Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями Еникеева Зульфира Аснафовна

Равномерная сходимость почти наверное сумм независимых случайных величин, зависящих от параметра времени

Исследование слабой сходимости случайных ломаных и случайных ступенчатых линий, определенных случайными величинами, в линейных метрических пространствах вещественных функций является важным направлением в теории вероятностей. В первых результатах этого направления, полученных Колмогоровым, Эрдешем, Кацем, Донскером, изучалась сходимость функционалов от последовательности сумм независимых центрированных случайных величин, имеющих конечные вторые моменты. В ([28], 1954)

A. Н. Колмогоров и Ю. В. Прохоров заметили что эти результаты являются следствием сходимости по распределению в пространстве непрерывных функций С[0,1] некоторых случайных элементов, со значениями в множестве ломаных линий к распределению опреде ляемому винеровским процессом. В работах Ю. В. Прохорова [17], B. М. Круглова [12], [13], Т. Микоша [30], С. Янсона и М. Вишуры [29], И. А. Ибрагимова и А. Н. Бородина [4], П. Бикеля и М. Вишуры [21], В.Бенткуса и К. Любимскаса [1], К. А, Боровкова [4], Д. М. Чибисова [18] получены обобщения теоремы А. Н. Колмогорова и Ю. В. Прохорова на суммы разнораспределенных случайных величин, на билинейные и полилинейные формы от случайных величин, на функции от сумм случайных величин. Настоящая работа лежит в русле этого направления. В работе доказывается сходимость случайных ломаных определенных суммами независимых случайных величин, причем в этих суммах одни случайные величины случайным образом замещаются другими. Замещения определяются умножением на значения индикаторов, определенных на другом вероятностном пространстве, элементы которого рассматриваются как случайные параметры, и сходимость случайных ломаных доказывается для почти всех значений этого случайного параметра. Результаты работы являются обобщениями соответствующих теорем из статей А. Н. Чупрунова и О. В. Русакова [25]-[26] и И. Фазекаша и А. Н. Чупрунова [22]-[24], полученных для сумм одинаково распределенных случайных величин. Здесь рассматривается более общая схема серий разнораспределённых случайных величин, удовлетворяющих условию Линдеберга. Полученные предельные теоремы применяются в некоторых моделях стохастической финансовой математики. Строятся три модели финансового рынка: рынок с постоянным числом агентов, рынок с уменьшающимся числом агентов, рынок с увеличивающимся числом агентов. Для каждой модели мы строим случайный процесс, определяющий рыночную стоимость акций. Также для каждой модели приводится аналог формулы Блэка - Шоулса справедливой цены европейского опциона покупателя. Цель работы. Изучение слабой сходимости случайных ломаных, построенных с помощью сумм независимых случайных величин, в которых некоторые слагаемые случайным образом заменяются другими случайными величинами. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: 1. Получены новые усиленные законы больших чисел для сумм независимых ограниченных случайных величин с замещениями. 2. Доказана слабая сходимость случайных ломаных, построенных по суммам независимых разнораспределённых случайных величин с замещениями для дочти всех значений случайного параметра замещения. 3. Исследована слабая сходимость некоторых функций от сумм независимых случайных величин. Рассмотрено приложение полученных результатов в моделях финансового рынка. Методы исследования. Методы исследования основаны на принципе инвариантности: Донскера-Прохорова. Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоритическттй характер и могут применятся в различных областях, в которых изучаются случайные процессы. Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ. 1. Еникеева 3. А. Принцип инвариантности для сумм независимых случайных величин с замещениями и модели финансового рынка. Известия Вузов. Математика. - Казань 2005 (в печати). 2. Еникеева 3. А. Сходимость случайных ломаных, определённых событиями теории размещения. Деп. в ВИНИТИ 10. 02. 2005, № 198-В2005. 3. Еникеева 3. А., Чупрунов А. Н. Сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями. Материалы конференции, посвященной 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань 1997. - С.86-87. 4. Еникеева 3. А. О некоторых предельных теоремах. XII Международная летняя школа-семинар до современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань 2000. - С.33-34. 5. Еникеева 3. А. Сходимость случайных процессов, опре делённых суммами независимых разнораспределённых случайных величин с замещениями к процессу Орнштейна-Уленбека. Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - в.2. - т. 11. - С 336-337. 6. Еникеева 3. А. Сходимость по распределению некоторых функционалов от сумм независимых случайных величин с замещениями. Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. - 2003. - т. 19. - С. 105-106. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы, содержащего 31 наименование. Общий объём работы составляет 106 страниц.

