Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейная задача о волнах на поверхности вязкой жидкости 9
1.1. Уравнения и граничные условия 9
1.2. Нелинейная краевая задача 10
Глава 2. Линейная задача о волнах на поверхности вязкой жидкости 12
2.1. Постановка и решение задачи 12
2.2. Фазовая скорость, декремент затухания и амплитуда волны 15
2.3. Расчеты для конкретных сред 20
2.4. Траектории жидких частиц 25
2.5. Слабовязкое приближение 30
2.6. Задача о волнах на слое конечной глубины 33
Глава 3. Моделирование нелинейных гравитационных волн на поверхности слабовязкой жидкости 36
3.1. Постановка задачи 36
3.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания
3.3. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и амплитуды 50
3.4. Волновые траектории частиц слабовязкой жидкости 59
Глава 4. Моделирование нелинейных капиллярно гравитационных волн на поверхности слабовязкой жидкости 65
4.1. Постановка задачи 65
4.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания 66
Глава 5. Моделирование нелинейных волн на поверхности двухфазной смеси 81
5.1. Постановка задачи 81
5.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и амплитуды 82
5.3. Волновые траектории частиц несущей и дисперсной фазы 104
Заключение 109
Список литературы
- Нелинейная краевая задача
- Фазовая скорость, декремент затухания и амплитуда волны
- Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания
- Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания
Введение к работе
Актуальность темы исследований. Изучение влияния вязкости на распространение поверхностных волн имеет важное как теоретическое, так и практическое значение. В гидрофизике и океанологии до настоящего времени оставались неизвестными точные условия существования волнового режима течения вязкой жидкости. Отсутствовали точные критерии, при выполнении которых необходимо учитывать воздействие вязкости на волновое движение. Следовательно, отсутствовало обоснование применения упрощенных моделей (идеальная жидкость) волновых течений. С точки зрения теории волн актуальным остается исследование нелинейных волновых моделей с учетом вязкой диссипации, т.к. неизвестно ее влияние на волновые характеристики (частота, декремент затухания) и траектории движения. Для решения нелинейной задачи на свободной поверхности идеальной жидкости Стоксом был предложен метод последовательных приближений. В дальнейшем этот метод получил развитие в работах А.И. Некрасова, Л.Н. Сретенского, Я.И. Секерж-Зеньковича, Ю.З. Алешкова и других авторов. Однако в случае вязкой жидкости применение этого метода испытывает существенные трудности, вызванные: диссипацией волнового движения; наличием второго динамического условия (для касательных напряжений) на свободной поверхности. В линейном приближении Ламбом было найдено дисперсионное уравнение для комплексной частоты, которое используется вплоть до настоящего времени, например, в работах Д. Джозефа, А.И. Григорьева, А.А. Абрашкина и других авторов. При этом до сих пор не были найдены точные выражения для частоты и декремента затухания волны (дисперсионные соотношения).
Математическая модель распространения волн по свободной поверхности слоя дисперсной смеси построена в работах В.А. Баринова, Н.Н. Бутаковой, где получено решение линейной краевой задачи, а также выражения фазовой скорости и декремента затухания волны, найдено решение нелинейной задачи с точностью второго приближения по амплитудному параметру. Однако остаются не исследованными нелинейные эффекты, которые проявляются только в третьем приближении: зависимость фазовой скорости от высоты волны, наличие течения Стокса. Результаты исследования нелинейных эффектов могут найти применение при решении экологических проблем загрязнения в прибрежных зонах океанов, а также в других приложениях.
Цели работы - исследование влияния диссипативных факторов (вязкость, межфазное трение) в линейных и нелинейных моделях волнового движения жидкости. Для достижения этой цели ставятся следующие задачи:
1. В рамках линейной модели определение в аналитическом виде дисперсионных соотношений для волн на поверхности вязкой жидкости; определение точных границ волновых моделей слабовязкой и
сильновязкой жидкости, изучение влияния вязкости на траектории жидких частиц.
