Содержание к диссертации
Введение
1 Скейлинговые свойства крупных событий в модели БТВ 24
1.1 Направления развития моделей с СОК 25
1.1.1 Модель блоков и пружин 25
1.1.2 Самоподобная фрактальная модель 28
1.1.3 Модель разрыва пучка волокон 31
1.1.4 Иерархические модели разрушения 32
1.1.5 Иерархическая модель кластеризации 36
1.2 Модель БТВ 37
1.2.1 Определение эволюции 37
1.2.2 Степенной закон повторяемости событий 42
1.2.3 Нормировка крупных событий 50
1.2.4 Результаты главы 57
2 Модели со случайным перераспределением песчинок 59
2.1 Определение моделей 60
2.1.1 Модель Манна 60
2.1.2 Семейства моделей SP 64
2.2 Распределение высот 67
2.2.1 Плотность с четырьмя пиками и модель Чанга 69
2.2.2 Ступенчатые плотности и модель БТВ 70
2.2.3 Принципиальная роль стохастики 72
2.3 Целочисленные модели с дробным пересыпанием 75
2.4 Графики повторяемости для моделей с малыми критическими высотами 77
2.4.1 Случайное блуждание как особая точка семейства 78
2.4.2 Модель БТВ как другая особая точка семейства 79
2.5 Результаты главы 81
3 Прогноз в моделях: затишье вместо активизации 83
3.1 Алгоритмы прогноза и их эффективность 86
3.2 Определение предвестников 89
3.3 Реализация алгоритма прогноза 91
3.4 Численные результаты прогноза 94
3.4.1 Эффективность для различных целевых событий 94
3.4.2 Причины эффективности предвестников 96
3.4.3 Диаграмма ошибок 98
3.5 Высота кучи и кластеризация песчинок 101
3.5.1 Закон повторяемости событий 102
3.5.2 Предвестники 103
3.5.3 Эффективность прогноза 107
3.6 Результаты главы 109
4 Диссипативная детерминированная модель с активизационным сценарием сильных событий 112
4.1 Модель 113
4.2 Закон повторяемости событий 117
4.3 Предвестник сильных событий 122
4.4 Количественные результаты прогноза 124
4.4.1 Качественные свойства семейства моделей 124
4.4.2 Неоднородность прогноза во времени 129
4.4.3 Адаптация алгоритма М8 136
4.5 Результаты главы 139
5 Предсказуемость последовательности целевых событий 141
5.1 Оценка предсказуемости при редком повторении событий 143
5.1.1 Задача оптимизации 143
5.1.2 Оптимальная стратегия 145
5.2 Оценка предсказуемости при заданном коэффициенте вариации 146
5.2.1 Мотивировка 146
5.2.2 Основная теорема 147
5.3 Свойства функции риска 148
5.4 Приложение к потоку сильных землетрясений 153
5.5 Прогноз ежедневных падений финансовых временных рядов 155
5.6 Результаты главы 163
6 Заключение 166
А Асимптотическая устойчивость в модели кластеризации 177
Литература
- Иерархические модели разрушения
- Ступенчатые плотности и модель БТВ
- Причины эффективности предвестников
- Качественные свойства семейства моделей
Введение к работе
Актуальность. Парадигма самоорганизованной критичности — эволюции системы к критическому состоянию без настройки каких- либо параметров — привлекла к себе повышенное внимание сразу же после разработки [1] Баком, Тангом и Визенфельдом первой модели (модели БТВ), демонстрирующей это свойство. С одной стороны, из-за своей простоты, с другой, из-за фундаментальности, парадигма самоорганизованной критичности (СОК) оказалась востребованной в таких разнообразных областях знания, как геофизика, физика плазмы, биология, макроэкономика [2,3]. Существование достаточно полных геофизических данных позволяет оценить применимость теории СОК к описанию процесса формирования землетрясений.
Для прогноза землетрясений изучают и анализируют предшествующие им явления (предвестники) [4,5]. Наиболее исследованный и часто встречающийся предвестник — повышение сейсмической активности в разные интервалы времени, предшествующие сильным землетрясениям [6]. Некоторым землетрясениям предшествует сейсмическое затишье [7] или сочетание активизации и затишья в разных пространственно-временных областях [8]. На основе найденных предвестников построены алгоритмы среднесрочного прогноза, достаточно эффективно предсказывающие сильные землетрясения в реальном времени. Десятилетия мониторинга в различных регионах мира позволили оценить как эффективность некоторых из алгоритмов прогноза, так и их статистическую значимость.
Несмотря на заметные успехи в прогнозировании землетрясений, ряд исследователей считают используемые предвестники «нефизич- ными», а текущие результаты прогноза ненадёжными [13]. Дискуссия о возможности прогноза опирается на представление о сейсмическом процессе как об эволюции системы блоков различной величины с самоподобной структурой [14]. Блоки взаимодействуют друг с другом и находятся в постоянном медленном движении, во время которого система накапливает напряжение. Землетрясения сопровождаются освобождением накопленного напряжения, происходящим почти мгновенно по сравнению со временем накопления. Энергия, выделенная при освобождении напряжения, не имеет преимущественных масштабов. В соответствии с законом Гутенберга-Рихтера вероятностное распределение выделенной при землетрясениях энергии убывает степенным образом. Степенные распределения и автомодельные свойства сейсмичности типичны для систем, находящихся в критическом состоянии. Поэтому полагают, что процесс подготовки землетрясений порождается типичной системой с СОК.
