Содержание к диссертации
Введение
1. Ударные воздействия на стержни, балки, пластинки и оболочки (обзор)
1.1. Введение 10
1.2. Описание подходов к решению задач ударного взаимодействия 13
1.3. Выводы 26
2. Рекуррентные соотношения лучевого метода
2.1. Метод решения 28
2.2. Рекуррентные соотношения лучевого метода для упругой изотропной пластинки 30
2.3. Рекуррентные соотношения лучевого метода для
вязкоупругой изотропной пластинки 35
2.4. Рекуррентные соотношения лучевого метода
для упругой ортотропной пластинки 40
2.5. Выводы по второй главе 47
3. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой изотропной пластинки через буфер
3.1. Постановка задачи 48
3.2. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через упругий буфер 50
3.2.1. Решение системы определяющих уравнений 51
3.2.2. Численный анализ 54
3.3. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через вязкоупругии буфер 63
3.3.1. Постановка задачи 63
3.3.2. Решение системы определяющих уравнений 64
3.3.3. Численный анализ 67
3.4. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через нелинейно упругий буфер 69
3.4.1. Постановка задачи 69
3.4.2. Решение системы определяющих уравнений 70
3.4.3. Численный анализ 72
3.5. Выводы по третьей главе 79
4. Ударное взаимодействие твердого тела с упругой изотропной пластинкой через буфер
4.1. Постановка задачи 81
4.2. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругои плите с учетом упругого буфера 81
4.2.1. Решение системы определяющих уравнений 81
4.2.2. Численный анализ 84
4.3. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругои плите с учетом вязкоупругого буфера 86
4.3.1. Решение системы определяющих уравнений 87
4.3.2. Численный анализ 89
4.4. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругои плите с учетом нелинейно упругого буфера 92
4.4.1. Решение системы определяющих уравнений 92
4.4.2. Численный анализ 93
4.5. Выводы по четвёртой главе 100
5. Ударное взаимодействие твердого тела с упругой ортотропной пластинкой через буфер
5.1. Постановка задачи 102
5.2. Решение системы определяющих уравнений 102
5.3. Численный анализ 107
5.4. Выводы по пятой главе И 6
Заключение
Библиографический список
- Рекуррентные соотношения лучевого метода
- Решение системы определяющих уравнений
- Решение системы определяющих уравнений
- Решение системы определяющих уравнений
Введение к работе
В настоящей диссертационной работе изучается ударное взаимодействие твердых тел с пластинками Уфлянда-Миндлина посредством буфера с учетом упругих и вязкоупругих, изотропных и анизотропных, линейных и нелинейных свойств пластинки и буфера. В качестве метода решения используется лучевой метод, а также метод сращивания асимптотических разложений, полученных для малых времен в зоне контакта и вне ее.
Задачу о продольном ударе двух стержней впервые рассмотрел Сен-Венан Б.Д. [106], который учел распространение волн в соударяемых телах, но не учитывал местное смятие материалов ударника и мишени. Основной вклад в теорию удара внес гениальный физик Герц Г., который распространил свою задачу о статическом контактном взаимодействии упругих тел на их ударное взаимодействие. Однако он не учитывал в процессе удара колебательные движения тел вне их области контакта. Это сделал Тимошенко СП. в 1928 году, объединив колебательные движения балки конечной длины с контактной теорией Герца в единую стройную теорию удара. Zener С. [113] в 1941г. обобщил эту задачу на случай балки бесконечной длины. В дальнейшем теория удара типа Тимошенко развивалась для стержней и балок [15,26,30,44,53,100,98,109,111], пластин [4,8,14,15,25,31,47,48,51,54,80,83] и оболочек [22,49,60,66,67,69,112].