Модификация нелинейных волновых моделей с целью упрощения решения соответствующих краевых задач.
Разработка метода нелинейного моделирования волнового движения слабовязкой жидкости и двухфазной смеси.
Решение нелинейной задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости, исследование нелинейных эффектов, соответствующих этому движению.
С помощью разработанного метода определение и исследование нелинейных эффектов при волновом движении двухфазной смеси.
Разработка компьютерной программы для моделирования движения частицы слабовязкой жидкости с течением времени в зависимости от известных параметров жидкости и волны.
Методы исследования. Для построения моделей движения жидкости со свободной поверхностью использованы методы гидродинамики и теории волн. При анализе полученных математических моделей использовались методы математической физики, в частности методы возмущений, аналитические и приближенные методы решения краевых задач, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и высшей алгебры. Расчеты для конкретных сред были выполнены с использованием пакета Maple и среды программирования Delphi.
На защиту выносятся результаты, соответствующие четырем пунктам паспорта специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам. Пункт 1: Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.
1. Новая нелинейная модель волнового движения вязкой жидкости со
свободной поверхностью, полученная методом исключения касательных
напряжений из динамических граничных условий.
Пункт 2: Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.
2. Метод переменной во времени частоты, являющийся обобщением метода
последовательных приближений Стокса для диссипативных волновых
процессов.
Пункт 5: Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
3. Аналитическое решение задач о волнах на поверхности вязкой жидкости
и двухфазной смеси. Для линейных волн найдены точные ограничения
на относительную вязкую частоту, при которых возможно волновое
движение, и условие, при выполнении которого жидкость можно считать
слабовязкой. Получены аналитические дисперсионные соотношения для
нелинейной модели с точностью третьего приближения по волновому параметру. Установлено, что при глубине слоя вязкой жидкости большей длины волны частота и декремент затухания мало отличаются от случая бесконечно глубокого слоя. Установлено, что нелинейная частота волны с течением времени стремится к своему линейному значению. Для конкретных сред численно рассчитаны зависимости частот и амплитуд волн от времени, траектории частиц жидкости и дисперсной фазы для различных глубин. Установлено, что дисперсные частицы с меньшей, по сравнению с несущей жидкостью, плотностью заглубляются по мере волнового движения, а частицы с большей плотностью поднимаются ближе к свободной поверхности. Определены обобщения нелинейных эффектов Стокса для слабовязкой жидкости и двухфазной смеси.
Пункт 8: Разработка систем компьютерного и имитационного
моделирования.
4. Программа для ЭВМ «LVTrajectory», предназначенная для
компьютерного моделирования движения частицы слабовязкой
жидкости с течением времени в зависимости от задаваемых параметров
жидкости и волны.
Научная новизна результатов работы по трем областям специальности
05.13.18 сводится к следующим положениям: Математическое моделирование:
В линейном приближении найдены выражения для фазовой скорости и декремента затухания волны для бесконечно глубокого слоя жидкости. Получена система алгебраических дисперсионных уравнений для конечного слоя жидкости. Исследованы линейные траектории жидких частиц.
Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение и условие, при выполнении которого жидкость можно считать слабовязкой.
Разработан метод переменной во времени частоты, являющийся обобщением метода Стокса для диссипативных процессов, с помощью которого решена нелинейная задача о распространении волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Проведен качественный анализ изменения частоты нелинейной волны.
Определены нелинейные эффекты для волнового движения слабовязкой жидкости.
Получены решение и дисперсионные соотношения для нелинейных капиллярно-гравитационных волн. Установлено, что капиллярно-гравитационная волна движется быстрее гравитационной, но при этом амплитуды их убывают с одной скоростью.
Методом переменной во времени частоты решена нелинейная задача о плоских волнах на слое дисперсной смеси бесконечной глубины. Найдено асимптотическое решение с точностью третьего приближения
по волновому параметру. Найдены нелинейные добавки к фазовой скорости волны. Определены нелинейные траектории частиц жидкой и дисперсной фазы, а также выражения приповерхностного течения Стокса обеих фаз смеси.
