Содержание к диссертации
Введение
1 MD оценка для ARCH(l) модели. 27
1.1 Асимптотическая нормальность MD оценки 27
1.2 Робастность MD оценки 44
1.3 Доказательство вспомогательных утверждений 52
2 Оценивание и проверка гипотезы размерности в ARCH(p) модели . 58
2.1 Асимптотическая нормальность MD и GM оценок 59
2.2 Проверка гипотезы о размерности ARCH(p) модели 66
2.3 Доказательства теорем 76
2.3.1 Доказательство теоремы 2.1 76
2.3.2 Доказательство теоремы 2.2 80
3 Равномерная оценка коэффициента сильного перемешива ния и максимума о.э.п. для ARCH(p) модели . 85
3.1 Равномерная оценка коэффициента сильного перемешивания для ARCH(p) модели 85
3.2 AUL для остаточного эмпирического процесса 96
3.3 Максимальное неравенство для остаточного эмпирического процесса общего вида 101
Список обозначений 115
Список литературы 116
- Доказательство вспомогательных утверждений
- Проверка гипотезы о размерности ARCH(p) модели
- Равномерная оценка коэффициента сильного перемешивания для ARCH(p) модели
- Максимальное неравенство для остаточного эмпирического процесса общего вида
Введение к работе
Диссертация посвящена использованию остаточных эмпирических процессов для статистического анализа гетероскедастических моделей. Мы начнем введение с описания предмета исследования. Затем будет рассказано об истории и современном состоянии того, как остаточные эмпирические процессы применяются для анализа временных рядов. Далее будут кратко описаны полученные в работе результаты, и мы сравним их с уже известными в литературе.
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка обозначений и списка используемой литературы, насчитывающего 79 наименований. Формулы, леммы и теоремы будут иметь номер, состоящий из двух чисел. Первое из них соответствует номеру главы, а второе - номеру формулы (леммы, теоремы) в данной главе. Формулы из введения будут нумероваться одним числом. Ссылки на работы других авторов нумеруются по алфавиту, согласно фамилии первого из них.
История гетероскедастических моделей.
Стохастические модели используются для моделирования финансовых данных на протяжении нескольких десятков лет. При этом наблюдения, как правило, состоят из цены некоторого актива или нескольких активов, подсчитанной в дискретные моменты времени. Считается, что поведение цен в будущем точно предсказать невозможно, поскольку они зависят от множества факторов различной природы, в совокупности неизвестных ни одному из участников рынка. Обычно для описания данных такого типа используются стохастические модели. Гетероскедастические модели занимают среди них важное место. Прежде чем перейти к их рассмотрению, вкратце напомним, какой тип моделей временных рядов, используемых для финансовых приложений, предшествовал им.
Доказательство вспомогательных утверждений
Пользуясь леммами 1.2 и 1.3, несложно проверить, что точка минимума Щ(в) стремится по вероятности к 91 при п — со. Осталось заметить, что с?7( ) в формулировке леммы 1.3 ограничена величиной 2L. Тем самым GES(Q2,anjMD) = Теорема 1.4. Пусть т - натуральное, /i,... ,fm - борелевские функции, причем Efj(yo) со для j = 1,...,т. Положим Тогда Доказательство. Очевидно, достаточно установить справедливость (1.39) только для т = 1; переобозначим в этом случае х\ через х и /і через /. Без ограничения общности считаем, что Ef4(yo) 1. Положим N := [п2]. В силу условия У 1.2 существуют такие а« Є М U {±со}, г = 0,1,..., N, что С этой целью применим теорему 12.1 из [69]. Проверим, что последовательность {Sn(ai),i = 1,...,N} удовлетворяет условиям теоремы (а именно соотношению [69, (12.42)]) с 7 = 4, а = 3/2, щ = iV_1. Примем для краткости rt(x):=f{to-i)[I{et x}-G(x)]. Заметим, что последовательность {{rt(x),Tt)Л — 1,2,..., п} образует мартингал-разность. В силу неравенства Розенталя ([29, стр. 23]) имеем для любых 1 г j N Следовательно, последовательность {Sn(a,i),i = 1,...,iV} удовлетворяет соотношению [69, (12.42)] с 7 — 4, а = 3/2, щ = TV-1. Согласно утверждению теоремы имеем для некоторого К и любого Л О откуда и следует справедливость (1.40). Для доказательства (1.39) положим А{ := (а , a +i) и заметим, что для х Є А( Следовательно, Ввиду (1.40) для завершения доказательства теоремы 1.4 осталось показать, что Имеем Поскольку для любого г = 1,2,..., JV — 1
