Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методы морфологического анализа сигналов при заданной форме 17
1.1. Основные понятия морфологического анализа 18
1.2. Основные подходы к решению задач морфологического анализа 26
Глава 2. Эмпирическое построение формы как линейного подпространства пространства всех сигналов 31
2.1. Эмпирическое построение формы, заданной своими представителями, наблюдаемыми с ошибкой, и методы анализа сигналов на основании этой формы 33
2.2. Эмпирическое построение формы как множества значений линейного оператора, восстанавливаемого по тестам, и методы анализа сигналов на основании этой формы 45
2.3. Эмпирическое построение формы, заданной ковариационными свойствами, и методы анализа сигналов на основании этой формы 58
Глава 3. Эмпирическое построение формы как выпуклого замкнутого конуса 67
3.1. Построение формы изображения как максимального инварианта группы монотонных преобразований 67
3.2. Проверка адекватности модели регистрации изображений сцены 70
3.3. Метод и численный алгоритм эмпирического упорядочения яркостей изображений 72
3.4. Пример работы алгоритма эмпирического упорядочения яркостей изображения 81
Глава 4. Эмпирическое построение вейвлет-формы сигнала 85
4.1. Обзор методов вейвлет-анализа 86
4.2. Эмпирическое построение формы как множества изображений вейвлет-спектра 89
4.3. Метод морфологического вейвлет-анализа 102
Заключение 116
Литература
- Основные подходы к решению задач морфологического анализа
- Эмпирическое построение формы как множества значений линейного оператора, восстанавливаемого по тестам, и методы анализа сигналов на основании этой формы
- Эмпирическое построение формы, заданной ковариационными свойствами, и методы анализа сигналов на основании этой формы
- Метод и численный алгоритм эмпирического упорядочения яркостей изображений
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В экспериментальных исследованиях важную роль играют задачи интерпретации данных. К методам решения таких задач относятся методы теории измерительно-вычислительных систем (Ю.П. Пытьев, 2004), методы оптимального оценивания в математической статистике (Э. Леман, 1979) и др. (Н. Дрейпер, 2007; З. Брандт, 2004; А.А. Самарский, 2009). Во всех указанных методах требуется точное знание полного математического описания измерительного эксперимента, включающего в себя модель изучаемого объекта, модель его взаимодействия с измерительным прибором, модель погрешности измерений и т.п.
Однако, на практике часто встречаются ситуации, когда задание полной математической модели невозможно. Несмотря на это, из экспериментальных данных все же можно извлечь важную информацию об исследуем объекте. Одним из методов, реализующих данную возможность, является метод морфологического анализа изображений (Ю.П. Пытьев, 1975; Ю.П. Пытьев, А.И. Чуличков, 2010).
В методах морфологического анализа считается, что изображение объектов содержит информацию как о самих объектах, так и об условиях их регистрации. Возможные изменения изображения при вариациях условий регистрации задаются в виде класса математических преобразований некоторого эталонного изображения сцены. Результаты этих преобразований интерпретируются как изображения, которые могут быть получены от эталонной сцены при некоторых допустимых условиях регистрации. Инвариант преобразований изменений изображений будет характеризовать изображаемую сцену, а не условия регистрации. Этот инвариант носит название формы изображения сцены.
В качестве примера рассмотрим изображе
ние многогранника, рис. . На основании взаим
ного расположения однородно окрашенных об
ластей поля зрения — формы — можно судить
о составе сцены, геометрической форме ее объ
ектов, их размерах, взаимном расположении и
т.п., при этом не обязательно знать характери
стики видеосистемы, режим освещения, оптиче
ские свойства поверхностей объектов сцены. Рис. 1. Изображение многогран-
Несмотря на то, что изначально морфоло- ника при различных условиях
гический анализ Ю.П. Пытьева создавался для регистрации
анализа изображений, его методы применимы для сигналов иной природы.
Примером может служить задача дистанционного зондирования атмосферы,
в которой при неизвестных характеристиках канала распространения сигна
ла расположение максимумов и минимумов — форма сигнала —- позволяет в
какой-то мере охарактеризовать источник, рис. .