Отсутствие выделенных масштабов, вообще говоря, свидетельствует о непредсказуемости системы [15]. Опираясь на закон Гутенберга-Рихтера, некоторые учёные утверждают, что прогноз землетрясений в принципе не возможен [16]. Гипотеза о непрогнози- руемости систем с СОК подтверждалась сравнительным анализом предсказуемости в различных моделях сейсмичности. В частности, известно, что события в модели БТВ практически не предсказуемы с помощью алгоритмов прогноза землетрясений, адаптированных к модельной динамике [17]. Таким образом, следует либо считать недостаточно обоснованными результаты прогноза землетрясений, либо поставить под сомнение самоорганизацию сейсмических процессов, либо уточнить гипотезу о непредсказуемости типичных систем с самоорганизованной критичностью.
Вопросы типичности и прогнозируемости модели БТВ неразрывно связаны с общей теорией этой модели. Её динамика определяется с помощью эволюционного оператора, действующего в подходящем топологическом пространстве [18]. Доказано существование стационарной точки этого оператора, интерпретируемой как критическое состояние. Сформулировано алгебраическое и комбинаторное описание конфигураций, т. е. точек фазового пространства, возникающих в критическом состоянии с положительной вероятностью. Установлено, что корреляционные функции на этих конфигурациях являются степенными. В некоторых случаях удаётся найти показатели степени [18]. Открытым остаётся вопрос о распределении событий по размерам, устойчивость которого относительно малых изменений модельных правил поддерживала бы тезис о типичности модели БТВ. Численный анализ свидетельствует о степенном распределении размеров событий в значительном диапазоне величин [19]. Описание «хвоста» этого распределения, универсальное относительно объема модельной системы, до сих пор неизвестно.
Задача о прогнозируемости систем с СОК теоретически сложна и исследуется эмпирически. Алгоритмы прогноза землетрясений, oc- нованные на повышении сейсмической активности перед сильными землетрясениями, фиксируют в модели БТВ определённое затишье (анти-активизацию), предшествующее крупным событиям. Влияние факта слабой прогнозируемости модели БТВ на исследователей оказалось столь большим, что он автоматически распространялся на её модификации без соответствующей проверки. Поэтому остаётся не ясным, затишье перед крупными событиями и их слабая предсказуемость — это свойства целого класса самоорганизованных критических систем, или характеристики конкретной модели, устраняемые малым изменением её правил.
Принципы прогноза землетрясений и методология, оценивающая эффективность прогноза, обладают определённой универсальностью и, потому, характеризуются широкой применимостью. Наиболее успешными, видимо, являются прогнозы результатов парламентских и президентских выборов [20], наступления рецессий в США [21] и роста преступности в российских регионах [22], тогда как прогноз финансовых крахов [23], несомненно, не столь эффективен.
Цель диссертационной работы — показать, что в рамках типичных систем с самоорганизованной критичностью существует модель сейсмического процесса, крупные события которой эффективно прогнозируемы с помощью адаптированных предвестников сильных землетрясений. Для достижения цели решаются следующие задачи.
-
Классифицировать модификации модели БТВ, получаемые из модели БТВ малым изменением правил, и обосновать, что модель БТВ не является типичной моделью с СОК.
-
Построить алгоритм прогноза, эффективно предсказывающий крупные события в модели БТВ, основываясь на предшествующем им затишье.
-
Модифицировать модель БТВ, с целью добиться эффективного прогноза крупных событий, основанного на аномальном увеличении активности событий средних масштабов. Показать существование временной неоднородности прогноза в моделях.
-
Оценить прогнозируемость последовательности предсказываемых событий по распределению времени между ними.
Направления исследования. Вопросы прогнозируемое в моделях с самоорганизованной критичностью принадлежат междисциплинарной области, включающей в себя ряд направлений математики, физики, информатики и экономики.
В работе исследованы теоретические аспекты прогнозируемости в математических моделях с самоорганизованной критичностью, отражающих основные свойства сейсмического процесса. К теоретическим аспектам относятся
вопросы прогнозируемое конкретных систем,
При анализе прогнозируемости конкретных систем был рассмотрен широкий класс изотропных моделей с самоорганизованной критичностью, одним из представителей которого является модель БТВ. Прогнозируемость обосновывается построением численных алгоритмов прогноза, эффективность которых оценивается в терминах ошибок первого и второго рода. Для проверки типичности моделей исследуются распределения модельных событий по размерам и распределения напряжения по пространственному объёму системы.
Методы исследования. Работа выполнена с помощью эмпирических и теоретических методов исследования, характерных для сложных систем с большим числом степеней свободы. Модельная динамика реализована с помощью компьютерного моделирования. Достоверность результатов подтверждается стандартными статистическими тестами.
