Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические модели и вычислительные схемы для явления диффузного переноса субстанции в пограничном слое атмосферы 22
1.1. Вычислительные схемы для моделирования диффузного переноса с использованием метода покоординатного расщепления. - 22
1.2. Модели, учитывающие эффекты взаимодействия частиц дисперсных систем в процессе их переноса в атмосфере. Расщепление уравнения переноса по физическим факторам . - 28
1.3. Метод параметризованных моделей в задачах переноса субстанции в по- 30 граничном слое атмосферы и проблема оптимизации на его основе вычислительного эксперимента.
1.4. Организация вычислительного эксперимента и тестирования методов и 35 алгоритмов решения уравнения диффузного переноса примесей на примере конечно-разностных вычислительных схем.
1.5. Метод покоординатного расщепления в вычислительной параметризованной модели переноса примесей для случая трех пространственных переменных.
1.6. Двумерные модели теории переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. Построение вычислительной схемы для параметризованной модели уравнения переноса, вычислительный эксперимент.
1.7. Основные результаты и выводы, полученные в главе. 64
ГЛАВА 2. Применение интегральных представлений в моделях диффузного переноса субстанции в атмосфере и построение итерационных вычислительных схем
2.1. Интегральные представления для решения краевых задач. Первый итерационный метод численного решения задач переноса примесей на основе интегральных представлений, аналитическое и численное исследование сходимости и устойчивости метода.
2.2. Второй итерационный метод численного решения задач переноса примесей на основе интегральных представлений. Доказательство сходимости и численные исследования метода .
2.3. Сравнение итерационных методов: достоинства и недостатки. 84
2.4. Итерационные алгоритмы в вычислительной схеме покоординатного расщепления трехмерного параметризованного уравнения переноса.
2.5. Основные результаты и выводы, полученные в главе. 93
ГЛАВА 3. Вариационные методы в эволюционных моделях теории переноса примесей в атмосфере. рекурсивные вычислительные схемы
3.1. Вариационные методы и слабые решения в моделях эволюционного ти- 96 па. Построение и исследование сходимости рекурсивных вычислительных схем в рамках вариационного подхода.
3.2. Вычислительная модель нестационарного переноса примеси на основе ПО метода наименьших квадратов с применением в ней многочленов Берн-штейна. Численные исследования алгоритма .
3.3. Вариационный подход на основе методов «взвешенной невязки» и конечных элементов применительно к построению вычислительной модели нестационарного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, постановка и выполнение вычислительного эксперимента. - 120
3.4. Применение численных методов оптимизации в вычислительных моделях переноса примесей, распространяющихся в пограничном слое атмосферы. Результаты численных исследований. - 138
3.5. Сопоставление рекурсивных алгоритмов, основанных на вариационных методах: достоинства и недостатки. 146
3.6. Вычислительная модель пространственной задачи переноса примесей, построенная на основе вариационного метода в сочетании с методом покоординатного расщепления. 152
3.7. Основные результаты и выводы, полученные в главе. 155
ГЛАВА 4. Обратные задачи и качественные модели в проблеме усвоения данных мониторинга моделями переноса аэрозолей в пограничном слое атмосферы 158
4.1. Определение коэффициента турбулентной диффузии из уравнения пе- 159 реноса методом обратной задачи. Построение регуляризирующего алгоритма метода, выполнение его численных исследований.
4.2. Модели переноса на основе априорных оценок значений коэффициента турбулентности, определяемых по дифференциальным характеристикам поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы. - 174
4.3. Обратные коэффициентные задачи для уравнени й непрерывности поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы . 177
4.4. Определение производных эмпирических функций исходных данных методом интегральных уравнений. Разработка регуляризирующего алгоритма, результаты расчетов и численных исследований метода. - 180
4.5. Расчетно-аналитическая модель поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы, алгоритмизация метода и вычислительный эксперимент. 189
4.6. Качественные модели, основанные на фундаментальном решении уравнения переноса примесей с постоянными коэффициентами. Численное исследование пространственно-временных характеристик процесса переноса примесей в атмосфере с учетом метеофакторов. - 198
4.7. Вывод интегральных уравнений для оценки количества аэрозолей в 210 пункте наблюдения, поступающих в него от источников с конечной и непрерывной длительностью действия. Вычислительный эксперимент, проводимый в задачах экологического мониторинга.
4.8. Обратная задача источника на основе интегрального уравнения для 216 оценки уровня загрязнения в пункте наблюдения. Построение регуляризи-рующего алгоритма обратной задачи источника, результаты расчетов и численных исследований.
4.9. Основные результаты и выводы, полученные в главе. 223
ГЛАВА 5. Обобщение модели диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы на основе векторного уравнения навье-стокса 226
5.1. Феноменологический подход к изучению турбулентных движений в за- 227 дачах моделирования переноса субстанции в пограничном слое атмосферы. Математическое моделирование в исследовании поля скорости ветра в атмосфере.
5.2. Первый вычислительный метод для уравнения Навье-Стокса. Вывод и 238 обоснование уравнений метода, построение вычислительной модели.
5.3. Второй вычислительный метод для уравнения Навье-Стокса. Вывод и 247 обоснование уравнений, построение вычислительной модели.
5.4. Методы расщепления и параметризации в обобщенной модели диффуз- 253 ного переноса субстанции. Постановка и проведение вычислительного эксперимента для численной реализации алгоритма первого метода решения уравнений Навье-Стокса.
5.5. Основные результаты и выводы, полученные в главе. 266
ГЛАВА 6. Модульная система алгоритмов информационно-вычислительного обеспечения систем экологического мониторинга и прогноза загрязнения атмосферы - 267
6.1. Вычислительная технология и система информационно вычислительного обеспечения для задач переноса загрязняющих примесей в приземном слое атмосферы. - 268
6.2. Назначение и организация модульной системы алгоритмов. 274
6.3. Драйверные модули алгоритмической системы. 278
6.4. Инструментальные средства модульной системы алгоритмов. 309
6.5. Основные результаты и выводы, полученные в главе. 319
Заключение 321
Литература
- Модели, учитывающие эффекты взаимодействия частиц дисперсных систем в процессе их переноса в атмосфере. Расщепление уравнения переноса по физическим факторам
- Второй итерационный метод численного решения задач переноса примесей на основе интегральных представлений. Доказательство сходимости и численные исследования метода
- Вычислительная модель нестационарного переноса примеси на основе ПО метода наименьших квадратов с применением в ней многочленов Берн-штейна. Численные исследования алгоритма
- Обратные коэффициентные задачи для уравнени й непрерывности поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы
Введение к работе
Для обоснования актуальности, определения цели и задач диссертационного исследования ниже приводится краткий обзор научных публикаций, посвященных вопросам комплексного мониторинга и математического моделирования атмосферных процессов.
1. Мониториног воздушной среды в приземном слое атмосферы. Подвергающиеся воздействию антропогенных факторов природные среды представляют сложные взаимодействующие между собой системы. Комплексный мониторинг таких сложных систем представляет собой сочетание контактных и дистанционных измерений характеристик практически всегда неоднородных сред, выявление их пространственно-временных зависимостей, а также прогноз возможных состояний этих сред. Активный целенаправленный мониторинг среды предполагает и оптимальное управление контролируемым изменением их состояний. Главной особенностью систем с природными компонентами является их многомерность, неполная предсказуемость их поведения, обусловленная стохастичностыо происходящих в них процессов, неопределенностью целей функционирования, неточностью описания их состояния. Это существенно затрудняет проведение натурных экспериментов с такими системами. Поэтому важную роль в проведении с ними исследований играют их математическое моделирование, проведение численных экспериментов и активный мониторинг, представляющий собой контроль состояния среды, сопровождаемый целенаправленным воздействием на нее.
В работе авторов С.А. Васильева, Л.С. Ивлева и Г.Н. Крылова [22] рассматриваются вопросы комплексного активного мониторинга природных сред. Методика, аппаратурное обеспечение и задачи, выполняемые системами мониторинга обсуждаются в работах [45,162]. Все дистанционные методы мониторинга природных сред, предполагают прохождение зондирующего сигнала через воздушную среду. Авторами статьи [22] проведен анализ комплексного мониторинга и управления состоянием природных сред. Отмечено, что помимо широко применяемых оптических методов зондирования различных природных сред и прямых методов измерения их физических характеристик желательно использование методов радиотомографии, а также предложены методы дистанционного электромагнитного мониторинга слабовыраженных облачных образований. Вопросам организации мониторинга, проведения прямых измерений и активного воздействия на состояние воздушной среды посвящен большой цикл исследований [53,23,55,11]. Интересны также работы, посвященные интегральным методам исследования слабо выраженных крупномасштабных атмосферных и ионосферных облачных образований [9,26]. В них предлагается использовать современную импульсно фазовую радионавигационную систему, работающую по земной волне (отраженная от ионосферы волна мала). Вопросам мониторинга воздушного бассейна также посвящены исследования, изложенные в работах [100,54,56,159].
