Содержание к диссертации
Введение
1 Базовая модель для оптимизации банковской деятельности 15
1.1 Постановка задачи оптимизации активов 15
1.2 Итерационный метод решения задачи 19
1.3 Конечный метод решения задачи 20
1.3.1 Рентабельности клиентов малы 20
1.3.2 Рентабельности предприятий-клиентов велики: с0 < ai 21
1.3.3 Третий случай соотношения величин с0 и щ (г = 1,-,Л0 27
1.3.4 Экспериментальные расчеты 29
1.4 Устойчивость решения задачи оптимизации активов банка. 32
1.4.1 Описание алгоритма 33
1.4.2 Экспериментальные расчеты 37
2 Итерационный процесс, моделирующий банковскую деятельность 38
2.1 К вопросу об определении объема начального капитала банка 39
2.1.1 Постановка задачи 39
2.1.2 Алгоритмы решения задачи 41
2.2 Модели оптимизации пассивов 45
2.2.1 Модель для банка - монополиста 45
2.2.2 Учет конкуренции в модели оптимизации пассивов. 51
2.3 Модель оптимизации активов нового для рынка
кредиторов банка 54
3 Зависимость ставки процента от объема кредита и другие примеры модификации базовой модели 62
3.1 Задача с двумя ставками 63
3.1.1 Экспериментальные расчеты 66
3.2 Влияние изменения S на величины ХІ (І Є /і), F(y) и у 67
3.3 Задача с двумя ставками. Поиск наилучшего разбиения множества in 71
3.4 Адаптация базовой модели к некоторым дополнительным требованиям реальной экономики 75
Заключение 87
Литература
- Итерационный метод решения задачи
- Рентабельности предприятий-клиентов велики: с0 < ai
- Алгоритмы решения задачи
- Влияние изменения S на величины ХІ (І Є /і), F(y) и у
Введение к работе
Жесткая конкуренция на рынке банковских услуг заставляет менеджеров искать новые источники роста и разрабатывать эффективные инструменты управления. Одним из таких решений является использование математического инструментария для получения информации, на основе которой будут приниматься управленческие решения.
Одна из первых математических работ, посвященных моделированию банковской деятельности, статья Эджворта, была опубликована еще в конце XIX века [67]. С каждым годом работ в этой области становится больше, а используемый математический аппарат все разнообразнее и шире. Эти работы можно структурировать по следующим двум критериям.
I. По математическому аппарату, используемому при исследовании.
Математический арсенал используемый для моделирования банковской деятельности весьма обширен и разнообразен. К наиболее часто используемым инструментам относится аппарат теории вероятности и математической статистики. Использование этого инструментария обусловлено случайной природой большинства параметров и операций банковской деятельности. Так, в [9] рассмотрены вопросы оптимизации инвестиционной деятельности банка на (В, S) - рынке [48], [59] с привлечением и без привлечения пассивов. В [20] предложен новый вариант вычисления оценки вероятности разорения страховой компании, сочетающей в себе функции банка.
В [10] рассматриваются различные формы расчета ставки процента для срочных вкладов и вкладов в высоколиквидные облигации. Различные подходы к моделированию банковской деятельности аппаратом теории вероятности и математической статистики также представлены в [1], [3], [4], [13], [15], [33].
По существу функционирование коммерческого банка непрерывно. Но в тоже время интервалы отчетности дискретны (операционный день, месяц, год, и т.д.). Это обстоятельство дает возможность описывать как отдельные процессы банковской деятельности так и функционирование банка в целом аппаратом математического программирования. Наиболее часто используемым разделом математического программирования является линейное программирование. В большинстве моделей линейного программирования критерием оптимальности является доходность, которая, обычно, выражается в виде целевой функции сх — max!, где с - вектор доходности проектов, а х - вектор объемов вложений в различные проекты. При этом в системе ограничений вида:
Ах Ъ; х 0 указываются желаемые пропорции в структуре активов и требование на знак переменных. Так, в [18] достаточно подробно описан финансовый анализ банковской деятельности; построены оптимизационные модели описывающие широкий спектр банковских услуг. Также представлены динамические варианты предложенных моделей, которые более точно описывают банковскую деятельность. И наконец проделана адаптация предложенных моделей к реальным условиям и требованиям, предъявляемых Центральным Банком РФ и невидимыми законами рынка. Далее эти вопросы получили развитие в работах [12], [17], [19], [52], [53], [54], [55].
В зарубежной литературе этой области посвящено достаточно много работ. При этом, в работах используются все разделы математического программирования: от линейного до многокритериального и стохастического. Так в [81] рассмотрена стохастическая модель хеджирования банковской деятельности в условиях, когда параметры депозитов, вкладов, фьючерсных контрактов, ставки процента являются случайными величинами. В [73] предложена многокритериальная задача математического программирования учитывающая несколько конкурирующих между собой целей. Этой области также посвящены [64], [65], [66], [71], [79].
Кроме этих инструментов для моделирования банковской деятельности активно используется аппарат теории оптимального управления [28], [29], [30], [31], теории игр и т.д.
