Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы анализа и интерпретации экспериментальных данных 19
1.1. Линейная схема измерений 19
1.2. Методы оценивания параметров модели измерений 20
1.3. Методы теории регуляризации 21
1.4. Другие методы интерпретации данных 22
1.5. Методы теории измерительно-вычислительных систем 23
1.5.1. Метод несмещенной редукции для модели [А, 1] 25
1.5.2. Решение задачи синтеза идеального прибора с ограничением на уровень шума 27
1.5.3. Метод рекуррентной редукции измерений 29
1.5.4. Метод эффективного ранга 30
1.5.5. Сравнение методов теории ИВС в вычислительном эксперименте 32
1.6. Надежность как мера состоятельности модели измерений 39
ГЛАВА 2. Анализ и интерпретация данных в случае, когда модель измерений оценивается в тестирующем эксперименте 44
2.1. Использование тестирующих измерений 45
2.2. Постановка задачи в случае отсутствия априорной информации о процессе измерения 45
2.3. Решение задачи редукции при произвольных тестовых сигналах . 46
2.4. Решение задачи редукции в случае ортонормированных тестовых сигналов 50
2.5. Адекватность модели тестирования и анализ эффективной размерности данных 51
2.6. Результаты численного эксперимента 53
ГЛАВА 3. Анализ и интерпретация экспериментальных данных большой размерности 59
3.1. Постановка задачи интерпретации данных совокупности независимых измерений 60
3.2. Приближенная эффективная модель измерений. Уменьшение эффективной размерности задачи 61
3.3. Вычислительные аспекты редукции 65
3.4. Задача компьютерной томографии. Преобразование Радона . 66
3.5. Классический метод свертки и обратной проекции 69
3-6. Вычислительный эксперимент 69
3.7. Надежность приближенной эффективной модели измерений . 75
ГЛАВА 4. Измерительно-вычислительные системы в задачах растровой электронной микроскопии 80
4.1. Моделирование взаимодействия электронов с веществом методом Монте-Карло 81
4.1.1. Модель однократного рассеяния 82
4.1.2. Приближение непрерывных потерь энергий 85
4.1.3. Приближение быстрых вторичных электронов 88
4.1.4. Приближение дискретных потерь энергии 90
4.1.5. Моделирование истинно-вторичных электронов 93
4.1.6. Моделирование характеристического и тормозного рентгеновского излучения 95
4.1.7. Модель многократного рассеяния 101
4.2. Моделирование видеосигналов растрового электронного микроскопа. 103
4.3. Применение метода локальной редукции для повышения разрешения изображений РЭМ 111
4.4. Моделирование и интерпретация сигналов локального рентгеноспектрального микроанализатора 113
4.5. Применение методов теории ИВС для оценки параметров электронных пучков 123
ГЛАВА 5. Измерительно-вычислительные системы в задачах компьютерной томографии 139
5.1. Трансмиссионная рентгеновская томография 139
5.2. Описание трансмиссионного рентгеновского томографа 140
5.2.1. Базовый рентгеновский дифрактометр 141
5.2.2. Описание программно-аппаратного комплекса для измерения спектров с однокоординатного детектора рентгеновского излучения 144
5.3. Математическое обеспечение для трансмиссионного рентгеновского томографа 150
5.3.1. Погрешность измерений 152
5.3.2. Некоторые вычислительные аспекты 153
5.3.3. Поиск центра вращения методами морфологического анализа изображений 154
5.4. Применение томографа в исследовании внутренней структуры малых биологических объектов 155
Заключение 163
Литература 165
- Решение задачи синтеза идеального прибора с ограничением на уровень шума
- Адекватность модели тестирования и анализ эффективной размерности данных
- Задача компьютерной томографии. Преобразование Радона
- Моделирование характеристического и тормозного рентгеновского излучения
Введение к работе
Актуальность темы
Современные экспериментальные исследования в физике, как правило, проводятся с помощью измерительно-вычислительных систем (ИВС). Измерительная часть системы (измерительный преобразователь) преобразует сигналы, поступающие от объекта и окружающей среды, обычно в электрический сигнал, который затем математически преобразуется в интересующие исследователя величины.
Теория ИВС как самостоятельная теория появилась сравнительно недавно1. Ее появление во многом обусловлено тем, что создание современного экспериментального оборудования, обладающего высокими разрешающими способностями, становится все более дорогостоящим. Тенденция роста мощности вычислительной техники делает актуальной разработку новых вычислительных методов анализа и интерпретации данных как для разрабатываемых, так и для уже существующих экспериментальных установок.