2. Идентификация аэрозолей по химическому и элементному составу. Для решения ряда прикладных задач хозяйственной деятельности человека, а также некоторых научных проблем физики атмосферы и климатологии необходимы экспресс-оценки и краткосрочные прогнозы загрязненности атмосферы газовыми и пылевыми (аэрозольными) примесями. Если известны мощности основных источников загрязняющих веществ и условия их выброса в атмосферу, то для определенной территории вблизи источников расчет распределения примесей в атмосфере может быть проведен достаточно точно, например, с использованием боксовой схемы [82]. В работах Л.С. Ивлева и др. [38,49,50-53] описаны экспериментальные исследования микроструктуры и химического состава аэрозолей приземного слоя атмосферы, подверженного антропогенному влиянию такого мощного промышленного центра, как Санкт-Петербург. Исследования проводятся лабораторией физики аэрозолей НИИФ с начала 70-х годов. Выполнялись, в основном, прямые измерения счетной концентрации и дисперсности аэрозольных частиц с размерами г 0,2 мкм с помощью фотоэлектрического счетчика АЗ-5М. Результаты этих измерений приведены в работе [3]. В статье [52] рассмотрены некоторые результаты исследований микроструктуры и состава аэрозолей приземного слоя атмосферы. Часть из них представлена в таблице 1 [52] (см. прил.З).
В 1996-98гг. в рамках экспериментов TROICA (Transcontinental Observations in Chemistry of the Atmosphere), организованных Н.Ф. Еланским и П. Крутценом, авторами статьи Г.И. Горчаковым и др. [34-37] проводились исследования пространственного распределения характеристик приземного аэрозоля с помощью вагона-лаборатории над континентом Евроазии вдоль Транссибирской магистрали. Результаты исследований систематизированы и обобщены в работах [36,37]. Некоторые результаты показаны в таблице 2 [36] (см. прил. 3).
Другой важной проблемой является проблема идентификации аэрозолей разного происхождения. Основные подходы к разрешению данной проблемы и результаты исследований изложены в работе В.К. Донченко и Л.С. Ивлева [39]. В работе [39] проведен анализ элементного состава твердой подстилающей поверхности, водных поверхностей и атмосферной воды, атмосферных аэрозолей, приведены соответствующие таблицы данных. Работа Р.Ф. Лавриненко [75] посвящена вопросам формирования химического состава атмосферных осадков. В ней выполнено обобщение данных наблюдений за химическим составом осадков и облачной воды, получены количественные характеристики изменения их состава в пространстве и во времени. Результаты экспериментальных исследований также были представлены в монографии [157]. Библиография исследований, проведенных сотрудниками Главной геофизической обсерватории (ГГО) на основе сетевых и экспедиционных наблюдений за химическим составом атмосферных осадков, облачной воды и аэрозолей представлена в сборнике «Ежегодные данные по химическому составу атмосферных осадков, 1991-1995 гг.» (Санкт-Петербург, Гидрометеоиздат, 1998г.). В результате анализа и обобщения экспериментальных данных к моменту создания в 1972г. международной сети фонового мониторинга БАПМоН ВМО был накоплен в нашей стране большой теоретический и практический материал по физико-химическим характеристикам ядер конденсации, аэрозолей и атмосферных осадков, выяснены основные особенности их географических изменений. Программа Глобальной службы атмосферы (ГСА) ВМО обширна. В нее в качестве одного из видов работ включены исследования химического состава осадков, являющегося чувствительным индикатором загрязнения атмосферы. Основная цель международной сети ГСА ВМО - контроль за глобальным уровнем загрязнения атмосферы и выяснение возможных непреднамеренных воздействий человека на климат. Национальная сеть наблюдений за химическим составом осадков в настоящее время решает задачи мониторинга загрязнения атмосферы разного уровня: федерального, регионального и локального. Федеральная сеть включает в себя также станции международной сети ГСА ВМО. Это биосферные заповедники (БЗ) и несколько станций, имеющих длительные ряды наблюдений с 1958 или 1962-66 гг. Однако на фоне 20 глобальных и примерно 300 региональных станций, действующих в настоящее время в системе ГСА ВМО, национальная сеть фонового мониторинга охватывает лишь отдельные разрозненные регионы РФ и не является репрезентативной для ее обширной территории. В течение уже длительного периода эта сеть не развивается ни в качественном, ни в количественном отношениях. На протяжении 90-х годов результаты анализа химического состава осадков фоновых станций не представляются в Международный центр данных. Региональная сеть осуществляет мониторинг загрязнения воздуха в промышленных районах. Вопросам идентификации аэрозолей и определению их концентрации в приземном слое атмосферы посвящены также работы [69,10,51,101,174].
3. Атмосферная турбулентность в задачах диффузного переноса загрязняющих примесей. Натурные измерения турбулентных вихревых движений в атмосфере. В нашей стране были сделаны громадные успехи в области теории мелко масштабной однородной турбулентности, которая хорошо описывается статистически [68,77,78]. Статистическая теория до недавнего времени полностью монополизировала описание процессов атмосферной диффузии [15,16,188]. Для крупномасштабной турбулентности разрабатываются теории спиралевидных и солитон-ных структур [179]. Объединение всех этих процессов под общим термином «атмосферная турбулентность» [181,5] до последнего времени было чисто формаль ным. Основным элементом турбулентных движений являются вихри разных масштабов и разнообразной микроструктуры. Проведенный по этой проблеме автором статьи Л.С. Ивлевым [49] анализ научной литературы убедил его, что именно представления о вихревой структуре движений непротиворечиво объединяют различные теории гидродинамических течений и объясняют имеющиеся экспериментальные факты. Анализ проблемы конструирования физической картины движения атмосферных масс [53,158,33,185-187,146] позволяет утверждать, что последовательный подход к решению этой проблемы требует признания существования турбулентных вихрей самых разных масштабов и конфигураций, как основных элементов движения атмосферного воздуха. Эти вихри обладают свойствами упругости и деформируемости. При взаимодействии между вихрями действует турбулентное трение, которое влияет на макромасштабные движения воздушных масс. Важнейшим обстоятельством в проявлении этих процессов являются особенности физико-химических свойств молекул воды: значительно меньший молекулярный вес по сравнению с остальными газовыми компонентами, способность к фазовым переходам в атмосфере, большой электрический дипольный момент, своеобразная микроструктура молекулы, способность к кластеро - и клатрато -образованию, изменчивость радиационных свойств воздушной среды, содержащей воду в различных фазовых состояниях. Это создает в атмосфере условия для образования макромасштабных структур типа циклонов и антициклонов. На основе общей физической картины движения атмосферных масс становятся понятными определенные закономерности в их поведении, и возникают возможности прогнозирования этого поведения, в частности, на базе предложенных С.Л. Васильевым закономерностей.
Особый интерес представляет обзор публикаций о натурных измерениях турбулентных вихревых движений в приземном слое атмосферы [49]. Суть этой проблемы состоит в следующем. Прямые наблюдения поведения турбулентных вихрей в атмосфере представляют технически достаточно сложную задачу из-за иоли-дисперсности этих образований и анизотропии их характеристик. Так как для метеорологов и климатологов основное значение всегда имело знание процесса турбулентного обмена, то в первую очередь изучались вертикальная и в какой-то мере горизонтальная изменчивость характеристик турбулентного обмена и метеорологических параметров, определяющих этот процесс (температура, влажность, давление, ветер и т.д.). Изучение микроструктуры вихрей являлось средством для лучшего понимания атмосферной турбулентности. Только исследования диффузионных процессов и процессов облакообразования наглядно связаны с изучением микроструктуры вихревых образований [101]. Наблюдение факелов от точечных источников неизбежно приводит к представлению о полидисперсности вихрей, их анизотропии и масштабной трансформации, об их пространственно-временной эволюции [160,21]. Особый интерес для понимания структуры турбулентности имеют наблюдения границ перемещающегося объема диффундирующего вещества, объединения и укрупнения движущихся в одном направлении воздушных объемов, возникновения слоистой структуры аэрозольных образований [77]. Прямые измерения турбулентных образований в приземном и пограничном слоях атмосферы [21] по характеристикам поля турбулентности в последние годы были направлены на изучение спектра размеров вихрей и зон перемежаемости, их эволюции [103]. Наблюдения в приземном слое продольной и и поперечной составляющих спектра пульсаций скоростей на разных высотах, проведенные Н.Л. Бызовой с сотрудниками [20] позволили им сделать некоторые выводы (см. таблица 3, 4 [100], прил. 3).
