Содержание к диссертации
Введение
1 Синтез вейвлетных функций с бесконечной областью определения по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления 18
1.1 Вводные замечания 18
1.2 Синтез оптимальных по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления и ограничении эффективной длительности вейвлетных функций класса Мейера 26
1.2.1 Обоснование показателей качества вейвлетных функций 26
1.2.2 Задача синтеза оптимальных вейвлетных функций класса Мейера 27
1.2.3 Квазиоптимальные вейвлетяые функции класса Мейера 29
1.2.4 Экспериментальные исследования 32
1.3 Оптимизация по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления ортогональных вейвлетных разложений на основе рекурсивных фильтров 38
1.3.1 Получение расчетных соотношений 38
1.3.2 Оптимизация параметров рекурсивных фильтров 40
1.3.3 Экспериментальные исследования 43
1.4 Оптимизация биортогональных вейвлетных разложений на основе рекурсивных фильтров. 48
1.4.1 Особенности биортогональных вейвлетных разложений 48
1.4.2 Получение расчетных соотношений. 59
1.4.3 Обоснование схемы лифтинга 51
1.4.4 Оптимизация параметров фильтров коррекции и предсказания 54
1.5 Выводы 58
2 Оптимизация обобщенных вейвлетных базисов при одноуровневом разложении случайного процесса по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления 60
2.1 Вводные замечания 60
2.2 Оптимизация вейвлетных разложений произвольной кратности по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления. 66
2.2.1 Особенности вейвлетных разложений произвольной кратности 66
2.2.2 Особенности вейвлетно-пакетных разложений 67
2.2.3 Получение расчетных соотношений. 69
2.2.4 Обоснование полифазных представлений 72
2.2.5 Уменьшение размерности вектора оптимизируемых параметров 72
2.2.6 Экспериментальные исследования 78
2.3 Оптимизация одноуровневых разложений с использованием локальных базисов с перекрывающейся областью определения на основе проектирующего оператора 80
2.3.1 Особенности локальных базисов с перекрывающейся областью определения 80
2.3.2 Формирование проектирующего оператора 81
2.3.3 Формирование дискретного проектирующего оператора 84
2.3.4 Доказательство обратимости полного проектирующего оператора 85
2.3.5 Получение расчетных соотношений. 86
2.3.6 Разработка процедуры оптимизации 88
2.3.7 Оценка дисперсий ошибки восстановления отсчетов случайного процесса 93
2.3.8 Экспериментальные исследования 95
2.4 Реализация разложения случайных процессов по базисам с перекрывающейся областью определения на основе предварительной обработки сигналов
2.4.1 Особенности реализации разложения случайного процесса по базисам с перекрывающейся областью определения
2.4.2 Структура алгоритма на основе предварительной обработки случайного процесса
2.4.3 Определение элементов матрицы предсказания
2.4.4 Дополнительная обработка разностного вектора...
2.4.5 Связь результатов предварительной обработки сигналов с разложением по базисным функциям с перекрывающейся областью определения
2.4.6 Экспериментальные исследования
2.5 Выводы
3 Практическое применение предложенных вейвлетных функций с бесконечной областью определения при обработке речевых сигналов и построении систем банков фильтров с бесконечной длительностью импульсных характеристик .109
3.1 Вводные замечания 109
3.2 Проектирование алгоритмов сжатия речевого сигнала на основе вейвлетно-пакетных разложений по предложенным базисным функциям с бесконечной областью определения 115
3.2.1 Особенности вейвлетно-пакетных разложений 115
3.2.2 Структура алгоритма обработки 116
3.2.3 Выбор и оптимизация параметров алгоритма сжатия речевого сигнала. 120
3.2.4 Анализ вейвлетных функций из семейства оптимальных и квазиоптимальных функций класса Мейера наиболее эффективных для представления речевых сигналов .123
3.2.5 Анализ наиболее эффективных для представления речевого сигнала вейвлетных функций из семейства реализуемых на основе рекурсивных фильтров 124
3.2.6 Определение необходимой длительности последовательностей, аппроксимирующих бесконечные импульсные характеристики фильтров анализа и синтеза 126
3.2.7 Оптимальное кодирование передаваемых
вейвлетных коэффициентов разложения 127
3.2.8 Зависимости качества речи от предоставляемой скорости передачи для различных алгоритмов обработки... 129
3.2.9 Исследование влияния пропадания пакетов на качество речи при использовании предложенных алгоритмов в ІР-телефонии .132
3.2.10 Получение доверительных интервалов оценки качества речи в соответствии с ГОСТ Р 50840 95 133
3.3 Разработка и оптимизация алгоритмов повышения качества зашумленных речевых сигналов на основе вейвлет-анализа 135
3.3.1 Предварительные замечания 135
3.3.2 Алгоритм повышения качества речевого сигнала при действии шумов 136
3.3.3 Структурная схема устройства обработки речевого сигнала при действии шумов 138
3.3.4 Анализ воздействия широкополосной помехи .139
3.3.5 Анализ воздействия узкополосной помехи... 141
3.3.6 Анализ воздействия комплексной помехи 143
3.4 Повышение качества речевых сигналов при действии шумов в случае нейросетевой реализации алгоритмов вейвлет-анализа 145
