Содержание к диссертации
Введение
1 Сильный резольвентный предел 16
1.1 Пример сильного резольвентного предела 16
1.2 Простой пример резольвентного предела в пространстве Фока 19
1.3 Сильный резольвентный предел: гамильтониан с коммутирующими коэффициентами 22
1.4 Физический пример 27
1.5 Предел точечного взаимодействия для гамильтониана с неком-мутирующими коэффициентами 30
1.6 Предварительные оценки 35
1.7 Резольвентный предел семейства асимптотических решений уравнения Шрёдингера 66
1.7.1 Вид предельного разрешающего оператора 66
1.7.2 Предельный генератор и квантовое стохастическое дифференциальное уравнение для предельного разрешающего оператора 74
1.8 Предел решений уравнения Шрёдингера с гамильтонианом с некоммутирующими коэффициентами в произвольный момент времени 77
2 Приложения к физическим моделям 92
2.1 Взаимодействие излучения с осциллятором с учётом трения 93
2.1.1 Свободный осциллятор 93
2.1.2 Осциллятор, взаимодействующий с лазером 97
2.2 Решение квантового стохастического дифференциального уравнена в координатном представлении 103
2.2.1 Квантовое уравнение Лиувилля при наличии диссипации 103
2.2.2 Условия регистрации силы 115
2.2.3 Серия последовательных измерений 118
2.2.4 Обсуждение 121
3 Вывод квантового кинетического уравнения 122
3.1 Уравнение для частичного среднего по состоянию окружения 122
Литература
132
- Пример сильного резольвентного предела
- Взаимодействие излучения с осциллятором с учётом трения
- Осциллятор, взаимодействующий с лазером
Введение к работе
Литературный обзор.
Открытая квантовая система представляет собой квантовую систему, взаимодействующую с классическим или квантовым окружением (резервуаром), имеющим большое или бесконечное число степеней свободы. Примерами открытых систем могут служить кристаллическая структура, отдельный атом или интерферометр, взаимодействующие с электромагнитным излучением или другими внешними полями, переносящими энергию. Важным с точки зрения приложений является случай, когда окружение имеет фиксированную температуру, а квантовая эволюция необратима. Необратимость эволюции открытых квантовых систем может быть связана как с влиянием процессов измерения, так и с диссипацией энергии в резервуаре. Точное решение уравнения описывающего эволюцию открытой системы обычно не известно и поэтому рассматривается более простая эволюция квантовой системы усреднённая по состоянию окружения {редуцированная эволюция). Процедуре усреднения в классическом случае соответствует условное математическому ожиданию, а в квантовом — операция частичного следа. Как в классическом, так и в квантовом случаях, процедура усреднения является еще одним источником необратимости, причем в квантовом случае результатом частичного усреднения является вполне положительная необратимая динамика.
Одна из первых работ по исследованию редуцированных открытых систем — статья Н.Н.Боголюбова и Н.М.Крылова [1]. В квантовом случае, редуцированная динамика описывается мастер-уравнением (называемым так- же квантовым кинетическим уравнением) для матрицы плотности или двойственным уравнением для операторов из алгебре наблюдаемых. Общий вид эволюционного уравнения, разрешающий оператор которого — квантовая динамическая полугруппа — равномерно непрерывна и имеет вид вполне положительного отображения; сохраняющего единичный оператор, был описан Г. Линдбладом (G. Lindblad) [2] и, независимо, В. Горини (V. Gorini), А. Кос-саковским (A. Kossakowski) и Е. Ч. Дж. Сударшаном (Е. С. G. Sudarshan) [3]. Решение двойственного уравнения сохраняет след начального состояния. Некоммутативный аналог марковского случайного процесса, естественным образом согласованный с конструкцией квантовой динамической полугруппы, был построен в работе Л. Аккарди (L. Accardi), А. Фриджерио (A. Frigerio) и Ж. Т. Льюиса (J. Т. Lewis) [4]. Немарковская конструкция квантового случайного процесса была предложена в работе [5], позднее появились и другие модели, однако, ни одна, из них до настоящего времени не стала канонической. Производящий оператор непрерывной по норме квантовой динамической полугруппы имеет вид [3], [2] цх) = щ х] н- [у;щ - h/;v.x - \xv;v)j , (о.і)ї где Я, Y^-іУ^] В(Н). Существуют примеры нестандартных генераторов сильно непрерывных полугрупп, структура которых отличается от описанной выше [6]. Однако, для сильно непрерывных полугрупп такая задача в общем случае не решена до сих пор.