Рис. 2. Инфразвуковой сигнал от наземного взрыва
На практике часто для построения формы задают множество всех сигналов, полученное при всевозможных условиях регистрации. Формально его можно получить из эталонного сигнала, применяя к нему преобразования, моделирующие допустимые условия регистрации. В том случае, когда полученное множество выпукло и замкнуто в евклидовом пространстве всех сигналов, ему взаимооднозначно соответствует оператор проецирования (проектор). Он определяется эталонным сигналом и классом всех его преобразований, не зависит от конкретных условий наблюдения и, наряду с множеством всех сигналов, также называется формой.
На практике не всегда удается априори построить форму сигнала. Например, по зашумленному изображению невозможно точно построить разбиение поля зрения на подмножества с постоянной яркостью. Также невозможно точно указать положения максимумов и минимумов сигнала при наличии шума.
Поэтому актуальна разработка методов приближенного построения формы сигналов по эмпирическим данным, а также методов интерпретации данных на основе приближенно полученной формы. Решению этих задач посвящена настоящая работа.
Цели и задачи работы. Целью работы является расширение области применимости методов морфологического анализа сигналов на случаи, когда информация об их форме априори недоступна и извлекается из тестовых наблюдений сигналов одной и той же формы, выполненных при наличии шума. Для реализации поставленной цели в диссертационной работе были решены следующие задачи, имеющие существенное значение для области цифровой обработки сигналов:
разработаны математические методы эмпирического построения формы сигнала по данным наблюдений сигналов фиксированной (неизвестной) формы, выполненных при наличии шума;
разработаны методы оценки адекватности математических моделей, используемых при эмпирическом построении формы;
разработаны математические и численные методы решения задач морфологического анализа сигналов на основе эмпирически построенной формы;
созданы эффективные комплексы программ, реализующие разработанные методы для решения реальных и модельных задач интерпретации данных.
Полученные новые научные результаты
1. Впервые поставлена и решена задача построения формы из принципа
максимальной надежности как линейного подпространства пространства всех сигналов на основании тестовых наблюдений, выполненных с погрешностью, а также задача проверки адекватности построенной формы.
-
Впервые поставлена и решена задача построения формы из принципа максимальной надежности как множества значений линейного оператора, восстанавливаемого по тестам. Введена характеристика проверки наличия линейной связи.
-
Разработана методика проверки близости предъявленной формы сигнала к эмпирически восстановленной форме как линейной оболочке тестовых сигналов, наблюдаемых с ошибкой, и как пространства значений восстановленного по тестам линейного оператора.
-
Создан алгоритм построения формы как выпуклого замкнутого конуса, основанный на упорядочении значений зарегистрированных сигналов.
-
Доказана теорема об остановке алгоритма упорядочивания значений зарегистрированных сигналов за конечное число шагов с вероятностью единица.
-
Разработана новая методика построения формы сигнала на основании изображения его вейвлет-спектра.
-
Создано новое программное обеспечение, зарегистрированное Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, свидетельства №2011614714, №2013612369.
Положения, выдвигаемые для публичной защиты
1. Разработаны новые математические методы для построения формы
сигналов по результатам тестовых измерений, выполненных при наличии шу
ма и при различных (неизвестных) условиях регистрации, для следующих
случаев:
форма сигнала построена как линейное подпространство, в известном смысле близкое к результатам тестов;
форма сигнала построена как конус евклидова пространства, образованный векторами, координаты которых упорядочены;
форма сигнала построена как множество сигналов с характерными частотно-пространственными особенностями, определяемыми их вейвлет-спек-трами.
-
Созданы методы, позволяющие оценивать адекватность математических моделей, используемых для эмпирического построения формы.
-
Разработаны методы, алгоритмы и комплексы программ для решения задач морфологического анализа данных на основе эмпирически построенных форм сигналов.
