Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Уравнения движения однонаправленного композита 12
1.1 Вывод уравнений движения с помощью правдоподобных допущений... 12
1.2 Фомальныи вывод уравнений исходя из точных уравнений теории упругости 20
Глава 2. Обзор литературы. 45
Глава 3. Статические напряжения в случае изолированных дефектов 52
3.1 Общее решение 52
3.2 Граничная задача. 63
3.3 Частные случаи 72
3.4 Более общая задача 79
3.5 Дальнейшие примеры. 81
3.6 Разброс прочности композита 92
Глава 4. Статические задачи о трещинах нормального разрыва 97
4. Г Трещина нормального разрыва в однородном поле 98
4.2 Системы трещин. 126
4.3: Трещина, симметрично нагруженная на берегах 133
Глава 5. Взаимодействие трещин нормального разрыва и сдвига . 141
5.1 Формулировка краевой задачи 141
5.2 Упрощение задачи в случае малой длины трещины отслоения 147"
5.3 Решение упрощенной краевой задач 152
5.4 Анализ случая п = 0. 158
Глава 6. Динамические задачи 165
6.1 Плоская волна в полупространстве 165
6.2 Нагружение цилиндрической оболочки с ребрами жесткости 172
6.3 Внезапное образование трещины 185
6.4 Стационарное движение полубесконечной трещины 195
Основные результаты исследований 210
Список литературы
- Фомальныи вывод уравнений исходя из точных уравнений теории упругости
- Частные случаи
- Трещина, симметрично нагруженная на берегах
- Упрощение задачи в случае малой длины трещины отслоения
Введение к работе
Механика композитов получила в настоящее время большое развитие в связи со все более широким их применением в качестве конструкционных материалов. Любой композит представляет собой неоднородное тело, причем размеры, форма, взаимное расположение армирующих включений могут сильно? колебаться в пределах одного образца, реологические свойства компонент обычно также весьма сложны. Поэтому исторически первым и весьма? распространенным- до настоящего; времени подходом; к построению механических моделей композитов явилось, сведение их к однородному,, вообще говоря анизотропному телу с некоторыми эффективными характеристиками, например упругими, модулями. Вычислению последних: посвящена обширная литература (см., например, монографии[ 11,18,23 65] и обзорные статьи [3,63]). Такой подход дает возможность достаточно точно описывать "макромеханику" композитов, то есть находить поля напряжений и деформаций, усредненных по достаточно большому числу структурных элементов. Этой информации, однако, часто оказывается недостаточно; Например, в задачах динамики теория эффективных модулей не описывает дисперсию упругих волн, их взаимодействие с границами раздела компонент. В і связи с этим были разработаны различные усовершенствованные модели в той или иной мере учитывающие структуру композитов, например модель Болотина (сформулирована в [4-7], обзор; работ см. также в [8]), теория? эффективных жестокостей (см; [2,37]) и другие. Разработаны континуальные модели, позволяющие по напряженному состоянию t композита восстановить напряжения в. каждой из компонент (например, модель Болотина после "размазывания», модель Немировского [38,39]).
Существует, однако, класс задач, для«решения которых необходимо как можно точнее знать о поведении материала в областях, сравнимых с характерным размером структурной неоднородности. К таким задачам? относится, в частности; задача: о разрушении.. Даже при ее решении применительно к однородному телу приходится учитывать атомную структуру последнего, вследствие чего в классическую теорию разрушения; Гриффиттса входит константа материала (плотность поверхностной энергии), связанная с межатомным? взаимодействием [56]. Тем? более необходимо явно учитывать, структуру при і изучении разрушения; композита. Поскольку, однако, точно учесть; ее по-видимому невозможно, приходится пользоваться некоторыми» упрощенными моделями кусочно-однородного тела..
