Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор состояния проблемы синтеза сигналов с заданными корреляционными и спектральными характеристиками 18
1.1 Анализ состояния вопроса 19
1.2 Дискретные фазокодированные последовательности 27
1.3 Классификация дискретных фазокодированных последовательностей 29
1.4 Корреляционный и спектральный анализ дискретных фазокодированных последовательностей 30
1.4.1 Скалярное произведение дискретных последовательностей 3 0
1.4.2 Корреляционные функции дискретных последовательностей 31
1.4.3 Спектральные характеристики дискретных последовательностей 32
1.4.4 Классификация дискретных фазокодированных последовательностей по виду автокорреляционных функций и спектральных характеристик 33
1.4.5 Функция неопределенности дискретных последовательностей 34
1.5 Известные методы синтеза фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией 36
1.5.1 Бинарные последовательности с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией 36
1.5.2 Бифазные последовательности с одноуровневой (в том числе с идеальной) периодической автокорреляционной функцией 50
1.5.3 М-фазные последовательности с идеальной периодической автокорреляционной функцией 51
1.6 Выводы по главе 53
2. Метод синтеза дискретных фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией, основанный на решении системы тригонометрических уравнений 55
2.1 Система уравнений для построения фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией 55
2.2 Анализ корней системы уравнений 58
2.2.1 Циклические сдвиги с поворотами до q>Q = 0 58
2.2.2 Комплексное сопряжение 59
2.2.3 Децимации 60
2.3 Анализ корней системы уравнений с учетом возможных симметрии 61
2.3.1 Симметричные решения 61
2.3.2 Симметричные решения с противоположными по знаку фазами 62
2.3.3 Симметрии разностных множеств 63
2.3.4 Решения с зависимыми корнями 63
2.4 Алгебраическое решение системы уравнений 63
2.5 Формирование «траекторий движения» фазокодированных последовательностей в комплексной плоскости 64
2.6 Примеры решения системы уравнений для построения фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией 66
2.6.1 Фазокодированные последовательности длины N = 2 66
2.6.2 Фазокодированные последовательности длины N = 3 68
2.6.3 Фазокодированные последовательности длины JV = 4 70
2.6.4 Фазокодированные последовательности длины N = 5 73
2.6.5 Фазокодированные последовательности длины N = 6 78
2.6.6 Фазокодированные последовательности длины N = 7 80
2.6.7 Фазокодированные последовательности длины N = 8 82
2.6.8 Фазокодированные последовательности длины N = 9 89
2.6.9 Фазокодированные последовательности длины N = 10 93
2.6.10 Фазокодированные последовательности с идеальной периодической автокорреляционной функцией для длин N = 2,...,10 104
2.7 Дополнительные преобразования фазокодированных последовательностей в случае равенства нулю боковых лепестков периодической автокорреляционной функции 104
Выводы по главе 106
3 Фазокодированные последовательности с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией 108
3.1 Правила построения фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией 108
3.1.1 Фазокодированные последовательности, основанные на тривиальных разностных множествах, с уровнем боковых лепестков а є [N-4;N] произвольной длины N 109
3.1.2 Фазокодированные последовательности, основанные на симметричном решении, с уровнем боковых лепестков а = для четных значений длины N 110
3.1.3 Фазокодированные последовательности, основанные на симметричном решении, с уровнем боковых лепестков a = [N/{\.-N);N] для длины последовательности N = р = 4к + 1
3.1.4 Фазокодированные последовательности, основанные на симметричном решении, с уровнем боковых лепестков a = [iVy(l — N);N -4] ДЛЯ длины последовательности N = р = 4к + 1 113
3.1.5 Фазокодированные последовательности, основанные на симметричном решении, с уровнем боковых лепестков а = [іУ/(і — N);N] ДЛЯ длины последовательности ТУ = р = 2 +1 114
3.1.6 Фазокодированные последовательности, основанные на симметричном решении, с уровнем боковых лепестков а = [N/(1 - N); N - 4] для длины ik последовательности N = p = 2 +\ 116
3.1.7 Фазокодированные последовательности с идеальной периодической автокорреляционной функцией длины N = 4 к, образующие бесконечное множество решений 117
3.1.8 Фазокодированные последовательности с идеальной периодической автокорреляционной функцией длины квадратных чисел N = k , образующие бесконечное множество решений 119
3.1.9 Фазокодированные последовательности с уровнем боковых лепестков периодической а — -1 для длины N = р -1 120
3.2 Ансамбли многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической автокорреляционной функции 121
3.2.1 Ансамбли дискретных последовательностей, оптимальных по минимаксному критерию 3.2.2 Решение задачи синтеза ансамблей многофазных последовательностей с идеальной периодической автокорреляционной функцией
3.2.2 Алгоритм синтеза бесконечного множества ансамблей многофазных последовательностей с идеальной периодической автокорреляционной функцией 126
4 Анализ эффективности синтезированных фазокодированных последовательностей с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией при решении задач обнаружения, распознавания и оценки параметров 129
4.1 Математические модели фазокодированных последовательностей 129
4.1.1 Математические модели эталонной и сигнальной фазокодированных последовательностей 129
4.1.2 Статистическая модель шумовой дискретно-кодированной последовательности 130
4.1.3 Статистическая модель зашумленной фазокодированной последовательности 131