Усиленные законы больших чисел, связанные с событиями теории размещения

В этой главе доказывается слабая сходимость случайных ломаных. Случайные ломаные определены суммами независимых случайных величин, причем в этих суммах одни случайные величины случайным образом замещаются другими. Замещения определяются умножением на значения индикаторов, определенных на другом вероятностном пространстве, элементы которого рассматриваются как случайные параметры, и сходимость случайных ломаных доказывается для почти всех значений этого случайного параметра. Доказательства предельных теорем опираются на усиленные законы больших чисел, полученные в первой главе. 2.1 Сходимость случайных процессов с независимыми приращениями.

Мы будем рассматривать вероятностное пространство (Пі,21і,Рі) и события Aij{n), введённые в первой главе. Пусть (fi,2l, Р) — ещё одно вероятностное пространство. Через Е будем обозначать математическое ожидание относительно вероятности Р.

Пусть кп Є N, такие что кп кп+і для любого п Є N. Пусть Yni , 1 і кп, І Є {1)2}. — последовательности серий независимых в каждой серии случайных величин, определённых на (Г2,А,Р), такие что для любого п Є N семейства {1 , 1 г кп} и {Упі , 1 г кп} независимы. Будем предполагать, что при Z Є {1,2} выполнены следующие условия: (D1) для любых n,ieN ЕУ„? = 0 ; (D2) для некоторого vf Є R+ Е Е( ,-)2 vf при п - со; (D3) для любого т Є R+ ЕЕ (У$)21,.ую, т. -+ 0 при п - оо; (D4) для любого є О Е ехр Построим последовательность сумм независимых случайных величин с замещениями. Рассмотрим случай, когда случайные величины заменяются нулями. Пусть п Є N и и\ О і фиксированы. Опишем рекурентную процедуру. На нулевом шаге возьмём всю серию () случайных величин. На первом шаге заменим Yni на нули, если lii(n)(o;i) = 0, Yni оставим без изменения, если $.ц{п)(ші) = 1. На j-м шаге рассматриваем случайные величины, полученные изменения, если lji(n)(u)i) = 1. Итак, определим последовательность сумм ( Построим последовательность случайных процессов, зависящих от параметра и\. Обозначим через 7 (і) нормально распределённую случайную величину со средним 0 и дисперсией t. Пусть W(i) - винеровский процесс и WfVl = W(vif(t)), t Є R+. Напомним, что через %»(їг) мы обозначаем индикатор события Ау(п), а fn(t) = Еі Щкпі\і(п)1([кпі] г)і{п).Пусть индикаторы событий Aij(n) удовлетворяют условию: (D5) существует функция /(f) Є Ct,(R+), такая что для любого t Є R+ Теорема 2.1. Предположим, что выполнены условия (D1)-(D5) и Х\п{ы\) последовательность случайных процессов, определенной: формулами (XI) и (21). Тогда при п — оов пространстве Съ(&+) для почти всех иі\ Є f2i. Доказательство теоремы 2.1 опирается на следующую теорему, которая является аналогом теоремы 1 (см. [6], стр. 522).

Сходимость к случайному процессу Орнштейна-Уленбека

В работе [25] предложены три модели финансового рынка. В них действия агентов рассматриваются как одинаково распределённые случайные величины. В настоящей работе мы будем предполагать, что действия агентов — разнораспределенные случайные величины. Рассмотрим модель рынка с п агентами, где п достаточно велико. Допустим, что торги ценными бумагами, которые в дальнейшем для простоты будем называть акциями, могут осуществлятся только в дискретные моменты времени j Є {0,1,2...М} = L. Мы предполагаем, что за период времени {0,1,2... М} агент может купить или продать акции. Если агент покупает акции, тогда их цена умножается на некоторое число большее единицы. Если агент продаёт акции, тогда их цена умножается на число меньшее единицы. Итак, мы преполагаем, что торговая политика г -ого агента в любой момент времени является биномиальной случайной величиной Индекс I мы ввели для того, чтобы указать, что в зависимости от внешних обстоятельств политика агента может менятся, то есть она может случайной величиной Q J или случайной величиной Q . Введём параметры сщ и vf( О, определив их следующими равенствами:

Пусть для І Є {1,2} выполнены условия (1) ІЗ vfi - vf при n — oo для некоторого vf Є R+, І = 1,2; (2) ЕЕ(1пЙ ;-Е1пЙ Т1{,1п f( }_Ein )j T.j - 0 при n - со, для любого TGR+; (3) для любого е 0 ехр[- mJj. ] ее. Параметр aj; можно рассматривать, как относительный риск, характерезующий разницу между "рыночной" мерой (ри, дц) и "риск-нейтральной" мерой (/, qu), где числа р« и Чи определены равенствами Будем предполагать, что где /if — ожидаемая средняя прибыль, г/ — банковский процент. Далее предположим, что каждый агент вносит вклад в ценообразование акции, который оцределяется торговой политикой агента. Пусть к Є L фиксированный момент времени. Тогда вклад г-ого агента в течение времени {0,1,... к} можно представить формулой где fy будут определены ниже в конкретных моделях. Далее предположим, что в момент времени к Є L стоимость акций равна среднему геометрическому от вклада в ценообразование п агентов: где До - цена акции в начальный момент времени. Рассмотрим шкалу с непрерывным временем t Є [0, Т] . Положим Итак, мы имеем последовательность случайных ступенчатых процессов со скачками в рациональных точках вида -, зависящих от случайного параметра ші Є Пі- Случайный процесс Sn(t) мы будем рассматривать, как случайный элемент пространства L[0, Т]. Обозначим через S(t) случайный процесс, построенный точно также как и Sn(t), но в котором случайные величины ц- обладают свойством E&j-l, 1 г п, 0 j Af. Напомним, что через %І(П) мы обозначаем индикатор события Aij(n), а Индикаторы событий Ау(п) удовлетворяют условию: (7) существует функция /(} G C&(R+), такая что для любого t Є R+ Модель 1. Рассмотрим ситуацию, когда количество агентов на рынке уменьшается. Любой агент под влиянием некоторых обстоятельств может покинуть рынок. В этом случае случайная величина заменяется единицей (агент, покинувший рынок не может влиять на ценообразование акций), таким образом, случайная величина ln(- ) заменяется нулём. Итак, мы предполагаем, что выполнено следующее условие. (8) Действие любого агента не зависит от действий других агентов и случайная величина &fc описывающая действие г-того агента, в fc-тый момент времени определяется следующим образом: рассмотрим индикаторы событий А$(п) Є 2li (A) если 1# (W1) = 1, 4П)М = l,-,4?(«i) = 1. то fft = g\ k j; (B) если iSVi) = 1.I&W = V" Д М = lMffa) = 0, то fa — 1, к j. Во случае (В),величина -, к j замещается единицей, что означает, что г-тый агент BJ-ТЫЙ момент времени покинул рынок.

Сходимость функционалов от случайных сумм

Рассмотрим ситуацию, когда количество агентов на рынке увеличивается. В этом случае случайная величина &j = 1 заменяется на Q и г-тыи агент начинает принимать участие в торгах. Итак, мы предполагаем, что выполнено следующее условие.