Практическая значимость работы. Разработанные в диссертации методы могут быть использованы для решения задач узнавания, классификации и определения параметров сигналов в случае отсутствия априорной информации об источнике, а также для разработки программно-алгоритмического обеспечения. Результаты диссертационной работы были успешно при-
менены для решения следующих прикладных задач:
Задача классификации акустических сигналов от ультразвукового модератора «Дельфин», осуществляющего диагностику высоковольтного электрооборудования с целью предотвращения аварий;
Задача классификации инфразвуковых сигналов в атмосфере от различных источников: взрывов, горных обвалов, микробаромов, вулканической активности и полярных сияний (в рамках выполнения Договора о всеобъемлющем запрещении ядерных испытаний; программа зарегистрирована Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, свидетельство № 2011614714);
Задача выявления инфразвуковых квазипериодических волн от известных источников в атмосфере при регистрации наземными датчиками в случае наличия сильных помех (в рамках выполнения Договора о всеобъемлющем запрещении ядерных испытаний; программа зарегистрирована Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, свидетельство № 2013612369);
Задача исследования возможности определения качественного состава газовых смесей по откликам сенсоров полупроводниковых датчиков на основе тонких пленок 2.
Методы исследования. В диссертации используются подходы теории морфологического анализа (Ю.П. Пытьев, А.И. Чуличков, 2010), теории измерительно-вычислительных систем (Ю.П. Пытьев, 2004), а также теории проверки статистических гипотез (Э. Леман, 1979). Численные эксперименты реализованы с использованием программ на базе платформы MatLab.
Научная обоснованность и достоверность. Достоверность полученных теоретических результатов гарантируется применением строгих математических методов, апробированных ранее для других задач. Достоверность прикладных результатов обеспечивается проверкой согласия использованных математических моделей и результатов с реальными данными.
Апробация результатов работы. Результаты, представленные в работе, докладывались на научных семинарах кафедры компьютерных методов физики МГУ, радиоакустической лаборатории ИФА РАН, московском морфологическом семинаре под руководством проф. Ю.П. Пытьева, научных семинарах "Математические методы в естественных науках" под руководством проф. А.Н. Боголюбова и "Обратные задачи математической физики" под руководством А.Б. Бакушинского, А.В.Тихонравова, А.Г.Яголы, а также на следующих конференциях: Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 2008, 2012 г.г.; Пущино, 2009, 2010 г.); конференция "Консолидация усилий электроэнергетики и электротехники в условиях роста инвестиций. Перспективы технологии и электрооборудование" (Московская область, 2008 г.); Всероссийская конференция "Математические методы распознавания образов" (Суздаль, 2009 г.; Петрозаводск, 2011 г.); The 6th Southern Africa Regional Conference & Joint
Colloquium (Cigre, 2009 г.); Comprehensive Nuclear-Test-Ban Treary: Science and Technology (Austria, 2011, 2013 г.г.); Международная конференция "Интеллектуальные системы и компьютерные науки" (Москва, 2011 г.); The International Conference The Infrasound Technology Workshop (Jordan, 2011 г.; Republic of Korea, 2012 г.; Austria, 2013 г.); Сессия Российского акустического общества. Сессия Научного совета РАН по акустике (Таганрог, 2012 г.).
Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 17 научный работах, в том числе в 6 статьях из списка журналов, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из "Введения", четырех глав, "Заключения", библиографии и "Приложения". Объём работы 135 страниц. Библиография включает в себя 101 печатную работу. Диссертация содержит 30 рисунков.
Основные подходы к решению задач морфологического анализа
Материалы диссертации опубликованы в следующих журналах из списка, рекомендованных ВАК: Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2009 [73]; Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2010 [75]; Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2012 [72]; 950. Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2012 [60]; Журнал вычислительной математики и математической физики, 2012 [62]; Интеллектуальные системы, 2013 [67].
Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на конференциях: Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 2008, 2012 г.г.; Пущино, 2009, 2010 г.); конференция "Консолидация усилий электроэнергетики и электротехники в условиях роста инвестиций. Перспективы технологии и электрооборудование" (Московская область, 2008 г.); Всероссийская конференция "Математические методы распознавания образов" (Суздаль, 2009 г.; Петрозаводск, 2011 г.); The 6th Southern Africa Regional Conference & Joint Colloquium (Cigre, 2009 г.); Comprehensive Nuclearest-Ban Treary: Science and Technology (Austria, 2011, 2013 г.г.); Международная конференция "Интеллектуальные системы и компьютерные науки" (Москва, 2011 г.); The International Conference The Infrasound Technology Workshop (Jordan, 2011 г.; Republic of Korea, 2012 г.; Austria, 2013 г.); Сессия Российского акустического общества. Сессия Научного совета РАН по акустике (Таганрог, 2012 г.)
