Введение к работе
Актуальность работы. Одним из важнейших классов изделий, применяемых в современном машиностроении, являются резинотехнические изделия. В настоящее время резинотехнические изделия применяются практически во всех отраслях хозяйственной деятельности человека. Эксплуатация воздушного, водного, автомобильного, железнодорожного транспорта, космических аппаратов и энергетических установок не возможна без надежных резиновых уплотнений. Все шире на транспорте применяются резинометаллические шарниры, обеспечивающие низкие шумы и виброизоляцию гусеничных движителей и других агрегатов. В строительстве, промышленности и горнодобывающей технике широко применяются резинометаллические амортизаторы, опоры, виброизоляторы, надувные пневматические конструкции, резинотканевые рукава, конвейерные ленты и эластичные емкости для жидких грузов. В большинстве случаев надежность и долговечность конструкций определяется надежностью и долговечностью комплектующих резиновых изделий, несмотря на то, что их вклад в вес и стоимость конструкции обычно незначителен. Поэтому к расчету резиновых изделий предъявляются повышенные требования. С точки зрения надежности работы изделий и конструкций в свете современных представлений теории разрушения важнейшей информацией является знание полей напряжений в зоне их концентрации. Одним из распространенных концентраторов, существование которых вызвано конструктивной необходимостью, является отверстие. Поэтому исследование и расчет концентрации напряжений около отверстий в резинотехнических изделиях является актуальной задачей.
В области эксплуатационных нагрузок резина находится в высокоэластичном состоянии, то есть она относится к эластомерам. Поскольку в высокоэластичном состоянии резина является низкомодульным материалом и допускает большие эксплуатационные деформации, то для описания напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать нелинейную теорию упругости. Точные нелинейные решения получены для центрально - симметричных задач, задачи Ламе, задачи контролируемого изгиба, для некоторых задач при антиплоской деформации. Для несжимаемого материала точные решения получены в задачах с универсальными деформациями. Тем не менее получение точных решений задач нелинейной теории упругости является сложнейшей проблемой. В силу этого разработаны различные приближенные модели, позволяющие свести решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач. Так в коммерческих пакетах, таких как ANSYS, ABAQUS, SolidWorks, предназначенных для решения задач механики и физики, реализован инкрементальный подход. То есть конечная деформация разбивается на ряд шагов. На каждом шаге полагают деформации малыми и линеаризуют уравнения нелинейной теории упругости. Получаются уравнения линейной теории упругости с переменными коэффициентами (уравнения линейной теории упругости неоднородного материала), зависящими от решений на предыдущих шагах. Соответствующие линейные задачи решаются мето-
дом конечных элементов. Возникает два вида погрешности: погрешность ограничения конечным числом шагов и погрешность дискретизации. Уменьшение первого вида погрешности в общем случае требует интерактивной связи расчетчика и пакета по вопросу выбора шага, необходимости пересчета на каждом шаге матрицы жесткости и так далее. Уменьшение погрешности второго типа требует увеличения числа конечных элементов в зонах больших градиентов рассчитываемых полей, в частности в зонах концентрации напряжений. Но увеличению количества конечных элементов препятствует ограниченность ресурсов компьютеров. Поэтому возникает практическая невозможность вычисления максимальных значений напряжений в зонах концентрации. Таким образом, метод конечных элементов плохо приспособлен к исследованию концентрации напряжений в зонах с большими градиентами напряжений, например, в окрестностях угловых точек отверстий. В силу вышесказанного возникает актуальная задача разработки метода, сводящего решение нелинейных задач теории упругости к решению последовательности линейных задач и позволяющего точно решать последние. По крайней мере, для определенного класса задач.
В статических задачах предполагается, что эластомер является гиперупругим материалом, то есть существует потенциал энергии упругой деформации. Разнообразие уравнений состояния нелинейной теории гиперупругости в отличие от линейной теории, где всегда выполняется закон Гука, снижает ценность точных постановок задач нелинейной теории упругости. Точные решения, найденные для конкретных потенциалов энергии деформации гиперупругих материалов, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными данными для одного уровня деформированного состояния, могут не совпадать с этими данными для других уровней деформированных состояний. Актуальной является разработка приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости для средних уровней деформации, одинаково удовлетворительно описывающей различные напряженные состояния и позволяющей использовать методы линейной теории для решения конкретных задач. Альтернативой инкрементальному подходу, приводящему к решению задач линейной теории упругости неоднородных тел, служит метод возмущения, так же сводящий решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач, но уже однородных тел. Этот метод, впервые примененный в нелинейной теории упругости А. Синьорини, основан на разложении объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние, в ряд по степеням малого параметра. Удерживая один, два или три члена будем получать решение в рамках эффектов первого, второго, третьего порядка. При этом возникает ошибка ограничения. Для нахождения каждого члена разложения получается задача линейной теории упругости однородных тел, но с добавочными «внешними» поверхностными и объемными усилиями, зависящими от решений в рамках эффектов предыдущих порядков. Для точного аналитического решения плоских задач такого типа разработан мощный аппарат, использующий теорию функций комплексной переменной. Разработка этого аппарата связана с именами Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, Д.И. Шермана и других. Такой подход
может быть положен в основу создания приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости. Вместо оценки погрешности ограничения даются рекомендации по выбору области применимости модели в сравнении с точными решениями и экспериментальными данными. Другими словами, для обоснования достоверности модели в ее рамках по экспериментальным данным при одноосном растяжении находятся константы материала, а потом на экспериментальном материале для двухосного растяжения проверяется приемлемость теоретического описания. Производится сравнение полученных результатов в рамках приближенной модели с точным решением для одного варианта задачи Ламе. Критерием для ограничения величины деформации в области применимости модели можно выбрать 10%-ное отклонение теоретического значения напряжения от экспериментального.
