Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Динамические системы типа. Газа Лоренца 16
I. Газ Лоренца на плоскости с конечным числом рассеивателей 16
2. Эргодические свойства взаимодействующего Газа Лоренца , 20
Глава II. Бильярд с периодической конфигурацией рассеивателей на плоскоти 38
I. Условия разрешимости уравнения l-pJ=:CL 38
2. Гидродинамические моды - частичного газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей 53
3. Доказательство центральной предельной теоремы для бильярдов 59
4. Оценка коэффициента диффузии для модели Махты-Цванцига 65
Литература
- Газ Лоренца на плоскости с конечным числом рассеивателей
- Эргодические свойства взаимодействующего Газа Лоренца
- Гидродинамические моды - частичного газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей
- Доказательство центральной предельной теоремы для бильярдов
Введение к работе
Одной из основных и наиболее популярных моделей неравновесной статистической механики является газ Лоренца. Она была предложена в 1905 году голландским физиком и математиком Г.А.Лоренцем как модель электропроводности металлов и с тех пор носит его имя /см. [і] /.
Газом Лоренца называется динамическая система, которая описывает поведение счетного числа частиц, свободно движущихся в IR между хаотически разбросанными неподвижными сферическими рассеивателями, от которых частицы отражаются по закону упругого удара /тангенциальная составляющая остаётся неизменной, а нормальная меняет знак/. В диссертации всюду рассматривается случай d = Z
Газ Лоренца относится к классу динамических систем бильярдного типа /см. [2] /. Иногда под газом Лоренца понимают также динамические системы, порождённые движением одной частицы, свободно движущейся в [R_ между неподвижными сферическимирассеивателями с аналогичным отражением от них. В тексте диссертации во избежание путаницы такие динамические системы в отличие от систем, о которых говорилось выше, называются биль ярдами в соответствии с [2J .
Газ Лоренца интенсивно изучается и до настоящего времени. Здесь можно упомянуть математические работы Я.Г.Синая [ 3, 4J , Л.А.Бунимовича и Я.Г.Синая [5-7] , Г.Галавотти [в, 9J , Г.Галавотти и Д.Орнстейна [iOJ , Ш.Голдстейна, Дж.Лебовица и М.Айзен-мана [її] , А.Крамли и Д.Саса [I2-I3J , Дж.Махты и Р.Цванцига
Гі4]и др. Подробный анализ проблем, относящихся к этой модели, содержится в большом обзоре Э.Хауге [I5J .
Необходимость исследования газа Лоренца объясняется тем, что эта динамическая система естественно возникает при моделировании некоторых физических процессов. К таковым, например, относится движение медленных нейтронов в тяжелой жидкости /см. [іб] /, поведение смеси двух газов, один из которых состоит из легких молекул массы Уть , а другой - из тяжелых молекул массы И I m/AI •/ /; см.,например, [15, I?] .
Одним из первых вопросов, возникающих при исследовании газа Лоренца, является вопрос о его эргодичности. Впервые положительный ответ на этот вопрос был дан Я.Г.Синаем в [з] для;: динамической системы, описывающей движение материальной точки на торе с конечным числом неподвижных рассеивателей. Им было показано, что эта динамическая система является К-системой, а значит, имеет достаточно сильные статистические свойства. Из того, что динамическая система является К-системой, следует, что она эргодична, обладает перемешиванием всех степеней, а также, что сопряженная группа унитарных операторов в подпространстве функций с нулевым средним имеет счетно-кратный ле-беговский спектр /см. [18, I9J /.
В первой главе настоящей диссертации рассматриваются две динамические системы, относящиеся к газу Лоренца. Опишем их подробнее. Дусть & = { -і]i-A- подмножество точек плоскости, являющихся центрами рассеивателей. Считаем, что dlbt(x.Ji tj) Z для всех -і Ф 4 . Здесь cfcst - евклидова метрика на плоскости , Это мно жество называем рассеивателей с центром в точке 1 і.
Пусть Xj - расслоение, базой которого служит 0% , а слоем над каждой точкой 0 є 0% - единичная окружность В (cf).
Точки пространства J\g называются линейными элементами или частицами. Естественную проекцию Jvg на 0 обозначим через р . Через {Т I обозначаем однопараметрическую группу сдвигов вдоль траекторий динамической системы, порожденной движением точечной частицы в 0% с упругим отражением от . Она сохраняет меру j на -N# /см. [zj /, где aQ-afydcO , Х \, - мера на 0/1 » индуцированная евклидовой метрикой, а «сО - естественная мера на слое /ej= Р (fy) является конфигурационным пространством рассматриваемой динамической системы, а -А/ - её фазовым пространством.
