Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор состояния проблемы синтеза импульсных последовательностей с хорошими корреляционными свойствами 22
1.1 Основные математические соотношения для унимодулярных последовательностей 22
1.2 Оптимальные бинарные последовательности
1.2.1 Алгоритмы и результаты глобального поиска бинарных последовательностей 27
1.2.2 Алгоритмы и результаты локального поиска бинарных последовательностей 29
1.3 Многофазные последовательности Баркера 32
1.3.1 Оптимизационные алгоритмы поиска многофазных последовательностей Баркера 36
1.3.2 Статистическое доказательство существования многофазных последовательностей Баркера произвольных длин
1.4 Другие многофазные последовательности с хорошими свойствами ИАКФ 41
1.5 Метод нелинейной оптимизации для синтеза многофазных последовательностей с хорошими свойствами ИАКФ 42
1.6 Выводы по главе 42
2. Аналитические методы построения многофазных последовательностей баркера 44
2.1 Система тригонометрических уравнений 44
2.2 Аналитические зависимости между кодовыми элементами многофазных последовательностей Баркера на основе системы тригонометрических уравнений 46
2.3 Система алгебраических уравнений 49
2.4 Аналитические зависимости между кодовыми элементами многофазных последовательностей Баркера на основе системы алгебраических уравнений 49
2.5 Аналитические решения системы нелинейных уравнений для построения многофазных последовательностей Баркера малых длин N 10 52
2.5.1 Синтез многофазных последовательностей с двухуровневой ИАКФ 52
2.5.2 Синтез многофазных последовательностей с двухуровневой ИАКФ 58
2.6 Выводы по главе 67
3 Численные методы построения многофазных последовательностей баркера 68
3.1 Формирование начальных условий для численного решения нелинейных систем уравнений 68
3.2 Итерационные алгоритмы решения системы нелинейных уравнений 71
3.3 Численные методы построения многофазных последовательностей Баркера
3.3.1 Метод поиска равномерных последовательностей Баркера 74
3.3.2 Метод поиска неравномерных последовательностей близким к многофазным последовательностям Баркера 81
3.3.3 Метод поиска неравномерных последовательностей Баркера 85
3.3.4 Метод построения новых неравномерных многофазных последовательностей Баркера на основе известных 90
3.4 Выводы по главе 99
4 Анализ свойств многофазных последовательностей баркера 101
4.1 Квантование многофазных последовательностей Баркера 101
4.2 Исследование взаимно-корреляционных свойств многофазных последовательностей Баркера
4.2.1 Объединение многофазных последовательностей Баркера по критерию высокой взаимной корреляции 111
4.2.2 Формирование ансамблей многофазных последовательностей Баркера по критерию низкой взаимной корреляции
4.3 Исследование влияния частоты Доплера 114
4.4 Применение ансамблей многофазных последовательностей Баркера в МІМО радарах для 119
4.4.1 Анализ эффективности синтезированных ансамблей многофазных последовательностей Баркера при решении задачи обнаружение групповой дискретно-кодированной последовательности 124
4.5 Выводы по главе 128
ВЫВОДЫ 130
Библиографический список
- Алгоритмы и результаты глобального поиска бинарных последовательностей
- Аналитические зависимости между кодовыми элементами многофазных последовательностей Баркера на основе системы тригонометрических уравнений
- Численные методы построения многофазных последовательностей Баркера
- Формирование ансамблей многофазных последовательностей Баркера по критерию низкой взаимной корреляции
Введение к работе
Диссертация посвящена решению актуальной научной задачи, связанной с синтезом многофазных последовательностей с оптимальными по минимаксному критерию корреляционными свойствами импульсной автокорреляционной функции (в том числе коды Баркера).
Актуальность работы. Одной из классических проблем синтеза последовательностей с хорошими корреляционными свойствами, возникшей в начале 1950-х годов и до сих пор считающейся не решенной, является проблема построения последовательностей Баркера с уровнем боковых лепестков ненормируемой импульсной автокорреляционной функции, не превышающим единицу. Такие последовательности являются оптимальными с позиции достижения минимально возможного уровня боковых лепестков импульсной автокорреляционной функции, что делает их потенциально наилучшими при решении ряда важнейших практических задач. Несмотря на острую потребность в последовательностях Баркера и привлечение к решению задачи синтеза многофазных последовательностей Баркера огромного множества специалистов в соответствующих областях знаний, до сих пор не получен ответ на принципиальный вопрос о существовании кодов Баркера для произвольной длины.
Работы в области построения последовательностей Баркера, начавшиеся с 1953 года, не прекращаются по сей день. С позиций помехоустойчивости фазоманипулированные последовательности с наименьшим числом градаций фаз являются предпочтительными. К сожалению, бинарных последовательностей Баркера (с двумя значениями фаз) длин, больших N = 13, не найдено. Причем в работе Турина в 1963 году аналитически было доказано, что бинарных последовательностей Баркера нечетных длин N > 13 не существует.