Материалы работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры компьютерных методов физики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, радиоакустиче-11
ской лаборатории Института физики атмосферы им. А.М. Обухова РАН, московском морфологическом семинаре под руководством проф. Ю.П. Пытьева, научных семинарах "Математические методы в естественных науках" под руководством А.Н. Боголюбова и "Обратные задачи математической физики" под руководством А.Б. Бакушинского, А.В.Тихонравова, А.Г.Яголы.
Содержание работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
ПЕРВАЯ ГЛАВА посвящена обзору методов классического морфологического анализа. В главе описываются основы подхода, а также вводятся базовые понятия метода в терминах анализа сигналов: математическая модель сигнала, пространство всех сигналов, понятие формы сигнала, сравнение сигналов по форме, проектор на форму. Описываются стандартные процедуры построения формы в морфологическом анализе на примере изображений: как линейного подпространства евклидова пространства, как выпуклого замкнутого конуса, образованного множеством изображений с заданным упорядочением яркостей пикселей, а также задание формы фрагмента изображения. Описываются основные подходы к решению задач морфологического анализа на основе формы: узнавание объекта по форме, классификация объектов, оценивание параметров объекта.
ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ описываются методы эмпирического построения формы сигнала по набору тестовых измерений сигналов от одного и того же источника, полученных при различных и неизвестных условиях регистрации; характеристики шума при измерениях сигналов считаются известными. Форма сигнала априори считается неизвестной.
Первый подход связан с построением формы как линейного подпространства евклидова пространства тестовых сигналов. Измерения проводятся по схеме: j = i + , = 1,... , . Вводится критерий выбора формы по результатам наблюдений, использующий принцип максимального согласования наблюдаемых данных с математической моделью формы (принцип максимальной надежности [50]). Исследуется согласие предположения о форме сигнала с данными измерений, задается характеристика близости предъявленного сигнала к построенной форме.
Во втором подходе форма строится как множество значений линейного оператора, восстанавливаемого по тестам. Измерения проводятся по схеме: І = (і) + , = 1,... , . Форма строится исходя из принципа максимальной надежности, исследуется гипотеза о линейности восстановленного оператора (-). Вводятся характеристики близости предъявляемого сигнала к эмпирически построенной форме. Метод применен к решению задачи исследования возможности определения состава газовой смести на основе модели, восстановленной из тестовых измерений.
Третий подход связан с заданием формы на основании ковариационных свойств измеряемых (тестовых) сигналов; сами сигналы рассматриваются как реализации стационарных случайных процессов. Предлагается алгоритм построения формы сигнала и решение задачи классификации методами проверки статистических гипотез. Метод применен к решению задачи исследования возможности классификации инфразву-ковых сигналов атмосферы от различных источников.
Эмпирическое построение формы как множества значений линейного оператора, восстанавливаемого по тестам, и методы анализа сигналов на основании этой формы
Пусть форма изображения интересующего исследователя объекта задана как выпуклое замкнутое множество / С С2(), f - оператор ортогонального проектирования на форму. Необходимо определить, является ли предъявленное изображение изображением искомого объекта, что равносильно включению Є /.
Для решения задачи следует проверить верность равенства Если (1.16) выполнено, то можно подобрать условия регистрации, при которых изображение порождается искомым объектом . Если же равенство (1.16) не выполнено, то в рамках принятой модели нет никаких оснований узнать в изображении интересующий исследователя объект. Однако на практике реальные предъявленные изображения не являются кусочно-постоянными, даже в идеальном случае, когда на них изображен заданный (искомый) объект. Поэтому в морфологическом анализе принимается, что реальное изображение отличается от модельного на некоторое (шумовое) изображение = С2(). Если его норма (или среднее значение квадрата его нормы для случайного шума) известно, то узнавание искомого объекта на изображении происходит тогда, когда отличие от нуля квадрата нормы разности \\ — f\\2 может быть объяснено наличием шума.
