Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оптимальные стратегии в модели Крамера–Лундберга 12
1.1 Оптимальная стратегия перестрахования 13
1.1.1 Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби 14
1.1.2 Существование решения уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби 16
1.1.3 Существование оптимальной стратегии перестрахования 22
1.1.4 Численные примеры 27
1.2 Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования 30
1.2.1 Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби 32
1.2.2 Существование решения уравнения Беллмана–Гамильтона–Якоби 37
1.2.3 Существование оптимальной стратегии 41
1.2.4 Численные примеры 44
Глава 2. Оптимальные стратегии в модели с дополнительным вливанием капитала .. 48
2.1 Оптимальное инвестирование 49
2.1.1 Уравнение Беллмана и оптимальная стратегия 50
2.1.2 Оптимальное инвестирование в одношаговой модели 52
2.1.3 Оптимальное инвестирование в мношаговой модели 56
2.1.4 Численная реализация 59
2.1.5 Оптимальное инвестирование в случае бесконечного горизонта планирования 61 2.2 Оптимальное перестрахование 65
2.2.1 Случай пропорционального перестрахования 68
2.2.2 Случай перестрахования эксцедента убытка 83
Глава 3. Пределельное распределение капитала в модели с дополнительным вливанием капитала 87
3.1 Предельное распределение капитала в случае постоянной стратегии инвестирования 88
3.2 Случай экспоненциального распределения требований 98
3.3 Предельное распределение капитала в случае постоянной стратегии инвестиро
вания и перестрахования 101
Список литературы
- Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби
- Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби
- Оптимальное инвестирование в мношаговой модели
- Случай экспоненциального распределения требований
Введение к работе
Актуальность темы
В настоящее время страхование играет важную роль в экономической и социальной сферах общества, а страховые компании, наряду с банками, стали важнейшими финансовыми институтами. Развитие страховых компаний и усиливающаяся потребность в актуарных расчетах в свою очередь ведут к развитию теории вероятностей и теории риска. Одной из наиболее ранних моделей риска является классическая модель Крамера-Лундберга. Докторская диссертация Лундберга1 посвящена коллективной модели риска, и в ней впервые было предложено использовать пуассоновский поток для моделирования моментов поступления требований в компанию. В работах Крамера2 также рассматривается коллективная модель риска.
Страховая компания, собрав взносы с клиентов, должна быть способна обеспечить выплату страхового возмещения по всем поступающим требованиям. Поэтому существенным показателем качества работы страховой компании является вероятность неразорения, а задача максимизации вероятности неразорения — одна из важнейших для компании. Для увеличения вероятности неразорения страховщик часто пользуется перестрахованием3. Поиск оптимальных в том или ином смысле стратегий перестрахования является важным направлением современных исследований и ему посвящено большое количество работ. Упомянем работы Шмидли4, Хиппа и Вогта5, Белкиной и Матвеевой6, Хойгаарда и Таксара7. Еще одним важным направлением совре-
1Lundberg F. Approximations of the probability function/Reinsurance of Collective Risks, Doctoral thesis, 1903.
2Cramer H. On the mathematical theory of risk, Forsakringsaktiebolaget Skandia 1855-1930, Stockholm, 1930, 2, 7-84.
Cramer H. The theory of risk in its application to life insurance problems, The Jubilee Volume of Skandia Insurance Company, Stockholm, 1955, 1-92.
3Булинская Е.В . Теория риска и перестрахование, М.: Мэйлор, 2009.
4Schmidli H. Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting, Scand. Actuarial J., 2000, 1, 55-68.
5Hipp C, Vogt M. Optimal dynamic XL reinsurance, ASTIN Bulletin, 1991, 33, 193-207.
6Белкина Т.А., Матвеева М.В. Об оптимальных стратегиях перестрахования в моделях с диффузионной аппроксимацией процесса риска, В сб. «Инновационная система государства и перспективы ее развития», Гомель: ЦИИР, 2010, 43-54.
7Hojgaard B., Taksar M. Optimal proportional reinsurance policies for diffusion models, Scand. Actuarial J.,
менной теории риска является поиск оптимальных в разных смыслах стратегий инвестирования средств в рисковый актив, в частности, этот вопрос изучается в работах Хиппа и Плама8, Шмидли9, Фроловой и соавторов10, Гай-ера и Грандитса11. Поиск оптимальных стратегий перестрахования и инвестирования, максимизирующих вероятность неразорения в модели Крамера-Лундберга, — одно из направлений исследования диссертации.
