Содержание к диссертации
Введение 5
Глава 1. Смешанные вариационные принципы (ВП) теории упругости . 18
§ 1. Смешанные функционалы и ВП 18
1.1. Нелинейная теория упругости . 18
1.2. Нелинейная теория оболочек 24
^ § 2. Экстремальный смешанный функционал и соответствующий ВП . 25
§ 3. Использование интеграла Стилтьеса в ВП Рейсснера 30
§ 4. Характеристики смешанных вариационно-сеточных методов (ВСМ) 37
4.1. ВПЛагранжа и соответствующий ВСМ 38
4.2. ВП Рейсснера и соответствующий ВСМ 40
4.3. ВП для экстремального смешанного функционала и соответствующий ВСМ 41
Глава 2. Аппроксимация и ортогональные финитные функции (ОФФ) в одномерном случае 45
§ 1. Методика непосредственного построения ОФФ 45
§ 2. Методика построения ОФФ, основанная на использовании свертки . 55
§ 3. Сравнение вейвлетов и ОФФ 71
Глава 3. Аппроксимация и ОФФ в многомерных случаях 75
§ 1. Тензорные произведения одномерных ОФФ 75
§ 2. Первая методика построения ОФФ на треугольных сетках . 76
2.1. Примеры построения ОФФ 76
2.2. Обобщения первой методики 87
§ 3. Другие методики построения ОФФ на треугольных сетках . 101
3.1. Вторая методика построения ОФФ на треугольных сетках . 101
3.2. Третья методика построения ОФФ на треугольных сетках . 107
3.3. Четвертая методика построения ОФФ на треугольных сетках . 110
§ 4. Методика построения ОФФ на тетраэдральных сетках 116
* § 5. Другие методики построения ОФФ на тетраэдральных сетках . 127
Глава 4. Смешанные ВСМ, связанные с использованием В-сплайнов и функций Куранта 132
§ 1. Алгоритм ВСМ1, основанного на применении В-сплайнов нулевой степени и двух сеток 132
1.1. Теория криволинейных стержней 132
1.2. Теория оболочек 135
1.3. Теория упругости 140
§ 2. ВСМ 1 в задачах о свободных колебаниях стержней 143
§ 3. ВСМ 1 в задачах о статическом изгибе пластин 149
§ 4. Сравнительная оценка практической точности ВСМ 1 155
4.1. Сравнение с ВСМ, основанным на частном ВП Рейсснера . 155
4.2. Сравнение с ВСМ, связанным с обобщенным ВП Рейсснера . 159
§ 5. Обобщение ВСМ 1 165
5.1. Центральные разностные отношения и ВСМ 165
5.2. Смешанный проекционно-сеточный метод (ПСМ) 170
§ 6. Алгоритм ВСМ2, основанного на применении функций Куранта . 174
§ 7. О способах выполнения граничных условий в ВСМ1 и ВСМ2 . 181
7.1.ВСМ2 181
7.2.ВСМ1 189
§ 8. Примеры применения ВСМ2 190
Глава 5. Смешанные ВСМ и ПСМ, основанные на применении ОФФ . 196
§ 1. ВСМ статики криволинейных стержней 196
1.1. Линейная задача 197
1.2. Нелинейная задача 208
§ 2. Сеточный метод решения задач динамики криволинейных стержней 211
§ 3. ВСМ решения задач статики пластин 222
3.1. Применение ОФФ, построенных по второй методике, в ВСМЗ . 222
3.2. Применение ОФФ 1, построенных по первой методике, в ВСМ4 . 230 #
3.3. Применение ОФФ2, построенных по первой методике, в ВСМ5 . 234
Глава 6. ВСМ определения собственных значений краевых задач. Свойства систем сеточных уравнений 242
§ 1. ВСМ математической физики 242
§ 2. ВСМ теории пластин 250
§ 3. ВСМ теории оболочек 256
§ 4. ВСМ теории упругости 267
Глава 7. Исследование сходимости ВСМ и ПСМ 276
§ 1. О сходимости ВСМ 1 276
1.1. Результаты расчетов 276
1.2. Апостериорная оценка сходимости 281
§ 2. О сходимости ВСМ2 284
§ 3. О сходимости методов, основанных на применении ОФФ . 290
3.1. Теория стержней 290
3.2. Задачи математической физики для эллиптических уравнений . 294
3.3. Теория упругости 300
3.4. Теория пластин 306
3.5. Задача математической физики для гиперболического уравнения 312
Заключение 315
Литература 317
Приложение I. Постановки задач 358
1.1. Нелинейные упругие оболочки 358
1.2. Линейные упругие оболочки 362
1.3. Упругие пластины 364
1.4. Упругие прямолинейные стержни 365
Приложение П. Смешанные ВП теории упругих пластин 367
Приложение III. Обобщенный ВП Рейсснера 372
Приложение IV. Рисунки 374
Введение к работе
Одним из основных средств решения краевых и эволюционно-краевых задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ), составляющих математические модели механических систем с распределенными параметрами, являются вариационно-сеточные методы (ВСМ), основанные на вариационных принципах МДТТ.