Также нужно заметить, что с развитием вычислительной техники, которая все больше и больше используется в научных исследованиях, появляются математические модели с программными реализациями, что существенно облегчает использование моделей для широкого круга пользователей. В [82] описана система BANKADVISER, построенная по методологии PROMETHEE. В российской литературе представлены следующие работы [8], [22], [23]. Небольшое число работ в этой области объясняется сложностью банка как системы [85], зависящей, в частности, от динамичности, значительного числа активов и пассивов и наличия достаточно большого количества экономических ограничений в виде правовых нормативов и неписанных рыночных законов [21], [32], [51].
II. По видам банковских операций, описанных в работах.
1. Получение максимальных процентных доходов по всем видам выданных кредитов. Важность сотрудничества предприятий и банков уже давно осознана и не требует дополнительного обоснования. На сегодняшний день практически любой проект по созданию нового предприятия не обходится без частичного или полного кредитования банками. Более того, банки активно предоставляют средства действующим предприятиям для модернизации производства и замены старого оборудования. При этом важной задачей для банковского менеджмента является грамотное управление активами. Другими словами, менеджерам банков нужно постоянно оптимизировать структуру кредитного портфеля для получения максимальной прибыли, а также оценивать экономическую целесообразность и рискованность отдельных активных операций.
Так, в [24] рассматривались случаи взаимного кредитования предприятий между собой и сравнивались результаты со случаем, когда предприятия кредитуются банком. Показано, что кредит банка является более предпочтительным для предприятия.
В монографии [16] поставлена задача оптимизации банковских активов. Предлагается имеющийся капитал банка распределить между несколькими видами активов (таких как : акции, кредиты физическим и юридическим лицам и т.д.).
В [31] предлагается динамическая модель взаимодействия предприятий в составе корпоративной финансово-промышленной структуры с вертикальной интеграцией, где банк занимает доминирующее положение. В результате получено, что при выполнении определенных условий каждое предприятие получает максимальный гарантированный выигрыш, превышающий аналогичный выигрыш при независимой деятельности. Подробное рассмотрение взаимодействия предприятий и банков отражено в [17], [18], [19], [52] - [54].
В зарубежной литературе эта область получила развитие в [64], [67], [69], [70], [76], [77].
2. Изменение рыночных стоимостей портфелей ценных бумаг. Сегодня цены на ценные бумаги меняются каждый день. В связи с чем владельцам финансовых портфелей, в том числе и банкам, постоянно приходится корректировать структуру своих портфелей в зависимости от тенденций происходящих на финансовых рынках. Проблеме оптимизации именно банковских портфелей посвящены следующие работы [9], [12], [20], [25], [28], [29], [30], [33], [78], [80].
3. Выплата процентов по привлеченным средствам всех видов.
Прежде чем вложить средства в какие-либо активы, нужно эти средства привлечь. При этом нужно учитывать соотношение между расходами на привлечение средств и доходами, которые можно получить от вложения этих средств в ссуды, ценные бумаги и другие активы. Некоторые аспекты процесса привлечения вкладов "до востребования "рассмотрены в [13]. Здесь поведение вкладчика, т.е. будут ли востребованы средства владельцем вклада или нет, рассматривается как случайная величина с Пуассоновской функцией распределения.
4- Рационирование кредита. В условиях нестабильности на рынке кредитных услуг возникает очень большая вероятность неполноты, асимметрии и неоднородности информации, которой обладают действующие на рынке агенты. Следствием чего может стать большая доля невозвратов по кредитам. Одним из способов уменьшения риска подобного рода является рационирование кредита. Оно заключается в том, что банки устанавливают ставку процента на таком уровне, что почти всегда существует избыточный спрос на кредит. Первые фундаментальные результаты в этой области были получены Д. Ходгманом [74]. Он же ввел понятие надежности кредита как отношение ожидаемого возврата по кредитам к ожидаемым потерям от неплатежей. Дальнейшее развитие эта тема получила в работах [4], [50], [61], [62], [63], [72], [75], [83], Щ, [87].
Также, заметим, что одним из важных направлений является моделирование функционирования центральных банков. После 1990 года в российской экономической литературе появилось очень большое количество работ с описанием поведения Центрального Банка РФ, да и всей банковской системы в целом, в посткризисный период и предложениями по улучшению их деятельности [2], [34], [49], [56], [57], [58]. К сожалению среди них очень мало работ основанных на использовании математического аппарата для изучения различных стратегий Центрального Банка [11].
В зарубежной литературе математические модели центральных банков появились значительно раньше [68], [84]. Эти модели ориентированы на опыт западных стран и, прежде всего, США.
Основные принципы построения модели функционирования банка в данной работе.
