Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор известных результатов синтеза последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов, для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции 19
1.1. Основные характеристики ДКП 19
1.2. Последовательности, сформированные на основе классов степенных вычетов, для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции 23
1.3. Основы обобщенной методики синтеза ДКП на основе СРКВ 26
1.4. Выводы и постановка задач диссертационного исследования 29
2 Синтез троичных последовательностей с заданной совокупностью ограничений на их характеристики 32
2.1. Постановка задач третьей главы З 3
2.2. О синтезе бинарных последовательностей с периодом 2р 33
2.3. Синтез уравновешенных бинарных последовательностей с периодом Ар и квазиидеальной автокорреляцией 45
2.4. Программа синтеза троичных последовательностей с заданной совокупностью ограничений на их основные свойства или характеристики 52
2.5. Описание базы данных троичных последовательностей с заданной совокупностью ограничений на их основные характеристики 57
2.6. Выводы по главе 59
3. Методы синтеза последовательностей для многофазной и амплитуд но-фазовой манипуляции с простым периодом на основе СРКВ 61
3.1. Постановка задач третьей главы 61
3.2. СРКВ и корреляционные функции последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции 62
3.3. Синтез последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции с ограничениями на их основные характеристики 69
3.4. Алгоритм и программа синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции 74
3.5. Регулярные правила кодирования последовательностей с тремя или четырьмя градациями фазы и квазиидеальной ПАКФ или ПВКФ
3.6 Выводы по главе 90
4. Методы синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с периодом тр 92
4.1. Постановка задач четвертой главы 92
4.2. Пример синтеза четырехфазных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ ид/Ч 93
4.3. О распространение методов синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с простым периодом р на последовательности с периодом тр
4.4. Синтез последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции на основе троичных последовательностей 103
4.5. Синтез последовательностей с периодом тр на основе последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции простого периода 106
4.6. Выводы по главе 109
Заключение 110
Литература 111
Приложение А 121
Приложение В 125
- Последовательности, сформированные на основе классов степенных вычетов, для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции
- Синтез уравновешенных бинарных последовательностей с периодом Ар и квазиидеальной автокорреляцией
- Синтез последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции с ограничениями на их основные характеристики
- Синтез последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции на основе троичных последовательностей
Введение к работе
Актуальность работы. Математическая модель сигнала, как функции времени, является основополагающей для теоретической радиотехники, оказавшейся плодотворной как для анализа, так и для создания радиотехнических устройств и систем. Математические модели дискретных сигналов, а также процессов, определяются дискретно-кодированными (ДКП), в том числе, псевдослучайными последовательностями. Интерес к ДКП растет с бурным развитием цифровой вычислительной техники и цифровых процессоров формирования и обработки сигналов. Широкое применение ДКП обуславливает обширный диапазон требований к их свойствам и характеристикам.
Современная элементная база позволяет использовать последовательности с многофазной и амплитудно-фазовой манипуляцией, которые приобретают всё большее практическое значение. Вопросам анализа и синтеза таких последовательностей и их применениям посвящены многочисленные научные публикации. Прежде всего, отметим, что большой вклад в развитие теории внесли: Д.Е. Вакман, Я.Д. Ширман, И.Н. Амиантов, Л.Е. Варакин, М.И. Пелехатый, М.Б. Свердлик, В.М. Сидельников, К.А. Мешковский, В.П. Ипатов, В.Е. Гантмахер, А.Н. Леухин., Е.И. Кренгель, S.W. Golomb, R. Gold, T. Kasami, R.L. Frank, S.A. Zadoff, L.R. Welch, F.F. Kretschmer, B.L. Lewis, J.S. No, G. Gong и др.
Хорошо известны и часто применяются последовательности Франка, Задоффа-Чу и другие, обладающие идеальной периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ). Леухиным А. Н. было предложено алгебраическое решение задачи синтеза фазокодированных последовательностей с одноуровневой ПАКФ. Среди последовательностей с заданным числом градаций фазы можно выделить M -фазные последовательности Сидельникова, n - фазные последовательности степенных вычетов и другие, обладающие ПАКФ близкой к идеальной (квазиидеальной). Однако как для всех упомянутых ДКП, так и для многих других известных ДКП с квазиидеальной ПАКФ, значение пик-фактора pf – отношения периода последовательности к числу ненулевых символов на периоде, близко к единице или стремится к ней с ростом периода последовательности. В то же время практически отсутствуют методы синтеза последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции с пик-фактором, не меньшим двух, не являющихся произведением двух последовательностей. Последнее, в частности, представляет большой интерес для радиолокационных станций с квазинепрерывным режимом работы.