4. Математические методы и модели в задачах экологического мониторинга и прогноза атмосферы. В работах Г.И. Марчука и его научной школы создана методология математического моделирования - исследованы ее фундаментальные вопросы и разработаны оригинальные конструктивные подходы к изучению циркуляции атмосферы и океана, а также к решению с помощью математических моделей задач прогноза погоды, теории климата и охраны окружающей среды [84-87,94,149-153]. Дальнейшее развитие этого направления, современные достижения в области математического моделирования задач экологии находят свое отражения в работах учеников и последователей академика Г.И. Марчука. В частности в работе В.В. Пененко [151] изложены некоторые аспекты методологии моделирования, а именно вариационные принципы и методы оптимизации для совместного использования численных моделей и данных мониторинга. По содержанию она представляет развитие работ по методам прямого и обратного моделирования для решения взаимосвязанных задач экологии и климата [201-203,149-156]. Содержание этого подхода состоит в следующем. Накопленный в мире опыт решения научных и практических задач природоохранного направления показывает, что математические модели и данные натурных исследований и наблюдательных экспериментов являются равноправными и дополняющими друг друга инструментами для изучения природных процессов. В последние годы в этих исследованиях обозначилась тенденция к расширению набора специальных приборов, с помощью которых производятся наблюдения. Наиболее отчетливо она проявляется при изучении экологически значимых последствий антропогенных воздействий. При этом активно используются методы дистанционного зондирования [84,82] в сочетании с различными методами контактных измерений. В результате сбора данных к исследователям попадает разнородная информация, с разных сторон характеризующая наблюдаемые явления. В этом случае естественно возникает задача совместного использования этой информации и математических моделей с целью усвоения данных, восстановления пространственно-временной структуры полей функций состояния, оценки параметров моделей и источников внешних воздействий, ди агностики качества моделей и планирования наблюдений. Технологию решения подобных задач дает методика обратного моделирования [201,202,154-156].
Для определенности представляются задачи [149], связанные с оценками характеристик атмосферы с использованием данных дистанционного зондирования и контактных наблюдений за компонентами функций состояния. В этом случае типичной является задача о нахождении распределения температуры и концентраций оптически активных субстанций в атмосфере. Специфика методов дистанционного зондирования состоит в том, что их результаты в общем случае представляют собой значения некоторых функционалов на множестве функций состояния. Они, как правило, недоопределены по отношению к оцениваемым функциям, т.е. число наблюдений меньше числа внутренних степеней свободы моделей наблюдений в дискретном представлении. Под моделью наблюдений понимается математическое описание преобразования, ставящего в соответствие функции состояния образ той величины, которая измеряется наблюдательным прибором. Возникает вопрос, как ввести дополнительные связи, чтобы уменьшить число внутренних степеней свободы, и тем самым сделать процесс решения обратных задач для моделей наблюдений более корректным. Для этих целей используются в качестве связей математические модели исследуемых процессов и априорные сведения об искомых функциях и оцениваемых параметрах. Естественно, что деление на модели процессов и модели наблюдений чисто условное. В качестве моделей процессов рассматриваются [149] модели гидротермодинамики в климатической системе, модели переноса и трансформации влаги, химически и оптически активных загрязняющих примесей в газовом и аэрозольном состояниях. Функции источников в моделях параметрически учитывают действия естественных и антропогенных факторов. Для того, чтобы рассматривать совместно модели процессов и систему мониторинга с целью организации между ними взаимодействия в режиме прямых и обратных связей, предполагается, что все элементы комплекса (т.е. модели и наблюдения) могут содержать ошибки. В этом случае можно ставить вопрос о конструировании алгоритмов для реализации таких связей, исходя из условий минимизации ошибок.
Значительные достижения в области математического моделирования атмосферных процессов содержатся в работах А.Е. Алояна и его учеников [191-195,93,153]. В частности в статье [1] рассматривается математическая модель переноса многокомпонентной примеси с учетом фотохимической трансформации и образования аэрозолей в тропосфере северного полушария с учетом кинетических процессов нуклеации, конденсации и коагуляции.
Вопросам математического моделирования теории климата посвящены работы академика В.П. Дымникова и его учеников [40-43,94-97]. Так, например, в статье [41] рассматриваются несколько нелинейных задач физики атмосферы, для решения которых использовалось построение функции Грина. В работе рассмат риваются системы уравнений, описывающих крупномасштабную динамику атмосферных процессов.
Большой цикл работ посвящен решению задач динамики атмосферы и океана [70,198,86,84,94-96,199,99]. Для решения этих задач используются фундаментальные математические методы, такие как метод расщепления и метод сопряженных уравнений, являющиеся основой анализа сложных систем. Значительная роль в создании и развитии этих методов численного анализа и математического моделирования принадлежит академику Г.И. Марчуку. Методы расщепления и сопряженных уравнений широко используются в настоящее время для решения многомерных нестационарных задач для уравнений с частными производными [147,166-168,88,89,92].
Кроме метода расщепления интерес представляет также метод независимых потоков, предназначенный для численного решения многомерного уравнения теплопроводности (массопереноса) [161,31]. В работе [31] предложен новый класс численных алгоритмов решения смешанной задачи для многомерного уравнения теплопроводности. Этот класс содержит как схемы первого порядка аппроксимации, так и второго. Все предлагаемые схемы безусловно устойчивы.
Важные результаты по численному моделированию процессов турбулентности и диффузии примесей в приземном слое атмосферы содержатся в монографии Д.Л. Лайхтмана [76]. В ней автором предлагается замкнутая система уравнений физической модели пограничного слоя атмосферы и определение на ее основе вертикального профиля продольной составляющей скорости ветра и коэффициента турбулентной диффузии. При этом учитывается особенность пограничного слоя атмосферы, состоящая в том, что в ней имеет место взаимообусловленность распределения метеорологических элементов и характеристик турбулентности, что требует их совместного определения на основе решения замкнутой системы уравнений и граничных условий для пограничного слоя при заданных внешних факторах. Исходя из этого, выводится формула для турбулентных потоков различных свойств, необходимая для последующего решения уравнения турбулентной диффузии загрязняющих веществ. Дальнейшее развитие методов математического и численного моделирования явления атмосферной турбулентности и диффузии находит свое отражение в современных работах авторов монографий и статей О.М. Белоцерковного, Опарина A.M. и др. [12-14,189]. В частности в работе [13] проведен анализ фундаментальных понятий и методов, необходимых для изучения турбулентности. С помощью новых численных методик проводится прямое численное моделирование свободной развитой турбулентности, при этом получены основные качественные характеристики строения турбулентности на различных режимах движения: когерентные структуры, ламинарно-турбулентные течения, переход к хаосу. В монографии [14] с помощью численного эксперимента рассматривается проблема развития турбулентности и конвекции. На основе полученных результа тов предлагается физическая модель развития турбулентности. Обсуждаются численные алгоритмы и разностные схемы, позволяющие проводить численный эксперимент в гидродинамике.
Вопросам математического моделирования явления переноса загрязняющих веществ применительно к проблеме экологического мониторинга окружающей среды посвящен большой цикл работ И.Э. Нааца и его учеников, работающих совместно с ним по данному научному направлению [165,71,67,2,72,104-133,137,143,170-173] (Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь). Первые результаты И.Э. Нааца были получены в Институте Оптики Атмосферы Сибирского отделения РАН и связанны с разработкой теории дистанционного оптического зондирования атмосферы в целях прогноза ее оптического состояния, необходимого для различных приложений, включая и контроль уровня загрязнений воздуха в индустриальных центрах. Основные результаты этих исследований изложены в монографии «Обратные задачи оптики атмосферы», написанной совместно с академиком РАН В.Е. Зуевым [134]. К этому же циклу работ относятся следующие статьи [134-136,142,138-140]. Дальнейшие исследования теоретического характера по данному направлению получили продолжение в монографиях [141,173], написанных совместно с Е.А. Семенчиным и В.И. Наац. Продолжение и развитие этих исследований находит отражение в работах Наац В.И. с соавторами [25,57-66,104-133,143,184]. Последние разработки по данному научному направлению содержатся в данной диссертации и будут рассмотрены в последующих главах.
