Содержание к диссертации
Введение
1. Уравнение состояния твердого тела 32
1.1 Трехчленное уравнение состояния 33
1.2 Построение функции Грюнайзена 38
1.3 Определение нулевой изотермы 44
1.4 Область применения термодинамической модели 48
1.5 Результаты расчетов 50
1.6 Определение температуры Дебая 59
2. Уравнение состояния жидкости 72
2.1 Модификация уравнения состояния 73
2.2 Плавление при высоких давлениях, полученных в ударной волне 78
2.3 Результаты расчетов 86
3. Расчет смесей при ударном нагружении 93
3.1 Адиабата смеси 94
3.2 Аддитивное термодинамическое приближение 103
3.3 Плавление смеси 111
4. Модельные расчеты соударения сложных двумерных тело деформированную преграду 114
4.1 Постановка задачи 115
4.2 Расчетная схема 126
4.3 Построение сетки в многосвязной области 132
4.4 Тестирование разностной схемы 140
4.5 Примеры расчетов соударения сложных тел о преграду 145
Выводы по четвертой главе 153
Заключение 154
Литература 156
- Построение функции Грюнайзена
- Плавление при высоких давлениях, полученных в ударной волне
- Аддитивное термодинамическое приближение
- Построение сетки в многосвязной области
Введение к работе
SLQOfe'ft-
S&G'^L
Актуальность проблемы
Построение математической модели каждого физического процесса требует формулирования законов сохранения и учета в этих законах всех существенных свойств среды для данного процесса. Необходимость учета конкретных условий протекания процессов в механике сплошных сред порождает математические модели, состоящие из системы дифференциальных уравнений. Однако законы сохранения не исчерпывают уравнений модели, т.к. не дают замкнутых систем уравнений, требуя еще уравнения состояния, описывающие свойства материалов.
Современные широкодиапазонные уравнения состояния, построенные для описания поведения материалов в широком диапазоне параметров сжатия, содержат десятки свободных параметров и экспериментально найденных констант1. Последние определяются по данным ударно-волновых экспериментов, измерениям изэнтроп разгрузки пористых образцов и другой экспериментальной термодинамической информации в широкой области фазовой диаграммы. Поэтому при использовании подобных уравнений на практике необходим большой набор экспериментального материала, который, как правило, отсутствует для большого числа веществ.
Целью настоящей работы является
Построение простой, термодинамически обоснованной и в то же время точной модели малопараметрического уравнения состояния для расчета параметров за фронтом сильных ударных волн.
Создание программного инструментария для проведения численного моделирования удара деформируемых твердых тел, в частности столкновения ядерного космического реактора с поверхностью Земли.
Научная новизна:
Построено термодинамическое уравнение состояния твердой фазы в приближении Дебая с минимальным числом начальных параметров. Значения этих параметров доступны в справочной литературе.
Холодные давления и энергия получены из обобщенной формы функции Грю-найзена.
Проведена модификация уравнения состояния твердой фазы введением конфигурационной энтропии, что позволило описать жидкую среду такой же функциональной зависимостью, но со своими начальными параметрами.
В аддитивной модели смеси учтена "электронная" часть энергии, играющая заметную роль при больших степенях сжатия.
Практическая ценность
Предложена методика оценки начальной температуры Дебая, в случае её отсутствия в справочной литературе;
Построена зависимость температуры плавления от давления, которая разделяет твердую и жидкую фазы.
1 Бушман А В., Фортов В.Е. Модели уравнений состояния веществ //УФИ." 1903. Т.140. ЯіД."0. IWI
lerepejrpr V
1 і шиш
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ | БИБЛИОТЕКА С.Петербу; 09
Точность вычисленных параметров уравнения состояния сопоставима с точностью широкодиапазонных уравнений состояний и экспериментальными данными в исследуемой области сжатий.
Показано, что для смесей возможно расчетным путем довольно точно определить ход адиабат Гюгонио, исходя из ударной сжимаемости отдельных компонент.
Предложен сценарий плавления смеси за фронтом ударной волны.
Динамический метод построения треугольных сеток Делоне распространен на случай многосвязной области.
На основе аддитивной теории смеси построены упрощенные двумерные модели космического ядерного реактора.
Расчеты в модельной постановке позволили найти некоторые частные решения задач об ударе реакторного блока, важные для практики.
