Проверка гипотез о дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского процесса Токарева Елена Геннадьевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Проверка гипотез о дисперсии нестационарного некоррелированного шума 21

1.1 Постановка задачи 21

1.2 Тест, основанный на обобщенном отношении правдоподобия 22

1.3 Оптимальная статистика для проверки гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции 28

1.4 Оптимальный вид функции 32

1.5 Проверка гипотезы о равенстве масштабного множителя заданной функции в выборке из независимых случайных величин . 36

1.5.1 Постановка проблемы 36

1.5.2 Построение статистик 37

1.5.3 Частный случай 40

1.6 Проверка гипотезы о пропорциональности дисперсии нормального гауссовского шума заданной функции 41

1.6.1 Формулировка задачи 41

1.6.2 Проверка наличия локального экстремума 44

1.6.3 Доказательство локального минимума 48

1.6.4 Окончательный вид статистики 51

1.6.5 Определение оптимального значения. 54

Резюме 60

Глава 2. Проверка гипотез о соотношениях дисперсий в двух выборках нестационарного некоррелированного гауссовского шума 64

2.1 Постановка задачи 64

2.2 Статистика, основанная на обобщенном отношении правдоподобия 65

2.3 Построение локально оптимального критерия для проверки гипотезы о равенстве дисперсий 69

2.3.1 Построение статистики 69

2.3.2 Нахождение функции ф(м) 71

2.3.3 Свойства функции F{K) 75

2.3.4 Вид критерия 76

2.4 Проверка гипотезы о равенстве масштабных множителей в двух независимых выборках 78

2.5 Оценка коэффициента пропорциональности в отношении дисперсий 80

Резюме 84

Глава 3. Исследование свойств статистик для проверки гипотез о дисперсиях в случае коррелированных гауссовских процессов 88

3.1 Модели процесса 88

3.2 Исследование квадратичного критерия 89

3.3 Исследование статистики, основанной на обобщенном отношении правдоподобия 93

3.4 Критерий пропорциональности дисперсии заданной функции 99

3.5 Свойства статистики, используемой для проверки гипотезы о равенстве дисперсий 105

3.5.1 Двумерное распределение Коши 105

3.5.2 Асимптотические свойства статистики при верности гипотезы Н0 109

3.5.3 Асимптотические свойства статистики при альтернативе Нх 112

Глава 4. Имитационное моделирование предложенных статистик 118

4.1 Цели моделирования 118

4.2 Датчики случайных чисел 118

4.4 Результаты моделирования 120

Резюме 134

Заключение 135

Литература 137

• Оптимальная статистика для проверки гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции
• Статистика, основанная на обобщенном отношении правдоподобия
• Исследование статистики, основанной на обобщенном отношении правдоподобия
• Асимптотические свойства статистики при верности гипотезы Н0

Введение к работе

Актуальность работы. Несмотря на обилие экспериментальных работ, посвященных изучению помех, действующих в каналах радиосвязи и радиолокации, [2, 3, 8, 19, 33, 35, 36, 57], в настоящее время нет общепринятой модели таких помех. Ее создание существенно осложняет то обстоятельство, что мощность реальных помех, действующих в каналах радиосвязи и радиолокации, изменяется со временем случайным образом, то есть реальные помехи относятся к классу так называемых дважды стохастических процессов, еще очень слабо изученному.

При экспериментальном исследовании таких помех возникает очень много вопросов. В частности, к таким вопросам относятся следующие: является ли наблюдаемый шум стационарным, или его мощность изменяется со временем; если шум нестационарен, то по какому закону меняется его мощность; если имеются две выборки шума, сделанные в разных местах или в разное время, то можно ли сказать, что мощность шума в этих выборках изменяется по одному и тому же закону.

Данная диссертационная работа посвящена тому, чтобы в результате статистической обработки данных ответить на эти вопросы и тем самым дать экспериментаторам статистические критерии для обработки их экспериментальных данных.

Состояние проблемы. По-видимому, наиболее адекватной реальности моделью помех в каналах радиосвязи и радиолокации была бы модель широкополосного шума, мощность которого меняется со временем случайным образом, то есть модель в виде так называемого дважды стохастического процесса. Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: рассматривается какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, и эти характеристики берутся зависимыми от другого случайного процесса, который обычно называют управляющим случай- ным процессом. Получающийся процесс и называется дважды стохастическим случайным процессом [41].