В завершение данного обзора необходимо отметить научные достижения ученых в проблеме моделирования задач экологического мониторинга, полученные под руководством академика В.А. Бабешко (Кубанский государственный университет, г. Краснодар) [196,6-8].
5. Методология совместного использования численных моделей и данных мониторинга. Применение технологии параллельных вычислений в задачах экологии. Важным аспектом методологии моделирования является разработка методов исследования и численного решения задач усвоения данных мониторинга в вычислительных моделях атмосферных процессов. Существуют различные методы для решения подобных задач [190,200,148]. В частности в работе В.П. Шутяева и Е.И. Пармузина [182] рассматривается решение задачи вариационного усвоения данных на основе теории сопряженных уравнений. Основы теории сопряженных уравнений для решения обратных и оптимизационных задач были заложены в ранних работах Г.И. Марчука [90,91]. Применение метода сопряженных уравнений в [182] выполняется для полулинейного параболического уравнения.
В работе В.В. Пененко [149] задача совместного использования численных моделей и данных мониторинга решается методами прямого и обратного моделирования. Рассмотренная методика [149] использовалась для организации сценари ев моделирования на основе данных Reanalysis NCEP/NCAR [197]. Это задачи, связанные с оценками экологической перспективы при различных вариантах антропогенных воздействий и масштабов взаимодействий в климатической системе типа источник-детектор, детектор-источник. Создаваемая для этих целей система моделирования [155] позволяет оперативно восстанавливать пространственно-временную структуру атмосферной циркуляции с заданным разрешением в режиме усвоения данных реанализа. Система моделирования представляет собой многофункциональный комплекс моделей, представляющий собой открытую и развиваемую систему.
Существуют способы повышения эффективности алгоритмов системы моделирования, одним из которых служит метод распараллеливания. Методика организации параллельных вычислений развивается в рамках нового фундаментального научного направления, связанного с совместным использованием численных методов и структур ЭВМ [98]. Оно получило название «Отображение проблем вычислительной математики на архитектуру вычислительных систем» и стало одним из ведущих направлений научных исследований в Отделе вычислительной математики АН СССР (в настоящее время Институт вычислительной математики РАН), созданном академиком Г.И. Марчуком в 1980 году. К настоящему времени известен цикл работ, содержащих последние достижения в этой области [12,98,206,204,205,28-30,180,4]. В частности, в статье В.В. Воеводина [30] рассматриваются основные положения обозначенного выше фундаментального научного направления, анализируется связь этого направления с различными областями, так или иначе связанными с вычислениями. Что касается вычислительных моделей, построенных на основе методов прямого и обратного моделирования [149], позволяющих использование в них измерительной информации, то их структура построена на принципах аддитивности. Выбранный в них способ дискретизации с помощью вариационного принципа и метода расщепления обеспечивает конструирование численных моделей для основных и сопряженных задач в виде схем расщепления, взаимно согласованных на всех этапах вычислений. Как следствие этого возможна многоуровневая схема распараллеливания алгоритмов. В итоге каждый этап технологии моделирования может реализовываться параллельно. При этом на нижнем системном уровне покоординатное расщепление по пространственным переменным также может быть выстроено в параллельную структуру.
Таким образом, обзор научных публикаций позволяет сделать вывод об актуальности математического моделирования в задачах мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна в пограничном слое атмосферы. Несмотря на то, что имеют место значительные достижения в данной области, не все проблемы ещё решены до конца. Так, хотя и существуют развитые методы и технические средства для сбора метеорологической информации, однако измери тельная информация носит дискретный характер, включает в себя ошибки измерений, её объем часто не достаточный для проведения соответствующих расчетов. В связи с этим актуальной является проблема усвоения данных мониторинга вычислительными моделями, для создания которых требуется разработка соответствующих вычислительных методов и алгоритмов, устойчивых к погрешностям в исходных данных. Кроме этого, актуальной остается проблема оценки коэффициентов турбулентной диффузии. Анализ литературных источников по этой проблеме показал, что не существует методов прямого измерения турбулентности, судить о данном явлении можно лишь по другим косвенным измерительным данным. Для оценки коэффициентов турбулентной диффузии разработано большое количество математических моделей, но все они носят качественный характер. Поэтому проблема численного моделирования атмосферной турбулентности остается актуальной и может быть дополнена новыми качественными моделями. Актуальна также проблема создания системы моделирования, которая являлась бы многофункциональным комплексом моделей, представляющим собой открытую и развиваемую систему, основанную на современных информационных технологиях. Существуют и другие не менее актуальные проблемы и задачи. Для решения подобных задач требуется создание математических моделей исследуемых процессов, разработка соответствующих численных методов, построение на их основе соответствующих вычислительных моделей, эффективных решающих алгоритмов и соответствующего программного обеспечения. Перечисленные средства математического, вычислительного и программного обеспечения в совокупности представляют собой информационно-вычислительную технологию моделирования атмосферных процессов, в частности процесса диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы, проблема создания и развития которой является актуальной, современной и относится к быстроразвивающимся в настоящее время областям информационно-вычислительных технологий в науках об окружающей среде.
Цель диссертационного исследования: Разработка и исследование вычислительных методов и моделей, способных к усвоению данных экологического мониторинга, применительно к задачам нестационарного диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы для информационно-вычислительного обеспечения систем оперативного контроля экологического состояния воздушного бассейна.
Для достижения цели диссертационного исследования в работе были поставлены следующие задачи:
1) Разработать на основе технологии расщепления и обосновать вычислительные методы и модели, использующие оперативную информацию метеорологического характера, для трехмерного нестационарного уравнения диффузного переноса
субстанции в пограничном слое атмосферы с учетом в нем пространственно временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии, источника, а также учетом возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере;
2) Построить для исходного уравнения переноса параметризованную вычислительную модель, включающую в себя алгоритм оптимизации, реализующий принцип минимакса, и позволяющий выбирать требуемое решение, согласуя его с дополнительными условиями конкретной прикладной задачи. Для параметризованной модели переноса примесей в пограничном слое атмосферы предложить методику вычислительного эксперимента и реализовать её на примере двумерной модели переноса;
3) Предложить и обосновать вычислительный метод, использующий интегральные представления для решения краевых задач теории диффузного переноса субстанции, на его основе построить итерационные вычислительные схемы для параметризованной модели трехмерной пространственной задачи переноса примесей в рамках метода покоординатного расщепления. Провести исследование метода в вычислительном эксперименте на примере одномерного уравнения переноса;
4) Рассмотреть, обосновать и применить методику построения вычислительных моделей, предназначенную для уравнений эволюционного типа, к нестационарному уравнению переноса примесей, относящемуся к данному классу задач. На основе данной методики, включающей в себя вариационные методы и методы аппроксимации экспериментальных данных построить рекурсивные вычислительные схемы и алгоритмы, определить условия их сходимости, провести вычислительный эксперимент для одномерного уравнения переноса. Обобщить данный метод на трехмерный вариант задачи переноса и построить соответствующую вычислительную схему в рамках метода расщепления;
5) Выполнить постановку обратных задач и разработку соответствующих методов по определению коэффициента турбулентной диффузии и источника, вычислительные модели которых используют данные измерений параметров атмосферных процессов, построить для них соответствующие регуляризирующие алгоритмы, осуществить программную реализацию и вычислительный эксперимент на примере одномерного уравнения переноса;
6) Создать расчетно-аналитические и качественные модели теории переноса примесей, представляющие собой в совокупности простейшие методики прогноза экологического состояния пограничного слоя атмосферы, вычислительные алгоритмы которых и соответствующее программное обеспечение применить к решению прикладных задач экологии;
7) Выполнить обобщение модели диффузного переноса загрязняющих примесей в пограничном слое атмосферы путем введения в неё векторного уравнения Навье-Стокса, учитывающее члены, определяемые турбулентным состоянием пограничного слоя атмосферы и другие физические характеристики среды, измеряемые в эксперименте. Разработать вычислительные методы и алгоритмы для решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, позволяющего вычислять значения компонент вектора скорости ветра, для случая трех пространственных переменных на основе покомпонентного и покоординатного методов расщепления, выполнить постановку и провести вычислительный эксперимент;
8) На основе созданных вычислительных методов и моделей разработать модульную систему алгоритмов информационно-вычислительного обеспечения задач экологического мониторинга и прогноза загрязнения атмосферы, представляющих собой в совокупности информационно-вычислительную технологию решения подобных задач.
