Содержание к диссертации
стр.
Введение 6
Глава 1. Уравнения Колмогорова для марковских моделей систем с взаимодействием
Марковские процессы на дискретном множестве Nn .... 39 1.1.1. Первая и вторая системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей 41
Многомерные производящие функции 42
Марковские процессы с взаимодействием 44
Модели систем с превращениями частиц типов Ti,...,Tn. Схема взаимодействий 45
Второе уравнение для производящей
функции переходных вероятностей 47
1.4. Ветвящиеся процессы с взаимодействием 48
Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей 49
Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей 51
Ветвящиеся процессы. Система нелинейных дифференциальных уравнений 53
Класс процессов В$ 54
Выводы к главе 1 55
Глава 2. Приложения в формальной кинетике. Обзор известных результатов
2.1. Типы процессов рождения и гибели 57
2.1.1. Точные решения уравнений Колмогорова 60
стр.
2.1.2. Вероятностные модели цепных реакций 62
2.2. Марковские модели химических реакций. Закон
действующих масс 65
Мономолекулярные реакции 66
Бимолекулярные реакции 70
Статистическое моделирование процесса "хищник-жертва" при дискретных состояниях 75
Стационарное распределение для системы взаимодействующих частиц при дискретных состояниях .... 83
Распределение числа финальных частиц в модели
ЄіТг -» 7іТі + 72Т2 87
Глава 3. Точные решения стационарного первого уравнения для моделей с парными взаимодействиями
3.1. Уравнение для экспоненциальной производящей
функции финальных вероятностей 94
3.2. Вероятности вырождения для модели с взаимодействиями
2Т-+к2Т,Т -+кгТ 96
3.2.1. Асимптотические свойства 105
3.3. Финальные вероятности для модели с взаимодействиями
частиц типов Ті и Т2 106
Система функциональных уравнений для производящих функций финальных вероятностей 114
Исследование характеристического уравнения .... 117
Частные схемы взаимодействий 120
Применение метода Римана для схемы взаимодействий Ті+Т2->7іТі + 72Т2,7і+7і<2 131
3.4. Финальные вероятности для модели эпидемии
Ті+Т2-+ТиТ1->0 143
3.4.1. Применение метода Римана 147
стр.
3.4.2. Распределение числа финальных частиц 152
Выводы к главе 3 155
Глава 4. Точные решения нестационарных уравнений для моделей с парными взаимодействиями
Нелинейное уравнение теории ветвящихся процессов. Свойство ветвления для модели Т —> кТ 158
Модель со схемой взаимодействий 2Т —> кТ 162
Решение первого и второго уравнений для процесса гибели квадратичного типа 164
Вывод нелинейного уравнения для процесса гибели . . 169
Вывод нелинейного уравнения для процесса рождения . 171
Нелинейное свойство модели и функция Грина для параболических уравнений 173
Вывод нелинейного уравнения для процесса
рождения и гибели в критическом случае 175
4.3. Нелинейное уравнение для модели с финальными
частицами 27\ -4 7i?i + 72^2 177
4.4. Решения второго уравнения для моделей со схемами
2Т -> к2Т, Т -+ к\Т в критическом случае 183
4.4.1. Модель с иммиграцией 0 - к0Т 187
4.5. Незамкнутые решения первого и второго уравнений
для одномерных и двухмерных процессов гибели 189
Модель со схемой 2Т -» к2Т, к2 = 0,1; Т -» 0 189
Модель со схемой Тг + Т2 - ^Т\ + 72?2, 7i + 7i ^ 1 191
Модель бимолекулярной реакции Ті + Т2 —> Т3 . . . .193
Глава 5. Анализ марковских моделей систем
с взаимодействием при дискретных состояниях
5.1. Системы частиц в статистической физике. Цепочка уравнений
стр.
для моделей с дискретными состояниями 196
Принцип тождественности частиц. Теорема Финетти-Хинчина о симметрии и кинетическое уравнение 199
Преобразование фазового пространства траекторий
частиц для системы с взаимодействием к множеству деревьев . . 202
5.4. Нелинейное свойство для модели Т —>-0 205
Выводы к главе 5 214
Выводы 216
Литература 219
Приложение. Текст программного комплекса.
Пользовательский интерфейс 233
*
Введение к работе
1. Актуальность темы. В диссертационной работе рассматри
ваются стохастические модели систем с взаимодействием в виде мар
ковских процессов рождения и гибели при дискретном множестве со
стояний JVn, N = {0,1,2,...}, и непрерывным временем , t Є [0,сю).
Точка фазового пространства а = («і,..., ап) Є Nn интерпретируется
как такое состояние системы, в котором имеется совокупность частиц
$а = otiTi + ... + anTn, состоящая из ах частиц типа Ті, ..., ап час
тиц типа Тп; переход случайного процесса в другое состояние — ре-
* зультат взаимодействия одного из комплексов частиц 5сі, є1 Є А, где
А = {є1,.. .,є1} С Nn — заданное множество. Результат взаимодействия комплекса частиц не зависит от наличия других частиц в системе. Такие модели являются подклассом дискретных систем со стохастическим характером эволюции, определяемым случайными процессами взаимодействия элементов системы между собой и с окружающей средой. В литературе по математическому моделированию для отдельных элементов в системах этого подкласса используется название "частица", что обусловлено спецификой элементов таких систем и процессов их взаимодействия. При различии физической природы, происхождения и масштабов систем взаимодействующих элементов, существенным является то, что определяемые для исследования этих систем математические модели основаны на понятиях и результатах теории вероятностей и теории случайных процессов. Рассматриваемые в диссертации модели являются однородными во времени марковскими процессами с конечным или счетным множеством состояний, важным свойством которых является то, что их поведение определяется инфинитезималь-ными характеристиками и начальным распределением. Основопола-
гающий вклад в разработку и анализ стохастических моделей систем взаимодействующих частиц внесли отечественные ученые А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, М.А. Леонтович, Н.Н. Боголюбов, Б.А. Севастьянов, Р.Л. Добрушин. Существенный вклад в развитие этого научного направления внесли зарубежные ученые М.С. Бартлетт, Т.Е. Хар-рис, Н.Т. Бейли, А.Т. Баруча-Рид, И. Пригожий, Ж. Гани, Т. Куртц, Н.Г. Ван Кампен и др.