4.2 Функции правдоподобия шумовой и зашумленной дискретно-кодированных последовательностей 132
4.3 Согласованная фильтрация фазокодированных последовательностей 133
4.4 Обнаружение зашумленной фазокодированной последовательности 136
4.4.1 Постановка и решение задачи обнаружения 136
4.4.2 Характеристики вероятности правильного обнаружения фазокодированной последовательности 139
4.5 Оценка параметра циклического сдвига фазокодированных последовательностей 140
4.5.1 Постановка задачи оценки параметра циклического сдвига фазокодированной последовательности 140
4.5.2 Анализ эффективности синтезированных ФКП при оценке параметра циклического сдвига 141
4.6 Совместная оценка параметров циклического сдвига и доплеровского набега фазы фазокодированных последовательностей 143
4.6.1 Постановка задачи совместной оценки параметров циклического сдвига и доплеровского набега фазы фазокодированных последовательностей 143
4.6.2 Анализ эффективности синтезированных фазокодированных последовательностей при совместной оценке параметров циклического сдвига и доплеровского набега фазы 147
4.7 Распознавание фазокодированных последовательностей 149
4.7.1 Постановка задачи распознавания 149
4.7.2 Анализ эффективности синтезированных ансамблей многофазных последовательностей при решении задачи распознавания 151
4.8 Обнаружение групповой дискретно-кодированной последовательности 152
4.8.1 Постановка задачи обнаружение групповой дискретно-кодированной последовательности 152
4.8.2 Анализ эффективности синтезированных ансамблей многофазных последовательностей при решении задачи обнаружение групповой дискретно-кодированной последовательности 154
Заключение 158
Библиографический список 160
Приложение А
- Дискретные фазокодированные последовательности
- Анализ корней системы уравнений
- Ансамбли многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической автокорреляционной функции
- Функции правдоподобия шумовой и зашумленной дискретно-кодированных последовательностей
Введение к работе
Диссертация посвящена синтезу фазокодированных последовательностей (ФКП) с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) и исследованию эффективности синтезированных последовательностей при решении основных задач обработки сигналов в радиотехнических системах.
Актуальность работы. Год от года область применения в радиотехнических системах дискретных кодовых последовательностей с хорошими корреляционными характеристиками неуклонно расширяется. С развитием элементной базы помимо бинарных последовательностей все большее практическое значение приобретают многофазные дискретные последовательности. В широкополосных системах связи ансамбли широкополосных сигнатур строятся на базе последовательностей, оптимальных (асимптотически оптимальных) по минимаксному критерию и объему. В радионавигационных системах ФКП с идеальной ПАКФ используются в качестве дальномерных сигналов, а в локационных системах с непрерывным излучением - в качестве зондирующих сигналов.
На сегодняшний день методами полного компьютерного перебора удалось найти все типы бинарных последовательностей с минимально возможным
уровнем боковых лепестков ПАКФ вплоть до значений периода N = 2w-\, основанных на циклических разностных множествах Адамара. Известны следующие неэквивалентные типы бинарных последовательностей с уровнем боковых лепестков а = -1 : Лежандра, Якоби, Холла, М-последовательности, GMW-последовательности, гиперовальные последовательности Segre и Glynn (1-го и 2-го типа), последовательности Касами (Н и Bk типов - частными
случаями которых являются 3-term, 5-term и WG-последовательности).
Среди многофазных последовательностей с идеальной ПАКФ известны ЛЧМ-подобные ФКП: коды Фрэнка, коды Задоффа-Чу, коды класса Р и многофазные коды Голомба, построенные на основе аппроксимации линейного закона изменения частоты ступенчатым изменением фазы. Также известны бифазные последовательности с идеальной ПАКФ.
К сожалению, несмотря на большое количество развитых подходов к построению ФКП с одноуровневой ПАКФ, следует отметить присущий им существенный недостаток, заключающийся в искусственном ограничении общей задачи синтеза ФКП с одноуровневой ПАКФ. При таких ограничениях фиксируются: значение периода jV последовательности, уровень боковых лепестков а , алфавит используемых фаз. В результате не удается найти ответы на общие важные теоретические вопросы: 1) неизвестно число неэквивалентных последовательностей заданного периода jV при заданном значении уровня а боковых лепестков ПАКФ; 2) неизвестны правила построения всех возможных неэквивалентных ФКП для произвольного периода jV .
В работах А.Н. Леухина была сформулирована общая задача построения ФКП с одноуровневой ПАКФ и получена система уравнений, решения которой, как было показано, являются ответами на поставленные вопросы.
Эти факты обуславливают актуальность настоящей работы - в рамках разработанной общей теории построения ФКП с одноуровневой ПАКФ синтезировать кодовые последовательности, множество которых должны составлять, как известные коды, так и новые неэквивалентные известным коды, в том случае, если они существуют для произвольного периода jV и уровня а боковых лепестков.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является синтез ФКП с одноуровневой ПАКФ, разработка новых правил кодирования последовательностей и анализ эффективности синтезированных последовательностей. Для достижения поставленных целей в диссертационной работе необходимо решить следующие задачи:
Найти аналитические или численные решения задачи синтеза ФКП с одноуровневой ПАКФ для периодов jV = 2,3,...,10 .