Настоящая диссертациям посвящена: деформированию- и разрушению однонаправленного композита, состоящего из относительно жестких параллельных волокон; пространство? между которыми заполнено? существенно более податливым связующим. При работе такого материала волокна располагаются? вдоль линии действия; внешних растягивающих нагрузок, а связующее способствует более равномерному распределению напряжений-: между волокнами. Кроме современных конструкционных материалов можно привести в качестве примеров резинотросовую ленту транспортера (см., например ,[82,83]), покрышку автомобильной синьг или ледовый; покров реки, армированный стальными канатами. Выбор математической» модели композита, используемой в данной работе, определялся тем, чтобы она была: достаточно простой для исследования; и в то же время давала возможность выявить в чистом виде основные качественные особенности изучаемых явлений: Поэтому в дальнейшем предполагается; что армирующие волокна работают лишь на растяжение — сжатие как одномерные стержни, а связующее - только г на сдвиг на площадках, параллельных волокнам.. Этот весьма распространенный подход был впервые по-видимому предложен Аутвотером для упрощения; вычислениям статических эффективных модулей) и впоследствии обобщался рядом авторов (обзор литературы содержится в главе 2). В действительности, конечно, напряженное состояние композита является более сложным. В частности, волокна могут не только растягиваться, но и изгибаться, а связующее несет часть, нормальной нагрузки. Тем не менее, указанная идеализация оправдана, так как модули Юнга волокон и связующего отличаются на один -два порядка, а продольные деформации примерно одинаковы. Главное же, принятая гипотеза упрощает математическое исследование и дает, как показано ниже, возможность решать достаточно сложные задачи как в статике, так и в динамике.
Мало этого, исследование, проведенное в [48] (см. п. 1.2 настоящей диссертации) показывает, что такой подход есть не что иное, как длинноволновое приближение для точного двумерного динамического решения- теории упругости для • слоистого тела (подобно; балочному приближению ДЛЯ і полосы со свободными поверхностями). В этом приближении исчезает взаимодействие между горизонтальными и вертикальными смещениями, и связанная? система? теории упругости распадается на две независимые. Одна из этих систем как раз и соответствует описанному выше подходу. Система, соответствующая; движению поперек направления;. армирования описывает изгиб волокон, для которых связующее является упругим основанием и сжатие связующего в направлении, перпендикулярном волокну. Таким образом, не учет изгиба волокон связан просто с тем,. что в задачах, рассмотренных далее, внешние нагрузки в направлении, перпендикулярном волокнам, отсутствуют. В следующем приближении (в смысле, описанном в 1.2) такой учет становится необходимым.
В; настоящей диссертации исследование проведено в рамках упругого поведения материала. Ясно, что вне сферы нашего внимания остались важные классы. задач, но, к сожалению, достичь существенных успехов на пути их аналитического решения пока не удалось. Полученные результаты, могут играть роль первого приближения в этом; направлении и служить верхними оценками концентраций напряжений вблизи дефектов. Диссертация состоит из шести глав. Первая глава описывает математическую модель, принятую для описания распределения напряжений в составном упругом теле с внутренними дефектами типа разрывов волокон и трещин сдвига, развивающихся по связующему между волокнами. Полное исследование такой задачи в строгой постановке теории упругости слишком сложно как с точки зрения получения решения, так и с точки зрения последующего анализа этого "исчерпывающего" решения; Поэтому проводится упрощение точных упругих уравнений, позволяющее получить ряд аналитических решений, качественно верно передающих эффекты концентрации напряжений;
Во второй главе содержится обзор работ, в которых используется примерно такой же подход к изучению прочности: композитных материалов — использование представлений о композите как о среде; имеющей структуру с явным заданием прочности каждого компонента. При этом оказывается как правило невозможно использовать классическую теорию разрушения Гриффитса-Ирвина-Орована. Если при достаточно мелкой структуре рассматривать композитный материал либо как дискретный, либо как сплошной, то ответы на вопрос, разрушится он • или нет, оказываются не только различными (что естественно), но даже не сравнимыми. Это отмечено в обзоре [ 107], как неразрешимое противоречие. В четвертой и шестой главе диссертации это противоречие будет снято и два подхода к разрушению будут примирены.