На основе разработанной В.Е.Гантмахером теории спектров разностей классов вычетов (СРКВ) по простому модулю были созданы методы синтеза троичных квазиортогональных последовательностей и двоичных последовательностей с квазиодноуровневой ПАКФ, которые позволили синтезировать последовательности, обладающие по сравнению с известными, более плотной сеткой периодов и более плотным рядом значений пик-фактора. Дальнейшим развитием теории СРКВ стала комплексная методика анализа и синтеза ДКП с заданным набором значений параметров, предложенная В.Е. Гантмахером и В.А. Едемским. Она позволяет синтезировать двоичные и троичные последовательности не только с простым периодом p, но и, частично, с периодом mp, где m – натуральное число, взаимно простое с p, посредством расширения области применения теории СРКВ. При этом авторы комплексной методики ограничились лишь синтезом двоичных и троичных последовательностей, в то время как с помощью этой методики можно синтезировать последовательности, определяющие закон многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции.
Таким образом, совершенствование элементной базы цифровой вычислительной техники позволяет существенно расширить ассортимент ДКП за счёт многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции. Новые методы синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции могут быть получены за счет расширения области применения вышеупомянутой комплексной методики.
Цель диссертации заключается в разработке, обосновании и применении эффективных численных методов, алгоритмов и комплекса программ синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции, в том числе псевдослучайных, характеристики которых обусловлены математическими моделями дискретных сигналов в радиолокации, системах связи, распознавании образов и других областях. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
разработка комплекса программ для формирования базы данных двоичных, троичных и бинарных последовательностей с заданными характеристиками;
расширение области применения теории СРКВ и комплексной методики синтеза ДКП на синтез последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции;
математическое обоснование численных методов синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с заданной совокупностью ограничений на период, пик-фактор, вес, число фаз, рельеф ПАКФ;
создание алгоритмов и комплекса программ, реализующих разработанные методы синтеза последовательностей;
анализ результатов расчета параметров последовательностей, обобщение найденных частных решений, и как следствие, поиск новых регулярных правил кодирования последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции;
обобщение методов синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с простым периодом p на последовательности с периодом mp.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы теории чисел, теории конечных полей, алгебры, численные методы и компьютерное моделирование.
Достоверность теоретических результатов обеспечивается применением апробированного математического аппарата, корректностью математических выкладок и подтверждается многочисленными примерами синтеза последовательностей, результатами расчетов их характеристик на вычислительных машинах, а также соответствием новых результатов уже известным ранее.
На защиту выносятся следующие основные положения:
-
Комплекс программ для формирования базы данных двоичных, троичных и бинарных последовательностей с заданной совокупностью ограничений на их характеристики.
-
Математическое обоснование численного метода синтеза фазокодированных последовательностей с заданным числом градаций фазы и идеальной (квазиидеальной) периодической автокорреляционной функцией.
-
Численные методы, алгоритм и программное обеспечение синтеза последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции с ограничениями на период, вес, пик-фактор (), число фаз, значения периодической автокорреляционной функции.
-
Результаты синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции, регулярные правила кодирования, в том числе, с периодом mp.
Научная новизна заключается в математическом обосновании предлагаемых в работе численных методов синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции и создании комплекса программ, реализующих разработанные методы. В частности, новыми являются следующие результаты:
регулярные правила кодирования бинарных последовательностей с периодом 2p, 4p и квазиидеальной ПАКФ;
база данных двоичных, троичных и бинарных последовательностей и комплекс управляющих программ, позволяющий формировать и пополнять базу данных численными методами на основе теории СРКВ;
численные методы синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции, алгоритмы и комплекс программ;
результаты синтеза последовательностей, новые правила кодирования семейств последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с периодами р, mp и квазиодноуровневыми периодическими автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями (ПВКФ);
математическое обоснование вычислительного метода синтеза фазокодированных последовательностей с заданным числом градаций фазы, идеальной (квазиидеальной) ПАКФ.
