Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц .
I. Определение процесса 17
2. Многомерные производящие функции 20
3. Прямое и обратное уравнение для производящих функций 22
4. Интерпретация ветвящихся процессов с взаимодействием частиц 26
Глава II. Предельные вероятности случайного процесса с взаимодействием частиц.
I. Уравнения для предельных вероятностей 33
2. Определение модели. Замкнутые классы 35
3. Нули квазиположительных производящих функций 39
4. Предельные распределения в замкнутых классах 42
Глава III. Вероятность вырождения ветвящегося процесса с одним типом частиц и взаимодействием .
I. Описание модели и формулировка результатов главы III 48
2. Нули квазиположительной производящей функции 54
3. Доказательство теоремы о вероятностях вырождения 58
Глава ІV. Финальные вероятности ветвящегося процесса с частицами финального типа .
I. Описание модели и уравнения для производя щих функций 64
2. Свойства неявных функций. Доказательство теоремы 1.2 , 69
3. Теорема об асимптотике финальных вероятностей 76
4. Предельные теоремы для числа финальных частиц 81
Литература
- Прямое и обратное уравнение для производящих функций
- Определение модели. Замкнутые классы
- Нули квазиположительной производящей функции
- Теорема об асимптотике финальных вероятностей
Введение к работе
Актуальность проблемы. Задача построения случайных процессов с взаимодействием частиц восходит к совместным работам А.Н.Колмогорова и М.А.Леонтовича по физической статистике начала 30-х гг. Такую задачу подробно обсуждает Б.В.Гнеденко в курсе теории вероятностей [18] • М.А.Леонтович [19] дал модель стохастической системы с попарно сталкивающимися частицами в виде однородного во времени марковского процесса в фазовом пространстве 1\1 всех Я -мерных векторов с целочисленными неотрицательными компонентами. Близкие к такой модели марковские процессы на Л/ определяются в ряде работ, посвященных конкретным задачам физической кинетики, химической кинетики, экологии (Н.Бейли [20] , К.Баруча-Рид [io] , Г.Николис, И.Цригожин [2l] , 1).А, Мс CU mw[9] и др»)# Ветвящиеся процессы с взаимодействием частиц определяются как специальный класс марковских процессов на /V , который обобщает все эти модели (Б.А.Севастьянов [2] ).
В ряде работ решается прямая система дифференциальных урав - 7 нений и даются явные выражения для переходных вероятностей процесса через различные специальные функции (D.A.McQua 7 [9І , Н.Бейли [20] , Г.Ыиколис, И.Пригожий [2t] ).
3. Цель -работы. Основной целью настоящей диесертации являете исследование предельных вероятностей ветвящихся процессов с взаимодействием частиц. Для трех моделей ветвящегося процесса получены выражения для предельных вероятностей через инфинитезимальные характеристики процессов; исследованы асимптотические свойства финальных вероятностей ветвящегося процесса с частицами финального типа.
4. Диссертация состоит из введения и четырех глав, подразделенных на пятнадцать параграфов. Нумерация параграфов отдельная для каждой главы. В каждом параграфе имеется нумерация формул, теорем и т.п. При ссылке внутри одного параграфа указывается только этот номер, при ссылке внутри одной главы добавляется номер соответствующего параграфа, и т.д. Например, в главе III мы ссылаемся на теорему 2 из §1 главы II, как на теорему 2.1.2.
В диссертации список литературы из 32 наименований.
5. Результаты. Прежде , чем приводить основные результаты, дадим определение ветвящегося случайного процесса с взаимодействием частиц.
Производящая функция по « , и экспоненциальная производящая функция по предельных вероятностей (13) удовлетворяют соответственно стационарному уравнению (II) и стационарному уравнению (12) (теоремы 2,1,1 и 2.1,2),
Стохастические модели, близкие к изучаемым в диссертации, исследовались через численный эксперимент в работе В.И.Шематовича [22] , где рассматривались реальные физико-химические явления.