В третьей главе приводятся решения задач о напряжениях вокруг одного разрыва волокна в композитном образце из конечного числа волокон, в полу бесконечном и бесконечном композитах, а также вокруг систем разрывов, образующих периодические структуры.. Это периодические ряды разрывов? в направлениях перпендикулярном волокнам и вдоль одного волокна, а также двумерные сетки дефектов. Анализ всевозможных конфигураций дефектов позволил теоретически рассчитать разброс прочности композита и построить соответствующие гистограммы. Четвертая глава посвящена противоположному случаю - дефекты сгруппированы плотно, так, что образуют трещины нормального разрыва. Приведены в явном аналитическом виде решения об одной трещине в однородном растягивающем поле, о трещине с: симметричными нагрузками на ее берегах, о свободной полу бесконечной? трещине, о нескольких трещинах; лежащих на прямой, перпендикулярном направлению армирования. В последнем случае: удалось свести задачу к системе стольких линейных уравнений; сколько имеется трещин. После этого предыдущие случаи (одиночные трещины) представляются тривиальными, а случай распадения трещины, на отдельные изолированные разрывы — наиболее трудным. Проведен предельный переход к сплошной среде с трещиной и путем сравнения формул для? критериев разрушения; при; дискретном5 и континуальном подходе удалось» выразить, прочностные свойства композита как сплошной среды (поверхностная энергия; критический? коэффициент интенсивности напряжений) через микроструктурные свойства компонентов (прочность компонентов, размеры структурных компонентов).
В пятой главе разбирается взаимодействие трещины нормального разрыва с трещиной расслоения, возникающей в кончике. Оказывается, что трещина расслоения с ростом внешней нагрузки устойчиво растет в некотором диапазоне роста нагрузки, а напряжение в первом целом волокне падает.. Поскольку исследование проводилось методом малого параметра (его роль играет длина І трещины расслоения), строго утверждать, что либо о дальнейшем поведении трещины невозможно. Численные эксперименты показывают, что при; достижении некоторой нагрузки трещина расслоения уходит на бесконечность.
В шестой главе решаются динамические задачи. Учет инерции связующего сразу обнаруживает качественное отличие среды со структурой от однородной среды. Плоскаяі волна, распространяющаяся! вдоль направления армирования в однородной среде (или в дискретной среде с безынерционным І связующим) не приводит к появлению касательных напряжений на «главных площадках, параллельных волокнам. Однако в композите с инерционным связующим такие напряжения появляются и могут объяснить склонность композитов к расслоению при ударных нагрузках: В качестве примеров рассмотрены задачи о внезапном нагружении волокон на границе полуплоскости из композита нагрузкой типа Хевисайдовской по времени. Приведены решения для случаев, когда нагружается каждое волокно (аналог плоской волны) и каждое шестое волокно (аналог цилиндрической оболочки с ребрами жесткости): Решение получено ; в виде последовательности рекуррентно вычисляемых излученных и отраженных волн. Другой тип задач - смешанные задачи о внезапном разрыве нескольких волокон в равномерно растянутой плоскости, -позволяет вычислять динамическую перегрузку в целых волокнах, соседних с трещиной.
Последняя шестая; глава посвящена стационарному движению полу бесконечной свободной трещины нормального разрыва. Получена зависимость эффективной поверхностной энергии от скорости движения. При малых скоростях эта величина убывает, а затем растет. В частности, при некоторой і скорости, играющей для композита роль релевской, эффективная поверхностная; энергия обращается в бесконечность. Этим определяется максимально возможная скорость стационарного движения трещины в композите.
Изложенные в диссертации исследования выполнялись на протяжении: 1973-2003 годов и опубликованы в следующих работах:
1. Михайлов A.M. О разрушении однонаправленного стеклопластика // Изв. АН СССР; Механика тверд, тела.1973; №5: С.131-139.
2. Михайлов A.M. Динамика однонаправленного стеклопластика // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1974. №4. С.139-145.
