Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время имеется большое количество математических моделей переноса бинарного электролита (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, С.С. Духин, Б.П.Графов, А.А. Черненко, В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов, К.А. Лебедев, А.В. Листовничий, Ю.И. Харкац, М.Х. Уртенов, J.-L. Afonso, M.J. Clifton, I. Rubinstein, L. Shtilman и др.). Однако в двумерных и трехмерных моделях предполагают электронейтральность среды и вместо уравнения Пуассона используется условие электронейтральности (Н.П. Гнусин, В.И. Заболоцкий, В.М. Волгин, А.П. Григин, А.Д. Давыдов, К.А. Лебедев, М.Х. Уртенов, Ю.И. Харкац, J.-L. Afonso, M.J. Clifton), хотя запредельный режим переноса непосредственно связан с наличием пространственного заряда, вызываемого этим эффектом, например электроконвекции (I. Rubinstein, L. Shtilman, Е.Н. Калайдин, Е.А. Демехин, М.Х. Уртенов, А.М. Узденова). Математические модели, учитывающие влияние пространственного заряда на перенос ионов соли (Б.П. Графов, А.А. Черненко, А.В. Листовничий, М.Х. Уртенов, I. Rubinstein, L. Shtilman), являются одномерными, даже если изучаемый процесс исследуется на плоскости или пространстве.
Имеющиеся асимптотические методы погранслойных функций Люстерника Л. А., Вишика М. И., Васильевой А.Б. и Бутузова В.Ф. и других удобны для решения краевых задач мембранной электрохимии при допредельных токах. Однако при запредельных токах вырожденные задачи, лежащие в основе этих методов, не имеют решения во всей области, поэтому необходимо эти методы модифицировать, использовать их в сочетании с методом согласования асимптотических решений, с новыми методами, разработанными специально для краевых задач мембранной электрохимии.
Таким образом, тему диссертационной работы, посвященной построению двумерных моделей переноса ионов соли в мембранных системах с учетом пространственного заряда, разработке эффективных численных и асимптотических методов решения соответствующих краевых задач, следует признать актуальной.
Актуальность темы исследования подтверждается поддержкой, оказанной работе Федеральным Агентством по образованию и науке РФ в рамках темы 1.4.08 («Методы регулярного представления сингулярно возмущенных уравнений и их приложения. Метод модулирующих функций в обратной задаче теории фильтрации» (направление фундаментальных научных исследований «Рациональное природопользование») и гранта РФФИ-Юг (№ 09-08-96529 «Модифицирование поверхности ионообменных мембран с использование углеродных нанотрубок с целью совершенствования процессов электродиализного обессоливания и концентрирования»).
Объектом исследования является перенос бинарного электролита.
Предметом исследования математическое моделирование краевых задач переноса бинарного электролита.
Цель исследования. Разработка и исследование двумерных математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах, построение эффективных численных и асимптотических методов их решения.
Цель исследования предопределила следующие задачи исследования:
1. Построение математических моделей переноса бинарного электролита;
2. Построение эффективных численных и асимптотических методов решения краевых задач соответствующих моделей;
3. Разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов;
4. Установление основных закономерностей переноса бинарного электролита.
Научная новизна:
-
Выведена иерархическая система двумерных математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом пространственного заряда: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель без начального погранслоя (БНП), модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома (ЗОМ), модель с функцией Хэвисайда. Все модели, за исключением модели ЗОМ, являются оригинальными и не имеют аналогов;
-
Разработан новый асимптотический метод решения двумерных краевых задач соответствующих математических моделей, основной особенностью которого является следующее: 1) решение в разных областях имеют различные асимптотические разложения, типы уравнений для коэффициентов разложения зависят от области (например, в области электронейтральности – эллиптический, в области пространственного заряда - параболический), 2) в области пространственного заряда для текущего асимптотического приближения получаем неопределенную систему, а для следующего переопределенную, поэтому для однозначной разрешимости текущего асимптотического приближения используем условие разрешимости для следующего приближения;
-
Предложены алгоритмы численного решения двумерных краевых задач математических моделей переноса бинарного электролита на основе модификации метода установления, которая заключаются в следующем: вводится специальный дифференциальный оператор, имеющий разный тип в разных областях и два разных времени;
-
Установлены основные закономерности переноса бинарного электролита и показано: а) существенное влияние пространственного заряда на перенос в камере обессоливания, б) вместо исходной краевой задачи можно рассматривать значительно более простую краевую задачу в приближении закона Ома, в) область камеры обессоливания разбивается на области пространственного заряда, примыкающие к мембранам, область электронейтральности в ядре потока и промежуточный слой между ними, а также на погранслои вблизи границ, г) закономерности изменения электрохимических полей по времени и ширине канала обессолевания.
Научная и практическая значимость
1. Разработанные в работе алгоритмы решений модельных задач реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ и могут быть использованы на практике для выбора оптимальных технологических параметров работы мембранных систем.
2. Методы асимптотического и численного решения краевых задач, предложенные нами, могут быть применены при решении краевых задач для систем квазилинейных уравнений математической физики.
3. Установленные нами основные закономерности переноса бинарного электролита могут быть использованы научно-исследовательскими группами, проектными организациями при разработке новых конструкций электродиализных аппаратов водоподготовки с целью повышения эффективности этих аппаратов.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Иерархическая система математических моделей переноса в бинарного электролита в мембранных системах: модель переноса бинарного электролита в декомпозиционных переменных, модель переноса бинарного электролита в проточной мембране, модель без начального погранслоя, модель переноса бинарного электролита в приближении закона Ома, модель с функцией Хэвисайда.
-
Новое уравнение для функции тока, устанавливающее соответствие между функцией тока, напряженностью электрического поля и концентрацией электролита для двумерного случая с учетом пространственного заряда.
-
Алгоритмы асимптотического и численного решения, соответствующих краевых задач соответствующих математических моделей.
-
Основные закономерности переноса бинарного электролита в мембранных системах с учетом пространственного заряда: распределение областей электронейтральности, пространственного заряда, промежуточных и пограничных слоев, закономерности изменения электрохимических полей по ширине и длине камеры обессоливания электродиализного аппарата.
-
Комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов
Внедрение. Результаты диссертационного исследования использованы в работе инновационного технологического Центра «Кубань-Юг» при проектировании новых систем водоподготовки, в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Кубанский технологический университет».
Достоверность результатов. Достоверность исследований подтверждается согласованием их с результатами других авторов, когда это возможно.
Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены лично автором. Диссертантке принадлежат: иерархическая система математических моделей переноса бинарного электролита в мембранных системах, алгоритмы численного и асимптотического решения краевых задач соответствующих математических моделей, комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата и проведение вычислительных экспериментов. Ею лично выявлены основные закономерности переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены:
1.На 13 Международных, Всероссийских и Региональных конференциях: «Ion transport in organic and inorganic membranes» (Krasnodar 2009 - 2010), VI-VII Всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа (2009, 2010)); на научных конференциях студентов и аспирантов КубГУ ( 2006- 2009гг) и КубГТУ ( 2007- 2011 гг);
2.На научных семинарах кафедры прикладной математики КубГУ (2006,2007,2009гг), прикладной математики КубГТУ (2007- 2010г)
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 27 печатных работ, из них 1 монография, 16 статей, 9 тезисов докладов, в том числе 6 статей в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских и кандидатских диссертаций, 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (142 наим.). Работа изложена на 167 стр., в том числе содержит 12 рисунков.
