Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор известных результатов синтеза дискретно — кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов 25
1.1. Классификация дискретно — кодированных последовательностей 25
1.2. Характеристики известных дискретно-кодированных последовательностей на основе обобщенного правила кодирования 28
1.3. Математический аппарат теории спектров разностей классов вычетов 32
1.4. Выводы и постановка задач диссертационного исследования 34
2. Методика синтеза дискретно-кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 37
2.1. Постановка задач второй главы 37
2.2. Применение циклотомических чисел для расчета СРКВ 38
2.3. Методика синтеза дискретно-кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 40
2.4. Синтез двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляцией и pf~2 41
2.5. Анализ взаимной корреляции синтезированных двоичных последовательностей 54
2.6 Выводы по главе 61
3. Синтез двоичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 63
3.1. Постановка задач третьей главы 63
3.2. Методы синтеза двоичных последовательностей с ограничениями на ПАКФ, пик-фактор, период. 63
3.3. Методы синтеза двоичных последовательностей с ограничениями на ПВКФ, пик-фактор, период. 87
3.4. Корреляционный анализ синтезированных двоичных последовательностей 98
3.5. Выводы по главе 109
4. Синтез троичных и бинарных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 111
4.1. Постановка задач четвертой главы 111
4.2. Методы и результаты синтеза троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 111
4.3. Синтез троичных последовательностей с квазиидеальной ПВКФ 121
4.4. Метод и результаты синтеза бинарных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 126
4.5. Выводы по главе 139
5. Применение СРКВ для расчета эквивалентной линейной сложности последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов 141
5.1. Постановка задач пятой главы 141
5.2. Метод расчета линейной сложности двоичных последовательностей на основе классов степенных вычетов 142
5.3. Расчет линейной сложности двоичных последовательностей с квазиодноуровневой ПАКФ и одноуровневой ПВКФ 147
5.4. Метод расчета линейной сложности троичных последовательностей на основе классов степенных вычетов 157
5.5. Расчет линейной сложности троичных последовательностей с квазиидеальной ПАКФ 159
5.6. Выводы по главе 165
6. Синтез дискретно-кодированных последовательностей с составным периодом 167
6.1. Постановка задач шестой главы 167
6.2. Распространение методики синтеза дискретно-кодированных последовательностей с простым периодом р на последовательности с периодом тр 168
6.3. Примеры синтеза двоичных и троичных последовательностей на основе первой стратегии модернизированной методики 174
6.4. Необходимые условия синтеза двоичных и троичных последовательностей
с ограничениями на корреляцию. Примеры синтеза последовательностей 178
6.5. Синтез двоичных последовательностей с составным периодом тр и заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 194
6.6. Синтез троичных последовательностей с периодом и заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 202
6.6. Выводы по главе 209
7. Алгоритмы и комплекс программ синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики 211
7.1. Постановка задач седьмой главы 211
7.2. Комплексная методика и обобщенный алгоритм синтеза последовательностей 212
7.3. Алгоритмы синтеза дискретно-кодированных последовательностей с простым периодом 215
7.4. Алгоритм метода расчета линейной сложности дискретно-кодированных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов 222
7.5. Алгоритмы синтеза дискретно-кодированных последовательностей с периодом тр 224
7.6. Выводы по главе 229
Заключение 231
Литература 234
- Характеристики известных дискретно-кодированных последовательностей на основе обобщенного правила кодирования
- Синтез двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляцией и pf~2
- Методы синтеза двоичных последовательностей с ограничениями на ПАКФ, пик-фактор, период.
- Методы и результаты синтеза троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики
Введение к работе
Актуальность работы. Двоичные и троичные последовательности являются самыми широко востребованными дискретно-кодированными последовательностями, область применения которых с каждым годом расширяется. В вычислительных системах их используют в качестве псевдослучайных последовательностей для имитационного моделирования, обеспечения связи между компьютерами, тестирования, решения задач методом Монте-Карло. В телемеханических системах на основе двоичных и троичных последовательностей строят самосинхронизирующиеся коды с обнаружением и исправлением ошибок. В системах связи и передачи информации на основе двоичных и троичных последовательностей осуществляют скрытную связь с высокой криптостойкостью. В системах радиолокации, гидролокации, радионавигации их используют в качестве модулирующих последовательностей при формировании сложных шумоподобных сигналов, обеспечивая высокие потенциал и помехоустойчивость при низкой пиковой мощности передатчиков. Столь широкий спектр применений обуславливает набор требований к таким характеристикам и свойствам последовательностей, как: период, вес, уровень боковых лепестков корреляционных функций, пик-фактор, уравновешенность, эквивалентная линейная сложность и другим. Число требований к набору свойств последовательностей год от года увеличивается.