3. Михайлов A.M. Динамическая концентрация. напряжений около дефекта в стеклопластике // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР. 1974: Вып. 19-20. С.66-73.
4. Михайлов A.M. Трещина сдвига в однонаправленном стеклопластике // Изв. АН СССР; Механика тверд, тела. 1975. №1. С. 101-110. 5. Михайлов. А.М. Неосесимметричное динамическое нагружение оболочки с ребрами жесткости // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела.. 1979. №1. G.163-170.
6. Ермак А.А., Михайлов A.M. Динамическая концентрация напряжений в стеклопластике // Журн. .прикл. мех. и техн. физики. 1978; №6. С. 121-129.
7. Ермак А.А., Михайлов А.М; Теоретическое вычисление разброса прочности стеклопластика // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1980. №6. С.104-110.
8. Михайлов A.M., Слепян Л.И; Стационарное движение полубесконечной трещины в композите // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1986. №2. С.180-187.
9. Михайлов A.ML // Динамические задачи о разрушении композита. // Динамика неоднородных сред и взаимодействие волн с элементами конструкций. Новосибирск: ИРД СОАН СССР. 1987.С.41-45.
10. Ланкина Е.А., Михайлов A.M. Вычисление разброса прочности в трехмерном композите // Динамика сплошной среды: Деформирование и разрушение современных материалов, и конструкций. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР.. 1991. вып. 103. С.83-87.
11. Ланкина Е.А., Михайлов А;М. Фундаментальные решения теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1992. №3; С.120-127. ,
12. Михайлов А.М; Длинноволновое приближение в теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн..физики. 1993. №6. С.116-125.
13; Михайлов і A.M. Концентрация, напряжений» в дефектном композите // Сб.трудов Всероссийской школы-семинара, по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск. 18-21 октября 2003 г. С.157-161.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упругопластических волн, Фрунзе, сентябрь 1975 г.; II Всесоюзной конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела», Днепропетровск, сентябрь 1981 г:
VII I Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упругопластических волн, Новосибирск, апрель 1986 г;
Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела, Новосибирск, октябрь 2003 г.
Фомальныи вывод уравнений исходя из точных уравнений теории упругости
Xj,Yj - компоненты объемных [сил, действующих на у-е волокно; как обычно принято в стержневой теории,.считаем, что они постоянны в пределах поперечного сечения, но могут меняться со временем и при переходе от одного сечения к другому, то есть являются функциями от y,t. \Рхх \у»Iаху скачки нормальных и касательных напряжений при переходе через j-e волокно. Кроме уравнений движения необходимо учесть сцепление связующего и волокон uJ(y,t)=u{xJ,y,t\ Vj(y,t) = v(xj,y,t) (1.1.3) (xj - координаты волокон)
Чтобы получить решение некоторой конкретной задачи, нужно задать нагрузку X.pYj на волокна, начальные условия и,.если композит ограничен или имеет внутри дефекты типа расслоений и разрывов, поставить должным образом краевые условия.
Получить решения уравнений (1.1.1) - (1.1.3) с добавочными условиями довольно сложно; сложно и проанализировать полученное решение, так как упругие волны при взаимодействии с огромным числом волокон, которые сами обладают упругими свойствами, порождают крайне запутанную картину. Мелкомасштабные подробности этой картины по видимому не влияют на качественные свойства композита (например, волноводные или прочностные) в подавляющем большинстве случаев. Ситуация сходна с кинетической теорией газов, где знание индивидуального поведения каждой частицы во первых практически недостижимо, а во вторых бесполезно. Поэтому упростим задач, используя следующее обстоятельство, практически всегда имеющее место в композитных материалах: армирующие волокна являются гораздо более жесткими, чем связующее.