На защиту выносятся:
Термодинамическое уравнение состояния твердой фазы в приближении Дебая с минимальным числом параметров, в котором "холодные" давления и энергия получены из обобщенной формы функции Грюнайзена;
Модификация уравнения состояния твердой фазы путем введения конфигурационной энтропии для описания жидкой фазы той же функциональной зависимостью, но со своими начальными параметрами;
Модель смеси с учетом "электронной" составляющей энергии;
Упрощенные двумерные модели ядерного реактора, полученные на основе аддитивной теории смеси;
Результаты расчетов процесса деформирования и разрушения модели ядерного реактора.
Достоверность полученных результатов подтверждается:
корректностью математической постановки задачи;
соответствием расчетных данных экспериментальным, а также данным численных расчетов других авторов.
Апробация работы
Основные результаты диссертации представлялись на следующих конференциях: IX Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Ростов-на-Дону, 2001 г.), 17 Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, 2001 г.), I Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии" (Новосибирск, 2001 г.), XVI Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики" (Дюрсо, 2002 г.), II Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: Теория, эксперимент, новые технологии" (Новосибирск, 2002 г.),
XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics", (St. Petersburg, 2002 г.),
XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics" (St. Petersburg, 2003 г.), Между
народной конференции по физической мезомеханике, компьютерному конструированию
и разработке новых материалов, (Томск, 2004 г.), 12 International Conference on the Meth-
ods of Aerophysical Research (Novosibirsk, 2004 г.), Ill научно-координационное совещание-симпозиум "Проблемы физики ультракоротких процессов в сильнонеравновесных средах" (Новый Афон, 2005 г.), а также докладывались на семинарах ИТПМ СО РАН и Института теплофизики СО РАН.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах, приведенных в списке в конце автореферата.
Личный вклад автора
При выполнении работ по теме диссертации автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке уравнений состояний, комплекса программ и методик исследований, обработке и анализе результатов численного моделирования, подготовке статей и докладов на конференциях.
Структура и объем диссертации
Работа состоит из введения, обзора литературы, четырех глав, заключения и списка литературы из 180 наименований. Полный объем диссертации - 172 страницы, включая 39 рисунков и 3 таблицы.
Построение функции Грюнайзена
Построим модельное уравнение состояния для термодинамических функций кристаллической и жидкой фазы, основанное на зависимости коэффициента Грюнайзена T(V,T) от объема и температуры, полученной Молодцом A.M. в работах [131; 133 и др.]. Выражение для изотермического потенциала имеет вид явной аналитической функции от объема. Рассмотрим вывод этого потенциала. Полагаем, что к рассматриваемому материалу применимо уравнение состояния Ми-Грюнайзена (1.1) в форме, связывающей давление Р, удельную внутреннюю энергию Е и удельный объем V по формуле Считаем, что для материала с начальной температурой Т0, изменение объема VQ при изменении температуры до Т\ (Гі Г0) определяется как где /?- коэффициент объемного расширения. Предположим, что ударная адиабата задана линейным соотношением между скоростью ударной волны D и массовой скоростью U где с0 и Л - константы материала. Относительно последнего предположения можно заметить следующие: считается, что ударная адиабата конденсированных материалов вне области фазовых переходов и упругих эффектов в диапазоне давлений Юч-100 ГПа выражается линейным законом (1.11) [87; 89; 126]. Константы для большого числа материалов представлены в [46; 50; 90; 169]. Согласно [135; 138], рассмотрим связь между двумя ударными адиабатами материала при различных начальных температурах.