На защиту выносятся следующие результаты.
-
-
Построена математическая модель с СОК, близкая к модели Бака-Танга-Визенфельда, в которой существует эффективный прогноз крупных событий, основанный на увеличении активности событий средних масштабов.
-
Показано, что прогнозируемость построенной модельной системы неоднородна по времени.
-
Классифицированы основанные на механизме БТВ изотропные модели с СОК без диссипации распространения напряжения.
Разработан численный алгоритм, прогнозирующий крупные события в моделях с достаточно высокой эффективностью.
-
-
Найдена нормировка крупных событий в модели БТВ относительно объёма модельной системы.
-
Подтверждена универсальность методологии прогноза землетрясений. Оценена прогнозируемость последовательности крахов на фондовых рынках.
Научная новизна и практическая значимость. Впервые показано, что
модель БТВ и её простейшие модификации обладают эффективной предсказуемостью, основанной на затишье;
жения в модель БТВ имеет место активизационный сценарий крупных модельных событий, позволяющий их прогнозировать с высокой эффективностью.
Эффективность прогноза крупных событий в модели БТВ и её модификациях, полученная в диссертационной работе, принципиально выше, чем в предыдущих исследованиях. Этот результат достигнут по следующим причинам.
-
-
Известные к настоящему времени результаты прогноза в модели БТВ получены при сравнительном анализе предсказуемости различных моделей с помощью конкретных предвестников. В диссертационной работе при построении алгоритма прогноза используется близкий предвестник, оптимизированный непосредственно для модели БТВ, что позволяет получить более эффективный прогноз.
-
В диссертации разработан новый, более эффективный алгоритм прогноза крупных событий в модели БТВ, основанный на пространственной кластеризации напряжений.
-
Показано, что (в определённом смысле) малые изменения правил модели БТВ, не нарушающие СОК, существенно повышают предсказуемость крупных событий в получающихся моделях.
-
Введение в модель БТВ нелинейной диссипации при распространении напряжений изменяет прогнозируемость качественно: адаптированные алгоритмы прогноза землетрясений фиксируют увеличение событий средних размеров перед крупными событиями, а не уменьшение, как в модели БТВ.
Для существования эффективного прогноза важно, что изучаемые модели осуществляют колебания вокруг критической точки. Установлено, что вариация предсказуемости чувствительна к суммарному напряжению, накопленному системой. Показано, что эффективный прогноз землетрясений в реальном времени не противоречит самоорганизованной критичности сейсмического процесса. Однако качество прогноза землетрясений может ухудшаться без адаптивной коррекции алгоритмов, поскольку модели с СОК допускают перестройку квази-стационарных режимов.
В диссертации оценена предсказуемость последовательности финансовых крахов. Предшествующие работы [23] стремились предсказать наступление крахов, обосновывая эффективность своих методов сравнением с результатом случайного прогноза. В настоящей работе предсказуемость впервые рассматривается как свойство исследуемых финансовых рядов. Анализ последовательности крахов (игнорирующий остальные данные временного ряда) даёт грубую оценку предсказуемости временных рядов и устанавливает границу эффективности, которую должен превзойти любой алгоритм прогноза, претендующий на практическое внедрение.
Апробация работы. Научно-исследовательская работа по теме диссертации включена в план исследований Международного института теории землетрясений и математической геофизики РАН (МНТП РАН). Работа проведена при поддержке РФФИ (гранты 05- 05-64384-а, 08-05-00215-а, 11-01-00887-а, 11-06-00278-а) и в рамках Программы JY9 13 Президиума РАН «Изменения окружающей среды и климата: природные катастрофы». Результаты исследования обсуждались на международных форумах: 23d International Conference on Mathematical Geophysics «Extreme Earth Events» (Франция, 2000), European Geophysical Union General Assembly (Австрия, 2007), конференции им. И. Г. Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Россия, 2007), конференции «Extreme events: causes and consequences» (Франция, 2008).
Автор неоднократно докладывал результаты работы на научно- исследовательских семинарах МИТП РАН, механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, ИПМ им. Келдыша РАН.
Публикации. Содержание диссертации отражено в опубликованных двадцати работах (16 — в журналах, входящих в Перечень ВАК), список которых приведён в заключении. Все результаты, полученные за время совместной работы с М. Г. Шнирманом, включены в диссертацию с его согласия и одобрения.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка, включающего 162 наименования, и одного приложения. Работа изложена на 199 страницах, содержит 49 рисунков и 3 таблицы.
Иерархические модели разрушения
Первая глава диссертации представляет классические модели сейсмичности с самоогранизующейся критичностью. Автор не ставит перед собой цели перечислить свойства всех моделей. Для детального изучения различных моделей и качественного сравнения их свойств целесообразно обратиться к подробным обзорам (например, к книгам [121, 133, 144, 150]). Цель раздела 1.1 — напомнить идеи, лежащие в основе разных подходов к моделированию процесса формирования землетрясений. Обсуждаются блоковые модели, описывающие динамику прерывистого скольжения (stick-slip process, раздел 1.1.1), модели взаимодействия фрактальных поверхностей (self-affine asperity model, раздел 1.1.2), модель рвущихся волокон (fiber bundle, раздел 1.1.3), иерархические модели разрушения (раздел 1.1.4) и модель образования кластеров (раздел 1.1.5).
