Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Перенос полихроматического излучения в трехмерной неоднородной среде 18
1. Краевая задача для математической модели переноса излучения с энергетической зависимостью 18
1.1. Постановка и исследование прямой задачи для уравнения переноса 18
1.2. Свойства решения прямой задачи 30
2. Метод многократного облучения решения задачи компьютерной томографии 37
2.1. Постановка и исследование прямой задачи для параметризованного уравнения переноса 37
2.2. Определение коэффициента ослабления путем многократного облучения 49
2.3. Алгоритм восстановления коэффициента ослабления на основе многократного облучения 54
2.4. Алгоритмы параллельных вычислений реконструкции структуры трехмерного объекта 62
Основные результаты и выводы 68
Глава 2. Перенос поляризованного излучения в трехмерной неоднородной среде 71
3. Прямые и обратные задачи для уравнения переноса поляризо ванного излучения 71 3.1. Постановка и исследование прямой задачи для векторного уравнения переноса излучения 71
3.2. Постановка и исследование задачи томографии для векторного уравнения переноса 78
4. Алгоритмы решения прямых и обратных задач для векторного уравнения переноса 82
4.1. Метод Монте-Карло нахождения решения прямой задачи 82
4.2. Численное решение задачи томографии 90
Основные результаты и выводы 97
Глава 3. Перенос поляризованного излучения в слоистой среде 99
5. Краевая задача для уравнения переноса поляризованного из лучения в слоистой среде 99
5.1. Однозначная разрешимость прямой задачи 99
5.2. Численное моделирование прохождения поляризованного излучения через слоистую среду 110
6. Задача томографии для уравнения переноса поляризованного излучения в слоистой среде 115
6.1. Постановка и решение задачи томографии 115
6.2. Тестирование алгоритма решения задачи томографии 119 Основные результаты и выводы 122
Глава 4. Радиационно-кондуктивный теплообмен в слое 124
7. Влияние различных факторов на точность диффузионного при
ближения уравнения переноса 124
7.1. Основные принципы построения диффузионного приближения уравнения переноса в слоистой среде 125
7.2. Диффузионное приближение в полубесконечном слое 130
7.3. Диффузионное приближение в однородном слое 133
7.4. Диффузионное приближение в неоднородном полубесконечном слое 136
7.5. Некоторые выводы о применимости диффузионного при ближения 139
8. Моделирование радиационно-кондуктивного теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами 140
8.1. Постановка задачи радиационно-кондуктивного теплообмена 140
8.2. Рекурсивный алгоритм решения краевой задачи для модели радиационно-кондуктивного теплообмена 143
8.3. Диффузионное приближение модели радиационно-кондук-тивного теплообмена 147
8.4. Численное моделирование радиационно-кондуктивного теплообменна 149
9. Итерационный алгоритм для диффузионной модели радиационно кондуктивного теплообмена 155
9.1. Постановка задачи 156
9.2. Сведение краевой задачи к операторному уравнению 157
9.3. Разрешимость краевой задачи 159
9.4. Единственность решения краевой задачи 162
9.5. Численное моделирование радиационно-кондуктивного теплообмена на основе диффузионной модели 164
10. Однозначная разрешимость краевой задачи для диффузионной
модели радиационно-кондуктивного теплообмена 167
10.1. Разрешимость краевой задачи 167
10.2. Единственность решения краевой задачи 171
Основные результаты и выводы 174
Глава 5. Сложный теплообмен в трехмерной среде 177
11. Однозначная разрешимость задачи радиационно-конвективно кондуктивного переноса тепла 177
11.1. Постановка краевой задачи 177
11.2. Разрешимость краевой задачи 180
11.3. Достаточные условия единственности решения 183
11.4. Численное моделирование сложного теплообмена 186
12. Задача оптимального управления для модели сложного тепло обмена 188
12.1. Постановка задачи оптимального управления 188
12.2. Разрешимость задачи оптимального управления 195
12.3. Необходимые условия оптимальности 198
12.4. Условия регулярности оператора ограничений 200
Основные результаты и выводы 202
Заключение 205
Список цитируемой литературы
- Постановка и исследование прямой задачи для уравнения переноса
- Алгоритмы решения прямых и обратных задач для векторного уравнения переноса
- Численное моделирование прохождения поляризованного излучения через слоистую среду
- Диффузионное приближение в однородном слое
Постановка и исследование прямой задачи для уравнения переноса
