Введение к работе
Актуальность темы. Изучение статистических свойств собст-венных функций и собственных значений ктнтовнх систем состав- .. ляет предмет теории квантового хаоса. В последнее время эта теория интенсивно развивается как в физических, так и в математических работах. Так Берри и Тейбором в ІП на физическом уровне строгости изучалась статистика расстояний мезду ближайшими собственными значениями оператора Шредингера на гладком многобразии. Для операторов Лапласа-Бельтрами, отвечающих метрикам с интегрируемым геодезическим потоком / интегрируемым метрикам/, распределение этих расстояний есть хорошо известное в теории вероятностей распределение Пуассона, .возникающее при определенных условиях как предельное распределение для сумм независимых случайных величин. Математический подход к указанной проблеме в случае поверхностей вращения развивался в работах Синая [2^,1 ЗЛ и Майора L '1. berru M.V.,Ta?x>rM: LtSiL duvkri^ Й-**- Ге2ы^ 5. ^реы-глл^ л , 0 Sot. Lo„ ілДл cui M.oi- fC«-UA.l351 S.31, n. 4,p. Mil-46 v.. К этой задаче тесно примыкает вопрос о поведении остаточного члена в формуле Вейля для считающей функции спектра. Общие свойства остаточного члена изучались в [.53,161 ~ Хермандером, Дейстермаатом и Гийемином. В настоящее время общепринята точка зрения, согласно которой поведение остаточ-ного члена в формуле Вейля неуниверсально и существенно зависит от эргодических свойств геодезического потока I 23 , 1.7"] . Так, для поверхностей отрицательной кривизны / геодезический поток эргодичен/ ожидается / [Т\/, что остаточный член допускает логарифмическую опенку, в то время как для интегрируемых метрик предполагается степенной характер поведения /\ 2~\ /. Наличие ярко выраженных статистических свойств у квантовой системы обычно связывалось со стохастическим поведением ее классического аналога. Б работе 81 Шнирельман показал, что собственные функции для задач с эргодической на подмногообразии -постоянной энергии динамической, системой в определенном смысле "равномерно размазаны" по соответствующему собственному значению энергетической гиперповерхности. c^ouVac/'Ac4eLKc,J(l. -IStS^-tH, p. ite-US. 8. Шнирелъшн А. И. Статистические свойства собственных функций //"Материалы Всес. мат. школы в Дшшжане". Ереван, 1974. С. 267-278. . іной подход к получению информации о статистических свойствах лектра квантовой системи состоит в изучении следов всевоз-южных- функшй от соответствующего оператора Щредингера /L 9.^/. (твет.для поверхностей постоянной отрицательной кривизны двет-:я формулой Сельберга [ 10І , а для многообразий , замкнутые еодезические которых изолированы и невыровдены, - аналогичной формулой, пелученной Коленом де Вердье в [111 Случай шогооб-)азкя с интегрируемой метрикой является в некотором смысле противоположным двум предыдущим, , поскольку периодические геодезические интегрируемых метрик не могут быть изолированными / l2"\ /. В этом случае замкнутые геодезические грушируют-:я в классы, отвечающие инвариантным торам в фазовом пространстве геодезического потока. В основе математического подхода к задачам теории квантового хаоса для интегрируемых систем лежит общая идея о том, что в этом случае квазиклассический анализ собственных значений и собственных функций позволяет, свести основные, проблемы Э. CrucW«5vllcr G-. Cka.oi t« c-&u»WtaK а«і ifuA* -Vwh, и/,САа.ш'с^ ^pK«.<^ - УьсЬщ : A/cJ" "(лА , ^30. 10. HejW b.A. TU S,dUy trace, |*г*д*А fa PSLtf,&) //Ым , fi4(,f vJ.sms . La/m. «n, ^ *oo< 12. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. к проблемам теории чисел. Истоки этой идеи можно найти уже в раьоте Эйнштейна [^13^ , в которой была предложена общая . форма правил квантования Бора-Зоммерфельда. Дальнейшее, развитие этого направления связано с работами Келлера, Рубинова, Маслова. Соответствупцие результаты получили название метод канонического оператора Маслова. Их подробное описание, а также обширная библиография приведены в обзоре [14^ Цель работы. Получить математически обоснованные правила квантования на поверхности Лиувилля. Свести задачу об остаточном члене формулы Вейля для оператора Лапласа-Бельтрами к задаче теории чисел и исследовать последыш методами теории вероятностей и эргодической теории. Описать поведение спектра при малых возмущениях с помощью теории Колмогорова-Арнольда-Мозера. Научная новизна. Основнне результаты работы являются новыми: Решена задача асимптотического описания спектра/оператора Лапласа-Бельтрами на поверхности Лиувилля и впервые получены уточненные правиля квантования Бора-Зоммерфельда-Келлера-Маслова вблизи сепаратрисных множеств. Изучены статистические свойства считающей функции спектра оператора Ляттлаеа-Бель трами. Изучены статистические свойства теоретико-числовой задачи о количестве точек двумерной решетки в семействе гомогетич- 13. EUsAtin А. Ни.*, Qvao«V8a»sci4\ von Sc^«er-(eU и„А Epvki'* 14. Лазуткин В.Ф. Квазикдассическая асимптотика собственных ных областей. Предложен ренорм-грушювой метод построения инвариантных торов многомерной теории КАМ минимальной .гладкости. Получены формули следа для поверхностей Лиувнлля с оценкой их точности. Методы исследования. В работе используются обшие методы теории псввдодифференшальных операторов, теории вероятностей, эргодичесной теории, гиперболической теории динамических систем, теории чисел, а также метод квазикпассических приближений и метод тригонометрических сумм Бан-дер-Корпута. Кроме того, в работе применяются метода асимптотического анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью специальных функций и метод стационарной фазы. Практическая и теоретическая ценность работы. лДиссерта-пия носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в теории квантового хаоса, теории чисел и теории КАМ. Апробация .диссертации. Основные результаты диссертации тической физики в Тегеранском институте теоретической физики и математики, семинаре по общим проблемам математики Аугсбург-ского университета, семинаре по математической физике Берлинского университета, s на конференции по квантовому хаосу в Обервольфахе и- на семинаре по эргодт.ской теории Принстон-ского университета. - Публикапии. По теме диссертации опубликовано 3 научные работы, две из которых в соавторстве. Список публикаций приведен в конпе автореферата. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разделенных на 18 параграфов и 5 приложений. В тексте диссертации находится 8 рисунков. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 170 наименований. Общий объем диссертации 125 страниц.
//1/u-l. ЬЪсД. P^s. W Y3/7, &
функций.// Итоги науки и техники. Совр. проблемы математики.
.Фундаментальные направления. Т. 34. М.: ВИНИШ АН СССР, 1989.
докладывались автором на семинарах механико-математического
факультета МГУ: Я.Г Синая по эргодической теория, Р.Л.Добру-
шина, Р.А.Минлоса, Я.Г.Синая по статистической механике,
Е.И.Динабурга по спектральной теории операторов Щредингера,
а также на семинаре по математической физике университета
(Iowcl ~о<- І/бгчаД-о- семинаре по проблемам матема-Похожие диссертации на Статистические свойства квантовых систем, интегрируемых в классическом пределе