Синтезировать ФКП с идеальной ПАКФ периодов N = 2,3,...,10 и провести сравнительный анализ числа найденных ФКП с числом ранее известных ФКП.
Разработать правила кодирования ФКП с одноуровневой ПАКФ для определенных периодов jV с уровнем боковых лепестков из допустимого диапазона вещественных значений а є [а^п^тах]- Определить мощность каждого предложенного правила кодирования.
На основе синтезированных ФКП с одноуровневой ПАКФ построить ансамбли последовательностей, оптимальные (асимптотически оптимальные) по минимаксному критерию.
Теоретически и экспериментально (путем компьютерного моделирования) исследовать эффективность решения задач обнаружения, распознавания и оценки параметров при использовании синтезированных ФКП с одноуровневой ПАКФ.
Методы исследований. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы теории сигналов, контурного анализа, теории вероятностей и математической статистики, теории Галуа решения уравнений высоких степеней, теории групп, тригонометрических сумм, численные методы и методы математического моделирования.
Достоверность результатов исследований. Обоснованность и достоверность положений, выводов и рекомендаций подтверждается корректным использованием методов теории групп, теории вероятностей и статистического анализа, теории тригонометрических сумм, а также соответствием теоретических результатов результатам математического моделирования.
Научная новизна работы заключается в теоретических положениях, совокупность которых обосновьшает предлагаемые в работе правила построения новых ФКП с одноуровневой ПАКФ и методы формирования на их основе ансамблей многофазных последовательностей, асимптотически оптимальных по минимаксному критерию. В частности, новыми являются следующие теоретические результаты:
1. Впервые общая теория синтеза ФКП с одноуровневой ПАКФ применяется
для построения всех ФКП периодов jV = 2,3,...,10 . В результате показана
продуктивность общей теории синтеза ФКП с одноуровневой ПАКФ.
Формулируются новые правила кодирования ФКП с одноуровневой ПАКФ неэквивалентных известным. Синтезированы новые ФКП с одноуровневой ПАКФ с уровнем а боковых лепестков из допустимого диапазона вещественных значений а є [а„^п; атах ].
Разработан регулярный метод формирования ансамблей многофазных последовательностей на основе бесконечного множества ФКП с идеальной ПАКФ для периодов квадратных чисел. Доказана асимптотическая оптимальность построенных ансамблей с позиции близости к теоретической границе Вэлча для корреляционного пика.
Проведён анализ эффективности синтезированных ФКП и ансамблей многофазных последовательностей при решении задач обнаружения, распознавания и оценки параметров; получены характеристики правильного обнаружения, распознавания и оценки параметров для предложенных фазокодарованных последовательностей.
Практическая ценность работы. Практическое значение результатов работы определяется тем, что на основе новых правил кодирования последовательностей с одноуровневой ПАКФ существенно расширено множество многофазных последовательностей, находящих применение в радиотехнических системах. Синтезированные ФКП обладают оптимальными характеристиками с позиции критериев, полученных в рамках метода максимального правдоподобия, при решении задачи оценки параметров и асимптотически оптимальными с позиции критериев минимизации уровня взаимных помех при асинхронном кодовом уплотнении при решении задач распознавания, поэтому данные последовательности могут быть использованы радионавигационных системах, системах синхронизации и в системах передачи информации с кодовым разделением каналов. Разработанные в рамках диссертационной работы алгоритмы синтеза ФКП с заданными корреляционными характеристиками и построенные на их основе ансамбли могут быть использованы в схемах цифрового синтеза сигналов.
На защиту выносятся следующие положения:
Решения задачи синтеза ФКП с одноуровневой ПАКФ для периодов N = 2,3,...,10 с уровнем а боковых лепестков из допустимых диапазонов вещественных значений а є [^щіп^тах]-
Правила кодирования ФКП для значений периодов квадратных чисел N = k , чисел, кратных четырем N = 4-k , простых чисел вида N = 4k + l = р и
простых чисел Ферма вида N = 2 = р, приводящие к построению неэквивалентных известным ранее ФКП с одноуровневой периодической АКФ с уровнем а боковых лепестков из допустимых диапазонов вещественных значений а є [аП^п; атах ].
3. Метод построения ансамблей многофазных последовательностей,
асимптотически оптимальных по минимаксному критерию, на базе
бесконечного множества новых ФКП периодов квадратных чисел N = к с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ.
4. Результаты исследования эффективности синтезированных ФКП и
ансамблей на их основе при решении задач обнаружения, распознавания и
оценки параметров.
Личный творческий вклад. В совместных работах вклад автора в основные положения, выносимые на защиту был определяющим.
Найдены все неэквивалентные ФКП с нулевым уровнем боковых лепестков ПАКФ для периодов jV = 2,3,...,10, определено число неэквивалентных ФКП, а также общее число ФКП с идеальной ПАКФ, существующих для данных периодов.
