Содержание к диссертации
Введение
1. Построение математической модели по упруго-пластической деформации тел пространственной формы 11
1.1 Постановка задачи 11
1.2 Разработка численной схемы решения задачи . 12
1.3 Алгоритм решения задачи 17
1.4 Исследование сходимости 21
2. Построение математической модели по упруго-пластической деформации осесимметричных тел 29
2.1 Разработка численной схемы 29
2.2 Алгоритм решения задачи 33
:JM 2.3 Исследование сходимости 34
3. Исследование процесса получения муфты термомеханического соединения 39
3.1 Задача с внутренним наполнителем 39
3.1. 1 Постановка задачи 39
3.1. 2 Результаты решения 46
3.2 Задача с внутренним гидростатическим давлением 48
3.2. 1 Постановка задачи 48
3.2. 2 Результаты решения 50
3.3 Задача с внутренним и внешним гидростатическим давлением 53
3.3. 1 Постановка задачи 53
3.3. 2 Результаты решения для медной заготовки 55
3.3. 3 Результаты решения для стальной заготовки 65
4. Исследование процесса получения полотна силового шпангоута летательного аппарата 70
4.1 Инженерная постановка задачи 70
4.2 Математическая постановка задачи 79
4.3 Результаты численного исследования 83
Заключение 96
Список литературы
- Разработка численной схемы решения задачи
- Алгоритм решения задачи
- Задача с внутренним гидростатическим давлением
- Математическая постановка задачи
Введение к работе
Разработка новых и совершенствование существующих
технологических процессов в машиностроении связано с возрастанием
требований к качеству, экономичности и эксплуатационной надежностью
изготавливаемых изделий. Это несомненно касается деталей,
,ч обеспечивающих надежную работу летательных аппаратов. К таковым
относятся силовой шпангоут, элементы различного типа трубопроводов
и т.д. Данные детали работают в условиях сложного нагружения и
испытывают высокие импульсные нагрузки. При разработке новых
технологий основная роль принадлежит созданию математических
моделей, в достаточной мере адекватно отражающих исследуемые
процессы. Именно тогда появляется возможность выявить параметры,
с помощью которых можно управлять протекающим процессом, а
J^t' также определить конструктивные особенности для создания нового
или модификации уже существующего устройства, выполняющего поставленную задачу.
Математические модели, адекватно описывающие деформацию
конструкций, основаны на уравнениях механики деформируемого твердого
тела, служащих для определения напряжений и деформаций, исходя
.^ из заданных внешних воздействий. От точности решения поставленной
задачи зависит адекватность проводимого теоретического анализа изучаемому явлению.
Развитие методов решения задач механики деформируемого твердого тела идет двумя путями: получение точных решений и разработка приближенных методов.
Точное решение краевых задач по деформации тела произвольной формы связано со значительными математическими трудностями. Поэтому для получения точных аналитических решений приходится прибегать к тем или иным отступлениям, приводящим к упрощению задачи.
Разработка различных подходов к аналитическому решению определенных классов краевых задач для дифференциальных уравнений теории упругости принадлежат Л.А. Галину [1], А.И. Лурье [2, 3], СП. Тимошенко [4], В.В. Новожилову [5], А. Ляву [6], Л.С. Лейбензону [7], Н.И. Мусхелишвили [8] и т.д.
В теории пластичности точные методы хорошо развиты применительно к решению задач, в которых система уравнений пластического течения принадлежит к гиперболическому типу - метод характеристик (метод линий скольжения).
Первые результаты по методам решения плоских задач были получены в работах Г. Генки [9, 10] и Л. Прандтля [11]. Дальнейшее развитие метод характеристик получил в трудах Д.Д. Ивлева и Г.И.
Быковцева [12, 13, 14), С.Г. Михлина [15, 16], В. Прагера и Ф. Ходжа [17, 18], В.В. Соколовского [19, 20], Р.Хилла [21], А.Д. Томленова [22], К.Н. Шевченко [23], А. Грина [24], Е. Ли и С. Топпера [25], Ш. Кобояши [26] и других ученых.
