Содержание к диссертации
Введение
1. Проверка гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений 9
1.1. Модели, основанные на броуновском движении 9
1.2. Модели, основанные на гиперболических распределениях 12
1.3. Модели, использующие обобщенные процессы Кокса 18
1.4. Модели, не зависящие от времени 23
1.5. Дополнительные сведения 26
1.6. Асимптотическое поведение сопряженного смесителя 30
1.7. Численная реализация 36
2. Различение нормального и смеси нормальных распределений 55
2.1. Классические методы различения нормального и смеси нормальных распределений 55
2.2. Определение асимптотического поведения сопряженного смесителя для случая нормального распределения 61
2.3. Определение коэффициента устойчивости по опубликованным экспериментальным данным 73
3. НОРМД плотности двухпараметрического семейства гамма 87
3.1. Сопоставление эффективности статистических выводов на основе указанных инвариантов с выводами, базирующимися только на выборочных данных на примере распределения Коши . 87
3.2. Нахождение НОРМД плотности гамма распределения 94
Заключение 120
Библиографический список 121
- Модели, основанные на гиперболических распределениях
- Асимптотическое поведение сопряженного смесителя
- Определение асимптотического поведения сопряженного смесителя для случая нормального распределения
- Сопоставление эффективности статистических выводов на основе указанных инвариантов с выводами, базирующимися только на выборочных данных на примере распределения Коши
Введение к работе
"Можно без преувеличения сказать, что в последние два десятилетия центр основных интересов финансовой математики, ее более впечатляющие математические результаты и "выходы" в практику связаны со стохастическими аспектами, что и объясняет большой поток работ, опирающихся на результаты стохастического исчисления, теории мартингалов, оптимального стохастического исчисления и новых методов в статистике случайных процессов." [1]
Проблема эквивалентного описания эволюции финансовых индексов (цен акций, величин обменных курсов валют и т.д.) имеет давнюю историю и занимает в теоретических и прикладных исследованиях теории финансов весьма заметное место.
Финансовые модели с момента появления работы Башелье Л. в 1900 году [2], которая была первым опытом описания с помощью математического аппарата эволюции цен акций, привлекали внимание многих математиков.
В 1965 году Самуэльсон П. А. [3] предложил использовать в моделях актуарных расчетов геометрическое броуновсокое движение, таким образом, сделав предположение о нормальности распределения логарифмических приращений стоимостей активов. Модель Блэка-Мертона-Шоулса, использующая геометрическое броуновское движение, вошла в распространенные пакеты прикладного программного обеспечения для финансовых вычислений (MAPLE, MATLAB).
Однако, при обработке реальных биржевых данных было замечено, что в действительности наблюдается заметно больше очень больших и очень маленьких по абсолютной величине приращений, чем их должно быть при нормальном распределении (см., например, Ширяев А.Н., 1994 [1], Кендалл М. [49], Самуэльсон П. А. [3] (1965), Бардорфф-Нильсен (1977) [49], Кларк П. [49]). Другими словами, наблюдаемые распределения приращений цен на интервалах времени умеренной длины являются более островершинными, нежели нормальные, и при этом имеют заметно более тяжелые хвосты. Такое поведение
приращений хорошо описывается с помощью моделей случайных сумм, т.е. сумм случайного числа независимых случайных величин. Класс предельных распределений для случайных сумм весьма богат и содержит как распределения приращений для процессов, базирующихся на геометрическом броуновском движении со случайным сносом и диффузией в макромоделях биржевых цен (исследованием которых занимались Ширяев А. Н. [1,49] (1994), Королев В. Ю. [4,6,7,8,9,10,11,17] (1997), Бенинг В. Е. [6,7,8,9,10,11] (1998), Эберлейн Е., Келлер У., Нейман К. [49] (1992-1994), Первадчук В.П. [20] (2002), так и распределения, возникающие в моделях микроуровня, позволяющих учитывать неоднородность "биржевого времени". Дело в том, что представителями этого класса служат, так называемые, смеси нормального распределения, т.е. усреднения нормальной функции распределения по математическому ожиданию и стандартному отклонению, которые являются случайными и их закон распределения заранее неизвестен. В связи с выше сказанным, проблема определения типа распределения приращения активов по имеющейся реализации представляется весьма актуальной. Часть этой проблемы, касающаяся предельных распределений для обобщенных процессов Кокса рассматривается в моей диссертации. В работах Королева В. Ю., Бенинга В. Е. [7, 8, 9,10, 11] и др. показано, что при определенных ограничениях предельные распределения нормированных обобщенных процессов Кокса принадлежат классу симметричных строго устойчивых распределений.