Работа ИВС основывается на двух математических моделях - системы «объект-среда-прибор» и системы «объект-среда». Первая модель описывает взаимодействие исследуемого объекта с окружающей средой и с измерительным прибором. Поскольку процесс измерения вызывает возмущение объекта и среды, задача интерпретации измерения заключается в том, чтобы на основе наблюдения над системой, описываемой первой моделью, получить наиболее точные значения параметров объекта, свойственные наблюдаемой системе «объект-среда» (невозмущенной процессом измерения), и получить оценку погрешности. Поэтому актуальным является развитие методов теории ИВС и применение методов теории для практических задач.
Для решения задачи интерпретации результатов эксперимента необходимо знание математической модели эксперимента, причем результат интерпретации целиком определяется этой моделью и данными эксперимента. Однако на практике модель никогда не бывает известна абсолютно точно, более того, в ряде случаев она может быть неизвестна совсем и оценивается приближенно или исходя из
1 Пытив Ю.П. Матем»тичеікне методы интерпретации sxene те№и№тЯшылЬдашЛи ', 3 ПС.
модели физического прибора, модели явления и т.д., или из независимого тестирующего эксперимента. В последнем случае необходимо учесть результаты тестирующих измерений так, чтобы была максимальной точность оценивания параметров объекта в "рабочем", а не тестирующем измерении, - это принципиально отличается от обычного подхода, когда из тестовых измерений стараются получить наиболее точную оценку самой модели прибора.
В других случаях модель измерений может быть известна точно, однако применение общих методов интерпретации данных является трудоемким. К этим случаям относятся задачи анализа и интерпретации экспериментальных данных высокой размерности. Так, например, при обработке изображений с размерностью NxN, размер матриц моделей оказывается равным N2xN*. Уже при размерности изображений порядка //-100, размер памяти ЭВМ для хранения матриц, необходимых для вычислений, оказывается неприемлемо большим даже для современных компьютеров.
Диссертация посвящена вопросам развития методов теории ИВС, заключенных в разработке:
новых методов интерпретации измерений путем редукции к идеальному прибору на основе тестовых измерений и анализ состоятельности модельных измерений, эффективной размерности интерпретируемых данных и их информативности.
методов анализа и интерпретации данных большой размерности на основе выделения приближенной "эффективной" модели измерения, учитывающей только наиболее информативные "части" модели.
Для применения на практике методов теории ИВС (как известных, так и предлагаемых в диссертации) необходимо построение математических моделей измерений и выявление их согласия с реальностью. Поэтому существенная часть работы посвящена как применению разработанных методов, так и применению общих методов теории ИВС для ряда прикладных задач.
В диссертации изучены - вопросы, связанные с проблемами анализа и интерпретации данных физических приборов, предназначенных для исследования твердого тела при помощи излучения. Актуальность исследований в этой области связана с развитием микроэлектроники в последние годы и незатихающим
интересом в мире микро- и нанотехнологий, развитие которых невозможно без современных средств исследования, одним из которых является численное моделирование.
На основании разработанных в диссертации методов изучены предельные возможности ИВС, предназначенных для исследования твердых тел при помощи сканирования электронными и рентгеновскими пучками:
Растровый электронный микроскоп и рентгеноспектральный микроанализатор (РЭММА), предназначенный для локального исследования поверхностей твердых тел;
Трансмиссионный рентгеновский томограф (ТРТ), предназначенный для изучения биологических объектов небольших размеров (порядка нескольких сантиметров).
Выбор именно этих приборов неслучаен - эти приборы являются одними из наиболее важных инструментов при исследовании структуры твердых тел и их поверхностей при помощи излучения.
Цель работы
Целью диссертационной работы является:
1. Разработка новых методов анализа и интерпретации данных как технологий
получения новых знаний с целью получения максимума информации из набора
экспериментальных данных для приближенных моделей. Новые методы должны
получать достоверную информацию об изучаемых явлениях, т.е.:
должны давать результаты оценивания параметров с максимальной точностью;
должны контролировать согласие используемых моделей и выводов с результатами измерений (т.е. с действительностью).