7. Содержание диссертации. Все понятия, встречающиеся в тексте можно найти в книгах [I] и [б] .
В главе I дается определение ветвящегося процесса с взаимодействием частиц и выводятся уравнения для производящих функций переходных вероятностей процесса. В § I.I приводятся кратко основные сведения из теории марковских процессов со счетным числом состояний. Ветвящийся процесс с взаимодействием частиц определяу-ется как специальный класс таких процессов, и дается прямая и обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова для этого класса.
В § 1.2 определяются многомерные производящие функции и приводятся необходимые для дальнейшего сведения о производящих функциях, а также принимаемых обозначениях.
В § 1.3 в теореме I и в теореме 2 получены основные уравнения настоящей диссертации. Производящая функция используется для свертки прямой системы дифференциальных уравнений, экспоненциальная производящая функция - для свертки обратной системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Полученные уравнения в частных производных мы будем далее называть: в первом случае -прямым, во втором случае - обратным уравнением.
В § 1.4 показано, что ветвящийся процесс с взаимодействием частиц, определенный как марковский процесс на фазовом пространстве из счетного числа точек, может представлять собой сокращенное описание стохастической системы взаимодействувдих частиц. Та - ІЗ кая интерпретация ветвящихся процессов с взаимодействием частиц дает реальное содержание этих процессов применительно к физическим и химическим явлениям, экологическим системам и др. В качестве примера дается стохастическая модель экологической системы "хищник-жертва". В виде случайного процесса с взаимодействием частиц даются также модели химических реакции: мономолекулярной А- В , и бимолекулярной
В главах II, III, ІУ изучаются предельные вероятности ветвящихся процессов с взаимодействием частиц. В § 2.1 вводятся производящие функции предельных вероятностей. В теорема I и теореме 2 показано, что эти производящие функции удовлетворяют стационарным прямому и обратному уравнениям, которые используются в дальнейшем.
В § 2.2 определяется рассматриваемый в следующих параграфах главы II случайный процесс, в котором комплект взаимодействующих частиц может перейти только в набор частиц, который может быть комплектом взаимодействия. Лемма I показывает, что при простых предположениях множество состояний N такого процесса разбивается на замкнутые классы. Лемма 2 дает критерий конечности замкнутого класса.
В § 2.3 исследуются общие положительные нули системы квазиположительных производящих функций, связанных с инфинетиземаль-ными характеристиками рассматриваемого процесса. В теореме I изучено строение многообразия общих положительных нулей. В лемме I приводится одно достаточное условие непустоты этого множества.
В § 2.4 сформулированы и доказаны основные теоремы для предельных вероятностей рассматриваемой в главе II модели процесса с взаимодействием. Даны условия существования предельных стационарных распределений в замкнутых классах и выражения для произво дищих функций предельных вероятностей. Для доказательства исполь - 14 зуется прямое уравнение. Главную роль в полученном выражении играет общий положительный нуль рассмотренной ранее системы функций. В конце § 2.4 показана связь полученного стационарного распределения для системы взаимодействующих частиц с т.н. "микроканоническим" распределением, известным в равновесной статистической физике.
В главе III рассматриваются вероятности вырождения ветвящегося процесса с взаимодействием одного комплекта частиц и одним типом частиц Т\ . В § 3.1 сформулирована основная теорема главы - теорема 4 дает выражение для экспоненциальной производящей функции вероятностей вырождения через нули производящей функции инфинитезимальных характеристик процесса. Доказательство теоремы 4, ввиду его громоздкости, разбито на несколько этапов, дается ряд подготовительных теорем.
В § 3.2 исследуются нули инфинитезимальяой производящей функции. Теорема I и теорема 2 рассматривают случай, когда эта функция - полином. Доказанные свойства нулей квазиположительного полинома (один коэффициент полинома отрицателен, остальные - неотрицательны) переносятся на случай общей квазиположительной производящей функции, которая представляется как предел последовательности квазиположительных полиномов. Эти рассуждения проводятся при доказательстве теоремы 3, рассматривающей общий случай.