Р. Л. Хадсои (R. L. Hudson) и К. Р. Партасарати (К. R. Parthasarathy) [7] развили бозонное и фермионное стохастические исчисления. Ими получены некоммутативные аналоги формулы Ито на основе пары иекоомутирующих процессов «квантового броуновского движения» Л;, А\, подчиняющимся формальному соотношению dAt dA\ = dt. В работе [8] Р. Л. Хадсон и К. Р. Партасарати построили стохастические интегралы неупреждающих функционалов относительно процессов по трём мартингалам: A(t), АЦі), A(f), которые на- зываются, соответственно, процессами уничтожения, рождения и числа частиц. Они построили также квантовую таблицу умножения для стохастических дифференциалов от данных мартингалов. А. С. Холево [9] показал, что алгебра стохастических дифференциалов с такой таблицей умножения изоморфна некоторой алгебре 3x3 матриц. В. П. Белавкин предложил удобное симметричное представления для такой алгебры в [10]. В работе [8] были найдены так же условия существования и единственности квантового стохастического дифференциального уравнения. Важной задачей является нахождение таких условий для случая неограниченных операторов. Некоторые результаты в этом направлении получены, помимо [8], в работах Ж.~ Л. Журне [11], А. М. Чеботарёва, А. Фриджерио, Ф. Фаньолы (F. Fagnola) [12] и др. А. С. Холево [13,14] нашёл условия, при которых решение квантового стохастического дифференциального уравнение с помощью вспомогательной предельной процедуры можно предствить в виде хронологической экспоненты, Хронологически упорядоченные экспоненты специального вида рассматривались Р. Л. Хадсоном, К. Р. Партасарати, В. фон Вандельфельсом (W. von Waldenfelds) в сборнике [15].
Квантовые стохастические дифференциальные уравнения естественным образом возникают в результате определённых предельных переходов для ряда важных физических задач в фоковском пространстве. Примерами таких пределов являются: предел слабого взаимодействия, предел слабых неразру-шающих измерений, см. работу А. В. Велавкииа [16], стохастический предел, сильная резольвентная сходимость к точечным взаимодействиям и др. Изложение метода стохастического предела можно найти в [17].
Предел слабого взаимодействия или слабой связи, когда эволюция системы рассматривается при больших временах, известен как предел ван Хова (L. van Hove) [18], рассматривался в работах Е. Дэвиса (Е. Davies) [19-21], Р. Думке (R. Duracke) [22], Л.Аккарди, С.В.Козырева, И. В. Воловина, А. Н. Печень [23-26] и др. В [23] авторы рассматривают двухуровневую систему, взаимодействующую с окружением, при больших временах. Показано, что си- стема может эволюционировать в двух режимах: осцилляции и затухания. В работе [24] метод стохастического предела используется для описания взаимодействия частицы и электромагнитного поля. Показано, что при определённых состояних частицы возможно неэкспоненциальный распад. Ж. Го (J. Gough), В. П. Белавкин и О. Г. Смоляное показали связь между задачами оптимального управления и стохастическими дифференциальными уравнениями. В [27] они нашли, что уравнение Гамильтона—Якоби—Веллмана эквивалентно стохастической схеме Гамильтона—Понтрягина.