Практическая ценность работы. Практическое значение результатов работы определяется тем, что разработанные методы синтеза позволяют формировать последовательности для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции дискретных сигналов в системах связи, радиолокации и других областях. Разработанный комплекс программ позволяет синтезировать широкий класс последовательностей для построения математических моделей дискретных сигналов. В частности, результаты диссертационной работы были использованы в следующих научно-исследовательских работах:
1. Фундаментальная НИР "Теория анализа, синтеза и обработки шумоподобных сигналов в радиотехнических системах различного назначения", руководитель Гантмахер В.Е., по заданию Рособразования, гос. рег. № 0120.0 503550, 2005-2009 г.г.
2. Фундаментальная НИР "Исследование методов синтеза сложных сигналов, видов манипуляции и способов обработки для перспективных радиолокационных систем", руководитель Гантмахер В.Е., по научно - технической программе Рособразования «развитие научного потенциала высшей школы», гос. рег. № 0120.0 603815, 2006-2008 г.г.
3. Фундаментальная НИР "Разработка методов синтеза и обработки сложных сигналов с большой базой для радиолокационных станций с квазинепрерывным режимом работы", руководитель Гантмахер В.Е., по аналитической ведомственной целевой программе “Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)”, № 2.1.2/2714.
4. Фундаментальная НИР " Разработка методов синтеза дискретно - кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств, руководитель Гантмахер В.Е., по заданию Рособразования, 2010-2014 г.г.
Личный вклад автора. В диссертационной работе обобщены результаты, выполненные лично автором или при его непосредственном участии. Методы синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции, алгоритмы, их реализующие, и соответствующий комплекс программ разработаны лично автором. Методика, используемая при анализе результатов синтеза последовательностей, разработана при участии Едемского В.А.
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на международных научных и научно-технических конференциях: "Радиолокация, навигация и связь" (г. Воронеж – 2008-2010); «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития » (г. Одесса-2007); «Математика в вузе» (г. Санкт–Петербург – 2008-2010). А также на научных конференциях преподавателей, аспирантов и студентов НовГУ (г. В. Новгород – 2008-2010); на семинарах «Шумоподобные сигналы и их применение» (НовГУ); на семинарах кафедры КПМИ НовГУ.
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 4 – в журналах, входящих в перечень, рекомендованный ВАК для публикации основных результатов диссертаций. Получено два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. При участии автора подготовлено 4 отчета по НИР. Перечисленные работы достаточно полно отражают содержание диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 132 страницы. Библиография содержит 118 наименований.
Последовательности, сформированные на основе классов степенных вычетов, для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции
Этот подраздел посвящен анализу известных результатов о последовательностях для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции, сформированных на основе классов вычетов. Общая история вопроса детально представлена в [78].
Работы Ф.М Вудворда [1], В.А.Котельникова [2] и К. Шеннона [3], положили начало новым областям исследования в теории передачи информации и теории сигналов, связанные с синтезом сигналов с заданными корреляционными и спектральными характеристиками, их анализом и обработкой.
В конце 60-х - середине 70-х годов прошлого века в отечественной [4 -18] и в зарубежной [19-37] литературе была дана классификация сложных сигналов, а также систематизированы методы синтеза сигналов с заданными спектральными и корреляционными характеристиками, известными на тот момент. Тем не менее, задача была решена не для всех видов сложных сигналов. Дальнейшее развитие методов синтеза сигналов при многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции представлено в [38-52].
Леухиным А. Н. было предложено алгебраическое решение задачи синтеза фазокодированных последовательностей с одноуровневой ПАКФ [53]. Развитие его методов и исследование смежных вопросов, представлено в [54-70]. Непосредственно на классах степенных вычетов формируются бинарные последовательности квадратичных вычетов (называемые последовательностями Лежандра или последовательностями Пэли) [71], последовательности Холла [26, 34] , простых чисел близнецов (последовательности Якоби) [27]; двоичные последовательности биквадратичных и восьмеричных вычетов [26,34]. Более детальный обзор результатов о бинарных и двоичных последовательностях, сформированных на классах степенных вычетов, выполнен в [72,73]. А также на основе классов степенных вычетов формируются М-фазные последовательности Сидельникова [74], п - фазные последовательности степенных вычетов [75] и другие, обладающие ПАКФ близкой к идеальной (квазиидеальной). Фазокодированные последовательности, сконструированные на основе классов степенных вычетов, исследовались в [76,77].