Несмотря на широкое распространение, которое получила классическая модель, на практике часто используется модель с дискретным временем. Диксон и Уотерс12 предложили метод дискретизации модели Крамера-Лундберга и показали способ перехода к дискретному времени и убыткам, имеющим дискретное распределение. Чуть позже эти же ученые предложили модификацию моделей риска, добавив возможность инвестировать дополнительные средства в компанию, если ее капитал опустился ниже определенного уровня13. Модель с вливанием капитала получила развитие относительно недавно и на сегодняшний день представляет собой одно из перспективных направлений для исследования. Ву и соавторы14 рассматривали модель с дискретным временем с возможностью вливания капитала и выплаты дивидендов и ставили задачу поиска оптимальной стратегии выплаты дивидендов. В работе Эйзенберг и Шмидли15 осуществляется поиск оптимальной стратегии перестрахования, минимизирующей суммарные приведенные вливания капитала,
1998, 22, 166-180.
8Hipp С, Plum М. Optimal investment for insurers, Insurance: Mathematics and Economics, 2000, 27, 215-218.
9Schmidli H. On optimal investment and subexponential claims, Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 36, 25-35.
10Frolova A., Kabanov Y., Pergamenschikov S. In the insurance business risky investments are dangerous, Finance and Stochastics, 2002, 6, 227-235.
11Gaier J., Grandits P. Ruin probabilities in the presence of regularly varying tails and optimal investment, Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 30, 211—217.
12Dickson D.C.M., Waters H.R. Recursive calculation of survival probabilities, Astin Bulletin, 1991, 21, 199-221.
13Dickson D.C.M., Waters H.R. Some optimal dividend problems, Astin Bulletin, 2004, 34, 49-74.
14Wu H., Guoa J., Tang L. Optimal dividend strategies in discrete risk model with capital injections, Appl. Stochastic Models Bus. Ind., 2011, 27, 557—566.
15Eisenberg J., Schmidli, H. Optimal control of capital injections by reinsurace in a diffusion approximation, Blatter der DGVFM, 2009, 30(1), 1-13.
а в работе Куленко и Шмидли16 рассматриваются стратегии выплаты дивидендов, минимизирующие дополнительные вливания. В данной диссертации в модели с вливанием капитала исследуются вопросы поиска стратегий перестрахования и инвестирования, позволяющих минимизировать величину дополнительного капитала. Кроме того, изучается вопрос существования предельного распределения капитала компании в такой модели в случае постоянной стратегии инвестирования и перестрахования.
Цель работы
Целью работы является исследование различных стохастических моделей работы страховой компании, использующей перестрахование и инвестирование средств в рисковый актив для улучшения качества работы.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
-
В модели Крамера-Лундберга исследованы стратегии перестрахования типа эксцедента убытка, характеризующиеся двумя параметрами (уровнем собственного удержания и шириной лейера), выведено уравнение Беллмана—Гамильтона—Якоби для максимальной вероятности неразорения и доказано существование его решения. Кроме того, доказано существование оптимальной стратегии и установлен ее вид. Аналогичные результаты получены для обобщенных стратегий перестрахования эксцедента убытка и инвестирования.
-
В модели с дискретным временем с возможностью вливания капитала найдено уравнение Беллмана для минимальных дополнительных вложений, определен вид оптимальных стратегий инвестирования и перестрахования, а также выведено интегральное уравнение, определяющее
16Kulenko N., Schmidli H. Optimal dividend strategies in a Cramer–Lunberg model with capital injections, Insurance: Mathematics and Economics, 2008, 43, 270-278.
эти стратегии. Доказано существование и единственность решения этого уравнения. 3. В модели с дискретным временем с вливанием капитала и инвестированием доказано существование и найден вид предельного распределения капитала при определенных условиях на параметры модели. Аналогичные результаты получены для случая инвестирования и перестрахования.