2. Исследование ИВС для изучения твердых тел электронным пучком на основе
РЭММА и применение новых методов анализа и интерпретации данных, которое
состоит из следующих частей:
построение модели взаимодействия электронов с веществом; построение моделей получения сигналов растрового электронного микроскопа (РЭМ) и рентгеноспектрального микроанализатора (РСМА);
построение моделей систем «объект-среда-прибор» для измерений на РЭМ и РСМД;
применение новых алгоритмов и общих методов теории ИВС для решения задач анализа и интерпретации данных, полученных на этих приборах; исследование вопроса о влиянии дополнительной и априорной информации па качество интерпретации измерений на упомянутых ИВС; разработка средств компьютерного моделирования ИВС для указанных задач;
разработка соответствующего математического и программного обеспечения (НО). 3. Исследование ИВС для изучения твердых тел рентгеновским излучением на основе трансмиссионного рентгеновского томографа (ТРТ) и применение новых методов анализа и интерпретации данных, состоящее из следующих частей:
построение модели взаимодействия рентгеновского излучения с веществом; построение модели системы «объект-среда-прибор» для измерений на ТРТ; применение новых методов теории ИВС для решения задачи компьютерной томоірафии (КГ);
разработка соответствующего математического и программного обеспечения;
Научная новизна
Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что впервые:
Разработаны методы анализа и интерпретации данных для приближенных моделей, получены соображения достижения максимальной точности, а также контроля состоятельности и эффективной размерности данных.
Исследованы ИВС на базе сканирующих приборов: растрового электронного микроскопа и рентгеновского микроанализатора, определены их предельные разрешающие способности как средства исследования структуры и состава поверхностей.
Практическое значение
Полученные в диссертационной работе результаты позволяют существенно расширить возможности измерений в растровой электронной микроскопии и рентгеноспектральном микроанализе, компьютерной томографии, анализе и обработке изображений.
Созданный математический аппарат, алгоритмическое и программное обеспечение для исследования предельных возможностей измерительно-вычислительных систем, их точности и разрешающей способности, могут быть использованы для анализа интерпретации измерений во многих физических исследованиях в различных областях науки и техники.
Основные положения, выносимые на защиту
метод анализа и интерпретации экспериментальных данных в случае, когда модель измерений прибора априори неизвестна и оценивается исходя из тестирующих экспериментов.
метод анализа и интерпретации данных большой размерности на основе выделения приближенной "эффективной" модели измерений, т.е. наиболее информативной "части" полной модели измерений;
метод оценки параметров тонких электронных пучков, используемых в растровой электронной микроскопии и электронно-лучевой литографии с наличием априорной информацией и без нее;
Апробация работы
Материалы работы докладывались на следующих конференциях:
7-я Всероссийская Научная Конференция Студентов-Физиков и молодых ученых), 2001, Санкт-Петербург.
Конференция "ЛОМОНОСОВ-2001", Москва, 2001.
Совещание-семинар "Инженерно-физические проблемы новой техники", Москва, 2001.
XII Российский Симпозиум по Растровой Электронной Микроскопии и Аналитическим Методам Исследования Твердых Тел, Черноголовка, 2001
Конференция "ЛОМОНОСОВ-2002",Москва,2002.
Nano And Giga Challenges in Microelectronics, Symposium and Summer School,Moscow,Russia,2002.
Конференция «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2003
6-я Конференция по электронной и ионной оптике, НПО Орион, Москва, 2003
XIII Российский Симпозиум по Растровой Электронной Микроскопии и Аналитическим Методам Исследования Твердых Тел, Черноголовка, 2003.
Четвертая Национальная конференция по применению Рентгеновского, Синхротронного излучений, Нейтронов и Электронов для исследования материалов (РСНЭ-2003), Москва.
XI конференция по Математическим Методам Распознавания Образов (ММРО-11), Пущино, 2003
12. 10-я Всероссийская Научная Конференция Студентов-Физиков и молодых
ученых), 2004, Москва
Публикации
По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы (125 наименований). Объем диссертации составляет 173 страницы текста, включая 94 рисунка и 6 таблиц.
Решение задачи синтеза идеального прибора с ограничением на уровень шума
В первом параграфе проводится общий анализ проблемы и объясняет-ся постановка задачи. Задача ставится, как задача интерпретации данных, модель измерений которых можно представить в виде совокупности независимых измерений.
Второй параграф посвящен построению приближенной эффективной модели измерений. Получены основные формулы для оценки сигнала и погрешности оценки. Приближенная модель строится на основе представления схемы измерений (1) в виде упрощенной схемы Р независимых измерений (4). Для каждого из этих измерений строится собственный базис, из которого выбираются наиболее информативные части. После "сборки" информативных частей для каждого измерения в единую схему измерений, строится собственный базис построенной эффективной модели и снова выбирается наиболее существенная ее "часть". За оценку сигнала принимается оценка проекции сигнала на линейную оболочку "информативного" базиса эффективной модели, построенной таким образом.