В то же время, отсутствуют регулярные методы синтеза дискретно-кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики, несмотря на многочисленные публикации, посвященные синтезу дискретно-кодированных последовательностей с различными ограничениями на основные характеристики, такие как:
- автокорреляция - Свердлик М.Б., Ипатов В.П., Камалетдинов Б.Ж.,
Пелехатый М.И., Габидулин Э.М., Гантмахер В.Е., Леухин А.Н., Холл М.,
Кренгель Е. И., Сторер С, Динг К.,...;
- эквивалентная линейная сложность - Лидл Р., Нидеррайтер Г., Берлекэмп Э., Мешковский К.А., Ипатов В.П., Камалетдинов Б.Ж., Динг С, Мальцев СВ., ...;
- взаимная корреляция (расчет и оценка) - Сидельников В.М.,
Мешковский К.А, Кренгель Е. И., Гантмахер В. Е., Ким Я.Х., Сонг Н.Е., ...
В связи с этим задача синтеза последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики является чрезвычайно актуальной.
В.Е. Гантмахером была предпринята попытка решить эту задачу с помощью теории спектров разности классов вычетов (СРКВ), но только для последовательностей, период которых - простое число, а набор характеристик последовательностей ограничен периодом, уровнем боковых лепестков корреляционных функций и пик - фактором [1]. На основе математического аппарата теории СРКВ были синтезированы дискретно-кодированные последовательности (ДКП), сформированные на основе классов степенных
вычетов, которые обладают, по сравнению с известными последовательностями, более плотной сеткой периодов и более плотным рядом значений пик - фактора. Сравнение известных способов синтеза ДКП показывает, что синтез ДКП с использованием СРКВ является наиболее универсальным методом синтеза двоичных, троичных и бинарных последовательностей, формируемых на основе классов степенных вычетов. Но и ему, в том виде, в котором он представлен в [1], присущи серьёзные недостатки:
- при большом числе классов степенных вычетов затруднён анализ СРКВ,
соответствующих периодическим автокорреляционной (ПАКФ) и взаимно
корреляционной функциям (ПВКФ) дискретно-кодированных
последовательностей;
в этом методе заложена потенциальная возможность синтеза ДКП с заданной совокупностью свойств, но она не реализована;
нет метода расчёта эквивалентной линейной сложности ДКП, сформированных по обобщенному правилу кодирования, на основе СРКВ;
- представляет интерес распространение методов синтеза ДКП с периодом
р, в основе которых лежат СРКВ, на синтез ДКП с составным периодом тр.
Настоящая диссертационная работа посвящена вопросам синтеза и анализа двоичных и троичных последовательностей, сформированных на основе классов степенных вычетов по простому модулю р , с заданной совокупностью свойств. Особенность постановки задачи синтеза заключается в том, что ограничения задаются на произвольный набор перечисленных выше свойств или характеристик последовательностей. Задачи синтеза и анализа решаются на основе единого математического аппарата СРКВ и циклотомических чисел.
Цель диссертации заключается в разработке методики анализа и синтеза двоичных, троичных последовательностей, в том числе псевдослучайных, с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики, обусловленными их применением. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
усовершенствование методики анализа и синтеза дискретно-кодированных последовательностей на основе СРКВ путём применения циклотомических чисел;
- разработка методов синтеза двоичных и троичных последовательностей с
заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики и
синтез последовательностей с определённым набором свойств или
характеристик;
- расчёт эквивалентной линейной сложности дискретно-кодированных
последовательностей, сформированных на основе классов степенных
вычетов;
- распространение методики синтеза ДКП с простым периодом р на
последовательности с периодом тр, где т - натуральное число, взаимно
простое с р;
разработка алгоритмов и комплекса программ, реализующих предложенные методы синтеза последовательностей.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы теории конечных полей, теории чисел, алгебры и математического анализа.