В работах А. М. Чеботарёва [28—30] показано, что решение квантового стохастического дифференциального уравнения унитарно эквивалентно задаче Коши для уравнения Шрёдингера с генератором, который реализуется как симметричная краевая задача. Также показано, что стохастическое дифференциальное уравнение возникает как резольвентный предел унитарной эволюции квантовой системы, взаимодействующей точечным образом с пучком безмассовых бозе-частиц. Рассматривается семейство гамильтонианов, зависящих от действительного параметра а, действующие в пространстве Фока, такое, что при а —» 0 потенциал взаимодействия окружения и системы стремится к дельта-функции. В случае, когда операторы, относящиеся к системе, имеют общее спектральное семейство, а также в ряде частных случаях, описывающих конкретные физические модели, решение уравнения Шрёдингера получено явно. Оказывается, что сильным резольвентным пределом генераторов является оператор, имеющий в качестве области определения векторы, подчиняющиеся определённому граничному условию. Физически, данное краевое условие описывает скачок фазы при взаимодействии окружения, которое в данном случае является пучком фотонов, с системой. Слабый предел семейства гамильтонианов в этих случаях не совпадает с сильным, что само по себе является нетривиальным фактом. А. М. Чеботарёвым было установлено, что при таком граничном условии гамильтониан найденного вида является симметричным и при иекоммутирующих коэффициентах. Найдены условия единственности решения и условия существенной самосопряжённости сим- метричной краевой задачи.
М. Грегоратти (М. Gregoratti) [31,32] изучал предельный генератор и краевое условие в многомерном случае без использования предположения о наличии общего спектрального семейства. Вопросы связи стохастического дифференциального уравнения и уравнения Шрёдингера рассматривались Е. Р. Лу~ бенец [33-36]. В работе [33] Е. Р. Лубенец вводит понятие стохастической реализации квантового инструмента и использует подоход, основанный на использовании семейства квантовых стохастических эволюционных операторов для описание квантового измерения. В статье [36] автор представил новую схему для вероятностного описания широкого класса наблюдений над квантовым объектом.
Среди физических приложений, для описания которых возможно применение результатов диссертационной работы, можно назвать модельную задачу взаимодействия квантового осциллятора с окружением, представляющим собой пучок фотонов. Такие задачи возникают, к примеру, при описании детектора гравитационных волн. Данная модель изучалась, в частности, В.Б.Брагинским, Ф.Я.Халили [37-39], К. Брифом (C.Brif), А.Маном (A.Mann) [40], (см. также, [41-43]) и другими авторами.
Основные понятия.
Перечислим основные понятия, встречающиеся в данной работе.
С каждой квантовой системой связывается комплексное гильбертово пространство, которое мы обозначим через Sj. Норму и скалярное произведение будем обозначать, соответственно, как ||-||д и (, -)й; сопряжённый к А оператор как А*.
Множество B(Sj) — множество ограниченных операторов. Норма операторов вводится как обычно: \\А\\ = sup \\Ah\\. INK
Область определения неограниченного оператора А будем обозначать как Т>(А).
Для обозначения операторов с конечным следом будем использовать символ T(S)). Норму в Т($у) обозначим через ||'||Тг: S|r|iTr^Tr{V^r}.
Матрица плотности системы — оператор с конечным следом р Є Т{$)), такой, что р* = р, р^О, Ъ{р} = 1.
Пусть Т Є T{f}), А Є В{9)). Тогда произведения AT и ТА так же принадлежат Т($)), и справедливо:
Ъ{ТА} = Тг{АТ}} \\ТА\\Ъ<\\Т\\Ъ\\А1 \\АТ\\Ъ ^ \\Т\\Ъ\\А\\.
Следовательно, отображение А і-> Тг{'/1} является линейным изометрическим изоморфизмом В($)) в T{f)), Таким образом, пространство В($)) является дуальным пространством к Т($)).
На пространстве В($) существуют несколько топологий, которые могут быть определены через сходимость операторов. Именно, пусть существует последовательность операторов {Аа}. Тогда
1. {Аа} сходится к А равномерно, если иш||Ла-Л||=0.