В третьем параграфе рассматриваются проблемы, связанные с практической стороной реализации метода на ЭВМ. Предложены методы их решения. Показано, что вычисления можно упростить, если учитывать дополнительные факторы, например, симметрию задачи. В этом случае существенно упрощается расчет собственных базисов модели, что приводит к уменьшению скорости счета.
В четвертом параграфе описывается постановка задачи компьютерной томографии (КТ) - оценки функции по множеству ее интегралов.
В пятом параграфе приводится результат применения алгоритма в задаче КТ в двумерном случае для параллельной схемы сканирования. В вычислительном эксперименте показано, что эффективное снижение размерности позволяет проводить оценки без потери качества редукции. Отмечены достоинства (точность и информативность) и недостатки (скорость расчета) метода, приведено сравнение с классическим методом КТ - методом свертки и обратной проекции.
В пятом параграфе предложен метод вычисления надежности приближенной модели измерений. Предложены основные критерии, по которым из интерпретируемого сигнала можно выделить наиболее информативные части.
Целью ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЫ является анализ возможностей теории измерительно-вычислительных систем (ИВС) в прикладных задачах растровой электронной микроскопии (РЭМ) и рентгеноспектрального микроанализа (РСМА). В некоторых случаях, если точно известны характеристики регистрирующих устройств, можно получить больше информации из сигналов этих устройств, чем при помощи стандартных средств обработки. В данной главе на основе результатов предыдущих глав рассматриваются предельные возможности ИВС, созданных на базе растрового электронного микроскопа и микроанализатора (РЭММА).
Глава состоит из пяти параграфов. Первый параграф посвящен построению модели взаимодействия электронов с веществом с использованием численного метода Монте-Карло. Рассматриваются два основных типа моделей - модели многократного и однократного рассеяния. В модели однократного рассеяния приведены описания двух основных подходов, первый из которых основан на приближении непрерывных потерь энергии, второй - на приближении дискретных потерь. Кроме общего алгоритма расчета, обсуждаются основные идеи и алгоритмы моделирования вторичной эмиссии, спектров характеристического и тормозного рентгеновского излучения. Основной акцент делается на моделировании сигналов детекторов, используемых в РЭМ и РСМА. Сравнение различных подходов для моделирования сигналов показало, что наиболее точные сигналы могут быть получены с использованием подробной дискретной модели, однако для увеличения скорости вычислений в большинстве случаев целесообразно использовать простые подходы - приближение многократного рассеяния или непрерывных потерь энергии.
Второй параграф посвящен моделированию сигналов растрового электронного микроскопа (РЭМ). Построены модели датчиков видеосигналов РЭМ,. необходимые для моделирования реалистичных изображений современных РЭМ.
В третьем параграфе рассмотрена возможность повышения изображений РЭМ математическими методами при помощи методов локальной редукции изображений.
В четвертом параграфе построена ИВС для интерпретации данных рентгеновского энергетического спектрометра. Вычислительный эксперимент (с применением результатов главы 2) показал возможность приложения методов теории ИВС к задачам повышения разрешения этих приборов.
В пятом параграфе решена проблема оценки параметров электронного пучка методом диафрагм. Задача решена в двух постановках. Первая - без априорной информации о распределении пучка - задача оценки распределения плотности пучка в различных сечениях по множеству кривых набегания. Вторая - оценка параметров функции распределения плотности тока, если известен вид функции. Показано, что для правильной оценки функции распределения важно учитывать рассеяние электронов в диафрагме.
ПЯТАЯ ГЛАВА посвящена применению теории И ВС в задачах компьютерной томографии. Основным результатом стало создание измерительно-вычислительной системы на базе трансмиссионного рентгеновского томогра,-фа (ТРТ). предназначенного для изучения внутренней структуры малых (порядка нескольких сантиметров) биологических объектов. Глава состоит из четырех параграфов.
В первом параграфе дается введение в трансмиссионную рентгеновскую томографию и обсуждается суть проблемы.
Второй параграф полностью посвящен описанию экспериментальной установки для проведения томографических исследований - базового рентгеновского дифрактометра с подвижной системой "излучатель-детектор", созданного коллективом Института кристаллографии РАН. В описание прибора включены его основные характеристики, принципиальная схема устройства и описание основных функциональных элементов.
Кроме этого, в этом параграфе описан программно-аппаратный комплекс для измерения спектров с однокоординатного детектора рентгеновского излучения, созданного коллективом СБК ОИЯИ (г.Дубна). Программное обеспечение позволяет управлять работой электроники детектора с учетом современных требований.