Более широкий круг задач охватывают приближенные методы, позволяющие во многих случаях избежать математических затруднений.
Из вариационных методов широко распространены методы, в основе которых лежат экстремальные принципы возможных перемещений Лагранжа и принцип Кастильяно (минимума дополнительной работы). Применительно к различным моделям деформируемых сред эти принципы получили развитие в работах Д.Д. Ивлева и Г.И. Быковцева [27], А.А. Ильюшина [28], В. Койтера [29], А.А. Маркова [30], Ю.Н. Работнова [31] и
ДР-
Оба эти принципа вытекают из принципа виртуальной мощности [21], показывающего, что для любого статически допустимого поля напряжений и кинематически возможного поля скоростей справедливо соотношение, характеризующее закон сохранения энергии [30, 32, 33, 34].
При решении задач пластичности большое распространение получил вариационный принцип возможного изменения поля скоростей на действительном поле напряжений. Построенное на этом принципе вариационное уравнение преобразуют с учетом уравнений неразрывности и состояния деформируемой среды к функционалу, достигающему при определенных условиях минимума на истинных скоростях перемещений
Точное решение построенного уравнения или определение минимума функционала связано с неменьшими математическими трудностями, чем точное решение системы дифференциальных уравнений пластического течения. Поэтому прибегают к приближенным методам [36, 37, 38].
На практике широкое распространение получил метод Ритца
работы И.Я. Тарновского, А.А. Поздеева, В.Л. Колмогорова и др.
[39, 40]. Суть его состоит в том, что приближенное решение задачи
,«4) отыскивают в виде суммы ряда координатных функций, удовлетворяющие
условию полноты и нулевым условиям на границе области течения и ряда функций, удовлетворяющих заданным условиям на поверхности. Построенные ряды подставляют в вариационное уравнение, из которого получают систему алгебраических уравнений, сложность решения которой определяется сложностью физической модели деформируемой среды и видом координатных функций.
^ При решении многих задач механики получил распространение
метод локальных вариаций [41, 42]. Процедура метода состоит в последовательном улучшении положения узлов через которые проходит ломаная, удовлетворяющая дискретизированным условиям связи. Улучшение узлов осуществляется в результате поочередного варьирования каждой компоненты вектора фазовых координат. Такое локальное варьирование осуществляется для всех узлов ломанной. В
fty результате к моменту окончания итерации получается новая ломаная, на
которой функционал принимает значение не большее, чем на начальном приближении. Последующие итерации выполняются аналогично [43]. Применение данного подхода для решения задач пластичности вызывает значительные трудности, поскольку локальность вариаций имеет место только при условии минимизации полного функционала.
Метод конечных разностей (метод сеток) — численный метод, суть которого заключается в том, что на исследуемую область накладывается сетка, образованная семействами ортогональных линий, значения производных заменяются их приближениями через конечные разности, неизвестные функции определяются в узловых точках. В результате получается система линейных или нелинейных алгебраических уравнений, матрица которой имеет для всей области ленточную структуру [44, 45, 46, 47]. Широкое применение, в основном к задачам теории упругости, этот метод получил благодаря сравнительной простоте реализации на ЭВМ.
Метод прямых (дифференциально-разностный метод). Сущность метода состоит в аппроксимации операции дифференцирования по некоторым направлениям конечно-разностными выражениями, что позволяет понизить размерность задачи и заменить решение исходной системы дифференциальных уравнений с частными производными расчетом аппроксимирующей ее системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных [48].
При решении задач пластичности эти два метода не так широко
применяются в виду сложности свойств деформируемой среды и необходимости удовлетворения условия несжимаемости.
Наиболее широкое применение при решении различного рода инженерных задач в настоящее время получил метод конечных элементов (МКЭ) и его различные варианты [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]. Название метода происходит от некоторых его вариантов решения задач строительной механики и теории упругости [57, 58], в которых он трактуется как метод разбиения упругого тела на отдельные элементы, определяемые ячейками сетки и взаимодействующим между собой в узлах сетки. Развитие МКЭ связано прежде всего со стремлением свести задачи механики континуальных систем к задачам стержневых систем. МКЭ сочетает в себе математические достоинства вариационных и проекционных методов с разреженностью матриц получаемых систем алгебраических уравнений, характерной для систем уравнений разностного типа и существенно облегчающей процесс нахождения решений таких систем.