Аналитическое представление плотностей этих распределений возможно лишь в исключительных случаях, поэтому практический интерес представляет математический аппарат получения статистических выводов, не связанный с компьютерно-интенсивным методом, предложенным в работе Фама и Ролла [27], 1970. Поскольку статистические выводы, реализуемые в работе, базируются на новой выборке, полученной из исходной посредством ее модификации с помощью имитаций стандартной нормальной величины, то для сопоставления эффективности выводов необходимы новые теоретические построения и
методы их численной реализации. Один из возможных подходов указан в диссертации. Попутно решена задача нахождения НОРМД (несмещенных оценок с равномерно минимальной дисперсией) неизвестного параметра масштаба гамма распределения, предложенная в свое время Колмогоровым А. Н. и имеющая самостоятельный интерес в различных приложениях.
Целью работы является реализация новых методов, основанных на плотности распределения инвариантов, для решения двух типов задач. К первому типу можно отнести проблему проверки гипотез о принадлежности данному распределению модифицированной выборки. Ко второму - задачу оценивания неизвестного параметра при известном семействе распределений.
В работе построены: аппроксимации функций распределений, графики плотностей и функций распределения для различных значений коэффициента устойчивости. Приведены таблицы критических точек, которые используются для проведения процедуры проверки гипотез с помощью критерия Колмогорова. Численно реализован пример, иллюстрирующий применение метода. Найдена НОРМД для гамма распределения. Кроме того, в работе построены таблицы, позволяющие определить необходимый объем выборки, требуемый для построения удовлетворительных статистических выводов.
Результаты работы докладывались на XXXVII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 1998), где доклад был удостоен диплома, на трех Всероссийских школах-коллоквиумах по прикладной и промышленной математике (Самара, 1999, 2001, Ростов-на-Дону, 2002), и на пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004). Полученные в работе результаты обсуждались на научных семинарах кафедры математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета, кафедры теории вероятностей и математической статистики Пермского государственного университета.
Диссертация общим объемом 125 стр. состоит из введения, трех глав, поделенных на 12 параграфов, 6 таблиц и 26 рисунков, заключения, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Основные результаты работы изложены в статьях [35, 42, 45]. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ.
Положения, выносимые на защиту.
Реализация нового метода проверки гипотезы о типе предельного распределения для случая строго устойчивых распределений с помощью современных численных методов и комплексов программ (MAPLE, MATLAB).
Создание нового алгоритма различения нормального и смеси нормальных распределений для математических моделей, построенных на основе короткого периода наблюдений.
Создание нового метода проверки гипотезы о принадлежности распределению Коши логарифмических приращений стоимостей активов, с помощью перехода к гамма распределению с параметром формы 0,5.
Построение метода нахождения оптимальной оценки неизвестного масштабного параметра гамма распределения, необходимой для реализации проверки гипотезы в случае распределения Коши.
Применение полученных результатов для нахождения предельного распределения в задаче изменения курса валют.
Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели и задачи исследования, приводится краткое описание основных результатов, представленных в диссертации.
В первой главе рассматриваются различные математические модели рынков ценных бумаг, существующие на данный момент. Также построен алгоритм и впервые численно реализован метод проверки гипотезы на принадлежность классу устойчивых распределений с определенным коэффициентом устойчивости.
В разделах 1.1 - 1.5. приводится обзор литературы по моделям рынков ценных бумаг, используемых в финансовой математике, и известные результаты из теории вероятностей и математической статистики, которые будут использоваться в дальнейшем для построения статистических выводов.
В разделе 1.6 приведены результаты Сапожникова П. Н. [36,37], которые являются основой для реализации метода проверки гипотез о типе предельного распределения.
В разделе 1.7 найдены аппроксимации для плотностей сопряженного смесителя с коэффициентом устойчивости изменяющимся от 1.2 до 1.9. Полученные результаты можно использовать для исследования процессов финансовой математики, математические модели которых описываются строго устойчивыми распределениями. С помощью пакета прикладных программ MAPLE, были проведены все вычисления (особую сложность представляло вычисление кратных интегралов, присутствующих в представлении функций Золотарева [12]), построены графики плотностей и функций распределения сопряженного смесителя для различных значений коэффициента устойчивости. Показано, что за счет быстрого убывания значений коэффициентов участвующих в разложении, осуществляется достаточно быстрая сходимость построенной аппроксимации.