Отметим, что при этом, как для всех упомянутых ДКП, так и для других известных ДКП с квазиидеальной ПАКФ, за исключением последовательностей биквадратичных и восьмеричных вычетов, значение пик-фактора pf— отношения периода последовательности к числу ненулевых символов на периоде, близко к единице или стремится к ней с ростом периода последовательности.
В то же время, большой интерес представляют методы синтеза последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции с пик-фактором, не меньшим двух, не являющихся произведением двух последовательностей, и удовлетворяющих заданной совокупности ограничений на корреляцию, в частности, для радиолокационных станций с квазинепрерывным режимом работы. Для решения поставленной задачи Гантмахером В. Е. был разработан математический аппарат теории спектров разности классов вычетов (СРКВ) и на его основе были синтезированы ДКП, которые обладают, по сравнению с известными последовательностями, более плотной сеткой периодов и более плотным рядом значений пик - фактора [72, 79-83].
В основу формирования последовательностей, рассмотренных в [72,79-83] положено обобщённое правило кодирования (ПК), предложенное в [18]: Здесь p = dR + \ - простое число; d,R - натуральные числа; Hk = {0k+dt, t = 0,R-\}, k = 0,d-l; в - первообразный корень по простому модулю [87-90], I ,J непересекающиеся подмножества индексов к и /, 0 k,l d-\,k l В общем случае ПК (1.2.1) формирует троичную последовательность (ТП) х/ є {0,±1}, то есть алфавит состоит из трёх символов {-1,0,1}. При этом, на позициях, принадлежащих одному классу степенных вычетов, все символы одинаковы, т. е. значение xt - постоянно при индексах из одного класса. Далее, В.Е. Гантмахер и В.А. Едемский разработали обобщенную методику анализа и синтеза дискретно-кодированных последовательностей на основе комплексного применения теории спектров разности классов вычетов (СРКВ) и циклотомических чисел для последовательностей, период которых - простое число [73,84-85]. Им удалось получить универсальные, обобщенные, продуктивные и эффективные методы синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей с простым периодом, в том числе и псевдослучайных. В.Е. Гантмахер и В.А. Едемский разработали ряд методов компьютерного проектирования ДКП с заданной совокупностью ограничений на свойства или характеристики последовательностей из достаточно обширного меню. Были разработаны алгоритмы, реализующие эти методы синтеза, и, на их основе, несколько исследовательских программ, позволяющих определять параметры регулярных правил кодирования последовательностей с заданной совокупностью свойств [73]. Более того, комплексная методика синтеза ДКП с простым периодом р была частично распространена на последовательности с периодом тр, где т - натуральное число, взаимно простое с р, посредством расширения области применения теории СРКВ [73,86].
Синтез уравновешенных бинарных последовательностей с периодом Ар и квазиидеальной автокорреляцией
Доказательство. Автокорреляционные функции двоичных последовательностей, соответствующих рассматриваемым БП, были рассчитаны в [73]. Откуда и следует, что при нечетном R ПАКФ Лх(т) = (2х,-2х,2х,-2х), если т = 2п+1,т р, Лх(т) = -2 при т = 2п и Лх(р) = 2, а при четном R: Ay(T) о( 2х,2х-2х,2х), т = 2п+1,т р; Лу(г) = (-6-2,2,-2}, т = 2п; Лу(р) = 2. Суммируя по формуле (2.2.9), получаем, что Л2(т) = {0,±4}, т = 2п, если R - нечетное и Л2(т) = {-8,0,4}, т = 2п при четном R.
Если же т = 2п+\, то из (2.2.10) и леммы 2.2.1 следует, что max/lz(r) 4+8 , что и доказывает теорему 2.2.2. Теорема 2.2.2 определяет достаточные условия синтеза БП с периодом Ар и квазиидеальной ПАКФ, БП будет удовлетворять заданным ограничениям при р = х2 + 4у2, 4+$\у\ Лаах.