Кроме того алгоритм МКЭ достаточно просто поддается програмной реализации на ЭВМ [59].
Однако несмотря на указанные достоинства, пакеты прикладных программ, основанные на МКЭ не всегда способны удовлетворить потребности исследователя. Так, например, в своей работе [60] В.Л. Колмогоров отмечает, что положительный имидж пакетов МКЭ создан за счет описания кинематики течения материалов, хорошо соответствующей
физической картине течения. Однако в плане рассчета напряжений результаты, с точки зрения точности могут не удовлетворять уравнениям динамики и граничным условиям в напряжениях, и как следствие неадекватно отражают физическую картину явлений.
В данной работе используется метод разработанный В.И. Одиноковым [61, 62] для решения задач упругости и пластичности в случае когда геометрия деформируемого тела может быть описана системой ортогональных поверхностей. Преимуществом данного метода является простота и алгоритмичность, а так же единство подхода к решению различных классов задач. При этом одновременно определяются с одинаковой точностью поля напряжений и скоростей перемещений в рассматриваемой области, в зависимости от заданных статических и кинематических граничных условий.
Целью работы является построение математических моделей процессов изготовления элементов силового шпангоута, составных элементов трубопроводов планера летательного аппарата, исследование указанных процессов с помощью разработанных моделей и выработка рекомендаций по оптимизации процессов изготовления этих деталей.
Разработка численной схемы решения задачи
Точное решение построенного уравнения или определение минимума функционала связано с неменьшими математическими трудностями, чем точное решение системы дифференциальных уравнений пластического течения. Поэтому прибегают к приближенным методам [36, 37, 38].
На практике широкое распространение получил метод Ритца работы И.Я. Тарновского, А.А. Поздеева, В.Л. Колмогорова и др. [39, 40]. Суть его состоит в том, что приближенное решение задачи ,«4) отыскивают в виде суммы ряда координатных функций, удовлетворяющие условию полноты и нулевым условиям на границе области течения и ряда функций, удовлетворяющих заданным условиям на поверхности. Построенные ряды подставляют в вариационное уравнение, из которого получают систему алгебраических уравнений, сложность решения которой определяется сложностью физической модели деформируемой среды и видом координатных функций.
При решении многих задач механики получил распространение метод локальных вариаций [41, 42]. Процедура метода состоит в последовательном улучшении положения узлов через которые проходит ломаная, удовлетворяющая дискретизированным условиям связи. Улучшение узлов осуществляется в результате поочередного варьирования каждой компоненты вектора фазовых координат. Такое локальное варьирование осуществляется для всех узлов ломанной. В fty результате к моменту окончания итерации получается новая ломаная, на которой функционал принимает значение не большее, чем на начальном приближении. Последующие итерации выполняются аналогично [43]. Применение данного подхода для решения задач пластичности вызывает значительные трудности, поскольку локальность вариаций имеет место только при условии минимизации полного функционала.
Метод конечных разностей (метод сеток) — численный метод, суть которого заключается в том, что на исследуемую область накладывается сетка, образованная семействами ортогональных линий, значения производных заменяются их приближениями через конечные разности, неизвестные функции определяются в узловых точках. В результате получается система линейных или нелинейных алгебраических уравнений, матрица которой имеет для всей области ленточную структуру [44, 45, 46, 47]. Широкое применение, в основном к задачам теории упругости, этот метод получил благодаря сравнительной простоте реализации на ЭВМ.
Метод прямых (дифференциально-разностный метод). Сущность метода состоит в аппроксимации операции дифференцирования по некоторым направлениям конечно-разностными выражениями, что позволяет понизить размерность задачи и заменить решение исходной системы дифференциальных уравнений с частными производными расчетом аппроксимирующей ее системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных [48].