В методе конечных элементов (МКЭ) реализована идея перехода от сплошной конструкции с бесконечным числом степеней свободы к механической системе с конечным числом степеней свободы. При создании МКЭ существовавшие апробированные алгоритмы расчета статически неопределимых стержневых систем были использованы для решения двумерных и трехмерных задач теории упругости. Упругое тело разбивалось на части, которые заменялись стержнями, связанными друг с другом в узлах. В качестве неизвестных выступали узловые перемещения. На следующем этапе развития МКЭ сплошные конструкции стали делить на двумерные и трехмерные элементы заданной формы, в пределах которых искомое решение полностью определялось его значениями в конечном числе узловых точек. Первые вычислительные матричные процедуры МКЭ были созданы без применения вариационного исчисления. Одной из основных работ этого направления развития МКЭ явилась статья A.Hrennikoff [258]. В классических работах И.Г.Бубнова [24], Б.Г.Галеркина [48], Г.И.Петрова [146] были предложены проекционные методы решения краевых задач. И.Г.Бубнов показал [24], что уравнения метода Ритца могут быть получены без использования вариационной процедуры. Б.Г.Галеркин [48] развил и затем применил в расчетах конструкций метод И.Г.Бубнова вне связи с какой-либо вариационной задачей. Ю.В.Репман [158] дал первое математическое обоснование метода Бубнова-Галеркина применительно к интегральным уравнениям. Г.И.Петров [146] получил аналогичные результаты для дифференциальных уравнений и обобщил метод Бубнова-Галеркина. Методы Бубнова,
Галеркина, Петрова являются основой построения наиболее общих алгоритмов решения краевых задач, которые без использования вариационных принципов в определенных случаях дают те же уравнения, к которым приводит МКЭ. R.Courant [243] построил приближенное решение краевой задачи на основе вариационного принципа минимума потенциальной энергии с использованием кусочно линейных аппроксимаций на треугольных элементах, что привело к стандартной пятиточечной разностной схеме для уравнения Лапласа. Была показана связь вариационных методов с разностными и определена вариационная основа МКЭ. Началось использование базисных функций с конечными носителями в МКЭ, что явилось основным отличием вариационного МКЭ от классических вариационных численных методов. Матрица сеточных уравнений приобрела ленточную структуру, что привело к улучшению ее обусловленности и позволило применить эффективные методы решения ленточных систем алгебраических уравнений. J.H.Argyris [214] выявил связь не только метода перемещений, но и метода напряжений, с вариационными принципами механики, показав общность МКЭ и ВСМ.