7. Установлено, что дисперсные частицы с меньшей, по сравнению с
несущей жидкостью, плотностью заглубляются по мере движения, а
частицы с большей плотностью поднимаются ближе к свободной
поверхности. Нелинейная фазовая скорость в случае, когда частицы
дисперсной фазы имеют большую, чем несущая фаза плотность, больше,
чем в случае более легких частиц.
Численные методы:
8. Численное определение частоты волны и декремента затухания
линейной задачи о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости
конечной глубины. Численная реализация метода малого параметра для
конкретных сред, требующая применения численных методов для
определения нелинейной частоты волны и частицы.
Комплексы программ:
9. Разработана программа для ЭВМ «LVTrajectory», которая предназначена
для компьютерного моделирования нелинейной траектории частицы
слабовязкой жидкости в зависимости от введенных параметров
жидкости и волны, отображает динамику движения частицы с течением
времени. Алгоритм вычисления траекторий основан на применении
аналитических формул, полученных для волновых траекторий и
численных методов для определения частоты частицы и волны. В
программе реализована возможность построения траекторий
одновременно нескольких частиц, определяемых разными
лагранжевыми координатами, что позволяет оценить глубину
проникновения волновых возмущений.
Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов определяется применением хорошо разработанных математических методов, в том числе метода малого параметра, а также тем, что из полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи классические результаты теории поверхностных волн.
Научно-практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации: развивают теорию поверхностных волн; позволяют рассчитать время затухания волны; моделируют нелинейные волновые движения как вязкой и двухфазной среды; позволяют определить границы применения упрощенных моделей; могут быть использованы для разработки волновых методов определения загрязнения водных бассейнов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на X Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (Санкт-Петербург, 2010), III региональной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного
моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT-решений» (Тюмень, 2010), XLII международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2011), Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Стерлитамак, 2011), Всероссийской научно-практической конференции «Математика и математическое моделирование» (Саранск, 2011), IV региональной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1Т-решений» (Тюмень, 2011), XI Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (Санкт-Петербург, 2012).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 5 в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ, получен сертификат о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Структура и объем диссертации. Объем диссертации составляет 119 страниц. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы содержит 75 наименований.
Нелинейная краевая задача
Они позволяют правильно выбирать модели при расчетах волновых движений жидкости [41]. Таким образом, даже в линейном приближении задачу о волнах на поверхности вязкой жидкости нельзя считать полностью решенной. Поэтому в рамках линейного приближения целью диссертационной работы является аналитическое определение точных: дисперсионных соотношений, условий существования волнового движения, ограничений на модели слабо- и сильновязких жидкостей.
Решений нелинейных задач о волнах на поверхности вязкой жидкости, учитывающих известные нелинейные эффекты Стокса до настоящего времени не было. Отдельные попытки применить метод Стокса к таким задачам были предприняты в работах [1, 32, 33, 64]. За линейное приближение в них взято решение Ламба. Нелинейное исследование свелось к нахождению второго приближения стандартным методом Стокса. Применение этого метода к получению третьего приближения для вязкой жидкости приводит к неразрешимой ситуации - появляются неопределяемые функции времени. Поэтому в этом приближении стандартным методом нельзя получить решение. Но, как известно, только в третьем приближении проявляются нелинейные эффекты Стокса: наличие поправки к фазовой скорости и приповерхностное течение. Поэтому разработка эффективного аналитического метода, который обобщает метод Стокса на нелинейные задачи для вязкой жидкости, является еще одной целью данной диссертационной работы.