При разработке математических моделей описывающих поведение некоторых экономических объектов, по нашему мнению, необходимо учитывать следующий минимальный набор требований:
1. Существование эффективных методов решения возникающих задач. При построении математических моделей разработчики стараются как можно точнее описать реальную экономическую картину. При этом, как правило, чем точнее модель описывает реальный процесс, тем сложнее решать возникающую математическую задачу. Можно построить модели которые максимально точно имитируют моделируемый объект, но на сегодняшний день нет эффективных методов решения таких задач. Поэтому, мы считаем, модели должны строиться с учетом существующего математического инструментария.
2. Устойчивость полученных результатов к изменениям внешних параметров. Введя в модель исходные данные мы получаем некоторое оптимальное решение. Но динамичность экономических процессов и изменчивость их параметров, а следовательно, неточность исходных данных, могут привести к тому, что модель выдаст неоптимальное решение. Поэтому в моделях должны быть некоторые рычаги управления и страхования возможными рисками.
3. Доступность данных, используемых в моделях. В экономико-математической литературе часто пользуются обобщенными и абстрактными величинами. Такими как гудвил, полезность и т.д. С такими величинами удобно строить модели, но при проведении экспериментов трудно выразить точное численное значение этих величин. Поэтому при построении моделей рекомендуется использовать доступные данные.
4. Адекватность моделей к реальным условиям. В моделях должны быть максимально учтены реальные экономические условия. Одним из таких условий является учет конкуренции: любой субъект экономики характеризуется своими внутренними и внешними связями с другими субъектами и очень часто интересы отдельных субъектов тесно переплетаются с интересами других субъектов.
5. Модели должны обладать адаптивными свойствами [5], т.е. обладать способностью к оперативному учету новых факторов. Это свойство моделей чрезвычайно важно, так как ни какая модель, как правило, не может быть применена к решению конкретных задач в стандартной форме.
Формирование наиболее прибыльного кредитного портфеля является одним из важнейших задач для различных банков. Эффективным инструментом для решения этой задачи является ссудная ставка процента. Определение оптимальной ссудной ставки процента тоже является не менее сложной и важной задачей. В научной литературе эти две задачи решаются отдельно друг от друга. Настоящая работа посвящена актуальной проблеме разработки нелинейных математических моделей, позволяющих определять оптимальные ставки процента и компоненты портфеля банковских операций одновременно, и построению эффективных численных методов решения возникающих в этих моделях многоэкстремальных задач.
Апробации результатов.
Результаты диссертации были изложены на следующих конференциях: Всероссийская конференция "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 2003 г.); Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003г., Новосибирск, 2004 г.); Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2004-2005 гг.); Российская конференция "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2004 г.); XIII Байкальская международная школа семинар "Методы оптимизации и их приложения" и Всероссийская конференция "Равновесные модели в экономике и энергетике" (Иркутск-Северобайкальск, 2005 г.), Российская конференция "Математика в современном мире" (Новосибирск, 2007 г.).
Результаты работы обсуждались на семинарах математико-экономического отдела ИМ СО РАН, на семинаре отдела теоретической кибернетики ИМ СО РАН, на семинаре лаборатории вычислительной физики ИВМиМГ СО РАН, а также на общеинститутском математическом семинаре ИМ СО РАН.
Структура работы
Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения общим объемом 97 страниц. Список литературы содержит 87 наименований.
Во введении приводится краткий обзор результатов полученных российскими и зарубежными авторами в данной области. Обзор проводится по двум критериям: 1) по математическому аппарату, используемому при исследованиях; 2) по видам банковских операций, описываемых моделями.
Предлагается минимальный набор требований, которым должны удовлетворять не только банковские модели, но и модели описывающие поведение любого экономического субъекта.
Первая глава состоит из четырех разделов. В первом разделе строится модель оптимизации активов для банка-монополиста. При построении учитываются основная цель банковской деятельности -получение максимальной прибыли, в виде максимизируемой целевой функции, и требования предъявляемые коммерческим банкам со стороны Центрального Банка РФ в виде системы ограничений. В результате получили задачу математического программирования с нелинейными целевой функцией и ограничениями.
Bo-втором разделе описывается итерационный метод решения базовой задачи. Предлагается одной из неизвестных величин присвоить некоторое фиксированное значение. В результате базовая нелинейная задача становится линейной. Далее на каждой итерации изменяем значение фиксированной величины и решаем задачу заново. Проделав некоторое число итераций, можно выбрать наилучшее решение базовой задачи.
Третий раздел состоит из четырех пунктов. В этом параграфе изучается поведение функционала, обозначающего максимальную прибыль которую может получить банк, на разных интервалах. Выяснено, что функционал имеет кусочно-непрерывную структуру. Более того, определены точки в которых происходят разрывы. Опираясь на информацию, полученную при исследовании поведения функционала, предложен эффективный алгоритм решения базовой задачи. В четвертом пункте данного параграфа базовая модель апробируется на данных полученных из действующего коммерческого банка. Сравниваются результаты численного эксперимента с фактически полученной банком прибылью.
В четвертом разделе показано, что решение базовой задачи чувствительно к незначительным изменениям внешних параметров и предлагается алгоритм нахождения решения, устойчивого к подобным изменениям. В конце раздела приводятся результаты численных экспериментов.