3.4.1 Эквивалентность структур вейвлетно-пакетного алгоритма повышения качества речевых сигналов при действии шумов и искусственной нейронной сети 145
6 3.4.2 Исследование качества обработки речевых сигналов при действии шумов нейронной сетью на основе алгоритмов вейвлет-анализа.149
3.5 Синтез банков фильтров на основе теории кратномасштабного анализа 153
3.5.1 Отличия и сходства между теориями банков фильтров ивейвлетного анализа 153
3.5.2 Особенности представления функций в локальных тригонометрических базисах 156
3.5.3 Условия кратномасштабного анализа кратности М 157
3.5.4 Обобщение вейвлетных функций класса Мейера на случай кратномасштабного анализа
произвольной кратности 158
3.5.5 Эквивалентные соотношения обобщенных вейвлетных функций класса Мейера и характеристик банков фильтров 162
3.5.6 Синтез оптимальных колоколообразных функций по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления при ограничени на эффективную длительность вейвлетной функции 165
3.5.7 Построение банков фильтров с аналитической формой записи 168
3.5.8 Сравнение предложенных банков фильтров с известными банками фильтров на основе вейвлетной функции Шеннона 169
3.6 Програмно-аппаратная реализация алгоритмов обработки речевых сигналов на основе вейвлет-анализа 176
3.7 Выводы 183
Заключение... . 186
Список литературы
- Синтез оптимальных по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления и ограничении эффективной длительности вейвлетных функций класса Мейера
- Оптимизация вейвлетных разложений произвольной кратности по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления.
- Проектирование алгоритмов сжатия речевого сигнала на основе вейвлетно-пакетных разложений по предложенным базисным функциям с бесконечной областью определения
- Разработка и оптимизация алгоритмов повышения качества зашумленных речевых сигналов на основе вейвлет-анализа
Введение к работе
Актуальность темы. Алгоритмы обработки нестационарных случайных процессов (СП), используемые в современных радиотехнических системах, в большинстве случаев основываются на преобразовании Фурье [1], а также на косинусных и синусных преобразованиях, что в первую очередь обусловлено развитием соответствующего математического аппарата. Большой вклад в развитие теории спектрального анализа детерминированных сигналов и СП внесли отечественные и зарубежные ученые А. Шустер, Г.У. Юл, Н. Винер, А.Ж. Хинчин, Р.Б, Блекман, Ж.В. Тьюки, Ж.П. Бург, Г. Джекинс, Д. Вате, С.Л. Марші.-мл., B.C. Пугачев и др. [2... 12], Однако спектральный анализ, основанный на преобразовании Фурье, предусматривает разложение по тригонометрическим не ограниченным во времени базисным функциям, что существенно затрудняет обработку нестационарных СП. При этом, одна и та же базисная функция соответствует сегментам реализации СП с существенно различными параметрами. Кроме того, теория спектрального анализа СП большей частью развита для гауссовских стационарных процессов[5,9,12]. Возможна реализация алгоритмов обработки на основе теории обобщенного спектрального анализа как детерминированных сигналов, так и СП, изложенная в работах Н. Ахмеда, К.Р. Pao, B.C. Пугачева, И.А. Трахтмана и др. [11... 15]. В рамках этой теории не получили развития вопросы построения базисных функций локализованных во временной и в частотной областях.
В ряде случаев возможно использование отдельных базисных функций для каждого интервала анализа, однако при этом возникают краевые искажения, связанные с несоответствием значений базисных функций в крайних точках смежных интервалов анализа [16]. Более того, такая обработка эквивалентна использованию прямоугольного весового окна, что обуславливает разрывы базисных функций во временной области и, как следствие, плохую локализацию в частотной области. Однако, использование
гладких оконных функций приводит к утрате свойства ортогональности базисной системы. Кроме того, такие алгоритмы не предусматривают представление отдельных частотных компонент сигнала функциями, имеющими разную длительность.
Перечисленные недостатки отсутствуют в случае разложений по вейвлетным функциям (ВФ). Теория вейвлетного анализа (ВА) была в основном разработана в работах А Хаара, С. Маллата, И. Мейера, И. Добеши, К. Чуй, В. Свелденса, М.В. Виккерхаузера, М. Витерли, В.Ф. Кравченко и др. [8,16... 26]. Кроме того, развитие теории В А отражено и осуществлено в работах В.И, Воробьёва, В.Г. Грибунина, А.П. Петухова, Л.В. Новикова, В.П. Дьяконова, и др. [27...40]. Основное достоинство ВА заключается в том, что базисные функции в случае вейвлетного разложения (ВР) локализованы не только в частотной, но и во временной области. Благодаря этому алгоритмы ВА нашли широкое применение при решении ряда задач, связанных с обработкой нестационарных СП, сжатия информации, восстановления и интерполяции сигналов, анализа геодезической, метеорологической и медицинской информации, а также в компьютерной графике и численной математике [22... 24,41... 43 ].