1.1. Марковская модель без взаимодействия при дискретных состояниях определяется как однородный во времени марковский ветвящийся процесс в фазовом пространстве А/", переходные вероятности которого Pij(t), i,j Є N, t Є [0, oo), удовлетворяют при t —> 0+ условиям (Л > 0) [74]:
Pij(t) = ipj-i+1Xt + о (і), j ^ і - 1, j ф г;
Pij(t) = l-i\t + o(t), j = i; (B.l)
Pij(t) = o(t), j где рк ^ 0, к Є N; Y^kLoPk = 1> Pi = 0. Свертывая вторую (прямую) и первую (обратную) системы дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей с помощью производящих функций OO OO j оо j=0 г=0 ' к=0 получаем уравнения в частных производных (|s| ^ 1): ^ _*(«.)_.>«5М, m.)-S (В.2) — второе, и первое — % = HKl) - lh ^*i') = e", (В.З) где h I -т^) = 53*!_o Рк -р; Из уравнения первого порядка (В.2) нетрудно получить [48], [98], что Я(«; *) = *;(*; в), ieN, (В.4) то есть переходные вероятности удовлетворяют нелинейному свойству jl+J2 + ---+ji = j Последнее равенство означает, что если состояние і модели интерпретировать как наличие і частиц, то отдельные частицы эволюционируют независимо друг от друга. Из (В.4) следует T{t\z\s) = ezFl^t]S\ и подставляя это выражение в (В.З), получаем нелинейное уравнение ^М = Л(М^1^ *))-Я(*; *)), F1(0;s) = s, (В.5) являющееся основным при исследовании моделей ветвящихся процессов. 1.2. Простейшая марковская модель с парными взаимодействиями ЯВЛЯеТСЯ Обобщением МОДеЛИ (В.1). ПереХОДНЫе ВерОЯТНОСТИ Pij(t), hj Є N, такой модели удовлетворяют при t —> 0+ условиям: Pij(t) = o(t), j где pk ^ 0, к Є N\ YlkLoPk = 1, f>2 = 0. Из второй и первой систем Колмогорова для переходных вероятностей получаем дифференциальные уравнения для производящих функций, В случае уравнения второго порядка (В.7) нелинейное свойство (В.4) для переходных вероятностей не выполнено. Если состояние і модели интерпретировать как наличие і частиц, то частицы зависят друг от друга, или взаимодействуют. Исследование модели с взаимодействием (В.7), (В.8) не сводится к уравнению вида (В.5), как в случае модели (В.2), (В.З). Актуальным, в частности, является вопрос, в какой степени известные методы исследования марковских моделей без взаимодействия могут быть перенесены на марковские модели с взаимодействием — в первую очередь, имеется ли аналог нелинейного свойства (В.4) для моделей с взаимодействием. Для этого в настоящей диссертации строятся явные решения уравнений вида (В.7), (В.8) и их обобщений на более сложные модели с взаимодействием. 2. Обзор исследований в этой области. Данная выше интерпретация марковских процессов на Nn показывает, что рассматриваемые в диссертации модели систем при дискретных состояниях могут описывать широкий класс реальных систем взаимодействующих элементов, в которых одни элементы системы превращаются в другие элементы в результате взаимодействия нескольких существующих в данный момент. М.А. Леонтович [1] дал модель стохастической системы с попарно сталкивающимися частицами в виде марковского процесса на фазовом пространстве всех n-мерных векторов с целыми неотрицательными компонентами и указал на связь между такой моделью бимолекулярной химической реакции и детерминированным описанием кинетики такой реакции — законом действующих масс (см. также [11], гл. 8, "Приложения в химии"). Близкие к модели [1] марковские процессы на JV2 изучались в [5] как модели кинетики цепной реакции рождения нейтронов с учетом ядер тяжелых элементов. В [7], [8] методы теории марковских процессов с дискретными состояниями применялись к исследованию неравновесных пространственно-однородных стохастических моделей физико-химических процессов в многокомпонентном разреженном газе. Марковские процессы рождения и гибели на N и N2 рассматриваются в связи с применениями в теории массового обслуживания [23] и в теории надежности [22]. Б.А. Севастьянов [75] определил модели ветвящихся процессов с взаимодействием — класс марковских процессов на Nn> который обобщил ряд рассматриваемых ранее марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях. Определение модели [75] является строгим с точки зрения теории случайных процессов (определено вероятностное пространство (Q, Д, Р)) и в нем соблюдены феноменологические законы кинетики и ряд положений статистической физики. Аналитический метод исследования марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях сводится к рассмотрению первой и второй систем дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей марковских процессов. Число случаев, для которых удается найти явное решение уравнений Колмогорова для процессов со счетным множеством состояний, невелико; известные решения относятся к процессам рождения и гибели на N: процесс простой гибели, процесс чистого рождения, процесс рождения и гибели пуас-соновского типа (выражения для переходных вероятностей содержат бесселевы функции), процесс рождения и гибели линейного типа и некоторые модификации указанных процессов. Данные в [1], [5], [8], [11], [12], [13], [75] и другие примеры применения аналитического метода при рассмотрении моделей систем с взаимодействием характеризуются использованием многомерной производящей функции для записи второго уравнения Колмогорова в виде уравнения в частных производных (линейное уравнение). Детально исследованным классом марковских моделей на Nn являются ветвящиеся процессы с невзаимодействующими частицами [74], когда второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей есть уравнение в частных производных первого порядка. Из независимости эволюции частиц следуют нелинейные свойства переходных вероятностей и нелинейное уравнение для одночастичной производящей функции переходных вероятностей, полученные А.Н. Колмогоровым и Н.А. Дмитриевым [31], и ставшие основой применения аналитических методов для моделей систем без взаимодействия. Уравнение работы [31] относится к виду кинетических уравнений для одночастичной функции распределения [36]. В статистической физике для сие- тем взаимодействующих частиц принято описание с помощью цепочки функциональных уравнений для многочастичных функций распределения [37]; таким цепочкам уравнений и уравнениям для одночастичных функций распределения в моделях неравновесных физико-химических процессов с непрерывным фазовым пространством и их математической теории посвящена обширная литература, см. [36]. В диссертации показано, что первая система дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей является цепочкой уравнений в случае марковской модели системы с взаимодействием. Таким образом, из [31] и [37] следует задача выявления нелинейных свойств и вывода нелинейных уравнений для таких стохастических моделей. Для решения данной проблемы строятся точные замкнутые решения первого и второго линейных уравнений для переходных вероятностей. Второе уравнение Колмогорова, как уравнение в частных производных порядка выше первого, рассматривалось в [1], [5], [8], [75] и др. D.A. McQuarrie, C.J. Jachimowcki, М.