Волновой подход к теории поперечного удара был впервые предложен Россихиным Ю.А. и Шитиковой М.В. в 1992 году [83] и получил дальнейшее развитие в последующие годы [14,15,98]: решена задача об ударе твердого тела по тонкостенной балке жесткости различного профиля [98], произведен учет растяжения-сжатия срединной поверхности балок и пластин [15,98], изучено влияние отраженных волн от граничных поверхностей пластинки на процесс ударного взаимодействия и т.д.
Актуальность темы. Задачи, связанные с проблемой ударного взаимодействия, имеют широкое практическое значение и успешно решаются в
5 последнее время. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок по механике твердого деформируемого тела, так и с точки зрения приложений к различным отраслям хозяйственной деятельности человека. С подобными задачами сталкиваются и в строительной индустрии на этапе возведения зданий и сооружений, а также при их эксплуатации в нормальных и экстремальных условиях.
Все более возрастающие потребности инженерной практики заставляют исследователей идти по пути усложнения реологических моделей соударяемых тел и более детального описания характера их ударного взаимодействия, что в свою очередь приводит к созданию более совершенных средств противоударной защиты конструкций и их элементов.
Учет вязкоупругих и анизотропных свойств соударяемых тел в процессе удара обуславливает более точное представление о характере протекания данного процесса.
Перечисленные обстоятельства приобретают важное практическое значение в связи с постоянно расширяющимся применением в строительном производстве композитных материалов.
Несмотря на значительные достижения в решении проблем, связанных с ударным взаимодействием, вопросы учета вязкости и анизотропии, ровно как и использование расчетно-обоснованных средств защиты от удара до последнего времени являются недостаточно хорошо изученными. В связи с вышеизложенным исследования, проведенные в рамках данной работы, по изучению влияния перечисленных факторов на процесс ударного взаимодействия твердых тел и пластинок посредством буфера следует признать весьма актуальными.
Основными целями диссертационной работы являются: исследование ударного взаимодействия твердых тел с пластинками посредством буфера. изучение влияния вязкоупругих свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия. учет влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб, возникающие в месте ударного взаимодействия. исследование упругих, вязкоупругих и нелинейных свойств буфера, предлагаемого в качестве противоударной защиты.
Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан численный анализ следующих задач: об ударном взаимодействии твердого тела с упругой изотропной пластиной посредством упругого, вязкоупругого и нелинейно упругого буфера; об ударном взаимодействии твердого тела с вязкоупругой изотропной пластиной посредством упругого, вязкоупругого и нелинейно упругого буфера;
3) об ударном взаимодействии твердого тела и упругого буфера, установленного на упругой ортотропной пластинке.
Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность работы определяется правильными математическими выкладками и сопоставлением результатов работы с известными результатами других авторов.
Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования плит, на которые возможно действие ударной нагрузки, и, в частности, при проектировании плит перекрытия, расположенных под лифтовой шахтой.
На защиту выносятся следующие основные результаты работы: исследование ударного воздействия на упругую пластину твердого тела посредством буфера, проверка локальной прочности пластинки при действии заданной ударной нагрузки; изучение влияния вязкоупругих свойств материала пластинки и вязких свойств буфера на динамические характеристики контактного взаимодействия; - учет влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб, возникающие в месте ударного воздействия на нее твердого тела посредством упругого буфера;
7 - исследование линейно упругих и нелинейно упругих свойств буфера, предлагаемого в качестве противоударной защиты, на динамические характеристики удара.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы , докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско- преподавательского состава Воронежского государственного архитектурно-строительного университета в 2003-2004 годах; на семинаре по теоретической и прикладной механике Воронежского государственного технического университета в 2003 году; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2002 году; на 4-ом
Международном симпозиуме по строительству среди аспирантов «4 International Ph.D. Symposium in Civil Engineering" в 2002 году в г. Мюнхен, Германия; на международной конференции «34th Solid Mechanics Conference» в * 2002 году в г. Закопане, Польша; на международной конференции по проблемам механики «6th International Conference on Vibration Problems 2003» в 2003 году вт. Либерец, Чехия; на 11-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в 2004 году в г. Дубна; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2004 году; на международной конференции «4-ые Окуневские чтения» в 2004 году в г. Санкт-Петербург; на международной конференции «Days of Diffraction» в 2004 году в г. Санкт-Петербург; на международной летней школе «Advanced Problems in Mechanics - 2004» в 2004 году в п. Репино г.Санкт-Петербург.