Пусть теперь Q. л - совокупность счетных подмножеств множества Оц таких, что для любого ограниченного Е из OR имеем Сала(О.ПЬ) °° , &€0.% . Фазовым пространством л R газа Лоренца служит множество пар Х-{ -7 $а] » где & О.Д. » 61 - функция со значениями на окружности { € ?, Н} .пара X=ty,\ty) , называется так же, как и выше, линейным элементом или частицей. Отображение Я .пц— Q.g определяется равенством (OL Q)- Q Пусть ЭСцЧХ) - случайная величина, значение которой равно числу частиц ХХ в исЯц , где Р(и) . Меру tf R = V зададим, полагая WfrafirfXWfeU [SM] e SM и для непересекающихся Щ и :
По опубликованным работам сделаны доклады на семинарах по теории динамических систем на механико-математическом факультете МГУ и на конференции молодых ученых /МГУ, 1983 г./.
Автор выражает благодарность научному руководителю Я.Г.Синаю за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Л.А.Бунимовичу за помощь при оформлении рукописи.
Газ Лоренца на плоскости с конечным числом рассеивателей
Введём на плоскости декартову систему координат и рассмотрим квадрат К. і со сторонами длины L , параллельными осям координат. Предположим: L достаточно велико, что все ti, 1-= і, 2.,..., yf лежат во внутренности К и
Если бы противоположные стороны квадрата были отождествлены, то каждая частица, находящаяся в К і , двигалась бы на торе. Но бильярд на торе с конечным числом вырезанных кругов эргоди-чен. Значит, почти каждая частица /по мере , определенной во введении/, находящаяся в К/, , рано или поздно пересечет одну из сторон квадрата и, выйдя из него, больше не будет испытывать соударений с рассеивателями. Цусть L / - множество таких X И » что хотя бы для одной частицы Х (о, ЛсХ » Є Кі нельзя найти такого Ь0У О , что при всех t t0 частицы Т X и 77 X лежат вне К. . V(Zi )- О , т.к. множество соответ ствующих X имеет нулевую Р - меру. Положим L% = - 17 r (7S ЛМ В 9T0M случае \)ґ/лЛ-0 Заметим, что Ьуі - рационально - такое множество, что для любого и для каждого эссХ можно найти такое Ь0 У О , что при любом и "to частицы Т С и Т х лежат вне /Q, Цродлим стороны /С ь , параллельные оси абсцисс. Плоскость в этом случае разбивается на три части - две полуплоскости и бесконечную в обе стороны полосу.
Цусть /аз - множество таких , что хотя бы для одной частицы я=(о,?&)еХ , е /Q, , \ = ± Г \?(Л3)=0 . Цусть L US L (Ьц)=0 . д- рационально
Заметим, что - такое множество, что для любого X -Н /дгЛ 4 каждая частица Х6А в процессе своего движения проходит по крайней мере через две части плоскости /на которые она была разделена выше/ и находится во второй части /бесконечной полосе/ лишь конечное время. Если это справедливо для частицы X , то называем её типичной частицей. Таким образом, доказана следующая лемма.
Лемма I.I. Существует такое множество А/ / С Н t \?(Мн)" 1 , что для любого X Є Ли каждая частица X X типичная.
В соответствии с [20] будем называть частицу X О -- отмеченной, если она в некоторый момент t 0 выходит из той части плоскости, в которой она находится в нулевой момент. Частица называется to - отмеченной, если она в некоторый момент Г (- t-o) выходит из той части плоскости, в которой она находилась в момент (— Ь 0)
Определение 1.2. Две точки Х Х /"/ принадлежат одному-элементу разбиения 0 тогда и только тогда, когда у соответствующих им О -отмеченных частиц совпадают координаты и скорости.
Покажем, что построенное -разбиение является К-раз-биением динамической системы (// ; \?д } { }) . Для этого необходимо проверить следующие свойства: I/ о измеримое разбиение ; 2/ t o Для всех t 0 , $Ь$0 = Ь » 3/ vCy (тос/ 0/ , где f - разбиение Hg на отдельные точки ; S Ь( 0(1о) , где J L - тривиальное разбиение на само пространство и пустое множество.
