Содержание к диссертации
Введение
1 Существование процесса и его основные свойства 11
1.1 Существование 11
1.2 Свойства решения СДУ 18
2 Связь между нелинейным и многочастичным процессами 25
2.1 Аппроксимация многочастичпого процесса нелинейным 26
2.2 Следствие об устойчивости стационарного распределения 33
3 Асимптотическое поведение нелинейного процесса 35
3.1 Стационарные распределения 3G
3.2 Сходимость процесса к стационарному распределению. Метод Фурье 41
3.3 Функционал свободной энергии 49
3.4 Предельное поведение решения нелинейного СДУ при а = 1/2 . G3
3.5 Продольное поведение решения нелинейного СДУ при больших a GG
4. Добавления 78
4.1. Замечания к условию 1 78
4.2 Доказательство леммы 5 78
4.3 Оценка на ±оо некоторой функции 80
4.4 Обоснование уравнения (3.38) 81
Литература 82
- Свойства решения СДУ
- Следствие об устойчивости стационарного распределения
- Сходимость процесса к стационарному распределению. Метод Фурье
- Оценка на ±оо некоторой функции
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию решения нелинейного стохастического дифференциального уравнения (СДУ) типа МакКпна-Власова без внешнего поля. Нелинейные процессы такого вида получаются как предел среднего поля для однородной системы попарно взаимодействующих броуновских частиц, то есть как предел (в среднем квадратичном при ограниченном времени) динамики выделенной частицы при росте числа частиц к бесконечности.
В данной работе осуществлен многосторонний анализ данного нелинейного одномерного процесса в случае однородного по времени трапсляцпопно-инвариантного взаимодействия, состоящего из двух компонент:
линейного притяжения,
ограниченного гладкого возмущения. В работе получены следующие результаты:
существование и единственность сильного решения;
доказан предел среднего поля для класса ограниченных возмущений;
доказано существование стационарных решений нелинейного СДУ и получены результаты об их количестве;
исследована сходимость нестационарного нелинейного процесса к стационарным распределениям.
1. Математическая теория (классических) стохастических дифференциальных уравнении (СДУ) началась в 40-х годах XX века с работы Ито [34], в которой было введено понятие стохастического дифференциала и его свойства. С тех пор теория классических СДУ была значительно развита, а в настоящее время их решения изучены для широкого круга условий. Обзор современного развития теории классических СДУ имеется в работе [1].
В 50-60-е годы зародилась теория нелинейных СДУ, в которых уравнение не является линейным относительно случайного процесса, а именно
dXt = dWt + (a(Xt) + Jb(Xt,y)rf(dy)) dt, (1)
где множитель a(Xt) + J b(Xt)y)iif{dy) задает снос процесса, причем мера fi'} является распределением Xt, а(х) ----- внешняя составляющая сноса процесса и Ь(х, у) — функция взаимодействия.
Заметим, что это уравнение является обобщением однородного но времени классического СДУ.
Это уравнение возникло у Каца ([35]) из уравнения па многочастичный процесс
dXl = dllfV + (а(Х^) + ±J2 6(АГ4', Xf)) dt (2)
при описании эволюции частиц разреженного газа (уравнение Больцмана). Также Кац написал уравнение (1) в качестве модели уравнения Власова для плазмы. При этом функции а(х) и Ь(х,у) имели физический смысл градиента внешнего пиля (внешнего по отношению к системе частиц) и силы взаимодействия частиц.
Однако, этот тип уравнений оказался существенно сложнее для изучения и его решение было исследовано гораздо слабее. В значительной мере, это связано с тем, что решение нелинейного СДУ не является марковским процессом. По он близок к марковскому в том смысле, что марковской является пара (Xt,^) из процесса и его распределения.
Обратим внимание, что уравнение (2) задает мпогочастпчный процесс со взаимодействием типа среднего ноля, когда влияние каждой частицы на поведение другой мало. Процессы со взаимодействием среднего ноля образуют широкий класс и представляют научный интерес. В настоящее время, они исследуются многими авторами при различных предположениях. Для примера можно указать работы [8, 3G, 39, 40].