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 публикациях.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, ' заключения и списка литературы. Работа изложена на 131 странице машинописного текста, содержит 40 рисунков, 2 таблицы, список использованных источников из 114 наименований.
Краткое изложение диссертации
В первой главе описана предыстория возникновения задач, связанных с расчетом плит на ударное воздействие посредством буфера, которые рассматриваются в данной работе. Дана классификация подходов к проблеме удара жесткого тела по тонким телам. Эти подходы отличаются друг от друга силой, действующей в области контакта, и уравнениями движения точек пластинки вне этой области.
Во второй главе получены рекуррентные соотношения лучевого метода для различных пластинок: упругой изотропной, вязкоупругой изотропной, упругой ортотропной. Результатом решения систем рекуррентных дифференциальных уравнений являются коэффициенты лучевых рядов для искомых функций, определенные с точностью до постоянных интегрирования. Полученные лучевые ряды используются в последующих главах при решении задач об ударном воздействии на различные пластинки твердых тел посредством буфера.
В третьей главе рассматривается ударное взаимодействие твердого тела с упругой изотропной пластиной посредством буфера. С помощью рекуррентных соотношении лучевого метода, которые определяют искомые величины вне области контакта, и системы уравнений, описывающих движение тела и контактной области, определяются динамические характеристики контактного взаимодействия и осуществляется проверка локальной прочности плиты при действии заданной ударной нагрузки. Исследуется влияние линейно упругих, вязкоупругих и нелинейно упругих свойств буфера, предлагаемого в качестве противоударной защиты, а также параметров ударника и пластинки на динамические характеристики удара.
В четвертой главе исследуется ударное взаимодействие твердого тела на буфер, установленный на вязкоупругой изотропной пластине, вязкоупругие свойства материала которой учитываются при сдвиговых деформациях путем представления модуля сдвига (и следовательно, модуля Юнга) в виде оператора. Изучается влияние вязкоупругих свойств материала пластинки,
9 вязкоупругих и нелинейно упругих свойств буфера на динамические характеристики ударного взаимодействия.
Пятая глава посвящена ударному взаимодействие твердого тела с упругой ортотропной пластиной посредством упругого буфера. Определяются динамические характеристики контактного взаимодействия, осуществляется проверка условия жесткости пластинки при действии заданной ударной нагрузки. Изучается влияние анизотропии материала пластинки и параметров ударного взаимодействия на динамический прогиб и контактную силу.
Рекуррентные соотношения лучевого метода
Задачи, связанные с проблемой ударного взаимодействия тонких тел (стержней, балок, пластин, оболочек и др.) с другими телами, находят широкое применение в различных областях науки и техники. Эти задачи актуальны как с точки зрения фундаментальных исследований по прикладной механике, так и с точки зрения приложений.
Необходимость расчета тонкостенных конструкций на ударное воздействие обусловлено ещё и тем, что учет подобного рода воздействий не регламентируется государственными стандартами, нормами и правилами РФ. Приведем только один пример из инженерной практики, связанный с ударным взаимодействием плиты перекрытия с твердым телом больших размеров посредством упругого буфера. Возможность такого взаимодействия возникла при проектировании здания, построенного в г. Воронеже по улице Тимирязева индивидуальным предприятием «КИТ». Описываемое здание - жилой дом секционного типа: одна секция имеет девять этажей, другая - десять. Особенностью этого дома является его многофункциональность. Наряду с квартирами в нем на первом этаже расположен спортивно-оздоровительный клуб, а в подвальном этаже - гараж для легковых автомобилей и мотоциклов жильцов. Поэтому обычное расположение шахты лифта с устройством приямка на грунте является неудобным. Из-за объективных условий стесненности (наличие в подвале внутренних несущих стен) места для проезда и маневра машин мало. Шахта же лифта в любом жилом здании располагается примерно посередине, т.е. как раз в том месте, где в подвале находится проезд. Это обстоятельство и обуславливает поиск новых конструктивных решений устройства приямка лифтовой шахты.