Во второй главе построен новый алгоритм различения нормального и смеси нормальных распределений. Для статистических моделей финансовой математики, построенных на основе нормального распределения возможно подсчитать все необходимые числовые характеристики, однако перед тем как использовать результаты следует убедиться в верности предположения о нормальности модели.
В разделе 2.1 приведен обзор классических результатов по теме главы. Основной вклад в разработку данной области внесли в 60-ых годах Мандельб-рот Б., Ролл Р., Фама Е. Ф. [27].
В разделе 2.2 определяется асимптотическое поведение сопряженного смесителя для случая нормального распределения. Основываясь на предполо-
жениях первой главы, самостоятельно выведен асимптотический вид плотности распределения сопряженного смесителя.
В разделе 2.3 определяется коэффициент устойчивости по опубликованным экспериментальным данным. Для проверки предложенного метода автором был самостоятельно выбран пример.
В третьей главе исследуется случай а -1. С помощью метода, предложенного в первых двух главах не представляется возможным рассмотреть пограничный случай, когда коэффициент устойчивости а = 1 (что соответствует распределению Коши). Трудности возникают в связи с тем, что выбранная аппроксимация не работает при значениях а близких к единице. Для того, чтобы рассмотреть случай а = 1 используем тот факт, что случайная величина —, где X имеет гамма распределение с параметром формы 0,5, является смесителем для распределения Коши. То есть, что случайная
величина К = J— Z, где Z - стандартная нормально распределенная случайная величина, имеет распределение Коши (Королев В.Ю., Бенинг В.Е. 2002).
Исходя из вышесказанного, следует, что вместо того, чтобы проверять
гипотезу о принадлежности модифицированной выборки вида ЛГ; = / Zt
yjXj
совокупности Коши, можно проверять гипотезу о принадлежности выборки Xi,X2,...,Xn совокупности гамма с неизвестным параметром масштаба и параметром формы 0,5. Последний вариант предпочтительней, во-первых,
поскольку не надо имитировать нормально распределенные величины, которые вносят погрешность в окончательный результат; во-вторых, необходимый для достижения гарантированных мощностей объем выборки, оцененный с помощью идей Никитина при уровне значимости 8 = 0.01 получился в 2,5 раза меньше, нежели в первом варианте. Таким образом, для исследования случая а = 1 необходимо перейти к исследованию гамма совокупности.
Найдена НОРМД плотности двухпараметрического семейства гамма. Предложен новый алгоритм оценивания неизвестного параметра для математических моделей, основанных гамма распределении, стандартные статистические методы в данном случае неудобно использовать ввиду громоздкости вычислений.
В разделе 3.1 приведены известные результаты о гамма распределении, которые потребуются для отыскания оптимальной оценки.
В разделе 3.2 приведены приближенные решения задач нахождения плотности распределения достаточных статистик и построение НОРМД плотности распределения при больших объемах выборки.
Модели, основанные на гиперболических распределениях
Важно подчеркнуть, что использование описанных выше моделей должно быть основано на точном знании характера распределения вероятностей процесса S(t),t 0, определяемом распределением броуновского процесса.
Традиционно статистический анализ совместимости реальных данных с гипотезами о нормальности и независимости приращений (логарифмических P(t) приращений) основан на анализе величин y(t) = H(t) - H(t -1) = In— - или величин x{t) = 1, где (1), (2),...соответствуют ценам при закрытии торгов, соответственно H(t) = \nP(t) . Гипотеза о том, что P{t),t 0 подчиняется геометрическому броуновскому движению, приводит к тому, что последовательность, элементами которой являются у = y(t),t = 1,2,... окажется составленной из одинаково распределенных y(t) ос JV(//,cr) независимых случайных величин. В работе [49] отмечена независимость и однородность рассматриваемых величин.
В финансовой литературе, посвященной проверке этих свойств приращений цен, неоднократно указывалось, что распределения на интервалах времени сравнительно небольшой длины (до 2-3 недель) отличны от нормальных, причем отмеченный феномен оказался всеобщим: ненормальность распределений приращений проявляется на всех биржах независимо от объекта торговли. Первые работы, в которых отмечено это явление, появились еще в 1915 году [51], а первый достаточно полный статистический анализ был опубликован в 1953 году Кендаллом М. [1].