При решении задач пластичности эти два метода не так широко применяются в виду сложности свойств деформируемой среды и необходимости удовлетворения условия несжимаемости.
Наиболее широкое применение при решении различного рода инженерных задач в настоящее время получил метод конечных элементов (МКЭ) и его различные варианты [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]. Название метода происходит от некоторых его вариантов решения задач строительной механики и теории упругости [57, 58], в которых он трактуется как метод разбиения упругого тела на отдельные элементы, определяемые ячейками сетки и взаимодействующим между собой в узлах сетки. Развитие МКЭ связано прежде всего со стремлением свести задачи механики континуальных систем к задачам стержневых систем. МКЭ сочетает в себе математические достоинства вариационных и проекционных методов с разреженностью матриц получаемых систем алгебраических уравнений, характерной для систем уравнений разностного типа и существенно облегчающей процесс нахождения решений таких систем.
Алгоритм решения задачи
Алгоритм решения построенной численной схемы полностью идентичен алгоритму описанному в главе I. То есть, чтобы уменьшить размерность системы (2.2) — (2.5) необходимо выполнить следующие действия: 1. Разности ац — ajj в уравнениях (2.2) выражаются через (2.3). 2. Записываются рекуррентные соотношения вида: U\ = U\ + {Л}, где {А} — оператор, не содержащий U\; направление обхода области G — от 0 до а\ по а\. 3. Определяются сдвиговые деформации єц {г ф j) по внутренним узлам сетки в соответствии с формулой (2.6). 4. Определяются (Гц [і ф j) по внутренним узлам сетки из уравнений состояния: а 2 = А0 5. Определяются Uij по внешним узлам сетки из граничных условий, а на контактных поверхностях — из закона трения. 6. Определяются Uij по граням элементов как средние от значений а в узлах сетки. 7. Первое уравнение (2.2) переписывается в рекуррентном виде: о\х = &ii-\-{B}, где {В} — оператор, не содержащий (т\х\ направление обхода области G — противоположное тому, которое указано в п.2. 8. Из второго уравнения (2.2) и уравнения (2.3) определяются значения а\2 и 722 для элементов IJ и IJ + 1, и составляются уравнения ( ) вида F$ = 0.
Исследование будем осуществлять с помощью математического эксперимента. Рассмотрим задачу по деформации полого криволинейного цилиндра находящегося под действием внутреннего избыточного давления [рис. 2.2). Средняя часть внешней поверхности цилиндра является свободной. Остальная заключена в жесткую матрицу. Ввиду симметрии тела на рис. 2.2 представлена - часть области деформации.
Положим, что деформируемый материал изотропен, несжимаем, вся область находится в состоянии пластического течения. Тогда, в эйлеровой системе координат, рассматриваемый процесс будет описываться следующей системой уравнений:
На рис. 2.3 представлены результаты решения задачи при разбиении области деформации на 6 х 2, 12 х 4, 24 х 8 элементов.Графическая аппроксимация представленных на рисунках эпюр выполнена сплошными линиями при разбиении области на 192 элемента (24 х 8).
На рис. 2.3 ,а представлены эпюры скоростей перемещений V\ и V2- Скорости перемещений V\ имеют направление противоположное направлению оси 1 и достигают максимального значения на торце цилиндра. Скорости Vz достигаю максимума на конце рассматриваемой области (близ плоскости симметрии). Нормальные напряжения тц (рис. 2.3 ,б) в рассматриваемой области изменяются от знакопеременных в средней части до растягивающих на конце рассматриваемой области. Наибольших значений сжимающие напряжения с\\ достигают на конце прямолинейного участка у поверхности »% (рис. 2.2), а растягивающие в средней части области у поверхности бинормальные напряжения (722 (рис. 2.3 ,б) во все исследуемой области являются сжимающими и достигают максимального значения у поверхности ,% на конце прямолинейного участка.
Нормальные напряжения озз (рис. 2.3 ,в) во всей области растягивающие и достигают максимальных значений в средней части рассматриваемой области.