Научная новизна. В диссертации разработаны теоретические основы синтеза двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. В частности, новыми являются следующие теоретические результаты:
разработана методика синтеза дискретно-кодированных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики на основе комплексного использования теории спектров разностей классов вычетов и циклотомических чисел;
определены новые правила кодирования семейств двоичных последовательностей с периодом р и квазиодноуровневыми периодическими автокорреляционными или взаимно корреляционными функциями;
получены новые семейства троичных и бинарных последовательностей с периодом р и квазиидеальными периодическими автокорреляционной и взаимно корреляционной функциями;
предложен унифицированный метод расчета эквивалентной линейной сложности ДКП, формируемых на основе классов степенных вычетов по простому модулю;
расширена область применения теории СРКВ по простому модулю на синтез двоичных и троичных последовательностей с периодом тр;
разработаны алгоритмы и комплекс программ, реализующих предложенные методы синтеза двоичных и троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или заданными ограничениями на их характеристики.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты, разработанные методы и комплекс программ могут быть использованы для синтеза широкого класса двоичных и троичных последовательностей, применяемых в математических моделях, в вычислительных системах, в криптографии, в качестве модулирующих последовательностей в системах связи, радиолокации и других областях. В частности, результаты диссертационной работы были использованы в следующих научно-исследовательских работах:
1. Грант РФФИ № 07-01-97615-р_офи «Разработка принципов построения
квазиодноуровневых разностных множеств с заданными ограничениями на их
параметры», руководитель Гантмахер В. Е.
-
Фундаментальная НИР "Теория анализа, синтеза и обработки шумоподобных сигналов в радиотехнических системах различного назначения", руководитель Гантмахер В.Е., по заданию Рособразования, гос. per. № 0120.0 503550, 2005-2009 г.
-
Фундаментальная НИР "Исследование методов синтеза сложных сигналов, видов модуляции и способов обработки для перспективных
радиолокационных систем", руководитель Гантмахер В.Е., по научно -технической программе Рособразования «развитие научного потенциала высшей школы», гос. per. № 0120.0 603815, 2006-2008 г.
Достоверность теоретических результатов обеспечивается применением
апробированного математического аппарата, корректностью математических
выкладок и подтверждается многочисленными примерами синтеза
последовательностей, результатами расчетов их характеристик на вычислительных машинах.
Личный вклад автора. В диссертационной работе обобщены результаты, выполненные лично автором или при его непосредственном участии. Постановка задач принадлежит научному консультанту Гантмахеру В. Е. Исследования по комплексному применению СРКВ и циклотомических чисел для анализа и синтеза последовательностей, а также расчету их эквивалентной линейной сложности выполнены лично автором. Программы для ЭВМ разработаны совместно с Вагуниным И.С.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались на всемирном форуме «Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA'07)»(KHTafi, Чанджоу), неоднократно докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях «Цифровая обработка сигналов и её применения» (г. Москва - 2007, 2008); «Радиолокация, навигация и связь» (г. Воронеж -2007- 2008); «Научные исследования и их практическое применение. Современное состояние и пути развития» (г. Одесса - 2006-2008); «Современные проблемы математики и естествознания» (г. Нижний Новгород -2006); «Математика в вузе» (г. Санкт-Петербург - 2005-2008); на симпозиуме по «Прикладной и промышленной математике», осенняя сессия (г. Йошкар-Ола - 06); на семинаре «Шумоподобные сигналы и их применение» (НовГУ), а также на семинарах кафедр КПМИ и PC НовГУ.
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 35 работ, из них одна монография, 2 статьи - в международных изданиях, 10 - в журналах, входящих в перечень, рекомендованный ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций. Получено два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. При участии автора подготовлено 5 отчетов по НИР. Перечисленные работы достаточно полно отражают содержание диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 266 страниц. Библиография содержит 125 наименований.
Характеристики известных дискретно-кодированных последовательностей на основе обобщенного правила кодирования
Таким образом, характеристики ПАКФ ДП и БП взаимосвязаны, в частности, совпадает число уровней БЛ.
Правило кодирования ДКП называется регулярным, если оно позволяет формировать счетное число последовательностей с однотипными характеристиками [12,18]. При этом набор ДКП, имеющих одинаковые формулы для вычисления периода, БЛ ПАКФ и ПВКФ, абсолютной и (или) относительной разницы между уровнями корреляционных функций будем называть семейством.