Таким образом, в подразделе исследованы автокорреляционные функции уравновешенных бинарных последовательностей с периодом Ар, сформированных на основе классов биквадратичных вычетов. Найдены новые регулярные правила кодирования бинарных последовательностей с автокорреляцией близкой к идеальной.
Результаты, полученные в [73] и предыдущих подразделах, позволили разработать комплекс программ для поиска параметров двоичных, троичных и бинарных последовательностей при заданной совокупности свойств или ограничений на их основные характеристики. Комплекс состоит из трех частей, которые определяют параметры ПК, в зависимости от вида алфавита последовательности. Программы апробированы и зарегистрированы [106,107].
В первой части определяются ПК двоичных последовательностей при ограничениях на: 1) Период; 2) Число уровней БЛ ПАКФ; 3) Максимальную разность Б Л ПАКФ; 4) Максимальный абсолютный уровень БЛ ПАКФ; 5) Относительный максимальный уровень БЛ ПАКФ; 6) Эквивалентную линейную сложность; 7) Объем правила кодирования; 8) Относительный максимальный уровень БЛ ПВКФ. Рассмотрим алгоритм синтеза двоичных последовательностей. Входными данными алгоритма являются: - Простые числа Р и Ршах - ограничения периода последовательности - Натуральные числа dmia и dmax - Натуральные числа Л и Nma]l- ограничения числа фаз последовательности - Натуральные числа р/тіпи р/так- ограничения на пик-фактор последовательности - Натуральное число imax - ограничение максимального уровня БЛ ПАКФ последовательности Выходными данными являются наборы параметров и правил кодирования, при которых выполняются заданные ограничения. На рисунке 2.4.1 представлена блок-схема предлагаемого алгоритма. 1. Инициализация. Для заданных значений ограничений на период (Р , Ртак) происходит построение списка допустимых значений р (на основе списка известных простых чисел). Далее для всех допустимых значений/? и d = dma,dmaK осуществляется расчет СРКВ и сохранение их для последующего использования, что позволяет снизить общую вычисленную нагрузку алгоритма 2. Цикл по всем заданным d от dmin до dmax 3. Генерация наборов индексов. Здесь фактически производится циклических перебор всевозможных непересекающиеся подмножества индексов к: k = 0,d-\ одного порядка / , где d I npfmia \l\ nd I npfmax. 4. Цикл по всем значения/? от Pmin до Рпах 5. Проверка ограничений. Для текущих значений р, d, п и набора индексов выполняется расчет ПАКФ и проверка ограничений БЛ ПАКФ. 6. Если последовательность удовлетворяет заданным условиям, сохраняем текущие значения параметров в базу и переходим к следующим значениям. Отметим, что применение теории СРКВ значительно снижает вычислительную сложность алгоритма за счет упрощения расчета ПАКФ и ПВКФ, а также предварительного анализа допустимых параметров. Во второй части определяются ПК бинарных последовательностей при ограничениях на: 1) Период; 2) Число уровней БЛ ПАКФ; 3) Максимальную разность БЛ ПАКФ; 4) Максимальный абсолютный уровень БЛ ПАКФ; 5) Относительный максимальный уровень БЛ ПАКФ; 6) Эквивалентную линейную сложность; 7) Объем правила кодирования; 8) Относительный максимальный уровень БЛ ПВКФ. Алгоритм синтеза бинарных последовательностей, в целом аналогичен алгоритму синтеза двоичных последовательностей, за исключением дополнительного цикла перебора корректирующего множества (см. подраздел 2.4). На отдельном этапе происходит перебор корректирующих множеств различной длины и расчет ПАКФ с учетом корректировки. Алгоритм представлен на рисунке 2.4.2.