Получены новые правила кодирования ФКП с заданным уровнем боковых лепестков ПАКФ. Определена мощность каждого метода кодирования.
Проведен анализ функций неопределенности ФКП, построенных на основании разработанных правил кодирования. Выполнена классификация и разбиение множества синтезированных фазокодированных последовательностей на классы последовательностей с кнопочной, ножевиднои и многолепестковой функциями неопределенности.
Разработан метод формирования ансамблей на базе бесконечного множества ФКП с идеальной ПАКФ и проведено доказательство его асимптотической оптимальности по минимаксному критерию.
Проведён анализ эффективности синтезированных ФКП с одноуровневой ПАКФ при решении задач обнаружения, распознавания и оценки параметров циклического сдвига и фазового набега; разработан комплекс программ для построения теоретических и экспериментальных характеристик правильного обнаружения, распознавания и оценки параметров ФКП.
Внедрение результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы в НИР, выполняемых по следующим грантам и научным федеральным целевым программам (подтверждено актами о внедрении):
Государственный контракт № 02.442.11.7330 в рамках ФЦНТП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям науки и техники на 2002 - 2006 годы», «Обобщенная теория синтеза фазокодированных последовательностей с заданным уровнем боковых лепестков циклической автокорреляционной функции», шифр РИ-19.0/001/350,2006 г.
Грант РФФИ, проект № 07-07-00285-а, «Теория синтеза фазокодированных последовательностей с одноуровневой циклической автокорреляционной функцией», 2007 - 2008 г.
Грант РФФИ, проект № 09-07-00072-а, «Теория синтеза ортогональных и квазиорогональных алфавитов сигналов на базе дискретных фазокодированных последовательностей », 2009 - 20011 г.
4. Аналитическая ведомственная целевая программа «Развитие научного потенциала высшей школы», мероприятие 1 «Проведение фундаментальных исследований в рамках тематических планов», Федеральное агентство по образованию, тема «Разработка теоретических методов передачи данных дистанционного зондирования лесного покрова по защищенному каналу с помехоустойчивым кодированием», НИР №1.02.09,2009-2010.
Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы при проведении ОКР по разработке изделий на ОАО «Марийский машиностроительный завод» (подтверждено актом о внедрении), а также внедрены в учебный процесс по специальности 21030068 - «Радиотехника» (магистратура) при изучении дисциплин «Оптимальная обработка радиолокационных и радионавигационных сигналов», «Зондирующие сигналы в радиолокации и радионавигации»; по специальности 21030265 -«Радиотехника» при изучении дисциплины «Цифровая обработка радиотехнических сигналов»; по специальности 21040565 - «Радиосвязь радиовещание и телевидение» при изучении дисциплин «Обработка сигналов на базе сигнальных процессоров», «Теория электрической связи», в курсовом и дипломном проектированиях, выполняемых студентами специальности 21030265 - «Радиотехника» (подтверждено актом о внедрении).
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на LXIII Научной сессии, посвященной Дню Радио (Москва, 2008); на VIII Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений: Новые информационные технологии» (Йошкар-Ола, 2007); на IX Международной конференции «Распознавание образов и анализ изображений: Новые информационные технологии» (Н. Новгород, 2008); на XIV Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов» (Суздаль, 2009); на XI Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах» (Москва 2008); на Всероссийских научно-практических конференциях «Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе» (Йошкар-Ола, 2007, 2008); на XII Международной молодежной научной школе «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань 2008); на ежегодных научных конференциях по итогам НИР МарГТУ (2007-2009).
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 23 работы. Из них 7 работ опубликованы в центральных рецензируемых научных журналах, рекомендованных перечнем ВАК, 2 работы в рецензируемом научно-техническом журнале, 14 работ содержатся в сборниках материалов научных конференций. При участии автора написано 4 отчёта по НИР.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 4 глав, Заключения, Библиографического списка и двух Приложений. Она изложена на 176 страницах машинописного текста (без приложений), содержит 31 рисунок, 2 таблицы, библиографический список включает 230 наименований.