2. В настоящей работе рассматривается случайный процесс, являющийся решением нелинейного СДУ (1), также именуемый нелинейным процессом.
Мы исследуем следующие основные проблемы.
Во-первых, это вопрос существования исследуемого объекта, то есть решения СДУ (1), а также вопрос единственности решения.
Во-вторых, вопрос соответствия решения нелинейного СДУ и его физической модели. То есть верно ли, что процесс Xt действительно является пределом среднего поля эволюции выделенной частицы из системы попарно взаимодействующих броуновских частиц.
В-третьих, вопрос существования стационарных решений уравнения (1), а также изучение динамики распределения случайной величины Xt по отношению к найденным инвариантным мерам.
Под решением нелинейного СДУ будем понимать случайный процесс такой, что П1)и подстановке его распределения в уравнение он является решением получившегося классического СДУ.
Кац ввел понятие «распространение хаоса» для системы частиц со взаимодействием среднего поля, которое означает, что фиксированный набор частиц асимптотически независим при устремлении общего числа частиц к бесконечности.
В дальнейшем, также стало активно использоваться близкое; по смыслу (но отличное от первого) понятие предела среднего поля, означающее, что слабый предел выборочной меры многочастичиого процесса (2) при фиксированном времени стремится к распределению нелинейного процесса (1), то
есть
1 п Иш - > SYi,n = и?
п-+эо п t—J Лі 1
г=1
в V{Rd) для любого t > 0.
В основной части диссертации предел среднего поля понимается в более; сильном смысле. А именно, что распределение выделенной частицы из системы из iV частиц в фиксированный момент времени сходится в среднем квад-ратическом к распределению нелинейного процесса в тот же момент времени. При этом полагается, что начальные распределения и впнеровские процессы нелинейного СДУ и выделенной частицы совпадают.
Поскольку естественными предположениями о силе взаимодействия являются предположения о ее пространственной трансляционной инвариантности, симметричности и однородности во времени, то функцию взаимодействия Ь(х, у) удобно задавать с помощью ядра взаимодействия /3(х) по фор-
муле:
b{x, у) = -Р{х - у) = -Ь{у, х).
При этом в силу симметричности взаимодействия его ядро обязано быть нечетным.
Вторая часть третьей проблемы заключается в вопросе об устойчивости стационарных распределений. При этом устойчивость распределения понимается в смысле, что существует такая окрестность стационарного распределения, что процесс, начинающийся с любого распределения из этой окрестности будет слабо сходиться к данному инвариантному распределению.
Начало в изучении нелинейных СДУ положила работа МакКина [38]. В пей для процессов (1) и (2) в условиях гладкости и ограниченности функций а(-) и 6(-, ) был доказан предел среднего поля.
Шнитман (Sziiitiiian) в работе [42] сделал хороший исторический обзор темы и получил предел среднего поля для глобально лппшицевого ограниченного 6(-,-) вероятностными методами. Кроме того, в работе [42] предел среднего поля был получен еще для некоторых специфических случаев.
Тамура, в работах [43], [44] исследовал процесс (1), у которого функция взаимодействия Р быстро убывает к нулю на бесконечности и имеется сильное полиномиальное «центростремительное» внешнее поле, а именно, а(х) ~ ~ ca;|x|Q_1 при х —» со, где а ^ 1 . В его работе доказаны существование и единственность решения нелинейного стохастического уравнения, существование, единственность стационарного решения и сходимость но вариации любого решения к нему. Там же показано и распространение хаоса. Основную роль в его исследовании играет функционал свободной энергии. Аналогичная конструкция будет рассмотрена в 3.3, поэтому ее подробное описание здесь опустим.
Бепашур, Руанет, Талаи, Валуа в работах [22] и [23] получили результаты, аналогичные результатам Тимуры, по для нелинейного уравнения без внешнего поля, в предположении полиномиального роста функции /З(-), ее локальной лппшпцевости, выпуклости па R+ и некоторых других технических условий.