Проект этого жилого дома был разработан в городе Алма-Ата в проектном институте «Алматагипрогор». Доработка проекта осуществлялась в Воронеже в , проектной группе ИП «КИТ», где были изменены некоторые конструкции. В первоначальном варианте проекта проблема расположения приямка шахты была решена очень удобно. Опирание приямка производилось не на грунт, а на плиту перекрытия над подвалом (см. схему на рис.1 Л). Таким образом, приямок был расположен на техническом этаже, на котором размещаются инженерные коммуникации, водопровод, канализация, отопление, так как эти сети не могут находиться в подвале—гараже. Такое конструктивное решение возможно лишь при соблюдении определенных условий, оговоренных в нормах при помощи следующего положения: «Расположение шахт лифтов над проходами и помещениями, в которых могут находиться люди, допускается только в том случае, когда перекрытие, расположенное под шахтой лифта, способно выдержать удар от свободно падающего противовеса с наибольшей возможной высоты. Прочность перекрытия должна быть подтверждена организацией, выполняющей проект здания» [2]. Но в первоначальном проекте такой расчет отсутствовал. Также нет литературы для проведения подобных расчетов. Поэтому применение такого конструктивного решения крайне редко. Кроме подтверждения самой возможности такого решения никаких практических шагов в этом направлении не было обнаружено ни в альбоме заданий на проектирование лифтовых установок [2], ни в «Правилах устройства и безопасной эксплуатации лифтов» [11]. Проектировщики решили эту задачу по-своему, подвинув шахту лифта в плане на 3.5 метра и опустив ее на грунт. Но это решение было вызвано отсутствием научно-технической базы для расчета на отрыв противовеса, а не большим удобством этого решения, по сравнению с первоначальным вариантом.
Расчет на отрыв противовеса так и остался не сделанным. Однако в мировой инженерной практике существует множество подходов к решению подобных задач. В этой связи достаточно сослаться на 6 больших обзоров, напечатанных в журнале Applied Mechanics Reviews (AMR) и посвященных проблеме соударения твердых тел: Abrate [33-35], AI-Mousawi [40], Inoue и др. [62], Balandin и др. [43], на обзоры Corbett и др. [52], Backman и Goldsmith [42], Cantwell и Morton [46], Johnson [64], Jaeger [63], Richardson [52], Zhong [114], а также на монографии Гольдсмита [4], Джонсона [5], Abrate [36].
Этими обзорами широко пользуются во всем мире инженеры-механики, занимающиеся проблемами удара. Но в России все обстоит иначе, и журнал AMR, основанный нашим соотечественником СП. Тимошенко более 50 лет назад для инженеров-механиков, по-прежнему остается труднодоступным изданием для российских инженеров.
Решение системы определяющих уравнений
В данной диссертационной работе рассматривается задача об ударе твердого тела о буфер, установленный на пластине Уфлянда-Миндлина (рис. 2.1), динамическое поведение которой описывается уравнениями (2.2-2,5). Буфер предлагается использовать в качестве средства противоударной защиты для уменьшения контактной силы в месте взаимодействия ударника и плиты. Вид контактной силы зависит от выбранного буфера. Здесь рассматривается линейно упругий, нелинейно упругий и вязкоупругий буфер.
Ударник моделируется жёстким телом массой т. В момент касания буфера он обладает скоростью V0. Буфер представляется цилиндрической пружиной круглого сечения, не теряющей устойчивость, нижний конец которой жестко заделан в плиту.
Целью исследования является проверка локальной прочности плиты, испытывающей ударное воздействие, изучение влияния параметров буфера, начальной скорости воздействия и толщины пластинки на контактную силу.