Допустим, что волокна являются бесконечно жесткими. Это значит, что движение каждого волокна будет складываться из поступательного и вращательного движения. Допустим еще, что вследствие характера приложенной нагрузки вращательная компонента отсутствует (например, Xj не зависит от у);. Тогда для каждой полосы связующего получим краевую задачу с условиями, не зависящими от у. Если начальное состояние не зависит от у, то таким же будет и дальнейшее движение. Поэтому вместо (1.1.2) будем после вычеркивания производных по у иметь соотношения
Соотношения (1.1.4) точно выполняются и тогда, когда жесткость волокон произвольна, а внешняя нагрузка Xj,Y) не зависит от у. Поэтому представляется правдоподобным, что если волокна являются достаточно жесткими по сравнению со связующим и внешние нагрузки не. слишком быстро меняются по у (вдоль волокна), то соотношения (1.1.4) достаточно хорошо описывают поведение связующего.
Отсутствие производных по у в уравнениях (1.1.4) не означает независимости искомых функций от у. Эта зависимость проникает в решение через краевые условия в точках скрепления волокна и связующего. Важно только, чтобы изменение функций u,v вдоль у было не слишком быстрым; тогда можно надеяться, что решения уравнений (1.1.2) и уравнений (1.1.4) будут достаточно близки.
Приведем другие соображения механического характера, оправдывающие замену (1.1.2) на (Г. 1.4). Поскольку упрощения используют характер упругого взаимодействия связующего и волокна, они не могут быть получены из отдельного рассморения уравнений (1.1.2) движения связующего. Вырежем мысленно элемент композита, содержащий и связующее и волокна (прямоугольник на рис.1).. Проанализируем баланс сил на гранях этого элемента. Напряжение, действующее на сторонах элемента, определяется деформациями и упругими модулями компонент. Вследствие жесткого сцепления связующего и волокна все перемещения примерно одинаково изменяются і по у как; в волокне, так ив связующем. В уравнении движения элемента при производных по у этих смещений стоят упругие: модули волокна или связующего. Первые во много раз меньше вторых.. Полное усилие на горизонтальных площадках получается сложением? усилий в»волокнах и усилий; в связующем; так как волокна и связующее "включены параллельно". Если? размер связующего Н не слишком велик по сравнению с размером волокна h, то можно пренебречь разностью усилий на горизонтальных площадках связующего на верхней и нижней границе выделенного прямоугольника по сравнению с аналогичной разностью для волокон. Формально это выражается в том, что мы -, считаем все; величины; в связующем пренебрежимо малыми по сравнению с Е— в волокне.
Достаточным условием такой возможности: является соотношение juH/Eh «1 .Таким образом, вектор усилий на горизонтальных площадках мы считаем целиком сосредоточенным в волокнах (нормальное усилие и перерезывающая сила).
Частные случаи
Поскольку литература по прочности композитові практически, необозрима, ниже перечисляются лишь работы, близко примыкающие к проблеме: вычисления прочности составного тела по свойствам его компонент и:развивающие эту проблему примерно в духе работ Хеджпета и Ван-Дайка. Более богатое представление об этой области механики: можно получить. из і монографии [69].
Впервые: гипотезы Аутвотера при решении конкретной і задачи использовал Хеджпет.Он использовал уравнения (Т. 1.7) относительно перемещений! Vj .(; массовые силы Y} при этом, считались равными нулю). С помощью гипотезы; Аутвотера скачок касательных напряжений в «правой части выражался; через вторую симметрическую разность от смещений; волокон. Выписав уравнениям (1.1.7)«и подвергнувших дискретному преобразованию Фурье по номеру волокна; он нашел упругое поле вокруг разрыва волокна в бесконечном! образце и вычислил: концентрацию» нормального напряжения! на продолжении трещины. В [95] приведено также значение этой концентрации для;и порванных волокон, полученное догадкойїиз наблюдений над случаями п = 1,3,5. В І [107] приведены результаты экспериментальной; проверки решения Хеджпета, опубликованные в [106]. Изучались дакроновые волокна, погруженные в полиуретановую матрицу. При неплохом общем соответствии экспериментально найденная \ концентрация для больших длин трещин оказалась несколько ниже, чем предсказывала теория. Это; расхождение; отнесено автором [107] за счет влияния конечности испытываемого образца.