Результаты решения задачи при разбиении исследуемой области на 12 х 4 и 24 х 8 практически совпадают, что в соответствии с теоремой в работе [62] означает сходимость численного решения. Таким образом, можно сделать вывод о том, что для получения приемлемого результата по напряженно-деформированному состоянию при решении данной задачи достаточно разбить исследуемую область на 48 (12 х 4) элемента. Время вычислений при этом составило 3 сек (PC на базе процессора AMD АШоп-850МГц).
Задача с внутренним гидростатическим давлением
Задачу сформулируем следующим образом: трубная заготовка внутренним радиусом Ro, толщиной стенки s (рис. 3.6, область /) помещается в матрицу сложной конфигурации (область //). С наружной части трубы в полости матрицы (область III) размещается несжимаемая среда. На рис. 3.6 приведено меридиональное сечение с учетом осевой симметрии процесса.
Во внутренней части трубной заготовки (область IV) создается гидростатическое давление Р. При этом материал трубы деформируется, наружный радиус в средней части трубной заготовки изменяется до R\. В ходе деформирования заготовки / среда III создает противодавление и постепенно удаляется из полости матрицы II через зазор шириной 2d (рис. 3.6).
В данном случае имеется двухкомпонентная система: трубная заготовка I — несжимаемая среда III; работа [66].
Рассматриваем осесимметричное тело вращения. Согласно допущениям принятым в главе І в эйлеровой системе координат исследуемый процесс описывается системой уравнений (3.5)
Граничные условия задачи: где коэффициенты трения, (г ск)з и (VCK)S — скорости скольжения материала трубной заготовки относительно несжимаемой среды и матрицы соответственно, vI — нормирующая скорость трубной заготовки.
При решении задачи использовалась численная схема (глава II). 3.3. 2 Результаты решения для медной заготовки На рис. 3.7 — 3.15 представлены результаты решения задачи для медной трубной заготовки. Материал трубы описывался аналитической зависимостью (3.8). При расчетах принималось RQ = 21,5мм, Rj = 34мм, s = 2мм, ф3 = ф$ = 0.
На рисунках 3.7, 3.8 и 3.9 представлены эпюры скоростей перемещений Vi, У% по шагам при RQ = 21, 5мм, величине давления внутри трубы Р — 20МПа, Р = 35МПа, Р = 50МПа соответственно. При Р = 20МПа (величина d = Змм, рис. 3.6), на начальной стадии деформирования заготовки (рис. 3.7, а) скорости V\ сравнительно малы (менее 0,1мм/с). 5 мм/с -ОМ Рис. 3.7: Эпюры скоростей перемещений VJ, V2 по стадиям деформирования заготовки (Р = 20 МП а, 1 = Ъмм) дтгптх Рис. 3.8: Эпюры скоростей перемещений \\, \\ по стадиям деформирования заготовки (Р = о оМПа, d = Змм) ЦП -упОНПХйО Рис. 3.9: Эпюры скоростей перемещений Vt, V2 по стадиям деформирования заготовки (Р = 50МЯа, d = 2, 5мм)
По скоростям Уч минимум наблюдается в торцевой части трубной заготовки (поверхность Sg на рис. 3.6), а максимума Уч достигают в средней части трубы то есть на конце рассматриваемой области (поверхность S\ на рис. 3.6).
На промежуточной (рис. 3.7, б) и конечной (рис. 3.7, в) стадиях деформирования заготовки в средней части рассматриваемой области имеется максимум по скоростям Уч, которые достигают значений на промежуточной стадии 0,65мм/с и на конечной — 1,18мм/с. Максимальные скорости Vi наблюдаются в торцевой части трубы (поверхность , рис. 3.6) и достигают значения 0,68мм/с в направлении противоположном положительному направлению оси 1 на конечной стадии деформирования заготовки.
На рис. 3.8 представлены эпюры скоростей перемещений Vi, V2 при величине давления внутри трубы Р = 35МПа и d = Змм. На начальной стадии деформирования трубной заготовки (рис. 3.8, а) минимум по скоростям Уч наблюдается в торцевой части заготовки, а максимальные значения скорости Уч принимают в средней ее части, и они равны 1,15мм/с.
