Содержание к диссертации
Введение
1 О математическом моделировании динамики системы не линейно упругих стержней под действием механического удара по основанию 10
1.1 Общая схема построения математической модели одномерной механической системы с распределенными и сосредоточенными параметрами .11
1.2 Математическая модель первого класса 24
1.3 Математическая модель второго класса 27
1.4 Базовые математические модели стержневых элементов 39
Выводы к главе 1 54
2 Внешняя задача о прочности всех связей системы 55
2.1 Постановка задачи и схема анализа с использованием энергетических неравенств в случае общей математической модели 56
2.2 Достаточные условия прочности в случае математической модели первого класса 62
2.3 Достаточные условия прочности в случае математической модели второго класса 71
2.4 Свойства внешних характеристик для не линейно упругих стержневых элементов Эйлера,-Бернулли 80
Выводы к главе 2 89
3 Внутренние задачи о применимости линейно упругих математических моделей 90
3.1 Постановка задачи в гильбертовом пространстве и общий анализ с использованием априорных неравенств 90
3.2 Достаточные условия применимости линейно упругой математической модели первого класса 105
3.3 Внутренние и внешние свойства линейно упругих стержневых элементов Кирхгофа-Клебша 114
Выводы к главе 3 133
4 Об оптимизации по критериям прочности с учетом неопределенности информации о внешнем воздействии 134
4.1 Подход к нахождению целевой функции по внешнему критерию упругости 134
4.2 Подход к нахождению целевой функции по внутреннему критерию упругости 135
Выводы к главе 4 135
Заключение 136
Литература 137
- Общая схема построения математической модели одномерной механической системы с распределенными и сосредоточенными параметрами
- Постановка задачи и схема анализа с использованием энергетических неравенств в случае общей математической модели
- Постановка задачи в гильбертовом пространстве и общий анализ с использованием априорных неравенств
- Подход к нахождению целевой функции по внешнему критерию упругости
Введение к работе
Актуальность темы. Применение математического моделирования и вычислительного эксперимента при проектировании конструкций заранее предопределено характером самих проблем в этой области. Одно из основных требований, предъявляемых к разрабатываемым объектам, состоит в обеспечении свойств, связанных с понятиями прочности, устойчивости. Во многих случаях при проектировании тех или иных составных конструкций исходя']' из условия их работы в упругой области деформирования, чтобы обеспечить прочность этих конструкций в процессе эксплуатации. В результате использования такой нормы проектирования ожидается, что реальный объект будет обладать способностью выдерживать любые нагрузки, не приводящие к неупругим состояниям. В конечном счете прочностные свойства составной конструкции определяются параметрами проектирования: геометрическими и физическими характеристиками ее элементов. Однако известные критерии упругости формулируются в виде ограничений на параметры, состояния, которые определяются законами механики. Чтобы определить теоретическую зависимость экстремального значения меры напряженного состояния L от па,-раметров проектирования, вводится математическая модель составной конструкции, находящейся иод действием внешних нагрузок. Фактически проблемы определения ресурса прочности моделируемых конструкций тесно связаны с проблемами применимости упругих математических моделей.
Определяющей математической моделью для составной конструкции может служить система с распределенными и сосредоточенными параметра-ми. При этом динамика состояний континуальных фрагментов описывается нелинейными уравнениями с частными производными или их системами. В ряде случаев описание динамики состояний бывает связано с использованием интегро-дифференциальных уравнений.
К особой категории относятся объекты, находящиеся под действием сейсмических нагрузок или под действием механического удара по основанию. Специфика таких воздействий состоит в принципальной неопределенности информации об их параметрах: величине, длительности, интенсивности, направленности. 'Которая сходит и любой из известных критериев упругости.
При неустранимой неопределенности информации о параметрах воздействий вычислительный эксперимент в виде численных расчетов конечной серии вариантов с использованием популярных методов (например, метода, конечных элементов) не ведет к исчерпывающим результатам по оценке прочности проектируемого объекта. Более того, вычислительный эксперимент по схеме "метода проб и ошибок" с учетом ;'опыта проектировщика" мало помогает в определении способов изменения проекта с целью усовершенствования прочностных свойств объекта. В силу сложности математических моделей и недостаточной изученности нелинейных задач установка на, вычислительный эксперимент может послужить основанием для развертывания научно-исследовательских работ, направленных не только на совершенствование чис-леных методов, но и на разработку специального математического аппарата, обеспечивающего сопровождение вычислительного процесса. Например, чтобы ставить и решать задачи оптимизации при проектировании объектов, с 1983 г, в ряде комыотерных программ, реализующих метод конечных элементов, стали использовать эффективные методы анализа чувствительности при проектировании (Hang Е. J., Агога J. S., 1979; Haug Е. J., Choi К. К., Komkov V., 1986).