Третий параграф посвящен описанию разработанного математического и программного обеспечения для ТРТ. Описаны основные моменты и нюансы, специфические для экспериментальной установки. При разработке программного обеспечения использовались результаты главы 3.
В четвертом параграфе описано применение дифрактометра и разработанного математического обеспечения для исследований внутренней структуры малых биологических объектов и тканей томографическими методами. В качестве примера исследована внутренняя структура "Сибирского углозу-ба" (Salamandrella keyserlingii) - амфибии семейства углозубов.
В ЗАКЛЮЧЕНИИ сформулированы основные результаты работы. Формулы в диссертации нумеруются отдельно в каждой главе, при ссылке на формулы перед ее номером ставится соответствующий номер главы.
Адекватность модели тестирования и анализ эффективной размерности данных
Как уже отмечалось выше, для решения задачи интерпретации результатов эксперимента необходимо знание математической модели эксперимента, причем результат интерпретации целиком определяется этой моделью и данными эксперимента. Однако на практике модель никогда не бывает известна абсолютно точно, более того, в ряде случаев она может быть неизвестна совсем и оценивается исходя из общих соображений устройства физического прибора, модели явления и т.д. или из независимого эксперимента. В связи с этим возрастают требования к адекватности модели реальному эксперименту. В случаях, когда модель известна приближенно и необходимо проверить, насколько правильно экспериментальные данные можно описывать этой моделью может быть применен подход, основанный на понятии надежности модели [ll]-[18]. В случае, когда модель измерений заранее неизвестна, то, как правило, состоятельность модельных представлений может быть проверена в результате проведения серии тестовых измерений. Вопросы тестирования и калибровки модели измерений в задаче редукции уже рассматривались в работах [19, 20], где были определены требования к тестовым измерениям для получения наиболее точного синтеза сигнала Uf. В этих работах рассматриваются случаи с априорной информацией об А, когда оператор А задан множеством своих случайных реализаций с распределением вероятности и без априорной информации, но при этом ставится задача редукции для случайного / с матрицей ковариации F.
Эта глава посвящена дальнейшему развитию идей, обсуждаемых в работе [20], но в случае, когда ни о сигнале /, ни о модели измерений А априори неизвестно ничего — подход в рамках модели измерений [А, ]. В первом параграфе обсуждается проблемы и общая постановка задачи. Второй параграф посвящен рассмотрению задачи редукции в случае, когда об модели измерений априори ничего неизвестно, но имеется возможность провести ряд тестовых измерений, которые могли бы дать информацию об этой модели. Задача рассматривается в рамках задачи синтеза измерительного прибора с ограничением на уровень шума, связанной с так называемой "оперативной характеристикой" модели измерений (1.5.2.).
Обычно работу с новым измерительным прибором начинают с его калибровки или тестирования. А именно, на вход прибора подаются известные сигналы и по наблюдениям выхода строится статистическая модель прибора, которая и используется для последующей интерпретации и обработке результатов наблюдений. Для простых измерительных приборов эта процедура может быть тривиальной и очевидной, например, калибровка весов. В других же случаях проблема калибровки и тестирования становится отнюдь не очевидной и решение ее требует аккуратной математической постановки.
Рассмотрим, например, задачу решения уравнения Фредгольма 1-го рода (1.18), описанную в имеющую, например, место при интерпретации данных спектрометров. Точный вид функции а(х,у) в этом уравнении при работе с реальными приборами, как правило, неизвестен. Для определения аппаратной функции на вход спектрометра подают сигнал, "близкий" к 6-функции, используя, например, монохроматический источник, а на выходе наблюдают сигнал, "близкий" к аппаратной функции, который впоследствии и используется в качестве аппаратной функции при повышении разрешения. Недостатки такого подхода очевидны. Во-первых, синтезировать 6-функцию невозможно, а "приблизиться" к ней бывает порой очень сложно. Во-вторых, в этом измерении, как и во всех остальных, присутствует шум. Неучет этих факторов приводит, как правило, к появлению неконтролируемых ложных сигналов при редукции. Представляется более естественным использование "доступных" и хорошо известных калибровочных или тестовых сигналов. При этом оказывается, что сложность решения задачи редукции совершенно не зависит от того, какие сигналы были использованы для тестирования.
Как уже было сказано, в теории ИВС рассматривается схема измерений (1.1). В случае, когда о сигнале / ничего неизвестно, модель носит название [А\Ц.