На промежуточной (рис. 3.8, б) и конечной (рис. 3.8, в) стадиях деформирования скорости Vi направлены в противоположную сторону к положительному направлению оси 1 и на торцевой части трубной заготовки (поверхность / рис. 3.6) принимают максимальные значения равные: на промежуточной стадии — 0,61мм/с, на конечной стадии 1,86мм/с. Максимальные значения скоростей Уч наблюдаются в средней части рассматриваемой области. Они равны: на промежуточной стадии деформирования заготовки — 1,3мм/с; на конечной стадии деформирования трубной заготовки — 2,4мм/с.
На рис. 3.9 представлены эпюры скоростей перемещений Vi, V2 при величине давления внутри трубной заготовки Р = 50МПа и величине d = 2,5мм. На начальной стадии деформирования трубной заготовки (рис. 3.9, а) в торцевой части заготовки имеется минимум по скоростям Уч. \ Максимальные значения У принимают в средней части трубной заготовки у оси симметрии, и они равны 1,37мм/с. На промежуточной стадии деформирования заготовки (рис. 3.9, б) максимумы по скоростям V2 наблюдаются в средней части рассматриваемой области. Они равны 1,98мм/с. На конечной стадии деформирования (рис. 3.9, в) эпюры скоростей перемещений Уч носят переменный характер. В средней части рассматриваемой области направление скоростей V2 совпадает с положительным направлением оси и на этом участке достигаются максимальные значения которые равны 3,7мм/с. На конце рассматриваемой области, у оси симметрии, скорости V2 имеют направление противоположное к положительному направлению оси 2, и на этом участке достигают значений, 0,62мм/с.
Математическая постановка задачи
Для решения сформулированной системы уравнений (4.12) при наличии начальных условий и граничных условий (4.13) — (1.14) применим численную схему разработанную в первой главе в соответствии с работами [62, 65].
Для проведения численного расчета необходимо знать поведение материала (в данном случае это сплав ВТ20) в зависимости от степени, скорости деформации и температуры. К сожалению не удалось найти литературных данных по указанному материалу. Наиболее близким к нему является сплав ВТ14, для которого в [72] имеются экспериментальные данные на одноосное растяжение-сжатие. По этим данным и на основе работы [73] при проведении работ [70, 71] построена следующая зависимость: деформации при повороте эксцентрикового вала разбивался на 5 шагов по углу поворота а.
На рис. 4.8 показана кинематика течения металла по шагам при а?з = Ъ. Шаги 1, ..., 5 соответствуют повороту эксцентрикового вала соответственно на углы а = 30, 60, 90, 120, 150. Вектор перемещений эксцентрикового вала на каждом шаге приведен над каждой эпюрой. По результатам расчета видно, что на шаге 1—3, несмотря на вертикальное перемещение инструмента, весь металл течет вспять по координате х\. На 4 и 5 шаге на входе в бойки металл течет вспять, а на выходе из калибрующего участка — по направлению координаты х\.
На рис. 4.9 приведены по шагам а эпюры нормальных напряжений стц и 722 при з = Ь, а также даны габаритные размеры величины контакта наклонных бойков с металлом и текущая высота полосы над калибровочным участком. Габаритные размеры даны в мм. Эпюры нормальных напряжений о г на поверхности контакта имеют всплеск в концевых точках контакта. По мере увеличения зоны контакта (с увеличением а) характер контактной эпюры on меняется. В плоскости симметрии х\Хъ эпюра сг22 иная, чем на контактной поверхности. При больших значениях а (120, 158) в области входа металла в бойки эпюра 022 на оси симметрии имеет область положительных значений (растягивающие напряжения). Эпюры напряжений сгц - сжимающие вблизи контакта с наклонными бойками 2 на входе. По мере сжатия металла наклонными бойками (увеличение угла а) наблюдается изменение Ч\ характера поведения напряжений ац на калибрующем участке. На четвертом шаге (а = 120) на контактной поверхности приведена эпюра касательных контактных напряжений 02\ На рис. 4.10 приведены эпюры нормальных напряжений сгзз по шагам а при х = 0. Следует отметить, что азз по координате х$ изменяется незначительно. Как следует из рис. 4.10 напряжения хзз по всей области -сжимающие.