Научная новизна работы:
1) Предложены вычислительные модели и алгоритмы на основе методов расщепления и доказана их правомерность для решения первой краевой задачи нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, с учетом пространственно-временной изменчивости всех распределений, входящих в него, и возможной коагуляции частиц;
2) Разработан «метод параметризованных моделей», на основе которого построена параметризованная вычислительная модель переноса примесей в атмосфере, предложены методы выбора и оценки параметров вычислительных алгоритмов в процессе моделирования;
3) Предложен вычислительный метод для двумерной задачи переноса примесей в пограничном слое атмосферы, построение которого осуществляется путем предварительного интегрирования трехмерного уравнения по пространственной координате, построена для него параметризованная вычислительная модель, проведен вычислительный эксперимент;
4) Разработан метод решения нестационарного уравнения диффузного переноса примесей в пограничном слое атмосферы, использующий интегральные представления для решения первой краевой задачи, построено два итерационных алгоритма, для каждого из которых определено условие сходимости, созданы алгоритмы для трехмерных пространственных задач диффузного переноса субстанции в атмосфере;
5) Предложены вариационные методы решения задач диффузного нестационарного переноса субстанции, использующие приближенные исходные данные. Поострены рекурсивные алгоритмы, определены условия сходимости рекурсивных вычислительных процессов для уравнений эволюционного типа с учетом зависимости оператора шага и источника от пространственно-временной распределенности исходных данных;
6) Предложено и исследовано новое аналитическое представление базисной функции в методе конечных элементов и построены соответствующие варианты параметрического базиса, позволяющие учитывать структурную сложность аппрокси мируемых функций, соответствующих экспериментальным данным, проведены численные исследования алгоритмов аппроксимации экспериментальных данных;
7) Выполнена модификация с учетом специфики решаемых задач переноса примесей в атмосфере и детальная алгоритмизация известных вычислительных методов негладкой оптимизации нулевого порядка, применяемых при решении вариационных задач;
8) Разработаны новые методы и соответствующие регуляризирующие алгоритмы на основе обратных задач, постановка которых осуществлялась в рамках концепции усвоения данных мониторинга моделями переноса субстанции в атмосфере;
9) Предложены новые расчетно-аналитические модели поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы и качественные модели, позволяющие оценивать пространственно-временные характеристики процесса переноса загрязняющих примесей в атмосфере;
10) Выведены интегральные уравнения для оценки количества загрязняющих примесей в пункте наблюдения, поступающих в него от источников с конечной и непрерывной длительностью действия и на их основе выполнена постановка обратной задачи источника, для которой построен и обоснован соответствующий регу-ляризирующий алгоритм;
11) Построена обобщенная модель диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере с добавлением векторного уравнения Навье-Стокса, в которое введены члены, определяемые коэффициентами турбулентности пограничного слоя атмосферы, характеризуемые пространственно-временной изменчивостью. Разработаны и обоснованы новые вычислительные методы решения нелинейного уравнения Навье-Стокса и выполнено их обоснование, соответствующие им вычислительные алгоритмы построены для параметризованной модели исходной задачи в рамках методов покомпонентного и покоординатного расщепления;
12) Создана модульная система алгоритмов, являющаяся ядром информационно-вычислительного обеспечения систем мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна.
Достоверность и обоснованность результатов диссертационного исследования определяется использованием при построении новых методов известных теоретических положений курсов «Уравнения математической физики», «Функциональный анализ», «Методы решения некорректных задач», «Методы оптимизации», «Вычислительные методы» и др., а для построения вычислительных схем и алгоритмов — известных вычислительных методов. Кроме того, достоверность получаемых результатов определялась путем тестирования, т.е. сопоставлением приближенных решений с точными решениями, моделируемыми с помощью специально разработанных для этой цели тестовых задачах. Сравнение расчетных данных также проводилось с табличными данными, взятыми из научных публикаций других авторов. Практическая ценность работы состоит в возможности использования созданного в ней математического, алгоритмического и программного обеспечения для создания информационно-вычислительных систем и технологий решения задач мониторинга и прогноза экологического состояния воздушного бассейна. С другой стороны, вычислительные методы и алгоритмы, методика постановки и проведения вычислительного эксперимента, технология построения модульной системы алгоритмов могут быть использованы в учебном процессе при изучении дисциплин «Уравнения математической физики», «Методы решения некорректных задач», «Методы оптимизации», «Вычислительные методы», а также при постановке тем научно-исследовательской работы студентов, курсовых и дипломных работ. Основные алгоритмы и программы зарегистрированы в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (г. Москва), они свободны для распространения и доступны другим пользователям.
Положения, выносимые на защиту:
1. Вычислительные методы и модели, построенные на основе методов расщепления и использующие оперативную информацию метеорологического характера, для трехмерного нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в атмосфере с учетом в нём пространственно-временной изменчивости полей скорости ветра, турбулентной диффузии, источника и возможных трансформаций размеров частиц дисперсных загрязнений в условиях турбулентных движений в атмосфере;
2. Параметризованная вычислительная модель для нестационарного уравнения диффузного переноса субстанции в атмосфере, включающая в себя алгоритм оптимизации, который реализует принцип минимакса и позволяет выбирать требуемое решение, согласуя его с дополнительными условиями конкретной прикладной задачи. Методы выбора и оценки параметров вычислительных алгоритмов, реализуемые в процессе моделирования;
3. Вычислительный метод, использующий интегральные представления для решения краевых задач теории диффузного переноса субстанции, и соответствующие ему итерационные алгоритмы для трехмерных пространственных задач переноса примесей в атмосфере, реализуемые в рамках метода покоординатного расщепления;
4. Вычислительные модели, построенные на основе вариационных методов для нестационарного уравнения диффузного переноса загрязняющих примесей в атмосфере и соответствующие рекурсивные вычислительные схемы, включающие в себя алгоритмы аппроксимации данных мониторинга, а также алгоритмы, реализующие методы негладкой оптимизации нулевого порядка;
5. Методы обратных задач оценки коэффициента турбулентной диффузии и источника, вычислительные модели которых используют данные измерений параметров атмосферных процессов, соответствующие им регуляризирующие алго ритмы. Расчетно-аналитические и качественные модели теории нестационарного диффузного переноса примесей в атмосфере, представляющие собой в совокупности простейшие методики прогноза экологического состояния воздушного бассейна;
$ 6. Обобщенная модель нестационарного диффузного переноса загрязняющих при месей в атмосфере, построенная на основе векторного уравнения Навье-Стокса, учитывающего члены, определяемые турбулентным состоянием атмосферы и другие её характеристики, измеряемые в эксперименте. Вычислительные методы и алгоритмы решения векторного нелинейного уравнения Навье-Стокса, построенные на основе методов покомпонентного и покоординатного расщепления и позволяющие вычислять значения компонент вектора скорости ветра;
7. Концепция комплексного решения (вычислительная технология) задач переноса загрязняющих примесей в атмосфере, реализованная в виде модульной системы алгоритмов, которая может быть ядром информационно-вычислительного обеспечения некоторой системы, функционирующей на метеорологических станциях.
Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации докладывались: на Междунар. форуме по проблемам науки, техники и образования, г. Москва, 1997г.; на Всерос. конф. по физике облаков и активным воздействиям на гидрометеорологические процессы, г. Нальчик, КБР, 1997г.; на 4-ом, Всерос. сим-поз. «Математическое моделирование и компьютерные технологии», г. Кисловодск, Ставропольский край, 2000; на Междунар. науч.-технич. и Российской науч. школе, г. Москва, 1998г.; на Междунар. школе - семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, г. Ростов-на-Дону, 2002, 2004гг.; на 4-ой, 5-ой, 6-ой Междунар. науч.-технич. конф. «Компьютерное моделирование», г. Санкт-Петербург, 2003, 2004, 2005гг.; на Всерос. науч.-технич. конф. «Методы и средства измерений», «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве», г. Нижний Новгород, 2003, 2005гг.; на 1-ой Междунар. науч.-технич. конф. «Инфо-телекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании», г. Ставрополь, 2005г.; на 13-ой Междунар. конф. «Математика, экономика, образо Шк вание», г. Ростов-на-Дону, 2005г; на 3-ей, 5-ой, 6-ой Регион, науч.-технич. конф.
«Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону», г. Ставрополь, 1999, 2001, 2002гг.; на 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой Регион, науч. конф. «Проблемы компьютерных технологий и математического моделирования в естественных, технических и гуманитарных науках», г. Георгиевск, Ставропольский край, 2001, 2002, 2003, 2004гг.
По теме диссертации опубликовано 66 работ, из них 1 монография, 26 статей, 36 тезисов докладов и 3 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ. К основным публикациям можно отнести 32 работы, а именно: монография «Мате ™ матическое моделирование нестационарного переноса примеси в пограничном слое атмосферы», написанная в соавторстве с докторами физ.-мат. наук Семенчи ным Е.А. и Наац И.Э. и опубликованная в издательстве «Физ. Мат. Лит.» (г. Москва); 11 статей в реферируемом научном журнале «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки», входящего в перечень журналов, установленный ВАК РФ; 17 докладов и тезисов докладов, опубликованных в трудах и материалах Международных и Всероссийских форумов, симпозиумов и конференций; 3 свидетельства о регистрации алгоритмов и программ в «Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам» (г. Москва). Из 32 работ без соавторства опубликовано 18. Список работ помещен в конце автореферата. Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Объем работы составляет 339 страниц, включая 80 рисунков, 30 таблиц и список литературы, состоящий из 209 источников.
Модели, учитывающие эффекты взаимодействия частиц дисперсных систем в процессе их переноса в атмосфере. Расщепление уравнения переноса по физическим факторам
Запишем нестационарное уравнение переноса примесей для одной пространственной переменной (для простоты изложения содержания метода): q{xJ) + a№xJ) + {V(xJ)q{x,t))- {K(xJ) q(xA = S(x,t), (1.30) ot дх дх\ ox ) q(x,t0) = q0(x), q(x0,t) = q0Q), q(X,t) = qx(t), t є [t0j], xz[x0,X]. (1.31)
Рассмотрим уравнение (1.30) не с формальной точки зрения, а как возможной математической модели переноса дисперсных загрязнений в пограничном слое атмосферы. Содержательный смысл функций q(x,t), S(x,t), V(x,t), K(x,t) рассматривался выше. Поэтому особое внимание уделим вопросам обеспечения этого уравнения исходными данными и тем трудностям, которые при этом возникают.
Первое, что обращает на себя внимание, состоит в том, что если поле скорости ветра V(x,t) в принципе может быть определено, скажем в некоторой точке (xk,tj), то поле коэффициента турбулентной диффузии K(x,t) следует считать неизвестным. Иными словами, функцию V{x,t) можно считать эмпирически вычисляемой, и исходить из того, что в вычислениях она может быть всегда представлена множеством значений ty{xk,tj)\, к = 0,К, j = 0,N, известных в пределах средней ошибки о . Что касается соответствующих значений функции K(x,t), то в лучшем случае они могут быть определены с использованием полуэмпирических формул, которые связывают в среднем наблюдаемые пространственно-временные вариации компонент скорости ветра со средними значениями K(x,t) в пределах локальных объемов исследуемой среды [76]. Таким образом, применение уравнения (1.30) к задачам переноса загрязнений в пограничном слое атмосферы сталкивается с определенными трудностями и, как следствие, недостаточной определенностью для того, чтобы гарантировать прогнозы пространственно-временных вариаций поля концентрации загрязнений.
К этому следует добавить ряд других моментов, осложняющих проблему обеспечения исходными данными расчеты с использованием решений уравнения переноса. Речь идет, прежде всего, о том, что в уравнение (1.30) помимо V{x,t) и K(x,t) входят также и их частные производные (V(x,tj)x и (K(x,t))x. Что касается определения (V(x,t))x, то эта задача решается, если V(x,t) представлена множеством приближенных данных [v(xk,tj)\, при использовании соответствующих расчетных методик. Оценка (K(x,t)) х заметно сложнее, поскольку операция дифференцирования полуэмпирических формул почти бессодержательна в соответствии с теорией аппроксимации функций [80]. Наилучшим выходом из этой ситуации является использование метода «взвешенной невязки» для построения решающих алгоритмов, о чем подробно речь пойдет ниже.
Указанные выше трудности в задачах моделирования нестационарного процесса диффузного переноса часто преодолеваются в рамках качественного подхода, основанного на введении так называемых турбулентных состояний пограничного слоя. Опуская физическое обоснование подобной классификации, о котором подробно сказано в [76,173] (см. введение), укажем лишь на то, что с формальной точки зрения речь идет об ограничениях на V(x,t) и K(x,t) типа F,(/) V(x,t) Vp, K\l) K(x,t) К?, / = 1,2..., где K,(/), V} \ К\ \ - некоторые числа, определяющие границы изменения нолей V{x,t), K(x,t) и зависящие от типа состояния (индекса /). В пределах указанных границ можно говорить о существовании определенной функциональной зависимости между V{x,t) и K(x,t), представленной той или иной полуэмпирической формулой в которую естественно входят и физические характеристики пограничного слоя атмосферы [76,100]. Говорить о неких средних значениях V и К можно в пределах определенного типа состояния пограничного слоя.
Помимо рассмотренной выше проблемы, связанной с практическим применением уравнения переноса (1.30), не менее сложным является соответствующий выбор интервалов [х0,х] и [t0,T]. Эти интервалы связаны с заданием начальных и
граничных условий (1.31). Ошибки задания функций q0(x), q0(t) и qx(t) естественно влекут ошибки в q(x,t), получаемой при решении уравнения (1.30). В исследованиях чисто теоретического характера принято полагать в качестве указанных интервалов следующие (- х ,+со) и (0,+ х ). В соответствии с этим указанные выше функции считаются тождественно равными нулю, за возможным исключением первой из них. Для стационарных задач подобное допущение возможно и приемлемо, однако для задач оперативного прогноза динамики поля загрязнений в атмосфере подобный подход необоснован. В связи с этим в пределах настоящего исследования выбор значений X и Т будет считаться некой самостоятельной задачей теории моделирования явления переноса. Выбор масштабов изменения пространственной и временной переменных следует рассматривать как выделение некоторого локального «объема» исследуемой среды с учетом конкретных особенностей решаемой задачи. Подобная задача адекватно отвечает ситуации, связанной с аварийными выбросами загрязнений в атмосферу и оперативного прогноза его распространения в пределах пограничного слоя атмосферы. Задача выбора величин X и Т тесно связана с оценкой двух важных характеристик качества получаемой информации о поле концентрации, это (Ax)mjn и (Af)mjn. Первая из них определяет «пространственное разрешение» при исследовании поля концентрации загрязнений, а второе - «временное разрешение». Эти характеристики следует считать определяющими независимо от методов исследования пространственно-временной изменчивости физических полей, каким в частности является поле концентрации q(x,t). Замечание касается не только эмпирических методов исследования, но и расчетно-аналитических, в последнем случае особенно при наличии неопределенности задания исходных данных. В любом случае необходима оценка погрешности получаемого результата.
Неопределенность исходной задачи требует построения соответствующей адекватной параметризованной модели данного физического явления с последующей оптимизацией получаемого в рамках этой модели результата. В пределах настоящей главы этот подход, который можно назвать условно «методом параметризованных моделей» детально разрабатывается на примере задач теории переноса субстанции в турбулентных средах. Можно его применять более широко не только к задачам переноса, но в данном случае, когда речь идет о переносе загрязнений в пограничном слое атмосферы, характеризующемся высокой степенью пространственно-временной изменчивостью своих параметров, этот подход наиболее эффективен. Формальное решение уравнения параболического типа (1.30) мало что либо проясняет в приложениях к практическим задачам экологии.
Второй итерационный метод численного решения задач переноса примесей на основе интегральных представлений. Доказательство сходимости и численные исследования метода
Для реализации вычислительной модели (1.37), (1.37а) на ЭВМ необходимо вычислить значения нормировочных коэффициентов (1.38). Для этого требуется оценить вероятные значения q, S , V , К\ а, X, Т и диапазоны изменения данных величин. Предполагается при этом, что исходные данные получены в эксперименте при определенных значениях метеопараметров атмосферы в пределах пограничного слоя. Как известно, для этого могут применяться различные методи ки и технические средства проведения натурных экспериментов (см. обзор во введении).