Наиболее часто используемыми при решении практических задач являются ортогональные ВФ Добеши [20], обеспечивающие минимальную длительность при фиксированном числе нулевых моментов и имеющие конечную область определения. Эти свойства ВФ Добеши обуславливают высокую эффективность обработки изображений [42], т.к. в этом случае наиболее важными являются хорошие интерполирующие возможности базисной системы и способность качественного определения резких границ, а требования, накладываемые на форму спектра Фурье базисных функций, не іфинципиальньї. Однако в случае обработки звуковых и речевых сигналов требования, предъявляемые к форме спектра Фурье ВФ [44], гораздо выше, а длительность ВФ имеет второстепенное значение.
Для того, чтобы форма спектра Фурье ВФ имела вид близкий к идеальному прямоугольному, необходимо использовать ВФ Добеши с большим числом нулевых моментов, что приводит к существенному возрастанию длительности и, как следствие, вычислительных затрат на реализацию разложения. Кроме того, ВФ Добепш имеют конечную область определения и по этой причине разложение по ним осуществляется на основе нерекурсивных фильтров. Один из способов устранения этого недостатка заключается в использовании предложенных в работе С. Херли и М. Витерли [45] ВФ с бесконечной областью определения, разложение по которым может быть эффективно осуществлено на основе рекурсивных фильтров.
Однако известные ВФ на основе рекурсивных фильтров были получены при предположении обеспечения максимального числа нулевых моментов в случае фиксированных затрат на реализацию разложения [45]. Более того, так как z-преобразования импульсных характеристик (ИХ) фильтров анализа и синтеза в этом случае имеют полюсы как внутри, так и вне единичной окружности комплексной плоскости, то эффективная реализация прямого и обратного преобразований невозможна в реальном масштабе времени.
Обычно алгоритмы, использующие разложение по ВФ, требуют эффективного с точки зрения восстановления представления в вейвлетном базисе обрабатываемого СП. По этой причине представляется целесообразным осуществлять синтез ВФ не по критерию максимального числа нулевых моментов, а непосредственно по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления при ограничении на вычислительные затраты или область определения.
Одним из недостатков классического ВА и его обобщения — вейвлетно-пакетного анализа (ВПА) [22] является диадический способ разбиения частотного диапазона обрабатываемого СП, который ограничивает число частотных диапазонов в случае их одинаковой ширины целой степенью числа два. Ослабление этого ограничения заключается в использовании
алгоритмов В А кратности отличной от двух, представленных в работах Р.А. Гопинафа и К.С. Бурруса [46,47].
Однако известные алгоритмы ВА кратности отличной от двух разрабатывались на основе математического аппарата полифазных матриц, заимствованного из теории банков фильтров [48...51], по критерию максимального числа нулевых моментов соответствующей скейлинг-функции (СФ) или максимальной близости амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) фильтров анализа к идеальным прямоугольным при фиксированной длительности ИХ. При этом предполагалось, что дискретные базисные функции не зависят от корреляционных характеристик СП. По этой причине целесообразна разработка ВФ, минимизирующих дисперсию ошибки восстановления для заданной формы КФ. Процедуры определения разложений, обеспечивающих выполнение каких-либо заданных требований, представляет собой сложную задачу нелинейной многомерной оптимизации [46,47]. В связи с этим возникает необходимость в разработке процедур оптимизации, обеспечивающих меньшие вычислительные затраты при получении соответствующих ВР.
ВР произвольной кратности осуществляют разбиение частотного диапазона сигнала за один шаг посредством системы банков фильтров. Однако разбиение частотного диапазона также возможно на основе использования гладких локальных тригонометрических базисов [52,53], дискретный вариант которых может рассматриваться как частный случай вейвлетных базисов произвольной кратности. Свойства гладких локальных тригонометрических базисов в основном определяются видом колоколообразной функции, которая в большинстве случаев выбирается эмпирически исходя из необходимого числа непрерывных производных. Дискретному варианту гладких локальных тригонометрических базисов в теории банков фильтров соответствуют банки фильтров, модулируемые косинусом [54], а в теории В А - ортогональные преобразования с перекрытием Малвара [55,56]. Однако во всех этих случаях критерием
12 построения является либо гладкость соответствующих непрерывных функций, либо близость АЧХ фильтров анализа к идеальным прямоугольным. При этом определение оптимальных разложений сводится также к решению задачи многомерной нелинейной оптимизации. Таким образом, возникает необходимость в разработке эффективных процедур оптимизации таких базисов по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления для заданной формы КФ.
Для нестационарных СП часто корреляционные характеристики изменяются во времени достаточно быстро, и при этом необходимо производить обработку в реальном масштабе времени. В связи с этим целесообразна разработка алгоритмов обработки, реализующих разложение СП по функциям аналогичной структуры, но в то же время обеспечивающих функционирование в реальном масштабе времени.
Теория кратномасштабного анализа (КМА) и ВА тесно связаны с гладкими локальными тригонометрическими базисами, с ортогональными преобразованиями с перекрытием Малвара, а также с теорией подполосного кодирования и банков фильтров [23,27,55,57]. Результаты, полученные в рамках теории гладких локальных тригонометрических базисов и банков фильтров, успешно использовались при построении соответствующих алгоритмов КМА и ВА [53]. Однако несмотря на успехи, достигнутые в теории КМА и ВА, до сих пор не удавалось использовать их результаты при синтезе банков фильтров. Таким образом, представляется целесообразным разработать метод построения системы банков фильтров с использованием теории КМА.