Далее, в разделе 1.2 рассмотрена модель БТВ [42] — первый модельный пример самоорганизованной критической системы. Эта модель лежит в основе диссертационного исследования. Она полностью определена в разделе 1.2.1. Вероятностное распределение размеров модельных событий исследовано в разделах 1.2.2и 1.2.3. В разделе 1.2.2 изучена степенная часть этого распределения и оценён показатель степени. В разделе 1.2.3 сформу лирована и решена задача универсальной нормировки модельных событий, лежащих вне диапазона степенного распределения, относительно длины решётки.
Типичным примером модели блоков и пружин является введённое Карлсон и Лангером [58] обобщение модели Барриджа-Кнопова [55]. Рассматривается система L блоков одинаковой массы т, расположенная на шероховатой платформе (рис. 1.1, слева). Соседние блоки соединены между собой пружиной, коэффициент упругости которой равен кс. Кроме того, блоки прикреплены к пластине (расположенной параллельно платформе). Пластина медленно движется со скоростью v. При движении возникает сила трения U со стороны платформы, действующая на блоки. Создаваемое таким образом медленное нагружение блоков интерпретируется как деформация тектонических плит вдали от области их контакта [58].
Схема блоковой модели (слева); типичная сила трения U (справа). Если скорость пластины равна нулю, то блоки находятся в равновесии на некотором расстоянии друг от друга. Во время движения позиция каждого блока описывается относительным отклонением Xj его центра от равновесного положения. Тогда отклонение Xj, j = 2,..., L — 1, удовлетворяет уравнению Xj = kc(xj+i — 2XJ + Xj-i) — kp(xj — vt) — U(ij), (1.1) где коэффициент кр 0 определяется силой, действующей на блоки со стороны движущейся пластины, х — производная х по времени.
Чтобы уравнение (1.1) имело смысл для крайних блоков (j = 1, j = L), полагают xo(i) = xi+i(t) = 0. Начальные значения Xj(0) определяются как малое возмущение равновесного расположения блоков. Их начальные скорости Xj(0) также предполагаются малыми. Трение U(x) предполагается убывающим по своему аргументу. Типичная функция U изображена на рис. 1.1 справа. Непрерывный аналог уравнения (1.1) х = х" — х + vt — U(x) интерпретируется как уравнение относительного движения двух разломов (для простоты выбраны кс = кр = 1).
Если бы трение отсутствовало, то блоки находились бы в постоянном движении. Нетривиальное трение обеспечивает скольжение блоков с остановками. Скольжение начинается, когда сила со стороны пластины превосходит силу трения. При скольжении блока сила, действующая на него, со стороны пластины уменьшается. Скорость скольжения во время движения понижается из-за влияния соседних блоков, что приводит к увеличению силы трения и последующей остановке.
Событием (или модельным землетрясением) называют скольжение блоков. Размер s события — это полное перемещение за время скольжения: где а — это (одиниаковое) расстояние между центрами блоков. В этом случае система ведёт себя как один блок. Скольжение и остановки происходят синхронно.
Условие U 0 обеспечивает неустойчивость обоих тривиальных решений относительно возмущений начального равновесного положения блоков и их скоростей [58]. Возмущённые начальные условия приводят к сложному поведению блоков, которое схематично объясняется тем, что выделенная при скольжении энергия не передаётся через неподвижные блоки. Если один блок совершил скольжение, в то время как его соседи оставались неподвижными, то нагрузка на соседние блоки возрастает. Следовательно, увеличивается вероятность их совместного движения в ближайшем будущем. Аналогично, скольжение кластеров, состоящих из нескольких блоков, повышает вероятность последующего скольжения больших кластеров.
Влияние количества событий малых масштабов на появление полномасштабного события (события, при котором приходят в движение практически все блоки) определяется количественно. В статье [127] предвестник, используемый в [6] для прогноза землетрясений, адаптирован к модельной динамике. В качестве предвестника рассматривается количество событий, которые произошли в течение предыдущих w моментов времени и имеют размер, превышающий заданный порог. В соответствии с предложенным в [127] алгоритмом прогноза, если значение предвестника превосходит некоторое критическое значение, объявляется тревога (т. е. алгоритм прогнозирует полномасштабное событие). В результате предсказано 90% полномасштабных событий, тогда как тревоги занимают около 15% рас сматриваемой области пространства-времени.
Далее, в [127] предложен новый предвестник. Это количество скользящих блоков в пространственно-временном окне. Вновь тревога объявляется при превышении предвестником некоторого порогового значения. Результат прогноза оказывается ещё более эффективным. Успешный прогноз 90% полномасштабных событий имеет место при существенном уменьшении доли пространственно-временной области тревог с 15% до 8%.