Предлагается вычислительный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло, для нахождения характеристик поляризованного излучения в слоистой среде. Приводятся результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффекты поляризации и деполяризации излучения при его прохождении через рассеивающую слоистую среду. В 6 на основе векторной модели переноса излучения изучается задача оптической томографии, заключающаяся в определении рефракционных индексов слоистой среды по известному выходящему из среды излучению. Отметим, что в работе И.В. Прохорова и И.П. Яровенко [152] были предложены методы определения относительных рефракционных индексов на основе скалярного уравнения переноса. Эти подходы основываются на свойствах гладкости решения прямой задачи для скалярного уравнения переноса. Обобщение решения на случай векторного уравнения переноса позволяет получить дополнительные преимущества при решении задачи томографии. Предлагаемый в 6 метод основывается на модели переноса поляризованного излучения, что позволяет предложить более устойчивый к шумам алгоритм реконструкции. Эффективность предложенного подхода демонстрируется результатами вычислительных экспериментов, приведенных в заключительной части параграфа. изучается задача радиационно-кондуктивного теплообмена. Исходная нелинейная математическая модель включает в себя уравнение переноса теплового излучения и уравнение теплопроводности. В 7 в терминах ма 15 лого параметра, описывающего величину рассеяния в среде, проводится оценка близости усредненного по направлениям решения уравнения переноса и его диффузионного (также называемого P1) приближения. Оценки проводятся на различных оптических удалениях от границ слоя и внутренних неодно-родностей. В 8 предлагается рекурсивный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло, для решения стационарной задачи радиационно-кондуктивно-го теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами. Проведено численное сравнение с решением, полученным на основе диффузионного приближения, и расчетными данными из [159,160], полученными при использовании PN аппроксимации. Отмечено хорошее согласование решений для случая относительно невысоких температур. Проанализированы два различных подхода в параллелизации алгоритма. Показано, что предложенные алгоритмы обеспечивают хорошее, близкое к линейному, ускорение времени выполнения программы. На основе предложенного алгоритма решается задача улучшения теплоотдачи от границ слоя за счет выбора коэффициентов зеркального и диффузного отражения. В 9 предлагается итерационный алгоритм для нахождения решения P1 приближения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена. Обоснование сходимости алгоритма основано на построении оператора решения и доказательстве его сжимающих свойств. Сформулированы ограничения на коэффициенты задачи, обеспечивающие сжимающие свойства оператора решения. Отмечено, что эти ограничения будут заведомо выполняться при подавляющем рассеянии в среде, что является благоприятным случаем для использования P1 приближения. Сжимающее свойство оператора решения обеспечивает быструю сходимость итерационного процесса, что и демонстрируется в приведенном в заключении параграфа вычислительном эксперименте. В 10 доказываются теоремы существования и единственности решения краевой задачи для диффузионной модели радиационно-кондуктив-ного теплообмена для рассеивающего слоя с отражающими границами.
Задача, рассматриваемая в 12, может трактоваться как задача определения отражающих свойств границы для максимизации выходящей из среды энергии. С практической точки это означает подбор специального материала с заданными отражающими свойствами для границ среды с целью увеличения теплоотдачи. Решение данной задачи может найти применение при конструировании деталей двигателей, частей летательных аппаратов, разработки охлаждающих систем. Данная задача представляет собой задачу оптимального мультипликативного управления для нелинейной эллиптической системы. На основе новых априорных оценок решения системы оптимальности доказывается разрешимость задачи оптимального управления. Для случая теплообмена в канале найдены достаточные условия, обеспечивающие регулярность системы оптимальности. Основным результатом является доказательство аналога принципа bang-bang для рассмотренной задачи оптимального управления.