Будем рассматривать случай, когда линейный оператор А Є (RM -+ Rn) заранее неизвестен, но есть возможность его тестирования. Для этого на вход прибора А подается серия известных тестовых сигналов /і,. -., /А- С RM И измеряются соответствующие выходные сигналы ь ...,#" С Rn согласно схеме где погрешности измерения Uj имеют нулевые математические ожидания EVJ = 0и заданные ковариационные операторы Ej, j = 1,..., К. Задача состоит в том, чтобы по заданному набору тестовых сигналов /і,..., /к С RM , результатам их измерений fi,... ,#- С І2„ и известной модели погрешностей I j, j = 1,..., К оценить сигнал Uf на основании измерения, проведенного по схеме (1.1) с заданной моделью погрешности и.
Пусть тестовые сигналы в выражении (2.1) представляют собой конечный набор произвольных векторов /і,...,/я\ С RM, К М. Построим матрицы Н RK —У Rn и F Є {RK -У RM), определяемые для любого вектора Є RK координатного векторного пространства RK соотношениями
Таким образом, измерение вектора / с помощью прибора А, заданного тестовыми измерениями (2.4), можно рассматривать как измерение вектора / с помощью измерительного прибора EF Є (RM.— Rn), заданного с погрешностью. Задачи, в которой модель измерительного прибора задается случайным оператором, исследовались в работе [7] для редукции измерений и для решения задач прогноза. Заметим, что в правой части равенства (2.4) известен лишь оператор SF" (RM — Rn), остальные слагаемые можно рассматривать как мешающие оценке сигнала Uf.
Будем искать оценку сигнала Uf на основании измерения (2.4), считая, что в схеме (2.4) оператор Е Є {RM — Rn) известен с погрешностью N Є (RK - Rn), обладающей нулевым математическим ожиданием и известным вторым моментом (в данном случае достаточно знать линейный оператор EJV(F (F ) )iV Є {RK -+ RK)), погрешность измерения v є Rn имеет нулевое математическое ожидание и заданный ковариационный оператор Є (Rn - Rn)- Линейный оператор А Є (RM — Rn) неизвестен.
Запишем линейное преобразование R Є (Rn —У Rm) сигнала из (2.4) с учетом (2.3): кроме того, его выходной сигнал искажается еще и шумом Rv. Выберем преобразование R (Rn - Rm) так, чтобы отличие оператора R"EF от U было как можно меньше, при этом величина шумовой погрешности Rv была ограничена.
Рассмотрим каждое слагаемое в (2.6) отдельно. Для конечного числа тестовых измерений первые два слагаемых в (2.6) являются конечномерными операторами, а значит, операторами Гильберта-Шмидта. Первое из этих слагаемых при фиксированном операторе Я зависит от известного результата тестовых измерений и заданного оператора U. Оценить его можно в метрике Гильберта-Шмидта: \\RSF — UFF \\l оо, здесь ЦСЦ2 = trCC - квадрат нормы Гильберта-Шмидта оператора С (для заданных базисов пространств RK И Rm квадрат этой нормы равен сумме квадратов всех матричных элементов матрицы С).
Задача компьютерной томографии. Преобразование Радона
Целью данной главы является применение математических методов, изложенных в главе 3 для для решения задачи компьютерной томографии (КТ) [94. 95], к задаче трансмиссионной рентгеновской томографии [96]. Глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе дается введение в трансмиссионную рентгеновскую томографию (ТРТ) и обсуждается суть проблемы.
Второй параграф полностью посвящен описанию экспериментальной установки для проведения томографических исследований внутренней структуры объектов при помощи излучения - базового рентгеновского дифрак-тометра с подвижной системой "излучатель-детектор", созданного коллективом ИК РАН (г.Москва) [99, 100]. Приведены основные характеристики прибора, его принципиальная схема и описание основных функциональных элементов.
Кроме этого, во втором параграфе описан программно-аппаратный комплекс для измерения спектров с однокоординатного детектора рентгеновского излучения, созданного коллективом СБК ОИЯИ (г.Дубна) [101, 102]. и используемого в дифрактометре. Принцип действия таких детекторов описан в [103]. Созданное программное обеспечение позволяет работать с электроникой детектора, выполненной в стандарте КАМАК, из современных операционных систем - MS Windows NT/2000/XP [104].
Третий параграф посвящен описанию математического и программного обеспечения для ТРТ. Описаны основные моменты и нюансы, специфические для экспериментальной установки. При разработке программного обеспечения использовались результаты главы 3.
В четвертом параграфе описано применение дифрактометра как инструмента для томографических исследований внутренней структуры малых биологических объектов и тканей. В качестве примера исследована внутренняя структура "Сибирского углозуба" (Salamandrella keyserlingii) - хвостатой амфибии семейства углозубов.