В работе [45] Веретенников рассматривает вопросы существования и единственности, предельного поведения нелинейного процесса при больших временах и распространения хаоса для симметричного взаимодействия, растущего при увеличении расстояния не более чем линейно (равномерно по пространству), при достаточно сильном внешнем поле, притягивающем процесс в нуль. Ключевой в работе является равномерная по времени оценка сред-
неквадратического расстояния между Xt' и Xt с согласованными начальным распределением и броуновским движением. Далее, эргодичность много-частичного процесса позволяет получить предельные свойства Xt. Подобные рассуждения будут приведены в данной работе в главе 2. Однако, сразу заметим, что без внешнего поля рассуждения из [45] не проходят.
Также схожую задачу исследовали Карило (Carrillo), МакКап (McCaim), Вилани (Villain) в работе [25]. Независимо от предыдущих авторов они исследовали решение уравнения
^. = V(pV(U'(p) + V + Wxp)) (3)
относительно вероятностной плотности р в Rrf, где U: R+ —> R есть плотность внутренней энергии, V: М.'1 —> R — внешний потенциал и W: Ж'1 —> —> R — потенциальная энергия взаимодействия. В частности, в качестве U(s) можно рассматривать «внутреннюю энергию» броуновского движения, равную s In s. Тогда уравнение (3) будет описывать динамику плотности решения уравнения (1) с а(х) = VV(:c) и ядром взаимодействия @(х) = V\V{x).
В их работе исследуется предельное по t поведение решения уравнения (3). В частности, доказывается существование и единственность стационарного решения и сходимость любого решения к стационарному решению. Однако, па функции К и IK накладываются довольно сильные условия: V — строго выпуклая функция, V и W — строго полиномиального роста, а также другие технические условия. Исследования [25] опираются на функционал свободноіі энергии и логарифмические неравенства Соболева.
Случайные процессы, порожденные нелинейным СДУ, изучаются также в работах [2G, 27, 33, 37| (теми же методами, что и [22]) и [24, 28, 31, 32).
Также предельный процесс для системы взаимодействующих частиц рассматривался Дороговцевым и Котеленцем в [30]. По эти авторы рассматривали другой предельный переход от системы взаимодействующих частиц. Таким образом, полученные ими результаты другие, несравнимые, в частности, с результатами данной работы.
3. В диссертации исследуются проблемы, названные выше (стр. 5) в случае, когда а(х) = 0 и ядро взаимодействия /3 не является финитной, быстро убывающей на бесконечности или выпуклой на R+ функцией, то есть ядро взаимодействия /5 не укладывается в известные работы других авторов.
Более того, отсутствие внешнего поля и трансляционная инвариантность системы приводят к тому, что каждая инвариантная мера порождает целый
класс инвариантных мер, полученных из исходной сдвигом. Поэтому в основной части диссертации устойчивость стационарного распределения мы будем понимать в смысле его устойчивости на суженном пространстве распределений, содержащем только распределения с заданным первым моментом.
В диссертации рассматривается ядро взаимодействия /5, состоящее из двух компонент: линейно возрастающей силы притяжения и ограниченного липшпцевого возмущения, то есть
/З(х) = х + Рі(х).
В третьей главе на ядро взаимодействия /3 накладывается более сильное ограничение:
/3(х) = x-\-asin(x).
При этих условиях на все поставленные проблемы даются полные ответы.
4. Диссертация построена следующим образом:
В главе 1 доказано существование сильного решения и его единственность при минимальных ограничениях па начальное распределение. Также получены некоторые свойства найденного решения:
неизменность первого момента решения;
пространственная гладкость распределения решения;
непрерывность решения по времени в слабой топологии;
убывание плотности к нулю при х —> со.
Свойства решения СДУ
Заметим, что это уравнение является обобщением однородного но времени классического СДУ.