Вторая глава состоит из трех разделов. В этой главе сделана попытка описать полный цикл банковской деятельности: начиная от нахождения оптимального стартового капитала, далее продолжая оптимизацией процесса привлечения средств и заканчивая оптимизацией процесса вложения привлеченных ранее средств в различные активы. Вопрос определения объема начального капитала для вновь создаваемого банка рассмотрен в первом разделе.
Bo-втором разделе рассматривается процесс привлечения вкладов клиентов. Раздел состоит из двух пунктов. В первом пункте строится модель, описывающая ситуацию, когда банк-монополист проводит политику привлечения средств, исходя из принципа минимизации выплат по обязательствам. Во втором пункте модель оптимизации пассивов дополняется новыми ограничениями, позволяющими учитывать конкуренцию между несколькими банками.
В третьем разделе изучается модель оптимизации активов для банка действующего на конкурентном рынке. В этом разделе базовая модель модифицируется за счет введения новых ограничений, которые позволяют учитывать дополнительные возможности клиентов и конкурирующих банков.
Третья глава состоит из четырех разделов. В отличии от первых двух глав в которых использовалась единая ставка процента, в первых трех разделах главы ставка процента рассматривается как кусочно постоянная функция от объема кредита.
В первом разделе решается модифицированная задача оптимизации активов со ставкой процента, принимающей два значения.
Во втором разделе исследован вопрос о влиянии изменений объема денежных средств банка, предназначенных для кредитования, на прибыль и оптимальное решение задачи.
В третьем разделе наряду с задачей нахождения двух значений ставок процента и величин кредитов, ставится задача оптимального разбиения множества потенциальных заемщиков на два подмножества, с разными ссудными ставками. Для этой новой задачи предложен эффективный способ нахождения оптимального решения в случае, когда начальный капитал банка превосходит некоторую величину.
Для того, чтобы показать практическую значимость предложенного подхода в разделе 3.4 базовая модель дополняется новыми ограничениями, учитывающие новые требования, которые предъявляются коммерческим банкам со стороны Центрального Банка. Другими словами, проводится дополнительная адаптация математической модели к реальным условиям функционирования.
В заключении сформулированы главные, по мнению автора, результаты, полученные в работе.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6], [7], [35]- [47].
Работа была выполнена в коллективе математико-экономического отдела Института Математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Результаты 1-4 разделов первой главы и четвертый раздел третьей главы получены совместно с Анцызом С.М. Результаты остальных разделов получены автором самостоятельно.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю С.М. Анцызу за постановку задач, внимание к работе и ценные замечания. Особую признательность автор выражает В.А. Васильеву, В.И. Шмыреву, И.А. Быкадорову, Э.О. Рапопорту и всему коллективу математико-экономического отдела Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН за поддержку при выполнении данной работы и плодотворные обсуждения.
Итерационный метод решения задачи
Отметим существенное предположение А: і-ое предприятие не берет кредит у банка (т.е. ХІ = 0, і Є І\\) в случае, когда ссудная ставка больше рентабельности предприятия. Это предположение сделано в силу следующих соображений: взятые предприятием в кредит ДОПОЛНИТеЛЬНЫе Денежные Средства ХІ Через ГОД Принесут ДОХОД CVi Xi, из которого предприятию необходимо заплатить банку проценты в размере у ХІ. В итоге, чистая прибыль предприятия составит х ірц — у) 0, если ojj у. Поэтому предприятие с низкой рентабельностью не станет брать кредит у банка под высокие проценты. Таким образом, возникает ограничение: (У-ОСІ)ХІ 0, і Є hi.
Так как модель формируется для банка-монополиста, устанавливающего ссудную ставку, исходя из принципа максимизации своей прибыли, то в качестве целевой функции предлагается рассмотреть чистый процентный доход D. Он вычисляется как разность процентного дохода от кредитов и инвестиций в ценные бумаги и процентного расхода по депозитам и другим эмитированным долговым обязательствам: D = у 2 хг + 5 %х% — X/ iXi 5 iXi тах] ІЄІц ІЄІ12 ІЄІ21 ІЄ- 22 Поскольку Х{ для і Є І2 считаются известными, оставим в целевой функции два первых слагаемых. После проведения простых преобразований получаем следующую модель управления активами в виде задачи математического программирования. 1.1) 1.2) 1.3) 1.4) 1.5) 1.6)
Заметим, что в этой задаче (в дальнейшем будем называть ее базовой) ограничения (1.1) - (1.4) - линейные, а ограничение (1.5) и целевая функция (1.6) - нелинейные. Задачу (1.1) - (1.6) можно рассматривать как задачу геометрического программирования, однако применение алгоритмов решения задач геометрического программирования к ней оказывается слишком трудоемким. Поэтому предложим следующие более эффективные способы ее решения.
Итерационный метод решения задачи.
Заметим, что, если значение переменной у фиксировано, неравенства (1.5) и целевая функция (1.6) становятся линейными относительно переменных ХІ, принадлежащих /ц, и задача (1.1) - (1.6) превращается в задачу линейного программирования.