Следующим шагом в развитии подходов к построению кодов Баркера явилась идея использовать алфавит с большим объемом по сравнению с бинарным. В 1956 году de Long построил трехфазные последовательности Баркера, а затем Carley и Welti в 1960 году - четырехфазные последовательности Баркера. Предложение увеличения объема алфавита для построения последовательностей Баркера представили в 1965 году Golomb и Scholtz. Они ввели понятие обобщенных кодов Баркера, определяемых в виде многофазной последовательности, где значение фазы на каждом кодовом интервале определяется из диапазона Фи є [о,2я]. Расширение объема алфавита позволяет увеличить длину
последовательностей Баркера, в частности, для четырехфазных последовательностей Баркера максимальная возможная длина N = 15. В 1989
году Golomb и Zhang построили 60-фазные последовательности Баркера до длины N = 19. Дальнейшие усилия в поиске последовательностей Баркера привели к следующим результатам:
в 1994 году список последовательностей Баркера был расширен до длины N = 31;
в 1996 году были найдены многофазные коды Баркера до длины N=36;
в 1998 году построены многофазные коды Баркера до длины N=45;
в 2005 году построены многофазные коды Баркера до длины N =64;
в 2007 году построены многофазные последовательности длины N=65.
Многофазные последовательности Баркера с наибольшими на сегодняшний день длинами получили Nunn и Coxson в 2009 году (65 < N < 70, N = 72, N = 76, N = 77).
Определяющий вклад в развитие теории построения многофазных последовательностей внесли R.H. Barker, R. Turyn, M.J. Mossinghoff, D.F. Jr de Long, S W. Golomb, R.A. Scholtz, N. Zhang, P. Borwein, R. Ferguson, M. Friese, H. Zottmann, C.J. Nunn, G.E. Coxson, L. Ein-Dor, I. Kan-ter, W. Kinzel.
Цель и задачи работы. Цель диссертационной работы заключается в разработке аналитических и численных методов построения многофазных последовательностей Баркера, а также в синтезе и анализе последовательностей.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
-
Разрабатываются аналитические методы построения многофазных последовательностей Баркера на основе решения системы тригонометрических и системы алгебраических уравнений.
-
Осуществляется поиск многофазных последовательностей Баркера с равномерной импульсной автокорреляционной функцией с использованием аналитических выражений.
-
Разрабатываются численные градиентные методы построения многофазных последовательностей Баркера на основе решения систем нелинейных уравнений с начальными условиями, определяемыми аналитически.
-
Осуществляется поиск многофазных последовательностей Баркера с использованием разработанных численных методов построения.
-
Проводится анализ устойчивости свойств импульсной автокорреляционной функции синтезированных многофазных последовательностей Баркера к влиянию частоты Доплера и разрядности квантования сигнала.
-
Проводится анализ свойств импульсных взаимно-корреляционных функций синтезированных многофазных последовательностей Баркера и формируются ансамбли импульсных многофазных последовательностей Баркера с фиксированным уровнем максимального взаимно корреляционного пика по ансамблю.
Методы исследований. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы теории сигналов, численные методы решения нелинейных систем уравнений, алгебраические методы решения нелинейных систем уравнений, методы математического моделирования.
Достоверность результатов исследований. Обоснованность и достоверность положений, выводов и рекомендаций подтверждается корректным использованием методов решения систем нелинейных уравнений, а также соответствием теоретических результатов результатам математического моделирования.
Научная новизна работы заключается в теоретических положениях, совокупность которых обосновывает предлагаемые в работе методы построения многофазных последовательностей Баркера. В частности, новыми являются следующие теоретические результаты:
-
Получены системы уравнений в тригонометрической и алгебраической формах для решения задачи синтеза многофазных последовательностей Баркера и разработан аналитический метод решения полученной системы уравнений. Показано, что преобразования эквивалентности многофазных последовательностей Баркера, не меняющие свойства импульсной автокорреляционной функции, определяются корнями системы нелинейных уравнений.
-
Для демонстрации развитого аналитического метода решения системы приводится полное решение задачи построения многофазных последовательностей Баркера с равномерной импульсной автокорреляционной функцией в диапазоне длин N= [2, 10].
-
Построены многофазные последовательности Баркера с равномерной импульсной автокорреляционной функцией в диапазоне длин Ж =[11, 34].
-
Разработан численный метод решения задачи синтеза многофазных последовательностей Баркера в диапазоне длин N = [30, 52]. Для задания начальных условий в разработанном методе синтеза использу-
ются аналитические соотношения между значениями фаз кодовых интервалов многофазных последовательностей.
-
Экспериментально доказано, что количество новых построенных неэквивалентных многофазных последовательностей значительно превышает известное число многофазных последовательностей Баркера в диапазоне длин7У= [11, 52].
-
Проведён анализ эффективности синтезированных многофазных последовательностей Баркера с позиций устойчивости к влиянию частоты Доплера и разрядности квантования фазы.