Обобщённая модель Барриджа-Кнопова представляет самоорганизованную критическую систему [58]. Для неё характерен ясно определяемый сценарий полномасштабных событий, ведущий к исключительно эффективной прогнозируемости. Почти идеальная предсказуемость и отсутствие афтершоков свидетельствуют о несоответствии модельного процесса сейсмическому.
Ступенчатые плотности и модель БТВ
Определение семейств схематически изображено на рис. 2.4. Буква Z в имени модели обозначает, что неустойчивая клетка отдаёт все свои песчинки и её высота становится равной нулю, формула (2.1). Буква F означает, что неустойчивая клетка теряет фиксированное количество песчинок, в соответствии с (1.5). Символы 0, Н и НН символизируют дисперсию а2, количества пересыпаемых песчинок, которая примерно равна нулю, или пропорциональна Н и Н2 соответственно. Например, ZH-модели — это SP с потерями неустойчивых клеток, определяемыми по формуле (2.1), и а2 Н. Эти модели исследованы в [107].
Разумеется, значение дисперсии не определяет правила перераспределения песка однозначно. В этом исследовании при пересыпании v песчинок формула а2 « 0 достигается следующим образом. Каждый из четырёх «соседей» получает [V/4] (целая часть от и/А) или [v/A] + 1 песчинок. Чтобы среднее количество передаваемых песчинок оказалось равным г /4, число «соседей», получивших [ /4] + 1 песчинку должно быть равным { /4} (дробная часть от v/A). Разделение «соседей» на две группы происходит случайным образом с равной вероятностью. При выполнении указанных правил а2 = 0, если v делится на 4, и а2 не возрастает с ростом Н, если v на 4 не делится.
Пересыпание песчинок по одной, согласно (2.2), обеспечивает дисперсию, пропорциональную числу v раздаваемых песчинок. Действительно, в этом случае пересыпание является схемой Бернулли с вероятностью попадания песчинки в определённую клетку, равную 1/4. Тогда дисперсия количества песчинок, попавших в заданную клетку, а2 = z/(l/4)(3/4) = Зг
Для ZH-моделей с вероятностью, стремящейся к единице (при растущем Н), число передаваемых песчинок v имеет порядок Н, поэтому вновь выполнено (2.3).
Для получения дисперсии, пропорциональной v2 при пересыпании v песчинок, фиксируются три целых числа ii, %2 и гз из отрезка [0, v\ случайным образом (равновероятно). Пусть для определённости г і %2 ч. Тогда по определению левый, верхний, правый и нижний «соседи» получают іі, І2 — і\і Ч — Ч и v — iz песчинок СООТВЄСТВЄННО. Формула а2 v2 легко проверяется непосредственными вычислениями.
Графики повторяемости. Следуя общей идеологии изучения моделей песка, нужно построить распределение событий по размерам для введённых моделей. Согласно рис. 2.5, только FO-модели обладают интегральным распределением, совпадающим с аналогичным распределением модели БТВ. Остальные распределения удовлетворяют степенному закону, характерному для модели Манна. Возможно, некоторым исключением является случай FH-модели для Н = 10 000. Ему будет уделено специальное внимание позднее.
Локально интегральное распределение размеров. ратичное отклонение а/Н стремится к нулю, если и = д(Н). С другой стороны, наибольшее возможное среднеквадратичное отклонение во время симметричного в среднем пересыпания пропорционально Н. Рассматриваемые семейства покрывают обе возмножности.
Среднее количество песчинок решётки (средняя высота, в некоторых работах—плотность), hit), осцилирует вокруг некоторого значения hi, когда система попадает в критическое состоятие. Можно считать, что hi, стремятся к числу /іоо ПРИ L — оо. Для модели БТВ это предположение проверено и установлено, что /г «2.11 [32]. В статье [59] указано значение 2.12 для hoo. Незначительное расхождение обусловлено тем, что в работе [59] новые песчинки добавляются только в центральную часть решётки. Амплитуда колебаний вокруг значения hi, убывает степенным образом (по L) при L — оо [32]. Следовательно, большие отклонения средней высоты от числа hi с течением времени, вообще говоря, могут возникать, но происходит это крайне редко.
Под значением средней высоты в некоторый момент времени, подразумевается значение в конце каждого момента времени (когда появляется устойчивая конфигурация). Исключением являются исследования [48,103]. В них изучены модели SP с точки зрения динамических систем, у которых единицей времени является переход от одной конфигурации к другой, не важно, устойчивой или неустойчивой.
В модели БТВ существует всего четыре различных значения высот hl3. Точные значения вероятностей принять эти значения для htJ вычислены в работе [131]. Для остальных исследованных моделей SP известны только численно найденные распределения [107].
Для любого фиксированного Н допустимые значения htJ равны 0, 1, ..., Н — 1. Чтобы сравнивать между собой распределения высот при различных Н, значения h%3 необходимо нормировать. Пусть Нгзн равно hl3/H для всех клеток (i,j) Є ZL- Тогда
Вероятностное распределение высот для моделей, неустойчивые клетки которых теряют все свои песчинки. Точки с рн = 0 пропущены. Вертикальная ось не нормирована в отличие от последующих рисунков.