Первые два свойства являются непосредственным следствием определения 1.2. Третье свойство есть следствие леммы I.I.
Проверим, что Л 5t (0j. WCTb 2/ - измеримое множество в j\fo , ц (Щ - минимальная & -алгебра в А/ , относительно которой измеримы все случайные величины ULu) % U\CVL І Сгі(Х) определено во введении и равно числу частиц ос X в У. /. Из определения Жц и V следует, что для непересекающихся измеримых множеств U. U%p Яц в-алгебры S// [UA) И SH(U ) независимы. Измеримое разбиение, отвечающее &ц(Щ , обозначим через ("ЦІ . Xі Х -Ch(v) тогда и только тогда, когда у этих точек совпадают координаты и скорости всех частиц, находящихся в 21 . Здесь 7.( ) " элемент разбиения 7(2(.) . Дальше нам понадобится теорема Дуба о сходимости условных математических ожиданий / f27j /.
Эргодические свойства взаимодействующего Газа Лоренца
Доказательство этой леммы содержится в [2l] . И. Кубо доказал её для динамической системы, порожденной движущейся частицей на торе с конечным числом вырезанных кругов и с таким же законом отражения от границы, как и в нашем случае. Оно fp) дословно переносится на наш случай. Обозначим с( (x) d(pCtUT S) » где а - метрика на Af , индуцированная евклидовой метрикой на J\R .
Доказательство. Из условия I/ на расположение рассеивателей р і получаем, что (Q Тщ $) (1 (1) состоит из К-возрастающих кривых, число которых не превосходит &ь(Е ) І І УА( )
Отсюда вытекает /а/. Рассмотрим систему событий в- {хеМа)\(1+ ) с1(У(тх) б} для некоторого 0 . Согласно /а/ , ." J (ffj) » следовательно, согласно лемме Бореля - Кантелли й($(х) 0 для почти всех по мере JA точек xeM({j для любого -С Лемма 1.8 доказана. Покажем теперь, что (х) для почти всех X есть связная кривая класса С Пусть Х=(,у) - фиксирован ная точка с ti" [3)УО и С элемент разбиения , содержащий X . . I. Пусть Yyi - элемент .V ж . Заметим, что 1- 7i YV в этом случае является элементом V Т# сС Так как Ъ УТж- » то существует Уп С Значит, ТУ" непрерывно на С . Пусть tfX -К-убывающая кривая класса С , проходящая через хп и
Здесь 6 ( 3c)= ,ox(y)-V(x) и e(jr, =W«)-VWn.( . Из определения Д(е)(х) получаем ( "Ур) (эск) и, значит, d(xyny) L-±ul для всех y)fn » и поэтому (#) ( ) Таким образом, Т непрерывно на tffl . Из леммы 1.6 следует, что 7J /t - К-убывающая кривая, для которой справедливо неравенство w i{0 (Т1 , x -J, е Іл м)} " ) Af1f)« Значит, можно найти такой сегмент
Действуя аналогично и дальше, получаем последовательность кривых = в ШУхіН+ІЇҐ Ф і l = - п-± К . Тж непрерывно на $М при -U-i,h. 5 ff(y0wfx)= 0 Ми]х)= ( ) и 7І" непрерывно на 0 . Кроме того, (ї (П), н5 6( ()» 11 и» значит, , п с Уп. . Таким образом, для всякого » 4 в Ya, существует К-убывающая кривая класса С , заведомо определенная при є А (эс) 0 . Цусть - сегмент, соединяющий tfo") и jfo" и описываемый уравнением 4-У для некоторого фиксированного У . Если (у)= кла ( У)-«tin( /, то соглас но лемме 1.7 имеем $(,а)&Ун. и g(fr(h) 1[+іїУк9(Т -л$Г ) Й+JM— і Следовательно, 1 e(6w) e Отсюда и из теоремы Арцела следует, что vtj z= У о в __ _ П- оо интервале vf 6 [ -A foc) у + A 4 J . Кроме того, (ХІ) для любого i o . Значит, у0 с С .
2. Покажем теперь, что С - кривая. Пусть Ч - точка в С , отличная от 5L . Тогда х. и и можно соединить убывающей кривой. Пусть это не так. Тогда согласно лемме 1.7 их можно соединить возрастающей кривой, целиком лежащей в С . Выберем на этой кривой точку г є С , достаточно близко лежащую к ос , чтобы можно было найти точку "2. и ж Ф ос такую, что Ч і - Іх) и S(z = 5.(.) , Цусть $ - горизонтальный отрезок, соединяющий зс и а Ц . Тогда для всех h- 4 имеем j( ) fl-WTF— . РИУ" и Xjl+WL- . Значит, (у)=0 и S(Z)=d(x) , Мы пришли к противоречию. Следовательно, любую точку у . С и X можно соединить убывающей кривой. Покажем, что её можно выбрать таким образом, что она целиком лежит в С .Так как TJg"nt(S} \f %ld(0) \(s) , то 7 - лежит в некотором элементе С C rs и, следовательно, 7J X и Т ty соединяются убывающей кривой у , содержащейся в 7J ПУ /лемма 1.7/, It /ч» сходится к кривой Уо t соединяющей точки X и Кроме того, 7д непрерывна на Уо для всех Я- - і Таким образом, доказано, что С - кривая.
Гидродинамические моды - частичного газа Лоренца с периодической конфигурацией рассеивателей
В этом параграфе рассматривается динамическая система, порожденная движением Г частиц на плоскости между периодически расположенными круговыми рассеивателями /единичного радиуса/ , от которых частицы отражаются по закону упругого удара. Между собой частицы не взаимодействуют.
Вначале предполагаем, что частицы пронумерованы. Фазовым пространством рассматриваемой динамической системы является множество ,М =М «»Х/Ч, . Преобразование Т действует Я в /W покоординатно. В качестве меры на А/ рас сматриваем прямое произведение мер JU. и обозначаем её той же буквой. марковское разбиение М I Jv і Л периодическое,/Напомним, что когда мы говорим о периодичности, то подразумеваем периодичность с тем же периодом, что и R. /, Разбиение С fj - ,s -у х s, является марковским разбиением МУ . Цусть tt VT и МХ = Мо г. Ма . Мера, сконцентрированная на Л1о » ограничение которой на
Мо совпадает с ограничением на это множество мерной. , обозначается так же через JAo » как и в одночастичном случае. Пусть также c#5J - пространство периодических по каждой координате функций на /VJ" , постоянных vnodO на элементах разбиения с , и таких, что \ WS \ Но Введем в рассмотрение оператор &]/ в Ж : с Здесь С к С - элементы разбиения Суммирование фактически ведется по таким С 9 что иге = с Введенный оператор Р// является аналогом обобщенного марковского оператора для одной движущейся частицы $ І = Ф , рассмотренного в предыдущем параграфе. Мы будем изучать спектральные свойства оператора
Пространство і сепарабельно, т.к. мера JJL является мерой со счетным базисом. Таким образом, X V изоморфно Х ... ЗС , где означает знак v тензорного произведения гильбертовых пространств /см, [Зі] /. При этом функции [і f,,...0 // в %. &.,,Х% соответствует функция f fz -" $ в // Заметим, что Sfa-Sj ...$/ , где $/ - ограни - 55 ченный оператор в Ж,) .В [32J Брауном и Пирси доказана следующая теорема: если Й и В - ограниченные операторы на гильбертовых пространствах %І и %& соответственно, то G(fl$) =ЩЩ . Здесь 5(Я $ I 2(Д) &() I означает спектр оператора Д I й , 3 /. Согласно этой теореме собственные значения оператора - V равны Ci - Cff , где Сі - собственные значения «Р/
В [Зб] Я.Г.Синаем исследовались спектральные свойства -V . Опишем вкратце результаты этого исследования. Собственные функ ции для , где р - целочисленный фиксированный вектор, a J\ - целое кратное от периода конфигурации рас сеивателей, ищутся в виде В У%(х) YTii00) » гДе - номер ячейки, в которой лежит х , a f я (ос) - периоди ческая функция. Если через , обозначить следующий опера тор в Х С /здесь (Г и б" — элементы разбиения t а ж. означает смещение;т.е. разность целочисленных векторов, отвечающих номерам ячеек, содержащих С1 и С соответственно/, то для того, чтобы у удовлетворяла уравнению - » необходимо, чтобы Ч удовлетворяла уравнению /%2 . Построить точное решение этого уравнения не удается. В [Зб] методами теории возмущений строятся такие функции VД » чт & % 0 фг .ЦЪ + № при Л — . Здесь Ъ% - (2 2,) матрица. Такие функции Y?i называются гидродинамическими модами газа Лоренца.
Доказательство центральной предельной теоремы для бильярдов
В этом параграфе будет показано, что bh. Q(v?-) и исследована зависимость Q(W) от . Если через (&) обозначить среднюю длину свободного пробега для соответствующего бильярда, то \ p-L " его коэффициент диффузии. Основная трудность, возникающая при исследовании зависимости й.(у9) от v состоит в том, что при различных м мы имеем,вообще говоря,различные динамические системы,т.е. преобразование Т -М — М зависит от if : Т - Т1 -Следовательно, и марковское разбиение " Svf тоже зависит от \ . Поэтому, применяя методы символической динамики для исследования описанной модели, приходится учитывать эту зависимость. В [т] Л.А.Бунимовичем и Я.Г.Синаем была доказана теорема о квазиэкспоненциальном убывании корреляций, которая в нашем случае означает следующее.
Пусть f - ограниченная с нулевым средним функция на 51 о такая, что для любого vn 7L+ можно найти функцию F ( ) = Fw(a)_ ;... mj , Fmotju=tf и SupF(G)J-Fw(dj4CV Я"» f где Сл- 0 и 0 h±i - некоторые постоянные. В этом случае можно найти такие константы - 67 С 0 и 0 .d f что для всех ft-eZf справедли ва оценка Ejuff Р іМ Ф Функция L(cS) па. -Я. о удовлетворяет условиям этой теоремы, но в силу сказанного выше Cz- z(tf) и -У(У ) . (к рнкш не исключена возможность, что при любом выборе y(vfr) и С (у9) мы имеем uvftfCrt) О ИЛИ &U.JO ()0)- . Из теоремы о квазиэкспоненциальном убывании корреляций имеем J hoc) \{Tox) o\ M " при каждом 0 # %-& .
Отсюда и из разложения /2,7/ непосредственно следует, что при каждом фиксированном \tf : Qtk &№) гДе (yf\ - некоторая функция от Hf . Перейдем к доказательству того, что u(ty-)-o(w- 6 ) при любом сколь угодно малом 0 . Покажем вначале, что 1г(х) Фо , осеМо на множестве X С Мо мера которого равна Я t , где ft - некоторая положительная постоянная. Пусть Ь - множество линейных элементов, носители которых лежат на прямолинейных участках границ элементарных ячеек /см, рис. 2 /.
Пусть 7у - преобразование М о в о , порожденное движением 5f в .В этом случаеМ (%) J (TiMo), а последняя мера в свою очередь равна a W , где Q. Рис. 2. т - некоторая положительная постоянная /напомним, что djA-convt-co&y-d& dy /. Имеем для некоторого noi X -i J - 68 + 2.Ш {vi+i-i){ к(х)к(Т0С х)({ио »-Л кНх)сЫ0 + г Л k )(Uvho )+ ocy (Toc))dFo zI (1-і) Мо h0W)+24L h Mo
Пусть 0.,, — такая положительная постоянная, что jA(oc)\id для всех Х$Мо Так как к(х)ФО в MQ на множестве меры Л-W", имеем ot-a. + z\$ A(x)(f (rno( -f4(r4 lju0l+ Mo К KhoM?+26UH Mo Так как Yio-Yl0(.\tf) фиксировано при фиксированном u? , то при любом v имеет место сходимость ZJOQCW) .сі -а-ц? ъ-О. Следовательно, \aw\ia$-a- + zhUac)({1(rnW&)-6(T4djd+ /2.8/ Mo - 69 -+ Ьт 2И (n+i-i)hk(x)k(r0l4x)c(jUol.
Справедливы следующие леммы. Лемма 2.18. Цусть 0 fj[ и оМ ТогДа существует такая постоянная С% 0 f не зависящая от W , что Mo при всех tf: 0 ІЇ ІіЗ 2, . Лемма 2.19. Цусть 0 . Тогда можно найти такие постоянные Cj 0 , f i 0 и 0 S Ci } не зависящие от И?" , что для каждого v : о v$- /- -2, и для любого h. i+ имеет место следующее неравенство: Pi )nO"H5 fi(x) (T0noc)dji0\ Cr n . Mo и Замечание. В настоящей лемме Q C ) оценивается при К —ггт , т.е. рассматриваются к зависящие от №, это дает возможность доказать лемму 2.19, используя методы, развитые в И при доказательстве теоремы о квазиэкспоненциальном убывании корреляций.