Синтез последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции с ограничениями на их основные характеристики
В этом подразделе при синтезе последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с заданными ограничениями из указанного выше меню, воспользуемся численными методами. Результаты подраздела 3.3 позволяют предложить эффективный метод синтеза последовательностей с п фазами zj=e2nij n, у = 0, и-1 и заданными ограничениями на период, рельеф
ПАКФ, пик-фактор, вес, число фаз. Метод заключается в направленном переборе всевозможных правил кодирования, удовлетворяющих заданным условиям и расчете характеристик последовательностей с применением теории СРКВ. Алгоритм, реализующий данный метод, представлен на рисунке 3.4.1. Входными данными алгоритма являются: Ртт- Ртах (ограничения Периода), (ограничения числа классов степенных вычетов), WmJnjHmax (ограничения числа градации фаз), Хщ - ограничение максимального уровня БЛ ПАКФ. Выходными данными алгоритма являются ПК и рассчитанные уровни Б Л ПАКФ. Блок-схема алгоритма представлена на рисунке 3.4.1. Рассмотрим шаги алгоритма подробнее: 1. На начальном этапе производится расчет СРКВ а также допустимых значений /,/,/ , исходя из ограничений на пик-фактор параметров для перебора; 2. Цикл по всем допустимым значениям числа градации фаз п; 3. Расчет и последующее использование таблицы синусов и косинусов, позволяет снизить вычислительную сложность алгоритма; 4. Цикл по всем допустимым значениям числа градации фаз d; 5. Последовательный перебор циклически независимых вариантов подмножеств индексов /„ / = 0,и-1 для текущего значения d; 6. Цикл по всем допустим значениям периода/?; 7. Расчет ПАКФ последовательности с использованием СРКВ и проверка заданных ограничений; 8. Сохранение ПК удовлетворяющих заданным ограничениям. Реализация рассмотренного алгоритма на современных языках программирования не вызывает затруднений в силу его простоты, а характер операций и то, что большинство из них выполняются над целыми числами гарантирует высокое быстродействие для относительно малых значений п. Однако проблемной стороной алгоритма является большой объем вычислений при расчете характеристик последовательностей во время повторяющихся проверок ограничений параметров последовательности. Причем наиболее дорогостоящей операцией с точки зрения производительности является расчет ПАКФ. Применение формул расчета ПАКФ и ПВКФ полученных в подразделе 3.3 позволяет значительно снизить вычислительную нагрузку за счет использования целочисленных операций и сокращения их числа, что позволяет получать результаты синтеза последовательностей для относительно малых значений п за приемлемые промежутки времени.
На основе предложенного алгоритма была разработана программа синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с заданными ограничениями. Программа реализована на платформе .Net, что позволяет использовать ее с различными операционными системами, а также достичь требуемого быстродействия.
Входные данные подаются в стандартизированном формате XML, что обеспечивает широкие возможности интеграции в более широкие программные комплексы, в частности реализацию различного пользовательского интерфейса. Выходные данные сохраняются в текстовый файл в простом или структурированном формате, в зависимости от поставленных задач. Файл структурированного формата подходит для последующей обработки данных с помощью табличных процессоров (Excel), а файл в простом формате удобен для чтения и не требует установки дополнительного программного обеспечения.
В программе также реализована возможность оптимизации вычислений, путем разбиения на параллельные вычислительные потоки, что позволяет в разы увеличить быстродействие при выполнении программы на современных многоядерных процессорах. Эффективность реализация алгоритма подтверждена многочисленными результатами синтеза последовательностей. С помощью разработанной программы были определены характеристики последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции, удовлетворяющих следующей системе ограничений: 1) период (100 р 3000); 2) число фаз (3 и 12); 3) пик-фактор (2 / / 10); 4) уровни боковых лепестков ПАКФ (maxt 0 \кх (т) 3). Последовательности формировались по ПК (3.3.1) при d=6-22 и всех допустимых наборов /;, / = 0,»-1. Анализ результатов расчетов характеристик последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции показал, что наиболее плотная сетка периодов с наименьшими абсолютными значениями ПАКФ (maxT 0x, (x)«l) получается, когда d кратно п, порядок подмножеств 1к равен единице и, более того, когда 1к ={Ы/п} (с точностью до перестановки и комплексного сопряжения последовательностей), за исключением двух вариантов, описанных далее, в подразделе 3.5.
Синтез последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции на основе троичных последовательностей
В [73] для модернизации комплексной методики синтеза ДКП были предложены два ПК последовательностей с периодом тр, позволяющие расширить область применения теории СРКВ. В этом подразделе покажем, что их можно применять и для синтеза последовательностей при многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции.