Экспериментально показано, что при квантовании фазы многофазных последовательностей с числом уровней к > 2N , где jV - длина последовательности, значения модулей отсчетов ИАКФ имеют абсолютную величину отклонения є < 0,01.
Экспериментально показано, что максимальный уровень боковых лепестков ИАКФ синтезированных многофазных последовательностей Баркера во всей плоскости "временная задержка - частота Доплера" не превышает значения \Хтах {т,ф\ < 2-v/iV .
7. Синтезированы новые ансамбли на основе многофазных последо
вательностей Баркера с заданным максимальным уровнем боковых ле
пестков импульсной взаимно-корреляционной функции (ИВКФ).
Практическая ценность работы. Практическое значение результатов работы определяется тем, что синтезированные многофазные последовательности Баркера обладают минимально возможным уровнем боковых лепестков импульсной автокорреляционной функции. Поэтому такие последовательности имеют принципиальное значение при построении радиолокационных систем с возможностью обнаружения целей с малой эффективной площадью рассеяния (ЭПР) на фоне целей с большой ЭПР. Большое количество найденных последовательностей Баркера на одной длине позволяет использовать в радиолокационных станциях режим излучения нового сигнала в каждом новом периоде, что обеспечивает низкую вероятность распознавания закона модуляций излучаемого сигнала.
Разработанные в рамках диссертационной работы алгоритмы синтеза многофазных последовательностей Баркера приводят к снижению вычислительных затрат и могут быть использованы при создании программного обеспечения по цифровой обработке и анализу сигналов.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Метод синтеза многофазных последовательностей Баркера с равномерной импульсной автокорреляционной функцией, основанный на
аналитическом решении системы тригонометрических и системы алгебраических уравнений.
-
Синтезированные многофазные последовательности Баркера с равномерной импульсной автокорреляционной функцией.
-
Метод синтеза многофазных последовательностей Баркера, основанный на численном решении систем тригонометрических и алгебраических уравнений с определением начальных условий на основе аналитических зависимостей.
-
Синтезированные многофазные последовательности Баркера с квазиравномерной импульсной автокорреляционной функцией.
-
Результаты исследования эффективности синтезированных многофазных последовательностей Баркера при влиянии частоты Доплера, разрядности квантования фазы и ограничении полосы энергетического спектра.
Личный творческий вклад. Автором получены следующие результаты:
разработано необходимое программное обеспечение по синтезу и анализу многофазных последовательностей Баркера;
проведен сравнительный анализ корреляционных свойств синтезированных многофазных последовательностей Баркера к изменению формы последовательностей вследствие влияния частоты Доплера и разрядности квантования фазы;
синтезированы ансамбли на основе многофазных последовательностей Баркера с уровнем максимального бокового лепестка по всему ансамблю, близким к значению ^Jn .
Внедрение результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы в НИР, выполняемых по следующим грантам и научным федеральным целевым программам (подтверждено актами о внедрении):
-
НИОКР «Аппаратно-программный комплекс генерации и обработки фазокодированных широкополосных сигналов с исключительными свойствами автокорреляционных функций», грант Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере по программе «У.М.Н.И.К.», ГК№ 9628р/14235, 2010-2012 (руководитель);
-
Грант РФФИ 09-07-00072-а «Теория синтеза ортогональных и квазиортогональных алфавитов сигналов на базе дискретных фазокодированных последовательностей», 2009-2011 (исполнитель);
-
Государственный контракт № П 783 в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 го-
ды», мероприятие 1.2.1 «Проведение научных исследований под руководством докторов наук» по теме «Разработка и реализация регулярных алгоритмов построения оптимальных по минимаксному критерию импульсных последовательностей», 2010-2012 (исполнитель);
-
Государственный контракт № 8112р/12783 по теме «Разработка и изготовление программного обеспечения и модулей цифрового синтеза и цифровой обработки широкополосных фазокодированных сигналов и ансамблей на их основе для информационно-телекоммуникационных систем», 2010-2012 (исполнитель);
-
Договор № 02.120.11.5418-МД по гранту Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых МД-5418.2010.9, «Аналитическая теория синтеза фазокодированных последовательностей с одноуровневой импульсной автокорреляционной функцией», 2010-2011 (исполнитель);
-
Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы», мероприятие 1 «Проведение фундаментальных исследований в рамках тематических планов», по заданию Минобразования и науки РФ, тема «Развитие теории построения унимодулярных дельтакоррелированных последовательностей» НИР №1.01.11, 2011 (исполнитель);
-
Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы», мероприятие 1 «Проведение фундаментальных исследований в рамках тематических планов» Минобразования и науки РФ №1.07.2012 по заданию Минобразования и науки РФ, тема «Разработка и реализация метода построения многофазных последовательностей Баркера», 2012-2013 (исполнитель).