Структура алгоритмов, осуществляющих разложение сигнала по ВФ и его обработку, имеет много общего с нейронными сетями (НС). По этой причине целесообразно рассмотреть возможность использования ВА в целях определения структуры НС с учетом специфики решаемой задачи.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является синтез и оптимюация обобщенных ВР по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления обрабатываемых СП при ограничении на эффективную длительность ВФ или на требуемые вычислительные затраты в интересах повышения показателей качества радиотехнических устройств обработки нестационарных СП.
Поставленная цель работы включает решение следующих задач:
Синтеза и оптимизации ВФ с бесконечной областью определения по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления при ограничении на эффективную длительность базисных функций или вычислительные затраты на реализацию.
Разработки вейвдетных базисов кратности отличной от двух и методов их оптимизации по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления при заданной КФ и ограничении на длительность базисных функций обрабатываемого СП.
Построения системы банков фильтров на основе теории В А кратности отличной от двух, обеспечивающей гибкое разбиение частотного диапазона обрабатываемого СП при ограничении на эффективную длительность соответствующих ВФ.
Методы проведения исследований. В работе использовались методы статистической радиотехники и математической статистики, вариационного и матричного исчисления, динамического программирования, вычислительной математики, математического аппарата теории полифазных матриц, а также новейшие достижения в области современных речевых технологий, телекоммуникаций и цифровой обработки информации. Данные теоретические методы сочетались с экспериментальными исследованиями на основе имитационного моделирования.
Научная новизна, В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты:
Синтезированы оптимальные по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления ВФ класса Мейера при ограничении на эффективную длительность. Предложено семейство квазиоптимальных ВФ класса Мейера, имеющих аналитическую форму записи как в частотной, так и во временной области.
Произведена оптимизация ортогональных ВФ, реализуемых на основе рекурсивных фильтров, по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления; при ограничении на вычислительные затраты. Предложено семейство ортогональных ВФ, реализуемых на основе рекурсивных фильтров, оптимальных по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления для фиксированных вычислительных затрат и заданной эффективной длительности базисных функций.
Предложен метод построения биортогональных ВР по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления на основе схемы лифтинга, реализуемой с помощью рекурсивных фильтров.
Оптимизированы дискретные вейвлетные базисы произвольной кратности и дискретные локальные тригонометрические базисы по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления сигнала при ограничении на длительность базисных функций и предположении известной КФ обрабатываемого СП. Предложена процедура расчета значения минимизируемой дисперсии ошибки восстановления, обеспечивающая уменьшение размерности вектора оптимизируемых параметров.
Предложены алгоритмы обработки, реализующие с использованием предварительной обработки сигнала разложение по функциям, близким по своей структуре к ВФ произвольной кратности, но обеспечивающие возможность функционирования в реальном масштабе времени.
Разработаны алгоритмы эффективного представления речевых сигналов (PC) в предложенных вейвлетных базисах бесконечной
15 длительности, а также алгоритмы повышения качества PC при действии шумов.
Обобщены ВФ класса Мейера на случай В А кратности отличной от двух. Проведен синтез таких ВФ по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления при ограничении на эффективную длительность базисных функций.
Разработан метод построения системы банков фильтров на основе предложенного обобщения ВФ класса Мейера, при этом получена аналитическая форма записи для коэффициентов ИХ фильтров.
Предложена процедура выбора структуры НС и предварительной инициализации синаптических связей на основе известных алгоритмов ВА.
Практическая ценность. Представленные в работе алгоритмы обработки СП на основе предложенных ВФ могут быть эффективно использованы в таких радиотехнических устройствах, как системы передачи информации, системы экономного хранения PC, а также системы повышения качества сигналов при действии помех. Кроме того, в работе предложены методы построения банков фильтров, которые могут использоваться в задачах анализа и хранения СП. Результаты диссертационной работы нашли применение в действующей аппаратуре ОАО "Рязаньэнерго", а также внедрены в учебный процесс РГРТА, что подтверждено соответствующими актами.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Оптимальные по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления и ограничении на эффективную длительность ВФ класса Мейера, обеспечивающие при одной и той же эффективной длительности уменьшение дисперсии ошибки восстановления на 7% по сравнению с известными ВФ Мейера,
Ортогональные ВФ, реализуемые на основе рекурсивных фильтров, оптимальные по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления при заданных вычислительных затратах, позволяющие при одной и той же дисперсии ошибки восстановления снизить вычислительные затраты на реализацию разложения по сравнению с известными ВФ Добеши в 9 раз.
Процедура расчета минимизируемого значения дисперсии ошибки восстановления ВР произвольной кратности при заданной КФ обрабатываемого СП, приводящая к существенному сокращению размерности вектора оптимизируемых параметров, и позволяющая уменьшить дисперсию ошибки представления PC в 1.5-5 раз по сравнению с известными базисами при одном и том же коэффициенте сжатия.