Пусть для начальных величин удельного объема V0 и температуры Т0 известна ударная адиабата Р", тогда ударная адиабата этого же материала с начальным удельным объемом Vj и начальной температурой Тх будет связана с адиабатой Р" следующей зависимостью [127] где 77, =1-V7V0, цг -1-V/Vl, Е и - значения внутренней энергии материала при начальных условиях (V0,T0) и (VJ,JT,) соответственно. Эта закономерность (1.12) при ударно-волновом сжатии монолитного материала при различных начальных температурах и условие Ренкина - Гю-гонио позволили Молодцу A.M. получить единую аналитическую формулу для коэффициента Грюнайзена, безотносительную к свойствам конкретного материала [132; 137; 139] где ys = /3KsV0/cv,Ks - адиабатический модуль объемного сжатия, cv - теплоемкость при постоянном объеме (в случае учета членов отвечающих за лектронное возбуждение в уравнении (1.7) теплоемкость при постоянном объеме с„ = cvj + cve складывается из решеточной и электронной теплоємкостей), Pt0 — тепловая часть давления при нормальных условиях. Необходимо заметить, что процедура вывода формулы (1.14) в [135; 138] "привязана" к начальному состоянию (V To), такому, при котором Р(Уа,То) = 0. В этом термодинамическом состоянии вычисляются все тепло-физические характеристики р(Уо,Т0), KS(VQ,T0), cv(V0,T0), PIJ0(yo,To) материала, которые и определяют параметр а в (1.15). При этом необходимо особо отметить, что вывод не ограничен предположениями о каком-либо типе конденсированной среды, а сама формула содержит лишь общие фундаментальные свойства материала. Используя известные термодинамические соотношения между адиабатическим Ks и изотермическим Kt модулями сжатия и термодинамическое определение коэффициента Грюнайзена ут = /3KtV0/cp в точке (VQ,7O), преобразуем последний член в выражении для а (1.15) к виду где с — теплоемкость при постоянном давлении, Е10 — тепловая часть внутренней энергии в точке (VO,TQ). Используя определение коэффициента Грюнайзена в приближении Де-d\n0 бая у = и соотношение (1.14) найдем зависимость характеристи sd\nV ческой температуры Дебая от объема V где в0 = в(У0) - значение температуры Дебая при нормальных условиях. Если асимптотические значения коэффициента Грюнайзена известны давно [89; 93], то поиск зависимости коэффициента
Грюнайзена (У)от объема продолжается и сегодня. Согласно Слэтеру [38] и Ландау [124], все частоты изменяются пропорционально скорости звука Сх =V(-dPx/dV)V2 и обратно пропорционально межатомному расстоянию r V m. В этих предположениях средняя частота для "классического" ансамбля осцилляторов По модели Дугдейла и Макдональда средняя частота, согласно [9], вычисляется следующим образом (1.19) Модель Зубарева и Ващенко [94], для частиц колеблющихся в сферически симметричном поле своих соседей, дает среднюю частоту Сравнение расчетных зависимостей y(V), полученных разными способами (1.18-1.20), с экспериментальными данными показывает, что ни одна из квазигармонических моделей не дает адекватного описания динамического сжатия [67]. Поэтому, для получения наиболее общих выражений для потенциальной энергии на нулевой изотерме, все различные предположения могут быть представлены в виде единой формулой для средней частоты Тогда в уравнении (1.22) значение при t-О отвечает теории Ландау-Слэтера, t-1 — Дуглейла-Макдональда, t=2 соответствует теории свободного объема. Следует отметить, что величина и знак параметра t определяется характером зависимости коэффициента Пуассона. Нулевое значение параметра t соответствует постоянству коэффициента Пуассона, то есть формуле Слэте-ра (1.18), положительное значение t соответствует увеличению коэффициента Пуассона с давлением, т.е. формулам Дуглейла - Макдональда (1.19) и Зубарева - Ващенко (1.20), и, наконец, отрицательное значение t соответствует отрицательной производной коэффициента Пуассона (1.22). В случае нормальных условий при V=VQ, имеем следующую связь на значение коэффициента Грюнайзена В общем случае предполагается, что оптимальное значение t может иметь нецелочисленное значение. Так, экспериментально зафиксированную при высоких давлениях кривую плавления магния удалось описать при t=0.55 [67]. Предлагается рассматривать параметр t как характеристику конкретного материала и выбирать его так, чтобы, используя обобщенный коэф фициент Грюнайзена (1.22), наилучшим образом описать ударно-волновые экспериментальные данные. При этом необходимо понимать, что процедура достижения согласованности с экспериментом за счет нецелочисленного или отрицательного значения t в (1.22) не имеет физического смысла. Однако, если использовать известный экспериментальный факт линейной связи между волновой и массовой скоростью (1.11), который приводит к уравнению ударной адиабаты, имеющей вид
Плавление при высоких давлениях, полученных в ударной волне
При исследовании конкретных моделей термодинамического состояния ясно, что обычная классификация состояний в области высоких давлений и температур зачастую теряет свою определенность и является условной, а границы между фазами либо исчезают вовсе, либо становятся нечеткими и соответствуют, по существу, непрерывной взаимной трансформации близких состояний. В данном разделе рассмотрено соотношение между различными фазами вещества (твердой и жидкой), что поможет более определенно представить вид фазовой диаграммы с учетом реальных и гипотетических фазовых переходов. Переход из исходной фазы, термодинамически устойчивой при Р=0 и Т-0, в фазу высокого давления или фазу высокой температуры сопровождается, соответственно, увеличением плотности или энтропии. В ударной волне происходит как сжатие, так и нагрев вещества. Однако в сравнительно слабых ударных волнах, распространяющихся по холодному веществу, давление повышается в основном за счет сжатия. При этом в относительных единицах давление возрастает гораздо сильнее температуры, а энергия "холодного" сжатия увеличивается значительно больше, чем прирост тепловой энергии. С увеличением интенсивности ударной волны относительный вклад тепловых составляющих давления и энергии возрастает, и в очень сильных ударных волнах становится основным.