В § 3.3 приводится доказательство теоремы 1.4. С помощью "вложенной цепи Маркова" рассматриваемого ветвящегося процесса получено выражение для вероятностей вырождения. Далее для доказательства используется обратное уравнение.
В главе ІУ изучаются асимптотические свойства финальных вероятностей ветвящегося процесса, обобщающего модель третьей главы. При взаимодействии частиц типа "Г, появляется случайное число частиц финального типа Т„ , которые не участвуют во взаимодействии и число которых не уменьшается со временем (модель химической реакции с выходом конечного продукта).
Б § 4.1 определяется рассматриваемая модель, выводится уравнение для двойной производящей функции вероятностей вырождения, учитывающее специфику процесса - наличие финальных частиц. Сформулирована теорема 2, где дано выражение для двойной производящей функции финальных вероятностей через инфинитезимальные характеристики процесса. Эта теорема доказывается в $4.2 после установления некоторых свойств двойной производящей функции с помощью "вложенной цепи Маркова" рассматриваемого процесса. Результаты § 4.1 и § 4.2 обобщают результаты главы III.
В § 4.3 получены асимптотические формулы для финальных вероятностей, когда фиксировано начальное число частиц, а число финальных частиц типа Т0 стремится к бесконечности. Асимптотические формулы аналогичны полученным в [i] , гл. 5, для случая ветвящегося процесса с независимыми частицами и финальным типом. Вывод асимптотических выражений аналогичен .
В § 4.4 рассмотрены предельные теоремы для числа финальных частиц, когда стремится к бесконечности число начальных частиц типа Т t . В докритическом и надкритичесокм случае имеют место теоремы типа центральной предельной теоремы. В критическом случае, при соответствующей нормировке числа финальных частиц, имеет место сходимость к устойчивому занону распределения. Доказательства проводятся методом характеристических функций.
- 16 8, Публикации и ашнюбация. Основное содержание диссертации составляют статьи [27] , [28] , [ЗҐ[ , и сообщения [26І , [29І , [32] .
Результаты диссертации доказывались на заседаниях семинара по ветвящимся процессам МГУ, на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 1981 г.
Автор выражает глубокую благодарность Б.А.Севастьянову, под руководством которого выполнена настоящая диссертация, А.Н. Колмогорову и Н.Н.Боголюбову за внимание к работе.
Физические основания рассмотрения ветвящихся случайных процессов с взаимодействием частиц докладывались на семинаре сектора физической кинетики ФИАН, семинаре математического отдела ИХФ АН СССР (пос. Черноголовка). В § 1.4 использована работа [30]
Прямое и обратное уравнение для производящих функций
Для векторов & - (Ъ ,.,, S w) употребляется обозначение О , если все компоненты равны нулю и 1 , если все Sс - 1 Мы будем писать S1 S , если все 5 . Через I sl будем обозначать вектор с компонентами S ( Аналогичные обозначения и для 2 = (г , -.,г -). Пусть а а « /Vй" , Fes) - многомерная производящая функ ция. Далее будем обозначать ? - v -ь ,,, + oi к , с 1 =
Определение I. Будем называть производящую функцию Fes) положительной, если все 9 г о , квазиположительной, - если имеется одно %d такое, что О , а остальные jd , 0 . Положительную производящую функцию будем называть вероятностной, если F ( ) - і .
Все встречающиеся далее в диссертации производящие функции имеют некоторую положительную область сходимости, В этом случае между {cfj} и Ffs) , СгС ) устанавливается взаимно однозначное соответствие: о . I 1ІЕІ2) a .Vl) (3) Пусть Й е /V . Если ( Сй) есть производящая функция для 1 fl J , то ——$Г есть производящая функция для
Ввроятноомая производящая функция PCs ) соответствует vi -мерному распределению вероятностей { J на N Можно соотносить вероятностную производящую функцию F("s) не к распределению вероятностей "С З , а к какому-нибудь случайному вектору f = С/і-,.., fK) » имеющему { J своим распределением вероятностей, С помощью вектора J дается эквивалентное оп ределение вероятностной производящей функции: FteH Msf #
В диссертации используется понятие факториального момента. Определение 2. Математическое ожидание называется факториальным моментом порядка л - л + ,, t + & Можно показать, что Игсяв2ІіО (4) где производная в точке s = l понимается как соответствующая производная слева по всем координатам 31 или, что в данном случае равносильно, как ёс l F(s) fM WL sn OS? IS? Доказательство (4), как и дальнейшие сведения о производящих функциях, можно найти в [i] .
Далее мы будем пользоваться свойствами введенных производящих функций и принятыми обозначениями не оговаривая их дополнитель но. Для векторов ,V ,... N примем обозначения типа: i-f % если «4 = , ttl к к» и в противном случае; , если , ... vh ,jiK и т.п. $ обозначает вектор с компонентами 4.- ,,.., - )» век тор (о,,.., о) будем обозначать просто (7 .
Получим основные уравнения ветвящегося процесса с взаимодействием частиц путем свертки прямой и обратной систем уравнений Колмогорова. Введем многомерные производящие функции для вероятностей переходов Р (t) ветвящегося процесса с взаимодействием частиц: F, 4;s)= Г R,va) \ і иі л/л (і)
Заметим, что для всякого fv ( , $} - функция, аналитическая в области 1 I \ , в силу условия Z— P. v М », а (і;г) - целая функция при любом % .поскольку Введем дифференциальные операторы с постоянными коэффициен -тами и примем сокращенные записи типа Нам понадобятся характеристические функции дифференциальных операторов f с ) » - квазиположительные производящие функции
Теорема I. Производящая функция F ;$) переходных вероятностей ветвящегося процесса с взаимодействием частиц при любом удовлетворяет при IS.U\ уравнению в частных производных kl f ! -ъъ1 с начальным условием ъ » s) " s Теорема 2. Экспоненциальная производящая функция &% (г) ветвящегося процесса с взаимодействием частиц при любом у удов летворяет уравнению Замечание. Если каяодый комплект взаимодействия состоит из одной частицы, то уравнения (2) и (3) есть уравнения ветвящегося процесса с независимыми частицами ( [її , гл. 4).
Доказательство теоремы I. Для вывода уравнения теоремы свертывается с помощью производящей функции (I) прямая система уравнений Колмогорова (1.10) для ветвящегося процесса с взаимодействием частиц. Ряд (I) сходится абсолютно и равномерно по t при фиксированном & , sl \ . РядИ —у— сходится абсолютно и равномерно по t при I s 1 1 ,- его сумма равна — ±—+— .
Действительно, из (1.10) следуют неравенства, при S1 1 : и используем признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. После сделанных замечаний законна следующая цепочка равенств, при
Начальное условие следует из начального условия для системы Колмогорова, Мы показали справедливость уравнения (2) при 1&\ 1 Справедливость уравнения при 1 1 1 является следствием непрерывности. Теорема I доказана. Доказательство теоремы 2. Воспользуемся обратной системой Колмогорова (I.II),
Из (3) следует, что ряд (2) сходится абсолютно и равномерно по і при фиксированном И , І-} равна сумма ряда! поскольку последний сходится абсолютно и равномерно по t Действительно, из (I.II) получаем неравенства
Определение модели. Замкнутые классы
Пусть F . (t) , o/t v є Nк - переходные вероятности марковского процесса со счетным числом возможных состояний (1.1,1.)-(1.1,4). Тогда для любых d ъ \ существует предел ( [ю] , стр. 124)
В следующих главах диссертации пределы (I) рассматриваются для различных моделей ветвящегося процесса с взаимодействием части (Л . мы будем называть предельными вероятностями . Предельные вероятности не обязательно составляют распределение вероятностей, Е Цц і Введем производящие функции ( I & И ) Легко видеть, функция Joi ) является аналитической в области І&1 - , функция $ г) - целая функция.
Пусть -комплекты взаимодействия ветвящегося процесса с взаимодействием частиц, f ()- EI р!" S &И ( р , О , если Ф1 , р\- о )j c-.{fl%.} С - заданные квазиположительные производящие функции инфинитезимальных плотностей ветвящегося процесса. Для нахождения пределов (І) в диссертации используются следующие теоремы.
Теорема I. Производящая функция 9 00 предельных вероятностей ветвящегося процесса с взаимодействием частиц при любом ос удовлетворяет при $1 і уравнению в частных производных
Доказат ель ство. В теореме І.З.І дано уравнение (1.3.4) для производящей функции переходных вероятностей, которое используется для вывода стационарного уравнения (2). Из общей теории однородных цепей Маркова известно ( [з] , стр. 403), что & Lu lKo (3) ir -» оо d Ь для любых / у & N "" .Из показанной при доказательстве теоре , о— у л P. /) мы 1.3.1 равномерной по t сходимости ряда 2— —-р— следует, что (4) W = О и N Ь-юо Dt С другой стороны, так как ряд Л Ро(1( ) & сходится равномерно в области Г о, оо) t то Из (1.3.4), (4), (5) вытекает уравнение (2). Теорема I доказана. Пусть Г(1Ъ Т? . Теорема 2. Производящая функция ) предельных вероятностей ветвящегося процесса с взаимодействием частиц при любом К удовлетворяет уравнению в частных производных Теорема 2 является следствием теоремы 1.3.2. Рассуждения при доказательстве теоремы 2 дословно повторяют доказательство теоремы I, поэтому мы не будем их приводить. Исследование уравнений (2) и (6) для нахождения пределов (I) в общем ветвящемся процессе представляет определенные трудности. Естественно выделяются специальные классы ветвящихся процессов с взаимодействием частщ, для которых в диссертации проводится рассмотрение уравнений (2) и (6).
Прямое уравнение для производящих функций переходных вероятностей следующее (теорема 1.3.I): е Ц Pc (4) -bf (t; ) = V R ;S) . лС-ьі (o; S) ; В 2, 3, 4 настоящей главы находится, при некоторых условиях, предельное стационарное распределение процесса J ft) . Основные результаты 2, 3, 4 изложены в работах [28] , [32] Далее всюду предполагается неразложимость матрицы Р = В Pi И І с г
Определение I. Матрица А = И A- Ht- t называется нераз-ложимой, если множество индексов {Ч,..., 1\ нельзя разбить на два таких непустых непересекающихся множества Й v и S , что А- =0 для всех l S 4_ t j є Sa # Определение 2. Матрица А называется неотрицательной (квазинеотрицательной), если все её (недиагональные) элементы неотрицательны.
Матрица г является квазинеотрщательной. Введем также неотрицательную неразложимую матрицу Р = р II г л , где ства L р матриц Р и Р в удобной для нас форме изложены в 5 главы 4 монографии [i] . Проведем классификацию состояний процесса М (О І Состояние )( называется достижимым из состояния , если существует некоторое і о t t0 oo , такое, что PUy(to) 0 Состояния и , достижимые друг из друга, называются сообщающимися и обозначаются cL .. Процесс J4(i) обладает следующим свойством. Лемма I. Пусть матрица г неразложима и состояние I достижимо из состояния о( # Тогда состояние U достижимо из состояния X » # Доказательство . Рассматриваются процессы, в которых возможны только переходы вида (2). Если % достижимо из , то существует последовательность из комплектов взаимо действия \, такая, что jf = е - + i\ - 3, Гг - t , t - fc +Гк . Тогда из состояния )( возможен переход, соответствующий последовательности из комп лектов взаимодействия , , ь-\ t _ _ , ,, t ± t s : - к -і4" - " ,И І + i . Достаточно показать, что для любых L и ( 6.j 4-j..., ) из состояния 4 можно достичь состояния :
Нули квазиположительной производящей функции
Сформулируем основную теорему о вероятностях вырождения, которая доказывается в 3. Теорема 4. Пусть производящая функция f fs) такова, что ро О , Н.О.Д. ( С О : ft ФО ) =1 , и rs) имеет два положительных нуля, может быть совпажающих. Обозначим а ближайший к нулю положительный корень уравнения Тогда О с \ где сумма взята по всем корням уравнения (4) в области g \ а , степень полинома Р. (ч.) строго меньше кратности Q , а значение константы С и коэффициентов полиномов однозначно определяются условиями Q - (о) - О при С - i ..., і -4-, + 4, ..,k-l и ( (о) = \ .
Замечание I. Выражения для 9\(2) даны в теореме 4 при предположениях, что р« 0 и Н.ОД. ( С О , р; Ф О ) =1 . Если р0 - О , то нахождение Х сводится к рассмотрению процесса с взаимодействием комплектов из К - 1 частицы.
Если Н.О.Д. ( с О : р Ф О ) = (L \ , то также естественно исследовать вырождение процесса с меньшим числом взаимодействующих частиц,- комплектом взаимодействия из к/ частиц. Эти предположения позволяют нам избежать лишних оговорок при доказательстве теоремы 3 и теоремы 4.
Замечание 2. Выражения (5) справедливы для вероятностей вырождения любого целочисленного марковского процесса, вложенная цепь в момент скачков которого является случайным блужданием с ограниченными снизу скачками (см. доказательство теоремы 4 в 3). В случае к 1 эти выражения получены И.И.Ежовым \д\ для процесса, вложенная цепь которого представляет случайное блуждание с ограниченными снизу скачками. Из других работ о выходе такого блуждания за фиксированный нижний уровень близка к нашей статья М.Е.Зюкова \17] . Используя основной результат [17] , можно решить соответствующую задачу о вырождении таких блужданий.
Следствие I. Пусть К - 1 Тогда fyl0 - \L} где Q равно наименьшему неотрицательному корню уравнения f f s) - 0 . Это следствие совпадает с теоремой о вероятности вырождения ветвящегося процесса ( [I] , глава 2, I, теорема 2). Следствие -2. При С - оо , і - 0, ,,, к -1 , где С- 0 некоторая константа. Следствие 3. В случае докритического или критического ( \ (\) - Wi V ) ветвящегося процесса Q - \ и при любом
Для доказательства следствий I, 2, 3 используется вытекающее из производящей функции (5) выражение для вероятности поглощения Ъ „L-Ъ J in is л 0П 7, J " где i - кратность корня, В параграфе доказывается ряд теорем о нулях в круге К И \ квазиположительной производящей функции {=0 1 р- 0 , если 4 К , рк 0 , 1) - О . Здесь К . А Рассмотрим сначала нули квазиположительного полинома степени больше К
Теорема I. Пусть производящая функция fs) - полином, степень которого больше К . р0 О , Н.О.Д. ( і О; Pi = ) =1 . Тогда ;f fs) имеет два положительных нуля, С и К , с $ R. , может быть совпадащих. В круге \%\ R. кроме нулей ( и R- имеются нули только в области ІМ , , причем их К 1 (каждый нуль считаем столько раз, какова его кратность). Доказательство опирается на одну теорему Пелла ( [12] , стр. 393), которую мы приведем: Теорема Пелла. Если полином /YS)r 3ol+...+ laK-ilsk -KUk+ tGK ilsk+V..-flqjs" (Х0ал Ф 0 , 0 к ц, имеет два положительных нуля ос4 и ЭСХ , ЭС± Хг , то полином 1/ ) = 0+ + ..,+ flKs не имеет нулей в кольце oci (s\ oca_ и имеет ровно К нулей в круге I & I х , если каждый нуль считать столько раз, какова его кратность.
Эта теорема сохраняет силу и для случая, когда - 1= эс . Доказат ельство теоремы I. Докажем утверждение теоремы о положительных нулях. Положим wi= ч (\) . Если wt 0 , то = 1 и существует R. t , 4Ш=Р , так - 55 как при достаточно малом О f (i + ) D , а при достаточно больших Є f (\± ) 0 ( Cs)_ полином с положительным коэффициентом при старшем члене). Если гл, - О , то q, - R. 1 , Если wi о , то R. = \ . При достаточно ма лом О (1-/) 0 , a ff0) = po 0 .значит существует 0 1 f такое, что f () = 0 , Переходим к доказательству второго утверждения теоремы. Применим теорему Пелла. Положим (s) = fCs) . Тогда из условий pt- О 9 сф к Рк 0 , следует, что f(u)- -f ($)- (S) . Условия теоремы Пелла выполнены, причем : = q, , осА = R. ; значит в круге SI $% имеется К нулей %($) » и в кольце S ft нулей \(ъ) нет. Остается показать отсутствие нулей, отличных от , R , на окружностях 1 1= , ISI = R. . Если А - положительный нуль fs) , то на окружности S I=A не могут находится корни уравнения %(ъ) О , отличные от Л Действительно, пусть T S") =D f $„1 = А ,и Se А , тогда if га.)-рк ( = -р..а.к1 =-pkAk так как рк .С другой стороны, I po+.-.+ P C p rV., -;pk K р0 pHsl ... =Po + pi + ... - ркАк в силу условия Н.О.Д. ( С о \ р - 0 ) = 1 . Предположение &„ А приводит к противоречию. Теорема I доказана. Рассмотрим случай, когда f S) - полином степени К. - 56 Здесь мы не делаем предположения, что (i)- V . Теорема .2. Пусть f CS) - полином степени К , ffsb 22 PtV . к , i , если с К , Pt- 0 при некотором і Тогда существует единственный положительный нуль , все остальные нули \(Ъ\ (их число К - \ ) лежат в круге 1 1 Я . Доказательство, Функция Рк- + Рк-зХ + ,. . +ро& монотонно убывает от оо до О f когда S монотонно возрастает вдоль положительной оси; следовательно, она принимает значение - рк в одной и только одной точке . Имеем: pKS 0 ИЛИ 0 , (I) в зависимости от того, будет ли S Q , или & , . Далее, если S0 - нуль tfS) : -pkl ol І 1 Х)-рк о1- І ро +р18 + ...-ьрк. вк-11 Po + pi\S0\ . PK-YUOI "/" следовательно, l&el , согласно (I). Теорема 2 доказана.
Теорема об асимптотике финальных вероятностей
Для формулировки основной теоремы приведем важные характеристики производящих функций Уіс[(и) » связанные С Д0СТИЖИ si мостью поглощакщих состояний процесса м (і) из начального состояния (0} к) Обозначим через Й - множество всех точек плоскости с целочисленными координатами f, ч) » Д- 1 которых Р(г ъ +к) или J" =ч?- = 0(3ознаЧЕМ /, такую решетку целочисленных точек плоскости, которая содержит множеств S и не содержит никакой подрешетки, удовлетворящей этому же свойству. Координаты всех точек решетки ), можно получить, составляя всевозможные линейные комбинации с целыми коэффициентами из координат точек множества S
Свойства такой решетки исследованы в [і] Если на распределение { Оп ) & /Vх] наложены усло вия теоремы 1.2, то решетка S, двумерна. В ее основании лежит параллелограмм площади, cly причем d, - целое число. Р ешетка Й характеризует множество достижимых состояли процесса, т.е. состоянии % ? А/ таких, что ( к) УЛ( ) 0 при некотором t со , Очевидно, если ф S ,
Пусть таково,что состояние ( j,0 достижимо из (о, к) С = ...,к-1) .тогда Чго.кК .р .Такое ; существует, так как в противном случае вероятность вырож-дения в состоянии , ц - Л с,(0 к)( 0 -О чего быть не может по условию (1.3). Пусть с : минимальное из чисел, удовлетворяющее заданному свойству. Рассматривая решетку , нетрудно заключить, что при фиксированном , &и принадлежат только точки вида (Р; + ж. /і) , w 0) + {±0
Достижимыми из состояния (с?, к) будут поглощающие состоя ния вида ( j-viW, ) , т = о,\, , Производящая функция финальных вероятностей «; (и) имеет вид Теорема І. Пусть выполнены условия теоремы 1.2. При w- oo , v = P,..,, к-1 ( t , К определены в лемме 2.2) і 2їг 6 (4) где b= — -К(К-1 К "о Г — . с обозначения Р\ и введены выше, а эек-1= »
Следствие I. Если в теореме I ветвящийся процесс с взаимодействием - критический, т.е. д JF I - к , то d S \ u=S = l . .- %(о,к)(и})) - \ (5) V Ц VI І l\ (Ш-06І d) Действительно, в критическом случае равенства f fw,s) $k и Г - к s справедливы при = S = \ согласно лемме 2.2 и следующему за ней заглечанию, Ч. - \. , К = f„( ) \t = (5) вытекает из (4).
Доказательство теоремы I проводится аналогично доказательству теоремы I 4 главы 5 [i] , где рассмотрен случай независимых частиц (к 1 . Исследуется интеграл (2), где контур интегрирования изменяется таким образом, что главную роль в асимптотических формулах при vi- oo играют особые точки функции (,( ) на границе круга сходжго сти lu-l -I .
В рассматриваемом здесь общем случае К \ необходимо отметить, что функции ifK- («,) , \- ог..} к вид где функции ty-(u-) , у-См) аналитические в области OL\ J , г ( if-ro-эе- , j = o(...,к-1 ). Действительно, из формул (3) получаем для функций ty(u) у- (и) выражения Пусть tf0 , (M„ ї - особая точка функции fyC ) . Как отмечалось в I, 2 ( К0 , f (иь) ) - точка ветвления порядка т. , /и, к , многозначной функции (и) .В не которой окрестности ио f(u) представима в виде f(и) - со ( Vц -и0 )? (8) где ю (ъ) аналитична в точке 2 - 0 . ( [І5І , задача 26.19). Среди функций 1 (и) -i uJ имеются функции (и)і fy±(-U),,.,, tfe (ц) соответствующие w. ветвям функции (8) в окрестности и о . Из выражений (7) можно видеть, в таком случае,что точка Ц0 не является особой для у- ((А) , ( - (ц) , - доа-таточно подставить в (7) выражения для / (Х), (f ),.., (и) из (8). Из (2), (6) можно получить также как в [il , что при
Интеграл от по некоторому контуру У0 охватываю щему особую точку 1 , исследованный в [і] С использованием леммы 2.3, дает формулы (4).
Пусть в начальный момент времени имелось і частиц нефи-нального типа Т . Обозначим \ -- число финальных час-тиц, которое остается после того, как процесс м( ) выродится, останется ] частиц типа Т , \ = О,..., к -1 . Случайная величина -- имеет распределение { оЧі))14 А,Л где вероятности Яго,с)(и1\) определяются с помощью ряда
Используя выражение (2), можно методом характеристических функций получить предельные теоремы для распределения t--при больших і . При этом надо иметь в виду, что вероятности в выражении (І) в общем случае не образуют распределения вероятностей, &W Л; (lU\)-Cl вероятность ВЪфОЖ дения в состоянии с і частицами типа Т, .