Это уравнение возникло у Каца ([35]) из уравнения па многочастичный процесс при описании эволюции частиц разреженного газа (уравнение Больцмана). Также Кац написал уравнение (1) в качестве модели уравнения Власова для плазмы. При этом функции а(х) и Ь(х,у) имели физический смысл градиента внешнего пиля (внешнего по отношению к системе частиц) и силы взаимодействия частиц.
Однако, этот тип уравнений оказался существенно сложнее для изучения и его решение было исследовано гораздо слабее. В значительной мере, это связано с тем, что решение нелинейного СДУ не является марковским процессом. По он близок к марковскому в том смысле, что марковской является пара (Xt, ) из процесса и его распределения. Обратим внимание, что уравнение (2) задает мпогочастпчный процесс со взаимодействием типа среднего ноля, когда влияние каждой частицы на поведение другой мало. Процессы со взаимодействием среднего ноля образуют широкий класс и представляют научный интерес. В настоящее время, они исследуются многими авторами при различных предположениях. Для примера можно указать работы [8, 3G, 39, 40]. В настоящей работе рассматривается случайный процесс, являющийся решением нелинейного СДУ (1), также именуемый нелинейным процессом. Мы исследуем следующие основные проблемы. Во-первых, это вопрос существования исследуемого объекта, то есть решения СДУ (1), а также вопрос единственности решения. Во-вторых, вопрос соответствия решения нелинейного СДУ и его физической модели. То есть верно ли, что процесс Xt действительно является пределом среднего поля эволюции выделенной частицы из системы попарно взаимодействующих броуновских частиц. В-третьих, вопрос существования стационарных решений уравнения (1), а также изучение динамики распределения случайной величины Xt по отношению к найденным инвариантным мерам. Под решением нелинейного СДУ будем понимать случайный процесс такой, что П1)и подстановке его распределения в уравнение он является решением получившегося классического СДУ. Кац ввел понятие «распространение хаоса» для системы частиц со взаимодействием среднего поля, которое означает, что фиксированный набор частиц асимптотически независим при устремлении общего числа частиц к бесконечности. В дальнейшем, также стало активно использоваться близкое; по смыслу (но отличное от первого) понятие предела среднего поля, означающее, что слабый предел выборочной меры многочастичиого процесса (2) при фиксированном времени стремится к распределению нелинейного процесса (1), то есть в V{Rd) для любого t 0. В основной части диссертации предел среднего поля понимается в более; сильном смысле. А именно, что распределение выделенной частицы из системы из iV частиц в фиксированный момент времени сходится в среднем квад-ратическом к распределению нелинейного процесса в тот же момент времени. При этом полагается, что начальные распределения и впнеровские процессы нелинейного СДУ и выделенной частицы совпадают. Поскольку естественными предположениями о силе взаимодействия являются предположения о ее пространственной трансляционной инвариантности, симметричности и однородности во времени, то функцию взаимодействия Ь(х, у) удобно задавать с помощью ядра взаимодействия /3(х), При этом в силу симметричности взаимодействия его ядро обязано быть нечетным. Вторая часть третьей проблемы заключается в вопросе об устойчивости стационарных распределений. При этом устойчивость распределения понимается в смысле, что существует такая окрестность стационарного распределения, что процесс, начинающийся с любого распределения из этой окрестности будет слабо сходиться к данному инвариантному распределению. Начало в изучении нелинейных СДУ положила работа МакКина [38]. В пей для процессов (1) и (2) в условиях гладкости и ограниченности функций а(-) и 6(-, ) был доказан предел среднего поля. Шнитман (Sziiitiiian) в работе [42] сделал хороший исторический обзор темы и получил предел среднего поля для глобально лппшицевого ограниченного 6(-,-) вероятностными методами. Кроме того, в работе [42] предел среднего поля был получен еще для некоторых специфических случаев.