Дискретные фазокодированные последовательности
Дискретную фазокодированную последовательность (ФКП) Г = {уп}0 N_i определим на основании выражения: где значение фазы на каждом и-ом кодовом интервале может принимать значение из диапазона срп N - длина дискретной последовательности (период последовательности), / - мнимая единица. Из выражения (1.2.1) следует, что модуль каждого кодового элемента ФІШ равен 1, т.е. ФКП можно отобразить графически в комплексной плоскости (ось абсцисс — действительная ось, ось ординат — мнимая ось) двумя способами: в виде контура (рис. 1.1, а) и в виде амплитудно-фазовой модели (рис. 1.1, б). Контурное представление фазокодированной последовательности отображается в виде некоторого N -мерного вектора в комплексной плоскости (рис. 1.1, а). Каждому кодовому элементу уп ставится в соответствие вектор единичной длины с углом поворота (рп. Угол поворота откладывается против часовой стрелки от оси параллельной действительной оси. Начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. Начало нулевого вектора у$ совпадает с началом системы координат, а его направление совпадает с направлением действительной оси ( pQ = 0), т.е. Выполнение условия (1.2.3) гарантирует исключение из рассмотрения «повернутых» кодовых последовательностей. Амплитудно-фазовая модель фазокодированной последовательности отображается в виде пучка векторов единичной длины с углом поворота (рп, исходящих из одной начальной нулевой точки (рис. 1.1, б). Угол поворота откладывается против часовой стрелки от действительной оси. Множество различных элементов и(Г) = {иу}0у_1 в составе фазокодированной последовательности Г называется алфавитом ФКП. Объемом алфавита ФКП U(r) называется мощность (количество элементов) данного множества V. Каждый элемент алфавита uv называется символом алфавита ФКП U(r)= {WV}0 у_\ Так как дискретная фазокодированная последовательность целиком определяется лишь значениями аргументов соответствующих кодовых элементов, то ее можно однозначно представить в виде вектора фаз: Упорядоченное по возрастанию множество значений фаз всех кодовых элементов в составе фазокодированной последовательности Г называется фазовым алфавитом ФКП А(ф). Каждый элемент алфавита av называется символом фазового алфавита А(ф)= {CXV}Q J _J. Объемом фазового алфавита ФКП А(ф) называется мощность V упорядоченного множества значений фаз всех кодовых интервалов в составе алфавита фазокодированной последовательности Г. Правило кодирования иг(п) ставит в соответствие каждому элементу дискретной последовательности уп =exp{i- pn) с номером п символ av из фазового алфавита А(ф), над которым задана дискретная последовательность Г. Мощность правила кодирования Р[С/г( )] равна числу неинверсно-изоморфных ФКП Г одинаковой длины N, которые можно построить по правилу кодирования /р (п). Пик-фактором дискретной последовательности Г = {/„}0ЛГ_1 называется отношение квадрата максимального модуля кодового элемента к среднему квадрату модулей всех отсчетов в составе кодовой последовательности: По составу алфавита различают следующие виды дискретных фазокодированных последовательностей: 1) фазоманипулированные (бинарные) последовательности; 2) М-фазные последовательности; 3) последовательности со значениями фазы из диапазона срп є [0;2я-], не кратными 2л! М. Фазоманипулированными (бинарными) последовательностями называются последовательности, фазовый алфавит А(ф) = {0; л] которых образован лишь двумя значениями фазы:
Поэтому в зависимости от значения фазы на п -ом кодовом интервале, получаем уп = 1 или уп = -1. М-фазными последовательностями называются последовательности, фазовый алфавит которых образован значениями фаз: где ZM = {0,1,2,...,М -і} - кольцо вычетов целых чисел по модулю М. Последовательностями со значениями фазы не кратными 2тг/М называются последовательности, фазовый алфавит которых содержит хотя бы одно значение фазы, не кратное некоторому значению 2л/М, т.е., хотя бы для одного п є ZN вьтолняется условие: Из рис. 1.2 следует, что М-фазные последовательности образуются кодовыми элементами, соответствующие векторы которых делят окружность на М равных частей. У бинарных последовательностей соответствующие векторы делят окружность на две равные части. Отметим, что с точки зрения простоты реализации и обработки наиболее привлекательными являются бинарные последовательности. М-фазные последовательности составляют другой класс известных и хорошо изученных последовательностей. Последовательности со значениями фаз не кратными 2л"/М являются почти совсем неизученными (за исключением бифазньгх последовательностей [14, 52,170]). Скалярное произведение двух дискретных последовательностей в унитарном пространстве С [124] имеет вид: где vn = vn — і vn — комплексно-сопряженный элемент. Евклидовая норма дискретной последовательности г определяется на основании выражения:
Анализ корней системы уравнений