Теоретические и практические результаты диссертационной работы реализованы в технических проектах ОКР «Волга МП» и «Самолет-М» и в эскизно-техническом проекте ОКР «ВЗГ Комплекс», разработанных ОАО «РТИ» (подтверждено актом о внедрении), а также внедрены в учебный процесс при изучении дисциплин «Сети и системы передачи информации» (специальность 090303.65 «Информационная безопасность автоматизированных систем»), «Основы радиотехники» (направление 090900.68 «Информационная безопасность» (магистратура)), в курсовое и дипломное проектирование, выполняемое студентами специальности 090303.65 «Информационная безопасность автоматизированных систем».
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на 3-ей Всероссийской научной конференции «Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике: Всероссийские ра-
диофизические научные чтения-конференции памяти Н.А. Арманда» (Муром, 2010); на 9-ой международной конференции «Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации» (Курск, 2010), на 66-ой Всероссийской конференции с международным участием «Научная сессия, посвященная Дню Радио - RDC-2011» (Москва, 2011); на 68-ой Международной конференции "Радиоэлектронные устройства и системы для инфокоммуникационных технологий RES-2013",серия «Научные конференции, посвященные Дню Радио (Выпуск 68)» (Москва, 2013); на 13-ой и 15-ой Международных конференциях Цифровая обработка сигналов и ее применение - DSPA-2011 (Москва, 2011) и DSPA-2013 (Москва, 2013)»; на 12-ой и 13-ой Всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва, 2011, 2013); на Всероссийских научно-практических конференциях «Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе» (Йошкар-Ола, 2010, 2011, 2012); на ежегодных научных конференциях по итогам НИР ПГТУ и научных семинарах кафедры информационной безопасности (2010-2013).
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 3 работы - в рецензируемых научных журналах, рекомендованных перечнем ВАК, 5 работ - в сборниках трудов (DSPA-2011, RDC-2011, DSPA-2013, RES-2013), засчитываемых ВАК, 8 работ - в сборниках материалов научных конференций; получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. При участии автора написаны промежуточные и итоговые отчёты по 6 НИР и 2 НИОКР.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов и приложений, содержит 24 рисунка и 22 таблицы. Список литературы включает 122 наименования.
Алгоритмы и результаты глобального поиска бинарных последовательностей
Следующим шагом в развитии подходов к построению унимодулярных последовательностей, оптимальных по минимаксному критерию, стала идея использовать алфавит с большим объемом по сравнению с бинарным. В 1956 году de Long [4] построил трехфазные последовательности Баркера, а затем Carley [5] и Welti [6] в 1960 году четырехфазные последовательности Баркера. В 1965 году Golomb и Scholtz [7]выдвинули идею увеличения объема алфавита для построения последовательностей Баркера большей длины. Также в этой работе введено понятие обобщенных кодов Баркера, определяемых в виде многофазной последовательности.
Наряду с оригинальными (бинарными) последовательностями Баркера (и„ =±1) Golomb и Scholtz [7] рассмотрели М-фазные последовательности Баркера с рациональными фазами вида ии=ехр(%г), (1.16) М - количество градаций фаз, задающее число разбиений окружности на М равных частей, г є [0,1,..,М -1].
В частности, в работе [7] приводятся ссылки на М = 2,3,4 - фазные последовательности Баркера, а также впервые рассмотрены (М = 6) шестифазные последовательности Баркера. В таблице 1.2 приведено по одному примеру М = 4- фазных последовательностей Баркера.
Из таблицы 1.2 следует, что увеличение объема алфавита позволяет увеличить длину последовательностей Баркера, в частности для известных четырехфазных последовательностей Баркера максимальная возможная длина становится равной N = 15.
Также в работе [7] Golomb и Scholtz сформулировали вопрос: "Чему равняются все значения М для заданной длины N такие, что последовательности Баркера могут быть сконструированы символами алфавита АМТ\ Другие различные аспекты построения многофазных последовательностей Баркера Golomb с соавторами рассмотрел в течение последующих 30 лет [7-15].
Поиски ответа на поставленный вопрос привели в дальнейшем к следующему результату. В таблице 1.3 показано общее число нормализованных обобщенных последовательностей Баркера для малых объемов алфавита М = [2,3,...,12], взятых из работы 2007 года [16].
В 1989 Golomb и Zhang [8] построили М = 60 -фазные последовательности Баркера до длины N = 19.
При малых объемах алфавита М и сравнительно малых длин TV поиск М -фазных последовательностей Баркера можно проводить, используя переборные методы. Однако с увеличением объемов алфавита и с увеличением длин последовательностей дальнейший поиск М -фазных последовательностей Баркера становится нецелесообразным, вместо этого переходят к поиску унимодулярных последовательностей Баркера с неограниченным объемом алфавита, т.е. ф„ є [0,27i]. Таблица 1.3. Число нормализованных обобщенных последовательностей Баркера
Дальнейший поиск последовательностей Баркера привел к следующим результатам. В 1994 году список последовательностей Баркера был расширен до длины N = 31 [17]. В 1996 году в работе [18] были найдены многофазные коды Баркера до длины N = 36. В работе [19] в 1998 году построены многофазные коды Баркера до длины N = 45. В 2005 году в работе [20] построены многофазные коды Баркера до длины N = 63, а в работе [21] построены многофазные коды Баркера длиныЛ = 64. В 2007 году в работе [16] построены многофазные последовательности длины N - 65. Многофазные последовательности Баркера с наибольшими на сегодняшний день длинами были получены в 2009 году в работе [22] 65 N 70, N = 12, N = 16, N = 11. В приложении А.З представлены известные многофазные последовательности Баркера. К сожалению, из доступной литературы известно лишь по одному примеру для подавляющего числа многофазных последовательностей Баркера.