Отмеченная ненормальность распределений проявляется в том, что в действительности наблюдается заметно больше отклонений логарифмических приращений от моды больших по абсолютной величине и также больше значений приращений близких к моде распределения, чем их должно быть если бы наблюдалось нормальное распределение. Другими словами, наблюдаемые распределения приращений цен на интервалах времени умеренной длины являются более островершинными, нежели нормальные, имея заметно более тяжелые хвосты.
Поэтому винеровские процессы оказались отнюдь не безупречными моделями динамики биржевых цен ни в плане согласия с эмпирическими данными, ни по возможности прогнозирования, которую дает соответствующая модель. В окончании параграфа отметим три основные особенности логарифмических приращений, на которые обращали свое внимание многие авторы, посвятившие свои исследования изучению поведения финансовых рынков [1,4,51]. Во-первых, можно говорить о независимости логарифмических приращений y(t); во-вторых, отмечается однородность, приращений, построенных по наблюдаемым изменениям цен; в-третьих, замечено отсутствие нормальности распределения у исследуемых случайных величин. Таким образом, разные авторы предлагали использовать различные распределения (по форме схожие с нормальным распределением) для подгонки эмпирических данных. Проведем классификацию методов, согласно предлагаемым распределениям.
Многие исследователи обращали свое внимание на то, что реальная интенсивность биржевых торгов крайне изменчива и предпринимали попытки объяснить островершинность распределений приращений цен, основываясь на этой изменчивости.
Первым, кто систематически исследовал неоднородность операционного времени на биржах, был Кларк П. [1], который вместо обычных винеровских процессов предложил в качестве моделей динамики цен использовать подчиненные винеровские процессы со случайным временем вида W(X(t))t где W(t\ t О - винеровский процесс, a X(t) - процесс с неубывающими траекториями, начинающимися в нуле. Согласно теории, построенной Кларком П., при использовании ЦПТ в качестве базы для построения моделей для приращения цен из-за неоднородности времени нарушается не конечность дисперсий, а предположение о том, что число слагаемых в сумме неслучайно, приводит к безгранично-делимыми законам в качестве предельных моделей, к которым принадлежат смеси нормальных законов.
Рассмотрим поподробнее, в связи с чем возникает предположение об отсутствии моментов. Мы имеем дело с суммами случайных величин случайной длины (пока не будем останавливаться на характере распределения слагаемых и
КО верхнего предела суммы) Xk . Несмотря на то, что в большинстве случаев каждое слагаемое имеет конечные моменты, за счет того, что My(t) не существует, сама сумма может не иметь даже конечного математического ожидания, в противном случае можно использовать стандартную формулу для подсчета математического ожидания суммы как произведения первого момента слагаемых на математическое ожидание предела суммирования Mv(t)-MXk. Как было указано выше, использование классической ЦПТ не представляется возможным в основном из-за того, что непонятно какие нормирующие коэффициенты следует выбирать. Способ, позволяющий обойти указанные сложности был предложен Королевым В.Ю. [4] Для наглядности изложения способа приведем обоснование идеи на самом простом случае. Предложенный метод заключается в следующем. Допустим, что мы имеем дело уже с нормированными слагаемыми, в данном случае возникает проблема выбора масштабного параметра. Приведем стандартную нормировку для сумм неслучайной длины: как известно, данным образом нормированная случайная величина, сходится по распределению к стандартной нормальной величине при определенных условиях. В выбранном нами случае вычитаемое, стоящее в числителе, отсутствует ввиду равенства нулю математических ожиданий. Для того, чтобы перейти к сумме случайного числа слагаемых, сделаем замену верхнего предела и умножим выражение на единицу, представленную дробью следующим образом:
Асимптотическое поведение сопряженного смесителя
Все результаты приведенные ниже были получены благодаря идее, которая заключается в следующем [18]: мы имеем дело с наблюдаемой случайной величиной, которая есть произведение стандартной нормальной величины и корня из строго устойчивой величины. Для того, чтобы выделить устойчивую величину, переходим к новой выборке, которую строим согласно обратному преобразованию, таким образом она составлена из квадратов произведения наших наблюдений и сымитированных стандартных величин. Это новый подход, во-первых, потому, что новая выборка строится как комбинация имитируемых и наблюдаемых величин, во-вторых, потому, что переход не совсем строгий, поскольку нарушены соотношения независимости.