Классификация объектов по форме их изображений Пусть задан набор форм изображений различных объектов им соответствуют проекторы Необходимо определить номер объекта о, которому принадлежит предъяв ленное изображение д.
Изображение д принадлежит классу Т40 тогда и только тогда, когда выполнено равенство Однако в силу замкнутости множеств V& может случится так, что классы будут пересекаться. В частности, в рассмотренных выше примерах изображение (сигнал), равный константе почти всюду на поле зрения X, принадлежит и множеству V\, и множеству Vc при любом разбиении поля зрения изображения / на множества одинаковой яркости.
Кроме того в реальных ситуациях в силу наличия шумов и другого рода погрешностей выражение (1.17) может не выполняться для всех форм классов Т4, к = 1,...,К. Поэтому решением считается класс, ближайший по форме к форме изображение д.
Если в качестве меры близости рассматривать квадрат нормы разности \\д — Ркд\\2, то задача классификации сведется к решению задачи на минимум \\д — Ркд\\2 min, который будет достигаться как в случае принадлежности предъявленного изображения д какой-либо из форм V&, так и в случае близости предъявленного изображения д к изображению ровного поля зрения. Отличие проекции предъявленного изображения от ровного поля зрения задается выражением \\Pog — Ркд\\2, где Род - ортогональная проекция изображения д на множество изображений, равных константе (яркость в каждой точке поля зрения равна средней по всему полю зрения X яркости).
Дробь (1.19) тем меньше, чем меньше расстояние от д до 14, и чем больше отличие Р}.д от константы. Заметим, что отношению т(д) можно придать смысл отношения "шум/сигнал" в предположении, что изображение д принадлежит форме 14. Действительно, числитель этой дроби характеризует отличие изображения д от изображений из 14, которое при д Є 14 можно объяснить только наличием шума, а знаменатель — величину той составляющей изображения д, которая сравнима по форме с изображением k-ого класса и отлична от константы.
В случае, когда д Є 140, минимум (1.19) равен нулю. Если минимум (1.19) достигается при нескольких индексах кі1}... ,kim, то д классифицируется как изображение одного из объектов с номерами ki1}... , kim.
Эмпирическое построение формы, заданной ковариационными свойствами, и методы анализа сигналов на основании этой формы
Таким образом, реальные условия наблюдений сцены таковы, что для регистрируемых изображений может не выполняться условие попарного различия координат, и на поле зрения в качестве областей, все точки которой на изображении имеют равную яркость, могут появиться области, содержащие более одной точки. Кроме того, результат регистрации реальных изображений сопровождается аддитивным шумом.
Пусть идеальное изображение сцены не наблюдается и известен лишь результат регистрации этой сцены в серии измерений, проводимых по схеме где случайный вектор моделирует шумовую составляющую измерения изображения i . Функции неизвестны, но задан класс F/ преобразований N и при этом множество } выпукло и замкнуто в N при фиксированном Є N, случайные векторы j Є N независимы в совокупности и имеют нулевое математическое ожидание i = 0, координаты вектора І Є N с вероятностью единица ограничены по модулю: \. Задача состоит в том, чтобы по результатам наблюдений (3.1) охарактеризовать сцену.
Если класс F/ достаточно широк, то оценить значения координат вектора по результатам измерения (3.1) при неизвестных и произвольных i Є Ff, = 1,2,... невозможно, тем не менее измерения (3.1) содержат некоторую информацию об изображении , а значит, и об исходной сцене. Охарактеризуем сцену полным инвариантом группы преобразований i и оценим его по результатам измерения (3.1).
Функция является максимальным инвариантом группы монотонных преобразований Ff пространства Доказательство. Очевидно, что если класс F/ есть класс монотонно возрастающих функций, то функция определенная в (3.2), обладает свойством 7г(/) = ir(F /), т.е. является инвариантом группы преобразований F/ пространства RN.