Основные результаты диссертации были представлены автором в виде устных докладов на международных конференциях: "Russia-Japan Workshop on Differential Equations in Applied Mathematics" (Хабаровск, 1994), "Mathematical Modeling and Cryptography" (Владивосток, 1995), "High Performance Scientific Computing" (Hanoi, Vietnam, 2009, 2012), "Russiaaiwan Symposium on Methods and Tools of Parallel Programming Multicomputers" (Vladivostok, Russia, 2010), "Inverse Problems: Modeling and Simulation" (Antalya, Turkey, 2010), Seminar der Stipendiatten der Programme "Michail Lomonosov II" und "Immanuil Kant II" (Moskau, Russia, 2011), "Open Cirrus Summit 2011" (Moscow, Russia, 2011), "Mathematical Modeling of Microbiological Systems"(Marburg, Germany, 2012), "Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ) 2012" (Новосибирск, 2012), "Научный сервис в сети Интернет" (Абрау Дюрсо, 2012), "Облачные вычисления. Образование. Исследования. Разработка" (Москва, 2011-2013), "International Conference on Combustion Waves Structure and Dynamics" (Vladivostok, Russia, 2013), "IFIP TC7 Conference on System Modeling and Optimization" (Klagenfurt, Austria, 2013), "High Performance Computing 2013" (Kyiv, Ukraine, 2013), "International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA) 2014" (Санкт-Петербург, 2014), а также на Дальневосточных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, Хабаровск, 1998–2013), Всероссийской научно-технической конференции "Технические проблемы освоения Мирового океана" (Владивосток, 2009, 2011), и на Всероссийском симпозиуме "Физика геосфер" (Владивосток, 2011).
Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-методических семинарах Института прикладной математики ДВО РАН и Кафедры информатики, математического и компьютерного моделирования ДВФУ. Также результаты диссертации были представлены на семинарах Института математики СО РАН (Новосибирск, 2012), Кафедры математического моделирования (М6) Технического университета Мюнхена (Мюнхен, Германия, 2010-2013) и на семинаре математического факультета Технического университета Кайзерслаутерна (Кайзерслаутерн, Германия, 2011).
В целом диссертация состоит из 12 параграфов, структурно разделенных на пять глав. В конце диссертации приводится список цитируемой литературы. В начале в алфавитном порядке приводятся работы на русском языке, затем – на английском. В работе используется двойная нумерация формул, утверждений, определений и замечаний. Первая цифра указывает на номер главы.
Алгоритмы решения прямых и обратных задач для векторного уравнения переноса
Восстановление структуры трехмерного объекта по данным радиационного просвечивания является важной задачей компьютерной томографии. Одним из подходов в решении указанной задачи является сканирование исследуемого объекта по отдельным сечениям. При этом восстановление изображения в отдельном сечении в итоге сводится к решению задачи обращения преобразования Радона. Достаточно популярный для решения указанной задачи алгоритм свертки и обратной проекции характеризуется хорошим быстродействием. К примеру, реконструкция изображения размером 400 400 пикселей, полученная по данным просвечиваний по 10201 прямым, требует около 2 секунд машинного времени при использовании процессора Intel(R) Xeon(R) CPU E5345 @ 2.33GHz.
Однако, восстановление трехмерного изображения объекта по набору сечений в более высоком разрешении и с большим количеством просвечиваний займет существенное время. Так, при реконструкции 256 изображений размером 10241024 пикселей каждое, при использовании просвечиваний по 40401 прямым, время вычислений на упомянутом выше процессоре увеличится более чем в 1000 раз. Таким образом, использование технологии параллельных вычислений при реконструкции структуры трехмерного объекта представляется весьма уместным.
Эффективная параллелизация алгоритмов, решающих задачу компьютерной томографии, может осуществляться для алгебраических методов обращения преобразования Радона [20], а также Фурье-алгоритма [29].