2. \Аа} сходится к А сильно, если \\m\\Aah-Ah\L = 0, \/heV(A).
3. {Аа} сходится к А слабо., если lim (д, Aah - Ah), = О, V/г Є V(A)t Уд Є fi. A. {Aa} сходится к А улыпраслабо, если
1ітТг{Т(Ло-Л)} = 0, УТєТОД.
Из равномерной сходимости следуют сильная, из сильной следует слабая.
Состояния окружения описывается векторами из симметрического пространства Фока, что соответствует бозонной модели [44,45]. Скалярное произведение в TS(L2(R)) задаётся выражением {ф, ф)тз = ^0 + 5^ / Лпхф*1(х1,...,хп)ф„{х1,...,хп)> ті=1 * где звёздочка означает комплексное сопряжение, а ф, ф Є rs(Z/2(M)) — векторы фоковского пространства, компоненты которых инвариантны относительно перестановок координат:
Ф = {Фв, ^i(zi), ..., іЦхі, .,хп)у ...}, Vo Є С, Vv є L2{Rn)-
Величина \фп(%1,----,Хп)\2 нормированного на единицу вектора фп имеет смысл плотности вероятности нахождения ровно п частиц в точке (хг,...,хп).
В Г"5 (1*2 (Ж-)) вводятся операторные плотности аЦх) и а(х), операторов рождения и уничтожения (а{х)ф)п{хъ.,.7хп) - \/пТїфп+і(хъ-.^Хп,х)
1 п (аі1(х)ф)п(ххі ...,хп) = -^=^2(5(х - ^)^-1(2^1,... ,»j,.. .,хп)).
Для произвольной функции д Є ЬііЩ-, на финитных векторах из Г5(1/2(К)) корректно определены следующие операторы:
А{д) = / dxg{x)a(x), Л](д) = / dxg(x)a!{x),
А(д)= /dxg{x)a)(x)a{x). (0.2)
Если в качестве функции д выбирается индикаторная функция некоторого борелевскго множества В: д(х) — 1в(х), то этом случае действие операторов (0.2) на произвольный вектор ф Є TS(L2(M.)) записывается следующим образом: {А{Щі>)п{хі,...,хп) = VnTl I dx\j)n+l{xi)..,)xn,x)i
1 " [A] (Ш)ф)п{хь...,xn) = —= ^ /в(^№і-і(жі,..., fj,..., xn)} (A(B)VOn(si,... ,xn) = ^iafeMifai, .,).
Последние выражения могут служить определением соответствующих операторов, стоящих в левых частях.
Для описания динамики открытой системы используется понятие (консервативной) квантовой динамической полугруппы, которая является некоммутативным аналогом марковских полугрупп в классической теории вероятности. В гейзенберговской картине, квантовая динамическая полугруппа это семейство отображений {St, і ^ 0} над операторами из В (ТС), такое, что при любых t, s ^ 0 справедливо:
5(/) = /.
Отображение 5(-) вполне положительно и нормально. 3- St+s ~ SsSt, Sq — I.
4. Для каждого А є ВІН) отображение 5(-) ультраслабо непрерывно.
Выше / обозначает единичный оператор. Об определении вполне положительного и нормального отображений см. [46]. Если А — эрмитов оператор некоторой наблюдаемой в момент времени і = 0, то в произвольный момент времени t этой же наблюдаемой будет соответствовать оператор At = St{A). Отображение 5(-) нормально, таким образом мы можем ввести дуальное отображение **(), действующее в Т(й), с помощью которого можно описать эволюцию в Шрёдингеровской картине. Именно, обозначим через р матрицу плотности системы в момент Бремени t = 0. Тогда в произвольный момент времени і матрица плотности будет иметь вид: pt ~ St*{p).