Тамура, в работах [43], [44] исследовал процесс (1), у которого функция взаимодействия Р быстро убывает к нулю на бесконечности и имеется сильное полиномиальное «центростремительное» внешнее поле, а именно, а(х) ca;xQ_1 при х —» со, где а 1 . В его работе доказаны существование и единственность решения нелинейного стохастического уравнения, существование, единственность стационарного решения и сходимость но вариации любого решения к нему. Там же показано и распространение хаоса. Основную роль в его исследовании играет функционал свободной энергии. Аналогичная конструкция будет рассмотрена в 3.3, поэтому ее подробное описание здесь опустим.
Бепашур, Руанет, Талаи, Валуа в работах [22] и [23] получили результаты, аналогичные результатам Тимуры, по для нелинейного уравнения без внешнего поля, в предположении полиномиального роста функции /З(-), ее локальной лппшпцевости, выпуклости па R+ и некоторых других технических условий.
В работе [45] Веретенников рассматривает вопросы существования и единственности, предельного поведения нелинейного процесса при больших временах и распространения хаоса для симметричного взаимодействия, растущего при увеличении расстояния не более чем линейно (равномерно по пространству), при достаточно сильном внешнем поле, притягивающем процесс в нуль. Ключевой в работе является равномерная по времени оценка среднеквадратического расстояния между Xt и Xt с согласованными начальным распределением и броуновским движением. Далее, эргодичность много-частичного процесса позволяет получить предельные свойства Xt. Подобные рассуждения будут приведены в данной работе в главе 2. Однако, сразу заметим, что без внешнего поля рассуждения из [45] не проходят.
Следствие об устойчивости стационарного распределения
Также схожую задачу исследовали Карило (Carrillo), МакКап (McCaim), Вилани (Villain) в работе [25]. Независимо от предыдущих авторов они исследовали решение уравнения относительно вероятностной плотности р в Rrf, где U: R+ — R есть плотность внутренней энергии, V: М. 1 — R — внешний потенциал и W: Ж 1 — — R — потенциальная энергия взаимодействия. В частности, в качестве U(s) можно рассматривать «внутреннюю энергию» броуновского движения, равную s In s. Тогда уравнение (3) будет описывать динамику плотности решения уравнения (1) с а(х) = VV(:c) и ядром взаимодействия @(х) = V\V{x).
В их работе исследуется предельное по t поведение решения уравнения (3). В частности, доказывается существование и единственность стационарного решения и сходимость любого решения к стационарному решению. Однако, па функции К и IK накладываются довольно сильные условия: V — строго выпуклая функция, V и W — строго полиномиального роста, а также другие технические условия. Исследования [25] опираются на функционал свободноіі энергии и логарифмические неравенства Соболева.
Случайные процессы, порожденные нелинейным СДУ, изучаются также в работах [2G, 27, 33, 37 (теми же методами, что и [22]) и [24, 28, 31, 32).
Также предельный процесс для системы взаимодействующих частиц рассматривался Дороговцевым и Котеленцем в [30]. По эти авторы рассматривали другой предельный переход от системы взаимодействующих частиц. Таким образом, полученные ими результаты другие, несравнимые, в частности, с результатами данной работы.
В диссертации исследуются проблемы, названные выше (стр. 5) в случае, когда а(х) = 0 и ядро взаимодействия /3 не является финитной, быстро убывающей на бесконечности или выпуклой на R+ функцией, то есть ядро взаимодействия /5 не укладывается в известные работы других авторов.
Более того, отсутствие внешнего поля и трансляционная инвариантность системы приводят к тому, что каждая инвариантная мера порождает целый класс инвариантных мер, полученных из исходной сдвигом. Поэтому в основной части диссертации устойчивость стационарного распределения мы будем понимать в смысле его устойчивости на суженном пространстве распределений, содержащем только распределения с заданным первым моментом.