Искомые функции, являющиеся характеристиками динамического взаимодействия, представляются в виде (2.25) и (2.26), а коэффициенты этих лучевых рядов определяются выражениями (2.8) - (2.24) с точностью до постоянных интегрирования.
Для определения постоянных интегрирования необходимо составить систему уравнений, характеризующую поведение шара, буфера и контактной области после начала взаимодействия. Движение шара после его касания буфера описывается уравнением (1.3), уравнение движение контактной области имеет следующий вид: phnr W = 2лгоО- + P(t) , (3.1) здесь y=a+w - полное перемещение ударника, которое складывается из перемещений а верхнего и w нижнего концов пружины, выражение для контактной силы P(t) зависит от вида буфера (упругий, вязкоупругий или нелинейно упругий).
Подставляя величину у в уравнения (1.3) и (3.1) и учитывая условие горизонтальности касательной к срединной поверхности плиты в граничных точках области контакта, приходим к системе уравнений, которая определяет процесс взаимодействия ударника и плиты:
Для решения системы (3.8) и нахождения искомой величины P{t), следуя методике лучевого метода, описанной в п.3.1, необходимо каждую неизвестную величину представить в виде лучевого ряда (3.4) - (3.7) и подставить в эту систему. В итоге приходим к системе трёх алгебраических уравнений для определения трёх неизвестных констант: с\ , с\ - (г-0,1,2) и а, (/ = 0,1,2,3,4,5) на каждом шаге.
Из начальных условий (1.27), (3.3) находим: а\ У Х - су = 0 . Из решения системы алгебраических уравнений, составленной из коэффициентов при t, получим:
Методика, изложенная в данном параграфе, позволила решить практически важную задачу, описанную в п. 1.1, по расчету плиты перекрытия на удар оторвавшегося противовеса пассажирского лифта. Рассмотрим численный пример, в котором параметры изучаемой конструкции принимают следующие значения: т = 777 кг, /г=200 мм.
В качестве упругого буфера используется буфер БП 1-90 с одной пружиной С.125.033 по ОСТ 22-125-80 [10]. Параметры пружины приведены в таблице 3.1.
На рис. 3.2 приведена зависимость контактной силы P(t) от времени t, полученная на основе формулы (3.30). Из рис. 3.2 видно, что максимальное значение контактной силы Ятах=2810 Н, а продолжительности контакта tK0H = 8.25-10"4с. Зная Ртач и tKQH, можно определить возможность локального разрушения бетонной плиты в месте удара по формуле [23]: (3.31) где 4=717-/=0.0123 м2, 7 = - динамическая прочность бетона, /Q-коэффициент динамической прочности бетона, зависящий от времени взаимодействия, / - прочность бетона. Расчёты показывают, что для заданных параметров системы: следовательно, локальное разрушение плиты не произойдет.
Для иллюстрации полученных результатов и исследования зависимости контактной силы от параметров воздействия и конструкции, а также для сравнения с экспериментальными данными [4,6,84] рассмотрим ударное воздействие твердого тела с различной начальной скоростью по упругой изотропной пластинке посредством упругого буфера. Для этого запишем зависимость безразмерной контактной силы Р от безразмерного времени t , полученную на основе (3.25):
Исследуем зависимость безразмерной контактной силы от безразмерного параметра И, отношения масс контактного пятна и ударника т, относительной жесткости буфера Ё, безразмерной характеристики скорости удара V, т.е. параметров, входящих в выражение (3.32).