Методы исследования
В работе применяются методы теории вероятностей, теории случайных процессов, а также методы динамического программирования и оптимального управления.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались
на семинарах в МГУ имени М.В. Ломоносова
– Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН, проф. А.Н. Ширяева (Москва, 2013 г.),
– Семинаре «Стохастические модели теории запасов и страхования» под руководством проф. Е.В. Булинской в МГУ (Москва, 2008-2013 г.г., неоднократно),
– Семинаре «Теория риска и смежные вопросы» кафедры математической статистики факультета ВМиК МГУ под руководством проф. В.Е. Бенинга и проф. В.Ю. Королева (Москва, 2013 г.),
на международных конференциях и семинарах
– Международной конференции по прикладным стохастическим моделям и анализу данных (Рим, 2011 г.),
– Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» в МГУ (Москва, 2011 г.),
– Международной конференции «Теория вероятностей и ее приложения», посвященной столетию со дня рождения Б.В.Гнеденко (Москва, 2012 г.),
– 30 и 31 Международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (Светлогорск, 2012 г., Москва, 2013 г.),
– 7 Международном семинаре по моделированию (Римини, 2013 г.).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 9 работ, из них 2 в журналах перечня ВАК. Список работ приведен в конце настоящего автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из оглавления, введения, трех глав и списка литературы из 57 наименований. Общий объем диссертации составляет 109 страниц.
Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби
Пример 1.1 (Случай экспоненциального распределения убытков). Итак, рассмотрим для начала случай, когда поступающие требования Yi exp(Z), г 1. Даже в этом, на первый взгляд простом, случае невозможно найти решение уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби (1.9) аналитически. Для построения функции j(s) — решения уравнения (1.9) был использован метод построения последовательных приближений искомого решения функциями 7п(s), описанный в доказательстве теоремы 1.1. Случай экспоненциально распределенных убытков замечателен тем, что для первого шага приближений (т.е. функции 7o(s) = So(s) — вероятности неразорения при отсутствии перестрахования) найдено (см., например, [28]) явное выражение, а именно:
В данном примере в расчете использованы следующие значения параметров: с = 1.5, р = 1.6, Л = 1, / = 1. В качестве начального значения возьмем 7(0) = о(О), затем нормируем j(s), поделив на 7(so), где So достаточно велико. На рис. 1.1 (верхний график) показано решение j(s) уравнения (1.9), то есть вероятность неразорения компании, которая использует оптимальную стратегию перестрахования; легко видеть, что эта вероятность существенно больше вероятности неразорения при отсутствии перестрахования (нижний график). На рис. 1.2 показаны функции b (s) и M (s) для s Є [0,10], определя Рис. 1.2: Функции b (s) и M (s) в случае экспоненциального распределения ющие оптимальную стратегию. Для малых s оптимальной стратегией будет пара (оо,0), т.е. отсутствие перестрахования вообще. Начиная с s 0.3 до s 2.2, величина b (s) s и в то же время ширина полосы перестрахования M (s) убывает.
Для того, чтобы пояснить вид графиков функций b (s) и M (s), изображенных на рис. 1.2, мы рассмотрим функцию и продемонстрируем ее поведение, в зависимости от параметров (6, М) при различных значениях s. Так, на рис. 1.3 показана функция H(s,b, М) как функция от b при достаточно малых s и М = {0.1,0.2,0.3}. Нетрудно видеть, что в минимальное значение эта функция принимает при b — оо.
Далее, рассмотрим рис. 1.4. На нем изображены графики функции H(s, b, М) для s = 2.1 (верхний график), 2.2 (средний график) и 2.5 (нижний график) и М = 0.1 (т.е. мы фиксируем оптимальное М = 0.1, для того, чтобы показать выбор оптимального 6 ). Из рисунка видно, что при для s = 2.1 минимальное значение достигается при b = 2.1, т.е. в точке до скачка, а при больших s минимум функции H(s,b, М) достигается уже при b 0.8. Заметим, что скачок во всех случаях обуславливается видом числителя функции H(s,b, М). Действительно, указанный числитель, расписанный через интегралы, имеет
В данном примере используем следующие значения параметров: в = 1 и а = 2, также, как и в случае экспоненциального распределения выбираем Л = 1, с = 1.5 и р = 1.7. В точке s = 0 при отсутствии перестрахования имеем 8Q(S) = 1 — с-1(о — I)-1. На рис. 1.5 показаны графики функций b (s) и M (s), определяющих оптимальную стратегию, в описанной ситуации. В отличие от первого примера, в данном случае не существует s, такого что b (s) = s, т.е. мы всегда выбираем b (s) s. Рис. 1.5: Функции b(s) и M(s) в случае распределения Парето
Оптимальная стратегия перестрахования и инвестирования Внесем некоторые изменения в модель, рассмотренную в предыдущем параграфе: кроме возможности отдать часть рисков в перестрахование, компания также имеет возможность вложить часть средств в некий рисковый актив.
Для облегчения технических выкладок, в данном параграфе рассматривается неограниченное перестрахование эксцедента убытка, а именно, при поступлении убытка Yi, і 1 страховая компания выплачивает min{Yj, 6}, а перестраховщик — величину (Yj —Ь)+. Пусть с(Ь) — часть страховой премии, оставшаяся у страховой компании после выплаты перестраховочной премии; предполагается, что функция с(-) возрастает (иначе получилось бы, что чем больше перестраховочное покрытие, тем оно дешевле), непрерывна и с(оо) = с. В случае использования стратегии перестрахования b = (bt)t o, предсказуемой относительно фильтрации $, капитал страховой компании равен
Кроме того, мы предполагаем, что страховая компания имеет возможность вкладывать средства в некий рисковый актив. При этом считаем, что рассматриваемая ситуация идеальна в том смысле, что компания имеет возможность вложить больше средств, чем у нее имеется на настоящий момент, взяв для этого беспроцентный кредит. Рыночная стоимость Zt этого рискового актива (или стоимость акции), как в стандартной модели Блэка-Шоулса, представляет собой геометрическое броуновское движение и, соответственно, удовлетворяет следующему СДУ dZt = Zt(fidt + adWt), (1.23) где Wt — стандартное броуновское движение, а параметры a,fi 0. Таким образом, Zt — это стоимость в момент t одной денежной единицы, инвестированной в начальный момент. Страховая компания определяет размер At средств, инвестируемых в актив в момент t, или, другими словами, компания в момент t является держателем 9t = At/Zt акций. Nt _ Считаем, что процессы Ut := {J i} и Wt, t 0, независимы. Пусть фильтрация $ = г=1 (Jrt)t 0, где Tt — наименьшая с–алгебра, относительно которой измеримы Ru, заданный в (1.1), и Wu для и t. По аналогии с первым параграфом дадим следующее
Определение 1.3. Назовем стратегией перестрахования и инвестирования случайный процесс V = (Vt)t o = (At,bt)t o такой, что процессы (At)t o и (bt)t o предсказуемы относительно фильтрации $. Стратегия V допустимая, если At 0, bt 0 п.н. для 0.
Множество допустимых стратегий перестрахования и инвестирования обозначим Y\. Нетрудно видеть, что капитал страховой компании R при использовании стратегии V Є Vi удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению dRt = dRt + 9tdZt = (c(bt) + /iAt)dt + oAtdWt — dllt, R0 = s, (1.24) где R\ — капитал компании, при использовании только стратегии перестрахования эксце Nt дента убытка, а \J\ := тт(6т , УІ). Последнее равенство (1.24) — это формальная запись г=1 для следующего выраж;ения Rt = (c(bu) + /iAu)du + / oAudWu — Ut. Для того, чтобы интеграл Ито в правой части верхнего равенства был определен корректно, мы полагаем процесс At локально ограниченным. Напомним, что случайный процесс At называется локально ограниченным, если найдется последовательность тп моментов остановки (относительно естественной фильтрации) и числовая последовательность сп такие, что тп j" оо и АГп1{гга 0} сп п.н. для любого п Є N.
Уравнение Беллмана–Гамильтона–Якоби
Далее, заметим, что при u(s,(3) 0 согласно (2.34) и предположению индукции, (/?га(з,/3)де неотрицательна при /З Є [/Зо, 1], причем оба слагаемых в выражении (2.34) не равны нулю одновременно и, значит, ipn(s,(3)pp 0. Следовательно, функция ipn(s,(3)p возрастает при /З Є [/Зо, 1]. Тогда, если pln(s) 0, то pn(s) 0 и, значит, функция tpn(s,l3)p 0 для всех /З Є [/Зо, 1]. При этом функция ipn(s, /3) не возрастает по /3 при фиксированном s и достигает минимального значения в точке /3=1. Аналогично, прир (s) 0, автоматически Pn(s) 0 и функция ipn(s,(3)p 0 для всех /З Є [/Зо,1]. Следовательно, в таком случае ipn(s,(3) не убывает по /3 и достигает минимального значения при /3 = /Зо- В случае же Po(s) 0, Pi(s) 0 в силу возрастания функции (pn(s,(3)p по /3 существует единственное решение уравнения ipn(s,(3)p = 0. Обозначим его /3(s). В таком случае, минимум функции ipn(s,(3) достигается в точке /3(s). Наконец, заметим, что случай p(s) 0, pln(s) 0 ровно как и случай Pn(s) = Pn(s) = 0 невозможен в силу возрастания tpn(s,/3).