Остановимся на обсуждении перспектив применения параллельных вычислений при реализации алгоритма свертки и обратной проекции. Вначале обсудим перспективы реализации параллельных вычислений с использованием графических процессоров на основе технологии CUDA. Будем осуществлять параллелизацию при реконструкции изображения в каждом сечении. Пусть радиационное просвечивание проводится на основе параллельной схемы сканирования, которая характеризуется тем, что для каждого фиксиро 63 ванного направления облучения источники излучения и детекторы располагаются на параллельных прямых (см. рисунок 1.3). Пусть для фиксирован Рисунок 1.3 — Параллельная схема сканирования. ного направления число линий, по которым осуществляется радиографическое облучение, равно 2д Число направлений, по которым осуществляется облучение, равно р. В результате облучения получаем двумерный массив значений интегралов д , где j есть индекс, характеризующий направление облучения (j = 1, ...,р), а к определяет номер линии для фиксированного направления (к = —q,...,q). Реконструкцию среды в отдельном сечении будем осуществлять на основе алгоритма свертки и обратной проекции, который состоит из двух шагов.
Здесь h есть расстояние между двумя ближайшими параллельными линиями, Wb есть фильтр с заданной спектральной шириной Ъ. Например, Ъ можно взять равным 7г//г, если эта величина меньше р. В этом случае Wb(h(k — і)) = 1/7г2/і2(1 — 4(& — і)2). Шаг 2. Вычисление обратной проекции.
Исходя из того, что каждая свертка рассчитывается независимо от других, вычисление сверток можно выполнять на графических процессорах в параллельных потоках (нитях). В таблице 1.1 приведены результаты тестирования первого шага алгоритма для разных размеров блока (blockDim.x) и разного количества блоков (gridDim.x). Для оптимизации кода были введены временные переменные для хранения некоторых промежуточных результатов вычислений, что уменьшило время выполнения в 4,226 раза. Кроме того, для уменьшения вычислений внутри функции все арифметические операции, не зависящие от индексов, были рассчитаны на основном процессоре и помещены в константную память устройства.
Если количество просвечиваний, равное 2q + 1, на одном повороте меньше, чем максимальное допустимое количество нитей в блоке, то вычисление сверток для каждого направления можно поместить в отдельный блок. При этом для уменьшения времени работы программы требуется выполнить следующие оптимизационные действия.
Параллельная реализация обратного проецирования производится аналогично первому шагу, за исключением того, что использование разделяемой памяти здесь уже невозможно, так как расчеты значения в определенном пикселе требуют значений для всех углов просвечивания.
Относительно задачи восстановления трехмерной структуры объекта по набору сечений следует отметить, что при последовательном восстановлении последовательности 2D изображений, время, затрачиваемое на реконструкцию, может уменьшаться за счет встроенных алгоритмов оптимизации. Так при восстановлении 32 сечений фантома Кормака [112] получены результаты, представленные в таблице 1.2. Восстановление изображения в одном сечении осуществлялось в 160000 пикселях по данным просвечиваний по 10201 прямым.
Представленные результаты демонстрируют эффективность параллели-зации алгоритма решения задачи томографии на основе технологии CUDA. Учитывая также относительно недорогую стоимость GPU устройств, под 67 держивающих технологию CUDA, дальнейшее развитие этого направления представляется перспективным.
Рассмотрим теперь иной подход в параллелизации алгоритма реконструкции структуры трехмерной среды. Будем осуществлять параллелизацию по набору сечений на основе технологии MPI. Предложенный алгоритм заключается в следующем: выделим расчетные процессы и управляющий процесс, не использующий большие вычислительные мощности.
Численное моделирование прохождения поляризованного излучения через слоистую среду
В численных экспериментах вектор-функция аппроксимировалась суммой 12 слагаемых ряда Неймана (3.13), что соответствует 12 шагам рекуррентного соотношения (3.20). В этом случае оценка (3.22) гарантирует ошибку усечения ряда Неймана менее чем 3%.