Упругое поле г вокруг разрывов і волокон в;, образце: конечной и; бесконечной длины изучалось также Фихтером [92-93 ] і
Наиболее: полное исследование системы (Г.Г.7) пришроизвольном количестве волокон в образце проведено в [42]І Там выведены формулы общего решения,, получена система уравнений для; определения; неизвестных констант, которая решена для нескольких интересных вариантов расположения; 46» дефектов, в частности для трещины произвольной длины в бесконечном образце. При этом доказана и угаданная в [107] формула для концентрации; нормального напряжения в первом волокне на продолжении трещины. Метод доказательства обобщен в четвертой главе настоящей работы на системы с более общей матрицей; На основании полученных результатов дана. оценка типа; дальнейшего разрушения композита (разрыв волокон или расслоение связующего) в зависимости от длины трещины -І и параметров компонент. Совершен также предельный І переход к сплошной среде, и установлена, связь коэффициента интенсивности напряжений с "микроструктурными" свойствами! композита. Попытка связать случаи; разрушения дискретной? и непрерывной сред предпринята также ив обзоре [107], однако эта связь осталась там по существу нераскрытой; Укажем еще несколько работ, авторы которых использовали модель. Аутвотера. Фрэнклин [94] пытался моделировать круговое отверстие, задавая на его контуре равенство нулю нормального напряжения в виде Gj cosq + Xj sincp = 0, где ф — угол между волокноми нормалью к контуру в данной точке. Поскольку, однако, решение внутри отверстия; при тех же условиях отлично от нуля, полученный;результат является.весьма грубым приближением, на;что справедливо указано в [99]. Авторы последней работы приближенно заменили отверстие системой, близко у расположенных дефектов и установили, что концентрация напряжения в целых волокнах растет с ростом диаметра отверстия, что согласуется с экспериментальными данными (в бесконечном однородном! теле концентрация напряжения вблизи отверстия, естественно, не зависит от диаметра последнего, так как в задаче отсутствует характерный, размер). В1 [98] рассмотрено упругое поле в окрестности наклонной трещины и разреза конечной толщины. Последний, как и в [99]; смоделирован системой близко» расположенных разрывов; Показано, что» концентрация напряжения возле наклонной трещины зависит уже не только от ее длины, но и от упругих свойств композита, а также от угла ее наклона к волокнам. Приведенный в работе экспериментальный материал для і бороэпоксидных пластин и перфорированных пластин из нержавеющей стали свидетельствует об удовлетворительном; совпадении с теорией в определенном интервале длин трещин. Во всех указанных выше работах задачи решались методом суперпозиции а неизвестные константы определялись численно.
Упомянем, еще статью [97], в которой приведены экспериментальные данные по концентрации напряжений вблизи разреза в различного рода тканях. Оказывается, эти данные хорошо описываются моделью Аутвотера при замене истинной длины разреза некоторой пропорциональной і ей эффективной длиной, причем коэффициент пропорциональности зависит лишь от вида ткани.
Первая попытка учесть пластические эффекты в связующем была предпринята Хеджпетом и Ван -Дайком [96]. Допустив пластическое течение лишь в слоях связующего, смежных с единственным порванным; волокном, авторы составили интегральное уравнение относительно смещения этого волокна и І решили его численно. Как и \ следовало ожидать, учет пластичности привел к уменьшению концентрации напряжений на целых волокнах, однако оно оказалось незначительным. Пластичность рассматривалась также ив работах [29; 57, 71, 72], на которых мы подробнее остановимся ниже.
Как уже указывалось, разрушение:композита в рассматриваемой модели может происходить» двумя путями — путем разрыва волокон и путем: расслоения связующего. Вторая возможность,рассмотрена Ван Дайком и Хеджпетом [104] и автором настоящей;диссертациш[45]. В первой работе изучены трещины сдвига в окрестности единственного порванного волокна. Для: образца, состоящего из пяти и семи волокон, уравнения равновесия решены точно, а для бесконечного образца1 сведены к интегральному уравнению, которое решено численно.