Будем аппроксимировать нормированные обобщенные процессы Кокса (0 с помощью смеси стандартного нормального распределения вида G(x) = МФ( /-\/ ), как предложено в [17]. В случае, когда величина V- строго устойчива с параметрами (а/2,1) при записи характеристической функции в форме "С", закон распределения смеси является строго устойчивым с параметрами (or,0). Рассмотрим задачу проверки гипотезы На о том, что распределение (b4t) g(t) можно считать строго устойчивым с функцией распределения Ga(x) по наблюдениям Х„ = (Xl,X2,...,Xn), Хк = g(kt)-g((k -1)/), к = 1,2,..,п;
При ограничениях [17] вид предельного распределения полностью определяется асимптотическим поведением усредненного по времени управляющего процесса Кокса.
Приведем вспомогательный результат, которым является следующая Теорема: Пусть ХХ,Х2 - независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением строго устойчивого типа с характеристическим показателем а \, параметром 0 = 1 и неизвестным параметром масштаба. Тогда это распределение восстанавливается единственным образом с точностью до выбора масштабного параметра по распределению инвариан-maU = Xl/(Xl+X2).
Доказательство этого факта основывается на следующих рассуждениях. Вместо рассмотрения инварианта, о котором идет речь в теореме можно рассматривать инвариант вида: Из полученного выражения видно, что инвариант U является функцией от отношения —-, которое, в свою очередь, есть безгранично делимая величині на, то есть имеет ненулевую характеристическую функцию. Тогда, из результата Коваленко И.Н. [22] о том, что распределение разности (логарифмической разности) однозначно характеризует, с точностью до параметра масштаба, распределение исходной случайной величины, в том случае, когда характеристическая функция отлична от нуля, вытекает утверждение теоремы.
Для того, чтобы избавиться от мешающего параметра масштаба Ъ осуществим переход от исходной выборки к выборке U„ ={JJbU2l...,Un) инвариантов относительно этого параметра по следующим формулам Uk = Xlkl{X2k-\ + Хцс\ к = l 2,...,[w/2]. Построенные инварианты для управляющего процесса имеют плотность ha(u), таким образом, поставленная задача сводится к проверке простой гипотезы о принадлежности выборки инвариантов совокупности с указанной плотностью [23].
К сожалению, как сама плотность строго устойчивого распределения, так и плотность распределения инварианта, как было указано выше, выражаются через элементарные функции лишь для отдельных частных случаев. Но здесь нельзя использовать и асимптотическое представление для плотностей, поскольку всплывает еще один неприятный момент: в приложениях часто случайная величина V ненаблюдаема, и в связи с этим извлечь ее значения из наблюдений величины X = Z4V невозможно.
В работе [18] предложена новая идея, позволяющая разрешить возникшие затруднения. Определяем новую случайную переменную V =(X/Z) как функцию независимых величин X и Z с функцией распределения G (v) = 2j[2Ga(jtVv)-lji I (;c), 1 a 2. Хотя формально этот переход кажется о возможным, на самом деле величины Vn V суть разные значения, поскольку в первом случае Z и V независимы, а во втором независимыми являются X и Z, то есть V ФУ . То есть, мы осуществили переход X -» V - V , который, несмотря на указанные замечания, оказался возможным и взаимно-однозначным, доказательство этого факта приведено в работе руководителя диссертационной работы Сапожникова П. Н. [24], который предложил ввести новое определение величины V - "сопряженный смеситель".
При сделанных ограничениях мы можем сформировать выборку случайной величины V по полученной формуле, то есть составить по наблюдениям за динамикой курса ценной бумаги логарифмические приращения Хк и с помощью пакета сымитировать необходимое количество стандартных нормальных величин Zk.
Определение асимптотического поведения сопряженного смесителя для случая нормального распределения
Последний график первой главы показывает, что используемое разложение для приближения плотности распределения сопряженного смесителя не работает для случая а = 2.0. Так как полученная таким методом функция распределения достигает значений больших единицы. Отклонения от нормальности, в моделях, к описанию которых мы обращались в начале первой главы, отмечалось еще в 60-ых годах Мандельбротом Б. и Фамой Е. Ф. [27], что привело их к идее использования для описания возможного распределения величин устойчивых распределении, называемых в финансовой литературе также распределениями Парето, Парето-Леви или Леви.