Из эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина для последовательности {f2{yt-i)} и условия оо (=0 и для любого п 1 Доказательство. Согласно [16, стр. 106-107], для некоторого С оо и при всех достаточно больших t ay(t) ехр{—Ct}. Это и доказывает первое утверждение теоремы. Для доказательства второго достаточно применить следующее неравенство (см. [16, стр. 9]): Следствие 1.1. В условиях теоремы 1.4 где Доказательство. Как и ранее, без ограничения общности считаем, что Efjiyo) 1 Пусть, как и в теореме 1.5, ay(t) есть коэффициент сильного перемешивания последовательности {yt}. В силу теоремы 1.5 при j = l,...,m Теперь утверждение леммы легко вытекает из теоремы 1.4 и неравенства Чебышева: Лемма 1.4. Пусть Ь G 1, T(b),S(b) - некоторые неубывающие no b функции, причем T(b) 0, и b\ 62 ... bn. Тогда для любых 1 1 т п верно следующее: Подставим полученную оценку в (1.42) и просуммировав такие равенства для всех j, получим требуемое. Следствие 1.2. Пусть T(b), S(b) - некоторые ограниченные неубывающие по b функции, - случайная величина. Тогда для любых bi b2 Лемма доказывается несложным предельным переходом с использованием леммы 1.4.
Оценивание и проверка гипотезы размерности в ARCH(p) модели. Определения. Изложение во второй главе следует публикации [60]. Везде на протяжении главы мы будем рассматривать схему наблюдения (17). Будем для нее полагать MD оценка для схемы (17) определяется как решение an,MD следующей экстремальной задачи: an,MD = argminKn(e). (2.1) Вопрос о существовании решения у последнего уравнения обсуждается в доказательстве теоремы об асимптотической нормальности оценки апм (теорема 2.2). Как будет показано, для непрерывной ф оно имеет хотя бы одно решение с вероятностью, стремящейся к 1 при п — со. Для разрывной же ф, вообще говоря, уравнение (2.2) может вообще не иметь решения. Один из возможных выходов заключается в рассмотрении оценки ап,см,2 :=argminlj(0). вев Она в каком-то смысле аналогична MD оценке (так как оценка строится как решение экстремальной задачи). Другой метод (для случая р = 1) предлагает брать в качестве оценки точку перехода функции 1(0) через О. Но мы в данной работе мы не касаемся таких вопросов и в дальнейшем предполагаем ц и ф, а значит и 1(0), непрерывными.
Проверка гипотезы о размерности ARCH(p) модели
В данном параграфе мы рассмотрим два типа тестов для проверки гипотезы о размерности уравнения (11). Будет определена их асимптотическая мощность против локальных альтернатив. Мы покажем, что тест, основанный на оптимальной MD или GM оценке, является асимптотически наиболее мощным среди всех таких тестов. Как уже упоминалось, гипотеза о размерности является частным случаем линейной гипотезы. Мы не рассматриваем последнюю, но тесты для нее могут быть построены аналогичным образом. Пусть фиксировано некоторое 1 q р. Будем для всех 9 Є W полагать 9 = {9й, в2 ) , где 9і Є Rq, 92 Є W q. Пусть, как и раньше, имеет место соотношение (17). Рассмотрим последовательность гипотез Н0п := {aj - а01, а?п = 0}, где а0 := (а01 ,0 ) Є в5 - фиксированный неизвестный вектор. Она состоит в том, что наблюдения {у} при произвольном п 1 на самом деле удовлетворяют уравнению (11) меньшей размерности q р. Для определения асимптотической мощности тестов мы рассмотрим локальную альтернативу Н\п. А именно, положим для некоторого d Є Rp q Hln := {ai - a01, a2 = rT d}. Стоит заметить, что обычный подход для нахождения распределения тестовых статистик при контигуальных альтернативах использует третью лемму Ле Кама (см. определения в [24]). При этом устанавливается локальная асимптотическая нормальность (LAN, Local Asymptotic Normality) модели.