В диссертации рассматривается ядро взаимодействия /5, состоящее из двух компонент: линейно возрастающей силы притяжения и ограниченного липшпцевого возмущения, то есть В третьей главе на ядро взаимодействия /3 накладывается более сильное ограничение: При этих условиях на все поставленные проблемы даются полные ответы. 4. Диссертация построена следующим образом: В главе 1 доказано существование сильного решения и его единственность при минимальных ограничениях па начальное распределение. Также получены некоторые свойства найденного решения: неизменность первого момента решения; пространственная гладкость распределения решения; непрерывность решения по времени в слабой топологии; убывание плотности к нулю при х — со. Глава 2 приводит обоснованно физического смысла данного исследования. В этой главе показано, что в данном случае при условии, что константа Липшица а для возмущения взаимодействия (5\{х) не превосходит 1/4, нелинейное СДУ описывает случайный процесс, являющийся пределом среднего поля (t — фиксировано, N — со) для выделенной частицы из системы взаимодействующих па расстоянии броуновских частиц Более того, в этой главе для случайного процесса, близкого к Х\ получена сходимость в среднем квадратичном к нелинейному процессу Xt равномерно но времени. Последняя оценка позволила получить предельные свойства Xt при а \. А именно, существование и единственность стационарного распределения и слабую сходимость решения с произвольным начальным Хц к стационарному. Однако, данный метод принципиально не позволяет следить за скоростью сходимости. Глава 3 содержит основные результаты об асимптотическом поведении нелинейного процесса. В ней предложено еще два подхода к изучению асимптотических свойств решении нелинейного СДУ. Оба подхода используют результаты о стационарных распределениях процесса, полученные в параграфе 3.1. В нем находится явно заданное двухпараметрическое семейство распределений, которое содержит в себе все стационарные распределении. Более того, находятся (правда уже в неявном виде) значения параметров, задающие стацпонариое(-ые) расііределение(-ия) для всех а Є К. Там же доказывается единственность стационарного решении при а ао (где Q-Q \) и существование нескольких стационарных решений при больших а. Параграф 3.2 представляет интерес преимущественно с точки зрении возможной техники работы с нелинейными СДУ. Он охватывает небольшую часть значений параметра а. А именно, в ней рассматриваются только малые по модулю а. Основой этой техники является использование преобразования Фурье, которое преобразует нелинейное уравнение в частных производных на плотность решения в нелокальное уравнение в частных производных. Последнее позволяет оцепить вклад (3\ в эволюцию процесса и получить экспоненциальную сходимость Фурье-образа к Фурье-образу стационарного решения в пространствах Lp при р 1. В частности, это дает экспоненциальную скорость сходимости решения к стационарному решению в V(№).
Наконец, в параграфах 3.3— 3.5 случай синусоидального возмущения взаимодействия (/3(х) = х 4- a sin х) рассматривается в наиболее широком диапазоне значений а. Эта часть работы покрывает случай а 1/2, при которых доказана слабая сходимость решения СДУ к существующему и единственному стационарному решению. Кроме того, в этой главе рассматривается случай больших а (а а 0). В последнем случае показана неустойчивость стационарного решения с конечным (0(1) при а —» со) параметром, а также показано, что существует ровно два четных стационарных решения, соответствующих значениям параметра 2а + 0(1) и —la + 0(1), которые имеют ненулевые окрестности сходимости к ним. Скорость найденной слабой сходимости не получена.
Сходимость процесса к стационарному распределению. Метод Фурье
Данная глава полностью посвящена исследованию асимптотических своііств решения нелинейного СДУ. В целях проведения более глубокого анализа решения мы сузим класс рассматриваемых взаимодействий. Так, везде в этой главе будет считаться, что ядро взаимодействия имеет вид Глава разбита на 5 параграфов.
Параграф 3.1 содержит результаты о стационарных распределениях процесса. В нем находится явно заданное двухпараметрическое семейство распределении, которое содержит в себе все стационарные распределения. Более того, находятся (правда уже в неявном виде) значения параметров, задающие стационарное (или стационарные, если их несколько) распределение для всех а Є Ш. Там же доказывается единственность стационарного решения при а Q o (где QQ ) и существование нескольких стационарных решений при больших а.