Все эти обстоятельства вместе со спецификой прочностной проблемы 2 выдвигают на, первый план анализ самих математических моделей с целью изучения влияния параметров проектирования на параметры напряженного состояния. Целесообразный переход к упрощенным математическим моделям составных конструкций неизбежно ведет к выделению их категорий. К одной из них относятся конструкции, представимые стержневой системой с присоединенными массами или сводящиеся к ней, находящиеся под воздействием механического (или сейсмического) удара, В этой категории реальными объектами проектирования могут служить, например, стержневые, конструкции в составе тех или иных космических объектов или летательных аппаратов, а также представительные фрагменты ряда наземных объектов в сейсмически активных районах, в том числе трубопроводы атомных электростанций и магистральные трубопроводы для транспортировки жидкости или. газа,.
В настоящей работе изучаются некоторые достаточно простые математические модели стержневых конструкций выделенной категории, учитывающие наиболее существенные параметры проектирования, в том числе физические и геометрические нелинейности.
Цель и задачи работы. Основной целью настоящей работы является разработка математического аппарата, как для анализа характера влияния параметров проектирования на оценки напряженных состояний с использо- 2Как проблемы применимое упругих математических моделей. ванием математических моделей систем нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа, так и для нахождения условий (в виде ограничений на параметры внешнего воздействия и параметры проектирова.-ния). обеспечивающих применимость упругих математических моделей. Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
Разработать общую схему построения формализованной упрощенной математической модели для описания динамики системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа, используя характеристики отдельных стержневых элементов и учитывая особенности структуры системы. Из общей модели выделить конкретные типовые математические модели.
Разработать базовые математические модели стержневых элементов, применимые как для определения их упругих характеристик, так и для нахождения нижних границ энергии деформации. Для каждой из базовых моделей ввести области (внутренние и внешние) их реализации по критериям упругих состояний.
Разработать подход к получению энергетических соотношений (равенств и неравенств), вытекающих из уравнений движения системы с использованием введенных математических моделей. Установить достаточные условия. обеспечивающие выполнимость тех или иных энергетических неравенств.
Разработать математический аппарат, позволяющий с использованием конкретной модели получать априорные оценки параметров напряженного состояния системы, не связанные с нахождением решения уравнений движения. Выделить достаточные условия, обеспечивающие применимость введенных упругих моделей.
Методы исследования. В диссертационной работе использовались вариационные принципы аналитической механики и ее лагранжев формализм, энергетические соотношения (равенства и неравенства), интегральные неравенства, прямые методы вариационного исчисления, элементы выпуклого анализа, элементы функционального анализа, а также элементы прикладной механики твердого деформируемого тела.
Научная новизна.
Разработана общая схема построения математической модели для описания динамики системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа с учетом особенностей структуры системы и с использованием базовых математических моделей отдельных стержневых элементов.
Разработаны базовые математические модели стержневых элементов с целью определения их внешних упругих характеристик и внешних областей реализации (по внутренним критериям упругости) с учетом физической нелинейности и с использованием больших перемещений.
3. Разработаны математические методы нахождения нижних границ (в виде функций от обобщенных перемещений) как для энергии деформации упругого стержневого элемента, так и для максимальной интенсивности на пряжений в его теле, С использованием найденных нижних границ получены оценки границ областей реализации внешних упругих характеристик для ба зовых стержневых элементов.
4, Разработаны математические методы получения априорных оценок внутренних и внешних параметров напряженного и деформированного состо яний системы нелинейно упругих стержней при воздействии еейсмоударно- го типа с использованием установленных энергетических неравенств потен циального типа и с учетом всей информации об упругих характеристиках стержневых элементов в составе системы.
5. Установлен характер влияния параметров проектирования на оценки па раметров напряженного и деформированного состояний системы. Выделены достаточные условия применимо сіті упругих моделей.
6, Разработан подход к нахождению целевых функций для оптимизации проекта, системы по прочностным критериям с учетом неопределенности ин формации о параметрах внешнего воздействия.
Практическая ценность, В целом работа имеет теоретический характер, но отличается направленостью на прикладные задачи. Использование полученных результатов при оценке ресурса прочности объекта проектирования существенно снижает уровень неопределенности информации о параметрах внешнего воздействия, а также может в определенной степени повлиять как на планирование, так и на содержание сопутствующего вычислительного эксперимента. Эффективность их использования состоит в том, что в рамках одного проекта сужается область применения вычислительного эксперимента, а для ряда проектов полностью отпадает надобность в его проведении. Результаты теоретического анализа, позволяют принять подход к проблеме улучшения проекта, по прочностным критериям. Все это может найти полезное применение в методических разработках по проектированию объектов данной категории. Установленные достаточные условия применимости упругих моделей вместе с математическими средствами (в виде алгоритмов и программных модулей) для проверки, этих условий могут составить основу методик для оперативной оценки объекта.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. Разработка общей схемы построения математической модели для описания динамики системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмо-ударного типа с учетом особенностей структуры и с использованием базовых математических моделей отдельных элементов.
Проект базы математических моделей стержневых элементов с целью определения их внешних упругих характеристик и внешних областей реализации (по внутренним критериям упругости) с учетом физической нелинейности и с использованием больших перемещений.
Разработка математических методов нахождения нижних границ (в виде функций от обобщенных перемещений) как для энергии деформации упругого стержневого элемента, так и для максимальной интенсивности напряжений в его теле. Использование найденных нижних границ с целью получения оценок границ областей реализации внешних упругих характеристик для базовых стержневых элементов.
Разработка математических методов получения априорных оценок внутренних и внешних параметров напряженного и деформированного состояний системы нелинейно упругих стержней при воздействии сейсмоударного типа, с использованием установленных энергетических неравенств потенциального тина. и. с учетом всей информации об упругих характеристиках стержневых элементов в составе системы.
Методы установления характера влияния параметров проектирования на оценки параметров напряженного и деформированного состояний системы, позволяющие выделить достаточные условия применимости упругих моделей,
Разработка подхода к нахождению целевых функций для оптимизации проекта по прочностным критериям при проектировании объекта с учетом неопределенности информации о параметрах внешнего воздействия.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международной научно-практической конференции "V Виш-няковские чтения": "Университетская паука - российскому образованию и промышленности"' (СПб. - Бокситогорск, 2002); на научном семинаре в Институте проблем машиноведения РАН (СПб.. 2004), на Межрегиональной научно-методической конференции "Проблемы математического образования в вузах и школах России в условиях его модернизации" в КГПИ (Сыктывкар, 2005), на 63-ей Международной научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава СПбГАСУ (2006), на 59-ой Международной научно-технической конференции молодых ученых (аспирантов, докторантов) и студентов СПбГАСУ (2006).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы, содержатся в опубликованных работах [79]-[95].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и. списка, литературы. Список литературы содержит 95 наименований.
В первой главе вводится и исследуется формализованная одномерная математическая модель деформируемой механической системы с распределенными и сосредоточенными параметрами [80, 81], находящейся под воздействием сейсмоударного типа. Из общей модели выделены конкретные типовые модели двух классов. Чтобы наполнить общую модель конкретным содержанием, вводятся базовые математические модели стержневых элементов 135,88,93].
Во второй главе формулируется и рассматривается внешняя задала о прочности всех связей [87, 91, 92], состоящая в нахождении условий, при которых конфигурации всех связей системы относятся к упругой области деформирования. Предлагаемый подход связан с использованием установленных энергетических неравенств потенциального типа. Для нелинейно упругого стержня по Эйлеру-Бернулли рассматриваются вопросы о корректном определении внутренней и внешней областей упругости [82, 83, 90], о корректном определении энергии деформации как функции от параметров связи (см. там же), о нахождении нижних границ энергии деформации и максимальной интенсивности напряжений [84, 90].
В третьей главе формулируются и рассматриваются внутренние задачи о применимости линейно упругих моделей как для системы в целом, так и для отдельных ее элементов. Одна из ни связана с нахождением достаточных условий, при которых динамика, системы описывается линейными уравнениями [86, 89, 95]. Излагается переход к описанию в специальном гильбертовом пространстве. Эффективность использования интегральных операторов установлена при исследовании математических моделей, определяемых как корректными, так и некорректными задачами [791 для уравнений с частными производными. Другая задача состоит в выяснении условий (внутренних и внешних), которые обеспечивают применимость линейно упругой модели стержневого элемента (по Кирхгофу-Клебшу) [85, 88, 93]. Для линейно упругого стержня по Кирхгофу-Клебшу рассматриваются вопросы о корректном определении внутренней и внешней областей упругости [93], о корректном определении энергии деформации как функции от параметров связи (см. там же), о нахождении нижних границ энергии деформации и максимальной интенсивности напряжений |85, 88, 93].
В четвертой главе рассматриваются вопросы оптимизации проекта с целью улучшения прочностных свойств проектируемого объекта при условии неустранимой неопределенности информации о параметрах внешнего воздействия.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Общая схема построения математической модели одномерной механической системы с распределенными и сосредоточенными параметрами
В этом параграфе вводится и исследуется формализованная одномерная ма.-тематическая модель деформируемой механической системы о распределенными и сосредоточенными параметрами, несколько более общая и более детальная, чем в работах [80, 311 . Предлагаемая модель отличается прежде всего тем, что в ней более полно учитываются инерционные характеристики как объектов самой конструкции (т. е. стержневых элементов и присоедп-иеных масс), так и транспортируемой жидкости (в том случае, когда в составе конструкции содержится трубопровод). Кроме того, в математической модели учитывается эффект диссипации энергии, имеющий место в опорах конструкции.
Прототипом системы может служить прямолинейная стержневая конструкция, установленная на деформируемые опоры и оснащенная, быть может, той или иной арматурой (оборудованием).
Исходные позиции. В настоящей разработке рассматривается модельная ситуация, когда результат сейсмического воздействия (или механического удара) выражается в виде синхронного перемещения (i) всех точек массивного основания Б в заранее заданном направлении d. При этом предполагается, что перемещения всех точек конструкции сонаправлены с этим вектором d. В дальнейшем эти предположения осуществляются в двух математических моделях.
Анализ отдельных фрагментов конструкции, содержащих арматуру, приводит, в частности, к необходимости вводить в математическую модель те или иные инерционные характеристики этой арматуры. В связи с этим в дальнейшем изложении предполагается, что каждая единица арматуры совершает плоское" движение как абсолютно твердое тело.
В работах [80, 81] было особо указано на то обстоятельство, что каждую опору конструкции следует рассматривать как особый деформируемый элемент в составе системы. Там же было сформулировано важное понятие у узла крепления! , которое с энергетической и инерциалыюй позиций заключает в себе единую абстрактную точку зрения вообще па любые опоры конструкций, совмещенные, быть может, с какой-то арматурой.
Постановка задачи и схема анализа с использованием энергетических неравенств в случае общей математической модели
С целью постановки задачи о прочности всех связей используется общая математическая модель, введенная в 1.1.
Области реализации формы U;.
1. Пусть областью определения для Uj служит область ] Dj конфигурационного пространства QX;, так что D(Uj) = D;. При этом предполагается, что D.,: — открытая выпуклая окрестность пулевой конфигурации 0, a U,- — достаточно гладкая выпуклая функция в области Dj.
2. Для связи в сингулярной точке Xj вводится область Pj конфмгурацп-огшого пространства. QXi, обладающая следующими свойствами 2:
1) если q Є Pj, то деформированное состояние связи, определяемое через конфигурацию q. относится к упругой области;
2) если q Р{, то связь переходит в неупругое состояние.
Область Р; рассматривается как внешняя область упругости для данной связи. В дальнейшем предполагается, что Р,- — открытая выпуклая окрестность пулевой конфигурации 0, причем выполняется соотношение Р.; С Dj.
3. Для каждой формы Uj можно ввести в конфигурационном пространстве Qx. ее внешнюю область реализации D по признаку ( ) как множество всех параметров связи, при которых внутреннее состояние относится к категории ( ).
Вспомогательные задачи определения внешних областей упругости. Эти и другие вопросы рассматриваются в 2.4 (для нелинейно упругого стержня Эйлера.-Бернулли) и в 3.3 (для линейно упругого стержня Кырхгофа-Клсбша),
Прикладная задача о прочности всех связей. В инженерном деле представляет значительный интерес прикладная задача о прочности всех связей (опорных элементов) для системы, находящейся под действием механического удара по основанию.
Постановка задачи в гильбертовом пространстве и общий анализ с использованием априорных неравенств
В задачах механики л пней но упругого тела используются определяющие уравнения состояния связывающие параметры напряженного и деформированного состояний линейными соотношениями. Д.ІІЯ тела с известными упругими свойствами эти соотношения составляют содержание закона Гука, применимого как правило в области малых деформаций, т. е- в некоторой окрестности нулевой деформации. В ряде практически значимых случаев условие применимости закона Гука. соответствует области упругих состояний, причем выход за ее пределы характеризуется возникновением пластических свойств. В каждом из таких случаях в качестве внутреннего условия- неприменимости линейно упругой математической модели можно принять одно из известных условий пластичности 2.
При математическом моделировании конструкции неибежно встают вопросы диагностики внутренних состояний (напряженных и/или деформированных) по внешним п:ра.диа%им в виде ограничений на парамеры внешних воздействий (нагрузок), относящиеся как к системе в целом, так и к отдельным ее элементам.
Подход к нахождению целевой функции по внешнему критерию упругости
Рассматриваются вопросы оптимизации проекта с целью улучшения прочностных свойств проектируемого объекта. Допустимое проектное решение (набор параметр013 проектирования) будет оптимальным, если пра,-вые части неравенств, обеспечивающих внешние и внутреипие упругие состояния, принимают наибольшее .значения.