Пусть /Зі(s) 1. Это выполнено при s L—с. Тогда u(s, /3) 0 для всякого /З Є [/Зо, 1]. Следовательно, согласно (2.31), (pn(s,(3)p = (l — p)EY 0 и, значит, функция ipn(s,(3) убывает. Поэтому минимальное значение функции ipn(s,(3) достигается в точке 1. Итак, при s L — с оптимальное /3 (s) = 1.
Пусть /3i(s) Є [/5о, 1]. Это выполнено при s Є [L — с, L]. В таком случае при /З Є [/Зо,/3i(s)] аналогично предыдущему пункту имеем (pn(s,(3)p = (1 — p)EY 0 и, значит, функция ipn(s, /3) убывает. Кроме того, как несложно видеть из (2.33) fn(s, (3i(s))p = (1 — p)EY 0. Соответственно, если pln(s) 0, то tpn(s,/3)f3 0 при /З Є [/3i(s), 1] и функция ipn(s,(3) убывает. Следовательно, минимум этой функции достигается при /3=1. Если же Pn(s) 0, то существует единственное решение /3(s) Є [/3i(s), 1] уравнения ipn(s,(3)p = 0 и минимум функции ipn(s,(3) достигается в точке /3(s). Таким образом, при s [L — с, L] оптимальное /3 (s) = 1 при pln(s) 0 и /3 (s) = /3(s) при остальных s. c) Пусть f3\(s) /Зо. Это выполнено при s Є [L, L — с + pEY]. В таком случае u(s, /3) О для всех /З Є [/Зо, 1] и этот случай рассматривается аналогично случаю
Перейдем теперь к случаю п = оо. Во-первых, заметим, что функция W(s) ограничена сверху. Действительно, рассмотрим стратегию «отсутствия перестрахования» В1 := (b\,bl,...), определенную по правилу Ъ\ = 1 п.н. для всех к 1. В таком случае, по определению W(s) WB (s). В параграфе 2.1 было доказано, что в случае отсутствия перестрахования (и инвестиций) справедлива оценка (см. замечание 2.4 и формулу (2.14))
Доказательство. Заметим, что последовательность {W, (s)} =0 согласно теореме 2.6 есть последовательность ограниченных неубывающих дифференцируемых функций. Следовательно, существует поточечный предел liniyj oo Wn(s) = G(s). Но поскольку в силу леммы 2.7 существует lim oo Wn(s) = W(s), то W(s) — дифференцируема и W (s) = G(s). Следовательно, поскольку все функции W n(s) не убывают и дифференцируемы, то W"(s) 0. Кроме того, поскольку для всех п имеем — 1 W n(s) 0, то W"(s) 0. Второе утверждение теоремы доказывается полностью аналогично теореме 2.6 с заменой рассматриваемой там функции ipn(s,(3) на
Возьмем следующие значения параметров: с = 1.2, А = 1, р = 1.5. На рис. 2.4 показаны графики функции /5 (s) при различных значениях параметра L. Обратим внимание, что как и следует из теоремы 2.5, при увеличении уровня восстановления L промежуток, на котором оптимальная доля перестрахования /5 (s) не принимает критических значений /Зо и 1, сдвигается вправо, сохраняя ширину.
Далее, пусть Wi(s) = max(0, L — s — c(f3 (s))-\-f3 (s)Y) —минимальное дополнительное вливание капитала в конце первого года при передачи в перестрахование доли 1 — /5 (s), V(s) = Етах(0, L — s — c-\-Y) — вливание капитала при отсутствии перестрахования. При указанных выше значениях параметров, графики этих функций приведены на рис. 2.5. Из рисунка видно, что путем выбора оптимальной доли перестрахования можно снизить размер дополнительного капитала. 2.2.2 Случай перестрахования эксцедента убытка
Рассмотрим теперь частный случай непропорционального перестрахования — перестрахование типа эксцедента убытка. Напомним, что договор эксцедента убытка характеризуется уровнем собственного удержания /3 0 и при поступлении требования ответственность цедента не превышает этот уровень. Иными словами r(Y,f3) = тіп(/3,У), /З 0, а ответственность перестраховщика равна (Y — /3)+ := тах(0,У — /3). Также как и раньше, будем полагать, что перестраховщик рассчитывает свою премию по принципу среднего с нагрузкой безопасности, т.е.