Самый известный пример использования КТ - это применение трансмиссионной КТ в рентгенодиагностике [94. 96]. Схема процесса такова: тонкий пучок рентгеновских лучей сканирует сечение тела, изменение интенсивности излучения фиксируется детектором, затем эти данные обрабатываются на компьютере - и в результате получается двумерное изображение, которое выводится на экран монитора.
Рассмотрим следующую схему измерений (3.4.). Пусть имеется объект, некоторый срез которого имеет распределение линейного коэффициента поглощения рентгеновского излучения f(x) Є Z/2(f2). Этот объект под разными углами просвечивается достаточно широким параллельным пучком рентгеновского излучения, как показано на рис.3.1. Предполагается, что коэффициент поглощения по толщине среза практически не меняется, что достигается небольшой высотой пучка. При описании математической модели измерений будем придерживаться обозначений и предположений, введенных в 3.4..
Обозначим через /о начальную интенсивность прямолинейного луча L(e,s), а через Д - его интенсивность после прохождения через вещество. Здесь в = (cos р, sin (р) - вектор направления, s - расстояние от прямой L до начала координат (рис.3.2). В самой простой физической модели, без учета рассеяния, поглощение рентгеновского излучения в веществе вдоль прямой L(9,s) может быть выражено формулой (см.также 4.1.6.): т.е. в результате сканирования получаются линейные интегралы функции / по каждой из прямой L(9xs).
Излучение, прошедшее сквозь объект, регистрируется позиционно-чувствительным детектором рентгеновского излучения. Источник излучения и детектор поворачиваются относительно объекта ка различные углы, при этом детектор и источник всегда неподвижны друг относительно друга, а активное окно детектора всегда перпендикулярно плоскости падения пучка. Требуется по множеству сигналов, полученных от детектора при разных направлениях облучения восстановить распределение коэффициента поглощения объекта. Предполагается, что пучок монохроматический, т.е. формула (5.1) адекватно описывает поглощение излучения в веществе.
Разработанный в Секторе нейтронографии и рентгеновской рефлекто-метрии института кристаллографии РАН томограф создан на основе базового рентгеновского дифрактометра с подвижной системой "излучатель-детектор" [99, 100]. Актуальность создания прибора обусловлена незатихаю-щим интересом в области исследования твердых тел, биологических объектов без разрушения внутренней структуры.
В состав прибора входит источник излучения, система вращения объекта, электроника управления, измерительный комплекс и персональный компьютер (ПК), управляющий прибором. Источник излучения представляет собой рентгеновскую трубку промышленного образца, аппаратура и относительно небольшие размеры прибора позволяют использовать его в лабораторных условиях.
В качестве детектора используется измерительный комплекс на базе од-нокоординатного позиционно-чувствительного детектора, разработанного в Секторе бесфильмовых камер лаборатории высоких энергий ОИЯИ (г.Дубна) [101, 102]. В состав комплекса помимо детектора входят измерительная электроника в стандарте КАМАК, контроллер крейта КАТ и персональный компьютер (ПК), осуществляющий управление измерительным комплексом. Для управления одномерным детектором был разработан пакет программного обеспечения (ПО), работающий под управлением современных операционных систем (ОС) - Microsoft Windows NT/2000/XP [104].
Базовый рентгеновский дифрактометр предназначен для решения широкого круга задач и подробно описан в работах [99, 100]. Общий вид этого рентгеновского дифрактометра с подвижной системой "излучатель - детектор" изображен на рис.5.1, а его принципиальная схема - на рис.5.2.
Рентгеновская трубка 1 с кристаллом-монохроматором 2 и коллимационной системой 3 закреплена на кольцевой опоре 4; на такой же опоре 5 закреплены счетчик излучения с кристаллом-анализатором 6. Трубка и детектор имеют возможность поворота в плоскости своих кольцевых опор вокруг вертикальной оси, а также они могут вращаться вокруг горизонтальной оси 7 вместе с опорами.