Трещина, симметрично нагруженная на берегах
Однако в случае, когда разрывы сгруппированы в трещины, погрешность может быть значительной Это видно из следующего примера. Пусть разорваны волокна с номерами /=—2,-1,1,2. Тогда в (4.1) L = О, М = 2, а2 = 1.192. В этом случае влияние трещин друг на друга существенно: погрешность формулы, не учитывающей взаимодействия, равна 47.8%.
Из (4.1), (2.6) следует, что отношение точного и приближенного решений равно (/2 -a2)/\J2 - (і + (М +1)/2)2 J Оно тем ближе к единице, чем ближе среднее квадратичное а к координате средней точки трещины, расположенной справа от нулевого волокна То же самое справедливо и при достаточно больших по модулю номерах волокон.
Трещина, симметрично нагруженная на берегах. В предыдущих пунктах мы смогли установить аналитический вид концентрации напряжений, используя тот факт, что знание корней полинома позволяет выписать его с точностью до произвольного множителя.. Корнями полинома являлись все точки разрыва волокон, так как композит был растянут на бесконечности и трещина была свободна от напряжений. Если напряжения приложены -, к точкам разрыва волокон, то эти доводы отпадают и решение должно быть модифицировано.
Пусть разорваны волокна с номерами j = 1,2,...,и. Будем считать, что нагружено лишь одно fc-e волокно напряжением Р8 .. Ясно; что решение для общего случая получается суммированием частных решений с различными весами Р и точками нагружения к. Вместо (1.2), (2.3) получим равенства
Так же, как в 4.1 а), правая часть второй формулы в (4.3.1) - дробно-рациональная функция у, в знаменателе которой стоит полином степени п +1, тот же, что и в (4.1.3), а в числителе — полином степени п — 1, так как Qj (правая часть второй формулы (4.3.1)) при у-»со убывает асимптотически пропорционально /_ЪГ j2.
Последнее утверждение справедливо, если V O (иначе убывание будет более быстрым). Порядок убывания определяется нагрузками Ру на трещине. Например, если нагрузки антисимметричны относительно центра трещины, то Ъг также антисимметричны, и указанная сумма равна нулю. Если нагрузка постоянна, то эта сумма пропорциональна работе внешних сил, которая равна упругой энергии среды, описываемой уравнениями (1.2.23), и поэтому отлична от нуля. Достаточно ясно, что, если нагрузка на трещине не меняет знака, то асимптотическое поведение Qj при j — со будет таким же, как в случае одного разрыва, нагруженного суммарной силой. Во второй формуле (4.1.40) положим я = 0 (что соответствует одному разрыву) и из полученного результата вычтем единицу (для того, чтобы перейти от случая нагрузки на бесконечности к нагрузке на разрыве нулевого волокна). Тогда Qj = l/(4y2 -1), т е. имеем, что асимптотически выполняется закон обратных квадратов. Следовательно, если напряжения п Pj одного знака, то Ьг 0. В нашей задаче как раз такой случай, ибо г=1 нагружено всего одно волокно. Таким образом, где as,s = 0,...,n-l - неизвестные пока, коэффициенты. Поскольку напряжения на порванных волокнах заданы, для нахождения коэффициентов as имеем систему «равенств
Из этих равенства следует, что полином в числителе (4.3.2) является интерполяционным полиномом с узлами 1,...,л, в которых он принимает значения (4.3.3). Следовательно, числитель можно записать в явном виде, например в форме Лагранжа ([].,с.35).