Оптимальное инвестирование в мношаговой модели
В настоящее время страхование играет существенную роль в экономической и социальных сферах общества, а страховые компании, наряду с банками, стали важнейшими финансовыми институтами. Возрастающие потребности людей в финансовой защите своего имущества, жизни и здоровья, кредитных рисков и ценных бумаг влекут усиление роли страхования в обществе и развитие страховых компаний. Кроме того, страхование имеет и инвестиционную функцию. Современные страховые компании обладают большими объемами временно свободных денежных средств, активно вкладывают их в различные ценные бумаги и недвижимость. Развитие страховых компаний и усиливающаяся потребность в актуарных расчетах в свою очередь ведут к развитию математического аппарата теории риска.
С начала XX века по сегодняшний день было предложено и рассмотрено достаточно большое количество различных моделей коллективного риска, моделирующих деятельность страховой компании. Одной из наиболее ранних моделей является классическая модель риска Крамера-Лундберга, основные элементы которой были разработаны в трудах шведских математиков Ф. Лундберга и Г. Крамера. Докторская диссертация Лундберга [37] была посвящена коллективной модели риска и в ней впервые было предложено использовать пуассоновский поток для моделирования моментов поступления требований в компанию. Работы Крамера [19], [20], [21] также посвящены коллективной теории риска и ее приложениям в страховании.
В модели Крамера-Лундберга предполагается, что размеры поступающих в компанию требований Yi, І2, — неотрицательные независимые и одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (св.) с функцией распределения Q(y), а моменты поступления требований Т!,Т2,... образуют пуассоновский поток интенсивности Л 0. Пусть с 0 - приход страховой премии в единицу времени, Nt — число точек пуассоновского потока на отрезке [0,], а s 0 — начальный капитал компании. Тогда капитал компании в момент t 0 равен
Величина г := inf{ 0 Rt 0} называется моментом разорения компании, величина j(s) := Р(т ooi?o = s) называется вероятностью разорения, а 8(s) := Р(т = ooi?o = s) — вероятностью неразорения. Существует явная формула Поллачека-Хинчина-Беекмана для вычисления вероятности разорения (см., например, [9]). Заметим также, что существуют различные принципы расчета страховой премии (см., например, [8]).
Страховая компания, собрав взносы с клиентов, должна быть способна выплатить страховое возмещение по всем поступающим требованиям. Именно поэтому вероятность неразорения является важнейшим показателем деятельности любой страховой компании, а максимизация вероятности неразорения — одной из важнейших задач руководства компании.
Одной из возможностей для увеличения вероятности неразорения является перестрахование. Существуют различные виды договоров перестрахования, среди которых можно выделить два основных типа: пропорциональное и непропорциональное. Подробное описание типов перестрахования и видов договоров можно найти в книге [3]. В общем случае при заключении некоторого договора перестрахования, характеризующегося некоторым параметром 6, страховщик, при поступлении требования Y, платит некую величину г(Y, Ь) Y п.н., а оставшаяся часть Y — r(Y,b), передается перестраховщику. Вообще говоря, параметр Ъ может быть многомерным, то есть Ъ Є Ш. _, где К+ — множество неотрицательных вещественных чисел. В случае пропорционального перестрахования г (Y, b) = bY, 0 b 1. Примером договора непропорционального перестрахования может служить договор типа эксцедента убытка, который в общем случае определяется уровнем собственного удержания b 0 и шириной лейера М 0, а ответственность цедента равна r(Y, b, М) = min(6, Y) + max(0, Y — b — M). Кроме того, страховщик для оплаты услуг перестраховщика передает ему некоторую часть страховой премии.