Основное развитие ВСМ МДТТ было связано с использованием вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, отражающих экстремальные свойства одноименных функционалов. Функционал Лагранжа имеет в стационарной точке минимум, а функционал Кастильяно - максимум, что, во-первых, позволяет вводить так называемые энергетические нормы и соответствующие гильбертовы пространства и исследовать существование, единственность и сходимость решений, во-вторых, давать при их совместном использовании апостериорную оценку точности приближенных решений. Недостатками ВСМ "в перемещениях", построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, являются: высокие требования к гладкости базисных функций, вызванные высоким порядком входящих в функционал производных, необходимость предварительного выполнения кинематических краевых условий, низкая гладкость приближенных решений для деформаций и напряжений, получаемых диффе ренцированием приближенных решений для перемещений, и наличие производных вектора перемещений в силовых краевых условиях. Основные недостатки ВСМ "в напряжениях", основанных на вариационном принципе Кастиль-яно, состоят в необходимости использования тензорных полей напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и силовым краевым условиям, а также в трудоемкости процедуры определения перемещений по приближенному решению для напряжений. Главный недостаток названных двух подходов заключается в том, что вычисление дискретного решения требует решения экстремальной задачи с ограничениями. Следует заметить, что в определенной мере уровень требований к гладкости базисных функций может быть снижен использованием полуслабых форм функционалов, а налагаемые на пространство приближенных решений ограничения могут быть учтены с помощью техники R-функций [151].
E.Hellinger [255] и E.Reissner [303] сформулировали вариационный принцип теории упругости, в котором независимо варьируются перемещения и напряжения и который в России называют вариационным принципом Рейссне-ра, а за рубежом - Хеллингера-Рейсснера. Систематизация вариационных принципов [1], [164] основана на установлении связей полных и частных функционалов посредством преобразований Лежандра и Фридрихса. Связь между функционалами Лагранжа и Кастильяно была установлена R.Courant [243] с помощью преобразования Фридрихса. E.Reissner получил смешанный вариационный принцип [303], также применив этот аппарат. В ВСМ, связанных с вариационным принципом Рейсснера, перемещения и напряжения аппроксимируются независимо, что создает предпосылки для сближения гладкости, а также и точности, приближенных решений для кинематических и силовых функций. Все уравнения и краевые условия удовлетворяются уравновешенно с помощью вариационного принципа Рейсснера в отличие от вариационного принципа Лагранжа, в котором из-за низкой гладкости силовых приближенных решений уравнения равновесия и силовые краевые условия нарушаются по крайней мере локально, особенно в областях с большими градиентами напряжений. Развитию и применению смешанного вариационного принципа и установлению его связи с проекционными процедурами методов Бубнова, Галерки-на, Ритца посвящены работы В.М.Фридмана [204, 205] и В.М.Фридмана, В.С.Черниной [206]. Вариационный принцип механики сплошных сред, в котором независимо варьируются перемещения, напряжения и деформации, сформулировали Н.С.Ни [259], K.Washizu [326]. Кроме того, что вариационный принцип Ху-Васидзу избавляет от операции дифференцирования перемещений при получении приближенных решений для деформаций и напряжений, он не требует, чтобы уравнения состояния были разрешены относительно деформаций. Вариационные принципы Рейсснера и Ху-Васидзу называются смешанными потому, что в них произвольно и независимо друг от друга варьируются как кинематические, так и силовые факторы. Развитие и исследование смешанных вариационных принципов является актуальной задачей и продолжается в настоящее время (см., например, [55, 166, 167, 253, 254]). Методика исследования сходимости смешанных ВСМ получила развитие в работах F.Brezzi [225], C.Johnson [262], F.Kikuchi, Y.Ando [266], T.Miyoshi [281], P.A.Raviart [299], В.И.Астафьева [14], Л.В.Масловской, В.В.Вербицкого [113], Ф.Сьярле [190], А.П.Филипповича [203] и др. Функционалы Рейсснера и Ху-Васидзу не имеют экстремумов и не порождают норму, что затрудняет исследование вопросов существования, единственности точных решений, а также приближенных решений связанных с ними методов и сходимости последних. Указанным недостатком смешанных функционалов не обладают экстремальные смешанные функционалы В.И.Сливкера [179], но они сохраняют другие существенные недостатки вариационного принципа Лагранжа: высокий порядок входящих в функционал производных, принадлежность кинематических условий группе главных краевых условий. В диссертации предлагается методика построения выпуклых смешанных функционалов МДТТ, не имеющих указанных недостатков. В смешанных вариационных принципах Рейсснера и Ху-Васидзу все крае вые условия являются естественными. Обобщение смешанных вариационных принципов, позволившее для построения приближенного решения использовать разрывные поля перемещений, деформаций и напряжений, было выполнено В.Прагером [144]. Такое обобщение расширило класс функций используемых для аппроксимации искомого решения краевой задачи. Развитие этого направление в диссертации связано с включением интегралов Стилтьеса в функционалы смешанных вариационных принципов и с построением нескольких сеток. Методы решения нелинейных краевых задач являются одной из областей применения вариационных принципов МДТТ. И.И.Ворович [42] использовал вариационные принципы МДТТ для построения и математического обоснования прямых методов решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек. Схема обоснования прямых методов [42] применима к анализу МКЭ и, по-видимому, к анализу прямых методов [42] решения краевых задач нелинейной теории пологих оболочек при использовании в них предлагаемых в диссертации ортогональных финитных функций (ОФФ).