Если при анализе данных используется их математическая модель, то необходимым этапом исследования является установления факта непротиворечивости модельных ограничений и результатов наблюдений [41]. Отсутствие таких противоречий означает, что нет причин считать модель неадекватной. Этот раздел посвящен проверке адекватности предположения о том, что все изображения (3.1) получены от одной и той же (неизвестной) сцены.
Рассмотрим п изображений i, ,п Є RN и сформулируем ряд условий, которые будем называть условиями {Г}: изображения i, , п Є RN зарегистрированы согласно схеме (3.1) (т.е. являются изображением одной и той же неизвестной сцены); класс F/ является классом монотонных преобразований пространства RN; векторы шума щ Є RN, і = 1,... ,п независимы в совокупности, обладают независимыми в совокупности координатами, причем модуль каждой из них с вероятностью единица не превосходит 8.
Построим формальный критерий проверки условий {Г} по наблюдениям і,... , п. Предположим сначала, что измерения проводились без шума (щ = 0, г = 1,... , п). Тогда при выполнении условий {Г} все векторы i = Fi f,i = l,...,n имеют одинаковое упорядочение координат. Геометрически это означает следующее: если для любых двух изображений fc и т рассмотреть семейство точек числовой плоскости с координа-тами ilk,m = ilSfeisinJJ = J-) \, то через эти точки можно провести кривую, являющуюся графиком монотонной функции. Если к классу Fj монотонных преобразований RN добавить функции, определенные предельным переходом: F f = (F(fl),... , F(fN)), где для любого х Є R1: F(x) = lim Fp(x), то на графике, проведенном через точки семейства р— оо к,т, могут появиться строго горизонтальные или строго вертикальные участки. Естественно считать, что если для любой пары индексов (к,т), к,т = 1,... ,п семейство flk,m имеет такое расположение на числовой плоскости, то условия {Г} не противоречат результатам их измерения.
Пусть теперь измерения яркости изображений сопровождаются шумом, модуль которого с вероятностью единица не превосходит 8. Для каждого семейства Qk,m построим семейство точек flkm, каждая из которых находится в -окрестности 5г(& т) = {(zl,z2) Є R2 : maxdz1 — fcl \z 2 C4l)} соответствующей точки семейства Qk,m и так, что через все точки семейства Qk т пройдет график монотонной функции или кривая, полученная описанным выше предельным переходом. Если такое построение возможно, то "часть" гипотезы {Г}, касающаяся пары изображений fc,m, не противоречит результатам их регистрации. Метод, позволяющий проверить существование семейства Qk т с описанными здесь свойствами, представлен в работе [52]. Если семейства щ.т существуют для любой пары (А;,га), к,т = 1,..., N то условия {Г} не противоречат наблюдениям.
Метод и численный алгоритм эмпирического упорядочения яркостей изображений
Для того, чтобы решить задачу классификации, следует задать алгоритм, относящий сигнал к одному из классов. Поэтому для первых трех классов введем меру близости по форме заданного сигнала к выбранному классу как операцию проецирования предъявленного фрагмента изображения вейвлет-спектра сигнала на множество изображений заданного класса,см. п. 1.1.5.