В настоящее время изучены лишь некоторые типы таких процессов. Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастические пуассоновские потоки событий [11-17, 29, 37, 38, 43, 47, 48, 53, 54, 56]. В работах Л. Гела [46], М. Нойтса [50, 51], Л. Зеелена [49] выполнен анализ систем массового обслуживания при поступлении потока требований, интенсивность которого изменяется в случайные моменты времени (дважды стохастический пуассоновский процесс поступления требований - справочник [30], Дж. Грэндел [47] ). Эти потоки имеют следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий, интенсивность которого зависит от управляющего процесса. Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем, диффузионный марковский процесс, чисто разрывный марковский процесс. Эти дважды стохастические потоки достаточно хорошо описывают сигналы, получающиеся при лазерном зондировании атмосферы, прохождения излучения через вещество и тому подобное. В работах по этим потокам рассматривается широкий круг вопросов - изучение характеристик этих потоков [41, 47, 54], фильтрация [37, 38], оценка характеристик управляющего процесса [11-17] и так далее.

Вторым классом дважды стохастических потоков, которые также нашли достаточно большое отражение в литературе, являются дважды стохастические авторегрессионные модели. В них рассматривается процесс авторегрессии какого-то порядка, и коэффициенты этого процесса берутся независимыми от другого случайного процесса. Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом [53]. В литературе также ис- следованы характеристики таких процессов [52], оценки параметров управляющего процесса [20,27, 55] и так далее.

В настоящей работе делается попытка изучить дважды стохастический гауссовский процесс. Автору не удалось найти работы, посвященные исследованию таких процессов. В общем случае следовало бы взять гауссовский случайный процесс и сделать его математическое ожидание и дисперсию зависящими от какого-то управляющего процесса. Однако, такая модель очень сложна для исследования и может быть предметом дальнейшей работы. Поэтому, в данной диссертации рассмотрена более простая модель, а именно: берется гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией и независимыми значениями. Значения этого процесса умножаются на некоторый другой процесс, который считается детерминированным. Это приводит к тому, что измеренные значения результирующего процесса имеют различную дисперсию. В работе и рассматриваются некоторые вопросы, касающиеся проверке гипотез о дисперсии такого процесса, который условно назван нестационарным белым гауссовским шумом.

По своей тематике работа относится к разделу математической стати стики, известному как анализ временных рядов.[1,4, 5]. _v

Цель работы. В работе ставилась задача разработать алгоритмы для проверки следующих статистических гипотез.

1. Гипотеза о равенстве дисперсии заданной функции.

Пусть имеется выборка {х₁,х₂,...,х_п} объема п. Считается, что x_t — независимые нормальные случайные величины с M{x_t} = 0. Проверяемая гипотеза имеет вид: tf₀:V/ = M D{_Xi} = f(i), Я,: Зіє\,п D{_Xl}*f(i), где /(/) - заданная функция.

2. Гипотеза о пропорциональности дисперсии заданной функции.

При тех же предположениях, что и выше, проверяется гипотеза

Я₀:У/ = й D{x_t} = C-№, Н_х: Зі є l,/i >{х,}* С /(/), где С - некоторый неизвестный сомножитель, не зависящий от /.

3. Гипотеза о равенстве дисперсий в двух выборках.

Пусть имеются две выборки {х_х,х₂,...,х_п) и (уі,у₂,---,Уп) ^из Двух независимых некоррелированных гауссовских процессов одного и того же объема. Считается, что математические ожидания x_t и y_t равны нулю, а дисперсии равны D_x(i) и D (і). Таким образом, дисперсии выборочных значений лг,- и y_t — D_x(i) и D Лі) - меняются от измерения к измерению и вид этой зависимости неизвестен.

Проверяемая гипотеза имеет вид H₀:Vi = u D_x(i) = D_y(i\ Я,: 3/єГй D_x(i)*D_y(i).

4. Гипотеза о пропорциональности дисперсий. Проверяемая гипотеза имеет вид tf₀:Vi = U D_x(i)=C-D_y(i\ Я,: Зіє\,п D_x{i)*C-D_y{i\ где С - некоторая неизвестная константа.

В работе строятся тесты для проверки сложных стохастических гипотез, основанные на идее, высказанной впервые, по-видимому, в диссертационной работе Василевской Т.П. [7] и в дальнейшем подробно развитой в работах Е.Е Змевой [21-26]. Эта идея выглядит следующим образом.

Пусть имеется сложная гипотеза Я₀ против сложной альтернативы Я,. Для ее построения надо построить статистику S, обладающую следующими свойствами.

1.М$Я₀}=0; 2. M[S|^}>0;

3.d{s\h₀)=i

4. Желательно, чтобы статистика S при гипотезе Н₀ была бы асимптотически нормальной.