Проблемой, связанной с расчетом резинотехнических изделий, является учет ее несжимаемости. Эксперименты Холта и Макферсона показали, что вплоть до деформаций порядка 400% изменение объема находилось в пределах погрешности эксперимента. Учет малой сжимаемости необходим только при расчете тонкослойных резинометаллических изделий. В отличие от сжимаемых материалов в несжимаемых материалах напряжения не определяются деформациями, по ним напряженное состояние находится только с точностью до гидростатического давления. Вместе с тем условие несжимаемости несет дополнительную информацию о геометрии деформирования, причем прибавляет ли эта информация трудностей в решении или уменьшает их зависит от того, в какой форме условие несжимаемости учитывается. Само по себе уравнение несжимаемости увеличивает количество уравнений в системе на одно уравнение, что усложняет задачу. Оно также увеличивает размерность задачи (на одну независимую переменную) в вариационных методах при учете его с помощью множителей Лагранжа. В численных реализациях обнаружено, что для совместности уравнений Эйлера необходимо, чтобы порядок аппроксимации гидростатического давления был ниже порядка аппроксимации перемещений. Это относится как к методам Ритца и Канторовича, так и к методу конечных элементов. Такая ситуация трактуется как некорректность постановки задачи с множителем Лагранжа. Актуальной является разработка варианта инженерной модели, в рамках которой условие несжимаемости выполняется автоматически.
В современных конструкторских бюро и лабораториях методы расчетов на прочность по приближенным эмпирическим формулам или «сопроматовским» решениям постепенно вытесняются компьютерными расчетами в рамках более точных постановок с помощью специальных вычислительных пакетов программ. Существует уже значительный выбор коммерческих пакетов, таких как ANSYS, ABAQUS, SolidWorks и других. В рамках всех этих пакетов для решения нелинейных задач реализован инкрементальный подход, особенности которого отмечены выше. В настоящее время научное программирование претерпевает серьезные изменения: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, растет применение универсальных математических систем (Maple,
MathCAD, Mathematica, MatLAB и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и имеют собственные языки программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов различных профилей. Актуальной задачей является реализация и автоматизация расчетов в рамках предложенной инженерной модели в одной из таких систем. В данной работе выбрана система "Maple", которая содержит средства символьной математики, позволяющие реализовать автоматизацию аналитических решений некоторых классов линейных задач.
Цель диссертационного исследования: разработка технической модели нелинейной теории упругости эластомеров в рамках эффектов второго и третьего порядков, пригодной для автоматического получения аналитических решений плоских задач нелинейной теории упругости о концентрации напряжений около отверстий на базе математического пакета Maple.
Достижение этой цели связывается с решением следующих задач:
-
представление вектора перемещения, удовлетворяющее разложению уравнения несжимаемости по степеням малого параметра вплоть до третьего порядка включительно;
-
построение приближенной модели нелинейной теории упругости и определение областей ее применимости;
-
разработка алгоритма, позволяющего автоматически получать аналитические выражения для комплексных потенциалов, описывающих напряженно-деформированное состояние около отверстий по заданному конформному отображению области, используя методы теории функций комплексной переменной;
-
реализация предложенного алгоритма в рамках пакета символьной математики Maple.
Научная новизна:
-
Предложена форма потенциала энергии деформации Трелоара-Ривлина, удобная для использования в приближенных соотношениях инженерной модели.
-
В рамках предложенной модели на платформе Maple созданы символьные блоки, позволяющие автоматически получать аналитические выражения для распределения напряжений на контуре отверстия, свободного от нагрузок.
Основные результаты, выносимые на защиту.
-
Приближенные соотношения нелинейной теории упругости и их экспериментальное обоснование.
-
Постановки граничных задач и алгоритмы их решения, позволяющие автоматически получать аналитические выражения для комплексных потенциалов по степеням малого параметра вплоть до второго порядка включительно, описывающих напряженно деформированное состояние около отверстий, свободных от напряжений, по заданному конформному отображению области на внешность круга единичного радиуса и заданным граничным условиям на бесконечности.
-
Созданные в рамках математического пакета Maple символьные блоки, предназначенные для автоматического получения аналитических решений задач о концентрации напряжений около отверстий, реализующих предложенный алгоритм.
Практическая ценность заключается в создании алгоритмов и символьных блоков для аналитического нахождения коэффициентов концентрации напряжений, применяемых в расчетах на прочность. Созданные символьные блоки являются готовым элементом для интерактивных спецкурсов по теме «Концентрация напряжений на контуре отверстий».
Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что область применимости предложенных соотношений непосредственно определялась с обеспечением 10%-ого отклонения полученных решений от литературных экспериментальных данных; полученные аналитические решения при стремлении малого параметра к нулю сводятся к известным линейным соотношениям.
Методы исследования. Использовались фундаментальные понятия и методы механики сплошных сред, нелинейной теории упругости и математической физики. Экспериментальная обработка данных проводилась методами математической статистики.
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, из них три -в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на VII всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (г. Пенза, 2007 г.), XXI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-21» (г. Саратов, 2008 г.), VIII всероссийской науч-
но-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула, 2010 г.), V международной научно-практической конференции «Техника и технология: новые перспективы развития» (г. Москва, 2012), а также регулярно докладывались на научно-технических конференциях ВолгГТУ в 2008-2012гг.
Работа выполнена на кафедре прикладной математики Волгоградского государственного технического университета.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Объем основной части, включая 3 таблицы и 9 рисунков, а также список литературы из 212 наименований, составляет 127 страниц.