Для ДКП, применяемых при решении ряда радиотехнических задач, ПАКФ является наиболее важной характеристикой. Согласно [12] задача формирования последовательности с п— уровневой ПАКФ эквивалента задаче построения разностного множества (РМ) D(N,K,ZQ,...,Хп_{), сбалансированного на п уровней, где N— модуль, К - порядок множества. Математическая теория разностных множеств с описанием классических РМ: квадратичных вычетов, биквадратичных вычетов, биквадратичных вычетов и нуля, восьмеричных вычетов, восьмеричных вычетов и нуля, Холла, Якоби (простых чисел близнецов), Уитмена, Зингера изложена в [7]. Обзор современных результатов по теории РМ - [35]. Традиционно, в теории сигналов под синтезом, понимается формирование сигналов, обладающих заданными свойствами, а под анализом сигналов — изучение их свойств [11,14]. В связи, с этим, далее, под анализом будем понимать расчет параметров ДКП, сформированных по указанному ПК, а под синтезом — поиск новых ДКП или деформацию известных ДКП для-достижения заданных пороговых значений параметров [20]. Метод синтеза ДКП будем называть: универсальным, если синтез осуществляется по совокупности характеристик (период, абсолютная величина разности между наибольшим и-наименьшим БЛ ПАКФ или ПВКФ, относительная разность между максимальным и минимальным БЛ ПАКФ или ПВКФ, пик-фактор и т.п.); обобщенным, если известные ДКП получаются как подмножество синтезированных; продуктивным — при возможности получения множественных результатов синтеза ДКП (семейств ДКП, ПК); эффективным, если реализация метода на современной цифровой элементной базе или вычислительной «технике средней, производительности не вызывает трудностей. 1.2. Характеристики известных дискретно—кодированных последовательностей на основе обобщенного правила кодирования Как отмечено во введении методам анализа и синтеза ДКП посвящено много научных статей и монографий; в которых для исследования и формирования ДКП используют поля и группы Галуа, разностные множества, символы Лежандра и Якоби, матрицы Адамара, теория СРКВ. В связи с тем, что рамки диссертационной работы ограничены ДКП, формируемыми на основе классов степенных вычетов, среди множества публикаций выделим монографии [7,12,16,19,20], в которых системно изложены известные методы анализа и синтеза ДКП рассматриваемого вида. В частности, на основе РМ перечисленных в разделе 1.1, синтезированы ДП (БП) с одноуровневой и с двухуровневой ПАКФ: 1. Двоичные последовательности квадратичных вычетов [12]. Здесь и далее будем указывать источники литературы, в которых свойства рассматриваемых последовательностей представлены наиболее полно. Формирование, ПАКФ и мощность ПК в [12]. ПВКФ последовательностей определена в [37], линейная сложность — в [73]. При расчете характеристик последовательностей в [12] использовался математический аппарат теории конечных полей, групп и разностных множеств, в [73] — многочленов над конечными полями. В" [13] последовательности квадратичных вычетов были синтезированы на основе символов Лежандра и Якоби, в [20] с применением математического аппарата СРКВ. 2. Двоичные последовательности биквадратичных вычетов, биквадратичных вычетов и нуля [7]. ПВКФ» и линейная сложность последовательностей не исследовались. При анализе и синтезе последовательностей применялся математический аппарат теории РМ и циклотомии [7]. В [20] эти же последовательности синтезированы на основе теории СРКВ. 3. Последовательности Холла [7]. ПВКФ-последовательностей Холла была оценена в [37], а её точные значения рассчитаны в [67]. Мощность ПК определена в [12]. Исследования характеристик последовательностей базировались на теории РМ, конечных полей [7,12], расстоянии Хаффмена [37], циклотомических числах [67], а в [20] на основе теории СРКВ. 4. Последовательности восьмеричных вычетов, восьмеричных вычетов и нуля [7]. ПВКФ и линейная сложность последовательностей не исследовались. При синтезе использовался математический аппарат теории конечных полей и разностных множеств [7], а при анализе последовательностей на основе одного класса восьмеричных вычетов — теория СРКВ [20]. зо 5. Последовательности Якоби [12]. ПВКФ таких последовательностей рассчитана в [67], а линейная сложность в [ЗО]. Мощность.ПК вычислена в [12]. При синтезе использовался математический аппарат теории РМ, теории групп и конечных полей. 6. Последовательности Уитмена [7]. ПВКФ и линейная сложность не исследовались. При1 синтезе использовался математический аппарат теории групп и конечных полей, циклотомические числа. 7. Обобщенные последовательности квадратичных вычетов [12]. Как и для последовательностей квадратичных вычетов, их характеристики рассчитаны в работах [12,37,67,73,20] с применением математического аппарата теории конечных полей; групп, разностных множеств и ЄРКВ.