Тогда процедура вынесения решения имеет вполне естественный вид: если окажется, что S0, а если S>C - отвергнуть ее.

Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Проверка выводов об асимптотической нормальности статистик проводилась методом имитационного моделирования на ЭВМ.

Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты.

Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса.

Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве масштабного множителя заданной функции для случая произвольного процесса.

Вид статистики (в классе степенных функций), обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса.

Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов.

Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов.

6. Асимптотические свойства всех рассмотренных статистик (сходимость почти наверное и в средне-квадратичном, асимптотическая нормальность) в случае коррелированных гауссовских случайных процессов.

Теоретическое значение работы, по мнению автора, заключается в методике построения статистик для проверки статистических гипотез, обеспечивающих максимизацию отношения сигнала к шуму. Автору представляется, что эта методика может быть распространена и на другие задачи.

Практическое значение работы, по мнению автора, заключается в том, что предложенные тесты могут быть полезны при обработке экспериментальных данных, касающихся изучения шумов в различных радиодиапазонах.

Краткое изложение содержания работы.

В первой главе была рассмотрена следующая ситуация: имеется выборка {jc,,x₂, ,*«} объема п. Считается, что x_t —независимые нормальные случайные величины с M{x_t} = О. Рассматривается проверка двух следующих * гипотез.

1. Гипотеза 1.

Н₀:Уі = ї^ D[_Xi} = f(i), Н_х: Зіє1,л >{*,}* Ді), где /(/) — заданная функция.

2. Гипотеза 2. H₀:\/i = U >{*,} = С-ДО, « #,: ЗіеТ^п D{_Xi}*C-f(i). где С - некоторый неизвестный сомножитель, не зависящий от /.

Основная идея заключается в нахождении статистик S, обладающих следующими свойствами:

1. лф|#₀} = о

2. М(5|Я₁}> 0;Mls1#}= 0 тогда и только тогда, когда верна гипотеза

3.D{S\H₀} = 1.

4.Статистика S асимптотически нормальна при п -> оо. Приведем результаты. Гипотеза 1.

1. С использованием метода обобщенного отношения правдоподобия получена статистика

4т-1п _{АО 1/(0} где ^[с[ = 1.46103093..., а С = 1 + у + 1п2, у -постоянная Эйлера. Показано, что M{S} = -_Ji=^yZ(K_i-\nK_i-l), где К_t = >{*,}//(/). Она обладает всеми требуемыми свойствами.

В качестве величины, характеризующей мощность статистики, как и в работах Е.Е. Змеевой [21-26], была выбрана величина _Ozzm{s\h₁}-m{s\h₀} которая условно была названа отношением сигнала к шуму. Для приведенной выше статистики получено, что

Ф = Фо'-ИК-1)², -V п ,=1 где Ф₀ =1/2^ = 0.432241... .

2. Поставлена и решена задача о нахождении функции ф(-) для которой статистика вида *=-гф _{J*i=i 1/(0 J} обладает всеми требуемыми свойствами и максимизирует величину Ф. Показано, что эта статистика имеет вид ( х^ х² Л ^{^м1/2(0 /(о J}

Она имеет все требуемые свойства; в частности, для нее M{S\H_l} = Jf(K_i-l)², V 8л _/=1 и Ф₀ = ^/3/8 = 0.6123724..., что больше, чем у предыдущей статистики.

3. Рассмотрена более общая проблема, когда величины x_t — независимые случайные величины с плотностями вероятностей ^ґ х, ^

Рі(^хі) = -^7лР /(04/(0, где функция р(х) обладает следующими свойствами р(х)>0, \p(x)dx = \, -oo

Рассматривается проверка статистической гипотезы вида

Я₀: V/=U /(0 =/о ОХ Я,: 3*є1,и /0>/о(0> где /₀ (і) - заданная функция от /.

Для проверки этой гипотезы предлагается использовать статистики вида

1 " ( г V«_/=i Uo(0. обладающую указанными выше свойствами и максимизирующую величину Ф. Показано, что оптимальный вид функции ф(г) следующий ф(^г) = - _{2гМ+Х2М+^2} p{z) p(z)

00 , ,, чч2 ^ _x= ( 00 ІГґ \ >/ \ \ /ґ ^{2+ рР(»)Р(')ф} \ —00 p(z) p(z)

Гипотеза 2.

Для проверки этой гипотезы рассматриваются статистики вида -?1=Ёф _2>,²_//0") где (p(w) = ^ и ц > 1 - некоторая константа.