Семейство банков фильтров на основе обобщения ВФ класса Мейера на случай ВА кратности, отличной от двух, с бесконечной длительностью ИХ, имеющее аналитическую форму записи при высокой гибкости разбиения частотного диапазона обрабатываемого СП
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научно-технических конференциях (НТК), семинарах и сессиях:
VIII Всероссийские Туполевские чтения студентов "Актуальные проблемы авиастроения". 1998 г., г. Казань.
Научная сессия МИФИ-99,2000., 1999,2000 гг., г. Москва
I ВНТК "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве". 1999 г., г. Нижний Новгород.
Пятая МНТК студентов и аспирантов "Радиоэлектроника, электротехника и энергетика". 1999 г., г. Москва.
4-я, 5-я, 8-я, 9-я Всероссийская НТК студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и образовании". 1999,2000,2003,2004 гг., г. Рязань.
3-я, 4-я, 5-я, 6-я Международная конференция "Цифровая обработка сигналов и ее применение". 2000,2002, 2003, 2004 гг., г. Москва.
36-ая НТК. РГРТА. 2000 г.л г. Рязань.
9-я, 10-я, 11-я МНТК "Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций". 2000, 2001, 2002 гг., г. Рязань.
7-ая Всероссийская межвузовская НТК студентов и аспирантов "Микроэлектроника - 20Q01'. 2000 г., г. Москва.
Публикации. По теме диссертации опубликована 31 работа. Из них 6 статей в центральной печати, 1 учебное пособие, 6 статей в научно-технических журналах и межвузовских сборниках трудов, 18 тезисов докладов на конференциях.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 142 наименований и 5 приложений. Диссертация содержит 147 стр. основного текста и 53 рисунка.
Благодарности. Выражаю свою искреннюю признательность научному руководителю Сергею Николаевичу Кириллову за неоценимую помощь и серьёзную моральную поддержку, оказанную автору в процессе работы над диссертацией. Благодарю своих коллег, преподавателей, сотрудников, аспирантов и молодых ученых кафедры РУС за высказанные замечания, конструктивные обсуждения, содействие и помощь в работе. Выражаю особую признательность своим родным и близким за предоставленную возможность заниматься научной деятельностью. Хочу выразить отдельную благодарность моей супруге за моральную поддержку и терпение.
Синтез оптимальных по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления и ограничении эффективной длительности вейвлетных функций класса Мейера
В зависимости от специфики конкретной радиотехнической задачи к вейвлетным базисным системам могут предъявляются различные требования, накладываемые как на форму, так и преобразование Фурье ВФ, а также на вычислительные затраты и задержку результатов обработки СП.
При этом при обработке речевых и звуковых сигналов более строгие требования накладываются на компактность и форму спектра Фурье ВФ, чем на длительность самой ВФ [44,64]. Как отмечалось выше, ВФ Шеннона обеспечивает максимальную концентрацию спектра при крайне медленной скорости спада ВФ во временной области. Использование ВФ, принадлежащих классу Мейера [16,72], позволяет при значительной компактности спектра получить более высокую скорость спада во временной области и следовательно снизить вычислительные затраты по сравнению с ВФ Шеннона [20]. Кроме того, многие полученные эвристически ВФ класса Мейера могут быть представлены в частотной области на основе элементарных функций.
Таким образом, при обработке СП система базисных функций должна с одной стороны обеспечивать малую дисперсию ошибки восстановления при обработке стационарных участков сигнала, а с другой - обладать малой эффективной длительностью, т.е. быть приспособлена для анализа нестационарных участков. Т.е. при синтезе ВФ основными показателями качества являются дисперсия ошибки восстановления и эффективная длительность. При этом, возникает задача синтеза ВФ, принадлежащей классу Мейера, обеспечивающей минимальную дисперсию ошибки восстановления СП с прямоугольным спектром при заданной эффективной длительности ВФ или, наоборот, обладающей минимальной эффективной длительностью при заданной дисперсии ошибки восстановления [73], Задача синтеза оптимальных вейвлетаых функций класса Мейера Так как большинство свойств ВР определяется пространством сдвигов исходной СФ„ то рассмотрим соответствующий класс СФ Мейера.
Произвольная СФ, принадлежащая классу Мейера, определяется через свое преобразование Фурье как [23,28]: JcosCaMXH є [2х!ЪАФ\ Ф(ЙЕ ) = 4 г (1.1) где а{(о) любая функция, удовлетворяющая следующим требованиям: 0(І4=-4їН 4 1-2 ; )=. )=- (1.3) При этом преобразование Фурье ИХ НЧ и ВЧ фильтров анализа Я0(с?) и Я, (о), используемых при разложении исследуемого сигнала по соответствующей системе вейвлетных базисных функций, имеют вид: #0(ш) = 72Ф(2й ), (1.4); #,(о )-л/2Ф(2й -2я-). (1.5)
При обработке СП система базисных функций должна с одной стороны обеспечивать малую ошибку восстановления при сжатии стационарных участков сигнала, а с другой - быть приспособлена для анализа нестационарных.