Синтез двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляцией и pf~2
Исходя из совокупности изложенных во второй главе фактов и результатов работ [94-117], можно утверждать, что применение циклотомических числе позволило усовершенствовать методику синтеза и анализа дискретно-кодированных последовательностей на основе СРКВ: 1) Взаимосвязь между гармониками СРКВ и циклотомическими числами дает возможность обобщать полученные частные решения синтеза ДКП в, правила кодирования и находить обобщенные формулы для характеристик синтезированных ДКП. 2) Упрощается анализ таблиц СРКВ, а также СРКВ соответствующих ПАКФ или ПВКФ, сформированным при большом числе классов степенных вычетов. Таким образом, совместное использование теории СРКВ и циклотомических чисел является универсальным математическим аппаратом анализа и синтеза ДКП, сформированных по обобщенному ПК. Такой подход является новым и обладает существенными преимуществами по сравнению с традиционным использованием СРКВ или циклотомических чисел. Разработанная комплексная методика синтеза ДКП с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики устраняет отмеченные недостатки методов синтеза последовательностей на основе математического аппарата СРКВ. Результаты синтеза иллюстрируют её продуктивность и обобщенность. Приведенные примеры синтеза последовательностей были получены с использованием комплекса программ, реализующих предложенную обобщенную методику синтеза ДКП. Третья глава посвящена разработке методов синтеза двоичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики. Основные результаты главы опубликованы в [96,98, 99-112]. Исходя из результатов обзора, третья глава будет посвящена решению следующих задач: — разработке методов синтеза ДП с заданной совокупностью свойств или ограничений на характеристики, такие как: период, рельеф ПАКФ или (и) ПВКФ, пик-фактор и поиск новых ПК ДП, обладающих квазиодноуровневой ПАКФ или ПВКФ; - анализу ПВКФ (ПАКФ) синтезированных ДП с квазиодноуровневой ПАКФ (ПВКФ). При решении каждой из перечисленных задач главы применяется методика, заключающаяся в комплексном использовании теории СРКВ и циклотомических чисел, изложенная во второй главе. Специфичность определяется лишь набором свойств ДП. В подразделе 3.2 комплексная методика, изложенная во второй главе, иллюстрируется на примере синтеза ДП с ограничениями на ПАКФ, пик-фактор, период.
Постановка задачи: синтезировать ДІЇ, сформированные по ПК (1.1.1) на основе одного класса степенных вычетов, с квазиодноуровневой ПАКФ и пик-фактором pf: 3 pf \Q.
Такие требования к последовательностям «развязки» приёмно-передающего тракта являются типичными для радиолокационных станций (РЛС) с шумоподобными сигналами, работающими в квазинепрерывном режиме, если приёмник коммутируется последовательностью X, а передатчик — её инверсией. АЛХ или у определяет условие равномерной согласованности со всеми просматриваемыми элементами дальности, а диапазон изменения пик-фактора определяется режимами работы РЛС.
Методы синтеза двоичных последовательностей с ограничениями на ПАКФ, пик-фактор, период.
Доказанные теоремы 3.2.1-3.2.7, 3.2.9-3.2.13 определяют достаточные условия существования ДП с квазиодноуровневой ПАКФ, р/ = 3,4,6,8. Подводя итог, отметим, что в разделе 3.2 найдены уровни Б Л ПАКФ, АЛх,у ДП простого периода p = dR+\, сформированных по ПК (1.1.1) на основе одного класса степенных вычетов при d = 3,4,6,8. Определены необходимые и достаточные условия существования ДП с квазиодноуровневой ПАКФ. Сформированы, ДП, удовлетворяющие заданным требованиям. Определены параметры семейств ДП. Результаты анализа ПАКФ ДП, изложенные в разделе 3.2, позволяют сделать следующие выводы: наиболее плотная сетка периодов и регулярные методы синтеза с постоянным значением А1Х получаются, если использовать ДП на основе класса биквадратичных вычетов или восьмеричных вычетов.
Всего в подразделе 3.2 найдено семнадцать новых регулярных ПК ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и пик-фактором: pf:3 р/ 10. Сформированы новые семейства ДП, которые обладают, за счет отказа от одноуровневости, большей плотностью сетки периодов, чем у известных последовательностей, а также значениями пик—фактора, отличного от значений известных ДП.
Рассчитаны параметры p;R,J{Q,AAx,y ДП с квазиодноуровневой ПАКФ при d = 4,6,8 и АЯХ 4. Кроме этого; в подразделе 3.2 определены необходимые и достаточные условия существования ДП с периодом p = \ + dR, d = 3,4,6,% и двумя уровнями БЛ ПАКФ (РМ, сбалансированных на два уровня, имеющих свой круг применений). Известные ДП, обладающие такими же свойствами, являются частными случаями синтезированных. Комплексная методика и доказанные в подразделе 3.2 теоремы определили, методы синтеза ДП с заданными ограничениями на их характеристики: период, рельеф ПАКФ, пик—фактор. Основные результаты подраздела представлены в [94, 96—110]. Методы анализа и синтеза пар ДП развиты меньше, чем отдельных последовательностей. В связи с этим, в подразделе 3.3 комплексная методика применена для решения задачи синтеза ДП при ограничениях на период, рельеф ПВКФ, пик-фактор и поиска новых ПК пар ДП, обладающих квазиодноуровневой ПВКФ; Постановка задачи: Синтезировать пару ДП X,Y:xhyj є{0,1},XY = 0, сформированных по ПК (1.1.1) на основе одного класса степенных вычетов с \&rx Y\ Armax или Гх, Гтах и 2 р/ \0, где ArXJ - разность между наибольшим и наименьшим значениями ПКВФ ДП X, Y, a Armax — заданный порог. Как и в подразделе 3.2, такие требования типичны для РЛС, работающих в квазинепрерывном режиме, с той лишь разницей, что коммутация «приём-передача» осуществляется разными последовательностями X и Y. Из требования синтезировать ДП на основе одного класса степенных вычетов следует, что подмножество J пустое и / = 1, из условия: 2 /?/ 10, получаем, что 2 d 10. Так как при d = 2 ПК (3.2.1) формирует две ДП, соответствующие множеству квадратичных вычетов и невычетов, ПВКФ которых известна [12], то далее этот вариант рассматривать не будем. Таким образом, исходные данные для расчета СРКВ: 3 d W,Rx=R = (p-l)/d,\l\ = l. Согласно условию задачи ДП формируются на основе одного класса степенных вычетов, в силу соотношения (1.3.6) рельеф ПВКФ пары таких ДП определяется S(0,A,d), А = 0,[ /2]+1. Таблицы СРКВ приведены в приложении А. Обозначим через vy неупорядоченные уровни БЛ ПВКФ пар последовательностей, а через г0 ,...,гп_х — эти же уровни, упорядоченные по возрастанию. D. Расчет характеристик ПВКФ пар ДП, сравнение с заданными требованиями. Так как / = 1, то в этом разделе рассматриваются пары ДП X,Y, сформированные по ПК (3.2.1), поэтому будем считать, что последовательность X соответствует / = {k}, a Y — / = {/}, при этом, можно предполагать, не нарушая общности, что \к-l\ d/2. Из формулы (3.3.1) следует, что ПВКФ пары ДП в этом случае не может быть одноуровневой, так как М Ф О. При этом, всегда Arx Y \м\, выделим те периоды ДП, для которых ArXY = \Щ ПРИ заданном значении М. Лемма 3.3.1. ArXj \Щ тогда и только тогда, когда \L + 2 3\м\. Доказательство. Согласно (3.3.1), V3-V2 = M, Т. е. наибольшая разность между уровнями ПВКФ будет равна \М\ тогда и только тогда, когда v2 v\ v3 (v3 vx v2) или 2p-4,-L-9\M\ 2p + 2+2L 2p-4-L + 9\M\. После преобразования получаем: -3M Z + 2 3il/[. Последнее неравенство равносильно условию: \L + 2 3м. Исходя из леммы 3.3.1 и формулы (3.3.1), получаем следующее утверждение.
Методы и результаты синтеза троичных последовательностей с заданной совокупностью свойств или ограничений на их характеристики
Пятая глава диссертации посвящена разработке метода расчета эквивалентной линейной сложности дискретно-кодированных последовательностей, сформированных на основе классов,степенных вычетов, и анализу линейной сложности синтезированных в третьей и четвертой главах последовательностей. Известные методы расчета линейной сложности ДКП, сформированных на основе классов «степенных вычетов [73,76,77-79], пригодны лишь для последовательностей на основе разностных или почти разностных множеств. Аналогично, методы расчета линейной сложности ТП или БП Сидельникова, представленные в [72,74,75,80], не применимы для последовательностей с простым периодом. В связи, с чем в пятой главе разработаны, новые методы расчета линейной сложности ДКП, сформированных на основе классов степенных вычетов, с использованием СРКВ и циклотомических чисел. Основные результаты главы опубликованы в [94,118].
Одним из недостатков методов синтеза ДКП на основе СРКВ является невозможность расчёта эквивалентной линейной сложности синтезированных последовательностей. Для устранения отмеченного недостатка в пятой главе необходимо: - разработать унифицированный метод расчёта эквивалентной линейной сложности двоичных (бинарных) последовательностей, сформированных по обобщенному ПК; — проиллюстрировать метод посредством расчета линейная сложность двоичных последовательностей, синтезированных в третьей главе; — обобщить метод для расчета линейной сложности троичных последовательностей; — продемонстрировать возможности метода расчетом линейной сложности троичных последовательностей, синтезированных в четвертой главе. Цель настоящего подраздела заключается в разработке унифицированного метода расчета линейной сложности двоичных последовательностей, сформированных по ПК (1.1.1), на основе математического аппарата СРКВ. Последовательность X периода N имеет линейную сложность Lx [70] надполем GF{q), если существуют константы с0 =\,ch...,cLx из GF(q) такие, что -xg = cvxg_v + c2xg_2 +... + cLxxg_Lx для всех g:Lx g N. Многочлен c(t) = c0 + ci( + ...+cLxJLx — называют минимальным или характеристическим многочленом последовательности { ,}. Согласно [70], с(0 = (1-Л /НОД((1-Лсх(0), (5.2.1) где Gx(t) = x0+xit+...+xN_itN l — многочлен последовательности, более того: Поэтому для решения первой из поставленных задач найдем связь между значения многочлена ДП и СРКВ (циклотомическими числами). В этом подразделе ограничимся исследованием линейной сложности ДП (БП) над полем GF(2). Многочлен ДП обозначим через S(t), S(t) є GF(2)[t], в частности, S2(t) = S(t2) Пусть а - примитивный корень степени р из единицы в поле разложения G многочлена tp -\ над GF(2). Тогда, согласно формуле (5.2.2), дляДП(БП): Исследуем сначала свойства многочлена ДП. Введем дополнительный многочлен Sd(t) = Хґ" и обозначим через ind0a — индекс целого числа а по пєН0 простому модулюj? с основанием в, т. е. indea = п:а = в",\ п р-\ [91-93]. Следующая лемма описывает свойства многочлена Sd (t). Лемма 5.2.1. Если d l, то в поле G справедливы следующие соотношения: 1) Y "=Sd( xef) Для f = 0,d-l neHf 2) Sd(a& ) = Sd(a ) для любого целого числа g, 3) Если indQ2 = у (mod J), то Sd(a ) = Sd(a). 4) Если inde2 = l(modd), то Sd(ccu ) = Sd (a), f = 0,d-1. ng 5) Если indgl = 0(modi/), то Sd(a ) є {ОД} для любого целого числа g. Доказательство. Согласно определению Яу = 6 -Ля0 для f = 0,d-l, где, как обычно, в- Щ = \в?а\а е Я0 и Я0 =6JgH0, отсюда и следуют первые два пункта леммы. Если inde2 = j(modd), то из второго утверждения получаем, что, Sd(ae ) = Sd(a2). Характеристика поля G равна двум, поэтому Sd(a2) = Sd(a). Отсюда также вытекает четвертое и пятое утверждения леммы, так как Sd(cc0g) = S%(aeS) при inde2 = 0(modJ). При d = 6 лемма 5.2.1 доказана в [78]. Условие inde2 = 0(modd) инвариантно при изменении в для р = dR+1.