Показано, что, после соответствующей коррекции, эти статистики обладают указанными выше свойствами. При объеме выборки п —> оо максимальное значение Ф получается при \х - 2 и статистика для проверки гипотезы 2 имеет вид

S = _2>? L 41=1 / где z_t = r-^rt или zf = —тл. Для нее при п -> оо Ф₀ -> -т= = 0.61237244..

Во второй главе была рассмотрена следующая ситуация. Пусть имеются две выборки (x_l5Xj,...,^,,) и {у\,У₂>--->Уп) ^из Двух независимых некоррелированных гауссовских процессов одного и того же объема. Считается, что математические ожидания х_{ и y_t равны нулю, а дисперсии равны D_x{i) и D (Ї). Таким образом, дисперсии выборочных значений x_t и у_{ — D_x(i) и DM) — меняются от измерения к измерению и вид этой зависимости неизвестен.

В данной главе рассматривается проверка двух статистических гипотез.

Гипотеза 3. Гипотеза о равенстве дисперсий. Она имеет вид tf₀:V* = M D_x(i) = D_y(i),

Я,: З/єй D_x{i)*D_y(i).

Гипотеза 4. Гипотеза о пропорциональности дисперсий. Она имеет вид H₀:Vi = Un D_x(i) = C-D_y(i), Н_х: 3iel,n D_x(i)*C-D_y(i), где С - некоторая неизвестная константа.

Для построения статистик для проверки этих гипотез использовалась та же идея, что и в предыдущей главе.

Гипотеза 3.

1. Используя критерий обобщенного отношения правдоподобия, получена статистика \^Ui\J -21n2 где и_{=х_{/у₍. Показано, что эта статистика обладает всеми требуемыми свойствами. Для нее M{S\H_l} = -_lL=Y_d(2ln(l + K_i)-lnK_i-2ln2), где K_t=jD_x{i)/D_y и _{ф =} М{5|Я₁}-М{5|Я₀}_ 1 1 f 0} так что для данного критерия

Ф₀ = = 0.27557.

2. Рассмотрены статистики вида

1 ⁿ

4nP^_x ( (~\ Ф где P nQ- некоторые константы, подбираемые из условий M{S | Н₀} = 0 и D{S | Hq) = 1. Функция ф(и) выбирается из условия Ф => max.

Показано, что функция ф(и), обладающая этим свойством, имеет вид ф(«) = (1 + ,²)² а сама статистика для проверки гипотезы 3 — вид V П ₁₌₁

5 \Уі) ^ . Л -Л ^Г*Л_ *l±Zl _{UJ (^ + ^}²_Г

Для этой статистики =i\^Ki ^{+ l}; M{S\H₀} = / > ^п i=\ m{s\h, }- m{s\h_q\ ₌ V32 j_ ₍^ _ _{1)2 л№^Л}

16 Лм так что в этом случае

Ф₀ = л/32 л/2 = 0.35355... .

Гипотеза 4.

Для проверки этой гипотезы предложена статистика _-т

КУі J где С - оценка параметра С, полученная по методу максимального правдоподобия. Она находится из уравнения

1Л Си} ₌1 п^\ + Си?~2' где, как и выше, щ = x_ily_i. Показано, что это уравнение имеет единственный корень и, если верна гипотеза Н₀, то С—?^-*С при п —> оо.

В третьей главе исследованы асимптотические свойства статистик, полученных в главах 1-2, для случая коррелированных случайных процессов.

Для случая гипотез, рассмотренных в главе 1, принимается следующая модель: процесс л;, является гауссовским случайным процессом с

М{х;}=0 V/. Дисперсии этих величин D{x_i} = f(i), то есть они зависят от номера /. При гипотезе Н₀ считается, что >{*,} = /(/), при альтернативе Н_х - что D{x_i) = f_x{i). Отношение f\(i)/f(j) в дальнейшем всюду будем обозначать как K_t.

Считается, что величины х, коррелированны и их коэффициент корреляции согг(х_;,л:-)=^,. Ниже будет изучаться лишь случай, когда r_tj зависят лишь от разности i- j, то есть r_tj =r{i-j) и r(-s) = r(s). Это соответствует тому, что процесс *//V/(0> і = 1,2,3,... является стационарным случайным процессом.

Рассмотрим проверку статистической гипотезы вида

Я₀: Vi = M D{_Xi} = f(i), Я,: З/єй D{*,b/,(0*/('"> Основные полученные результаты представляют собой следующие доказанные теоремы.