Параграф 3.2 представляет интерес преимущественно с точки зрения возможной техники работы с нелинейными СДУ. Он охватывает небольшую часть значении параметра а (малые по модулю а), которая в целом покрывается теоремами, полученными другими методами. Но результаты этого параграфа могут быть интересны, если нужны результаты об асимптотическом поведении характеристической функции процесса. Также особенностью данного метода является получение оценки скорости сходимости.
Данная техника основана на том свойстве! преобразования Фурье, что при его применении к нелинейному процессу нелинейное уравнение в частных производных па плотность решения иреооразуется в нелокальное уравнение в частных производных па образ Фурье плотности. Последнее позволяет оценить вклад Рі в эволюцию процесса п получить экспоненциальную сходимость Фурье-образа к Фурье-образу стационарного решения в пространствах Lp при р 1. В частности, это дает экспоненциальную скорость сходимости решения к стационарному решению в V(R).
Параграфы 3.3— 3.5 являются единой логической частью работы, которая разбита на несколько параграфов с силу ее важности в данной диссертации. В них случай синусоидального возмущения взаимодействия (0(х) — х + a sin я) рассматривается в наиболее широком диапазоне значении а. В параграфе 3.3 вводятся необходимые понятия и доказываются общие свойства, не использующие ограничений на параметр а. В первую очередь, это понятие функционала свободной энергии распределения случайной величины. Параграф 3.4 покрывает случай а 1/2, при которых доказана слабая сходимость решения СДУ к существующему и единственному стационарному решению. В параграфе 3.5 рассматривается случаи больших а (а oi i 0). В нем показана неустойчивость стационарного решения с конечным (0(1) при а — — со) значением параметра, а также показано, что существует ровно два четных стационарных решения, соответствующих значениям параметра 2а + 0(1) и —2а:+ 0(1), которые имеют ненулевые окрестности сходимости к ним. Пусть функция v(x) — плотность стационарного распределения, т. е. стационарное (не зависящее от времени) решение уравнения (3.3). Тогда мы можем найти v(x) в явном виде, а именно, справедлива теорема: Теорема 5 Любое стационарное решение уравнения (3.3) (в классе вероятностных плотностей) имеет вид причем решение существует для любого а. Для а 1/2 решение единственно и соответствует парс вида (a,b)(a) = (а(а),0). Доказательство. Пусть v{x) = u(x,t). Тогда по (3.3) они удовлетворяют уравнению Интегрируя, получаем Применяя интегрирование по всей оси к обеим частям равенства еще раз и учитывая, что существуют повторный интеграл ff v(x)b(x, y)v(y)dxdy — 0 и интеграл J v (x)dx — 0, получаем равенство const = 0, то есть Из леммы 10 (на стр. 56) следует, что v{x) 0 (уточним, что доказательство леммы 10 не опирается ни па данную теорему, ни па ее следствия, ее местоположение в тексте диссертации определяется местом ее основного использования). Поскольку v(x) ф 0 в силу леммы 10, получаем Интегрируя по [0,z], меняя порядок интегрирования и учитывая явный вид функции Ь(х.у).
Оценка на ±оо некоторой функции
Рассматривая значения параметра s на отрезке [0,1] имеем, что функция Eg(A.)CosX непрерывная, в нуле больше пуля, в единице меньше пуля. Следовательно, существует SQ такое, что
Далее;, существует константа d такая, что если дли любого а (подробности см. ниже). Таким образом, любоіі путь Q: [0,1] — syin( ) содеі)жпт точки, свободная энергия которых не меньше d. Рассмотрим подмножество четных мер р:
Согласно теореме 8, A(i-\ является секвенциально компактным. Согласно уравнению (3.G4), F(p(ll) и F(p(l2) меньше (d — 1) для достаточно больших а. Следовательно, p(ll и ра.2 принадлежат A,i-\. Согласно вышесказанному, не супюствует пути в A,i-i, соединяющего рй] и рй2. Следовательно, множество А,і-і несвязно.