Ключевым моментом в проблеме построения многофазных последовательностей Баркера является ответ на вопросы: Существуют ли многофазные последовательности Баркера для любой произвольной длины N1 Если длина ограничена, то чему равна максимальная длина N многофазной последовательности Баркера?
Некоторые из авторов работ (например, [17-22]) в результате экспериментального поиска пришли к выводу, что многофазные последовательности Баркера существуют лишь для некоторой конечной длины N.
Авторы работы [22], синтезировавшие самые длинные на сегодняшний день многофазные последовательности Баркера (N = 77), провели детальное построение в диапазоне длин N = [l0;52]. В результате при длине N = 38 ими было построено ПО неэквивалентных нормированных многофазных последовательностей Баркера (рисунок 1.1).
По резкому характеру уменьшения числа найденных последовательностей при возрастании длины N ими было высказано предположение, что в скором времени будут найдены все длины, при которых существуют многофазные последовательности Баркера.
Аналитические зависимости между кодовыми элементами многофазных последовательностей Баркера на основе системы тригонометрических уравнений
Идеальной автокорреляционной функцией называется функция с нулевыми боковыми лепестками, имеющая вид г0 = Щ » г±\ = г±2 = г±ъ = ... = г±(дг_!) = 0, (2.3) где и - норма последовательности. Для унимодулярной последовательности U = V . (2.4) Условию (2.3) может удовлетворять только периодическая автокорреляционная функция многофазной последовательности. У импульсной унимодулярной последовательности крайний боковой лепесток (БЛ) всегда будет равен )Сдг_1 = 1. Поэтому можно потребовать выполнения условия С0=ЛГ,С±Т = 1, r = ±l,±2,...,+(7V-l). (2.5) В результате получим унимодулярную последовательность с равномерной единичной ИАКФ. Для двухуровневой ИАКФ многофазной последовательности справедливо выражение C0 = N, С7±(ЛЛ_1) = 1, Ст = в, г = ±1,±2,...,±(ЛГ-2). (2.6)
Уровень а боковых лепестков (за исключением самых крайних) может изменяться в некоторых пределах 3e[amjn;amax]. Границы интервала [min amax ] различаются для унимодулярных последовательностей длин N. С учетом того, что модули боковых лепестков ИАКФ обладают свойством симметрии, т.е. CT = C_t, для построения импульсных многофазных последовательностей с двухуровневой ИАКФ запишем следующую систему уравнений: N-1-т 2 N-1-т cos( p„ -Фл+т) + Ssin( P« -Фи+т) и=0 . п=0 . = a2,r = l,...,iV-2. (2.7) В результате преобразований системы уравнений (2.7) получим систему уравнений вида N-2-x N-\-x 2 X Е С08(фт+ 1-ФМ-Фт+А:2+Ф 2) = я +1-N, (2.8) 1=0 k2=kl+l r = \,...,N-2. При о = 1 получим систему нелинейных уравнений для построения многофазных последовательностей с равномерной единичной ИАКФ вида N-2N-I 2 X Z cos{ pT+n- p„- pT+k+ pk) = l + T-N,T = l,...,N-2 (2.9) И=0 &=п+1 для которой можно аналитически найти общее количество возможных решений при заданной длине последовательности N, а также сами решения.
С учетом преобразований эквивалентности для (1.7)-(1.10) решения систем уравнений (2.8) и (2.9) будем искать в нормализованном виде (1.11): = [ Ро= Рі=0 Фг PNA] гДе значения двух первых фаз принимаются равными # 0 = щ = 0.
Аналитические зависимости меяеду кодовыми элементами многофазных последовательностей Баркера на основе системы тригонометрических уравнений
Для решения системы нелинейных уравнений вида (2.9) воспользуемся аналитическими соотношениями между корнями системы уравнений. В результате анализа системы уравнений (2.9), можно получить следующие аналитические зависимости. Первое уравнение системы уравнений (2.9) при г = N-2 всегда принимает вид 2COS(9 _2-9JV_I) = -1. (2.10) Уравнение (2.10) сразу устанавливает зависимость между элементами последовательности идг_і =ехр(/флг-і) и uN_2 =exp("Pjv-2) которую можно записать в виде: PN-2= PN-I±-Z (2.П)
Можно показать, что преобразования эквивалентности вида зеркальное отражение (1.9), поворот всей последовательности (1.7), набег фазы (1.10) и сопряжение (1.8) взаимно-однозначно отображают друг на друга решения (2.13,а) и (2.13,в). Преобразования эквивалентности (1.7)-(1.10) не изменяют зависимость между корнями последовательности Баркера вида (2.13, б).
Следующие зависимости между корнями {ф2»ФЗ Фл?-4 Фл -3 Фл -2 Фл -і} формируются при анализе третьего уравнения . Третье уравнение системы (2.9) при т = N - 4 принимает вид: 2cos( p2 -Фз +Фдм -Фл?-2)+2соз(-ф3 +Флг-1 -ФІУ-З) + + 2со$(-ф2 +ФЛГ-2 -Флг-з) + 2с05(фз - Флг-1 +Фл?-4) + + 2соз(ф2 -флг-2 +Флг-4) + 2соз(-фЛг_з + Флг-4) = _3. (2.14) Выразим корень Фл -4 относительно других корней {ф2,Фз,ф -4)Флг-3 ФіУ-2 ФіУ-і}- Для примера рассмотрим зависимость вида (2.13,а), В результате получим следующее решение: (2.15) Аналогично, можно найти зависимости между корнями {Ф2,ФЗ,Ф4.Ф -5 ФІУ-4»ФІУ-3 ФЛ -2 Ф -І} ПРИ анализе четвертого уравнения. В результате выразим корень фд/_5 относительно других корней. Таким образом, все «правые» элементы полукода могут быть выражены через «левые» элементы полукода. Полученные аналитические зависимости между корнями будем в дальнейшем использовать для численного решения системы тригонометрических уравнений (2.9). 2.3 Система алгебраических уравнений Унимодулярную последовательность U = (UQ,U\,...,UN_I) нормализованной многофазной последовательности Баркера запишем в виде X} = (l,\,u2,u3,...uN_3,uN_2,uN_l). (2.16) Сопряженная ей унимодулярная многофазная последовательность Баркера будет иметь вид: 1Т« Г і і і і і ) U = 1,1,—,—,..., , , , (2.17) и2 Щ uN_3 uN_2 uN_\) так как для кодового элемента и„=ехр(/ф„) сопряженный элемент будет равен "и = ЄХр(- /фи ) = -г—т = — . ехр(гфи) и„ Рассмотрим систему тригонометрических уравнений (2.9) N-2N-I 2 Z Е cos(tpT+n+ pk-(pn- pT+k)=l + T-N,T = l,...,N-2. Учтем, что унимодулярное комплексное число имеет вид u„=exp(i(pn) = cos(q n)+ism(q n), тогда 2cos(9n)-w„ + — . С учетом ип данного соотношения получим алгебраическую систему уравнений в виде Z I ±I L = 1 + T-N,T = 1,...,N-2. (2.18) и=0 к п+1ипит+к
Аналитические зависимости между кодовыми элементами многофазных последовательностей Баркера на основе системы алгебраических уравнений
Для решения системы нелинейных уравнений вида (2.18) воспользуемся аналитическими соотношениями между корнями системы уравнений. В результате анализа системы уравнений (2.18) можно получить следующие аналитические зависимости.
Численные методы построения многофазных последовательностей Баркера
Двухуровневая ИАКФ рассматриваемых многофазных последовательностей будут иметь вид: CQ = 5, С±1 = С±2 = ]С±3 = а, С4 = 1 , где ф - любое значение из интервала фє[0;2я]. Так как угол ф определяется из непрерывного интервала, то общее количество многофазных последовательностей с двухуровневой ИАКФ для фиксированного N бесконечно велико. Для N = 6 существует 1 неэквивалентное решение вида = {0;0;тг/3;7і;0;27і/3} для а — \. Равномерная ИАКФ рассматриваемой многофазной последовательности будет иметь вид: Су = 6, \С±11 = С±2І = F+31 = р±4 = р+5І = 1 Дальнейшая аналитическая запись полученных результатов становится чрезвычайно громоздкой. Отметим, что в рамках аналитического метода решения системы нелинейных уравнений удалось построить все многофазные последовательности Баркера с одноуровневой ИАКФ длин 2 N 10.
Результаты аналитического построения всех неэквивалентных нормализованных многофазных последовательностей Баркера в диапазоне длин N = [2,10] с равномерной ИАКФ представлены в таблице 2.1. Для построения многофазных последовательностей Баркера больших длин N 10 разработаем численные методы решения тригонометрической системы уравнений (2.9) с заданием начальных условий, полученных из представления элементов «правой» части последовательности через элементы «левой» части последовательности при решении алгебраической системы уравнений (2.18). Данный вопрос будет рассмотрен в главе 3.
В данной главе разработан аналитический метод построения многофазных последовательностей Баркера с равномерной ИАКФ на основе решения системы нелинейных уравнений.
В рамках разработанного подхода построены все неэквивалентные решения в диапазоне длин JV = [2,10]; рассмотрены зависимости между фазами последовательностей с равномерной структурой ИАКФ; получены аналитические решения, позволяющие задать произвольный уровень БЛ автокорреляции синтезируемой последовательностиВ данной главе рассмотрены численные методы построения многофазных последовательностей Баркера, а также последовательностей, близких к кодам Баркера: равномерные многофазные последовательности Баркера. К таким последовательностям относятся последовательности, у которых отсчеты ИАКФ удовлетворяют условию: Ш,приг = 0; 1 т \\npu x = l,2,...,JV-l. многофазные последовательности Баркера. К таким последовательностям относятся последовательности, у которых отсчеты ИАКФ удовлетворяют условию: Ш,прих = 0; 1 т \ l,npu-i = \,2,...,N-l. многофазные последовательности близкие к последовательностям Баркера, у которых отсчеты ИАКФ удовлетворяют условию: ]c,jN,npu т = 0; 1 Tl \ 2,npux = l,2,...,N-l.
В качестве исходной системы уравнений для численных методов возьмем систему тригонометрических уравнений (2.9) N-2N-I2 2 Z co${ pr+n- pn- pr+k+ pk)=l + T-N,T = l,...,N-2. и=0 к=п+\ В качестве начальных условий для реализации численных алгоритмов решения полученной системы уравнений необходимо использовать аналитические зависимости между «правой» и «левой» частями синтезируемой последовательности. Например, для нормализованной многофазной последовательности Баркера два отсчета «левой» части принимаются равными нулю: Ф0=Ф1=0 а два крайних отсчета «правой» стороны на основании выражения (2.11) определяются следующим образом: Флг-1 - генерируется случайным образом из диапазона фдг_і е [0;2тг], , 2л ФЛГ-2=ФЛГ-1±- Таким образом, на первом шаге существует два начальных условия, которые задаются следующими последовательности ( 2л- ч = (3.4) 2 V з На втором шаге к каждой из последовательности добавляем по одному отсчету с «правой» и с «левой» сторон ( 2я xe = \ p0=0,(pl = 0,(p2 ...,(pN_2,(pN_1+—, pN_ Ч? = 2/2" (3.5) Учтем аналитическую зависимость (2.13) между добавленными отсчетами. Так как решения (2.13, а) и (2.13,в) являются эквивалентными, достаточно рассмотреть две аналитические зависимости. Для аналитической зависимости (2.13, а) на основе каждого из решений (3.5) получим по 2 решения «P = L0 =0,срх =Q,(p2,...,(PN-\ +y,Ptf-l + - PN-l ] ( я 1я \ 4=\ PO = O, P\=Q, P2 - PN-\- PN-I+— PN-\\ (3-6) = ( Po = 0,Pi = 0, p2,..., pN_i - j, _i — -, PN-\ I где Фдг-ь Ф2 генерируются случайным образом из диапазона PN-bVl є[0,2лг]. Для аналитической зависимости (2.13, б) на основе каждого из решений (3.5) получим по 1 решению: V = [ П = 0, )1 = 0, 2,-, -1 - 2 + " iV-1 + -J- PN-l ( In \ х = \щ=Ъ,(рх=Ъ,(р1,...,(рх_х-срг+п,(рх_х——,q N-\ , (3.7) где Фдг-ь Ф2 генерируются случайным образом из диапазона На следующем шаге к последовательности (3.5) добавляем еще по одному отсчету с «левой» и «правой» сторон и получаем: Ч» = / 2л Ф0 = Ф1 = 0,ф2,Фз -,Флг-4 ФЛГ-3 Флг-1 + у ФлМ I = [ Р0 = Pl =0, р2, р3,.. .,(pN-A,q N-i, pN-\ —— ,q N-\\ С3-8)
На данном шаге случайным образом генерируются фазы фдг-ь Ф2 Фзе[0;2л], а остальные Ф]у-2?Флг-35Флг-4 вычисляются по рассмотренным аналитическим соотношениям (2.11), (2.13) и (2.15). Причем каждая из последовательностей (3.6) и (3.7) при добавлении фаз фз и фдг-4 распадается на две последовательности согласно выражению (2.15) в зависимости от знака «+» или «-» в знаменателе аргумента первого слагаемого. Процесс добавления фаз с «правой» и «левой» сторон продолжаем до тех пор, пока не будут сформированы все отсчеты последовательности. При этом множество решений системы уравнений будет распадаться на ветви
Формирование ансамблей многофазных последовательностей Баркера по критерию низкой взаимной корреляции
Проквантуем синтезированные многофазные последовательности Баркера в соответствии с правилом ?7Г ҐЧ -кЛ Ф(Ч, к) = — round\ — , (4.1) где Р - исходная последовательность Баркера, к - максимально допустимое число фаз, полученных при делении окружности на равные части, roundix) функция округления до целого числа. В таблицах представлены максимальные уровни БЛ для наилучших RIMAX И наихудших Rh x результатов квантования последовательностей.