Волновое движение двухфазной смеси из-за межфазного трения является диссипативным. Поэтому решение нелинейной задачи о таком движении является еще одной целью диссертационной работы. Нелинейная математическая модель распространения волн по свободной поверхности слоя дисперсной смеси была приведена в работах [10, 12, 13]. В них также приводится решение линейной краевой задачи, выражения фазовой скорости и декремента затухания волны. Решение нелинейной задачи с точностью второго приближения по амплитудному параметру приведено в [7, 11], при этом остаются не исследованными нелинейные эффекты, которые проявляются только в третьем приближении: зависимость фазовой скорости от высоты волны, наличие течения Стокса. Для решения задачи в трех приближениях в данной диссертации применяется метод переменной во времени частоты, использованный для задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости. Получена нелинейная добавка к фазовой скорости, определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса.
Первая глава диссертации посвящена постановке нелинейной краевой задачи о волновом движении на свободной поверхности вязкой жидкости. Приводятся уравнения, описывающие движение жидкости, и граничные условия на свободной поверхности жидкости.
Во второй главе рассматривается линейная задача о плоских волнах на слое вязкой жидкости бесконечной глубины. Найдено точное решение задачи, а также выражения для частоты, фазовой скорости и декремента затухания волны. Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение и условие, при выполнении которого жидкость можно считать слабовязкой. Определены траектории жидких частиц. Найдены дисперсионные уравнения для задачи линейной задачи о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости конечной глубины.
В третьей главе рассматривается нелинейная задача о распространении гравитационных волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Для решения задачи предложен метод переменной во времени частоты. С точностью до третьего приближения найдены выражения для относительной фазовой скорости, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности. Определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса.
В четвертой главе рассматривается нелинейная задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности слабовязкой жидкости. Задача решена методом переменной во времени частоты. С точностью до третьего приближения найдены выражения для относительной фазовой скорости, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности.
В пятой главе приводится постановка задачи о волнах на поверхности среды с равномерным распределением дисперсной фазы в покоящемся слое. Приводятся уравнения, описывающие движения двухфазной среды, и граничные условия на свободной поверхности слоя. Решена нелинейная задача о плоских волнах на слое дисперсной смеси бесконечной глубины. Решение найдено с точностью до третьего приближения по малому амплитудному параметру методом переменной во времени частоты. Найдена поправка к фазовой скорости волны, определены скорости волнового движения, возмущения давления и концентрации дисперсной фазы, а также форма свободной поверхности. Исследованы траектории частиц несущей и дисперсной фазы.
Фазовая скорость, декремент затухания и амплитуда волны
Нас интересуют только положительные действительные корни уравнения, число которых зависит от знака Ql. При Qx 0 такой корень только один. При Qx 0 также один. Причем, уравнение Q - О имеет корень v0=JV = 1.3114687... (N«1.31), й 0 при v0 #, Ц 0 при к0 ІУ.Если v0 = А7", то выполняется равенство s (v0) = 2(v0), а если v0 N неравенство s (v0) s2(v0). Но последнее неравенство противоречит найденной области значений функции s(v0) (s (v0) s2(v0)). Поэтому достаточно определить г (следовательно, s и 0) для Q1 0, т.е. при О v0 N . Для этой области определения функция s(y0) имеет вид
Графики зависимости a[yQj, 0(vo), S(yQJ приведены на Рис.2.1. Зависимость параметров а и b от v0 представлена на Рис.2.2. В силу безразмерности функций и переменной эти графики универсальны для любой жидкости.
При определении декремента затухания было найдено условие (критерий) существования затухающих прогрессивных волн: волновое движение возможно, если 0 v0 N. Действительно, для этой области изменения v0 относительная частота а проходит весь диапазон значений: О a(v0) 1, а(0) = 1, a{N) = 0 . Безразмерный декремент затухания лежит в пределах: 0 /3 Д, Д = /?(iV) = J32(N) « 0.7. В физических величинах этот критерий имеет вид
Отметим, критерий и критические значения N,j3, совпадают с полученными численно в работе [58].