Из неравенств (1.5) следует, что, если значение переменной у maxcKj, то все ХІ{І Є /ц) обращаются в нуль, ограничения (1.2) и ІЄІЦ (1.3) выполняются автоматически (смотри также предположение А). Задача (1.1) - (1.6) в этом случае становится эквивалентной следующей задаче линейного программирования: определить переменные ХІ(І Є /12), удовлетворяющие ограничениям (1.1), (1.4) и такие, что 2_] СІХІ —» max!
Обозначим F - оптимальное значение целевой функции этой задачи. Чтобы избавиться от трудностей, связанных с учетом нелинейности ограничений (1.5) и целевой функции (1.6), параметризуем исходную задачу, полагая у за параметр, где 0 у max ctj. Для этого введем ЄДі обозначение: F(y) = max (V с{х{ + у V ж ), гЕІі2 гЄІц где Х{у) - множество допустимых значений системы (1.1) - (1.6) при фиксированном значении у. Очевидно, что перебором значений у по отрезку [0, maxaj] можно іЄ/іі определить максимальное значение F функционала F = maxF(y) и, у сравнив его с величиной F найти оптимальное значение целевой функции исходной задачи (1.1) - (1.6). Чтобы вычислить вклады в каждый актив далее необходимо решить задачу линейного программирования, соответствующую найденной величине max{F, F}.
Процесс решения задачи (1.1) - (1.6) можно было бы ускорить в ситуации, когда функция F(y) была бы "хорошей"— вогнутой или квазивогнутой. В этом случае перебор можно было бы сократить, используя метод золотого сечения [27]. Для того, чтобы изучить оптимизируемую функцию, рассмотрим другой способ решения исходной задачи.
В этом пункте рассмотрим прямой метод решения нелинейной задачи (1.1) - (1.6), рассматривающий величины х (і Є її) и у переменными одновременно. Для того, чтобы решить такую задачу и изучить характер поведения функции F(y), вначале перенумеруем переменные ХІ для г Є In так, чтобы для соответствующих ХІ значениям рентабельностей 0 выполнялись неравенства ai «2 ... OLN- и далее будем исследовать функцию F(y) на интервалах (ak-i, оск]- При этом, если положить с0 = max{cj}, то возможны три случая соотношения величин с0 и с , (г = 1,..., iV).
Утверждение 1.1 Пусть а с0. Тогда функция F(y) принимает постоянное значение Чу Є [0, +оо).
Действительно, рассмотрим ситуацию, когда адг с0, т.е. даже самые эффективные предприятия имеют уровень рентабельности ниже максимального уровня доходности безрисковых ценных бумаг. При возникновении такой ситуации банку выгодно отказать всем клиентам в ссуде и поместить денежные средства в ликвидные активы под проценты СІ, (і Є їй). Такое решение банка снижает рискованность и повышает доходность его вложений.
Рентабельности предприятий-клиентов велики: с0 < ai
Отсюда можно заключить, что при замене щ на й\ условия дополняющей нежесткости выполнены, и что вектор {ХІ} - оптимальное значение переменных для задачи ЛП{к}(у) в первой ситуации.
Вторая ситуация заключается в том, что существует «і, такое, что к Ч N и Х{х Ф . Покажем, что в этой ситуации (1.2) является уравнением. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что N ih -1) Y, І+ь J2±i = Тогда 3 io Є I\2 такое, что Х{0 0. Пусть r\ = min(:Ej0,, Ф — x ) 0, x io = xio - 77, x h = xk +r), x { = ±І для і Є {/12V0} U {/nVi}. Тогда вектор {x j} является допустимым для задачи ЛП{/с}(скд;_і) - проверка условий (1.1),(1.3),(1.4) тривиальна, а
N N ih -i)Y, Х І+ Хл = (Zi i)J2ii+liYli:i (Zi +hr] гЄ/12 i=k ІЄІ12 i=k N {h-l) Xi + hJ2xi + t = Q г Є/12 і—к Функционал (1.6) для {x j} равняется TV N іє/і2 i=fc ІЄІ12 i=k N ]P ait + а&_і 2 ,-. ІЄІ12 i—k Отсюда план {;} не оптимален для задачи ЯЇІ{к}(ак-і). Пришли к противоречию и, следовательно, во второй ситуации (1.2) выполняется как равенство. Из (1.10) и (1.12) следует, что щ maxq = с0 0. Отсюда и из (1.13) г вытекает 53 %i — S. ieh Далее для каждого у Є (а/с-1, ак] можно решить систему уравнений U\ + (1\ - 1)W2 = С, Щ + 1\Щ — у и построить вектор {й"}, по формулам й" = (1 — l\)y + he0, й 2 — у — с0, и" = щ для г = к, ...,N. Вектор {й"} удовлетворяет условиям (1.10) - (1.12), а для пары векторов {j} и {й", выполняются условия (1.13) -(1.15) дополняющей нежесткости. Таким образом и во второй ситуации величины ХІ - компоненты оптимального плана задачи ЛП{к}(у). D Замечание. Обозначим С [к] = / j СІХІ, гЄ/і2 N с(к) = 2±і. і=к