Можно считать, что существует слабая зависимость распределения высот от момента времени, в который оно вычислено. Чтобы избежать ошибки, следует осреднить найденное распределение по нескольким вычислениям (фиксированы четыре далёких друг от друга момента времени). Обозначение PH{Z) сохраняется для осреднения.
В статье [107] исследовано вероятностное распределение высот для ZH-моделей и зафиксировано появление пиков. Согласно [107], вероятностное распределение высот при Н — оо стремится к функции, определённой в четырёх точках. Пики заметны уже при Н — 100, рис. 2.6. Согласно [107], четыре пика отчётливо видны, когда Н имеет порядок десяти тысяч. Вероятностное распределение высот, состоящее из тех же четырёх пиков известно для модели Чанга [162]. Модель Чанга —это пример непрерывной модели SP. Устойчивая конфигурация в модели состоит из высот h{j, которые удовлетворяют неравенству 0 hij 1. В каждый момент времени наугад выбранная клетка (г, j) увеличивает свою высоту Кц на некоторое фиксированное 5 0. Превышение порога, равного единице (h 1), порождает пересыпание песка. Неустойчивая клетка теряет весь свой песок, который пересыпается в равных долях четырём соседним клеткам.
Естественно установить соответствие между моделью Чанга и дискретными моделями, в которых неустойчивая клетка теряет все свои песчинки, например, с ZH-моделями. Дискретные модели зависят от двух параметров: порогового значения Н и количества падающих песчинок в каждый момент времени, которое равно единице. На самом деле, имеет значение только отношение этих параметров. Поэтому деление параметров на Н даёт соответствие между моделями: пороги в обоих случаях оказываются равными единице, а нормированное количество добавляемых песчинок, 1/Н, соответствует числу 5. Однако для ZH-моделей соответствие не является полным. В отличие от «кучи песка» Чанга, неустойчивая клетка пересыпает «соседям» свой песок поровну только в среднем. Поэтому наилучшее соответствие с «кучей песка» Чанга может быть установлено для ZO-моделей, у которых дисперсия пересыпания близка к нулю. Соответствие ZO-моделей и модели Чанга обеспечивает быструю (по Н) сходимость распределений для ZO-моделей к четырём пикам модели Чанга, рис. 2.6. Уже при Н = 100 носитель функции р# близок к четырём точкам.
Причины эффективности предвестников
Аномальное затишье при успешном прогнозе. Рис. 3.5 подтверждает, что предвестник \Pz объявляет тревогу при некотором уменьшении количества предцелевых землетрясений, так как «точки» на рис. 3.5 лежат ниже сплошной линии. С другой стороны, «точки» расположены вблизи «кругов». Значит, количество предцелевых событий во время тревог близко к их количеству перед целевыми событиями, то есть механизм прогноза в среднем функционирует надлежащим образом. Однако алгоритм предсказывает события, если предцелевых событий не просто мало, а аномально мало («плюсы» расположены ниже «кругов», а самых правых «плюсов» настолько мало, что они вообще не попали на рисунок). Очевидно, существует противоположное отклонение от среднего: перед целевыми событиями затишье не наблюдается. В этих случаях алгоритмы прогноза не смогут предсказать модельные землетрясения.
Проведённый анализ показывает, что самые крупные события обладают наилучшей предсказуемостью. Однако, из-за их редкого появления возникает вопрос о достоверности результатов. Чтобы проверить устойчивость прогноза, естественно изобразить для исследуемого каталога Kj неявную зависимость п(Ф ) от т{Ф ) при различных критических значениях \Р предвестника \Р, где Ф = дг, # , &z- Соответствующий график называется диаграммой ошибок или (п, т)-диаграммой [12].
Диаграмма ошибок для трёх предвестников; Т = 20 (а), Т = 220 (Ь). Значения остальных параметров алгоритма приведены в таб. 3.2. Закрашенные символы показывают результат (п, т) прогноза в реальном времени, для которого п+т приведено на предыдущем рисунке.
Тем самым, согласно рис. 3.5, исследуются крупнейшие события каталога. Диаграмма ошибок показывает, в частности, наименьшее значение є (то) для целевых событий с т то каталога Kj. Это значение может не совпадать с суммарной ошибокй , приведенной на рис. 3.3 в качестве результата прогноза. Действительно, (1) настройка предвестников проводилась на другом («учебном») каталоге, и (2) при настройке проводилась оптимизация взвешенной суммы а (то), а не конкретного значения (5.90). Больше того, магнитуда 5.90 не принадлежит интервалу магни-туд, на котором проводилась оптимизация (шо), см. раздел 3.2.
Диаграмма ошибок показана на рис. 3.6. Оказывается, что полученные при применении алгоритма значения є = п + т совпадают с наилучшими для данного каталога или близки к ним. Например, для предвестника $ результат прогноза определяется парой п = 0.28, г = 0.20, в то время как наилучшее возможное значение є = 0.47. Значения п + т при переменных значениях аргумента \Р мало меняются на значительном множестве пар (п, т), для которых п Є [0.18,0.40]. Это свидетельствует об устойчивости потерь.