Актуальность темы исследования. При решении краевых задач МДТТ вариационно-сеточными методами в настоящее время наиболее часто применяются методы решения в перемещениях (МРП), основанные на вариационном принципе Лагранжа. Экстремальный функционал Лагранжа обеспечивает сходимость приближенного решения, получаемого для перемещений, при соответствующем выборе системы базисных функций. Используемые кинематически возможные поля перемещений обладают геометрической наглядностью и с помощью финитных базисных функций легко аппроксимируются в областях сложной формы. Однако определение напряжений посредством дифференцирования полученного для перемещений приближенного решения приводит к аппроксимирующим напряжения функциям, которые характеризуются сниженными точностью и гладкостью (см. [166]). В теории пластин и оболочек переход в рамках вариационного принципа Лагранжа от кинематических приближенных решений к приближенным решениям для изгибающих и крутящего моментов связан со вторыми частными производными. Поэтому такой переход является причиной значительного снижения гладкости и точности последних решений по сравнению с кинематическими решениями. ВСМ, следующие из вариационного принципа Кастильяно, позволяют находить напряжения непосредственно, без определения перемещений, что повышает точность приближенных решений для напряжений. Но функционал Кастильяно определен на статически возможных полях напряжений, построение которых представляет сложную задачу. В работах М.А.Рвачева [155, 156] она решена с помощью R-функций для однородных уравнений равновесия теории упругости и для некоторых типов силовых краевых условий. При построении допускаемых вариаций поля напряжений метод М.А.Рвачева встречается с затруднениями [156], связанными с ограничениями на гладкость и связность границы области и с избыточностью используемого представления тензора напряжений через вспомогательный тензор. Вспомогательный тензор имеет шесть произвольных компонент, а шесть компонент тензора напряжений связаны тремя однородными уравнениями равновесия. Затруднения удалось обойти [155, 156] для плоских и осесимметричных задач теории упругости. Неоднородные уравнения равновесия, динамические задачи теории упругости, других типы краевых условий, задачи теории пластин и оболочек не рассматривались в работах М.А.Рвачева. Смешанные вариационные принципы, в частности вариационный принцип Рейсснера, являются основой для построения численных методов, обладающих рациональными алгоритмами и дающих приближенные решения для перемещений и напряжений с уравновешенной точностью и гладкостью в широких классах задач теории упругости, теории пластин и оболочек, теории стержней, и соответствующих комплексов программ. Это определяется, в частности, следующими причинами: смешанная форма постановки задачи сводит изменение модели сплошной среды, как правило, к трансформации лишь уравнений состояния, во многих случаях незначительной; геометрические и физические параметры механической системы находятся в уравнениях движения и состояния вне дифференциальных операторов; краевые условия формулируются, как правило, без использования производных и поэтому в контактных задачах они также записываются в наиболее простой форме; не возникает особенностей при решении задач для механически несжимаемых материалов; в задачах теории оболочек и пластин учитывается деформация поперечного сдвига; в область применения таких ВСМ входят задачи для пластин и оболочек средней и большой толщины. Отсутствуют ошибки аппроксимации производных геометрических и физических параметров, а также производных в краевых условиях, производные неизвестных функций имеют минимально возможные порядки, что являясь одним из основных достоинств смешанных ВСМ, снижает требования ВСМ к базисным функциям. В результате создаются предпосылки для повышения точности приближенных решений, особенно в задачах с большими градиентами перемещений и напряжений и с особенностями в решениях. Немаловажна сравнительная простота программной реализации смешанных методов. Развитие численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах, направлено на эффективное использование перечисленных возможностей. Это развитие началось в 60-е годы двадцатого столетия и продолжается в настоящее время (см., например, [68, 