Мы же не будем проверять ее. Взамен будут использованы теоремы 2.1 и 2.2, справедливые в том числе и при локальной альтернативе. Перейдем к построению теста первого типа. Пусть ап - произвольная асимптотически нормальная оценка ап (в качестве нее в дальнейшем будет выступать MD или GM оценка) с асимптотической матрицей ковариа-ций Е(а). Пусть Еп - произвольная состоятельная оценка Е(а) (вопрос о построении такой оценки мы отдельно обсудим ниже). Обозначим Е2,г(а) и ЕП)2,2 матрицы, образованные последними (р — q) строками и столбцами матриц Е(а) и Еп соответственно. В силу Замечания 2.3 для всех а Є 9 матрица Е(а) положительно определена. Следовательно, существует Ej a), и с вероятностью, стремящейся к 1 при п — со, существует Л 1 Е 2 2 Для проверки Яоп кажется естественным применять тест, основанный на тестовой статистике где по определению fl2l := fi tzlj1 для в2 Є МГЯ. Пусть RlUD и $п GM статистики, построенные описанным образом по MD и GM оценкам соответственно. Обозначим х2(Р Ч) и Х2{Р Ч 2) соответственно центральное и нецентральное с параметром Ь2 распределения хи-квадрат. Тогда из теорем 2.1 и 2.2 прямо следует Теорема 2.4. Пусть выполнены условия теорем 2.1 и 2.2. Тогда при гипотезе Hon R MD Х2{Р — (?) RnGM Х2(Р я)7 а пРи альтернативе Напомним, что асимптотические матрицы ковариаций для MD и GM оценок являются скалярными множителями друг друга (см. (2.3), (2.7)). Следовательно, относительная асимптотическая эффективность теста, основанного на MD-оценке, относительно основанного на GM-оценке, есть просто a2{g )/ 2{g F)- Для оптимальных оценок (см. Замечание 2.4) это отношение равняется 1, т.е. тесты асимптотически эквивалентны.
Исследование неоптимальных оценок мы выделили в отдельную часть параграфа. В конце раздела (см. Замечание 2.9) будут приведены результаты численных расчетов отношения а2(д, ф)/ог2(д, фр) в том случае, когда ip и F полагаются оптимальными для некоторого (вообще говоря, отличного от д) распределения д . Сейчас же перейдем к построению тестов второго типа. Они будут основываться на линейном разложении функционала 1(#). Изложение следует подходу, предложенному в [39]. Будем сразу предполагать, что ip = ipopt, и опускать для сокращения записи обозначение GM у Лдм(а). Пусть Ъп -произвольная предварительная п1 2-состоятельная оценка вектора an. Как и ранее, представим bn в виде (Ь , щ) , и положим Ь := (Ь , 0 ) . Обозначим Рг ортогональную проекцию на последние (p—q) координат. Определим матрицы Еід(а) размерности qxq, 2,1 (а) размерности {p — q)xq и Е2,2(а) размерности (р — q) х (р — q) равенством Можно проверить, что при этом V(a)V (&) = (4 ( , ф)S e(а))_1. Пусть Vn - состоятельная оценка V(a?). Рассмотрим в качестве статистики второго теста величину Q\ := п Рг УП 1„(Ь)2. Имеет место Теорема 2.5. Пусть выполнены условия У1, У2, У2.1, У2.2 и У2.3. Тогда при гипотезе HQ Q2n Х2{р q) а пРи альтернативе Н\п Доказательство. Полностью аналогично доказательству теоремы 7.4.1 из [72].
Равномерная оценка коэффициента сильного перемешивания для ARCH(p) модели
В этом параграфе будет получена равномерная по параметрам оценка коэффициента сильного перемешивания для функций от стационарного процесса, являющегося решением уравнения нелинейной авторегрессии общего вида. Как следствие из этого результата, будет установлено, что коэффициент сильного перемешивания процесса {у?} убывает экспоненциально, равномерно по а Є Q5 (здесь, как и ранее, {у%} -стационарное решение уравнений ARCH(p) модели (11) ). Напомним (см. определения в Doukhan [16]), что коэффициентом а сильного перемешивания (в дальнейшем с.п.) для двух а -алгебр Л, В называется величина Последовательность коэффициентов с.п. для стационарного процесса {6} образована коэффициентами с.п. сг-алгебр a Родственные (но не равномерные по параметрам) результаты для нелинейных, в том числе гетероскедастических, моделей описывались в литературе многократно. В работе Doukhan [16] доказывалась экспоненциальная оценка коэффициента с.п. для ARCH(p) модели. Аналогичная оценка коэффициента с.п. для GARCH(p,q) модели устанавливается, например, в работах Boussama [12] и Straumann, Mikosch [63], Straumann [64]. В двух последних работах доказательство основано на оценке коэффициента с.п. процесса, являющегося решением так называемого Linear Polynomial Stochastic Recurrence Equation (SRE). В наших обозначениях последнее имеет вид где Pf(rr), Qt{x) - матрицы, каждый элемент которых является полиномом от х. Общий результат об оценке коэффициента с.п. для SRE содержится в работе Mokkadem [51] и, в слегка измененном виде, он цитируется в [63] (теорема 4.5). К сожалению, из теоремы 4.5 работы [63] не следует равномерность по а Є 0і5 оценки коэффициента перемешивания, необходимая нам для исследований в схеме (17). Поэтому мы вынуждены устанавливать нужный результат самостоятельно. Пусть последовательность {st, t Є Z}, как и в (11), образована независимыми одинаково распределенными св. с ф.р. G(x). Пусть фиксировано некоторое параметрическое множество Т. В данном разделе мы будем рассматривать семейство строго стационарных процессов {J, t Є Z}, заданных для каждого т Є.Т.