Теорема 3.2.1. Пусть верна гипотеза Н₀ и ^V⁴(.s) <+оо. Тогда при п—>со статистика б4т+з и I ~4 _*ґІ/²_{(0 Л0} сходится к нулю в средне-квадратичном и почти наверное.

Теорема 3.2.2. Пусть верна гипотеза Н₀ и ^r⁴(s)<+oo. Тогда при п —> оо статистика

6^Т + 3

1 А х, *^{2 =} V^/²(0 V(0 является асимптотически нормальной с M{S₂}= 0 и )(^) = 24 l + 2]Tr⁴(.s) L 5=1

Теорема 3.2.3 Пусть все -К/=/i (0//(0 равномерно ограничены, то есть

ЗК < +оо такое, что V/ K_tV²(,s) < +<». Тогда при п -»оо статистика

5 = 1 *tfl/²(0 /(0 ^v ' ' J при и -> оо сходится к нулю в среднеквадратичном и почти наверное.

Теорема 3.3.1 Пусть величины К_{ равномерно ограничены, то есть

ЗК < +оо такое, что V/ K_t2(s) сходится. Тогда

5 = 1 ( г \ ¹ х7 ( ..2 _{"/=il/(0 1/(0} -C-fo-lnK,-!) при и -> оо сходится к нулю в среднеквадратичном и почти наверное.

Для случая проверки гипотезы о пропорциональности дисперсий доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.4.1 Пусть 3 К такое, что V / К_{ < К; 3 а > 0 такое, что V п —^Jt-i ^ > S^r2(⁵)^{< +0}- Тогда при п -> оо nhf²{i) ¹ у ^xi

1 ⁿ "«-=1 \² (3.38) ⁿi=\ J почти наверное.

Теорема 3.4.2 Пусть верна гипотеза #₀, то есть V/ ряд ^ r²(s) < +⁰⁰ Тогда при п —> оо статистика >{*,} = С-/(/) и _*tr/²₍₀ 'і » х² ^ _A^{«w /О'Х} является асимптотически нормальной с нулевым математическим ожиданием и дисперсией D = 24

1+25XW

Когда речь пойдет о проверке гипотез о равенстве или пропорциональности дисперсий, то надо будет рассматривать два процесса - х_1гх₂,х₃,... и у₁,у₂,у₃,....В работе исследована следующая модель:

Процессы {*,.} и {у;} независимы.

И процесс {*,}, и процесс {>>,} обладают теми же свойствами, что и указанные выше, причем коэффициенты корреляции r_tJ для обоих процессов одинаковы.

Основные результаты следующие.

Теорема 3.5.1. Пусть верна гипотеза Н₀ : V/ = l,oo D{x_i\ = D{y_i\ Если ряд ]Г r⁴(s) сходится, то при п —> оо статистика і ^п UJ ⁴) (3.70)

I <*. в среднеквадратичном и почти наверное.

Здесь, как и в главе 2, фО) = (1 + м⁴)/(1 + и²)² . Кроме того, показано, что при л—»оо статистика

1 п ( ( „\ является асимптотически нормальной с M{s} = О и дисперсией ⁵¹ S=l

Теорема 3.5.2. Если ряд ^ r²{s) < +⁰⁰ > то при я -» оо статистика

1 ^п (3.81) (хА к²+к, + \ .Уі) (к, + і? ) в среднеквадратичном и почти наверное.

В четвертой главе, ввиду сложности теоретического исследования, был выбран путь имитационного моделирования для выяснения того, при каких объёмах выборки можно считать, что, при верности нулевой гипотезы, распределение статистики нормальное, и использовать в качестве порогового значения то значение С_а, которое было найдено в тексте глав 1-2.

Подводя итоги результатам имитационного моделирования предложенных в работе статистик можно сказать, что гипотеза об их асимптотической нормальности, при верности нулевой гипотезы, проходит по уровню значимости 5% при объёмах выборки более 300.

Однако этот вывод верен лишь для случая некоррелированного процесса. Для случая коррелированного процесса требуется дополнительное исследование с гораздо большим объёмом имитационного моделирования.

Публикации по работе.

Результаты работы опубликованы в следующих статья и материалах научных конференций:

Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского шума. //Математическое моделирование. Кибернетика, Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 73— 80.

Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий в двух выборках нестационарного некоррелированного гауссовского шума. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 75-84.

Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о пропорциональности дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского шума заданной функции. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 1. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 85-98.

Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотезы о масштабном множителе в выборке из независимых случайных величин. //Статистическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 2. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2000. С. 79-85.