98, 231, 264, 265, 270, 274, 277, 284, 292, 295, 298, 333]). Но функционал Рейсснера - не экстремальный, что вызывает необходимость использования специальных методик исследования сходимости смешанных ВСМ. Важнейший недостаток ВСМ - высокая размерность систем алгебраических сеточных систем уравнений (ССУ) для неизвестных узловых величин, усиливается в смешанных ВСМ. Следствием одновременной и независимой аппроксимации перемещений и напряжений является увеличенное число сеточных неизвестных. Недостатки смешанных методов устраняются при использовании систем ОФФ. Классические методики исследования сходимости метода Ритца и разностных схем становятся эффективными при изучении сходимости таких смешанных ВСМ. Приближенные решения для перемещений и напряжений характеризуются уравновешенной гладкостью и точностью. Исключение силовых неизвестных в аналитической форме до начала решения задачи на ЭВМ, возможное благодаря применению ОФФ, делает смешанные ВСМ сравнимыми по числу арифметических операций, необходимых для получения численного решения, с ВСМ, основанными на вариационном принципе Лагранжа. В задачах, в которых определяются как кинематические, так и силовые факторы, для реализации такого смешанного ВСМ требуется выполнение арифметических операций, число которых за счет исключения силовых неизвестных существенно меньше аналогичного числа, характеризующего методику, основанную на совместном применении вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно и также дающую кинематические и силовые решения с уравновешенной точностью. Исключение неизвестных величин, связанных с аппроксимацией силовых факторов, становится возможным и тогда, когда в качестве базисных функций берутся ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева. Однако, такие базисные функции являются эффективными на интервалах и на областях большей размерности, если геометрия областей достаточно проста, и, кроме того, в отличие от финитных функций не приводят к ССУ с разреженными матрицами. В случае областей общего вида их заменяют ОФФ. Одной из областей применения смешанных ВСМ, обладающих простыми алгоритмами, рациональными и эффективными вследствие использования ОФФ, являются динамические задачи механики сплошных сред, поскольку диагональная матрица Грама базисной системы ОФФ устраняет необходимость обращения матрицы после выполненного согласно методу Канторовича перехода от эволюционно-краевой задачи к задаче Коши. Это имеет значение в тех задачах аэрогидроупругости, в которых элементы матрицы, умноженной на вектор производных по времени неизвестных функций приближенного решения, зависят от времени и поэтому при использовании ряда численных методов решения задачи Коши создают необходимость обращения матрицы на каждом шаге итерационной процедуры решения.
Первый по времени его создания ортонормированный базис вейвлетов (wavelets) с компактными носителями связан с функцией Хаара [251], имеющей разрывы. До работ G.Battle [219], I.Daubechies [244], Y.Meyer [279], J.O.Stromberg [316], Ph.Tchamitchian [319], P.G.Lemarie [271], в которых предложены первые непрерывные веивлеты, в том числе ортогональные веивлеты с компактными носителями [244], считалось [186, с. 258], что условие ортогональности непрерывных базисных функций несовместимо с их важным свойством, которое состоит в наличии у функций компактных конечных носителей и является основным у функций, применяемых в ВСМ, поскольку делает матрицы ССУ разреженными. В работах [244, 64] построена теория ортогональных вейвлетов с компактными носителями и приведены примеры таких базисов, полученных с помощью кратномасштабного анализа [276, 64]. Но функции [244, 64] не являются симметричными и обладают сложной структурой. Полная симметрия вещественных ортогонормированных базисов вейвлетов с компактными носителями (за исключением базиса Хаара), как показано в [244, 64], недостижима. Снижение степени несимметрии функций приводит [64, с. 342] к росту размеров конечных носителей функций. Регулярность ортогональных вейвлетов с компактными носителями [64] является линейной функцией ширины конечного носителя. Регулярность функций этих базисов, которая характеризуется величиной показателя Гельдера, определяющего непрерывность функции по Гёльдеру, возрастает с ростом ширины их конечных