Положим Н[ := ([, _г,...) для всех t Є Z. Будем предполагать, что для процесса {[} справедливо Условие У3.1. і) Для любых keN,teZurET имеет место уравнение п) Для t Є Z, т Є Т величина J измерима относительно o {t,t-i,---}- Несложно проверить, что для строго стационарных решений (11) и уравнений нелинейной авторегрессии GARCH(p,q), ARCH(oo) (см. [21]) последнее условие действительно имеет место (для этого достаточно провести несколько итераций уравнения, определяющего соответствующую модель). Наш первый результат базируется на том, что можно оценить нужный коэффициент с.п., зная, насколько быстро убывает зависимость Н\,{ек, .. ,i,z,т) от аргумента z при к — со. Эту зависимость мы будем характеризовать через расстояние по вариации между св. Hk(ek, . Напомним, что расстоянием по вариации между случайными элементами щ и щ в измеримом пространстве (X, J7) называется sup \P(r]i Є А) — P(rj2 Є А)\. Обозначим ради Первый из наших основных результатов имеет следующий вид. Теорема 3.1. Пусть процесс {[} удовлетворяет условию У3.1. Пусть для некоторого к Є N, борелевской функции R : Rk х R00 хТ — X, где (X, J7) - некоторое измеримое пространство, множества D Є Б(М), точки zo Є D и константы /?Gl при всех z Є D; г єТ имеет место неравенство
Доказательство. Заметим, что в силу условия У3.1 іі) св. J независима с k при всех к t. Дальнейшее доказательство основано на следующей лемме: Лемма 3.1. Пусть заданы польские (т.е. полные сепарабельные метрические) пространства Х\, Х Х% и независимые случайные элементы щ и 87 7/2; принимающие значения в Х\ и Х2 соответственно. Пусть фиксирована измеримая функция Замечание 3.1. Результат теоремы 3.1 формально не является равномерным по т GT. Но, фактически, его можно считать таковым, т.к. величина Р(Щ Є D) в дальнейшем будет несложно оцениваться равномерно по г при помощи неравенства Чебышева. Мы специально выделим как следствие из теоремы 3.1 случай R(eu ...,t-k+uHf-jb,г) = Оно понадобится нам при доказательстве оценки коэффициента с.п. для Следствие 3.1. Предположим, что фиксировано к р, и выполнены условия теоремы 3.1 для Тогда для ар(к), коэффициента с.п. O-{EQ] и а{Ц+р_і,... , [} имеет место неравенство Доказательство. Следует из условия У3.1, определения /i&, (z, г) и теоремы 3.1. Перейдем к доказательству результата о равномерной оценке коэффициента с.п. для {у?}. Напомним, что стационарное решение (11) удовлетворяет соотношению (разложение Вольтерра, [21, (2.1)]): и заметить, что при фиксированном z Є Шр распределение Yta_pf(z,a) абсолютно непрерывно, и его плотность непрерывно зависит от z. При этом будет существенно использован мультипликативный вид уравнения (11). В свою очередь, Y_ j (z, а) "экспоненциально слабо" зависит от z при к — оо (точный смысл этих слов разъяснен на странице 94 при доказательстве теоремы 3.2). Сначала докажем несколько вспомогательных технических лемм. Лемма 3.2. Пусть и г\ - независимые случайные величины, причем распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега с плотностью f$(x), ограниченной на R. Пусть также Р(\г]\ d) = 1 для некоторого d 0. Обозначим F ф.р. г]. Тогда распределение величины А := г] абсолютно непрерывно с плотностью
Максимальное неравенство для остаточного эмпирического процесса общего вида