5. Змеева Е.Е., Токарева Е.Г. Проверка гипотез о равенстве масштаб ных множителей в двух независимых выборках //Методы и алгоритмы при кладной математики в технике, медицине и экономике. Материалы междуна родной научно-практической конференции. Новочеркасск: Учебно-производ ственный центр «Набла» Южно-российского государственного технического университета (НПИ), 2001. С.24-25.

Токарева Е.Г. Асимптотические свойства статистик для проверки гипотез о дисперсии гауссовского процесса. //Известия вузов. Физика. 2003. №3. С. 55-61.

Токарева Е.Г. Двумерное распределение Коши. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 191-194.

8. Токарева Е.Г. Асимптотические свойства статистик для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух гауссовских процессов. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 195-201.

Апробация работы.

Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:

Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса». Анжеро-Судженск 2000.

Межрегиональной научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Анжеро-Судженск, 2001 г.

Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Новочеркасск, 2001.

Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2002.

Оптимальная статистика для проверки гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции

В процессе исследований были установлены некоторые асимптотические свойства этих статистик, такие как сходимость в средне-квадратичном, сходи мость почти наверное, а также их асимптотическая нормальность. Последнее свойство играет особую роль, так как именно оно позволяет определить то критическое значение, превышение которого приводит к отвержению гипотезы и принятию решения в пользу альтернативы. Однако при этом неизбежно возникает вопрос о том, при каких объёмах выборки распределение стати стики при верности нулевой гипотезы можно считать оправданным.

Теоретическое исследование этого вопроса чрезвычайно сложно. Поэтому был выбран путь имитационного моделирования, чтобы выяснить, при каких объёмах выборки можно считать, что при верности нулевой гипотезы можно считать, что распределение статистики нормальное, и использовать в качестве порогового значения то значение Са, которое было найдено в тексте глав 1-2.

Для выполнения имитационного моделирования необходимо иметь дат чики случайных чисел. В качестве базового датчика использовался датчик равномерно распределённых в интервале [0, 1] случайных чисел, предложен ный и описанный в [44]. В нём были только произведены некоторые измене ! ния, направленные на то, чтобы избавится от его универсальности и ориен ! тировать на параметры персональных компьютеров, имеющихся в распоря- жении автора. Так как все моделирование производилось на языке FORTRAN, то ниже приводится текст этого датчика, написанный на этом языке. end Здесь iy — целое число, занимающее 4 байта памяти, которое изменяется в процессе работы программы, и является случайным числом, равномерно распределённым в интервале [0, 231 -1]. Оно произвольным образом задается в начале работы программы, и затем изменяется в процессе обращения к процедуре real function rand(iy). Сам результат - число, равномерно распределённое в интервале [0, 1], присваивается идентификатору процедуры.

Для моделирования нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией использовался простейший алгоритм, изложенный в [44]. Согласно ему для генерации нормального случайного числа генерируется 12 равномерно распределённых случайных чисел, которые складываются и из их суммы вычитается 6. Текст соответствующей процедуры приводится ниже. Заметим, что при верности гипотезы Н0 величины z,- = ,-//( ) есть стандартные нормальные случайные величины. Проверка гипотезы об асимптотической нормальности этих статистик производилась следующим образом: генерировалось п чисел z,-, являющихся стандартными нормальными случайными величинами и вычислялось значение статистики. Вся это процедура повторялась 500 раз, в результате чего получалась выборка значений статистики объёма 500. 8. Токарева Е.Г. Асимптотические свойства статистик для проверки гипотезы о равенстве дисперсий двух гауссовских процессов. //Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. С. 195-201. Апробация работы. Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях: 1. Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса». Анжеро-Судженск 2000. 2. Межрегиональной научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» Анжеро-Судженск, 2001 г. 3. Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». Новочеркасск, 2001. 4. Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование». Анжеро-Судженск, 2002. Данная работа возникла из задач по исследованию помех в каналах радиосвязи, когда-то проводившихся в СФТИ. Такие исследования имеют очень большое значение при проектировании систем радиосвязи в KB- и УКВ-диапазонах. Достаточно хорошей математической моделью таких помех является некоррелированный гауссовский шум, когда измерения xt шума, производимые в какие-то моменты времени, являются независимыми случайными величинами, распределенными по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю. Часто считают, что дисперсии всех величин xt одинаковы, то есть V/ = l,/i D{xt} = G2. Однако шумы, встречающиеся на практике, обычно не являются стационарными, то есть их дисперсии D{xt} = сг,- меняются от измерения к измерению, причем часто достаточно быстро. Такой процесс мы далее будем называть нестационарным некоррелированным га-уссовским шумом. Пусть измерения шума проводятся через равные промежутки времени и {х1}х2,...,хп} его измеренные значения. Ниже рассматривается математическая модель шума, когда совместная плотность вероятностей величин xt имеет вид.