Одна из основных идей в их рассуждениях может быть кратко изложена так: отклонение распределения приращений от нормального означает, что классическая предельная теорема здесь не применима, так как нарушаются ее условия. Если не выходить за рамки общей структурной модели, согласно которой итоговое приращение процесса P(t)J 0 на каждом интервале является суммой независимых приращений этого же процесса на подынтервалах одинаковой длины, и предполагать, что приращения имеют одинаковые распределения, то единственным условием, которое должно нарушаться, является требование конечности дисперсий.
Поэтому Мандельброт Б. и Фама Е. Ф. предложили вместо классической центральной предельной теоремы использовать предельные теоремы о сходимости независимых слагаемых с бесконечной дисперсией в качестве основы для построения моделей для распределения приращений. Как известно, в таких теоремах в качестве предельных распределений выступают устойчивые законы.
Эти исследования вызвали взрыв интереса к аналитическим свойствам устойчивых законов. В то время надежды на эти законы связывались с тем, что их распределение, так же как и эмпирические данные, имеет, с одной стороны, пикообразные вершины, а с другой - "тяжелые" хвосты, это должно было бы позволить отразить чередование на рынке периодов резких изменений и периодов затишья. Однако, по прошествии тридцати лет оказалось, что модели, использующие устойчивые законы, построены были только в частных случаях и не обладают строгостью гауссовских моделей. Ввиду всего вышеизложенного различение нормального и почти нормального случая (альтернативой выбирается случай а 2) всегда оставалось интересной и сложной задачей.
Классической работой по этой теме является исследование, проведенное Фамой Е. Ф. и Роллом Р. [27]. Эта статья, написанная в 1971 году, посвящена оцениванию неизвестных параметров распределений с симметричной плотностью и построению критерия согласия для проведения процедуры проверки на принадлежность нормальному против смеси нормальных распределений. Не будем цитировать часть об оценивании, сразу перейдем к тесту на принадлежность нормальному распределению, против не нормальных альтернатив. Поскольку одним из важнейших результатов теории вероятностей является центральная предельная теорема, часто возникает вопрос о нормальности сумм случайных величин. Но распределение Гаусса - всего лишь один из возможных вариантов предельного распределения сумм случайных величин. Здесь и возникает задача о разделении нормального случая (в нашем случае, это будет нулевая гипотеза Я0) и любого другого распределения. Авторы реферируемой работы для решения поставленной проблемы предлагают использовать статистику Шапиро-Уилка [28], определенную как где обозначение Xj определяет j - ую порядковую статистику, Jc - выборочное среднее, I(N12) есть целая часть числа N/2, а веса aN_J+l подобраны Шапиро С. С, Уилком М. Б. и Ченом X. Д., как подходящие аппроксимирующие коэффициенты, в работе [28]. В статье приведены различные значения введенных статистик при различных объемах исходной выборки А/" и значении d096, где есть оценка, полученная методом Монте-Карло для неизвестного параметра а распределений, обладающих симметричной плотностью. По полученным выборкам восстанавливаются распределения методом Монте-Карло, однако для случая a = 2 получен неудовлетворительный результат, и по графикам, приведенным в статье, видно, что различить случаи a = 1.9 и a = 2 предложенным методом не представляется возможным. Отметим еще один минус предложенной процедуры — все оценки строились на основе выборки объема .7/ = 599 и N = 999, это требует слишком длинного периода наблюдений, что, подчас, затруднительно в финансовой инженерии. Как отмечено авторами, качество результата в случае ненормального распределения ухудшается с уменьшением объема выборки. С другой стороны, при увеличении числа слагаемых растет значении оценки & для случая смеси нормальных распределений. Безусловно, во многих задачах, встречающихся в приложениях, описанный метод приводит к весьма неплохим результатам, кроме этого, он не требует громоздких вычислений. Однако указанные выше минусы не позволяют использовать эту процедуру во многих приложениях финансовой математики.