Из такого представления и ограниченности Д, как и раньше, следует абсолютная непрерывность распределения Т9(Е). Так как /T(ZI, ..., xq) непрерывна и равна q-кратной производной по ж9, ...,і, то она же является искомой плотностью распределения Т,(2).П Две следующие леммы дают оценку расстояния по вариации между двумя случайными величинами r?i и т?2, в том случае если щ и щ близки по вероятности. Лемма 3.4. Пусть 7 т/і, щ - случайные величины, и случайные векторы и (771,772) независимы. Предположим, что для некоторого d О P(?7j d) = I, j = 1,2. Пусть распределение абсолютно непрерывно, и его плотность fe(x) удовлетворяет условию У2.1. Положим К$ := j \f (x)x\dx, A := {\rji — 7721 5} Тогда существуют плотности hi и /А2 У с-в- Ai := 771 и \2 := 772 и для них имеет место соотношение Доказательство. Плотности f\t и Д2 действительно существуют в силу леммы 3.2. Положим 77/ := [r]jI{A}-\-dl(A}], Xf = 77/, j = 1,2. Тогда в силу леммы 3.2 св. Xj и Xf абсолютно непрерывны. Очевидно, что Второй основной результат данного параграфа составляет Теорема 3.2. Предположим, что выполнены условия У1, У2 и У2.1. Тогда существуют С оо и 7 0, такие что для всех а Є Q5 коэффициент с.п. а-алгебр сг{уї, t k} и cr{y$, t 0} не превосходит Сехр{—jk}. Доказательство. Заметим, что в силу марковости процесса {Yf} коэффициент с.п. о -алгебр а{уїі t к} и о-{у%, t 0} совпадает с коэффициентом с.п. a{Y+ -J и o-{yf, t 0}. Мы будем оценивать последний. Доказательство будет состоять в применении следствия 3.1. Фиксируем произвольное к Є N.
Для оценки первого члена в неравенстве (3.2) применим лемму 3.5. Положим, как и раньше, Положим Dk := {z Є MT : z2 2(7,71 exp{(70/4)&}}. Тогда, согласно утверждению леммы 3.5, при z Є Dk расстояние по вариации между Yj (O) и Y t(z) не превосходит /?ехр{—(7о/4)А;}, где (3 := [К$ + 2р-\- 1]. Теперь оценим второй член в неравенстве (3.2). Снова ввиду неравенства Чебышева, Наконец, в силу следствия 3.1, для С = 2(3 + 2рС$Еє\{\ — Ьі - 8) 1 коэффициент с.п. c{Y} и cr{?/f, t 0} не превосходит Сехр{—(7o/4)fc}.D Рассмотрим три следствия из доказанного результата. Первое из них есть аналог ЗБЧ. Будем обозначать 0"(1) (соответственно ор(1)) семейство св. {т } , для которого Hm sup -Р( С) = О (соответственно Доказательство. Для ограниченной / это утверждение прямо следует из оценки дисперсии величины п-1 X)[/0 7_i, а) — Ef (YQ, а)], см. доказательство теоремы 1.5. Для общего случая достаточно ограничить / достаточно большой константой С и воспользоваться равномерной интегрируемостью /(Yo,a). Следующее утверждение является равномерным по а Є s аналогом следствия 1.1, его доказательство аналогично доказательству последнего. Следствие 3.4. Пусть выполнены условия У1, У2 и У2.1. Тогда для а Є Q5 распределение вектора Yg абсолютно непрерывно.
Доказательство. Действительно, как было показано при доказательстве теоремы 3.2, для к р вектор Yg может представлен в виде YQ = Y )0(Y A.) = TP(Y_ (Y )). Дальнейшая часть доказательства есть следствие леммы 3.3. Замечание 3.2. Для обобщения результата теоремы 3.2 и следствий 3.2 - 3.3 на GARCH(p,q) и аналогичные модели волатильности также можно применить теорему 3.1. Пусть фиксированы qi, q i Є N и интересующая нас модель задается уравнением [ = to ( Tt \, [ , т), где т-неизвестный параметр, cr(zi,Z2,r), ъ\ Є Шч\ ъч Є М 2 - известная фиксированная функция,