Тогда функцию F(y) можно представить как сумму С (к) + С(к)у, где С(к) 0, С (к) 0 - постоянные на интервале а _і у а.к величины. Следовательно, (у)-линейная, возрастающая на интервале (ак-иак] функция от у. Теперь рассмотрим поведение функции на интервале ак-\ у (Хк+і . На интервале ак У &к+і функция F{y) в силу утверждения 1.2 принимает следующий вид: F(y) = с&1 + У(?к+1 + - + &N), гє/12 где величины Ні Е її - оптимальные значения переменных ХІ Є /і, получаемые при решении задачи ЛП{к + 1)(). Исследуем фуНКЦИЮ В ОКреСТНОСТИ ТОЧКИ у = (Хк. Справедливы равенства: Fiak) = 2 Ciii + ак к + - + ijv) г є/12 F(ak + 0) = 2 СІХІ + ak(xk+i + ...+ xN). ІЄІ12
При установлении ставки процента у = ак + є, где 0 є « (oik+i ак) банк получает отказ к-го клиента от сотрудничества. Равенство хк = 0 следует из условия б). После отказа к-го клиента у банка в распоряжении остается объем хк денежных средств. Возможны три варианта распределения этих средств. Первый вариант распределения хк осуществляется в ситуации, когда выполнено неравенство N х;(ф - ) ь (1-16) і=к+1
Тогда в силу (1.16) возможно перераспределение денежных средств хк среди оставшихся N — к клиентов, т.е. найдутся такие величины Si, N Si 0 и 6І = 1, что при хк+і = 5к+іхк + xk+i,...,xN = SNxk + i-k+l XN, неравенства (1.3) сохранятся. Перераспределение можно записать такими формулами: ( N I Xi = 6iXk + Xi, г Є {/с+ 1,...,АГ}, J2 8i = h [ ХІ ФІ} і Є {к + 1,...,N}. N Из того, что Х S{ = 1 следует ±k + Xh+l + + XN = хк+і + ...+ і=к+1 XN, выполняются неравенства (1.2) и равенство F(ak) = F(ak + 0), т.е. функция F{y) непрерывна на интервале у Є {ак-ъ &k+i] Второй вариант перераспределения осуществляется в ситуации когда #fc = Ф& fc Є {fc + 1,..., N}. В этом случае объем хк денежных средств идет на покупку ликвидных активов. Так как ак с0 Q, Vz Є І\2, получим F(ak) F(ak \-Q) потому, что использование объема средств на покупку ликвидных активов приводит к уменьшению денежной массы, размещаемой в доходные активы. Действительно
Следовательно, на интервале (ak, OJJH-I] угол наклона функции F{y) будет меньше, чем на предыдущем интервале (ак-г,схк\ Третий вариант перераспределения. Рассмотрим ситуацию, когда актив Хк перераспределяется между ликвидными и доходными. В этой ситуации исследования аналогичны рассуждениям, проведенным при рассмотрении второй ситуации перераспределения. При переходе с интервала (ак-і,ак] на интервал (ак,сик+і\ функция F(y) в точке ак, либо непрерывна, либо будет иметь разрыв. Величина \(F(a k)—F(Q k+0)\ при частичном перераспределении будет меньше, чем величина разрыва функции в точке ak в ситуации покупки только ликвидных активов. Это объясняется тем, что часть денежных средств банк даст в кредит клиентам под более высокие проценты, чем установлены по ликвидным активам. Последнее обеспечит большее значение F(ak + 0), и, значит, меньшую величину разрыва.
Этот случай является комбинацией двух описанных выше случаев, когда Oil 0І2 ... oij-i с Oij ... Oijf. Объединив рассуждения, проведенные в предыдущих пунктах, придем к следующему важному утверждению.
Алгоритмы решения задачи
Первоначально предположим, что на денежном рынке действуют один коммерческий банк и М клиентов, каждый из которых располагает денежными средствами в размере Ф; соответственно. Причем менеджменту банка известны ставки процента / (/ / Рм), под которые клиенты согласятся поместить свои средства в банк. При этом объем привлеченных банком вкладов зависит от величины ставки процента (т.е. при установлении низкой ставки банк получает дешевые вклады, но в малом объеме; при высокой ставке получает дорогие вклады, что снижает доходность его деятельности, но в большем объеме). В качестве вкладов рассматриваются депозиты и обязательства "до востребования" (текущие поступления).