носителей, что приводит к более плотно заполненным матрицам систем сеточных уравнений в численных методах. В [64] приводятся характерные примеры ортогональных базисов вейвлетов с компактными носителями, имеющих локальные флуктуации регулярности - на различных частях области определения таких функций показатель Гельдера принимает различные значения. Производные этих функций непрерывны, но имеют очень малое значение показателя Гельдера. Характер функций, в некоторых случаях являющихся недифферен-цируемыми, а также их производных, если они существуют, осложняет приме нение функций в численных методах решения краевых задач. Ортонормиро-ванные базисы вейвлетов с компактными носителями, как правило, не удается записать в аналитической форме, и хотя их можно построить с произвольной точностью с помощью определенных алгоритмов, это также значительно осложняет использование таких базисных функций в численных методах решения краевых задач. Многомерные базисы вейвлетов строятся с помощью тензорных произведений одномерных функций и тензорных произведений одномерных кратномасштабных анализов [64, с. 406-407]. Вейвлеты созданы для использования в теории фильтрации и кодирования, в цифровой обработке сигналов, изображений и не приспособлены для применения в алгоритмах численных методов решения краевых задач. В статье [66] отмечается, что I.Daubechies [244] удалось соединить в одном вейвлет-базисе три свойства, привлекательные для численного анализа: взаимную ортогональность базисных функций, все базисные функции получаются посредством сдвигов и растяжений одной порождающей функции, компактность носителей базисных функций. В [66] также отмечается, что в тех задачах, в которых требуется симметрия и гладкость базисных функций, базисы I.Daubechies проигрывают базисам, построенным при помощи сплайнов, и указываются значительные трудности, препятствующие построению базисов, совмещающих отмеченные свойства базисов I.Daubechies и свойства сплайнов. Поэтому разработка симметричных ОФФ одной переменной, имеющих простую структуру и высокую гладкость, и ОФФ многих переменных, связанных с треугольными и тетраэдральными сетками, для областей с криволинейными границами является актуальной задачей. Ее решение создает основу для построения смешанных ВСМ, обладающих рациональными алгоритмами и не имеющих недостатков классических смешанных ВСМ, а также основу для математического моделирования технических устройств, механических и других процессов. Построение таких ВСМ является актуальной задачей.
Значительный вклад в создание и развитие вариационных принципов МДТТ, численных методов МДТТ внесли: Н.П.Абовский, В.И.Агошков, Л.Я.Айнола, Н.А.Алумяэ, Р.Ю.Амензаде, Н.П.Андреев, В.Б.Андреев, Г.М.Асланов, В.И.Астафьев, Л.И.Балабух, Н.С.Бахвалов, В.В.Болотин, В.В.Вербицкий, А.С.Вольмир, И.И.Ворович, К.З.Галимов, И.И.Гольденблат, А.П.Деруга, Л.М.Зубов, Ю.Г.Исполов, В.Г.Карнаухов, Л.М.Качанов, В.П.Кандидов, Г.М.Кобельков, С.Н.Коробейников, В.Г.Корнеев, А.И.Лурье, Г.И.Марчук, Л.В.Масловская, И.Е.Милейковский, С.Г.Михлин, Л.А.Оганесян, Б.Е.Победря, В.А.Постнов, В.Л.Рвачев, М.А.Рвачев, В.Я.Ривкинд, Л.А.Розин, Л.А.Руховец, А.А.Самарский, Ю.Н.Санкин, Е.Д.Свияженинов, Л.И.Седов, И.К.Сенченков, И.Н.Слесингер, В.И.Сливкер, И.Г.Терегулов, Л.А.Трайнин, К.Ф.Черных, С.К.Черников, В.С.Чернина, С.С.Чесноков, А.П.Филиппович, В.М.Фридман, Л.Н.Ясницкий, Y.Ando, J.H.Argiris, I.Babuska, G.Birkhoff, J.H.Bramble, F.Brezzi, P.G.Ciarlet, R.W.Clough, R.Courant, G.Fix, L.R.Herrmann, E.Hellinger, H.C.Hu, C.Johnson, F.Kikuchi, J.L.Lions, T.Miyoshi, A.K.Noor, J.T.Oden, T.H.H.Pian, W.Prager, C.A.Prato, P.A.Raviart, J.N.Reddy, E.Reissner, G.Strang, R.Temam, J.M.Thomas, E.Tonti, R.S.Varga, F.deVeubeke, K.Washizu, K.G.Wilson, A.Zenisek, O.C.Zienkiewicz, M.Zlamal. Большой вклад в создание и развитие теории вейвлетов внесли: G.Battle, C.K.Chui, R.R.Coifman, A.Cohen, I.Daubechies, P.G.Lemarie, S.Mallat, Y.Meyer, J.O.Stromberg, Ph.Tchamitchian, K.G.Wilson. Значительный вклад в развитие теории вейвлетов внесли Н.М.Астафьева, М.З.Берколайко, В.А.Желудев, В.Г.Захаров, В.Ф.Кравченко, Р.А.Лоренц, Т.П.Лукашенко, С.М.Машарский, В.Н.Малоземов, И.Я.Новиков, А.П.Петухов, В.И.Пустовойт, В.А.Рвачев, А.А.Саакян, М.А.Скопина, С.Б.Стечкин, Н.А.Стрелков, Ю.Н.Субботин, Н.И.Черных.