По этой причине в качестве критериев синтеза оптимальной ВФ из класса Мейера используем дисперсию D0 ошибки восстановления при сжатии в 2 раза стационарного СП, имеющего прямоугольный спектр мощности: Я»- k Н « [О.ж/210, Н «[0, /2l (1.6) - с одной стороны, и А, — квадрат эффективной длительности исходной СФ — с другой. При этом дисперсия ошибки восстановления в случае передачи только НЧ компонент сигнала равна: Учитывая равенства, (1.1), (1.5) и (1.6) можно показать [74], что дисперсия ошибки восстановления, нормированная к мощности обрабатываемого СП (1.6), имеет вид: DQ = - f srn(a((o)f d o. (1.8) я З
Минимизация дисперсии ошибки восстановления СП, имеющего прямоугольный спектр мощности, эквивалентна минимизации среднеквадратического отклонения амплитудного спектра Фурье синтезируемой СФ от АЧХ идеального НЧ фильтра.
Используя равенства (1.1), (1.2), (1.4) и (1.5) нетрудно показать, что квадрат эффективной длительности СФ, отнесенной к интервалу дискретизации обрабатываемого СП, Д,2 = \t2 p{tfdt (1.9) -со мажет быть выражен через функцию а(а ) следующим образом: At2 =— f [ — Я(Й ) da. (1.10) к I \dm J -к З
Таким образом, возникает изопериметрическая вариационная задача [75] минимизации квадрата эффективной длительности Д, при заданной дисперсии ошибки восстановления СП D0, либо, наоборот, минимизации дисперсии ошибки восстановления D0 при фиксированной эффективной длительности СФ
Оптимизация вейвлетных разложений произвольной кратности по критерию минимума дисперсии ошибки восстановления.
В различных системах обработки нестационарных СП нашли применение алгоритмы В А [20], основанные на разложении сигналов по сдвигам, сжатиям и расширениям одной и той же функции, называемой ВФ. Такие ВР используются в основном для сжатия и обработки изображений и видеоданных [23], что обусловлено концентрацией основных составляющих этих сигналов в области низких частот и наличием резких границ. При обработке речевых и звуковых сигналов в силу особенностей восприятия их слуховым аппаратом человека требуется определенное разбиение частотного диапазона при условии локализации базисных функций во времени. В этом случае целесообразно использовать обобщение ВА -ВПА [22].
Для ВПР кратности известны адаптивные алгоритмы разбиения частотно-временного диапазона. При этом ВФ не изменяется или выбирается из библиотеки известных ВФ [87]. Дополнительной возможностью уменьшения дисперсии ошибки восстановления является использование разложений по вейвлетным базисам кратности большей, чем два. Это обеспечивает большую гибкость процедуры оптимизации параметров ВФ. Частным случаем таких разложений является разложение СП по локальньш тригонометрическим базисам [53,52].
В случае блочных преобразований сигнал разбивается на сегменты равной длительности, а затем к каждому из них применяется ортогональное преобразование [133]. Таким образом, базисные функции, сдвинутые друг относительно друга на длину интервала анализа, имеют непересекающиеся области определения. Уменьшение дисперсии ошибки восстановления СП в вейвлетных базисах произвольной кратности обеспечивается благодаря перекрытию областей определения базисных функций, принадлежащих разным временным интервалам, и, соответственно, использованию корреляционных связей между отсчетами сигнала, относящимся к смежным сегментам. Известные [46] разложения по вейвлетным базисам произвольной кратности используют ВФ не адаптированные к корреляционным свойствам СП.
Таким образом, необходима оптимизация ВФ фиксированной длительности и кратности М отличной от двух, оптимальных но критерию минимума дисперсии восстановленного СП.
Как в случае ВА, так и при ВПА, соответствующие алгоритмы разложения сигналов основываются на применении двух фильтров [20]. Один из этих фильтров Я0 является низкочастотным с коэффициентами ИХ h0(i), соответствующими коэффициентам масштабирующего уравнения. ф(х) = h0(i)p{2x-i), другой же фильтр И} является высокочастотным с коэффициентами ИХ / (/), соответствующими функциональному уравнению для ВФ: ( ) = / (/) (2 -/), где ф{х) и у/{х) - масштабная и вейвлетная функции, при этом суммирование в функциональных уравнениях осуществляется по всей области определения ИХ соответствующих фильтров, которая может быть как конечной, так и бесконечной.
Если на каждом шаге разложения используются два фильтра, то говорят о ВА кратности два. Однако возможно на каждом шаге алгоритма использовать большее число фильтров (М 2), при требовании локализации по времени и по частоте, а также при условии ортогональности базисных функций. Тогда речь идет о ВА кратности М. Такие алгоритмы ВА целесообразно использовать в случаях, когда известно конкретное число полос, на которое необходимо разбить частотный интервал. Не сужая общности вопроса предположим, что число полос равно четырем. Тогда возможно использование двух схем обработки СП (рисунки 2.1 и 2.2), соответствующих алгоритмам В А кратности два и четыре, здесь знаки І2 и І4 означают прореживание отсчетов в два и четыре раза соответственно, Т2 и Т4 - увеличение числа отсчетов в 2 и 4 раза соответственно путем добавления нулей.