Большая часть полиморфных превращений соответствует в указанном смысле сравнительно слабым ударным волнам, в которых выполняются условия термодинамической устойчивости фазы высокого давления [163]. Наиболее универсальным и хорошо изученным фазовым превращением является фазовый переход первого рода - плавление. Фазовым переходом первого рода называется равновесный переход вещества из одной фазы в другую, в котором скачкообразно изменяются первые производные от энергии Гиббса G по температуре и давлению. Т.е. при плавлении скачкообразно изменяются такие свойства системы, как энтропия S и удельный объем V [157] Ударные адиабаты вещества при высоких давлениях проходят через области жидких фаз. Поэтому представляет определенный интерес оценка влияния плавления на ход адиабаты. По мере увеличения давления ударной волны тепловая энергия, сообщаемая веществу, непрерывно растет, и, начиная с некоторых давлений, должен начаться переход первоначально твердого вещества в жидкое состояние. Дальнейший ход зависимости Т(Р) вдоль динамической адиабаты можно уяснить, проведя аналогию с плавлением при атмосферном давлении, когда увеличение энергии, сообщаемой веществу, начавшему плавиться, не приводит к повышению температуры, пока оно полностью не расплавится. Дальнейшее нагревание снова сопровождается увеличением температуры. Подобная же картина должна иметь место и при ударном сжатии, с тем различием, что в области существования двух фаз (участок кривой плавления между ударными адиабатами твердого и жидкого вещества, участок 2—3, рис. 2.1) следует ожидать некоторого роста температуры, поскольку для кривой плавления большинства веществ, так называемых "нормальных", dT /dP 0. Затрата энергии на плавление приводит к резким изломам ударной адиабаты в Т - Р плоскости, и неучет плавления, при ударном сжатии веще ства, приводит к погрешностям при определении температур (точки 3—4, рис. 2.1). Урлиным [166] теоретически было показано, что плавление мало сказывается как на кинематических параметрах ударной волны, так и на форме динамической адиабаты в координатах Р - V.
Именно этим можно объяснить высокую точность вычисления ударных адиабат, несмотря на отсутствие учета эффекта плавления в предыдущей главе. Существует несколько способов описания кривых плавления. Для конкретного описания кривой плавления Тт{Р) широкое распространение полу чила гипотеза Линдермана, согласно которой плавление происходит в том случае, когда амплитуда колебаний достигает половины межатомного расстояния в кристалле. Из известного выражения, связывающего полную энергию гармонического осциллятора с амплитудой колебаний, отождествляя частоту осциллятора с частотой Дебая, можно получить соотношение, которое называют уравнением Линдермана-Гильвари где т — молекулярный вес, Vm — молекулярный объем, 9— температура Дебая, Тт — температура плавления, С/ — постоянная Линдермана, пропорциональная амплитуде колебаний. Это соотношение является строгим следствием автомодельности статистической суммы для потенциала 1 / г" и соответствует постоянству отношения потенциальной и кинетической энергий на кривой плавления. Несмотря на значительную популярность критерия (2.6) в задачах плавления, этот критерий носит лишь качественный характер [155; 156]. Динамические данные из [67; 105; 106] свидетельствуют о значительных погрешностях критерия Линдермана (2.6), которые приводят к слишком малым значениям производной dTm/dP при давлениях близких к нулю Р»0, и чрезмерно большим значениям производной при высоких давлениях. Другой, полуэмпирический, способ описания кривой плавления предложен Кеннеди [22; 23], согласно которому температура на кривой плавления определяется где Гт - температура плавления при атмосферном давлении, С — константа AV 8и-\ вещества, = —-—, дв — степень сжатия вещества вдоль изотермы Брид ко SB жмена при давлении, отвечающем температуре Тт. Эта зависимость (2.7) неудовлетворительно описывает многие эксперименты
Аддитивное термодинамическое приближение