По аналогии с (1.19), рассмотрим отношение проекции Рід предъявленного фрагмента д(х) изображения вейвлет-спектра на множество изображений Vfc, к = 1,... , К (К — количество классов) — Ркд\\ = пгшЩд — z\\ \z Є Vfc}, к = 1,..., К, (4.6) и проекции на шумовое изображение, не обладающее регулярной структурой и являющееся искаженным белым шумом изображением ровного поля зрения (яркость изображения равна константе): форме изображений из множества 14, к = 1,... , К по сравнению с формой шумового изображения. Заметим, что значение дроби (4.8) не меняется при изменении яркости и контраста изображения д (т.е. при изменении условий регистрации [52]). Этот факт позволяет считать ее значение мерой близости форм сигналов, определяемых геометрическими формами областей равной яркости сравниваемых изображений. Для классификации сигналов необходимо вычислить значение дроби (4.8) для каждого фрагмента изображения вейвлет-спектра сигнала j (начиная с крайнего левого положения) для каждого класса Если все значения k(j) для всех классов меньше некоторого порогового значения, сигнал считается шумовым. Если же на каждом периоде сигнала имеются точки, в которых, то сигнал относится к классу с номером о, для которого выполняется в максимальном числе тех точек, в которых
Результаты классификации сигналов, полученных от высоковольтного электрооборудования
На основании приведенных выше соображений был разработан алгоритм классификации, заключающийся в вычислении для каждого сигнала его вейвлет-спектра, последовательного сравнения фрагментов изображения вейвлет-спектра предъявленного сигнала с формой сигналов каждого из трех классов и дальнейшего сравнения полученных откликов классификатора с выбранным пороговым значением . С помощью данного алгоритма было проанализировано 22 сигнала: 4 сигнала первого класса (виброударные механические процессы), 6 сигналов второго класса (одиночные искровые разряды), 4 сигнала третьего класса (одиночные частичные электрические разряды) и 8 сигналов четвертого класса (многочисленные разряды).
На рис. 4.5-4.6 приведены отклики классификатора (4.8) для каждого класса. Величина порога была выбрана = 1.4. Отклик, соответствующий классу 2 (одиночные искровые разряды) показан синим цветом, классу 3 (одиночные частичные электрические разряды) - зеленым, классу 4 (многочисленные разряды) - красным. Рис. 4.5. Результат работы классификатора на шумовом сигнале и сигнале от одиночного искрового разряда
Легко видеть, что ни один из откликов классификатора, приведенный на рис. 4.5а, не превышает выбранной величины порога , следовательно, данный сигнал не может быть отнесен ни к одному из трех классов. Таким образом, сигнал принадлежит четвертому шумовому классу (виброударные механические процессы).
На рис. 4.5б хорошо видно, что на всех четырех периодах отклики классификатора (4.8), выделенного синим цветом, превышают уровень порога . Следовательно, данный сигнал можно с уверенностью отнести к первому классу (одиночные искровые разряды). Рис. 4.6. Результат работы классификатора на сигналах от одиночного частичного электрического и многочисленных разрядов
Аналогично делается вывод о том, что сигналы, приведенные на рис. 4.6а, принадлежат второму классу (одиночные частичные электрические разряды), которому соответствует зеленый цвет отклика классификатора. А на рис. 4.6б - третьему (многочисленные разряды), с соответствующим красным откликом классификатора.
На рис. 4.7 приведен пример сильно зашумленного сигнала, что хорошо видно как на графике сигнала, так и на изображении его вей-влет-спектра, в данной ситуации нельзя выделить четкие четыре периода откликов классификатора (4.8). Тем не менее, отклики, превышающий пороговое значение = 1.4, соответствуют синему цвету классификатора. Следовательно, несмотря на наличие большого шума, данный сигнал можно с уверенностью отнести к первому классу (одиночные искровые разряды).
Разработанный алгоритм дал верную классификацию для всех 22 проанализированных сигналов. Вейвлет-преобразование представляет собой линейное преобразование, на основе которого построены методы и алгоритмы корреляционного анализа. С другой стороны, морфологический анализ является нелинейным обобщением корреляционного анализа [52]. В данном разделе сформулирован подход, объединяющий достоинства вейвлет- и морфологических методов анализа сигналов и представляющий собой морфологическое обобщение вейвлет-анализа. Подобное обобщение, хотя и лишается многих полезных свойств вейвлет-анализа, например, существования обратного преобразования, но позволяет выделять особенности сигналов и строить их вейвлет-форму в тех случаях, когда исследователю известно, какие (эталонные) особенности формы сигналов его интересуют, но нет информации относительно того, где и как (т.е. в какой пространственной и временной области и с каким характерным пространственным и временным масштабом) эти особенности проявятся.
Морфологическое вейвлет-преобразование позволяет получать близость участков сигнала к эталону в зависимости от положения и масштаба эталона. Аналогом скалярного произведения в морфологическом вейвлет-анализе является морфологическая близость, которая задается отношением двух норм разностей, подобных (1.18).