Как можно показать, при длине ИХ фильтров Н0 и Нх равной т отсчетам в схеме, показанной на рисунке 2.1, а также при длине ИХ фильтров Н0, Ни Н2 и Я3 равной 2/и отсчетам в схеме, показанной на рис. 2.2, алгоритмы разложений, определяемые этими схемами, имеют одну и ту же вычислительную эффективность. Однако соответствующие второй схеме (рисунок 2.2) базисные функции имеют меньшую длительность, чем в случае первой схемы (рисунок 2.1).
Проектирование алгоритмов сжатия речевого сигнала на основе вейвлетно-пакетных разложений по предложенным базисным функциям с бесконечной областью определения
Для записи ВПР воспользуемся последовательностями h - $? j;eZ и bl = \$}ieZ, состоящими из коэффициентов ИХ НЧ и ВЧ фильтров анализа. Тогда непрерывные ВФ „(/) определяются рекурсивной последовательностью функциональных уравнений [22]: /)= - ); 2„+1(0=л/22АЯ(2 - ). (3.1) к к Функции (3.1) могут быть выражены через свое преобразование Фурье #„() как предел произведения: M) = f[Htifal2 ), (3.2) //=1 ас где п - Y 6M X даоичное представление числа п, н0((о\ Hfa) - передаточные характеристики фильтров Н и G соответственно, имеющие вид: ф Я0(ю)= Л ехр іій)), ЯіМ=е- а Я0(с» + я-)=-Л ехр(- ш). А: Преобразованием глубины dd называется разложение по функциям yvn(t k\n = 0,\...2J t -\, и соответствует при использовании дискретного аналога функций (3.1) разбиению частотного диапазона обрабатываемого сигнала на 2 поддиапазонов.
Быстрый алгоритм преобразования базируется на использовании дискретного представления сигнала 8 = {лД, где s, s(i), в виде последовательностей спектральных коэффициентов = 0,1...2 -1, соответствующих л-му частотному диапазону, - символ операции свертки, і - символ операции прореживания каждого 2-го отсчета. Вычисление коэффициентов преобразования осуществляется с помощью модификации пирамиды Маллата [17... 19], представляющей собой каскадное соединение двухканальных квадратурно-зеркальных фильтров с ИХ h и Ь1 , идентичными коэффициентам базовой масштабной и базовой ВФ. Выходные последовательности обоих каналов КЗФ на каждой ступени каскада прореживают в 2 раза. Восстановление сигнала на основе коэффициентов зл осуществляется по зеркально-обратным схемам. Сначала число элементов последовательностей удваивают путем введения нулевого элемента между ними, а затем элементы удвоенных последовательностей поступают на входы НЧ- и ВЧ- фильтров с ИХ, зеркально идентичными ИХ этих фильтров при прямом преобразовании. Выходные отсчеты обоих каналов КЗФ попарно суммируют между собой, с последующим повторением перечисленных выше операций на следующих каскадах КЗФ.
Принцип действия алгоритма кодирования PC заключается в передаче в каждый момент времени лишь только значимых компонент сигнала, (хютветствующиСтруктурная схема, реализующая предлагаемый алгоритм кодирования коэффициентов ВПР sj{i), j = 0..2drf-l [123], показана на рисунке 3.2. Блок ВПР осуществляет разложение сигнала s(i) по базисным функциям (3.1) в соответствии со схемой, представленной на рисунке 3.1. На выходе блока имеем последовательности спектральных коэффициентов sj{i), j = 0..2 d 1. В формирователе блоков спектральных коэффициентов осуществляется объединение фрагментов подполосных сигналов W в кадр = {f1J\,i = 0,..,M-lj = 0,..,Nfr-h = У(/ + ЙУД где M = 2d - число поддолос, на которое разбивается частотный диапазон сигнала, Nfr длительность кадра, к - порядковый номер кадра. В блоке оценки дисперсии сигнала в различных частотных каналах происходит расчет вектора оценок значений дисперсий для заданного кадра по формулам ds = {d } d- = ]Г {f/jf /Njr, і = 0,..,M. Значение d определяет мощность обрабатываемого сигнала в /-ой частотной полосе на интервале времени длительностью Nia=Nji.2dd отсчетов. На основании вектора дисперсий сГ выбираются Т частотных поддиапазонов, соответствующие которым спектральные коэффициенты подлежат передаче. Вектор, содержащий номера передаваемых частотных поддиапазонов и упорядоченный в соответствии с убыванием дисперсий на рисунке 3.2 обозначен через п г =Ц / = 0,..,Т, а вектор дисперсий через - ds р-\,г = 0,..,7-1. Далее исходя из F и п"-формируется подлежащий кодированию и передаче кадр значимых спектральных отсчетов F" = {/J.{/J = ,/ = 0,..,7-1,7 = 0,.., -1. Для восстановления обрабатываемого сигнала на приемной стороне необходимо передавать вектор d"\ однако в силу монотонного убывающего характера его элементов для передачи достаточно использовать несколько значений, а оставшиеся получать методом интерполяции. Таким образом, вектор d"" = /f / = 0,.., Л г, -1, содержит Ndtr значений дисперсий. На основании вектора dfr в блоке оптимального распределения бит каждому из передаваемых частотных каналов отводится такое число бит, чтобы в целом минимизировать составляющую дисперсии ошибки восстановления, обусловленную кодированием спектральных отсчетов. Обозначим через b" = {&,"/ = 0,..,7-1, вектор, элементы которого определяют количество бит выделенное под передачу /-го канала. Далее в квантователе на основе векторов d r и Ь г производится кодирование спектральных коэффициентов. Кадр, содержащий кодированные значения передаваемых спектральных отсчетов, обозначен на рисунке 3.2 через F . В формирователе кадра F , поступающего в линию передачи, происходит объединение информации, содержащейся в F4 , ntr и d r. На рисунке 3.3 показана структура передаваемого в линию кадра. Из структуры кадра, представленной на рисунке 3.3, можно видеть, что требуемая скорость передачи vz - v + vc + vd состоит из трех компонент, которые обусловлены необходимостью передачи непосредственных коэффициентов разложения ОД информации о номерах передаваемых каналов (v .) и значений дисперсий групп спектральных отсчетов, относящихся к различным частотным поддиапазонам (vrf). х выделенному на основе заданного критерия частотного поддиапазона [67,68,122].