Генератором квантовой динамической полугруппы называется отображение (): C(A) = hmkst(A)-A), t—>\i t последний предел сильный. Для равномерно непрерывных квантовых динамических полугрупп генератор представим в виде (0.1). При этом уравнение для наблюдаемой имеет вид: jAt = Щ = «[Я, At] + Y, ЫЩ ~ - \ЩУ) > *>0- (0.3) Уравнение для матрицы плотности имеет вид: jtPt = СМ = ~г[П, Pt] + Е ( W* - lVJ*VjPt - \f>tV?Vj) > г> > (0.4) где *() — дуальное отображение. Уравнения (0.3)-(0.4) носят названия мастер-уравнения (master equation) или управляющего уравнения.
Пусть квантовая система не является изолированной, а взаимодействует со своим окружением. Оператор эволюции составной системы обозначим через Ut, а матрицу плотности этой системы через р ~ р&пу psys, где penv и psys — матрицы плотности окружения и системы соответственно. Тогда в момент времени і > 0 имеем для матрицы плотности составной системы: pt = UtpU*, а для матрицы плотности открытой системы: piys = Trrs{Utpun, где Trrs{'} — след по состоянию окружения. С каждой наблюдаемой А открытой системы сопоставляется оператор I А на общем гильбертовом пространстве. Таким образом,
Аь = Ъгз{ЩАЩ.
Структура диссертационной работы.
Следует отметить, что задача, рассматриваемая в диссертации, в случае уравнения с коммутирующими операторными коэффициентами, рассматривалась в работах А.М.Чеботарёва, Д.В.Викторова, М.Грегоратти и др. Обобщение этих результатов на уравнение с некоммутирующими коэффициентами, важное для приложений в физических задачах, является сложной с точки зрения математического анализа. Подход к решению этой задачи, развиваемый в данной работе, состоит в следующем. Сначала изучается необходимое условие, которому должен удовлетворять формальный генератор уравнения, соответствующему пределу точечного взаимодействия. Затем, строится полугруппа унитарных операторов, имеющая найденный генератор, и устанавливается однозначная связь между предельными генераторами и КСДУ, для которого известны теоремы существования и единственности решения. Таким образом, обосновывается существенная самосопряжённость ранее найденных генераторов.
Диссертация состоит из введения и трёх глав.
В первой главе рассматривается асимптотика по t семейства разрешающих операторов уравнения Шрёдингера, зависящего от действительного параметра а и рассматривается стохастический предел а —> 0. Учитывая, что коэффициенты исходного уравнения Шрёдингера не зависят от времени, полученных оценок достаточно для вычисления в явном виде предельного генератора разрешающего оператора и вывода предельного уравнения, которому он подчиняется. Также выводится предельное квантовое стохастическое дифференциальное уравнение в форме Хадсона—Партасарати. Затем, на основе полученной асимптотики предельного оператора строится точное решение. Важно отметить, что связь между операторными коэффициентами исходного уравнения и предельной задачи является существенно нелинейной.
Во второй главе полученный явный вид приближённых разрешающих операторов применяется для конкретных физических моделей, в частности — взаимодействие квантового осциллятора с излучением при наличии силы, действующей на осциллятор. Кроме того, рассматривается иной подход к решению задачи взаимодействия осциллятора с резервуаром, имеющим конечную температуру. А именно, непосредственно решается стохастическое дифференциальное уравнение для редуцированной матрицы плотности осциллятора в координатном представлении. Оба подхода дают схожие результаты.
В третьей главе выводится квантовое кинетическое уравнение для произвольной наблюдаемой с использованием результатов первой главы. Аналогичное уравнение было выведено ранее для случая коммутирующих коэффициентов. Подтвердилась высказанная ранее гипотеза, согласно которой вид коэффициентов квантового уравнения Лиувилля останется неизменным и в случае некоммутирующих коэффициентов.
Результаты диссертации опубликованы в следующих работах;
Рыжаков Г. В., Синев А. М. О влиянии среднего числа фотонов на резонансный квантовый предел для интерференционной гравитационной антенны. Научная конференция «Ломоносовские чтения-2000».