Действие любого агента не зависит от действий других агентов и случайная величина & , описывающая действие г-того агента, в Ar-тый момент времени определяется следующим образом: (A) если )(0) = 1,ЛЙ}М = 1,-.-,1 ( ) = 1, то & = 1, к з; (B) если 1 (ол) = 1, ЛЙЧ і) = 1, ", 1-1,М = 1,4"V) = О, то а = 2), к j. Во случае (В) при k j единица замещается случайной величиной (2) ,- , что означает появление г-того агента в j-тьт момент времени Приведём для этой модели аналоги теорем (4.1), (4.2) и (4.3).6 Теорема 4.4. Предположим, что выполнены условия (1)-(7) и (9). Тогда при п — оо sfM = s„M4s в пространстве L[Q,T] для почти всехш\ Є f i, где х Є [0,7і] и И 2 — гауссовский случайный процесс с функцией ковариации B2(ti,t2), іі,іг Є [0,7і]. Доказательство. Определим последовательность ступенчатых случайных процессов Из доказательства теоремы 4.1 следует, что UW м+ Определим операторы: Л : [0,71] Ь00 [0, Г], h{x) = x{Q) x1 х Є [0,Т]; Л : L[0,T]- C[0,X] - оператор Вольтерра; rf : С[0,Т] - С[0,Т], ф) = 50ехря, ж Є L[0,T]. Обозначим Я = d о А о h. Учитывая, что оператор Н является композицией непрерывных операторов, получаем я ( )+(№-г2-)/( )) = = S0exp J/ (1_Ліь(і) + 2 - r2 - П - L - r2 - Ij /( )) rf . = = 50exp \w2{t) + L - r2 - f) ( - //( ) &) = 5(i). Так как H{S n) Sn — 0, то „ — 5. Теорема доказана. Теорема 4.5. Предположим, что выполнены условия (1)-(7) и (9). Тогда при п—Уоо Sn(wi) 4 S в пространстве 1/ (0,71] для почти всехи\ Є Пі, где S{x) = S0 exp j / f{t)dt -x) + ИОД , xe [0,T]. Доказательство. Если в условиях теоремы 4.4 положить \іа — тіч что как упоминалось в доказательстве теоремы 4.2, следует из условия Щі — 1, то мы получаем теорему 4.5. Теорема 4.6 (Аналог формулы Блэка-Шоулса). Предположим, что выполнены условия (1)-(7) и (9). Обозначим i»2(t) = E(W2{t))2 = B2(t,t), te[Q,T]. Тогда справедливая цена европейского опциона равна Модель 3. Рассмотрим ситуацию, когда количество агентов на рынке остаётся неизменным, но агент может поменять свою тактику. В этом случае случайная величина у = заменяется на J . Итак, мы предполагаем, что выполнено следующее условие (10) Действие любого агента не зависит от действий других агентов. Случайная величина & ., описывающая действие г-того агента, в fc-тый момент времени определяется следующим образом: Семейства случайных величин {Q , 1 і п} и {Q , 1 г п} независимы. Случай (В) означает, что г-тый агента в j-тый момент времени сменил тактику и такое замещение может произойти только один раз. Теорема 4.7. Предположим, что выполнены условия (1)-(7) и (10). Тогда при пoo в пространстве L[0,T] для почти всех wi Є Пі, где s{t) = 50ехР і E(-i),+1 (« - n - f) / /( ) = + w3(t) + - га - Є [0, T] и W$ гауссовский случайный процесс с функцией ковариации Ba(ti,t2),tut2[0tT\. Доказательство. Учитывая, что S (ui) и S (UJI) независимые случайные процессы, имеем Следовательно, теорема 4.7 следует из теорем 4.1.

Похожие диссертации на Слабая сходимость случайных ломаных, определённых суммами независимых случайных величин с замещениями

Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величинНефедова, Юлия Сергеевна

Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величинШевцова Ирина Геннадьевна

Оценки скорости сходимости в функциональных предельных теоремах для сумм случайного числа слагаемых и их примененя в задачах массового обслуживания Турсунов Расуль Таирович

Оценки скорости сходимости в предельных теоремах для случайных суммСеливанова, Дарья Олеговна

Асимптотические задачи изучения распределения геометрической суммы случайных величинЭль Сайед Хассан, Салех Нушед

Неравенства для рядов из вероятностей больших уклонений для сумм случайных величинГассан Ахмед Абуд

Некоторые применения операторных методов в предельных теоремах для сумм случайных величинЧан Лок Хунг

Свойства самонормированных сумм случайных величинЖданов Игорь Игоревич

Скорость роста сумм случайных величинЕгоров, Владимир Алексеевич

Асимптотические разложения с явной оценкой констант для экспоненциальных моментов сумм случайных величин, определенных на цепи Маркова, и их применения к предельным теоремам для моментов достиженияАбадов, Закир Абдурахман оглы