Используя выражение для формы свободной поверхности, находим амплитуду волны Л = max (? , ) = Л g"№/. (2.2.9) Исходя из полученного выражения, можно рассчитать время затухания волны при заданной амплитуде. Выражения (2.2.8) при предельном переходе v0 —» 0 дают известные [5, 63] решения для идеальной жидкости. Действительно, при v0 -» 0: /? -» 0, s -
Для иллюстрации результатов, полученных в предыдущем параграфе, проведены расчеты параметров волнового движения, вызванного распространением волны длиной Я = 1 м по свободной поверхности бесконечно глубокого слоя вязкой жидкости. Для расчетов выбрана жидкость плотности /7-1000 кг/м , динамическая вязкость которой характеризуется коэффициентом ju = 10" кг/(м с).
На рис. 2.3 и 2.4 изображена зависимость фазовой скорости с от коэффициента динамической вязкости // при Я = 1 ми Я = 1.5 м (Рис. 2.3) и при р = 1000 кг/м3 и /9 = 1500 кг/м3 (Рис. 2.4). С ростом вязкости фазовая скорость убывает. Чем меньше длина волны, тем быстрее это убывание. Для разных плотностей значения фазовой скорости совпадают только при нулевой вязкости (идеальная жидкость), а с ростом вязкости фазовая скорость жидкости меньшей плотности убывает быстрее.
Зависимость фазовой скорости с от длины волны Я представлена на рис. 2.5 при р = 1000 кг/м3 и р = 1500 кг/м3 и рис. 2.6 при // = 10" кг/(м с) и // = 2-10" кг/(м с). С ростом длины волны фазовая скорость возрастает. Как видно из графиков, варьирование плотности и вязкости мало влияет на форму графиков, что связано с тем, что длина волны в большей степени определяет величину фазовой скорости, чем вязкость и плотность.
С ростом длины волны декремент убывает. При малых длинах волн это убывание больше для жидкости большей плотности и меньшей вязкости. С возрастанием длины волны графики почти совпадают, что связано с тем, что длина волны входит в выражение для параметра v0 с большей степенью, чем плотность р и вязкость р.
Используя формулу (2.2.9) можно рассчитать время затухания волны заданной амплитуды. Волны на поверхности жидкости с большей вязкостью затухают быстрее. На рис. 2.11 показано уменьшение амплитуды волны А с начальными значениями 0,16 м и 0,08 м при значениях динамического коэффициента вязкости // = 10 кг/(м с) и /и = 2Л0Г кг/(м с). Для случая, представленного на рисунке, время затухания различается примерно в полтора раза.
Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания
Для решения нелинейной задачи о волнах на свободной поверхности идеальной жидкости Стоксом был разработан метод последовательных приближений [74], который успешно применяется до настоящего времени. В случае вязкой жидкости применение этого метода испытывает существенные трудности, обусловленные диссипацией волнового движения, которая оценивается дополнительным волновым параметром - коэффициентом (декрементом) затухания. Для такой модели решение нелинейной задачи удается найти только с точностью второго приближения. Относительная простота определения второго приближения обусловлена отсутствием нелинейных добавок к частоте и декременту затухания волны в этом приближении. Но уже в третьем приближении даже для идеальной жидкости появляются постоянные добавки. Для идеальной жидкости Стоксом показана зависимость частоты (фазовой скорости) волны от ее амплитуды: частота волны меньшей амплитуды меньше, чем у волны большей амплитуды. В вязкой жидкости все возмущения со временем затухают, т.е. уменьшается амплитуда волны, следовательно, должна уменьшаться и частота (фазовая скорость).
Обезразмерим систему (3.1.1), полагая истинную частоту (соответственно и фазовую скорость) волны неизвестной функцией времени. Получаем нелинейную краевую задачу для определения волнового движения слабовязкой жидкости
В силу малости волнового параметра є условия (3.2.2), (3.3.3) можно свести к условиям на фиксированной поверхности z -0. Для этого вместо скорости волнового движения, динамического давления и их производных в условия (3.3.2), (3.3.3) нужно подставить их разложения в окрестности z = 0. Получим
Исходя из ограничения на относительную вязкую частоту (vQ 0,4), скорость волнового движения можно находить в виде затухающих прогрессивных волн ил =ere{5ncos«x -Ansmnx], x=x. Здесь fi\t) - безразмерный декремент затухания (/?# 0 - размерный).