Ударные волны в твердых телах можно анализировать методами гидродинамики и термодинамики. Экспериментальные исследования подтвердили справедливость уравнение состояния на основе линейного закона (1.11) для умеренных скоростей в случае распространения ударных волн в твердых телах без фазовых переходов. Однако оно не дает дополнительной информации о термических свойствах материала. Стоит повторить, что ударное нагревание оказывает значительное влияние на ударное сжатие твердых тел. Эти эффекты могут быть учтены при помощи термодинамического анализа. При использовании подходящей функции для энергии теории твердых тел вполне достаточно, чтобы дать полное термодинамическое описание поведения и свойств материала при высоких давлениях. Такой анализ является дополнением к аддитивному подходу, описанному в предыдущем разделе. В настоящей работе рассматривается в первую очередь термодинамика ударного сжатия. Для идеальной смеси уравнение состояния вдоль изотермы Px(V), измеренное при высоких давлениях статическими методами, должно быть точно таким же, какое дает суммирование объемов, занимаемыми разными компонентами при том же давлении. Для точек на кривой Гюгонио, с другой стороны, это простое смешение несколько усложняется неодинаковым нагреванием компонентов при повышении давления под действием ударной волны. Однако этот эффект мал [126], если только смешанные вещества термодинамически не сильно разнятся между собой, по сравнению с энергией, запасаемой каждым из компонентов при сжатии под действием ударной волны. Изменение давления вследствие перераспределения энергии из-за такой разницы температур меньше, чем неопределенность в изменении давления, связанная с недостаточными знаниями в поведении ко эффициента
Грюнайзена при высоких давлениях. С учетом этого обстоятельства расчет параметров среды за фронтом ударной волны смеси материалов проводился упрощенным способом. Изначально определим, что будем рассматривать только такие смеси, для отдельных компонентов которых уравнение состояния известно. Результаты динамических экспериментов устанавливают зависимость удельного объема смеси от давления и для каждого состояния Р - Vmix определяют удельную энергию ударного сжатия, согласно (1.13) Уравнение (3.18) может быть представлено и в форме [43] здесь ЕІ — удельная энергия сжатия /-ой компоненты, приобретенная при сжатии смеси, Voi - начальный удельный объем /-ой компоненты, V,- — текущее состояние на ударной адиабате /-ой компоненты. Условие аддитивности требует дополнительно к уравнению (3.19) соблюдение почленных равенств для уравнения (3.18), совпадающих с адиабатой Гюгонио отдельных компонент При этом, как следует из выражений (3.19, 3.20), справедливость одного из системы уравнений (3.20) одновременно свидетельствует о выполнении при сжатии смеси уравнения Гюгонио и для другого компонента. Уравнения состояния для смеси материалов записывали в форме (1.6) В предположении термодинамического равновесия за фронтом ударной волны из адиабат смесей рассчитывались Р—Т диаграммы. Используя аддитивность энергии, можно вычислить значение внутренней энергии сме л си на нулевой изотерме Exmjx = \аДх1. По аналогии, можно вычислить теп л л ловые части смеси материалов Ellmix = \а(Е1М и Elemix = Ya.Elte.. Для уравнений, описывающих увеличение энергии с давлением при постоянном объеме, необходимо знать коэффициент Грюнайзена смеси или, что равноценно, параметр Необходимо также знать удельную дЕ\ _V_ теплоемкость смеси при постоянном объеме и коэффициент электронной теплоемкости смеси, чтобы привязать адиабату
Гюгонио смеси к какой либо температуре. В нашем случае, согласно [126], предполагали постоянство производной \ . Неизвестные параметры смеси находят по следующим уравнениям [125; 126] коэффициент Грюнайзена смеси материалов удельная теплоемкость смеси при постоянном объеме, используя (3.29) и определение Eti, На основании аддитивного подхода был создан программный продукт для расчета термодинамических величин смесей. В качестве примера рассмотрим высокоскоростное взаимодействие А1 пластины, налетающей со скоростью 2 км/с на неподвижную пластину из смеси Al-Ni. На рис. 3.4 по казана зависимость температуры смеси за фронтом ударной волны от массового содержания А1 в механической смеси Al-Ni. Видно, как температура за фронтом плавно меняется от температуры однородного никеля Ni до температуры однородного алюминия А1.