Ложные тревоги. При анализе сейсмичности имеет смысл рассматривать алгоритмы прогноза с малым количеством ложных тревог [117]. В таблице 3.1 указана доля ложных тревог ф (относительно всех тревог), соответствующих предвестнику $ , вместе со значениями пит для w = 150, Т = 220. В реальности такой результат был бы, видимо, недостаточен.
Однако количество ложных тревог не было критерием эффективности алгоритма и, потому, не использовалось при настройки параметров прогноза. Поэтому количество ложных тревог, вероятно, может быть уменьшено.
Параметры предвестников Численные значения параметров предвестников указаны в таблице 3.2. Значения т_, приведенные в двух нижних строках таблицы велики, так что предвестники $лг и 4fj) используют информацию только о достаточно крупных (и, потому, редких) предцелевых событиях.
Значение 7 Для предвестника &z подбирается, несмотря на то, что в первых работах по алгоритму М8 значение этого параметра фиксировалось из физических соображений [93, 100]. Возможное определение ([93], см. также [94]) 7 = 2(6+ 1)/3, где Ъ — наклон обычного (некумулятивного) графика повторяемости, который отличается на единицу от Ъ. Интересно,
Оказывается, что при найденных значениях параметров предвестников, сумма ошибок є уменьшается с уменьшением Т. На рис. 3.3 прогноз соответствует значению Т = 20. Дальнейшее уменьшение Т оправдано для каталога Kj = K(a,J,L) с т = 0. Однако эффектиность прогноза при этом практически не улучшается.
Алгоритм прогноза крупных событий в модификации модели Манна, описанный в разделах 3.1-3.4, основан на адаптации предвестников реальных землетрясений. Повышение эффективности прогноза, вероятно, возможно с помощью предвестников, связанных непосредственно с модельной динамикой. В статье [136] для прогноза синтетических землетрясений в модели БТВ использованы два предвестника: высота кучи песка, лежащей на решётке, и кластеризация локально высоких куч. В настоящем разделе эти предвестники применяются к модификации модели Манна, чтобы оценить, насколько улучшится прогноз в этой модели по сравнению с разделом 3.4.
Для понимания причин предсказуемости крупных событий в моделях SP будет проведён сравнительный анализ эффективности алгоритмов прогноза в нескольких модификациях модели Манна и в модели БТВ. Модификации модели Манна принадлежат семейству FH моделей раздела 2.3. В этих моделях клетки становятся неустойчивыми, если они содержат Н или более песчинок. Неустойчивые клетки пересыпают (фиксированное количество) Н песчинок соседним клеткам стохастически, так что пересыпание оказывается пространственно симметричным в среднем. Рассматриваются модификации модели Манна с Н, равным 2, 3 и 5.
Изложение результатов проводится в соответствии со стандартной схеме (используемой в разделах 3.1-3.4). Это —закон повторяемости событий (раздел 3.5.1), точное определение предвестников (раздел 3.5.2) и эффективность прогноза (раздел 3.5.3).
Пусть Fc(s) —дополнительная выборочная функция распределения синтетических землетрясений. Другими словами, Fc(s) — доля событий каталога, имеющих размер, больший или равный s. Как и в разделе 3.3, использован каталог K(a:J,L). В него входят события, произошедшие на временном множестве J = [106, 2 106) и имеющие размер s а = 102-6. Длина решётки L равна 256.
Рис. 3.7а согласуется со сделанным ранее наблюдением: законы повторяемости событий в моделях БТВ и Манна различные, но одинаковые в рассматриваемых простых модификациях модели Манна. Целевые события расположены в правой части графика повторяемости, на его загибе вниз. Эта часть графика увеличена и представлена на рис. 3.7Ь.
Качественные свойства семейства моделей
В этой главе рассматривается приложение теории прогноза к последовательности сильных землетрясений и к последовательности фондовых крахов. Совместное изучение этих двух, казалось бы далеких друг от друга приложений, оправдано, поскольку соответствующие каталоги данных достаточно точны и представительны, а статистические свойства каталогов в обоих приложениях описываются с помощью степенных распределений и законов подобия [148]. Естественно, финансовые ряды не имеют пространственных координат. Исследование о прогнозе крахов находится в стадии выделения предвестников, появление которых статистически значимо согласуется с последующим наступлением кризисов.
Многочисленные статьи свидетельствуют, что последовательность сильных землетрясений является неслучайной [146]. Алгоритмы прогноза, основанные на распределении времени между предсказываемыми землетрясениями, частично эффективны [122, 157]. Аналогично, для многих финансовых временных рядов распределение времени между крупными падениями ряда согласуется скорее со степенными распределениями или распределением Вейбулла, чем с пуассоновским [90, 112, 132]. Насколько известно автору, прогноз крахов, использующий распределение времени между ними, ранее не публиковался.