Определение 2.1. Решение, при котором выполняются условия: где ]х[ - целая часть чмела х, назовем симметричным: максимальное число различных эквивалентных решения, определится как: При этом следует иметь в виду, что фазокодированные последовательности, полученные в результате циклических сдвигов и поворотов, не должны совпадать с последовательностями, полученными с помощью децимаций и сопряжений. 2.3.2 Симметричные решения с противоположными по знаку фазами Полное множество решений, полученных на основе исходного решения, образуется помимо прочих путем комплексных сопряжений (2.2.3), которые означают, что для каждого решения вида Ф =[0 (р\ р2 ... PN-\\ будет существовать сопряженное ему решение вида Ф =[0 —(р\ - Р2 ... — PN-\\ ЧТО приводит в свою очередь к следующему выводу. Определение 2.2. Решение, при котором выполняются условия: назовем симметричным с противоположными по знаку фазами: Для симметричного решения с противоположными по знаку фазами максимальное число эквивалентных решений определится как При этом следует иметь в виду, что фазокодированные последовательности, полученные в результате циклических сдвигов и поворотов, не должны совпадать с последовательностями, полученными с помощью децимаций и сопряжений. Следующий вид симметрии основан на свойствах разностного множества. Напомним, что если на позициях вектора (2.1.9) с порядковыми номерами dj, / = 0,1,...,-1, где dj aD\N,k,A) — элементы разностного множества D, разместить значения фаз равных 0, а на остальных N — к позициях значения фаз равных некоторому значению а, то получим N позиционную кодовую последовательность с одноуровневой периодческой АКФ. Исходное решение системы уравнений (2.1.7) - (2.1.8) в этом случае будет иметь вид: Для каждого конкретного разностного множества число различных эквивалентных решений определится как: где Р — мощность соответствующего разностного множества. В общем случае, число возможных решений будет меньше числа решений, определяемого с помощью выражения (2.2.8), когда между корнями системы уравнений существуют определенные функциональные зависимости. Например, один из корней является суммой или разностью двух других. Определение 2.3. Решение, при котором можно найти функциональные зависимости между его корнями независимо от уровня боковых лепестков а, назовем решением с зависимыми корнями. В этом смысле все симметричные решения и симметричные решения с противоположными по знаку фазами являются решениями с зависимыми корнями. Для поиска корней системы уравнений (2.1.7) - (2.1.8) применим следующий подход. Систему тригонометрических уравнений (2.1.7) - (2.1.8), можно заменить системой алгебраических уравнений, используя подстановки вида: Выражая последовательно корни одного уравнения системы через корни других уравнений системы, на последнем шаге получим некоторое уравнение степени к: где /Да) — различные многочлены некоторой к -ой степени. Далее выполним факторизацию параметрического многочлена вида f\?4 = fk\c4x +fk-i\a)x + — + fi{a)x + fo{a) над полем вещественных значений а и для каждого многочлена /}( ) в разложении f(x) = Yl fi(x) найдем хотя бы одно решение вида "" О « И которое будет давать при переходе к фазовому представлению одно ое решение вида (2.1.9). Применяя преобразования (2.2.2), (2.2.4) и (2.2.6) к каждому полученному решению сформируем все возможные решения, соответствующие многочлену В ходе решения уравнения (2.4.3) будет определена область допустимых значений уровня боковых лепестков a = [am,n ;атах] для каждого /-го решения.
Ансамбли многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической автокорреляционной функции
Множество фазокодированных последовательностей Гд = М м0 N,,удовлетворяют совокупности требований, образует ансамбль ФКП Е = {Г0,Г1,...,Г _]}. В матричной форме записи ансамбль ФКП будет иметь следующий вид:Обозначим максимальный по ансамблю боковой лепесток нормированнойОптимальным по минимаксному критерию называется такой ансамбль кодовых последовательностей Е = {Го,Гі,...,Гу_і} в котором величина rmax достигает минимума, возможного при заданном объеме V и длине кодовой последовательности N.
Для идеального гипотетического ансамбля rmax = 0, для любого реального ансамбля maxможет служить адекватной мерой близости к идеальному. В работе [212] Вэлчустановил фундаментальную нижнюю границу для полного квадрата корреляции. Эти же границы могут быть перенесены на значение корреляционного пика гтах. Приведем итоговые границы для rmax, представленные в работе [143]. В ансамблях бинарных последовательностей: условия, устанавливающие верхний предел объема ансамбля при фиксированных длине N и максимуме корреляционногоВ работах [207, 208] показано, что на основе бесконечного множества ФКП с идеальной периодической АКФ, сформированных по правилу кодирования (3.1.17) принечетных значениях длины последовательности N = к , являющейся квадратом нечетного числа к, можно сформировать ансамбли ФКП, асимптотически оптимальные по минимаксному критерию.
Согласно правилу кодирования (3.1.17) можно сформировать ф(&) различных ФКП с идеальной периодической АКФ, отличающихся параметром Я/ и вектором начальных фаз В/: где Я/ — числа взаимно-простые с к; ]х[ - целая часть числа х; В/ = уЗ L Л-1 — векторфаз, принимающих произвольные вещественные значения из диапазона / = 0,/$є[0;2л-], т = \,...,к-\; / = 0,1,..., q ( )-l.