Упрощение задачи в случае малой длины трещины отслоения
Если решать задачу для случая образца, содержащего конечное число волокон, то место интегралов в представлениях (5.1.2),(5.1.3) займут конечные суммы, а система интегральных уравнений заменится конечной системой линейных алгебраических уравнений. Если бы удалось решить систему (5.1.5), (5.1.6), то после подстановки а{%) в (5.1.2) при j] = 7]t, j = п,п + 1 можно было бы найти касательное напряжение №{wn+i(fl ) wn(r? )) в конце трещины расслоения и, приравняв абсолютную величину этого касательного напряжения пределу прочности на срез г«, получить уравнение для нахождения равновесной длины. Однако система (5.1.5), (5.1.6) слишком громоздка и кажется недоступной для анализа.
Равенство (5.2.4) имеет наглядную механическую интерпретацию — жестко заделанные при г/ = 0. волокна деформируются вблизи заделки в соответствии с законом Гука для стержня со свободной боковой поверхностью. Они не замечают соседних волокон, так как касательные усилия, возникающие за счет разности смещений соседних волокон при малых rj малы.. Для этих волокон на линии TJ = TJ„ имеет место условие упругой заделки WjM V. і , n + l \j\ co drj
Поскольку при переходе через линию 7 = 7 смещения и напряжения непрерывны, получаем, что для wj,(w + l / оо) выполняется краевое условие Попытаемся получить аналогичное краевое условие для волокон, пересекающих трещину. Для всех j ±n вторая производная d2Wj{?j)ldTj2 непрерывна при переходе через линию Tj = Tjt. Это следует из уравнений равновесия (внутренние уравнения системы (3.1.1)) и непрерывности смещений. Поэтому равенство (5.2.5) превращается в краевое условие на границе rj = rjt верхней полуплоскости
Однако (5.2.7) выполняются лишь для волокон, не отрезанных от своих соседей трещиной отслоения. Если волокна соседствуют с трещинами отслоения, то вместо внутренних уравнений (3.1.1) имеют место первое и последнее равенства (3.1.1). При используемой нумерации волокон эти равенства выглядят следующим образом
В полуплоскости 7] т] трещин отслоения нет, и все смещения Wj(rjt), включая волокна с номерами j = ±п, подчиняются одним и тем же уравнениям (5.2.7), которые теперь выглядят так: Сопоставляя (5.2.8) и (5.2.9) и учитывая непрерывность смещений, находим скачок второй производной для смещений волокон, пересекающих трещину нормального разрыва в точках j = ±п:
Правые части (5.2.10) с точностью до множителя равны касательным напряжениям в кончиках трещин отслаивания, а именно -/32тп(т],)//л, и fi2T-n-ifa)/№-(Tj обозначает касательное напряжение в связующем между (/ + і)-м и у -м волокнами). Из соображений симметрии ясно, что касательные напряжения в кончиках правой и левой трещин отслаивания отличаются только знаком. Поэтому из формул (5.2.10) видно, что скачки второй производной от смещения при / = ±л одинаковы. Если для определенности примем, что а 0 (растяжение на бесконечности), окажется, что гл(77 ) = т-п-\{п ) 0- Будем считать, что напряжение х_п_х 0 равно пределу прочности г» 0 связующего на срез. Это значит, что 77 равновесная длина трещины отслаивания при заданной прочности связующего и заданной внешней нагрузке. С учетом сказанного можно скачок второй производной в волокнах с номерами ±п (формула (5.2.10)) записать в виде Подставим (5.2.11) в (5.2.7) и получим краевое условие для wj на волокнах, пересекающих трещину:
Таким образом, при малых 77 удалось заменить условия сопряжения (5.1.5), (5.1.6) решений Wj и w . краевыми условиями (5.2.6), (5.2.12), в которые w не входят. Задачи определения w и w оказались разделенными. Следует, однако, помнить, что краевые условия (5.2.6), (5.2.12) для w выполняются не точно, а приближенно, с точностью до слагаемых третьего порядка малости относительно TJ при rjt -»0. Впрочем, можно представить механическую задачу, для которой эти условия являются точными. Для этого нужно провести разрезы по связующему в направлении армирования между всеми волокнами (-оо j 00) на участке \т]\ TJt .