В этой главе найдена аналитически наилучшая достижимая эффективность прогноза при заданном коэффициенте вариации распределения времени между целевыми событиями. Далее, численно анализируется последовательности крахов наиболее значимых фондовых индексов. Обосновано, что предсказуемость крахов, оценённая в терминах пит,— это универсальное свойство многих крупных фондовых индексов.
Чтобы уменьшить зависимость наблюдаемой прогнозируемости крахов от величины колебаний индекса на предшествующих крахам интервалах, вводится доходность индексов, нормированная волатильностью. Показано, что чем весомее вклад волатильности в определение краха, тем существен
Стратегии. Как показано в главе 3, произвольный алгоритм прогноза разделяет временную ось на два непересекающихся множества, которые естественно обозначить 1оп и I0ff, на которых объявлена и, соответственно, не объявлена тревога. Выбор множества /огг естественным образом записывается как задача оптимизации, если алгоритму прогноза поставить в соответствие функцию u(t) Є [0,1], которую называют стратегией. Пусть равенство u(t) = 1 означает, что тревога объявлена в момент времени t, так что t Є Ion- Напротив, равенство u(t) = О означает, что t Ion- Вообще говоря, дробные значение и(і) Є (0,1) также имеют смысл. Они соответствуют вероятностному объявлению тревог. Полагают, что t лежит в множестве 1оп с вероятностью u(t). Такое вероятностное определение множества Ion согласуется с двумя детерминированными случаями u{t) = 0 и u(t) = 1.
Ожидаемые потери. Пусть распределение времени между целевыми событиями задано плотностью вероятности /. Тогда для произвольных заданных функций u(t) и f(t) вычисляется ожидаемые потери є, обозначаемые Мє. Для простоты вычислений, пусть момент времени 0 соответствует целевому событию каталога. Тогда следующее целевое событие произошло в [t, t + dt], где dt мало, с вероятностью Р { Є [t, t + dt]} — f(t)dt. Оно не предсказано с вероятностью 1 — u(t), так как, согласно определению стратегии u(t), именно с этой вероятностью тревога в t не объявлена. Тогда
Чтобы вычислить среднее значение т, необходимо заметить, что интервал [t, t + dt] увеличивает продолжительность тревог на dt, если (і) на интервале [0, t) целевые события не происходят (т. е. t) и (іі) тревога объявлена в t (т. е. t Є Ion)- Вероятность этих условий равна Fc(t)u(t), где Fc(t) = Р{ t] — это дополнительная функция распределения of .
Оптимизация по и. Для точной формулировки задачи оптимизации необходимо определить интеграл в (5.3) и указать множество допустимых функций u(t). Интеграл определён корректно, если (i) f(t)dt — это вероятностная мера и (іі) допустимые стратегии и(t) измеримы относительно сг-алгебры, индуцированной этой мерой. Детали введения вероятностного пространства здесь опущены.
Необходимо упомянуть, что оптимальная стратегия й описывается в терминах интенсивности отказов (англ. hazard rate) Л (і) = f{t)/Fc{t) (хорошо известно, что \{t)dt задаёт вероятность отказа устройство в течение интервала [t, t-\-dt], проработавшего t единиц времени). Условие Fc(t)/ \i—f it) 0 эквивалентно неравенству \(t) 1//І. Таким образом, тревога объявлена, если вероятность отказа высока.
Как известно, коэффициент вариации а случайной величины — это отношение её стандартного отклонения а к среднему /л, а = сг/ц. Согласно [116], коэффициент вариации оценивает є для часто наблюдаемых случайных величин . Например, периодические целевые события имеют плотность, описываемую дельта-функцией (в этом случае = const). Тогда (7ц = 0. Так как периодические целевые событие допускают точный прогноз, то потери є этого прогноза также равны 0.
Другой крайний случай прогнозируемости — полная непредсказуемость. Ему соответствует экспоненциальная плотность f(t) = е /м//і, \і 0, случайной величины . Тогда элементарные вычисления показывают, что (Гц = 1. Согласно [12], в этом случае є также равно 1. Таким образом, вновь є = (Гц. Если имеет гамма, лог-нормальное, или распределение Вейбулла с тм Є [0.25,0.6] (сейсмологи утверждают, что такие распределения наблюдаются в различных региона мира [122]) то є незначительно меньше, чем a ft, см. [116].
Однако в общем случае прямое сравнение ам и є некорректно, что показывает следующий элементарный пример. Пусть распределение является двухточечным: для некоторого а 1 значения s и as принимаются с равными вероятностями. Тогда аЙ = (а — 1)/(а -\-1) принимает все значения из промежутка (0,1), а є по прежнему равно нулю Va.
Однако этот пример, в отличие от упомянутых выше распределений, сейсмически не мотивирован. Наблюдаемые распределения (во многих случаях) обладают достаточно малыми значениями плотности при малых t (так что тревога по правилу (5.4) не объявляется) и относительно боль
Похожие диссертации на Вопросы прогнозируемости в изотропных моделях с самоорганизованной критичностью
-
-
-