Статистика, основанная на обобщенном отношении правдоподобия

В работе строятся тесты для проверки сложных стохастических гипотез, основанные на идее, высказанной впервые, по-видимому, в диссертационной работе Василевской Т.П. [7] и в дальнейшем подробно развитой в работах Е.Е Змевой [21-26]. Эта идея выглядит следующим образом.

Пусть имеется сложная гипотеза Я0 против сложной альтернативы Я,. Для ее построения надо построить статистику S, обладающую следующими свойствами. 4. Желательно, чтобы статистика S при гипотезе Н0 была бы асимптотически нормальной. Тогда процедура вынесения решения имеет вполне естественный вид: если окажется, что S C, где С - некоторая константа, то надо принять гипотезу Н0, а если S C - отвергнуть ее. Методика исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики. Проверка выводов об асимптотической нормальности статистик проводилась методом имитационного моделирования на ЭВМ. Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты. 1. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса. 2. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве масштабного множителя заданной функции для случая произвольного процесса. 3. Вид статистики (в классе степенных функций), обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсии заданной функции для случая гауссовского случайного процесса. 4. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о равенстве дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов. 5. Вид статистики, обеспечивающий максимальное отношение сигнала к шуму при проверке гипотезы о пропорциональности дисперсий в двух выборках одинакового объема независимых гауссовских случайных процессов. 6. Асимптотические свойства всех рассмотренных статистик (сходимость почти наверное и в средне-квадратичном, асимптотическая нормальность) в случае коррелированных гауссовских случайных процессов. Теоретическое значение работы, по мнению автора, заключается в методике построения статистик для проверки статистических гипотез, обеспечивающих максимизацию отношения сигнала к шуму. Автору представляется, что эта методика может быть распространена и на другие задачи. Практическое значение работы, по мнению автора, заключается в том, что предложенные тесты могут быть полезны при обработке экспериментальных данных, касающихся изучения шумов в различных радиодиапазонах. Краткое изложение содержания работы. В первой главе была рассмотрена следующая ситуация: имеется выборка {JC,,X2, , «} объема п. Считается, что xt —независимые нормальные случайные величины с M{xt} = О. Рассматривается проверка двух следующих 4.Статистика S асимптотически нормальна при п - оо. Приведем результаты.

Исследование статистики, основанной на обобщенном отношении правдоподобия

Первым классом дважды стохастических процессов, достаточно подробно исследованным, является дважды стохастические пуассоновские потоки событий [11-17, 29, 37, 38, 43, 47, 48, 53, 54, 56]. В работах Л. Гела [46], М. Нойтса [50, 51], Л. Зеелена [49] выполнен анализ систем массового обслуживания при поступлении потока требований, интенсивность которого изменяется в случайные моменты времени (дважды стохастический пуассоновский процесс поступления требований - справочник [30], Дж. Грэндел [47] ). Эти потоки имеют следующую структуру: имеется пуассоновский поток событий, интенсивность которого зависит от управляющего процесса. Последний обычно считается марковским процессом одного из следующих типов: дискретный марковский процесс с непрерывным временем, диффузионный марковский процесс, чисто разрывный марковский процесс. Эти дважды стохастические потоки достаточно хорошо описывают сигналы, получающиеся при лазерном зондировании атмосферы, прохождения излучения через вещество и тому подобное. В работах по этим потокам рассматривается широкий круг вопросов - изучение характеристик этих потоков [41, 47, 54], фильтрация [37, 38], оценка характеристик управляющего процесса [11-17] и так далее. Вторым классом дважды стохастических потоков, которые также нашли достаточно большое отражение в литературе, являются дважды стохастические авторегрессионные модели. В них рассматривается процесс авторегрессии какого-то порядка, и коэффициенты этого процесса берутся независимыми от другого случайного процесса.