Пусть X0,...,Xm_i последовательности периода. Рассмотрим последовательности X, Y с периодом тр, сформированные по следующим ПК: где (l)m - наименьший неотрицательный вычет целого числа / по модулю т, а [///и] - целая часть числа 11т. Применение в ПК (4.3.1) и (4.3.2) последовательностей простого периода с различными значениями пик-фактора, позволяет варьировать значение пик-фактора последовательностей X, Y. Обозначим через Хх{х\Хх{г),Хї{т), соответственно, периодические автокорреляционные функции (ПАКФ) ДКП Xj , X и Y, а через rXf,xh(?) периодические взаимно корреляционные функции (ПВКФ) пар последовательностей Х Х , j,h = 0,m-l. Для троичных последовательностей в [73] были найдены соотношения между корреляционными функциями Xj , X и Y, которые, естественным образом, обобщаются и на амплитудно-фазоманипулированные последовательности. В частности, имеют место следующие утверждения. Таким образом, предложенные ПК формируют последовательности для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции периода тр, ПАКФ которых, согласно леммам 4.3.1 и 4.3.3, определяются ПАКФ и ПВКФ ДКП периода/?. В частности, из лемм 4.3.1 и 4.3.3 следует, что при синтезе последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с близкой к идеальной (квазиидеальной) ПАКФ по ПК (1) можно воспользоваться двумя подходами: - среди последовательностей простого периода с квазиидеальной ПАКФ отбирать те, для которых соответствующая сумма ПВКФ меньше заданного порогового числа; - среди пар последовательностей простого периода с квазиидеальной ПВКФ отбирать те, для которых соответствующая сумма ПАКФ меньше заданного порогового числа. В то же время, обобщая утверждение, доказанное в третьей главе для последовательностей, определяемых классами биквадратичных вычетов, получаем из леммы 3.3.3, что регулярные ПК последовательностей с квазиидеальной ПАКФ на основе (4.3.2) и последовательностей, сформированных на классах степенных вычетов по простому модулю, можно получить только при втором подходе. Далее, для отбора последовательностей простого периода, используемых в ПК (4.3.1), (4.3.2) можно, исходя из выше сказанного, применять два способа.; Во-первых, получать последовательности для амплитудно-фазовой манипуляции простого периода посредством умножения троичных последовательностей на zk=e2n Vn,k = 0,n-l. Параметры троичных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю, с квазиидеальными корреляционными функциями были определены в [73]. Во-вторых, отбирать непосредственно последовательности для амплитудно-фазовой манипуляции простого периода с необходимыми характеристиками, воспользовавшись результатами второй главы. При численном же моделировании последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции лучше применять СРКВ, согласно 103 следующему утверждению, которое является обобщением теоремы, доказанной в [73]. Лемма 4.3.4. Для ПАКФ Лх(т) последовательности X, сформированной по ПК (4.3.1), справедливо взаимно - однозначное соответствие: В следующих подразделах проиллюстрируем предложенные подходы к решению поставленной во введении задачи примерами синтеза последовательностей для многофазной и амплитудно-фазовой манипуляции с периодом тр при различных способах выбора последовательностей простого периода. В этом подразделе рассмотрим синтез последовательностей для амплитудно-фазовой манипуляции с квазиидеальной ПАКФ на основе троичных последовательностей. Рассмотрим пару троичных последовательностей Х0,Хг, сформированных по ПК: Их характеристики рассчитаны в [73], там же определены параметры последовательностей, обладающих квазиидеальными корреляционными функциями. В частности, для 1 = 4быш найдены два семейства троичных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ. Теорема 4.4.1. Если последовательность X с четырьмя градациями фазы сконструирована по ПК (4.3.1) для последовательностей X0,iXlf сформированных по ПК (4.4.1) при d = 4, (Лг,/, г) = (2,1,3), то её пик-фактор Доказательство. Согласно [73] имеем, в зависимости от четности R, следующие взаимно однозначные соответствия: Воспользовавшись свойствами ПАКФ, ПВКФ и леммой 4.3.1, получаем из данных соотношений теорему 4.4.1. Подобным же образом устанавливается справедливость следующего утверждения. Лемма 4.4.1. Если последовательность Y с четырьмя градациями фазы сконструирована по ПК (4.3.2) для последовательностей X0,iXx, сформированных по ПК (4.4.1) при d = 4, (k,I,q) = (2,1,3), р = х2 + 4у2, x = l (mod4), где х,у - целые числа, то её пик-фактор pf 2 и max (г) 2\у\.