Во всех экспериментах было взято 5000 траекторий (М = 5000). Для оценки точности приближенного решения прямой задачи (3.1), (3.2), найденного по формуле (3.20), находилась среднеквадратичная ошибка
113 Как видно из рисунка 3.1, для случая неполяризованного входящего излучения (h = (1,1) на z = 0), ввиду рассеивающих эффектов, степень поляризации Sf растет при росте переменной z в каждом слое G{. Напротив, в случае линейно-поляризованного входящего излучения (h = (1,0) на z = 0) степень поляризации Sf убывает с ростом переменной z в каждом слое Gi (см. рисунок 3.2). В обоих случаях степень поляризации изменяется скачком при переходе через внутренние границы z = Zi, z = Z2. Это объясняется наличием скачков у коэффициента преломления. На рисунке 3.3 демонстрируется поведение степени поляризации Sf на границе z = 0 для выходящих направлений v Є (—1,0). При v = 0.5 и v = 0.68 степень поляризации имеет скачок. Это объясняется эффектами полного внутреннего отражения. Данный эффект будет использован в следующем параграфе для решения задачи томографии.
Степень поляризации при z Є (0,3), v = 0.5 для случая неполяризованного входящего излучения. уравнением (3.1) с граничными условиями (3.2). Дополнительно предположим, что выходящее излучение задается (может быть измерено) только на одной из внешних границ, например, при z = ZQ. Этот случай является типичным для диагностики человеческой кожи. Будем решать следующую задачу томографии. Задача томографии. Требуется определить относительные показатели преломления ПІ+\/П\, г = 1,...,_р — 1, слоев из уравнения (3.1), граничных условий (3.2) и дополнительных граничных условий f+(zo} v) = H(zo, ІУ)} ІУ 0} (3.25) в которых функция H(zo,i/) считается заданной. Заметим, что если абсолютный показатель преломления первого слоя известен, то абсолютные показатели преломления остальных слоев могут быть легко вычислены из относительных показателей преломления.
Для простоты предположим, что излучение не поступает в среду через границу z = zp, то есть h(zp,v) = 0, v 0. Предположим дополнительно, что функция II(ZQ,V) имеет ограниченную производную по переменной v. Заметим, что такая функция удовлетворяет ограничениям, введенным в предыдущем параграфе.
Покажем, что производные матричных коэффициентов отражения и прохождения имеют особенности при стремлении угловой переменной v к косинусу угла полного внутреннего отражения. Найдем производную функции
Так как знаки фі(и) и v совпадают, получаем, что (RfJis)) и z/± ± 0 соответственно. Более того, рассматривая равенства Л + Т[ = 0, мы заключаем, что диагональные элементы Т/ стремятся к ±оо соответственно. Заметим, что неограниченность производных имеет место только если і/ - 1/+ + 0 и относительный индекс nj(z/) будет больше 1 для z/ 0 (соответственно, если і/ - і/_ - 0 и относительный показатель преломления щ[у) будет больше 1 для v 0). Справедливо следующее утверждение.
Рассмотрим численный эксперимент определения показателей преломления слоистой среды. Задача решается в два этапа. На первом, мы полагаем параметры среды известными, решаем прямую задачу и находим для v 0 функцию H(zo,i/) = /+( о, ), которая моделирует выходящее излучение Н = (HI,HQ). Алгоритм решения прямой задачи основан на использовании метода Монте-Карло нахождения решения уравнения переноса, который описан детально в 5. Для его реализации мы использовали аппроксимацию 120 слагаемых ряда Неймана (3.13). Для вычисления отдельного значения функции Н генерировалось 5000 рекурсивных траекторий.
Таким образом, на первом шаге мы моделируем облучение среды и находим характеристики выходящего излучения, необходимые для формулировки и решения обратной задачи.
На втором шаге осуществляется решение задачи томографии. Пусть z$ = 0. Найдем производные функций Н+{у) = Hi(0,v) + 7 (0, ) и Н_{у) = Hi(0,v) — H2(0,v). Затем найдем значения z/j, і р, для которых производные принимают аномально большие значения. Далее, используя равенства щ/пі = \J\ — vf, найдем относительные показатели преломления.