Решение системы определяющих уравнений
В данной главе рассматривается удар твердого тела о вязкоупругую изотропную пластинку посредством буфера (рис.3.1), при этом принимаются во внимание вязкоупругие свойства материала пластинки при сдвиговых деформациях. Динамическое поведение такой пластинки описывается уравнениями (2.2, 2.3) и (2.28) - (2.30). Искомые функции, являющиеся характеристиками динамического взаимодействия, представляются в виде (2.25) и (2.46), а коэффициенты этих лучевых рядов определяются выражениями (2.33) — (2.45) с точностью до постоянных интегрирования, которые находятся из решения системы уравнений (3.2) при подстановке туда соотношения для контактной силы. Вид контактной силы зависит от выбранного буфера. Здесь также, как и в главе 3, рассматривается линейно упругий, нелинейно упругий и вязкоупругий буфер.
Целью исследования является изучение влияния на контактную силу вязкоупругих свойств материла пластинки и параметров буфера.
В качестве упругого буфера, как и в главе 3, используется упругая цилиндрическая пружина, а контактная сила записывается в виде (1.24).
Процесс взаимодействия ударника и плиты с учетом граничного условия описывается системой уравнений (3.8).
Для решения системы (3.8) и нахождения искомой величины P(t) используем описанную в п.3.1. методику лучевого метода
После решения систем уравнений, составленных из коэффициентов при различных степенях t в системе определяющих уравнений (3.8), мы выразили (а) все неизвестные величины X\kx и ctfc алгебраически.
Следовательно, можно записать контактную силу P{t) в виде ряда, в котором коэффициенты при t известны. Подставляя в формулу (1.24) ряды (3.4) и (3.7), принимая во внимание (3.9), получаем выражение (3.24).
Анализируя формулу (4.10), можно заметить, что параметр g входит только в коэффициент при t, из чего можно сделать вывод, что вязкоупругие свойства пластинки оказывают заметное влияние на контактную силу при достаточно больших g.
На рис. 4.1 построены графики зависимости безразмерной контактной силы от безразмерного времени для различных значений параметра вязкости пластинки g, которые указаны цифрами у кривых. Расчеты выполнены при следующих значениях характеристик конструкции: т=25, сг = 0.3, А=1, =1.1 -10" , V =8.5-10" . Из рис. 4.1 можно увидеть, что максимальная контактная сила уменьшается с увеличением безразмерного параметра вязкости пластинки, т.е. с уменьшением времени релаксации. При неограниченном уменьшении g кривая контактной силы бесконечно близко приближается к кривой в случае упругой пластинки.
Этот же вывод можно сделать, анализируя рис. 4.2, на котором приведены зависимости максимальной контактной силы от безразмерного параметра вязкости пластинки для разных значений относительной жесткости буфера Ё: кривая 1 построена при = 1.2-10" , кривая 2 - = 2.3-10 6, кривая 3 = 4.6-1045. Кроме того, видно замедление уменьшения максимальной контактной силы при достаточно больших g.
Решая системы уравнений, представляющих собой коэффициенты при различных степенях / в системе определяющих уравнений (3.35), находим все неизвестные величины ХхЧ и а}-. Теперь можно записать контактную силу P(t) в виде ряда, в котором коэффициенты при / известны (3.45).
На рис. 4.3 показаны зависимости безразмерной контактной силы от безразмерного времени для разных значений времени релаксации буфера flf значения которых приведены цифрами на рисунке. Другие параметры, входящие в (4.18), принимают следующие значения: = 0.02, m=25, а= 0.3, иллюстрирует контактную силу как функцию времени при разных значениях безразмерного параметра вязкости пластинки g для т{ = 5. На рис. 4.5 изображена зависимость максимальной контактной силы от безразмерного времени релаксации буфера для разных g: кривая 1 соответствует g = 0.02, кривая 2 - g = 2, кривая 3 - g = 5, цифрами у пунктирных линий указаны значения максимальной контактной силы для линейно упругого буфера.
Из рис. 4.3 и 4.5 видно, что максимальная контактная сила уменьшается с уменьшением параметра вязкости буфера, при неограниченном увеличении тх кривая контактной силы стремится к кривой для линейно упругого буфера. При увеличении безразмерного параметра вязкости пластинки g контактная сила уменьшается, а при g — 0 контактная сила стремится к значению контактной силы в случае упругой пластинки, что показано на рис. 4.4.