Рассмотрим последние два слагаемых функции чистой прибыли из раздела 1.1 U = у у Xi -J- у j C{Xi / у CjiEj у С{Х%. гЄ/ц гЄ/і2 iehi гЄ/22 Как было указано выше, при увеличении значений этих элементов уменьшается значение D. Обозначим совокупные выплаты по обязательствам банка через Р(У) = 52 1 +У Yl Xi гЄ/22 ІЄ.І21 где у - ставка процента по срочным вкладам; сі - ставки по вкладам "до востребования"; xi - вклад г-го клиента. Заметим, что все вклады удовлетворяют ограничению где І2 - законодательно установленный норматив максимального риска на одного кредитора. Это ограничение показывает, что банк должен проводить диверсификацию риска кредиторов. Если учесть тот факт, что вклад г-го клиента не может превышать величину Ф , то предыдущее ограничение можно переписать в виде:
Xi minims , Фг}; і Є hi Известно, что множество І22 имеет непостоянный характер: текущие вклады могут в короткий срок быть востребованы хозяевами вклада. В связи с этим, будем учитывать величины ХІ из множества /22 как фиксированную сумму (Ctp = Y1 СІХІ) И предположим, что на рассматриваемой итерации банку не достает К средств, которые можно получить с помощью депозитов. Тогда рассмотрим следующие ограничения.
Это условие обеспечивает привлечение капитала, необходимого для формирования кредитного портфеля. (У - Рг)Хі 0. Смысл данного ограничения заключается в условии, что у каждого потенциального вкладчика есть своя ставка процента Д под которую он согласится поместить свои средства в банк.
Для выполнения норматива ликвидности некоторую долю от привлеченного капитала банк вкладывает в безрисковые активы. В связи с этим имеет место ограничение (1 - h) ( 2 Xi) y + h (]Р Хі) Со ( 2 i) J/, ІЄІ2 ІЄІ2 ІЄІ2 где у - оптимальная ссудная ставка процента (она определяется при решении задачи (1.1) - (1-6), либо при нахождении с-оптимального плана); Со - ставка процента за безрисковые активы (эта величина считается известной). Последнее ограничение можно понимать как ограничение сверху для величины у. Для краткости изложения в модель это ограничение войдет в виде : (1 - h) у + h со у.
Учитывая все вышеприведенные ограничения формулируем следующую задачу нелинейного программирования. Определить величины у и ХІ(І Є І2і), такие, что выполняются условия: ІЄІ21 (у-Рі)хі 0, ІЄІ2Ґ, (2.10) 0 ХІ min{/25, Ф }, г Є І2ґ, (2.11) (1 - h) у + h со у; (2.12) и достигает минимума целевая функция ctP+у Ylxi "min! (2-13)
Трудность решения этой задачи заключается в нелинейности целевой функции (2.13) и группы ограничений (2.10). Для преодоления этой трудности предлагается использовать тот же прием параметризации, который был использован для решения задачи (1.1) - (1.6). Напомним, что величины / / ... Рм и рассмотрим поведение функции Р(у) на интервале [0, Pi) и на интервалах [Рк, Pk+i)-, к= 1,..., М — 1, не учитывая, пока, ограничения (2.12).
Для того, чтобы на интервале у Є [0, Pi) выполнялись условия (2.10), необходимо чтобы все ХІ(І Є І2і) обращались в нуль. Тогда банк не получает средств ни одного клиента из /21 Очевидно, что в этом случае задача (2.9) - (2.13) не имеет решения и функция Р(у) равна величине Ctp При переходе от интервала [0,/) к интервалу ($1,/) и далее от [РІ-І,РІ) к [РІ,РІ+І) возникают две ситуации.
Первая ситуация заключается в том, что в силу условий (2.10) ]Г) Xj К. Тогда из-за невыполнения условия (2.9) ограничения (2.9) - (2.12) продолжают оставаться не совместными, задача (2.9) - (2.13) не имеет решения и функция Р(у) принимает значение Ctp. і Вторая ситуация состоит в том, что выполняется неравенство ]Г) Xj
К. В этом случае банк привлекает средства первых і клиентов и второе слагаемое функции Р(у) принимает отличное от нуля значение. При дальнейшем увеличении значения у функция Р(у) линейно возрастает на всем этом интервале. Фиксируем номер І = і этого интервала. Далее при переходе с интервала [Д,,Д,+і) на (Д+і,Д,+2) функция Р(у) терпит разрыв, так как при достижении у значения (3L+\ банк получает средства и + 1 - клиента, т.е.
Аналогично проделанным в разделе 1.3 выкладкам, нетрудно показать, что на данном интервале функция Р(у) будет линейно возрастать с большим угловым коэффициентом чем на предыдущем.
Продолжая перебор интервалов, устанавливаем зависимость функции Р(у) от значения у, проиллюстрированную на следующем рисунке.