Для численных экспериментов мы рассмотрим следующую трехслойную среду, моделирующую кожный слой: 1) эпидермис; 2) дерма; 3) капиллярные сплетения. Оптические характеристики этой модельной среды для длины волны Л = 633 nm представлены в таблице 3.1. Величины, взятые из [153], соответствуют характеристикам человеческой кожи.
При моделировании переноса оптического излучения важным аспектом являются условия, накладываемые на границах неоднородностей. Наиболее распространенными и изученными являются задачи с условиями непрерывной склейки решения. Однако, следует отметить важность учета эффектов отражения и преломления для моделирования распространения излучения в оптическом диапазоне длин волн. Таким образом, для адекватного описания переноса оптического излучения на границах неоднородностей следует формулировать обобщенные условия сопряжения, учитывающие эффекты отражения и преломления. К наиболее популярным из таких условий можно отнести френелевские условия сопряжения, описывающие зеркальное отражение и преломление по закону Снеллиуса.
Плоскопараллельная модель переноса излучения имеет разнообразные при 123
ложения, например, в задачах атмосферной оптики, в оптической диагностике кожного покрова и др. В Главе 3 исследуется модель переноса поляризованного излучения для случая плоскопараллельной и азимутальной симметрии с френелевскими условиями сопряжения на контактных границах слоев. Исследуется разрешимость прямой задачи для рассмотренной модели. Изучается задача оптической томографии, заключающаяся в определении относительных показателей преломления слоев.
К наиболее значимым результатам Главы 3 можно отнести следующие.
1. Исследована математическая модель переноса поляризованного излучения в слоистой среде с обобщенными условиями сопряжения френелевско-го типа. Доказана однозначная разрешимость прямой задачи. Исследованы непрерывные свойства решения и доказаны оценки типа принципа максимума.
2. Исследована задача томографии, заключающаяся в определении относительных показателей преломления слоев по известному излучению на границе среды. Предложен алгоритм нахождения относительных показателей преломления, основанный на свойствах решения прямой задачи для векторного уравнения переноса. Продемонстрирована эффективность алгоритма реконструкции среды по сравнению с аналогичным методом, основанном на скалярной модели.
3. Разработано специализированное программное обеспечение для решения прямой задачи для векторного уравнения переноса в слоистой среде и решения задачи компьютерной томографии.
Основные результаты Главы 3 представлены в работах [42,46,129,130,134]. Результаты в [46] получены непосредственно автором. В остальных (совместных) работах творческий вклад по отношению к соавторам как минимум равный. В работах [42, 130] автором доказаны теоремы однозначной разрешимости прямых задач для векторного уравнения переноса. В работе [129] автором разработан алгоритм параллельных вычислений решения прямой задачи, а в работе [134] – алгоритм решения задачи компьютерной томографии.
Диффузионное приближение в однородном слое
Целью настоящего параграфа является построение конструктивного доказательства разрешимости краевой задачи для нелинейной диффузионной модели радиационно-кондуктивного теплообмена, нахождение условий единственности решения. Предлагаемый подход основывается на нахождении неподвижной точки нелинейного оператора решения А : М2 — М2, построенного на основе модифицированной формы диффузионного приближения. Предлагается итерационный алгоритм, основанный на сжимающем свойстве оператора А. Определяются достаточные условия существования и единственности неподвижной точки. В силу сжимающего свойства оператора А предложенный алгоритм сходится со скоростью геометрической прогрессии.
Система (4.71)-(4.74) является модифицированной формой диффузионного приближения (4.65)-(4.69). Нашей целью является доказательство теорем существования и единственности решения краевой задачи (4.71)-(4.74).
В случае различных параметров [3\ и /?2 не существует принципиальных сложностей в решении линейной системы для определения к\ и К2. Этот случай не рассматривается здесь ввиду громоздкости итоговых формул.