Моделирование характеристического и тормозного рентгеновского излучения
Поиск центра вращения методами морфологического анализа изображений. При обработке экспериментальных данных рентгеновского томографа необходимо знать положение центра вращения (центрального канала регистрации) объекта - априори его оценить сложно из-за множества факторов. Так как, обычно, при проведении томографического эксперимента, углы сканирования объекта обычно выбираются из диапазона (0,180), то задача сводится к оценке смещения первого спектра (соответствующего 0) относительно последнего (соответствующего 180). Эта задача может быть решена, например, методами морфологического анализа изображений [125] л
Основную идею морфологического метода поясним на следующем примере. Пусть имеется некоторая сцена и множество изображений, порожденных ею при различных условиях наблюдения, определяемых способом освещения, настройкой аппаратуры и т.п.. Наряду с условиями оспещения, диапазоном и природой регистрируемого излучения, эти изображения определяются и геометрическими свойствами объектов сцены, которые не зависят ни от освещения, ни от конструкции приемного устройства. Таким образом, изменение условий регистрации изображения будут влиять лишь на "часть" информации, заключенной в изображении, другая же часть, определяющаяся геометрией сцены, при этом останется неизменной. Функция от изображений сцены, не изменяющаяся при изменении условий регистрации, определит все, что относится к самой сцене и не зависит от условий регистрации. Ее можно назвать формой изображения сцены. Отличия формы одного изображения сцены от формы другого характеризуют свойства сцены, не связанные с условиями регистрации, и отражают изменения в содержании сцены.
Форму изображения можно построить по заданной геометрии объектов сцены. Если размеры и положение объектов неизвестны, то форма определяется с точностью до параметров их размера и положения. Варьируя эти параметры и сравнивая определяемую ими форму с формой предъявленного изображения, можно оценить размеры и положение объектов на предъявленном изображении.
Итак, обозначим через Є Ду и т) G RN - спектры, соответствующие повороту объекта на относительные углы 0 и 180 соответственно (рис. 5.8). при этом N - число регистрационных каналов. Введем оператор Р\; сопоставляющий любому спектру из ДАТ спектр, перевернутый относительно регистрационного канала Л Є [1, N]:
Тогда, согласно основному принципу морфологического анализа центральный канал вращения AQ может быть найден из решения задачи на минимум: - величина "отличия" спектра от спектра TJ, Щ и Пч - ортогональные проекторы на векторы и rj соответственно. В случае, когда условия регистрации спектров и rj идентичны, т.е. E[(f = Ет7І), проекционные операторы будут равны единичному ГЦ = П = /. На рис.5.9 показан график зависимости отклонения D(, rj, А) в зависимости от А. На графике видно, что несмотря на существенный шум при регистрации изображений, положение минимума находится с точностью в ±1 канал.
Для оценки справедливости всех вышеперечисленных утверждений и получения интересной для биологов структурной информации был исследован максимально гетерогенный образец - однолетний самец "Сибирского уг-лозуба" (Salarriandrella keyserlingii), внешний вид которого представлен на рис.5.10. Образец был зафиксирован в 4% параформальдегиде на фосфатном буфере и лиофилизирован через критическую точку. Дополнительного контрастирования не применялось. Предварительный анализ тканей сибирского углозуба показал, что даже наименее контрастные для рентгена органы позвоночных могут быть дифференцированы при использовании излучения 1.54А. Условия проведения томографических экспериментов таковы: — число положений гониометра - Р = 72 {в диапазоне от 0 до 180); — число информационных каналов детектора - Q — 250; — время экспозиции каждого спектра - 30 сек.; — источник - СиКа {1,54А или 8.04S кэВ), с фокусным пятном размером 1x1 мм; — расстояние образец-источник - 80 см, образец детектор - 8 см. На рис.5.6 представлен пример картины поглощения слоя тритона для одной из проекций. Соответствующая кривая, нормированная на интенсивность первичного пучка, представлена на рис.5.П.. Видно, что поглощение исследуемого образца меняется вдоль его длины почти на два порядка при сохранении линейности счета детектора. Значительный динамический диапазон регистрируемых коэффициентов поглощения в сочетании с высокой точностью угловых перемещений обеспечивает достаточно высокое качество реконструкции. На рис.5.12. изображены срезы, а на рис.5.13 - восстановленная трехмерная пространственная структура углозуба. Сравнение данных рентгеновской томографии с гистологическими препаратами показывает, что возможна не только визуализация различия в плотностях хрящевых и костных элементов скелета, но также и анализ мягких тканей. В частности удается идентифицировать неминерализованные покровы, межтканевую мезенхиму и функциональные клеточные конструкции внутри этих тканей. В некоторых местах удается идентифицировать области с повышенным содержанием оксалата кальция (рис.5.14). Использование позиционно-чувствителыюго рентгеновского детектора и новых математических алгоритмов позволяют на созданном приборе достичь разрешения 100 мкм. Полученные результаты демонстрируют работоспособность математического и программного обеспечения, а также подтверждают предположение о целесообразности использования излучения с длиной волны 0.7-2.29А для исследования пространственной структуры углеродсодержащих и биологических объектов.