Пусть /її — часть Д/_і, связанная с р(ц, и пусть Ао — часть А,і-\, связанная С раг Применяя к множествам А\ и Ао лемму 13, получаем утверждение леммы. Ограниченность снизу интеграла f(\\\p(x)+x2 p(x)dx в слабой топологии. Функционал сіюбодноіі энергии для процесса Орнштейна Улепбека FQ у (эквивалентен нашему функционалу свободной энергии при а = 0) имеет вид Хорошо известно, что он имеет единственное стационарное распределение и оно «устойчиво» в том смысле, что решение с любым начальным распределением сходится к стационарному при t — +оо. На множестве распределений с нулевым средним процесс Орпштейиа-Уленбека совпадает с нашим нелинейным процессом пі)іі а — 0. Соответственно, из леммы 11 следует, в частности, и убывание Fo-y на нестационарных распределениях. Следовательно, 1. Это техническое условие, которое используется только в лемме 5. 2. Данное условие выполнено на множестве полной меры, поскольку у нас есть 3 независимых условия типа равенства па 2 действительные переменные. Более того, разумно предположить, что если для стационарных решений условие выполнено, то оно выполнено и в некоторой их окрестности, что позволит исследовать устоіічнвость соответствуїопціх решений. Кроме того заметим, что для стационарного решения, соответствующего а = 0, условие выполнено, следовательно (в силу непрерывности а(а),фа(к) по а и условия по фа(к) ) оно выполняется и для стационарных решений, соответствующих достаточно малым а. 1. Рассмотрим /о, удовлетворяющее для любого к следующим условиям Л(Мо) = 0, Шкм)фъ. (АЛ) Пусть К С И — компакт. Тогда на нем существует лишь конечное число экстремумов, поскольку иначе будет существовать предельная точка, противоречащая условию в начале пункта. 2. Существует го 0 такое, что для любого \dt\ So выполнено f(k, to+dt) удовлетворяет условию (АЛ). 3. Докажем непрерывность траекторий экстремумов при \dt\ Q. ДЛЯ этого докажем, что область непрерывности каждой экстремали открыта и замкнута одновременно (в точках, удовлетворяющих (АЛ)). В силу однородности, достаточно доказать открытость и замкнутость этой области в точке to. а) Докажем открытость методом от противного. Пусть f k(ko,to) = 0 и существуют 5 0 и tn — to такие, что для всех \к - кц\ 5 выполнено я-»оо J k(k,tn) ф 0. Тогда в силу непрерывности f k{k,t) по к получаем, что для любого п функция f k(k,tn) знакопостоянна на (ко 5,ко + 5). Следовательно, существует некоторая подпоследовательность тп, такая, что f k(k, tnin) 0( 0) для любых п Є N, к {ко —6, ко + 5). Но в этом случае, переходя к пределу при п —» оо в силу непрерывности f k(k,t) по t, получаем, что f k(k,to) 0( 0) для любых к (ко — 5, ко + 5). Вспоминая, что f k(ko, to) = 0 п f k(k, t) Є С1, получаем fkk(k{),to) = 0. Противоречие. б) Без ограничения общности, пусть для любых 5 0 существует є О такое, что для любого Є (t - e,t) существует к такое, что /J - А о S и выполнено равенство f k(k, t) = О, но тогда в силу непрерывности f k получаем, что f k(ko, to) — 0, что и хотели получить. 4. Одна точка экстремума задает экстремаль на интервале \t — to\ So однозначно (то есть па этом интервале траектории экстремумов не ветвятся и не пересекаются). Это становится очевидным, если заметить, что в противном случае можно считать, что неоднозначность возникает в точке (ко, to) и, следовательно, существует tn — to такая, что существую подпоследовательности kifn,k2,n — ко, такие, что для любого п к\:П ф &2,п и выполнено равенство J k(k n,tn) = 0 (г = 1,2). Применяя теорему о среднем, для любого п получаем кп, лежащее между к\)П и ко,п, такое;, что jkk(kn,tn) = 0. Итого мы получили последовательность к7, —» ко, и по непрерывности второй производной получаем противоречие.
Похожие диссертации на Нелинейные случайные процессы и анализ систем взаимодействующих частиц