Рыжаков Г. В. Вывод квантового стохастического уравнения для модели интерференционного детектора гравитационных волн, Научная конференция «Ломоносов-2001».
Чеботарёв А. М., Чуркии А. В., Рыжаков Г. В., Синев А. М. О резонансном квантовом пределе для интерференционной гравитационной антенны, Вестник МГУ, серия 3. Физика. Астрономия. 5, 2001, стр. 33-36. Chebotarev А. М., Tchourkin А. V., Ryzhakov G. V., Sinev А. М. A solvable model of gravitational wave detector and the standart quantum limit, Russ. J. Math. Phys. 10, 2, 134-141 (2003) Chebotarev A. M., Ryzhakov G. V. On the Strong Resolvent Convergence of the Schrodinger Evolution to Quantum Stochastics, Mathematical Notes
74, 5. pp. 717-733 (2003)
Чеботарёв A, M., Рыжаков Г. В. О стохастических уравнениях, являющимися сильными резольвентными пределами уравнений Шрёдингера, Научная конференция «Ломоносовские чтения-2004».
Рыжаков Г. В. Асимптотические решения квантового стохастического уравнения Лиувилля для осциллятора с учётом диссипации, Russ. J. of Math. Phys, 12, 3, p. 386 (2005).
Рыжаков Г. В. Марковское приближения для частичного среднего обратимой эволюции в произведении векторных пространств, Девятнадцатые международные плехановские чтения, тезисы докладов. (2006)
Рыжаков Г. В. Резольвентные пределы квантовой эволюции открытых систем, Матем. заметки, (2006), 80, 3. с. 476-480.
Благодарности
Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А, М. Чеботарёву за помощь в работе и полезные обсуждения.
Пример сильного резольвентного предела
Б первой главе приводятся простейшие примеры сильного резольвентного предела и физический пример, в котором используются данное понятие. Далее, рассматривается асимптотика по t семейства разрешающих операторов уравнения Шредингера с некоммутирующими ограниченными операторными коэффициентами, зависящего от действительного параметра а и рассматривается стохастический предел а — 0. Учитывая, что коэффициенты исходного уравнения Шредингера не зависят от времени, полученных оценок достаточно для вычисления в явном виде предельного генератора разрешающего оператора и вывода предельного уравнения, которому он подчиняется. Также выводится предельное квантовое стохастическое дифференциальное уравнение в форме Хадсона— Партасарати, Затем, на основе полученной асимптотики предельного оператора строится точное решение.
Взаимодействие излучения с осциллятором с учётом трения
В главе изучаются различиные физические модели, для которых оказывается полезными результаты предыдущей главы. В частности, рассматривается взаимодействие квантового оссциллятора с лазерным излучением в случаях, когда на осциллятор действует некоторая сила. Кроме того, рассматривается случай диссипативной системы. В качестве векторов состояния, описывающих лазерное излучение, берутся когерентный вектор, и вектор, который моделирует температурное состояние. Далее, рассматривается иной подход к решению задачи взаимодействия осциллятора с резервуаром, имеющим конечную температуру. А именно, непосредственно решается стохастическое дифференциальное уравнение для редуцированной матрицы плотности осциллятора в координатном представлении. Оба подхода дают схожие результаты.
Осциллятор, взаимодействующий с лазером
Черта сверху означает комплексное сопряжение. Непосредственным вычислением легко убедиться, что Z/2-норма усреднённой матрицы плотности совпадает с нормой исходной. В следующем разделе матрица плотности pa{xi,x2,t) используется для нахождения параметров системы, над которой производится наблюдение.
В качестве примера, рассмотрим схему измерения малых сил с помощью интерферометра, в котором одно из зеркал закреплено на осцилляторе. Сила, действующая на осциллятор, изменяет его состояние, параметры которого определяются по интерференционной картине на фотодетекторе.