Построение сетки в многосвязной области
Для использования численных методов типа конечных разностей, конечных и граничных элементов требуется дискретизация счетных областей, поэтому первым этапом разработки программного обеспечения посвящены преобразованию континуальных моделей в дискретную форму, т.е. в набор ячеек, который должен удовлетворить ряду геометрических и топологических условий, продиктованных методом. Операция преобразования континуальной модели, особенно в правильный набор ячеек, достаточно сложна и трудоемка. Полностью автоматизированная схема генерации сеток желательна, но до сих пор не разрешена. Обзор методов генерации сеток представлен в работах [18; 35; 39]. Так, в работе [18] приведена систематическая классификация, основанная на порядке, в котором узлы и элементы создаются. Основная проблема заключается в том, как разбить процесс на несколько стадий, причем этот вопрос не прост, потому что предложено много методов, однако чисто автоматического решения задачи декомпозиции областей до сих пор не получено. Этапы, реализованные в существующих кодах, включают: а) размещение основных узлов, их порядок и связи; б) декомпозиция области на крупные блоки; в) установление связей между блоками; г) декомпозиция блоков области до уровня элементов. Размещение основных узлов и установление связи между ними для простых областей можно считать законченным процессом, при этом генерация сетки будет состоять из двух этапов. Алгоритмы этого типа стали попу лярным из-за их концептуальной простоты и доступности работоспособных кодов, выполняющих триангуляцию Делоне.
Эффективные алгоритмы для триангуляции Делоне изложены в работах [10; 152]. Пусть набор точек p., i i N в двумерном пространстве удовлетворяет условиям: где обозначает Евклидово расстояние. Тогда набор V. определяет множество многоугольников Вороного в двумерном пространстве. Связывая центры соседних многоугольников Вороного, получим треугольник. Набор таких треугольников называется триангуляцией Делоне. Другой критерий триангуляции Делоне - описанный круг возле треугольника не содержит никакие другие центры внутри. При триангуляции Делоне треугольные ячейки имеют почти правильную форму, насколько это возможно для заданного множества узлов. Следует отметить одну проблему, которая состоит в том, что объединение Делоне треугольников является подмножеством области, а некоторые посторонние треугольники должны быть удалены. Необходимо гарантировать, что пары смежных узлов на границах связаны. Триангуляцию с такими связями иногда называют "ограниченной" Делоне триангуляцией [152]. В работе [8] показано, что "плохие" треугольники (сильно вытянутые) значительно увеличивают погрешность анализа и замедляют сходимость решения. Однако такие ситуации возникают либо из-за геометрической формы области, либо "упущений" при программной реализации алгоритмов. Поэтому нам мало провести триангуляцию счетной области, необходимо также добиться, чтоб элементы сетки имели форму, близкую к правильным треугольникам. Одним из таких методов является динамический подход, который позволяет реализовать триангуляцию как последовательность двух шагов: 1) распределение частиц по области, и 2) установление связей центров сети Вороного - преобразование в триангуляцию Делоне. Существенное влияние на продолжительность расчета и степень "правильности" треугольников имеет "хорошее" начальное распределение частиц [36]. Поэтому первичной задачей при построении сетки стало создание "хорошего" начального распределения частиц. Близость частиц — основа для выбора сил межчастичного взаимодействия.
Поэтому вид силы выбран так, чтобы система частиц в равновесии обеспечивала плотную упаковку, или касание сфер влияния друг друга. На рис. 4.6а показаны элементы ячейки, сгенерированные через центры смежных частиц, например, двумерный элемент ячейки (то есть треугольник). Размер элемента ячейки определяется расстоянием между двумя центрами. В идеально касательной конфигурации (рис. 4.66) эта длина равна расстоянию между центрами двух смежных частиц. Возможность построения адаптивной сетки закладывается управлением расстояния по области. Выбор формы силы межчастичного взаимодействия /(г) во многом подобно силе Ван-Дер-Ваальса (рис. 4.66). Сила отталкивания применяется, когда две частицы находятся ближе, чем равновесное расстояние. Тогда математическое выражение имеет вид Заметим, что при таком виде межчастичной силы (4.43) все "плохие" элементы физически неустойчивы, и потому шанс создания таких "плохих" элементов значительно снижен. Управляющее уравнение движения /-той частицы можно записать следующим образом где т— обозначает массу частицы, К. - коэффициент демпфирования, и х. - положение /-той частицы в счетной области.