При квантовании с к = 2 получены бинарные импульсные последовательности с хорошими корреляционными свойствами (PSL-последовательности). С этой точки зрения, бинарные последовательности, полученные в результате компьютерного поиска [60], могут быть использованы как начальные данные при поиске многофазных последовательностей Баркера.
В целом, синтезированные многофазные последовательности имеют хорошую ИАКФ при числе уровней квантования фазы k 2N и точности вычисления БЛ ИАКФ є = 0.01. Средняя зависимость при N = 40 уровня БЛ от числа фаз показана на рисунке 4.1, где Ш/ и Rh - уровни боковых лепестков ИАКФ наилучшей и наихудшей последовательности соответственно, к - число фаз, делящих окружность на равные части.
Результаты квантования представлены в таблице 4.2 и 4.3 для равномерных последовательностей Баркера и в таблице 4.4 и 4.5 для неравномерных последовательностей Баркера. Таким образом, многофазную последовательность с разрядностью квантования выше 16384(2") можно считать последовательностью Баркера с точностью 5 = 0.001; при увеличении разрядности до 65536 (2 ) и выше все проквантованные многофазные последовательности являются последовательностями Баркера (Рисунок 4.1).
На рисунке 4.1 показано, что при объеме квантованного равномерного фазового алфавита, превышающем удвоенную длину, квантование приводит к несущественному росту максимального бокового лепестка ИАКФ.
Точное количество неэквивалентных многофазных последовательностей Баркера можно определить только для последовательностей с равномерной ИАКФ.
Для случая многофазных последовательностей Баркера с неравномерной ИАКФ вопрос о количестве неэквивалентных решений становится некорректным.. Поэтому незначительное изменение уровней БЛ ИАКФ приводит к формированию новых многофазных последовательностей Баркера. В этом смысле число нормализованных многофазных последовательностей Баркера для каждой длины N будет бесконечно большим.
Ряд синтезированных многофазных последовательностей Баркера с неравномерной ИАКФ можно отнести к одному и тому же решению, в том случае, если уровень взаимной корреляции окажется достаточно высоким. В результате, из общего числа неэквивалентных последовательностей отберем такие многофазные последовательности Баркера, у которых параметр ст удовлетворяет заданным критериям объединения различных многофазных последовательностей Баркера в одну группу, характеризующую одно неэквивалентное решение. В качестве пороговых критериев объединения примем три различных значения уровней: Іх -3-0db, cjj -2.0db и cg -l.0db. (4.4)
Результаты объединения «похожих» многофазных последовательностей Баркера в одну группу представлены в таблице 4.6. Отметим, что все найденные неравномерные последовательности Баркера являются неэквивалентными. Разбив все множество последовательностей Баркера на подмножества с высокой взаимной корреляцией, получаем более 300 неэквивалентных решений на каждой длине, что доказывает существование значительно большего числа последовательностей по сравнению с представленными данными в работе [22].
Для импульсных последовательностей сформулируем следующий критерий: для каждой длины сформируем ансамбль из четырех последовательностей с минимальной ИВКФ.
Сформированные ансамбли соответствующих длин представлены в приложении Б. Максимальный уровень БЛ ИВКФ по ансамблю из четырех последовательностей в зависимости от длины N приведен в таблице 4.7. Помимо автокорреляционных и взаимно-корреляционных свойств, рассмотренных в предыдущих разделах, важным является вопрос о формах функций неопределенностей (ФН) дискретных фазокодированных последовательностей. Рельеф ФН позволяет судить о свойствах фазокодированных последовательностей при решении задач обнаружения, распознавания, оценки параметров и разрешении.
Функция неопределенности была введена Вудвордом в работе [61] (русский перевод [62]). В дискретном представлении импульсную функцию неопределенности дискретной последовательности длины// можно записать в виде Хт,ф и=0 I F т = -N + l,...,-\,0X...,N -1, $ = -F,...,-W,...,F. (4.5) По внешнему виду все ФН принято классифицировать как: - «ножевидные», с характерным представлением тела ФН в виде лезвия ножа в плоскости задержка-фаза; - «многолепестковые», с большим количеством пиков в плоскости задержка-фаза; - «кнопочные», с характерным главным пиком.
С практической точки зрения, интерес представляет оценка изменения уровня максимального бокового лепестка за счет влияния частоты Доплера либо в какой-то определенной области (частота Доплера, время задержки сигнала), либо во всей плоскости временных сдвигов и частот Доплера. Оценку изменения максимального уровня боковых лепестков будем проводить во всей области допустимых значений в плоскости «временная задержка - частота Доплера».
На рисунке 4.2 показаны импульсные ФН следующих унимодулярных последовательностей: М-последовательность длины N = 255; оптимизированная многофазная последовательность с максимальным уровнем БЛ Стах = 1.6длины N = 256, полученная из кода Франка; оптимизированная случайная последовательность, с максимальным уровнем БЛ Стах = 3.5 длины N = 256 ; многофазная последовательность Баркера длины N = 77.