Изучены случаи, когда этот управляющий процесс является процессом с независимыми значениями, марковским процессом, нормальным случайным процессом [53]. В литературе также исследованы характеристики таких процессов [52], оценки параметров управляющего процесса [20,27, 55] и так далее. В настоящей работе делается попытка изучить дважды стохастический гауссовский процесс. Автору не удалось найти работы, посвященные исследованию таких процессов. В общем случае следовало бы взять гауссовский случайный процесс и сделать его математическое ожидание и дисперсию зависящими от какого-то управляющего процесса. Однако, такая модель очень сложна для исследования и может быть предметом дальнейшей работы. Поэтому, в данной диссертации рассмотрена более простая модель, а именно: берется гауссовский процесс с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией и независимыми значениями. Значения этого процесса умножаются на некоторый другой процесс, который считается детерминированным. Это приводит к тому, что измеренные значения результирующего процесса имеют различную дисперсию. В работе и рассматриваются некоторые вопросы, касающиеся проверке гипотез о дисперсии такого процесса, который условно назван нестационарным белым гауссовским шумом. По своей тематике работа относится к разделу математической статистики, известному как анализ временных рядов.[1,4, 5].

Асимптотические свойства статистики при верности гипотезы Н0

В предыдущих главах был предложен целый ряд статистик для проверки некоторых гипотез о дисперсии нестационарного гауссовского процесса. В процессе исследований были установлены некоторые асимптотические свой І ства этих статистик, такие как сходимость в средне-квадратичном, сходи мость почти наверное, а также их асимптотическая нормальность. Последнее свойство играет особую роль, так как именно оно позволяет определить то критическое значение, превышение которого приводит к отвержению гипотезы и принятию решения в пользу альтернативы. Однако при этом неизбежновозникает вопрос о том, при каких объёмах выборки распределение стати стики при верности нулевой гипотезы можно считать оправданным.

Теоретическое исследование этого вопроса чрезвычайно сложно. Поэтому был выбран путь имитационного моделирования, чтобы выяснить, при каких объёмах выборки можно считать, что при верности нулевой гипотезы можно считать, что распределение статистики нормальное, и использовать в качестве порогового значения то значение Са, которое было найдено в тексте глав 1-2.

Для выполнения имитационного моделирования необходимо иметь дат чики случайных чисел. В качестве базового датчика использовался датчик равномерно распределённых в интервале [0, 1] случайных чисел, предложен ный и описанный в [44]. В нём были только произведены некоторые измене ! ния, направленные на то, чтобы избавится от его универсальности и ориен ! тировать на параметры персональных компьютеров, имеющихся в распоря жении автора. Так как все моделирование производилось на языке FORTRAN, то ниже приводится текст этого датчика, написанный на этом языке. end Здесь iy — целое число, занимающее 4 байта памяти, которое изменяется в процессе работы программы, и является случайным числом, равномерно распределённым в интервале [0, 231 -1]. Оно произвольным образом задается в начале работы программы, и затем изменяется в процессе обращения к процедуре real function rand(iy). Сам результат - число, равномерно распределённое в интервале [0, 1], присваивается идентификатору процедуры.

Для моделирования нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией использовался простейший алгоритм, изложенный в [44]. Согласно ему для генерации нормального случайного числа генерируется 12 равномерно распределённых случайных чисел, которые складываются и из их суммы вычитается 6. Текст соответствующей процедуры приводится ниже.

Похожие диссертации на Проверка гипотез о дисперсии нестационарного некоррелированного гауссовского процесса

Нелинейные волновые процессы в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией : Точно решаемые моделиЖуравлев Виктор Михайлович

Применение инвариантов в моделях актуарной математики для статистического оценивания и проверки гипотез Кротова Елена Львовна

Фильтрация и оценка функции корреляции управляющего процесса дисперсии дважды стохастического шумаКалашникова, Татьяна Владимировна

Кинетика процессов сушки дисперсий и кристаллообразующих растворов Шикунов Алексей Николаевич

Кинетика и моделирование процессов сушки растворителей, покрытий, дисперсий, растворов и волокнистых материалов: единый подходГатапова Наталья Цибиковна

Моделирование и алгоритмизация системы управления процессом получения стирол-акриловой дисперсииСоболева, Елена Геннадьевна

Процессы гидратации воздушных вяжущих в условиях магнитной обработки водных дисперсийЕдаменко Олег Дмитриевич

Разработка рациональной технологии процесса печатания текстильных изделий пигментными композициями на основе полиуретановых дисперсийКузнецова Екатерина Эдуардовна

Разработка рациональной технологии процесса печатания текстильных изделий пигментными композициями на основе полиуретановых дисперсийКузнецова Екатериана Эдуардовна

Эффективные по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления и вычислительным затратам алгоритмы обработки случайных процессов на основе обобщенных вейвлетных разложений в радиотехнических устройствах Зорин Сергей Валентинович