При определении диапазона возможных значений указанных величин необходимо иметь в виду, что атмосфера по своим физическим свойствам (температура, давление, плотность и т.д.) неоднородна как по вертикали, так и по горизонтали. Наиболее сильно эти свойства изменяются по высоте. По признаку изменения температуры по высоте атмосферу делят на пять слоев, одним из которых является тропосфера (от 0 до 11км) [76, 68,189]. Внутри данного слоя выделяют пограничный слой атмосферы высотой от 1 до 1,5 км, а внутри пограничного - приземный слой высотой от 50 до 100 м. В пограничном слое на движение воздушных масс значительное влияние оказывает подстилающая поверхность и силы турбулентного трения. В пределах приземного слоя, и в целом пограничного слоя резко с высотой изменяются температура, скорость ветра и турбулентность (см. таб. 10 и 11, прил. 3). Таким образом, при определении значений V , К в вычислительном эксперименте необходимо учитывать высоту, при значении которой будут проводиться расчеты.
Кроме этого необходимо также учитывать тип стратификации пограничного слоя атмосферы, определяемого значением параметра стратификации (см. таб. 3, прил. 3). Выделяют условия безразличной или равновесной стратификации, когда вертикальный поток тепла равен нулю, а изменение температуры воздуха с высотой происходит по адиабатическому закону. Учитывая небольшую вертикальную протяженность приземного слоя, можно говорить о равновесной стратификации и в тех случаях, когда температура мало меняется с высотой, в частности при изо-термии. Неравновесная стратификация характеризуется температурными градиентами, существенно отличными от нуля. Условия со сверхадиабатическими градиентами температуры относят к неустойчивому состоянию атмосферы. В таких случаях стратификация способствует развитию случайных возмущений в воздушном потоке и усилению турбулентного обмена. Инверсионное распределение, связанное с ростом температуры с высотой, определяется как устойчивая стратификация. При наличии инверсии температуры возмущения в потоке воздуха гасятся, и интенсивность турбулентности значительно ослабляется. В таблицах 10 и 11 приложения 3 приведены экспериментальные значения скорости ветра и коэффициента турбулентной диффузии на разных высотах и при различных типах стратификации. Так на высоте 100 м скорость ветра V «10 м/с, а коэффициент турбулентной диффузии К «17.5м2/с; соответствующие диапазоны изменения на высоте от 50 до 500 м.: для скорости ветра [ т1П,1 тах]«[3-7;16.4] м/с при нейтральной стратификации, [Vmin ,Fmax]«[4.4;13.2] м/с при неустойчивой стратификации и [ min niax] [)-2;13.7] м/с при устойчивой стратификации; для коэффициента турбулентной диффузии [Ктіп,Ктм] [8;5б] м2/с.
Важное значение при выборе величины коэффициента турбулентной диффузии имеет тип облачной системы, наблюдаемой в верхних областях пограничного слоя от 1 до 1,5 км и выше (см. таб. 14 и 15, прил.З). Так, например, для слоисто-дождевой облачности (Ns-As) рекомендуемые значения коэффициента турбулентной диффузии К меняются в пределах [ктіп, Ктзх ]«[2;25] м2/с, а для кучево-дождевой облачности (Cb) - [ATmin,Ктах]& [50;1500] м2/с.
Вычислить значения V , К можно также с помощью полуэмпирических формул, список которых приведен в таблице 16 приложения 3. При вычислениях по данным формулам будут учитываться значения других метеорологических параметров атмосферы. Примеры соответствующих расчетов можно найти, например, в работе [189].
В таблице 4 приложения 3 приведены возможные значения параметра a , оп ределяющего скорость осаждения частиц на высоте 100 м. При этом учитываются размеры частиц и вид примеси: легкая, средняя и тяжелая. Так, например, для оса ждающейся примеси со средним размером частиц рекомендуемое значение а «0.3-10-2 (\/с), соответствующий диапазон изменения kin .aJ io.n-io- o.n.io- JO/c).
Для определения возможных значений концентрации примесей в приложении 3 приведены таблицы 1, 2, 5, 6, 7 и 8. Анализ данных, представленных таблицах 1, 5, 8 показывает, что концентрация вредных веществ в воздухе, в частности ПДК, меняется в пределах [#тп, 7тах]« [0.5-10 ";0.5-10 8] (кг/м3). В таблице 6 приведены значения концентрации которая измерялась при условии постоянно-действующего источника вблизи промышленных предприятий при невысокой скорости ветра 0,8 - 1,2 м/с, что приблизительно соответствует высоте 1 -1,5 м. (см. таб. 9, прил. 3) при различной удаленности от источника, и составляет q « 0.5-10"8 (кг/м3). В таблице 7 приведены значения концентрации, измеряемой при условии постоянно-действующих источников различного типа с учетом диаметра сечения устья источника и его высоты. Так, при высоте источника 120 м. и диаметре сечения устья источника 6 м. (номер источника 0002) концентрация вредного вещества составила q «0.5-10"3 (кг/м3), а при высоте источника 18 м. и диаметре сечения устья источника 0,4 м. (номер источника 0008) концентрация вредного вещества составила q « 0.5-Ю-6 (кг/м3). Как видно, диапазон изменения концентрации сильно меняется: от 0.5-10"" до 0.5-10"3 (кг/м3). Это зависит от условий проведения эксперимента, а именно, значений скорости ветра, коэффициента турбулентной диффузии, высоты, типа источника и других параметров.
Вычислительная модель нестационарного переноса примеси на основе ПО метода наименьших квадратов с применением в ней многочленов Берн-штейна. Численные исследования алгоритма
Вычислительный итерационный метод, как показано выше, определяется соотношениями (2.8), (2.9), (2.10) и (2.11). Для построения вычислительной схемы метода заменим в этих выражениях функции q(y)(t\x), K(t,t \x), p(t\x) и i//(t,xk,qiy)(t\xk)) сеточными функциями q{v\xk,tj) = q[v], K{xk,ti,tj) = KkiJ, (p(xk,tj) = (pkJ и y/(v){tj,xk) = y/ k\ где (xk,tj) - внутренние узлы равномерной сетки, У = 1,/1, к = \,т, Д/ = 1/(и + і), Ах = ]/(т + \), Я = At/Ах2; tj=J-At, j = 0,n; хк=к-Ах, к = 0,т + \. Начальными условиями определяются значения qil,)(xk,t0 = 0), к = 0,т + \; граничными условиями задаются значения q(v)(x0 = 0,/.) и q(y)(xm+i = My) J = ,п Тогда вычислительная схема получит представление: ЯІЇ=пМ)-Л- ґЬ;№)-ІЇУ;п, (2.20) /=0 9k ) = qkyA- cor{arAx2+p-Ax-{Vu-Vk_u [ Ы0 J ;=0 ЛДД) = ехр-Я.Х -Ах-(«/-Ах + /5-( -К,.и))1, (2.22) 7 = (/? л - г ( ., - »-„)) («17 - &3)- У ./ te - 2Й""+Л ).(2.23) где v = 0,1,2,..., qfk] = pJk, j = \,п, к = \,т. Проверяется условие сходимости: і т я Р С / =—ЕЕИЗ-йЛ 2-24) если р є,то qid = g , в противном случае v = v +1. Интегралы, входящие в выражения (2.8), (2.9), (2.10) и (2.11) приближенно заменены интегральными суммами с квадратурными коэффициентами {со/\, i = 0,j, j = \,n. Подробный вывод
(2.20)-(2.23) изложен в приложении 2.6. Детальный алгоритм, соответствующий вычислительной схеме (2.20)-(2.23) можно найти в приложении 2.7. Данный алгоритм, построенный на основе тестового примера пункта 1.4.3, реализован программно, выполнен на ЭВМ при значениях исходных данных, описанных в пункте 1.4.4 кроме данных Лг = 900л/, Т = 60с, V0 =5м/с. Были получены расчетные значения V =\5J3M/C, К =\22М2/С, q =2.69-104 (кг/м), S =0.89-10-1 (кг/.и-с). Ниже приводятся результаты расчетов (их нормированные значения) в виде следующих массивов: массив q, ={(ду)я}, У = 1,и,20, i = \,m представляющий собой точное решение и массив q = { 7Л/}, У = 1,и,20, i = \,m, полученный в результате расчетов, проводимых по алгоритму итерационного метода.