Е. Russel [102], D.A. McQuarrue [103] получили незамкнутое решение уравнения (В.7) в случаях h(s) = 1 и h(s) = s в виде ряда, содержащего многочлены Геген-бауэра. Для многих других моделей систем с взаимодействием решение нестационарных или стационарных уравнений приводит к выражениям для производящих функций искомых вероятностей состояний в виде рядов по специальным функциям. J. Letessier и G. Valent (см. обзор [108], [106], [107] и др.) методом разделения переменных получили решения второго уравнения в виде рядов по гипергеометрическим функциям для некоторых процессов рождения и гибели квадратичного, кубического и биквадратичного типов. Основные аналитические трудности связаны с суммированием этих рядов, приведением решений такого вида к замкнутой интегральной форме. В изучении асимптотических свойств марковских моделей с взаимодействием достигнут существенно меньший прогресс по сравнению с родственными задачами для марковских моделей ветвящихся процессов. И.С. Бадалбаев, А.В. Дряхлов [95] рассмотрели залачу об асимптотическом поведении вероятности продолжения в модели (В.7) с парными взаимодействиями при частных случаях функции /i(s). Марковская модель в взаимодействием частиц разных типов (процесс на N2) связана со случайными блужданиями в четверти плоскости, асимптотические задачи для которых рассматривались В.А. Малышевым [24], Ю.И. Громак, В.А. Малышевым [25], А.А. Могульским, Б.А. Рогозиным [29]. Асимптотические задачи для моделей с взаимодействием на N рассматривали W.A.O'N. Waugh [111], [112], P.R. Parthasarathy [113], В.И. Решетняк [93], Р.В. Бойко [94]. Частными случаями общей марковской модели с взаимодействием при дискретном фазовом пространстве являются модели распостранения эпидемии, см. работы М.С. Бартлет-та [12], Н. Бейли [13], G. Weiss [118], V. Siskind [114], J. Gani [115], A.H. Старцева [116] и др. Замкнутые решения уравнений Колмогорова дают возможность простого вывода тех или иных асимптотических свойств и предельных теорем для вероятностных моделей систем с дискретными состояниями; примеры рассмотрения таких свойств даны в диссертации. При использовании марковских процессов в качестве стохастических моделей, как правило, возникает и требует решения общая для математического моделирования проблема оценки влияния на характеристики моделей точности значений задаваемых параметров модели [6]. Проблема получения точных решений уравнений Колмогорова для рассматриваемых моделей систем с взаимодействием является актуальной, и ее решение не только представляет теоретический интерес, но и имеет практическое значение для исследования дискретных стохастических систем методами математического моделирования при использовании в качестве моделей марковских процессов. 3. Цель работы. Основной проблемой, на решение которой направлена диссертация, является анализ задач, возникающих при мате- матическом моделировании стохастических систем с взаимодействием с помощью марковских процессов со счетным множеством состояний и изложение методов и подходов к их решению на основе первого и второго дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей. Даны примеры применения аналитических методов при рассмотрении реальных процессов превращения частиц из различных областей естественных и технических наук. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации впервые предложен систематический подход к рассмотрению марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях. Основные результаты диссертации. Построена общая стохастическая модель системы с взаимодействием при дискретных состояниях, включающая в себя ряд моделей, рассматривавшихся ранее. Для частных случаев дана классификация на основе рассмотрения специальных классов марковских процессов с множеством состояний Nn. Найдены формы записи дифференциальных уравнений Колмогорова для производящих функций переходных вероятностей для различных классов марковских моделей систем с взаимодействием. Предложен метод экспоненциальной производящей функции для решения стационарной первой системы уравнений Колмогорова. Даны примеры применения метода для нахождения финальных вероятностей в моделях систем с парными взаимодействиями частиц одного или разных типов. Предложен способ построения замкнутых решений первого и второго нестационарных уравнений для марковских процессов рождения и гибели квадратичного, пуассоновского, полиномиального и других типов. Метод применен к модели системы с парными взаимодействиями частиц одного типа и ее обобщению с частицами финального типа. Получены точные решения первого и второго уравнений для марковских моделей на Nn7 являющиеся новыми и обобщающие известные решения. Выявлены нелинейные свойства марковских моделей систем с взаимодействием. Изложен способ статистического моделирования на ЭВМ марковских систем с взаимодействием на примере процесса "хищник-жертва" при дискретных состояниях и проведено исследование этого процесса. Проведен анализ марковских моделей с взаимодействием при дискретных состояниях как стохастических систем взаимодействующих частиц статистической физики. Методы исследования. В диссертации применялись методы теории вероятностей, теории марковских процессов с непрерывным временем, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Использовался аппарат специальных функций: ортогональные многочлены; бесселевы функции; гипергеометрические функции; эллиптические функции. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Решены задачи, имеющие значение для развития теории математического моделирования и теории стохастических систем. Предложенные в диссертации аналитические методы решения уравнений Колмогорова могут найти применение в общей теории случайных процессов. Практическая значимость результатов состоит в возможности их использования для исследования различных вероятностных моделей реальных систем с взаимодействием, когда в качестве моделей используются конечные и счетные однородные марковские процессы с непрерывным временем. Примеры систем с взаимодействием, моделями которых являются марковские процессы, часто встречаются в физике, химии, биологии, теории массового обслуживания и теории надежности. Результаты диссертации представляют интерес для исследований в таких областях теории неравновесных процессов и физико-химической кинетики, как взаимосвязь стохастического и кинетического описаний эволюции разреженного газа, свойства кинетических уравнений, схемы и константы скорости химических реакций. Методы, применяемые в диссертации, могут быть использованы при изучении более сложных моделей случайных систем с взаимодействием. В основу диссертации положены результаты научных исследований, выполненных автором в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана. Часть изложенных в диссертации результатов получена автором в качестве соисполнителя научно-исследовательских работ по темам, включенным в план НИР МГТУ им. Н.Э. Баумана: НИР 4.1/2000 "Стохастический анализ многомерных моделей функционирования сложных систем в теории надежности и массовом обслуживании"; НИР N 4/2001 "Разработка теории и методов математического моделирования при анализе функционирования и устойчивости континуальных и дискретных систем"; НИР N 5 - 2/2002 "Разработка методов стохастического оценивания показателей надежности и финансовых рисков при функционировании сложных систем по разнородным данным". Материалы диссертации используются в учебном процессе: автором в МГТУ им. Н.Э. Баумана с 1998/1999 учебного года читается обязательный семестровый курс "Дополнительные главы теории случайных процессов" для студентов специальности "Прикладная математика" факультета "Фундаментальные науки" [144]. 8. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Главы диссертации подразделены на двадцать четыре пункта. Нумерация пунктов отдельная для каждой главы. Некоторые результаты сформулированы в виде теорем. При ссылке на теорему слева добавляется номер главы. Например, теорема 3.1 означает теорему 1 главы 3. В диссертации список литературы из 152 наименований. Текст изложен на 232 страницах, включая 42 рисунка и таблицу. Приложение на 23 страницах содержит текст программного комплекса. 9. Результаты. Каждая из глав диссертации предваряется кратким описанием ее содержания. Глава 1 содержит вывод основных уравнений рассматриваеммых марковских моделей, на эту главу опираются все следующие главы. Глава 2 является обзорной, за исключением 2.3, где даны результаты статистического моделирования. Изложение в главах 2, 3, 4 не зависит друг от друга; основные выводы главы 5 опираются на результаты главы 4. В первой главе приведены определения специальных классов марковских процессов со счетным множеством состояний и непрерывным временем, интерпретируемых как модели систем с взаимодействием при дискретном фазовом пространстве. Получены первое и второе уравнения для производящих функций переходных вероятностей рассматриваемых марковских моделей. В 1.1 дан обзор используемых далее результатов теории марковских процессов. Пусть Nn = {a = (ai, аг,...,схп), с^ = 0,1,2,..., г = 1,...,п} — множество всех n-мерных векторов с неотрицательными целочисленными компонентами. Множество М составляют однородные во времени марковские процессы () = (i (), г(*)> * > «(*))» * ^ Ф» )> на фазовом пространстве Nn. Обозначим переходные вероятности Pap(b) = P{(t) = (3 | (0) = a}, a,/З Є Nn. Марковский процесс задается плотностями переходных вероятностей аар = (dPa/s(t)/dt)\t=o+ (ин-финитезимальные характеристики). Выполнены обычные при рассмотрении таких процессов условия, при которых переходные вероятности удовлетворяют первой (обратной) системе дифференциальных уравнений Колмогорова и второй (прямой) системе дифференциальных уравнений Колмогорова для переходных вероятностей = Ра-у(0<Ч* PeNn; начальные условия Раа(0) = 1, Ра/з(0) = 0 при а ф /3. В 1.2 даны необходимые сведения о многомерных производящих функциях. В 1.3 определено множество марковских процессов с взаимодействием Mi. Пусть фиксировано конечное множество векторов А = {є1 = (є\,..., єгп) Є Nn, і = 1,...,/}. Каждому вектору єг Є Л сопоставим распределение вероятностей на iVn, {рг7 ^ 0, Yl7Pj = 1> P\i — 0}> и набор чисел {<рга ^ 0, а Є iVn; <рга = 0, если при некотором к otk < єгк}. Для процесса из множества Мі полагаем плотности переходных вероятностей равными ааа = -J^i=1 Fa(t;s) = J2Popes'3', /i;(s) = J>^, і = 1,..., J; |«| < 1. /З у где >i — оператор обобщенной производной, определенный на аналитических в окрестности нуля функциях, А(Х>/^) = Х>/^_*\ г = 1,...,/. Марковский процесс () из множества Mi есть модель системы взаимодействующих частиц п типов Ti,...,Tn. Событие {() = а} можно интерпретировать как такое состояние системы, в котором в момент времени t имеется совокупность Sa частиц, состоящая из а^ частиц типа Ті, ..., ап частиц типа Т„: Sa = «іТі + . + о>пТп. Зададим I комплексов взаимодействия частиц Sei, соответствующих векторам єг Є А. Через случайное время т, P{r^ ^ t} = 1 — e_v"*, происходит взаимодействие комплекса частиц Sei. В этот момент из а\ частиц типа Т\ выбирается е\ частиц, ..., из ап частиц типа Тп выбирается єгп частиц, и этот комплекс частиц Sei с распределением вероятностей {ply} заменяется совокупностью 5Т новых частиц. Система из состояния 5а, соответствующему вектору а, переходит в состояние 5а_Ег+7, соответствующее вектору а — єг + 7, и далее аналогичная эволюция системы частиц. В состоянии Sa система находится случайное время та, пока не произойдет какое-либо из I взаимодействий, то есть та = min(r*,.. ,,r„). Предполагается, что случайные величины т*,..., т независимы. Тогда Р{та ^ t} = 1 — е~((Ра+'"+ч>")і и вероятность, что произошло взаимодействие комплекса частиц 5t, при условии, что взаимодействие произошло, равна <РаЄг=і ^а)-1 (РЗ], гл. 1, 2). Возможные превращения частиц в такой системе представляют схемой взаимодействий: 'e}Ti+ejT2 + ... + eir„ -» 7Ї2і+7№ + ... + 7ІГ„; < eJTi + 4 + ... + е^Гп -4 7J7i+7^2 + ... + 7;Tn; (В.10) leiTi + eira + .-. + ^Tn -> 7}Ті+7ІГ2 + ... + тіТп, где случайный вектор у = (7!>7г\-->7п) имеет распределение {р^,}, * = 1,...,/. В 1.4 рассматривается основной класс стохастических моделей, исследуемых в диссертации — класс марковских процессов 1 [75]. Плотности переходных вероятностей аар ветвящегося процесса с взаимодействием выбраны таким образом, что оператор обобщенной производной в уравнении (В.9) совпадает с частной производной. Теорема 1.3. Производящая функция переходных вероятностей Fa(t;s) ветвящегося процесса с взаимодействием при любом а Є Nn удовлетворяет при \s\ ^ 1 линейному дифференциальному уравнению в частных производных (Л^ > 0, і — 1,... ,п) «^ = 5>(М.)-.'')^4, *,«>;.) = .«. (В.11) г=1 Для свертки первой системы уравнений Колмогорова вводятся экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей (z = (*i,...,*n), za = zj*1...*"», a! = ai!...an!) и линейные операторы с постоянными коэффициентами h (—\ - \^ i — -і дУ - d7l+'"+7n Теорема 1.2. Экспоненциальная производящая функция переходных вероятностей G(s(t; z) ветвящегося процесса с взаимодействием при любом /З Є Nn удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных В 1.5 кратко изложены положения теории ветвящихся процессов [74]. Класс марковских процессов В і выделяется из класса і?2 условиями |єг| ^ 1, г = 1,...,/. Пусть для определенности А = {є1 = (1,0,...,0), є2 = (0,1,0,...,0), ..., є1 = (0,...,0,1,0,...,0)}. Второе уравнение (В.11) получает вид уравнения в частных производных первого порядка его решение обладает свойством Fa(t; s) = F? (t; s)F«* (t; s)... F? (*; s)^1 ...<", а Є Nn. (B.12) Свойство ветвления (B.12) — основное свойство, выделяющее из марковских процессов класс ветвящихся процессов — состоит в том, что если событие {() = ос} интерпретировать как наличие системы частиц Sai то частицы, существующие в момент времени і, в любой следующий момент t\ + t, t > 0, эволюционируют и порождают новые частицы независимо друг от друга. Из (В. 12) следует система обыкновенных дифференциальных уравнений: ^^^ = Ai(/ii(f,ei(t;e),...,F,i(t;e),e,+1,...,en)-Fe<(*;»)), (ВЛЗ) г = 1,..., /; с начальными условиями Fei (0; s) = si,..., Fei(0', s) = s/. Нелинейное свойство (B.12) и система нелинейных уравнений (ВЛЗ) определили возможность аналитического исследования моделей класса Вг [74]. В заключительном к главе 1 пункте обсуждается соотношение М Э Mi D ?2 Э В\у где М — множество всех марковских процессов на iVn, множество Mi описано в 1.3, В2 — класс ветвящихся процессов с взаимодействием, Bi — класс ветвящихся процессов. Результаты главы 1 показывают возможность переноса аналитических методов исследования марковских моделей класса В\ на стохастические модели других классов, при этом важной задачей является выявление аналога нелинейного свойства переходных вероятностей (В. 12) для стохастических моделей с взаимодействием. Стохастические модели систем с взаимодействием как частные случаи марковских процессов на Nn определялись в большом числе работ, посвященных конкретным задачам физической кинетики, химической кинетики, динамике популяций в экологических системах, в теории массового обслуживания, в теории надежности и др., что объясняется наглядностью фазового пространства Nn. Во второй главе дается обзор ряда результатов для различных схем взаимодействий. Принципы и методы моделирования систем с взаимодействием марковскими процессами при дискретных состояниях рассматриваются на примерах моделирования физических, химических и биологических систем. В 2.1 дается вывод первого и второго уравнений для производящих функций переходных вероятностей процесса рождения и гибели, "вложенная цепь Маркова" которого является случайным блужданием, и приведены известные явные решения этих уравнений. Приведены результаты об асимптотическом поведении среднего числа частиц в процессах рождения и гибели линейного, степенного и пуассоновско-го типов. Такие вероятностные модели из множества Mi описывают, соответственно, экспоненциальный, степенной и линейный рост числа "активных" частиц на начальной стадии ядерной цепной реакции [5]. В 2.2 рассматриваются стохастические модели химических реакций. Схему взаимодействий вида (В. 10) называют кинетической схемой химической реакции, отдельная строка соответствует элементарному акту реакции [2]. Схемой (В.10) может быть учтено как образование финального продукта в реакции, так и поступление реагентов в систему извне. Выбор характеристик oajg для моделей классов J3i, 1 определен детерминированными законами формальной кинетики. Процессы из класса J5i служат моделями мономолекулярных химических реакций, процессы из класса Вч служат моделями бимолекулярных реакций. Приводятся основные дифференциальные уравнения формальной кинетики — для реакций Т\ -> Т2 и Ті + Т2 — Тз, и соответствующие им модели из Ві и Вг. В первом случае закон кинетики соблюдается как точный для среднего числа частиц, во втором случае уравнение закона действующих масс соблюдается как приближенное для среднего числа частиц, при большом начальном числе частиц; полагают a = (паі,по!2,паз) и n —> со (предельный переход соответствует принятому в статистической физике термодинамическому предельному переходу [36]). Впервые с точки зрения указанного предельного перехода была рассмотрена в [1] марковская система с парными взаимодействиями Ті + Tj —» Tfe + Ті, і, j, к, І = 1,..., п. В 2.2 приведены уравнения формальной кинетики для других бимолекулярных схем и соответствующие им марковские модели. Моделями самых разнообразных реакций могут служить процессы из множества Mi. Используемое при построении рассматриваемых в диссертации моделей систем с взаимодействием марковское свойство не всегда выполнено для реальных физических систем. Подробное описание физических требований, при которых допустимо представление химической реакции как марковского процесса, дано в [7]. В 2.3 изложены результаты статистического моделирования системы с двумя типами частиц Ті, Т2 и схемой взаимодействий: Ті + Г2 -» 2Гі; Гі -» 0; Т2 -> 2Т2. В работах по динамике популяций частицы типа Т\ интерпретируются как "хищники", частицы типа Т2 как "жертвы". Второе уравнение имеет вид (Л > 0, /х > 0, р > 0): Для моделирования на ЭВМ создан программный комплекс (см. приложение к диссертации), использовалось данное в 1.3.1 конструктивное описание модели при помощи случайного времени r(aia2) нахождения марковского процесса в состоянии (0:1,0:2)- Статистическими экспериментами приближенно определена область значений параметров Л, ц, р, когда стохастические реализации рассматриваемого процесса устойчиво имеют колебательный вид, что характерно для детерминированного описания экологической системы "хищник-жертва". Стохастические модели с взаимодействием частиц при дискретных состояниях, совпадающие с рассматриваемыми в диссертации, изучались через численный эксперимент в работах [19], [9], где исследовались реальные явления. В 2.4 изложены результаты работ [1] и [78]: для некоторых моделей систем с взаимодействием из классов В\, 1 стационарное распределение при t —> со совпадает с принятыми в равновесной статистической физике каноническими распределениями. Для нахождения предельного стационарного распределения вероятностей решается стационарное второе уравнение (В.11). В 2.5 приведены результаты о распределении числа финальных частиц типа Т^ в модели Є\Т\ —» 71^1 + 72^2> где єг = 2,3,... [79]. В третьей главе для моделей с парными взаимодействиями построены точные решения стационарного первого уравнения Колмогорова. Предельное поведение реальных физических, химических, биологических систем взаимодействующих частиц очень разнообразно. Для марковских моделей при дискретных состояниях предельное поведение при t —> оо определяется классификацией состояний соответствующего марковского процесса. Основные случаи — когда случайный процесс попадает в поглощающее состояние (дальнейшее взаимодействия невозможны и система частиц навсегда остается в таком состоянии) или уходит на бесконечность и когда процесс приходит к стационарному положению. Для нахождения финальных вероятностей (вероятностей вырождения процесса в поглощающих состояниях) решается стационарная первая система дифференциальных уравнений Колмогорова. Рассматриваемые в главе 3 стохастические модели определялись в работах по динамике экологических систем: процессы рождения в популяциях с одним или двумя полами и процессы эпидемии. Изложен предложенный диссертантом [76], [77] метод нахождения финальных вероятное- тей для систем с взаимодействием путем репіения уравнения в частных производных для экспоненциальной (двойной) производящей функции. Получены интегральные представления финальных вероятностей для схем с парными взаимодействиями. В 3.1 получено первое стационарное уравнение для экспоненциальной производящей функции предельных вероятностей марковских моделей класса В^. Пусть Pap{t) — переходные вероятности однородного марковского процесса на множестве Nn. В общей теории процессов со счетным множеством состояний показано, при выполнении условий, данных в 1.1, что существуют пределы да/з = lim^oo Pap(t), а,/З Є Nn. Предельные вероятности qap не обязательно составляют распределение вероятностей, Y^e Q<*P ^ 1* Введем производящие функции »(*) = 5**' PN"- Теорема 3.1. Экспоненциальная производящая функция предельных вероятностей gp(z) ветвящегося процесса с взаимодействием при любом /З Є Nn удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных производных г=1 В 3.2 рассмотрен марковский процесс t, t Є [0, со), на множестве состояний N = {О,1,2,...}, с переходными вероятностями Pij(t), i,j Є iV; схема взаимодействий в модели: Производящая функция Fi(t\s) = 5^0-(*)**'» * е N (lsl ^ *)» удовлетворяет второму уравнению (Л > О, (л > 0) ——— = \{h2{s) - s )—^2— + M^i(s) - s)———, (B.14) с начальным условием i^(0;s) = s*. Состояние 0 является поглощающим. Получены выражения для вероятностей вырождения qio = limt-юо Р{о(Ь), і Є N, при дополнительных для каждого из комплексов взаимодействия частиц предположениях о распределении случайного числа потомков {р| , к2 Є iV}, {Рк » ^i ^ -^} Экспоненциальная производящая функция вероятностей вырождения go{z) удовлетворяет стационарному первому уравнению: при граничном условии до(0) = 1- Введем параметры критичности а2 — X(h'2(l) — 2), а\ = /^(^(1) — 1). Все возможные варианты значений этих параметров можно разделить на три случая: 1) а2 > 0; 2) 02 = 0, а\ > 0; 3) а2 = 0, а\ ^ 0 или а2 < 0. В случае 3) имеем 9io = 1, і Є N. В 3.2 рассмотрен случай 1) при hi(s) = p\s2 + Pq, h2(s) = Рз$3 + p\s + p2\ дифференциальное уравнение (В.15) получает вид уравнения Лапласа *p\zg'i\z) + (-Az + №І)д'і(г) + (Xp2z - /и)д'0(г) + {Xp20z + црІ)д0(г) = 0, для которого точное решение найдено методом определенного интеграла. При сделанных предположениях имеем h2(s) — s2 = p2(s — 1)(5 — 2)(5 - 92)- Из условий а2 > 0 и Ро + Pi > 0 следует 0 < q2 < 1 и ~92 < 92 < 0. Теорема 3.5. Пусть hi(s) = p\s2 + pj, ^2(5) = Рз$3 + Pis+Po> причем pj + Ро > 0, 02 > 0 и Ро + Pi > 0« Положим V h1(q2)-q2 д /і М5г)-д2 * ^2 fe )-292 A /i2(<72)-292 и пусть о; > 0. Вероятности вырождения для модели 4 равны: J. I u- 142 «7 Vй- — 42 7 т »т а к РІ(1-«) 9іо = -г / —^ где константа А определяется условием goo = 1? РІ(1-ч) Известно, что для случая Л = 0, \i > 0: Qio = q{, і Є N, где gi — ближайший к нулю неотрицательный корень уравнения hi (s) — s = 0 [74]; а для случая Л > 0, ц = 0 (р2, > 0): Qio ~ Сог —> со, где Со > 0 и 2 — ближайший к нулю неотрицательный корень уравнения /^(s) — s2 = 0 [77]. Для модели теоремы 3.5 при г —> со получено „ - Й г 1 92а Г(а + /3) *а' 1-е (<й-$0в r(/3)F(l,/3;a + /3;c)' где с = (g2 - 9г)/(1 - g2) < 1; Т(а) — гамма-функция, F(a,l3;y;c) — гипергеометрическая функция. В 3.3 рассмотрена модель со схемой взаимодействий Тг+Т2 -> 71^1+72^. Получены интегральные представления для финальных вероятностей процесса. Состояние (0:1,0:2) Є N2 рассматриваемого марковского процесса () = (1 (),^(^))) ^ Є [0»)» с переходными вероятностями м/З^із) (^)> можно интерпретировать, например, как наличие совокупности из ai особей мужского рода и а2 особей женского рода. Через случайное время происходит взаимодействие разнополых особей с появлением случайного числа 7i потомков мужского рода и 72 потомков женского рода с распределением вероятностей {p7l72, (71*72) Є iV2, рп = 0}. Процесс переходит в состояние (ai +71 -1)^2+72-1)) далее аналогичная эволюция. Производящая функция переходных вероятностей (|в1| < 1, |*2| < 1) оо оо /?1,/32=0 71,72=0 * удовлетворяет второму уравнению -w~ = X(h(sus2)-s1s2) Экспоненциальная производящая функция вероятностей вырождения g/Q1 ) = Ит«_>оо ^(о *)М (поглощающее состояние (0,72) — остались особи одного рода), 0(0,^)(.) - 2^ -^1^-9(0,) > 72-1,2,.... аі,а2=0 удовлетворяет стационарному первому уравнению КІ7'А)-ж)]9(<,-)(гі,г2) = 0' (ВЛ6) с граничными условиями дг(0)72)(0,^) = ^/72^ ^(0,72)(^1^) = 0. Для линейного дифференциального уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами (В.16) характеристическим уравнением является уравнение h(s1,s2)-s1s2 = 0. (В.17) Пусть шиш' — положительные числа. Положим h = ехр{—-лгУ/о;}, z = ехр{7гш/(2а>)}. Определим эллиптическую функцию fy(u) равенством (периодами функции являются 4а;, 2га/) Mu) = (^)T{ Теорема 3.15. Пусть /i(si, s2) = P20S? + Рог^і + Poo- Положим 1 - л/1 - 4р20Р02 Р20Р00 о = —-— 1 + л/1 - 4р20Р02 ' 1 - 4р20Р02 ' /72(п) — эллиптическая функция с ш = 7Г\/Со, ^' = — а/Со~1п<7; Т = {и = ж-М2/,0^а;^4і<;,2/ = —а;'} — ориентированный по возрастанию х отрезок. Финальные вероятности равны («ъ^г) Є iV2, 72 = 1,2,..., где функции являются униформизацией римановой поверхности (В. 17). Модель исследована путем построения точного замкнутого решения задачи Дарбу-Пикара (заданы граничные условия на нехарактеристических кривых) для уравнения гиперболического типа (В.16); незамкнутое решение найдено методом Римана. В 3.3 получены аналогичные по структуре интегральные представления для Ц^Хл<Х\ в случаях h(s!,s2) = M5i) + *2^i(«i), h(slls2) = h0(s2) + 8lhi(82), где ho(s), hi(s) — положительные производящие функции. В [25] методом Винера-Хопфа найдено выражение для Яґ0') в симметричном случае M5bS2) = ^01^1^2 +^10^1^2 + P10S1 + P01S2 В СВЯЗИ С Применениями В теории массового обслуживания. В 3.4 рассмотрена модель с двумя типами частиц Ті, Тг и двумя комплексами взаимодействия є1 — (1,0), є2 = (1,1). На множестве состояний N2 рассматривается марковский процесс () = (1(^),62(^))5 t Є [0,оо), с переходными вероятностями P\al'a2\{t), второе уравнение для которого имеет вид (/л > 0) dFa(t;s) . ^d2Fa(t;s) , , \8Fa(t;a) с начальным условием Fa(0; s) = s* Событие {() = («1,012)} интерпретируется как наличие совокупности из «і частиц типа Ті и а2 частиц типа Т2. В работах по стохастическим моделям процессов распространения эпидемии частицы типа Ті интерпретируются как больные особи, частицы типа Т2 как особи, восприимчивые к инфекционному заболеванию [10]. В [5] частицы типа Ті интерпретируются как ядра тяжелых элементов, частицы типа Т2 как нейтроны. ,a Состояния (0,0),..., (0,72)? являются поглощающими. Для фи- нальных вероятностей 9(0,72) ' Я(о^2) ~ 1іт*-к*>Р(о,7і) (*)» вводим двойную производящую функцию (|s| ^ 1) а1)а2 = 0 *' 2* 72=0 Стационарное первое уравнение записывается в виде Интегральное представление для финальных вероятностей найдено для схемы взаимодействий: Т! + Г2 -> Ги Га - 0, — когда hi(si,S2) = 1, ^2(^1^2) = Si и уравнение (В.18) получает вид за***, + (м - ^2)Фг1 - /*Ф = 0. (В.19) Для линейного гиперболического уравнения (В.19) решается задача Гурса: заданы граничные условия на характеристиках z\ = 0 и z2 = 0, Ф(0,z2;s) = eZ2S, Ф(^і,0;5) = eZl. Найдена функция Римана для уравнения с непостоянными коэффициентами (В.19), применение метода Римана приводит к выражению для (21,2255). Теорема 3.17. Производящая функция финальных вероятностей в случае /ii(si,s2) = 1, ^2(^15$2) = $i равна (// > 0, а.\ ф 0) /«,, ,а2) (») = Обозначим 7/(а1,аз) число финальных частиц типа Т2, которые останутся после того, как процесс эпидемии остановится, т. е. не останется частиц типа Ті. Случайная величина r]^ai,a2^ имеет распределение {#(oV) ' 72 = 0,...,аг}, которое определяется производящей функцией (В.20). Методом характеристических функций получена предельная теорема для числа финальных частиц. Теорема 3.19. Пусть выполнены условия теоремы 3.17. Положим х Є [0,1]. Тогда lim Р{^ < х\ = — / y^e-idy. В математической теории эпидемий [13], [15] утверждения о числе оставшимися здоровыми особях относят к "пороговым теоремам". В 3.4 дается решение уравнения (В.18) в случае модели эпидемии /ii(si, s2) = 1, h2{s1,s2) = рї05і +pliS2 +Poo- В четвертой главе для стохастических моделей с парными взаимодействиями найдены точные решения нестационарных уравнений Колмогорова. В 4.1 изложена такая схема вывода нелинейного свойства ветвления и нелинейного уравнения для одночастичной производящей функции переходных вероятностей модели ветвящегося процесса с независимыми частицами Т —> кТ [74], которую удалось обобщить на случай модели парных взаимодействий 2Т —> кТ. В 4.2 диссертации рассматривается система 2Т -4 кТ: марковский процесс на множестве N = {0,1,2,...}, с переходными вероятностями Pij(t), i,j Є iV, t Є [0,oo), производящая функция Fi(t;s) = ^^l0Pij(t)5J, і 6 iV, удовлетворяет второму уравнению (\s\ ^ 1) В случае процесса гибели квадратичного типа, когда h(s) = ро + pis, построено замкнутое решение такого параболического уравнения путем одновременного рассмотрения первого и второго уравнений Колмогорова; использован метод разделения переменных и теоремы сложения теории специальных функций. Существование имеющего вероятностный смысл решения задачи Коши (В.21) следует из существования решения второй системы дифференциальных уравнений для переходных вероятностей; о единственности решения см. 1.1. Теорема 4.1. Для марковской модели на множестве состояний N со схемой взаимодействий 2Т —> /гТ, к = 0,1, производящая функция переходных вероятностей имеет вид (ш2 — —1), -COs2^ (В.22) 2\/2тгАЇ У-оо L/cos 2г, VS/ ~ < х (-— / p'(a;,y;e)da;J cfo/j du, г = 0,1,..., где Т = {х = от, 7г/2 ^ и ^ 57г/2} — ориентированный по возрастанию и отрезок на комплексной плоскости; с линейной по переменной s функцией (f(x,y;s) = _ -|(ро>/1 - У2ех +Pi(l - У) + у/1 - У2е~х) + s Uy/l-y*e* +2у- у/1 - у2е~*) Получено нелинейное уравнение для одночастичной производящей функции (М«) - ^)()2 - (*(*>) - v2) = (і +1). (в-23) где h(s) = pq + pis. Найдено замкнутое решение уравнения (В.21) в случае процесса рождения квадратичного типа, когда h(s) = s3. Теорема 4.2. Для марковской модели на множестве состояний N со схемой взаимодействий 2Т -* ЗТ производящая функция переходных вероятностей имеет вид (Fo(i;s) = 1) F(fs) = еЛ Г e~v2'W Г Ґ х (-— / s(pl-1(x,y;s)dx)dy\ dv, і = 1,2, —, 2v \/y-cos2v ,в 24. где отрезок Т определен в теореме 4.1; с дробно-линейной по переменной s функцией К 1-з\{-^Г^е* + 1-у) Уравнение для функции y>(a;,2/;s), в случае h(s) = s3: (А(.) - ^)()2 - (М*>) - Р2) = *> (В.25) В 4.2 также приведено замкнутое решение уравнения (В.21) в случае h(s) = s4/2 + 1/2 и получено уравнение вида (В.23), (В.25). Нелинейное свойство (В.22), (В.24) для переходных вероятностей моделей квадратичного типа рассмотрено с точки зрения метода функции Грина для уравнений в частных производных параболического типа. В 4.3 для модели с множеством состояний iV2 и схемой взаимодействий 2Ti —У 7і^і + 72^2) 7i = 0,1, получено аналогичное (В.22) интегральное представление для производящей функции переходных вероятностей и соответствующее нелинейное уравнение. Этот процесс является моделью бимолекулярной химической реакции, протекающей с выходом финального продукта Т2. Также рассмотрена схема 2Тг -> ЗТг + 72^2- В 4.4 приведены замкнутые решения второго уравнения для моделей с двумя комплексами взаимодействия 2Т —> к2Т, Т —> к\Т (уравнение (В.14)) в критическом случае, когда h'2(l) = 2 (среднее число частиц, появляющихся при парных взаимодействиях, равно двум); получено аналогичное (В.23) и (В.25) нелинейное уравнение, исследовано асимптотическое поведение таких моделей. Для критического случая найдены среднее число частиц и дисперсия. Примененные в главах 3 и 4 методы решения дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) в случае уравнений Колмогорова дают, как правило, представление для производящих функций искомых вероятностей в виде рядов по специальным функциям. В диссертации такие ряды суммированы к интегральным представлениям для производящих функций и подъинтегральные выражения преобразованы к имеющим вероятностный смысл виду. В пятой главе показано, что определение и уравнения марковских моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях связаны с положениями неравновесной статистической физики. Результаты главы 4 являются базовыми при анализе этих связей с точки зрения следующего набора понятий: одночастичные и многочастичные функции распределения; цепочка уравнений; симметрия функций распределения; условия независимости и определение взаимодействия через условия независимости; фазовое пространство траекторий; кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения. В 5.1 установлено, что первая система дифференциальных уравнений Колмогорова для стохастической модели с взаимодействием из множества М\ записывается в виде цепочки уравнений ^i^ = ^^(-^(i;S) + ^p^e_e.