстановления.
Продольные волокна в рабочей зоне вблизи оси прутка испытывают растяжение за счет усилия волочения, рис. 4.9в. Появление растягивающих осевых напряжений вблизи поверхности контакта рабочей зоны объясняется возрастанием силы трения (вследствие роста нормального давления) вдоль контактной поверхности. Полученные результаты согласуются с данными теоретических исследований [24, 25, 2G, 23]
Для оценки применимости используемых соотношений по результатам упругопластических решений в различные моменты времени построены траектории деформирования в пространстве А. А. Илью
Согласно принципу запаздывания, ориентация и модуль вектора напряжений относительно траектории деформации определяются не весні историей процесса деформирования, а лишь некоторым конечным участком траектории деформации її (след запаздывания). Величина следа запаздывания в зависимости от материалов колеблется в пределах Зєя — 10ев, где єа - предел текучести по деформации при чистом растяжении [135].
Для оценки соответствия выбранной теории пластического течения исследуемому процессу проверяется выполнение неравенства где С, -- радиус кривизны траектории деформации.
Проекции деформирования на плоскости бі,б2 и єі,бз для двух точек медного прутка изображены на рис. 4.11, 4.13. Кривые на первом рисунке соответствуют точке с координатами (0,025; 0,0024), которая расположена вблизи зоны деформации (рис. 4.10), кривые на втором — точке (0,025; 0,001), которая расположена в центре поперечного сечения прутка (рис. 4.12). Анализ результатов показывает, что процесс пагружения соответствует процессу малой кривизны, т. е. на всем временном интервале деформирования выполняется неравенство (4.28).
Следовательно, теория пластического течения с линейным анизотропным упрочнением применима к исследованию рассматриваемых 15 работе задач определения напряженно - деформированного состояния при упругоиластическом деформировании металлов.
Похожие диссертации на Математическое моделирование процесса течения смазочного слоя и деформирования многослойного изделия