На рисунке 11 и 12 показаны «профили» - пространственно-временные распределения полей концентрации загрязняющих примесей, соответствующих первому и второму массивам соответственно. Профили приближенного решения и точного практически совпадают. Значение r(qr,q) - отклонение точного решения от расчетного (1.54а), составило 2,0Е-02. На рисунке 13 показаны графики функций qr(t\x) и q(t\x), показывающие изменение концентрации примесей по времени
в заданной фиксированной точке наблюдения и соответствующее значение погрешности. На рисунках 15 и 16 графически представлены пространственно-временные распределения полей концентрации загрязняющих примесей, соответствующих первому qT = Wr)ji\ и второму q={qJi\ массивам соответственно. Профиль приближенного решения практически повторяет профиль точного решения. Значение o(qT,q) - отклонение приближенного решения от точного решения (1.54) составило 8,85Е-03. На рисунке 17 приведены графики функций q7 (xli ) и q[x\i), показывающие изменение концентрации примесей по пространственной переменной х при фиксированном значении момента времени /. Расчет значений # = 1 ,),
j = \,п, і = \,т для данного тестового примера потребовал 4 итерации.
На рисунке 18 представлены результаты численного исследования поведения погрешности вычислительного процесса по времени для фиксированного значения пространственной координаты х. Видно, что со временем нестационарный процесс начинает расходиться, хотя вычислительная ошибка остается на уровне 1%, что является вполне приемлемым значением. В таблице 7 показано, как влияет уменьшение значения параметра ц на точность вычислительного процесса, характеризуемую величинойa(q7 ,q). Расчетные данные таблицы показывают, что приемлемыми значениями ju можно считать значения // = {1/200,1/300,1/400} при конкретных значениях исходных данных. Устойчивость метода исследовалась по методике, определяемой соотношениями (1.55)-(1.56). В таблице 8 приведены расчетные значения величин: 8 (1.55а), т (1.546) и а- относительная погрешность и т] - коэффициент усиления ошибки (1.56а).
Обратные коэффициентные задачи для уравнени й непрерывности поля скорости ветра в пограничном слое атмосферы
Вычислительные модели уравнения переноса, построение которых выполнялось в данной главе, обладают рядом особенностей, достоинств и недостатков. Обсудим некоторые из них.
Прежде всего, выделим общее, что характерно для данных моделей. Во-первых, неизвестному искомому решению ставится в соответствие некоторая ап-проксимационная форма Bm+i(x,C(t)) или Um+](x,C(t)). На ее основе выполняется редукция исходного уравнения переноса к системе линейных алгебраических уравнений - в первой модели или к системе линейных дифференциальных уравнений - во второй модели. В каждом случае система включает в себя неизвестные коэффициенты C(f), относительно которых она и решается тем или иным методом. Основная идея при этом состоит в том, что для каждого фиксированного момента времени искомому решению q{x,t) ставится в соответствие вектор коэффициентов C(t) = {Ck(t)}, к = \,т, являющийся представлением решения в соответствующем базисе в узловых точках хк є[0,і], к = 0,т + \. Поиск значений неизвестных коэффициентов реализуется в модели процедурой минимизации соответствующего функционала (3.63) или (3.90). Вычислив значения коэффициентов С(/), затем с помощью аппроксимационной формы Bm+](x,C(t)) или Um (x,C(t)) получим непрерывный аналог искомой функции (х,/7)}\/хє[0,і] для каждого фиксированного момента времени / є [o,l]. В этом состоит отличие вычислительных методов данной главы от методов предыдущей главы, которые позволяли определять значения неизвестной функции q(x,t) лишь в конечном числе точек х(є[0,і], і = 0,т + \ Применение многочленов Бернштейна для аппроксимации искомого решения в первой вычислительной модели позволяет использовать их положительные свойства, изложенные выше. В частности, многочленами Бернштейна можно аппроксимировать не только q(x,t), но и производные q {x,t), q"(x,t) искомого решения, а также исходные данные V(x,t), V (x,t), K{x,t), K (x,t), S(x,t). В работе проведено численное исследование аппроксимации производных. Показано, что аппроксимация многочленами Бернштейна при достаточно большом числе узлов хк є [0,l], к = 0,т + \ позволяет получить результат с приемлемой точностью порядка 1.0-03 - 1.0-02. Кроме того, вычислительная модель, использующая многочлены Бернштейна, позволяет вычислять значения не только искомого решения q(x,t), но его первой производной q (x,t). В качестве недостатков можно отметить следующее. Во-первых, необходимо аппроксимировать производные исходных данных V (x,t), K\x,t). Исходные данные, согласно постановке задачи, представлены дискретными измерениями и сами нуждаются в аппроксимации. Поэтому использование в вычислительной модели аппроксимационных форм B m (x,t,V(x,t)),
B m+](x,t,K(x,t)) в итоге снижает точность работы алгоритма за счет накопления вычислительных ошибок. Во-вторых, использование многочленов Бернштейна предполагает равномерное распределение узлов {хк} на всем интервале [0,l]. Это в свою очередь означает, что измерения исходных данных также должны быть проведены в этих точках, что не всегда соответствует реальным прикладным задачам. Базисные функции pm+lk(x) при этом принимают значения на всем интервале [o,l]: Vxe[0,l].
Во второй модели реализована концепция конечных элементов, предложено новое аналитическое представление для базисной функции. На основе этого предлагаются различные способы выбора базиса и соответствующих аппроксимацион-ных форм, таких как Um+i(x,C(l),S) для случая неравномерного распределения узлов {хк} навеем интервале [ОД], Um+](x,C(t),S) для случая равномерного распределения узлов {хк} на всем интервале [ОД] и Um (x,C,S) для случая, когда Um+i(x,C(t)) = Bm+l(x,C(t)). Таким образом, распределение узлов {хк} на интервале [ОД] может быть неравномерным (произвольным). Кроме того, когда при выполнении определенных условий Um+](x,C(t)) = Bm+](x,C(t)), то Um+i(x,C(t)) наследует все свойства многочленов Бернштейна. С другой стороны, можно варьировать характеристики базиса {sk, Qk, (ак, рк)}, к = О, от +1, с тем, чтобы учитывать структурную сложность аппроксимируемой функции. Здесь необходимо отметить, что базисные функции {ик(х)} принимают значения на конечных элементах \/xeQ.k, к = 0,т + \. Все эти дополнительные свойства и возможности аппроксимационной формы Um+i(x,C,S) позволяют аппроксимировать исходную функцию по ее дискретным отсчетам значительно лучше, чем многочлены Бернштейна, и при этом требуется меньшее число узлов. Однако есть и недостаток. Он состоит в том, что в отличие от многочленов Бернштейна, представление U m+l(x,C,S) Ф f (x), т.е. не существует возможности аппроксимировать производную функции.
Построение второй вычислительной модели основано на методе «взвешенной невязки». При этом требуется осуществлять выбор весовых функций. Известно, что существуют различные подходы к выбору весовых функций. В нашем случае в качестве весовых функций выбираются сами базисные функции, что соответствует методу Галеркина. Хотя, варьируя выбор весовых функций, можно расширить возможности вычислительной модели. Применение метода взвешенной невязки приводит исходное дифференциальное уравнение переноса к системе линейных дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов
C(t) = {ск(/)} и C(t) = \Ck(t)}, к = \,т. Процедура интегрирования по частям, выполняемая в ходе построения вычислительного алгоритма, позволяет избавиться от использования в модели аппроксимации производных исходных данных V (x,t), K\x,t). При этом операция дифференцирования переносится на весовые функции. Далее система линейных дифференциальных уравнений редуцируется по схеме Кранка-Николсона к системе линейных алгебраических уравнений. В работе рассмотрено и исследовано в ходе вычислительного эксперимента три метода решения данной системы. Алгоритм одного из них включает в себя процедуру вычисления так называемой обобщенной обратной матрицы, основанную па итеративной формуле Бен-Израэля. Важным является само понятие обобщенной обратной матрицы, определяемое теоремой Пенроуза. Данный алгоритм позволяет уйти от непосредственного вычисления обратной матрицы и связанными с этим известных проблем. Другим способом решения является метод прогонки. Возможность его применения обусловлена тем, что матрица системы - трехдиагональная. Вариационный подход в модели реализуется путем применения методов минимизации функции невязки, что позволяет уйти от решения системы линейных алгебраических уравнений.