Влияние изменения S на величины ХІ (І Є /і), F(y) и у
Очевидно, что график F2{y) имеет тот же вид, что и график функции Fi(y). Наличие в модели ограничения (3.17) объясняет следующие наблюдения. При у с0 значение F2(y) будет совпадать с F\(y), а при у с0 значения локальных максимумов F2(y) будут не больше локальных максимумов F\(y). В целом поведение F2(y) не отличается от поведения Fi(y), поэтому алгоритм решения, описанный в параграфе 1.3 пригоден и для решения задачи (1.1),(1.3),(1.5),(3.10), (3.12) (3.15),(3.17). Норматив долгосрочной ликвидности. Еще один норматив, который рассмотрим в этом разделе -долгосрочная ликвидность, которая согласно Инструкции [26] вычисляется по следующей схеме: h = q 100%, ІЄІ24 где /7 - норматив долгосрочной ликвидности; 1\4 - множество активов, со сроком погашения свыше 1 года; І24 обязательства банка со сроком погашения свыше 1 года. Максимальное значение для норматива I? законодательно установлено на уровне 120%. В модель (1.1),(1.3),(1.5),(3.10), (3.12) - (3.15),(3.17) норматив долгосрочной ликвидности предлагается ввести в виде: X i M S+X i)« (3.18) гЄ/і4 г 24 левая часть которой нелинейна, а правая считается известной. Кроме этого мы должны зафиксировать, что 1\ = 1ц U Дг U Дз U hi, h = hi U I22 U hs U hi, а ограничения (3.10), (3.14) и целевую функцию (3.15) переписать в виде: хі lAS, і Є /пи/и. (3.19) ХІ 0, iG/i2U/i3U/i4) (3.20) 2СІХІ+ 2 ІХІ+у( 2Хі+2 ХІЇ тах! (3-21) В результате получим задачу (1.1),(1.3),(1.5),(3.12),(3.13), (3.17),(3.18) - (3.21). Введем обозначение F3{y)= тжІ СіХі + СіХі + уі Хі + Хі)}, ХІЄ з(у) -є/із -є/і2 -є/іі іє/і4 где Хз (у) - множество допустимых значений системы (1.1),(1.3),(1.5),(3.12),(3.13), (3.17),(3.18) - (3.21) при фиксированном значении у. Рассмотрим поведерше F (y) по мере изменения переменной у. Поведение графика F (y) может существенно отличаться от поведения графика -Рг(?/) Это отличие состоит в следующем. Если в задаче (1.1),(1.3),(1.5),(3.10), (3.12) - (3.15),(3.17) у Є (ак,ак+1], то функционал имеет вид ЫУ) = 2 ед + 5ZСіЩ+у(Хк + -+XN ІЄІІЗ гЄ/12 где Ж , ..., XN ф 0, т.е. выполняется утверждение 1.2. В задаче (1.1),(1.3),(1.5),(3.12),(3.13), (3.17),(3.18) - (3.21) из того, что у Є (ак,ак+і\ не следует, что хк, ...,ждг ф 0. Покажем это на следующем примере. Пусть у Є {ак-иак}\ р N ЫУ) = 2 СІХІ + 2 ІХІ+у хі+у 2 Xi ie Iu ieIw ІЄІ13 Ш12 i=k i=p+l P 2xl = i7{s+j2x l=k tehA
Если при переходе от интервала (ak,ak+i] к интервалу (ак-2,QJfc-i] обнаружится, что (к — 1)-й клиент хочет получить кредит сроком свыше 1 года, то этому клиенту будет отказано в кредите, т.е. если к — 1 Є їй, то хк-і = 0. При этом если к — 2 Є Іц, то хк-2 может быть не равен нулю. Следовательно, на интервале {ак- ак-\\ функционал F {y) будет линейно непрерывно возрастать.
В результате получаем, что число ребер графика Fz(y) не больше числа ребер - (2/). График F {y) также как и F2(y), имеет несколько точек локальных максимумов, среди которых можно выбрать глобальный экстремум. Таким образом, задачу (1.1),(1.3),(1.5),(3.12),(3.13), (3.17),(3.18) - (3.21) можно решить алгоритмом, описанным в параграфе 1.3.
Замечание.
В предположении А мы допустили, что если ставка процента (у) меньше уровня рентабельности г-того предприятия на любую бесконечно малую величину є 0, то г-й клиент берет кредит в банке. На практике это предположение не выполняется. Потому, что при бесконечно малой разности (Q;J — у) будет бесконечно малой и прибыль (( — y)xi} что в свою очередь говорит о нецелесообразности получения кредита. В этом плане модель (1.1)-(1.6) можно было бы назвать не адекватной. Но вместо величин {at) мы можем использовать любые другие параметры предприятий либо взять величины (() с точностью до некоторого коэффициента. Такой подход может быть применен ко всем параметрам, которые в модели (1.1)-(1.6) считаются известными.
Также нужно заметить, что учет различных нормативов ликвидности в модели (1.1),(1.3),(1.5),(3.12),(3.13), (3.17),(3.18) - (3.21) описан так, что любые изменения значений нормативов на законодательном уровне никак не скажутся на алгоритме решения.
Рассмотренные в настоящем разделе примеры показывают, что учет различных дополнительных условий, которым должна удовлетворять модель функционирования банка, позволяет сохранить для новых оптимизационных задач эффективность алгоритма их решения, базирующуюся на эффективности алгоритма решения базовой задачи.
Тем самым обеспечивается выполнение приведенного во введении пятого требования об адаптивности модели функционирования.