Наиболее опасным является область, в которой идет изгиб полосы на радиус Rp. Это область сечения 5—5 (рис. 4.7). Здесь нормальное напряжение сгц имеет положительное значение в поверхностных слоях х2 = hi.
На рис. 4.11 приведены эпюры нормальных напряжений ац в сечении 5-5 по шагам поворота эксцентрика на угол а. Как следует из графиков напряжение сгц имеет растягивающие значения на поверхности х% = h\. Причем наибольших значений сгц достигает при х$ = Ь, то есть в центре области деформирования, при достижении угла а = 90. В дальнейшем с увеличением угла а наибольшие значения растягивающие напряжения 7ц на поверхности достигаются на краях (поверхности S±, S5 (рис. 4.7)). При этом ац на поверхности 5s несколько больше ац на S4. Отметим, что коэффициенты трения на поверхностях 54 и $5 принимались одинаковыми.
Таким образом, прежде чем наклонные бойки коснулись металла, эксцентриковые валы повернулись на угол 0 = 98.473. Общая деформация в этом случае уменьшается. При этом менялись контактные условия на поверхностях 54, 5s (рис. 4.7). Коэффициент трения на поверхности 5i был постоянен.
Кривая 1 соответствует значению трения на поверхностях 54, 5s равное нулю. То есть( 7зі = (732) = 0, г = 4 , 5. Видим, что кривая 7ц в этом случае практически симметрична относительно сечения жз = Ъ и имеет в этом сечении максимальное значение.
Кривая 2 соответствует равным значениям коэффициента трения на поверхностях 54, 55; фы — 0.001; г = 4,5. Значение на поверхностях контакта подбиралось таким образом, чтобы наибольшее значение напряжения контактного трения не превосходило предела текучести материала (TS). В нашем случае rs 5 -f- бкг/мм2. Кривая 2 также, как кривая 1 симметрична по координате хз, только имеет минимум при х2 = Ъ.
Кривая 3 соответствует наличию трения на поверхности 5s (V 35 = 0.004) и его отсутствию на поверхности 54 (V 34 = 0). Здесь имеет место монотонное возрастание нормального напряжения тц от х = 0 до х$ = 26 в сечении 5—5 в приповерхностном слое.
Кривая 4 соответствует, как и кривая 3, наличию трения на 5s и его отсутствию на 54- Только в этом случае ф — 0.001, то есть максимальные напряжения трения на поверхности 5s меньше, чем в предыдущем случае.
Кривая 5 соответствует значениям трения: т/ з4 = 0.001 ;фз5 = 0. То есть наличие трения на поверхности 54- Видим, что картина обратная предыдущим решениям. Наибольшие растягивающие напряжения имеют место на поверхности , (%з = 0). Таким образом можно сделать вывод, что наиболее благоприятная схема по растягивающим напряжениям сгц в приповерхностном слое щ реализуется при отсутствии трения на поверхностях 54, S$. Кроме того, растягивающие напряжения ац в сечении 5—5 падают с уменьшением общей деформации полосы (сравнение с рис. 4.11). На рис. 4:.12,6 приведены результаты (эпюры) изменения 7ц в сечении 5—5 при еще меньшей степени общей деформации, чем в предыдущем случае. А именно ho = 4, Змм, hi = Змм, а = 120 ,150. В этом случае также, как и выше ао = 98.473. Трение на поверхностях Ц 54, 5Б отсутствует. Видим, что растягивающие напряжения тп меньше, чем на рис. 4.12,а.
На рис. 4.13 приведены кривые изменения усилий деформирования по шагам . Сплошными линиями показаны давления на наклонные бойки, пунктирными - давления на горизонтальные бойки. Цифрами обозначены режимы деформирования:
Похожие диссертации на Математическое моделирование некоторых процессов получения элементов планера летательного аппарата