Мы будем различать нормальный случай против смеси нормальных, которые, как указано в параграфе 1.6, принадлежат классу устойчивых распределений. Приведем условия сходимости распределений нормированных сумм случайных величин к устойчивым распределениям, отличным от нормального (т.е. к распределениям у которых коэффициент колеблется в пределах , которые даются следующей теоремой [14]:
Сопоставление эффективности статистических выводов на основе указанных инвариантов с выводами, базирующимися только на выборочных данных на примере распределения Коши
Гамма распределение принадлежит классу безгранично делимых распределений, что непосредственно следует из представления характеристической функции. С гамма распределением связаны многие важные распределения в задачах математической статистики, где рассматриваются квадратичные формы от нормально распределенных случайных величин, так как сумма квадратов нормально распределенных с параметрами (0,1) взаимно независимых случайных величин есть распределение, плотность которого в наших обозначениях равна 0.5/( ;w/2,l) и обозначается, как х\ В частном случае, при а = 1, Ъ -1 мы имеем дело с показательным распределением. В теории массового обслуживания часто возникает распределение Эрланга [46], которое также является гамма распределением в случае, когда а принимает целочисленные значения. Это распределение описывает распределение времени обслуживания или распределение промежутков времени между поступлениями заявок в системах массового обслуживания (СМО).
Получение оценок функций от параметров этого распределения на основе повторной выборки рассматривалось во многих работах, в частности в [47]. В этом исследовании по выборке ХъХ2,...,Хп, которая воспринимается как наборы реализаций п независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью f(x;a,b) (по мере Лебега на прямой). В реферируемой работе исследуется следующая модель: наблюдаются величины где X; - "истинные" значения, a zt - погрешности наблюдений (включая погрешности дискретизации), которые предполагаются одинаково распределенными случайными величинами. В вероятностной модели принимается, что (JC1,Z1),...,(X„,Z„)- случайная выборка из некоторого двумерного распределения, причем хьх2,...,хп - выборка из совокупности с плотностью f(x;a,b). Отмечается, что (x,,z,)- реализации зависимых случайных величин. Нет оснований априори принимать нормальность распределения погрешностей (согласно сводке [30] экспериментальных данных о разнообразии форм распределения погрешностей измерений, более чем в 50% случаев гипотеза о нормальности оказалась неприемлемой для средств измерений различных типов). Далее в работе строятся стандартные оценки параметра а методом моментов и методом максимального правдоподобия, исследуется их асимптотическое поведение и показана несостоятельность полученных оценок. Затем проводится сравнение двух предложенных стандартных методов оценивания и делаются следующие выводы: A) не существует состоятельных оценок для любой оценки ап параметра а; B) не имеет смысла рассматривать объемы выборок, большие "рационального объема выборки" п; C) оценки метода моментов в обширной области параметров лучше оценок максимального правдоподобия. Несмотря на серьезный подход к проблеме оценивания параметров, задачи нахождения плотности распределения достаточных статистик и тем более построения НОРМД плотности распределения до сих пор не решены. Например, в работе [52], в которой вычисление достаточно сложных оценок сводится к решению инверсной задачи Коши для уравнения теплопроводности, эти задачи также остались в стороне. Еще одно исследование, посвященное различению распределений, относящихся к классу обобщенных гамма распределений принадлежит Володину И. Н. [32]. Стеси была введена плотность обобщенного гамма распределения: В настоящей главе будут приведены приближенные решения задач нахождения плотности распределения достаточных статистик и построения НОРМД плотности распределения при больших объемах выборки. Идеи предложенного здесь подхода указаны в монографии [33], тезисах [34,41], статье [35]. вывод которой осуществляется методом функциональных уравнений [36]. Подставив сюда явный вид qn и выполнив возможные сокращения, получим: Таким образом, статистика Wn имеет гамма распределение с параметрами (na,b), а плотность распределения Нп(и,а) статистики Un пока не определена. Если для нахождения ее воспользоваться тем, что эта статистика инвариантна, и, следовательно, является функцией максимального инварианта , который, как известно [33], имеет распределение Дирихле с пара W " W метрами {а,а,...,а), то нахождение функции распределения статистики U„ сведется к вычислению (п -1) — кратного интеграла Таким образом, реализация принципиально простой вероятностной задачи упирается в трудности чисто технического характера. Один из результатов цитируемой работы [35] состоит в построении приближений для плотности распределения Hn(v,a) величины Vn = knU ", основанных на асимптотическом разложении ее характеристической функции при подходящем выборе нормирующих последовательностей кп,гп.