Запишем выражение для модуля [т7г нормированной периодической ВКФ двух ФКПг0") = )[))iV_1 и rW = V jb -p полученных по формуле Система вычетов по модулю к, удовлетворяющих условию (3.2.16), будет иметь вид YQ,\,...,Xp{_2) = \\,2,...,pi\, так как полная система вычетов по модулю простого числаPl образует мультипликативную группу G(j i) поля Галуа GF{p{) [214]. Нулевой элемент этой группы не рассматривается, так как при вычислении периодической ВКФ j ФI. В любой другой группе Gypjj, j 1 всегда найдутся вычеты кратные р\, и условие(3.2.17) для них выполнено не будет. Тогда в случае нечётного N объем V ансамблябудет равен:где р\ — наименьшее простое число в каноническом разложении числа N. Из выражения(3.2.18) следует важный вывод: ансамбль многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ может быть образован только для нечётных значений N, так как в случае чётных N объём ансамбля V = рх -1 = 2 — 1 = 1. Определим количество К ансамблей многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ нечётной длины N = к . Векторы фаз В/ = \fi)l L kl в выражении (3.2.8), определяющим значения фазы q y на каждом w-ом кодовом интервале последовательностей Г/ = j jo N-\ = гхЩФ" т N-l принимают произвольные значения из диапазона Щ = 0, Ду є [О;2тг], т = \,...,к-1, 1 = 0,1,..., р(&)-1, поэтому для нечётных значений N = k можно сформировать бесконечное множество ансамблей многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ, т.е.:
Алгоритм синтеза бесконечного множества ансамблей многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ, в случае N = к2, где к (mod 2) Ф 0, можно представить следующим образом: 1. Определяем систему вычетов по модулю к взаимно простых с к: 2. Определяем наименьшее простое число р\ в каноническом разложении числа N: 3. Среди всех Сфй сочетаний по р\-\ вычетов по модулю к взаимно простых с к из ц (к) возможных вычетов отбираем w-ые сочетания вычетов }№ ,1} ,...,7SW\ j, для которых справедливо условие: 4. w-ый ансамбль многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ будет иметь вид: Сформированный по данному алгоритму ансамбль при простом числе к имеет объем V = k — 1 = JN — 1, а максимальный корреляционный выброс по ансамблю 1 принимает значение rmax = —== yJN Таким образом, ансамбли последовательностей, полученные на основе разработанного алгоритма, по значению корреляционного выброса удовлетворяют теоретической границе Вэлча, однако не являются оптимальными с позиции достижения максимально возможного объема. В данной главе были обобщены отдельные результаты, полученные в гл. 2 при построении ФКП длины N = 2,3,...,10 с одноуровневой периодической АКФ, на случай определенной длины. Получены восемь правил кодирования, приводящих к ФКП с одноуровневой периодической АКФ. Первое правило кодирования существует для любой длины последовательности N и приводит к построению ФКП с уровнем боковых лепестков периодической АКФ из диапазона а є [N - 4; JV]. Мощность правила кодирования Р = 1. Второе правило кодирования также существуют для любой длины последовательности N и приводит к построению ФКП с уровнем боковых лепестков периодической АКФ из диапазона а = [N - 4; N]. Мощность правила кодирования Р = 1. Третье и четвертое правила кодирования существуют длин последовательностей вида N = 4k + l = p с уровнем боковых лепестков из диапазона ae[N/(l-N);N] и а є [iV/(l - N); N — 4\ соответственно. Мощность правил кодирования Р = 1. Пятое и шестое правила кодирования существуют длин последовательностей вида N = p = 2 +1 с уровнем боковых лепестков из диапазона ae[N/(l-N);N\ и а є [ЛУ(1 - N); TV - 4j соответственно. Мощность правил кодирования Р = 1. Седьмое правило кодирования существует для длины последовательности, кратной четырем N = 4-к и приводит к построению бесконечного множества ФКП с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ. Восьмое правило кодирования существует для длины последовательности вида N = к и также приводит к построению бесконечного множества ФКП с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ. На основе синтезированных ФКП длины квадратных чисел с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ, образующих бесконечное множество решений, построены ансамбли многофазных последовательностей, асимптотически оптимальные по минимаксному критерию. Разработан алгоритм формирования ансамблей. Определен объем ансамбля и возможное количество формируемых ансамблей. В данной главе выполнено следующее: 1) рассмотрены математические модели эталонной, сигнальной и шумовой дискретных последовательностей 2) рассмотрены функции правдоподобия шумовой и зашумленной дискретной последовательности; 3) рассмотрены вопросы согласованной фильтрации запгумленных дискретно-кодированных последовательностей; 4) построены теоретические характеристики вероятности правильного обнаружения ФКП; 5) проведён сравнительный анализ эффективности синтезированных ФКП с одноуровневой периодической АКФ при решении задачи оценки параметров циклического сдвига и фазового набега ФКП; 6) проведён сравнительный анализ эффективности синтезированных ансамблей ФКП с известными ансамблями ортогональных и минимаксных последовательностей при решении задач распознавания и обнаружения групповой дискретно-кодированной последовательности. Решение данных вопросов рассмотрено в работах автора [215 - 224].