Цель работы; разработка новых методик построения ортогональных финитных функций; создание эффективных смешанных ВСМ решения краевых и эволюционно-краевых задач МДТТ и математической физики; разработка смешанных вариационных принципов, допускающих применение В-сплайнов нулевой степени, и смешанных выпуклых функционалов; разработка рациональных алгоритмов смешанных ВСМ, основанных на применении В-сплайнов нулевой степени и функций Куранта.
Научную новизну составляют следующие результаты работы, которые выносятся на защиту.
1.Смешанные функционалы и вариационные принципы нелинейной теории упругости и нелинейной теории оболочек.
2.Мето дика построения выпуклых смешанных функционалов теории упругости. Соответствующие вариационные принципы.
3.Смешанный вариационный принцип теории упругости, использующий интегралы Стилтьеса.
4.Новое направление теории ОФФ. Методики конструирования ОФФ на различных сетках в евклидовых пространствах R, 1R2, R3,..., R", в том числе на треугольных и тетраэдральных сетках. Направления развития методик. Конкретные системы ОФФ, исследование их аппроксимирующих свойств. 5.Смешанные ВСМ решения задач статики и колебаний упругих тел, основанные на применении В-сплайнов нулевой степени, связанных с несколькими сетками, и функций Куранта.
б.Смешанные ВСМ решения задач математической физики, статики и динамики упругих тел, основанные на использовании различных ОФФ. 7.Смешанные ВСМ решения спектральных задач математической физики и МДТТ. Методика двусторонних оценок частот свободных колебаний упругих тел.
8.Исследование структуры и обусловленности ССУ смешанных ВСМ, основанных на применении ОФФ.
9.Исследование сходимости смешанных ВСМ в задачах математической физики, теории стержней, теории пластин, теории упругости.
Теоретическое значение диссертационной работы заключается в создании: нового направления теории ОФФ и на его основе - смешанных ВСМ решения краевых, эволюционно-краевых и спектральных задач МДТТ и математической физики, у которых отсутствуют недостатки классических смешанных ВСМ; новых смешанных вариационных принципов; эффективных смешанных ВСМ, имеющих рациональные алгоритмы и использующих известные базисные финитные функции. Предложенные ОФФ, с помощью которых строятся ВСМ, основанные на вариационном принципе Рейсснера, могут быть также использованы в ВСМ, связанных с вариационным принципом Ху-Васидзу и с вариационными принципами для выпуклых смешанных функционалов, а также при построении моделей устройств и процессов, не связанных непосредственно с МДТТ, и в численных методах решения соответствующих этим моделям краевых задач.
Практическое значение диссертационной работы состоит в том, что созданные системы ОФФ и вариационные принципы являются средством математического моделирования физико-механических, технических устройств и процессов, а также в том, что построенные ВСМ являются инструментом исследования механизмов и конструкций, при котором проводится анализ перемещений и напряжений (функций и их производных). Необходимость разработки предлагаемых ОФФ и ВСМ показали научно-исследовательские работы [428, 429, 430], ответственным исполнителем которых являлся автор диссертационной работы.