Определим достаточные условия, при которых оператор А является сжимающим. Пусть к, к Є D, 9 = Т[к], 9 = Т[к]. Далее мы получим более точную оценку функции г]{х) = 9{х) — 9(х), чем в лемме 4.3. Для этой цели мы умножим (4.84) на ту и проинтегрируем по интервалу (0,1). Учитывая что (ф(9) — ф{9)){9 — 9) (l + 40f j) г]2, приходим к неравенству
Неравенства (4.85) и (4.89) являются сложными ограничениями на параметры задачи. Однако, например, легко видеть, что эти ограничения вы 164 полняются когда А достаточно близко к 1 (а достаточно близко к 0). Это соответствует случаю подавляющего рассеяния, которое является благоприятным условием для использования Pi приближения.
Численное моделирование радиационно-кондуктивного теплообмена на основе диффузионной модели
Доказанное сжимающее свойство оператора А является основой для следующей итерационной процедуры. Для нахождения решения задачи (4.71)-(4.74) мы будем использовать метод простой итерации:
Начальное приближение к, может быть вычислено, используя равенства (4.81) и (4.82), где 9{х) = (1 — x)Q\ + ЖО2, х Є [0,1]. Если последовательность к, сходится в R2, то ее предел к, является неподвижной точкой оператора А и в = А[к] есть решение задачи (4.71)-(4.74). Заметим, что условие (4.85) гарантирует сходимость по крайней мере подпоследовательности кУ1? , а условие (4.89) гарантирует сходимость последовательности кУ1 со скоростью геометрической прогрессии.
Таким образом, сжимающее свойство оператора А обеспечивает быструю сходимость предложенной итерационной процедуры. Ниже мы продемонстрируем это с помощью вычислительного эксперимента.
Для численного эксперимента возьмем следующие значения параметров задачи: т = 1, а = 200, А = 0.9, є = 0.7, А = 1, 0і = 0.5, О2 = 1, которые удовлетворяют условиям (4.85) и (4.89). Выбор параметров задачи основывается на данных вычислительных экспериментов, представленных в [159]. Тем не менее, мы взяли большее значение параметра т, так как оно соответствует более высокой температуре среды, что является более интересным с вычислительной и практической точки зрения.
На рисунке 4.6 демонстрируется поведение нормализованной температуры (Normalized temperature) в точках слоя (Point of layer), полученное на основе предложенной процедуры (сплошная линия) для системы (4.71)-(4.74), и на основе рекурсивного метода Монте-Карло (точечный график). Для демонстрации быстрой сходимости предложенного алгоритма мы сравним его с методом простой итерации, который применяется к задаче (4.65)-(4.69) следующим образом: для данной температуры мы находим решение задачи (4.65)-(4.67), далее, новая температура находится из (4.68) и (4.69) для данной и т.д. Численные результаты сравниваются с данными, полученными с помощью рекурсивного метода Монте-Карло. На рисунке 4.7 представлены графики зависимости среднеквадратичных отклонений (Mean-square deviation) от числа итераций (Number of iterations) между температурным профилем, полученным с помощью метода Монте-Карло, и температурными профилями, полученными на основе диффузионных приближений (4.65)-(4.69) (пунктир) и (4.71)-(4.74) (сплошная линия). Как видно из графиков, предложенная итерационная процедура обеспечивает хорошее приближение после 2 итераций. В то же время простая итерационная процедура, примененная к системе (4.65)-(4.69), требует около 20 итераций для получения той же точности. Таким образом, предложенный алгоритм демонстрирует быструю сходимость итерационного процесса. Это, однако, не означает, что предложенный алгоритм является более эффективным с точки зрения вычислительной трудоемкости. Ввиду нелинейности модели (4.71)-(4.72) реализация отдельного шага процедуры (4.90) требует значительно больших вычислительных ресурсов, чем реализация шага в методе простой итерации, примененной к системе (4.65)-(4.69). Преимуществом предложенного алгоритма является его гарантированная сходимость, а также возможность нахождения априорной оценки приближения.
Похожие диссертации на Стационарные модели переноса излучения и сложного теплообмена