Из формулы (4.18) и рис.4.3 - 4.5 следует, что в процессе ударного взаимодействия тела с вязкоупругой пластинкой посредством вязкоупругого буфера в начале ударного взаимодействия доминирует вязкость буфера, а вязкость пластинки включается в конце первой половины процесса взаимодействия.
Решение системы определяющих уравнений
Анализируя полученные для вязкоупругои изотропной плиты результаты, можно сделать следующие выводы: 1) При учёте вязкоупругих свойств материала плиты при сдвиговых деформациях контактная сила уменьшается. 2) Вязкоупругие свойства буфера доминируют в начале процесса ударного взаимодействия тела с вязкоупругои пластинкой, поскольку от них зависит коэффициент при Г и более высоких степенях t, а вязкость пластинки включается в конце первой половины процесса взаимодействия, т.к. она влияет только на коэффициент при і5. Поскольку время релаксации буфера и пластинки зависит от температуры, то ее изменение будет также сказываться на величине контактной силы. Учет вязкоупругих свойств пластинки и буфера позволяет точнее определить динамические характеристики. 101 3) Установлено, что при увеличении параметра вязкости пластинки g максимальные значения контактной силы уменьшаются для любых характеристик нелинейности К, т.е. жесткая характеристика нелинейности смягчается, а мягкая становится еще более мягкой и влияние нелинейности нивелируется. Нелинейные свойства буфера начинают оказывать влияние на контактную силу в конце первой трети процесса ударного воздействия.
В данной главе рассматривается удар твердого тела об упругую ортотропную пластинку посредством буфера (рис.3.1), принимается во внимание цилиндрическая анизотропия пластинки и осесимметричныи характер задачи. Динамическое поведение такой пластинки описывается уравнениями (2.52) - (2.56). Искомые функции, характеризующие процесс ударного взаимодействия, представляются в виде (2.25) и (2.26), а коэффициенты этих лучевых рядов определяются выражениями (2.59) - (2.75) с точностью до постоянных интегрирования, которые находятся из решения системы уравнений (3.2) при подстановке туда соотношения для контактной силы (1.24). В данной главе рассматривается только линейно упругий буфер.
Целью исследования является изучение влияния на динамический прогиб пластинки и контактную силу цилиндрической анизотропии и начальной скорости ударного взаимодействия, а также проверка условия жесткости пластинки.
Для решения системы (3.8) и нахождения искомой величины w(t) используем описанную в п.3.1. методику лучевого метода. С этой целью необходимо записать лучевые ряды (2.25), (2.26) для ортотропной упругой пластинки на границе области контакта, т.е. при г = г . Эти выражения и граничное условие примут вид (3.4) - (3.6) при замене скачков w\V, X\V на а№у Х (а =1,2) (М), 1,...4) и модуля ju на модуль сдвига Grz.
В качестве примера рассмотрим ударное взаимодействие твердого тела с ортотропнои пластинкой посредством линейно упругого буфера и исследуем зависимость прогиба и контактной силы от начальной скорости ударного воздействия и ортотропных свойств пластинки. ВыраженияПолагая EejEr=\, из выражений (5.7), (5.11) - (5.20) можно получить соотношения для упругой трансверсально-изотропной пластинки, в которых Grz - модуль сдвига в направлении, перпендикулярном плоскости изотропии, которая совпадает со срединной плоскостью пластинки. Если для всех направлений пластинки модули упругости одинаковы и при этом Grz = pi, т.е. модуль сдвига в направлении оси z равен модулю сдвига в любом другом направлении, то пластинка будет упругой изотропной, и соотношения (5.7) -(5.16), (5.18), (5.20) переходят в выражения (3.10) - (3.25), (3.32).
Используя соотношения (5.19) и (5.20) для безразмерных динамического прогиба и контактной силы, построим графики зависимости этих динамических характеристик от времени. (5.17) и (5.18) запишем в безразмерном виде