Разработка и оптимизация алгоритмов повышения качества зашумленных речевых сигналов на основе вейвлет-анализа
Свойство ВР, заключающееся в представлении обрабатываемого СП малым числом спектральных коэффициентов, может эффективно использоваться в задачах повышения качества PC при действии шумов. Благодаря возможности применения ВР различной глубины, что соответствует использованию базисных функций существенно отличающихся по длительности, а также широкому выбору типа самих базисных функций алгоритмы ВА позволяют одновременно бороться с различными видами помех.
Большинство известных алгоритмов подавления помех и восстановления сигналов на основе методов ВА разработаны в целях повышения качества изображений [126]. При этом наиболее часто разложение производится по базисным функциям Добеши, а повышение качества заключается в специфической пороговой обработке, предложенной Донохо [111... 113,127]. Однако, в этом случае методы очищения сигналов от шума были разработаны в предположении, что исходный, незашумленный, сигнал принадлежит некоторому функциональному пространству, характеризующемуся определенной степенью гладкости, и не рассматривается в качестве случайного, а помеха, действующая на него, представляет собой белый шум.
Тем не менее, в случае PC помеха не обязательно является белым шумом, а сам сигнал целесообразно рассматривать в качестве нестационарного СП, для представления которого, как было показано в параграфе 3.2, ВФ Добеши с относительно малым числом нулевых моментов не являются эффективными. По этой причине непосредственное использование таких алгоритмов в целях повышения качества PC не приводит к желаемым результатам.
Отметим, что обобщение ВР - ВПР - могут рассматриваться как реализуемые некоторой эквивалентной системой банков фильтров [23,27]. Следовательно, методы подавления шумов, применяемые в системах банков фильтров [82], могут также использоваться и в алгоритмах ВА. В этом случае для каждого подполосного сигнала применяют фильтр Винера нулевого порядка [83]. Однако непосредственное использование банков фильтров сопряжено с большими вычислительными затратами и не обеспечивает той гибкости, которая присуща алгоритмам ВПА.
В работе [64] предложен метод повышения качества PC, который может рассматриваться как промежуточный вариант между пороговой обработкой Донохо и фильтрацией Винера нулевого порядка, имеющей место в случае банков фильтров. Тем не менее, в этой работе рассматриваются лишь широкополосные помехи и используются только известные ВФ Добеши.
Таким образом, актуальна задача построения и оптимизации алгоритмов повышения качества PC при действии помех на основе предложенных в первой главе диссертационной работы ВФ с бесконечной областью определения.
Предположим, что исходный PC ( ) подвержен воздействию помехи «(/), при этом S(J) и n(i) являются независимыми друг от друга СП. Необходимо повысить качество зашумленного сигнала u(i)= s(i)+n(i) при предположении, что помеха n{i)-nw{ї)+пп(і) является суммой широкополосной nw(i) и узкополосной nn{i) мешающих сигналов. Воспользуемся ВПР фиксированного масштаба, осуществляемым в соответствии с рисунке 3. Предположим, что s{i) и П(Ї) могут считаться на малых интервалах стационарными, при этом параметры КФ сигнала помехи я(/) меняются значительно медленнее, чем параметры КФ незашумленного PC, что обеспечивает возможность достаточно точного определения спектральных характеристик сигнала помехи в течении пауз PC.
Обозначим, через sj(i), nJ(i) и uJ(i) коэффициенты ВПР сигналов s(i), n(i) и и(г), соответственно, для некоторой глубины разложения dd. В силу линейности преобразования для коэффициентов ВПР сигнала W(J) будет справедливо равенство: uJ (і) = sj (і) + nj (/).
Отметим, что ВПР может рассматриваться как разложение, осуществляемое некоторой эквивалентной системой банков фильтров, тогда для уменьшения мощности шума воспользуемся весовой обработкой подполосных сигналов uJ(i) на основе фильтра Винера нулевого порядка [83].
