Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Трансверсальные слоения в многомерных полурассеиваювдх бильярдах
1 .Геометрические свойства полурассеивающих бильярдных систем II
2. Свойства касательных отображений 23
3. Неравномерная частичная гиперболичность полдассеивагощих бильярдных систем 29
4. Трансверсальные слоения для газа твердых сфер в пенале 36
Глава II. Энтропия группы пространственно-временных сдвигов для газа бесконечного числа частиц 40
I. Статистические оценки предельных распределений Гиббса 40
2. Переход к конечномерной подсистеме 48
3. Оценка сверху энтропии группы пространственно-временных сдвигов 55
Глава III. Энтропия газа бесконечного числа твердых сфер 65
I. Газ твердых сфер как бильярдная система 65
2. Асимптотическое поведение энтропии при термодинамическом предельном переходе 76
3. Асимптотическое поведение следа оператора кривизны 91
Литература
- Свойства касательных отображений
- Трансверсальные слоения для газа твердых сфер в пенале
- Оценка сверху энтропии группы пространственно-временных сдвигов
- Асимптотическое поведение энтропии при термодинамическом предельном переходе
Введение к работе
Систеыы бильярдного типа (бильярды) являются одним из ыаи-более важных классов динамических систеы. Любая такая система порождается движением точечной частицы внутри ограниченной области Li ОС -мерного евклидова пространства или ОС-мерного евклидова тора ( ОІ Ї $ ). Частица движется с постоянной скоростью внутри Li и отражается от границы по закону "угол падения равен углу отражения" (модуль вектора скорости всегда равен 1 ).
Помимо самостоятельного интереса бильярдные системы инте ресны еще и тем, что естественно возникают в ряде физических моделей. К таковым относятся газ Лоренца (см, U$J j 1/30J )fгаз Рэлея (см. [SO] ) и газ твердых сфер (см. [ і J, [Mjj. ' *
Граница области L[ в этих моделях обладает одним общим свойством: она выпукла внутрь области Q в каждой своей регулярной точке (точке гладкости).
Наиболее хорошо изучены т.н. рассеивающие бильярдные сис темы, т.е. такие, у которых граница области У строго выпук ла внутрь L[ в регулярных точках. Газ Лоренца, порождаемый движением частицы на торе с вырезанным кругом - типичный при мер такой системы. В работах Я.Г.Синая доказано, что рассеивающие бильярды обладают свойствами эргодичности, пе ремешивания и К-свойством. В работе Л.А.Бунимовича и Я.Г.Синая [З] исследована скорость убывания корреляций методом марковских разбиений.
Однако ряд физических моделей (газ твердых сфер, газ Рэлея) являются бильярдами в области (^ , граница которой нестрого выпукла внутрь (^ , т.е. возможны подпространства плоских направлений с нулевой кривизной. Такие бильярды называются полурассеивающий и.
Так же, как и в случае гиперболических систем, эргодичес-кие свойства полурассеивающих бильярдов исследуются с помощью трансверсальных слоений или иначе - устойчивых и неустойчивых многообразий (определение приводится ниже). В случае рассеивающих бильярдных систем размерность слоений равна CL~i # В полурассеивающих бильярдах она может быть меньше в зависимости от свойств края
В главе I исследуются трансверсальные слоения и вычисляется их размерность для общих полурассеивающих бильярдов. Мы предполагаем, что граница иц удовлетворяет следующим условиям (охватывающим все перечисленные выше модели): ((J 2 ) поверхность О LI кусочно-гладкая с конечным числом регулярных компонент иLI і » І- 4-ї "> № ; (Q5.) в точках пересечения любых двух регулярных компонент границы вектора нормалей к ним неколлинеарны; ) граница выпукла внутрь U . Точнее, в каждой регулярной точке О оператор к(0) (р второй квад- ратичной формы поверхности и LI по отношению к вектору нор мали Ъ> (Ш , направленному внутрь области Q , неотрицатель но определен; /\ ) обозначим расстояние в римановой метрике на поверхности и W, оот точки О о Q до множества U особых точек края . Тогда \\K(0,tyhc(disi(c},&)ye для некоторых 00 и i>0 ; (Q.5) найдется регулярная точка О, Є dQ , для которой К(0)(^)
Фазовое пространство бильярдной системы в области Q есть №=Q*S , їда S - (d-i) -мерная сфера единичного радиуса (сфера векторов скорости). Точка ЭС Є jffi есть пара ^-==-((1^) % где ^ ^Q и tf-eS . Обозначим {T^Jгруппу временных сдвигов вдоль траекторий системы, У- - борелев-скую ё -алгебру на otfL и At - инвариантную относительно потока jT j меру на J- , эквивалентную мере Лебега (подроб-ное описание см. в I главы I).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X ^Iftft . Многообразие W ^ 0?с f X Є VV называется локальным сжимающимся трансверсальным слоем ( JjLl] C^J) или локальным устойчивым многообразием ( С5 Цэ [іЗ J ), если для любых Xі j X yj d (T*x's Т{х") <с^оС (*',*'«), где с >0 и $(0,1) зависят только от точки ОС , а с{ - риманова метрика /о^Х / = jolcp /а4- |o/W на Jfft в Для формулировки результатов главы I нам необходимо определить некоторый специальный оператор, который мы называем оператором кривизны точки Этот оператор был введен Я.Г.Синаем в Оператор кривизны точки X = (О,, ТУ) определен почти всюду на VfC и действует в (о(~ І) -мерном пространствеупроходящем через точку СУ и ортогональном вектору 1У . Точное определение этого оператора приводится в I главы I, а здесь мы лишь заметим, что оператор 9э(Усимметричен и неотрицательно определен. Обозначим J+. (х) собственное - 6 -подпространство оператора ад в j(x) , соответствующее всеы положительным собственный значениям, Рассыотрии функцию (9 (х) = dim J+ (х), также определенную почти всюду на В I главы I мы покажем, что множество точек, в окрестности которых функция С7 Vх) постоянна и не равна нулю, непусто и открыто в Ж .т.е. ц(Ф)>0 .
Касательное пространство J ^ 0L в точке есть Sq Q. * Оф Z? » где Уд Q можно естественным образом отождествить с , a S^y м - с определенным выше пространством J fa) . Обозначим t (ocj ^ Jx ООс подпространство, состоящее из векторов таких, что /в J+ fc\t а # = -(В0*О/ .
Сформулируем основной результат Главы I.
ТЕОРЕМА I. Для почти всех точек X Є Ф существует локальный сжимающийся трансверсальный слой ^эс. Касательное пространство к слою в каждой точке Ч Є есть ty) , т.е. dim Wfc)= dim J+(x)= G&).
Рассмотрим группу унитарных операторов {[/{j .» сопряженную с группой { ' J , т.е. группу унитарных операторов (UJ)fx) = /fTV) в пространстве комплекснозначных функций на Wi .
СЛЕДСТВИЕ I. Группа унитарных операторов {U{. j имеет счет-нократную лебеговскую компоненту в спектре.
В 4 главы I с помощью теоремы I исследуется одна физическая модель - газ твердых сфер в пенале, для которой точно вычисляется размерность трансверсальных слоений.
В главах XI и XIX мы от изучения общих полурассеивающих бильярдов переходим к важному частному случаю - газу твердых сфер.
Бесконечный газ твердых сфер - это динамическая система статистической механики, порожденная движением бесконечного числа одинаковых твердых сфер (т.е. жестких упругих шариков) в Семерном евклидовом пространстве ( СХ^< ), сталкивающихся между собой по законам упругого соударения (см., например, L ± J ). Ее фазовое пространство out и инвариантная мера - предельное распределение Гиббса - подробно описаны в главах II и III. Мы предполагаем, что данная система находится в разреженной газовой фазе, т.е. плотность числа частиц J) в пространстве достаточно мала: 9 ^ о (jO , В - обратная температура.
В главе II мы изучаем энтропию группы пространственно-вре менных сдвигов , действующую на ЇЇІ .Группа (гь порождается пространственными сдвигами S на вектор U. (К. и сдвигами | на время г вдоль траекторий системы. Эти сдвиги коммутируют и порожденная ими группа изоморф- на R.^ (сы.О/J).
В работе А.Г.Кушниренко показано, что энтропия диффеоморфизма гладкого компактного многообразия на себя конечна и найдена оценка сверху для нее. В главе II обобщаются методы работы А.ГЛСушниренко для динамических систем статистической механики. Точнее,мы рассматриваем систему частиц, взаимодействующих посредством некоторого парного сферического потенциала [J(t) . На функцию U LV ыы накладываем следующие ограничения: (U1 ) наличие твердой сердцевины: (JYt)= -f-oo прй 0< г 4Ч0 ; (\]% ) гладкость: \J (г) С (Ч0 , *>) ; ( 1/3) финитность: UWsO при г> г± >% ; (1/4 ) ограничения на рост при Т. ->* Ч.0+-0 : *eHft-0 < VЮ < *Р (ч-%) , где Ъ^>0 , К^ >0 ; ( U5) ограничения на рост первой и второй производной при \U"(t)\ <зе.Іи^)І & где *Х ^ > О и /\^ > 0 .
Динаыика системы частиц с таким потенциалом взаимодействия подробно изучалась в работах [І5] 9 [^V] ,L*5J . В главе II доказывается следующее свойство энтропии этой системы:
ТЕОРЕМА 2. Энтропия группы v\. конечна и удовлетворяет Оценке TL ( К, ) < $ ' CO%St [ ft) e
Таким образом, энтропия является термодина- мической характеристикой предельного распределения Гиббса:
В главе III мы рассматриваем газ твердых сфер и изучаем энтропию больших конечных систем твердых сфер. А именно, пусть А У1 - куб в пространстве (Л со стороной <* 7L с центром в точке U . Для любой конфигурации твердых сфер в LK (которая является точкой фазового пространства ) рассмотрим движение сфер внутри куба -М-тг при условии, что все сферы, лежащие вне А
7L или пересекающиеся с 7L неподвижны ("заморожены") Движущиеся сферы сталкиваются между собой и упруго отражаются от границы 0-J\-n. и от "замороженных" сфер, пересекающихся с кубом П . Таким образом мы получим конечную систему твердых сфер в "ящике" -Л-tl
Для изучения энтропии 71 бильярдной системы используется формула, полученная Я.Г .Синаем в \j№l~] :
1=1 h <&№ ciji (ос) , (0Д) где Jj (^Cj - оператор кривизны точки X фазового пространства Ж- , упомянутый выше.
Обозначим Siyi&J оператор кривизны точки ЭС 00с. для описанной выше системы твердых сфер в "ящике11 -Л-тг Тогда энтропия 71 tl этои системы выражается формулой .w..mrt ... IJ являющейся следствием общей формулы (O.I) - см. I главы III (здесь Jnn - предельное распределение Гиббса с обратной температурой (3 и химическим потенциалом М- ). В работе Я.Г.Синая l<&&J показано, что где р^-пі - объем куба -1\-п, . Там же высказана гипотеза о существовании предела при JL-^^O величины "И-^-/1/1.^ I (эта величина называется "энтропией на одну степень свободы" - см. L^J ) [7J
В совместной работе Я.Г.Синая и соискателяХдается положительный ответ на этот вопрос:
ТЕОРЕМА 3. Существует конечный предел f ^*-- - т
Кроме того, там же доказано одно следствие этой теоремы:
СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть П в = П0 &Л , где П0> О произвольное число. Тогда для почти всех точек А фазового пространства YfL по мере J^ и iim I Л I
Результаты, принадлежащие соискателю, составляют содержание 3 и 4- работы [й? J . В диссертации эти результаты излагаются в 2 и 3 главы III,
Основные результаты диссертации опубликованы с полными дока зательствами (см. ). По опубликованным работам сделаны доклады на семинарах по теории динамических сис тем на механико-математическом факультете МГУ и на семинаре по теории многокомпонентных случайных систем (Ташкент, 1982 г.).
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Я.Г,Синаю за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Л.А.Бунимовичу за помощь при оформлении рукописи. - II -
Свойства касательных отображений
В данном параграфе мы непосредственно приступаем к доказательству теоремы I. Мы докажем, что для каждой точки ОС существует локальный сжимающийся трансверсаль-ный слой Зафиксируем точку Х0 были определены слои WQ и wV Для каждого Обозначим t& "- моменты отражений траектории точки OCQ ОТ края с) Q и рассмотрим "стабилизирующую" серию отражений /і, ... , УJ (см. замечание к лемме 1.7). Выберем окрестность U точки Хо в їй. так, что I) функция постоянна на II) траектории точек X [) на интервале времени (О, І\\ + ) испытывают ровно )) отражений и не проходят через особые точки края QI ; III) число отражений траекторий точек X U до первого возвращения в окрестность U больше ]) , Из непрерывной зависимости цепной дроби и ее элементов от точки X и из условия I) следует, что серия отражений ij ... i Vj является "стабилизирующей" для всех точек X некоторой, возможно меньшей, окрестности точки Х0 . Будем считать, что окрестность (у выбрана столь малой, что ІУ) серия отражений j, .,. 9 )JJ является"стабилизирующей" для каждой точки СС \J f) flft
Разложение (1.5), определенное ранее на можно доопределить на всю окрестность \J следующим образом: Разложение (1.8) совпадает с разложением (1.5) на множестве I/ П Yfl (в СИЛУ - ) непрерывно зависит от точки X на \J и инвариантно относительно сдвигов вдоль траекторий точек X \J в смысле (1.7) для всех Т 0$ для которых пространства JQ + (і Ос) определены.
Пусть траектория точки Х0 на интервале времени (О, т) і раз отразилась от края и } = Я (г) раз возвращалась в окрестность \J . Поскольку ЭС0 , то найдется О = = О ( U) О такое, что для всех . Зафиксируем некоторое такое, что . Для каждого возвращения траекто рии точки Х0 в окрестность U зафиксируем некоторый момент {[ такой, что Ti l X0e\J ( І- і,.-, 2 ) и обозначим ZQ- V , tj + i" Выберем носитель СЛОЯ \AJQ , содержащего точку Х (см. I) столь малых размеров, что траектории точек слоя — VVQ на интервале времени (07 t) - 25 не проходят через особые точки края О С . Отображение слоя Wn на слой (сы. I) индуцирует отображение р_ носителя vV0 на носитель VVT Мы рассмотрит дифференциал CL \ х ЭТ0Г0 отображения.
Докажем одну лемму общего характера. Пусть Z- Q - произвольный слой и X = ( О,, ТУ) & 2— о в обозначениях, введенных в I, рассмотрим отображение fv носителей 21 о на 7" » индуцированное сдвигом і , переводящим 21 о в 2Z . Пусть траектория точки X на интервале времени [О5 Т) испытала отражения от края д О, в моменты ... ... t . Обозначим = 4- ij-i ( S # $ ід =Т ) ЛЕММА І.ІО. В обозначениях, введенных в I где - операторы второй квадратичной формы слоя и его образов. Доказательство. Бели .е. отражений не было), то формула о/ Ftffy) 1 "О геометрически очевидна. Далее лемма доказывается индукцией по І Аналог этой леммы при приведен в [S3 J . Заметим, что операторы /\ при І ї і однозначно определяются оператором Кл на основании леммы 1.3.
Доказательство. Утверждение а) следует из леммы I.IO и соот ношения Кг- ( JQ i)~v t полученного при доказательстве леммы I.II. Для доказательства утверждения б) рассмотрим отрезок траектории точки — ОС; . на промежутке времени ГО* h^rtil* Пусть t; ^ ty < ,,, < L/J - моменты отражений от края на этом отрезке траектории. Из свойства III) окрестности (J точ ки X следует, что t > V , а из свойства ІУ) вытекает, что отражения в моменты ±Й
Трансверсальные слоения для газа твердых сфер в пенале
Многообразие "\дЛ есть локальный сжимающийся трансверсаль-ный слой преобразования І . Определим искомый локальный сжимающийся трансверсальный слой W как множество точек для всех . При этом "время сдви га" {(х) 0 выбирается так, что и чтобы траектории точек множества \Д/ сближались друг с другом при 1- со . Такая функция І Ы существует, т.к. образы точек X Є Wjf под действием \і сближаются с экспонен циальной скоростью. Отсюда также следует, что для любых ОС Х11 . где С = С (Х0/) и 71 = У1 [) - число отражений траектории точки Х0 от края за время Г .Но УІ [і) Соп , где константа зависит только от области Q , поэтому где Из условия (Wc2) вытекает, что что завершает доказательство теореыы I. Нам осталось доказать следствие I, сформулированное во введении. Воспользуемся одной теоремой спектральной теории динамических систем (см. [f J, глава 13, 5): ТЕОРЕМА. Пусть для потока \ I j на пространстве Лі с d -алгеброй j- и мерой hL существует возрастающая ё -подалгебра $ d-алгебры \т , т.е. такая, что JQ при с: О и ± і з 0 Тогда группа унитарных операторов [ш] , сопряженная с потоком J j имеет счетнократную лебеговскую компоненту в спектре.
Определим измеримое разбиение пространства iftft. "на слои" так, что для каждой точки ОС G элемент разбиения С(х) есть максимальная гладкая компонента локального сжимающегося трансвереального слоя vA/ , проходящего через ОС (если слой отсутствует, то ). Обозначим d -алгебру, порожденную этим разбиением, через SQ , Из теоремы I следует, что SQ -возрастающая -алгебра для потока Т J . Таким образом, следствие I доказано.
В этом параграфе мы рассмотрим один пример полурассеивающей бильярдной системы, в которой локальные трансвероальные слои проходят через почти все точки фазового пространства и их размерность удается вычислить явно, не привлекая сложных соображений.
Рассмотрим систему, порожденную движением УЬ круглых дисков одинакового радиуса X единичной массы на торе Тот. Каждая частица (диск) движется с постоянной скоростью до соуда рения с другими дисками и сталкивается с ними по закону упругого удара» Детальное изучение этой системы мы проведем в главе III, а здесь ограничимся кратким рассмотрением. Конфигурационное пространство Q есть I ох. , из ко п(п-1) торого вырезана внутренность —тг— цилиндров, задаваемых уравнениями (Si- ,/+fy-#/-r i; але где (Хр,Чр) - координаты центра Р -го диска. Так как общая кинетическая энергия п системы постоянна, то фазовое пространство есть оУ - Q У Ь 9 где Ъ - Lun-i)-мерная сфера радиуса vй Н в "пространстве скоростей" ( U у± 5 гДе (U-P)Vp)" вектор скорости р -й частицы. Без ограничения общности будем считать, что olH = 1 . Движение дисков на торе по описанным выше законам соответствует движению бильярдной частицы в области С (см. например [53 ]), что позволяет применить теорепу I к данной системе.
Для вычисления размерности трансверсальных слоений требуется исследовать свойства края и Ц, , т.е. цилиндрических поверхностей (I.I6). Основание каждого цилиндра есть окружность 5 а образующая - (йтг-тЗ -мерное подпространство в их. . Все эти подпространства имеют общее двумерное подпространство, задаваемое направляющими векторами ( i 0 іь 0 ... , і? О) и ( О) і ; 0? і J ... -)0)1) . Поэтому в силу леммы 1.7 для каждой точки имеем dim. J0(X) , т.е. cLim.WM4 3-n.-3 . Наличие двумерного"нулевогоп подпространства J0 (X) в данном случае связано с тем, что система имеет нетривиальные первые интегралы - полный импульс и траекторию центра масс (см. также ниже).
В работе Я.Г.Синая [23 J выведено условие, при выполнении которого справедливо равенство dim. J. (%) = сЙи-3 (1Д7) это условие состоит в следующеы. Назовем серию идущих подряд столкновений, дисков на торе достаточной, если частицы нельзя разбить на две группы так, чтобы частицы одной группы ни разу не столкнулись в течении данной серии с частицами другой группы. Тогда равенство (I.I7) будет выполнено, если вдоль траектории точки ХЄЇЇЇ при 1 0 найдутся две непересекающиеся достаточные серии столкновений и если точка X не лежит на некотором счетном множестве гладких подмногообразий в oOL меньшей размерности.
Мы покажем, что в одном частном случае - в случае газа твер дых дисков в пенале - сформулированное выше свойство выполнено для почти всех точек . Предположим, что тор Tot по одному из направлений (например, по Ч ) имеет протяженность не более 4% (этим свойством объясняется название "пенал"). В системе дисков на таком торе можно ввести нумерацию частиц так, что І -я частица сталкивается только с (і + і)-й и с (і-О -й ( а также первая частица с П -Й). В этом случае система распа дается на две невзаимодействующие подсистемы только в том случае, когда проекция вектора скорости каждой частицы на ось ОХ одина кова для всех частиц.
Оценка сверху энтропии группы пространственно-временных сдвигов
Рассмотрим полную энергию конфигурации при граничном условии X (-/IJ (СМ. (2.3) ) и число /1/д_ (X) частиц в кубе -A- t . Эти величины - первые интегралы группы {Tyj; j . Заметим, что Д/ 00 0 П , где М? -константа, зависящая от и d . Обозначим
На основании леммы 2.3 имеем J ,fc С п) 2 при t- ix . Обозначим ?п (2 5 Vi ) и Vп (Є-) Разбиения пространства 1( , совпадающие с разбиедияни Си У) и n Cw » соответственно, на множестве {Ос- и содержащие множество Tfl s 4 ifift в качестве одного из своих элементов. Так как разбиение /ті (э ) содержит не более чем % элементов, то Ну ТАПС,УА)) I UTVL А (2.9) уиж Множества ) выберем так, что п()} Ъ t Cf, ) .Положим = /[ u J при некото ром фиксированном &Є (O0ol) .Тогда К п (, Vj ) 7n тг Г О» отВДа Hfvj .fcM«« .ft.D. 2.10) - 56 Оценим сверху число Z-n элементов разбиения I? п (п) . Число частиц /V в кубе А ті не превышает IV0 71е - , поэтому где - число кубов со стороной -тг. , на которые разбивается область изменения векторов скоростей V" частиц в кубе VV-7L Эта область представляет собой cLN -мерный шар радиуса V 71 " , поэтому Объединяя эти оценки и подставляя получим ) - (2.11) Нам потребуется одно соотношение энтропийной теории. Пусть v и V - измеримые разбиения. Известно (см. например [ У), что Если I - автоморфизм пространства Лі , то ft -кратное применение написанной выше формулы дает 71
Используя эту формулу и (2.II), получим Н f ,у№ Ті 7, Ю) Л2) Для каждого элемента Л (ъ. (%/ обозначим через А/д число элементов разбиения 7 СЄ-п) э которые пересекают множество 1 п А . Объединяя формулы (2.8)-(2.10) и (2.12) получим Пусть подмножество №п а g 0OL состоит из та ких конфигураций Л м , что і) Sup \iy\ aVІкті ; II) Sup sap UYty- yl) fc f 71) где Л — о І л0 - см. условие (U4). Рассмотрим множество На основании лемм 2.1 и 2.2 найдутся & 0 и ь 0 t при которых 1 v) p,u V 0 71 ,«/ (2.14) \Xs VYS Л Заметим, что Oy n a, vuL при достаточно больших 71 ( 71 ТІ (СЦ ьу ) В дальнейшем мы будем считать, что Все элементы разбиения 9П ( тг/ объединим в две группы: 0= {де (п)=лП й)0)Г В силу (2.II) и (2.14) имеет место оценка ,
Рассмотрим множество /\ h . Заметим, что число час тиц в кубе JV ТІ + zd постоянно на А и на траекториях точек множества А Обозначим его Кд . Если рассматривать координаты только этих частиц, то множество А можно представить как подмножество в , являющееся кубом со стороной C.yi Введем на множестве т. метрику ciisl следующим образом. Для каждой точки рассмотрим конфигурацию ХЦ.ті+5 ) как подмножество в [К, (каждая частица - точка в [р_ ). Расстояние определяется как расстояние между подмножествами ги йг) в [R в метри ке Хаусдорфа, порожденной метрикой (2 3/)= ТпаХ \ССІ-ЧІ\ в пространстве Ць . Во введенной таким образом метрике QList диаметр каждого множества Ас равен с-тг Оценим сверху диаметр образа 1 -д Д
Рассмотрим произвольную замкнутую конечную систему частиц, движущихся согласно динамике, определяемой уравнениями (2.1). Фазовое пространство J4 этой системы есть некоторое подмножество в ]\, ( /у - число частиц в системе), а группа сдвигов \_Т j J вдоль траекторий системы - гладкий поток на с/ . Обозначим через U полную энергию этой системы.
Асимптотическое поведение энтропии при термодинамическом предельном переходе
Рассмотрим куб -Л-у при некотором произвольном оС О УІ ра зобьем его на я равных кубов со стороной t . "Заморозим" стенки этих кубов и пересекающие их сферы и рассмотрим динамику I j сфер в кубе -А. при этом условии. Обозначим операторы кривизны, соответствующие динамикам 7 J и І І.) и УТВЕРЖДЕНИЕ 3.5. Для любого О найдется С 0 такое, что при всех A (X) С І+ Заметим, что из утверждения 3.5 непосредственно вытекает, что при больших о US4 «c.4w- .« . т.е. ряд (3.10) абсолютно сходится. Доказательство утверждения 3.5. Сравним операторы JUy и V Пусть » " число сфер, "замороженных" в динамике \УхЬ но движущихся в динамике Т j . Тогда оператор 35 у Мдей ствует на подпространстве 7 (х) коразмерности ОіМ в пространст ве J (X) действия оператора 5- т 00 . Продолжим оператор Фу . на все пространство J (X) , положив в соответствующей ему цепной дроби (3.7) А/ ( J(X) J(X)) 0 при всех ibl .
След оператора J3 . (.Л/ при этом увеличится на величину Цр1 . Однако, т.к. ІЛ 4 Сопз4 #, Х , то такое доопределение оператора - т ( ) не повлияет на справедливость утверждения 3.5. Следующий шаг состоит во введении в цепных дробях J3 у я-и ІОу дополнительных элементов, не изменяя значений самих дробей. А именно, напишем очевидное равенство
При этом в цепной дроби появился дополнительный нулевой элемент с четным номером. Вводя таким способом нулевые элементы в цепные дроби 35 g т И J /f , мы добьемся того, что в этих дробях операторы с одинаковыми нечетными номерами будут равны друг другу. Заметим, что если какое-то столкновение сфер происходит в обеих динамиках { I % ] и і 1% j то ему соответствуют в цепных дробях 5І и Зэ операторы А\ и лf с одинаковым номером і . Более того, т.к. операторы АІ и А{ соответствуют одному и тому же столкновению, то элементы цепных дробей & и Jo у соответственно, введенные в I главы I. Это нетрудно усмотреть из определения оператора А і в I главы I.
Мы будем использовать введенные при доказательстве леммы 1,6 обозначения Е. иг для "хвостов" дроби 33 чв и соответствующие обозначения L и Г для "хвос тов" дроби Л5І уз . Положим также чг — г и G Ср) = Е г (р . Заметим, что
Сделав такие преобразования 0 раз, где - общая длина цепных дробей , полу П п,,...п (пГ...п: П,...п, -ПГ-ТТГ A, it, ... TTjrt ... Пг Обозначим . -е слагаемое в правой части формулы (ЗД2) через С[ ( і = /, ... j / ) Если -е столкновение одно и то же в динамиках jTVj и tT J то в силу - 79 (ЗЛІ) имеем С\ 0 . Обозначим Ж і Сі j . Если L К , то один из операторов А{ и А равен нулю. Второй, ненулевой, оператор соответствует столкновению сфер, которое происходит только в какой-либо одной из динаыик і \y J и ( і J . Такие столкновения мы будеы называть "изменчивыми". Пусть ( случай (d-i)-i /\t0 аналогичен). Оператор А І диагонализуеы, имеет (ОС- і)-мерное ненулевое собственное подпространство, собственное значение ( Ч-о) , кратности cL L и соб ственное значение Л — --—і-—— кратности 1 (здесь 1 - относительная скорость сталкивающихся сфер и Ч1Г\ - угол между вектором относительной скорости и линией центров в момент столкновения). Используя оценки для операторов UT и (д , полученные при доказательстве леммы 1.6, имеем o(i) и: т- -: \- п, I ( ы -+ )1 + и LT X . Отсюда где ц - момент і -го столкновения. Переходя к собственному базису оператора Аг , получаем оценку: і Г I г - 4- d—S. , - 80 Отсюда IЛ (X) И L l + JL L і + &% . (злз) гсК\ і К Сделаем одно замечание общего характера. Пусть fc - неотрицательная случайная величина и при всех X 0 , где (j 0х-) - некоторая функция распределения и G(o) = o . Тогда оО Л\ J ос o(GC«), где ЛІ 5 - математическое ожидание величины . Зта формула доказывается интегрированием по частям.
Переходим непосредственно к доказательству утверждения 3.5. Смысл утверждения следующей леммы состоит в том, что "изменчивые" столкновения сконцентрированы в окрестности внутренних сте-нок кубов JL , которые "замораживались" при построении динамики
При любых 0 и В 0 найдется С 0 такое, что при всех достаточно больших X вероятность того, что хотя бы одно "изменчивое" столкновение произойдет вне о? -окрестности внутренних стенок, не превышает С Г"В . Доказательство. Положим X - out _ f еоли I) скорости всех частиц в кубе на интервале вре мени (С? j т) в динамиках -J T J и [ l j не пре вышают СХ. V \AL X. ; II) в моменты времени 10 где 5 — — )jf А , в обеих динамиках - 81 {T j и [T j в кубе А нет ( 0 +Х. %) -кластеров размера более 4 Если у / , то все "изменчивые" столкновения будут расположены в 1, -окрестности стенок кубов
Это вытекает из того, что влияние "замораживания" стенок куба JL успевает распространиться за время L только в С -окрестность стенок этого куба (аналогичные соображения при менялись в доказательстве леммы 2.5),