Функции правдоподобия шумовой и зашумленной дискретно-кодированных последовательностей
Система вычетов по модулю к, удовлетворяющих условию (3.2.16), будет иметь вид YQ,\,...,Xp{_2) = \\,2,...,pi\, так как полная система вычетов по модулю простого числа Pl образует мультипликативную группу G(j i) поля Галуа GF{p{) [214]. Нулевой элемент этой группы не рассматривается, так как при вычислении периодической ВКФ j ФI. В любой другой группе Gypjj, j 1 всегда найдутся вычеты кратные р\, и условие (3.2.17) для них выполнено не будет. Тогда в случае нечётного N объем V ансамбля будет равен: где р\ — наименьшее простое число в каноническом разложении числа N. Из выражения (3.2.18) следует важный вывод: ансамбль многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ может быть образован только для нечётных значений N, так как в случае чётных N объём ансамбля V = рх -1 = 2 — 1 = 1. Определим количество К ансамблей многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ нечётной длины N = к . Векторы фаз В/ = \fi)l L kl в выражении (3.2.8), определяющим значения фазы q y на каждом w-ом кодовом интервале последовательностей Г/ = j jo N-\ = гхЩФ" т N-l принимают произвольные значения из диапазона Щ = 0, Ду є [О;2тг], т = \,...,к-1, 1 = 0,1,..., р(&)-1, поэтому для нечётных значений N = k можно сформировать бесконечное множество ансамблей многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ, т.е.: Алгоритм синтеза бесконечного множества ансамблей многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ, в случае N = к2, где к (mod 2) Ф 0, можно представить следующим образом: 1. Определяем систему вычетов по модулю к взаимно простых с к: 2. Определяем наименьшее простое число р\ в каноническом разложении числа N: 3. Среди всех Сфй сочетаний по р\-\ вычетов по модулю к взаимно простых с к из ц (к) возможных вычетов отбираем w-ые сочетания вычетов }№ ,1} ,...,7SW\ j, для которых справедливо условие: 4. w-ый ансамбль многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ будет иметь вид: Сформированный по данному алгоритму ансамбль при простом числе к имеет объем V = k — 1 = JN — 1, а максимальный корреляционный выброс по ансамблю 1 принимает значение rmax = —== yJN Таким образом, ансамбли последовательностей, полученные на основе разработанного алгоритма, по значению корреляционного выброса удовлетворяют теоретической границе Вэлча, однако не являются оптимальными с позиции достижения максимально возможного объема. В данной главе были обобщены отдельные результаты, полученные в гл. 2 при построении ФКП длины N = 2,3,...,10 с одноуровневой периодической АКФ, на случай определенной длины. Получены восемь правил кодирования, приводящих к ФКП с одноуровневой периодической АКФ. Первое правило кодирования существует для любой длины последовательности N и приводит к построению ФКП с уровнем боковых лепестков периодической АКФ из диапазона а є [N - 4; JV]. Мощность правила кодирования Р = 1. Второе правило кодирования также существуют для любой длины последовательности N и приводит к построению ФКП с уровнем боковых лепестков периодической АКФ из диапазона а = [N - 4; N]. Мощность правила кодирования Р = 1. Третье и четвертое правила кодирования существуют длин последовательностей вида N = 4k + l = p с уровнем боковых лепестков из диапазона ae[N/(l-N);N] и а є [iV/(l - N); N — 4\ соответственно. Мощность правил кодирования Р = 1. Пятое и шестое правила кодирования существуют длин последовательностей вида N = p = 2 +1 с уровнем боковых лепестков из диапазона ae[N/(l-N);N\ и а є [ЛУ(1 - N); TV - 4j соответственно. Мощность правил кодирования Р = 1. Седьмое правило кодирования существует для длины последовательности, кратной четырем N = 4-к и приводит к построению бесконечного множества ФКП с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ. Восьмое правило кодирования существует для длины последовательности вида N = к и также приводит к построению бесконечного множества ФКП с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ. На основе синтезированных ФКП длины квадратных чисел с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ, образующих бесконечное множество решений, построены ансамбли многофазных последовательностей, асимптотически оптимальные по минимаксному критерию. Разработан алгоритм формирования ансамблей. Определен объем ансамбля и возможное количество формируемых ансамблей. В данной главе выполнено следующее: 1) рассмотрены математические модели эталонной, сигнальной и шумовой дискретных последовательностей 2) рассмотрены функции правдоподобия шумовой и зашумленной дискретной последовательности; 3) рассмотрены вопросы согласованной фильтрации запгумленных дискретно-кодированных последовательностей; 4) построены теоретические характеристики вероятности правильного обнаружения ФКП; 5) проведён сравнительный анализ эффективности синтезированных ФКП с одноуровневой периодической АКФ при решении задачи оценки параметров циклического сдвига и фазового набега ФКП; 6) проведён сравнительный анализ эффективности синтезированных ансамблей ФКП с известными ансамблями ортогональных и минимаксных последовательностей при решении задач распознавания и обнаружения групповой дискретно-кодированной последовательности.г - Ыпо,Лг-1 ={Н-ехр(г-А )-ехр(/-«- )-ехр[г(?7„+г (mod#))]}0jV_r (4-1.6) где // - масштабный множитель, T = 0,1,...,N — 1 — значение шага циклического сдвига кодовых элементов последовательности Г = (/,,/0 дг_і, А Р — угол поворота каждого п -го кодового элемента последовательности Г = {/п}0 N-l, п-ф — угол поворота и-го кодового элемента последовательности Г = {;к„}о дг_р соответствующий доплеровскому набегу фазы. Дискретно-кодированную последовательность Т с = i/j, j0 N-\ назовем сигнальной. 4.1.2 Статистическая модель шумовой дискретно-кодированной последовательности Исходя из принятых в теории сигналов представлений [124, 225], математическую модель шумовой дискретно-кодированной последовательности (ШДКП), представляющую собой комплекснозначный аналог широкополосного флуктуационного шума, определим на основании выражения: 2 = (?иЦ-1 ={C +Klm \0,N-V (4-1-7) Реальная „ и мнимая пт составляющие каждого шумового отсчёта п, n = 0,...,N-l являются независимыми для любого п и обладают следующими характеристиками: математическим ожиданием: м{ )=М&т)=0, (4.1.8) дисперсией: ) корреляционной функцией: где S(n) - символ Кронекера (см. (4.1.11)). Произвольная случайная величина vn является комплексной, поэтому её дисперсия будет равна [226]: Будем рассматривать произвольную случайную величину vn как двумерную, тогда совместная плотность распределения произвольного и-го отсчета зашумленнои ФКП определится следующим образом:
