Введение к работе
Актуальность темы
Временные ряды являются одним из традиционных объектов изучения статистиков. Все начиналось с изучения свойств процессов типа авторегрессии (AR), скользящего среднего (МА) и родственных им. Основные задачи для таких процессов — оценка параметров, проверка гипотез о структуре модели, построение прогнозов — решались, как правило, либо в параметрической постановке в предположении нормальности инноваций, либо с использованием процедур типа наименьших квадратов, см., например, монографию Brockwell, Davis1.
Желание строить тесты и оценки асимптотически более эффективные, чем тесты и оценки наименьших квадратов, а так же робастные по отношению к отклонениям от постулируемой модели, привело к созданию целого ряда новых процедур. В частности, ранговых, знаковых, GM и минимального расстояния. Изучать подобные процедуры оказалось удобным с помощью так называемых остаточных эмпирических процессов (о.э.п.).
О.э.п. определяются как аналоги классических эмпирических процессов для независимых одинаково распределенных данных, в которых ненаблюдаемые инновации заменяются на остатки модели. Интересующие нас статистики являются функционалами от о.э.п. Поэтому изучение асимптотических свойств статистик сводится к изучению асимптотических свойств о.э.п., в первую очередь равномерных линейных и квадратичных разложений и слабой сходимости в подходящих метрических пространствах. Так, например, в AR модели Koul2 с помощью о.э.п. изучал обобщенные М-оценки, ранговые и оценки минимального расстояния, Kreiss3 строил тесты для проверки гипотез, Болдин4'5 — тесты типа Колмогорова и омега-квадрат. Задачи проверки линейных гипотез в ARMA модели решали НаШп и Puri6 с помощью ранговых тестов, Болдин и Штуте7 с помощью знаковых тестов. Для реше-
lBrockwell P. J., Davis R.A. Time Series: Theory and Methods. New York. Springer-Verlag. 1987. 519 p.
2Koul H.L. Weighted Empiricals and Linear Models. IMS. Hayward. CA. 1992.
3Kreiss J.P. Testing linear hypotheses in autoregressions // Ann. Statist. 1990. V.18. №3. P.1470-1482.
4Болдин M.B. Оценка распределения возмущений в схеме авторегрессии. // Теор. вероятностей, и ее применен. 1982. Т. 27. №4. С.805-810.
5 Болдин М.В. Проверка гипотез в схемах авторегрессии критериями Колмогорова и омега-квадрат.// ДАН СССР. 1983. Т. 273. №1. С.19-22.
вНаШп М., Puri M.L. Optimal rank-based procedures for time series analysis: testing an ARMA model against other ARMA models // Ann. Statist. 1988. V.16. №1. P.402-432.
7 Болдин M.B., Штуте В. О знаковых тестах в ARMA модели с возможно бесконечной дисперсией ошибок // Теор. вероятностей и ее применен. 2004. Т. 49. №3. С.436-460.
ния задач типа "change-point"использовались последовательные о.э.п. Асимптотические свойства таких процессов изучали, например, Ling8 для AR модели, Ваі9 для ARMA модели.
Замечательно, что о.э.п. нашли широкое применение в статистическом анализе нелинейных моделей. Выделим среди них класс гетерос-кедастических моделей, применяющихся в эконометрических приложениях. Базовой моделью для этого обширного семейства является ARCH модель, предложенная в работе Engle10. На модели типа ARCH перенесены многие результаты, полученные первоначально для AR. Выделим работы Lee, Taniguchi11, Koul, Ling12, Сорокина13, а так же работу Болдина14, в которой получено равномерное линейное разложение о.э.п. общего вида для гетероскедастических моделей.
Отметим, что существует ряд задач, решенных для AR модели и некоторых нелинейных моделей, но не решенных для наиболее общей среди линейных ARMA модели. Например, задача построения асимптотически гауссовской оценки типа минимального расстояния решена Koul15 для AR модели в 1986г., обобщена им16 на класс нелинейных моделей с аддитивными "шумами"в 1996г., в 2004г. Сорокиным14 доказана асимптотическая гауссовость оценки минимального расстояния для параметра ARCH модели. Однако, эти результаты до сих пор не были обобщены на ARMA модель.
Другой пример: задача проверки гипотезы постоянства коэффициентов модели против альтернативы о том, что они меняются ("дрейфуют") во времени. Она решена Болдиным17'18 для AR модели и ARCH
8 Ling S. Weak convergence of the sequential empirical processes of residuals in nonstationary autoregressive models // Ann. Statist. 1998. V.26. P.741-754.
9Bai J. Weak convergence of the sequential empirical processes of residuals in ARMA models// Ann. Statist. 1994. V.22. P.2051-2061.
10Engle R.F. Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the varients of U.K. inflation Л Econometrica. 1982. V.5. P.987-1008.
11 Lee S., Taniguchi M. Asymptotic theory for ARCH-SM models: LAN and residual empirical processes I) Statistica Sinica. 2005. V.15. P.215-234.
12Koul H.L., Ling S. Fitting an error distribution in some heteroscedastic time series models // Ann. Statist. 2006. V.34. №2. P.994-1012.
13Sorokin A.A. On The Minimum Distance Estimates in ARCH Model // Math. Methods of Stat. 2004. V.13. №3. P.329-355.
14Boldin M. V. On empirical processes in heteroscedastic time series and their use for hypothesis testing and estimation // Math. Methods Statist. 2000. V.9. №1. P.65-89.
15Koul H.L. Minimum distance estimation and goodness-of-fit tests in first order autoregression // Ann. Statist. 1986. V.14. P.1194-1213.
ieKoul H.L. Asymptotics of some estimators and sequential residual empiricals in nonlinear time series If Ann. Statist. 1996. V.24. №1. P.380-404.
17Boldin M. V. On median estimates and tests in autoregressive models // Math. Mathods Statist. 1994.V.3. P. 114-129.
18Болдин M.B. Последовательные процессы и тесты типа Колмогорова для авторегрессионных
модели, но на ARM А модель результаты перенесены не были.
Перенос упомянутых результатов на ARMA модель связан с существенными техническими трудностями, которые, впрочем, всегда возникают при изучении ARM А моделей. Иногда эти трудности так велики, что преодолеть их удается лишь используя новые (в сравнении с AR) подходы. Тогда перенос результатов с AR на ARM А модель оказывается содержательным с теоретической точки зрения. Для приложений актуальность таких задач очевидна, поскольку ARMA модель является наиболее общей из общеупотребительных линейных моделей.
Выделим еще одно обстоятельство. ARMA модель обобщает авторегрессию также, как гетероскедастическая GARCH модель (введена Bollerslev19) обобщает ARCH. Изучая ARMA модель, мы, тем самым, "готовим почву"для изучения нелинейной GARCH модели. Таким образом, тема диссертации представляется актуальной как с теоретической точки зрения, так и для приложений.
Цель работы Целью работы является построение и исследование с помощью остаточных и последовательных остаточных эмпирических процессов новых процедур оценивания и проверки гипотез в ARMA (Autoregressive Moving-Average) модели.
Научная новизна Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
Построены тесты для проверки гипотезы о постоянстве коэффициентов ARMA модели. Коэффициенты модели предполагаются неизвестными, тестовая статистика строится согласовано с оценками для коэффициентов модели.
Построена новая непараметрическая оценка типа минимального расстояния для параметра авторегрессии первого порядка. Доказана асимптотическая гауссовость построенной оценки. Предельная дисперсия оценки не больше предельных дисперсий оценок, известных ранее. Эта оценка имеет конечную чувствительность относительно независимых аддитивных выбросов.
Построена новая двухшаговая оценка типа минимального расстояния для коэффициентов ARMA модели. Доказана асимптотическая гауссовость построенной оценки. Показано, что такие оценки
гетероскедастических моделей // Тез. док. меж-ой конф. "Колмогоров и современная математика". Москва. Июнь 2003. С.400-401.
19Bollerslev Т. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity // J. Econometrics. 1986. V.31. P.307-327.
могут обладать большей асимптотической эффективностью, чем классические оценки наименьших квадратов.
4. Построены тесты типа минимального расстояния для проверки линейных гипотез о коэффициентах ARM А модели. Для них найдена асимптотическая мощность при локальных альтернативах. Показано, что построенные тесты могут обладать большей асимптотической мощностью по сравнению с тестами наименьших квадратов и знаковыми тестами.
Методы исследования В работе используются методы математического и функционального анализа, методы теории вероятностей и математической статистики. Метод исследования основан на использовании остаточных и последовательных остаточных эмпирических процессов. При доказательстве основных теорем используется равномерное линейное разложение таких процессов.
Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретических характер. Результаты могут быть полезны специалистам по математической статистике, теории временных рядов и эконометрике.
Апробация работы Результаты докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей мех-мата МГУ в 2008 г. (руководитель — член-корреспондент РАН А.Н.Ширяев). Неоднократно делались доклады на семинаре "Непараметрическая статистика и временные ряды "под руководством проф. Ю.Н. Тюрина, проф. В.Н. Тутуба-лина, доц. М.В. Болдина в 2008-2009 гг. Кроме того, результаты докладывались на XV и XVI Международных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(МГУ 2008; 2009), Ломоносовских чтениях (МГУ 2008; 2009) и VI Колмогоровских чтениях (ЯГПУ 2008).
Публикации По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце настоящего автореферата. Работы [1]-[3] изданы в журналах, внесенных в список ВАК.
Структура и объем диссертации Диссертациях состоит из четырех глав, первая из которых — введение, списка обозначений и списка используемой литературы, насчитывающего 79 наименований. Формулы имеют номер, состоящий из двух чисел. Первое из них соответствует номеру главы, а второе — номеру формулы в главе. Леммы, теоремы и условия имеют трехзначный номер, состоящий из номера главы,
номера параграфа и номера леммы (теоремы, условия) в данном параграфе. Ссылки на работы других авторов нумеруются по алфавиту, согласно фамилии первого из них. Общий объем диссертации — 141 страница.
Похожие диссертации на Эмпирические и последовательные эмпирические процессы в статистическом анализе ARMA модели