+^;S)), aeN". (В.26) Многомерная производящая функция переходных вероятностей Fa(t;s) представляет собой свертку «-частичной функции распределения {Рсф{і), /З Є N«]. В статистической физике при рассмотрении систем взаимодействующих частиц применяют г-частичные функции распределения Fi{t'i a?i,..., #і), которыми описывают расположение г частиц одного типа на фазовом пространстве (—со, со) в момент времени , t Є [0, со) [36]. В работе [37] при общих предположениях получена цепочка уравнений для таких функций распределения dF{ ~ -^ = ФДж1,...,ж^;^) + Фг+1(ж1,...,ж^1;^+1), г = 1,2,..., где Фі(хі,. . .,X{;Fi), Фі+і(я5і,...,жі+і;^і+і) — некоторые взаимосвязанные функционалы. В [37] указано на основной интерес к одночас-тичной функции распределения. Считается, что одночастичная функция распределения Fi(t,xi) удовлетворяет кинетическому уравнению, которое имеет вид -^l = A(x1;F1), (В.27) где A(xi;Fi) — некоторый функционал. Наличие цепочки уравнений (В.26) для марковской модели системы с взаимодействием при дискретных состояниях позволяет ставить задачу о выводе уравнения вида (В.27) для такой модели. В 5.2 рассматривается применимость теоремы Финетти-Хинчина о симметрии к выводу кинетического уравнения для одночастичной функции распределения и анализируются условия, при выполнении которых математическое моделирование неравновесных состояний систем взаимодействующих частиц может быть сведено к рассмотрению кинетического уравнения. Случайные величины ь25--->& называются симметрично зависимыми (переставляемыми), если все г! перестановок последовательности (i,2> >&) имеют одинаковое совместное распределение. Теорема 5.3 [34]. Пусть (Q>A,P) — вероятностное пространство, 1(^),^2(^)5 >&(^)> — бесконечная последовательность симметрично зависимых случайных величин. Положим F(xi, #2, . ,#і) = Р{і ^ жі?&2 ^5 х2,.. 5г ^ хі}- Тогда существует случайная величина в(ш) такая, что если положить Р{і ^ х\в = у} = <р(х\у), Р{в ^ х] = Н(х), то справедливо соотношение (г = 1,2,...) / оо СиММетрИЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ПеремеННЫХ Xi,X2,.. .,Xi являются [37] рассмотренные в 5.1 г-частичные функции распределения Fi{t\ xi, X2,..., Xi), поскольку микрочастицы одного типа неразличимы. Применительно к г-частичным функциям интегральное представление (В.28) получает вид (г = 1,2,...) / оо У»(«і \У)Ф (х2 \у)--- 4>{яі \у) dH{t; у), -оо и задача вывода кинетического уравнения сводится к поиску осредня-ющей меры H(t;y) и выводу уравнения для одночастичной условной функции распределения (р(х\у). При этом определение рассматриваемой модели должно быть основано на вероятностном пространстве ($7, Л, Р) и выяснение характера взаимосвязей между частицами сводится к предположениям о независимости тех или иных событий друг от друга. Множество М\ марковских моделей систем с взаимодействием выделяется из множества М всех марковских процессов на Nn условием независимости: результат взаимодействия комплекса частиц 5С», єг Є А, не зависит от наличия других частиц [1] (такое условие используется в кинетическом уравнении Больцмана [1]). В 5.3 дан способ реализации свойств симметрии а-частичных функций распределения для вывода кинетических уравнений рассматриваемых в диссертации марковских моделей. При математическом моделировании системы взаимодействующих частиц можно построить пространство элементарных событий, состоящее из описания эволюции каждой отдельной частицы, существовавшей в системе (пространство траекторий частиц), и соответствующую вероятностную меру (меру на траекториях частиц) — обозначим это вероятностное пространство (QtT,AbT>PtT). Преобразуем фазовое пространство траекторий частиц к множеству деревьев следующим образом: результат взаимодействия любого комплекса частиц приписываем одной частице из этого комплекса. Тогда получаем для каждой из начальных частиц случайное число частиц-потомков и в силу неразличимости частиц одного типа можно предполагать, то эти случайные величины переставляемы (симметрично зависимы). Применение теоремы 5.3 приводит к интегральному представлению для производящей функции: Fa{t-s)=( <р?(и>;8)<р?(ш;*)...<р?*(ы;8)Н(Ь<1и>), а Є Nn J{u;G^kr} (В.29) (обобщение нелинейного свойства (В.12)). Для модели системы с парными взаимодействиями частиц одного типа нелинейное свойство (В.29) для производящей функции Fi(t; s) выявлено аналитическим методом в главе 4, где построены замкнутые решения второго уравнения Колмогорова. В 4.2 найдены осредняющая мера и кинетическое уравнение (В.23) для одночастичной производящей функции <у?(ж, у; s) условных переходных вероятностей в случае бимолекулярной реакции 2Т —> кТ, к = 0,1, и аналогичное нелинейное уравнение первого порядка (В.25) для функции <р(х,у; s) в случае схемы взаимодействий 2Т -> ST. Проблема вывода кинетического (нелинейного) уравнения для марковских моделей систем с взаимодействием разрешима через построение точных решений в виде интегрального представления (В.29) первого и второго (линейных) уравнений для конкретных моделей из разных классов. В 5.4 получены нелинейное свойство переходных вероятностей (В.29) для процесса гибели и процесса рождения пуассоновского типа. В последнем пункте пятой главы сформулирован ряд задач, решение которых определяет возможности дальнейшего исследования стохастических моделей систем с взаимодействием при дискретных состояниях. 10. Публикации и апробация. По теме диссертации опубликовано 15 статей, 16 тезисов докладов и учебно-методическое пособие [81]. Основное содержание диссертации составляют статьи [123], [127], [128], [130], [131], [134], [136], [137], [138], [140], [143], [147], [149], [150] и сообщения [124], [129], [135], [141], [145], [148], [152]. Основные результаты диссертации докладывались на Третьей (Туапсе, 1996 г.), Четвертой (Уфа, 1997 г.), Пятой (Йошкар-Ола, 1998 г.), Седьмой (Сочи, 2000 г.), Восьмой (Йошкар-Ола, 2001 г.) Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам, XIX Международном (Вологда, 1998 г.) семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей, Первой и Второй (Москва, 2001 г. и 2003 г.) Всероссийских конференциях "Необратимые процессы в природе и технике", Втором (Самара, 2001 г.) Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинанарах в МГТУ им. Н.Э. Баумана, на физическом, химическом и механико-математическом факультетах МГУ им. М.В. Ломоносова, в Математическом институте РАН, в Институте проблем передачи информации РАН и ВНИИ атомного энергетического машиностроения.
Pij(t) = i(i - l)pj_i+2\t + о (t), j ^ і - 2, j ф і;
Pij(t) = 1-і(і- l)Xt + о (і), j = Ц (B.6)2/і л ^, г Є N,Qs^ , Fa(0;S) = S.(,-Uv>+ 53 (i-^»-»)T + 53 {iZJ^TY, ^=, Оо =, \ 1}, 1Х* -1 (1 - Є"»/" + . е-/")- е"*<Ь. (В.20)
2\/2ttMJ-oc [Ло8
фі\у)ф2\у) -.ФЫ dH(y). (В.28)Похожие диссертации на Стохастические модели систем с взаимодействием при дискретных состояниях