В задачах оптимизации вероятности неразорения компании или других характеристик эффективной работы страховщика (например, среднего времени до разорения) часто рассматриваются стратегии перестрахования. Пусть $ = (Ft)t o — естественная фильтрация, порожденная процессом риска (1), т.е. Tt = J{RU, и }. В книге Шмидли [45] дается следующее определение стратегии перестрахования.
Случай экспоненциального распределения требований
Пусть функция с(Ь) задает часть премии, которая остается у страховщика после уплаты перестраховочной премии. Например, если перестраховщик рассчитывает свою премию с по принципу среднего с нагрузкой безопасности, то с(Ь) = с — pE{Y — r(Y, b)), р 1. При использовании некоторой стратегии перестрахования В = (bt)t 0 капитал компании RB в момент времени t равен
Поиску оптимальных в том или ином смысле стратегий перестрахования посвящен широкий спектр работ. Так, в работе Шмидли [44] рассмотрена модель Крамера-Лундберга и стратегии пропорционального перестрахования. Капитал компании в такой модели равен где г/ — нагрузка безопасности страховщика, в — нагрузка безопасности перестраховщика, р := EYi — средний убыток, bt Є (0,1], t 0 — доля убытка, выплачиваемая цедентом, а размер страховой премии страховщика и перестраховщика определяется по принципу среднего, т.е. с(Ь) = (1 + г])\р — (1 — Ь)(1 + в)Хр = (6(1 + в) — (в — г]))\р. В такой ситуации вероятность неразорения компании при использовании некоторой стратегии В = {bt}t 0 равна 5В(s) := P(Rf = об). Шмидли устанавливает, что оптимальная вероятность неразорения компании 6(s) := sups 5В (s), где супремум берется по всем возможным стратегиям, удовлетворяет уравнению Беллмана-Гамильтона-Якоби
Кроме того доказано, что существует единственное непрерывно дифференцируемое решение 8(s) этого уравнения с начальным условием 8(оо) = 1, а оптимальная стратегия перестрахования определяется по правилу b := f3 (Rt-), где /5 (s) — точка, в которой достигается супремум в уравнении Беллмана-Гамильтона-Якоби.
В работе Хиппа и Вогта [32] рассмотрена модель с перестрахованием эксцедента убытка, зависящим от одного параметра — уровня собственного удержания. Аналогично работе Шмидли авторы установили, что максимальная вероятность неразорения удовлетворяет уравнению Беллмана-Гамильтона-Якоби и доказали существование решения этого уравнения, а также существование оптимальной стратегии. В статье Шмидли [41] также рассматривает оптимальное перестрахование типа эксцедента убытка. Поиску оптимальной стратегии перестрахования в модели с диффузионной аппроксимацией процесса риска (1) посвящены работы Белкиной и Матвеевой [1], Хойгаарда и Таксара [33]. В книге Рольски и других [39] описан общий подход к решению подобных задач в классической модели риска. В работе Штрибеля [46] предложен мартингальный метод вывода уравнений динамического программирования в задачах оптимизации.
Еще одной возможностью для увеличения вероятности неразорения является инвестирование средств в рисковый актив. В таких работах речь идет уже о стратегиях инвестирования At, определяющих объем вложений в момент времени t. В таком случае капитал компании меняется по закону где Zt — стоимость актива в момент t. Хипп и Плам в своих работах [30] и [31] рассматривают возможность вложения средств в рисковый актив, стоимость которого меняется по закону геометрического броуновского движения. Они также получают уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби, которому удовлетворяет максимальная вероятность неразорения и доказывают существование решения этого уравнения и существование оптимальной стратегии инвестирования. Стратегии инвестирования в классической модели риска также рассмотрены в работах Шмидли [43], Фроловой и соавторов [25], Гайера и Грандитса [26], [27], Белкиной и соавторов [16]. Шмидли в статье [42] рассматривает обобщенные стратегии перестрахования и инвестирования для максимизации вероятности неразорения. В книге Шмидли [45] объединены многие из полученных ранее результатов по оптимальному перестрахованию и инвестициям.
Из описания выше видно, что модель Крамера-Лундберга описывает работу страховой компании с непрерывным временем. Однако, несмотря на широкое распространение, которое получила классическая модель, для практических применений часто используется модель с дискретным временем. Действительно, на практике удобнее менять параметры договоров перестрахования или изменять объем инвестиций только в определенные моменты времени, например, в конце каждого года. Диксон и Уотерс в работе [22] предложили