Остальные неизвестные функции будем также искать в виде рядов по малому параметру є: Подставив в уравнения (3.2.1) и граничные условия (3.2.5), (3.2.6) вместо и, р, g, а, /3 ряды и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получаем задачи соответствующих приближений. В первом (линейном) приближении задача имеет вид: при є Эй,
Подставив найденные выражения первого и второго приближений в уравнения и граничные условия задачи (3.2.9), получаем задачу для третьего приближения в явном виде V
Затем, подставив выражения для v3 и f3 в кинематическое условие и приравняв коэффициенты при cosj, sinj, cos3 , sin3 , получаем для определения С3, D3 и я2 ( ), b2[tj систему алгебраических и дифференциальных уравнений
Из найденных выражений нелинейных добавок для относительной частоты и декремента затухания следует: свое максимальное конечное значение они принимают в начальный момент и с течением времени исчезают, т.е. со временем частота и декремент затухания волны стремятся к значениям, соответствующим линейной задаче.
Собирая вместе решения первых трех приближений, получаем выражения для относительной фазовой скорости, декремента затухания, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности с точностью до третьего приближения:
Таким образом, получено асимптотическое решение нелинейной задачи с точностью до членов третьего порядка по малому амплитудному параметру. В предельном случае v0 —» 0 из найденных выражений следуют известные результаты для идеальной жидкости [3, 63]. При исследовании нелинейных движений идеальной жидкости Стоксом был установлен нелинейный эффект - зависимость частоты (фазовой скорости) волны от ее высоты, т.е. от параметра є. Первая формула (3.2.11) является ее обобщением на случай слабовязкой жидкости. Из нее следует, что с течением времени частота (фазовая скорость) стремится к значению соответствующему линейной задаче. Однако, это стремление более медленное, чем общее затухание волны. Поэтому нелинейная частота не успевает выровняться с линейной до полного затухания волны. Графики зависимости фазовой скорости и декремента затухания волны длины 1 м и относительной высоты 0.1 (є = 0.1), распространяющейся по поверхности воды (v0=5-10 ), представлены на рисунках 3.1 и 3.2 соответственно. Максимальные значения фазовая скорость и декремент принимают в начальный момент времени: с(0) = 1,256 м/с, (3 (0) = 4-Ю- 1/с (/3 = ftkcQ). Из графиков видно, что для воды нелинейная фазовая скорость и декремент стремятся к своим линейным значениям. Это стремление достаточно медленное, они становятся равными примерно через 55 часов.
На рис. 3.3, 3.4 представлена форма свободной поверхности для воды. Пунктирная линия соответствует форме свободной поверхности в линейном приближении, сплошная кривая построена с учетом нелинейных приближений. На рисунках хорошо виден нелинейный эффект Стокса [3]: гребень нелинейной волны уже, а впадина шире. На рис. 3.4 приведены графики волновой поверхности, построенные в момент времени t =10 с. Высота сплошной и пунктирной линии практически совпадают, и графики различаются только лишь вследствие различия в фазовых скоростях нелинейной и линейной волны. Поэтому для расчета времени затухания можно ограничиться первым приближением.
В предыдущем параграфе для решения нелинейной задачи кроме частоты волны предлагалось брать неизвестной функцией времени еще и декремент затухания. Однако в решении задачи (3.2.11) после разложения е а в ряд по амплитудному параметру є, нелинейный декремент отсутствует в явном виде. Теперь декремент затухания предлагается брать постоянным, равным декременту затухания линейной задачи. Для решения задачи в нелинейных приближениях зависимыми от времени будут браться неизвестные амплитудные коэффициенты.
Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания
Рассматривается слой двухфазной смеси бесконечной глубины. Свободная поверхность слоя граничит со средой пренебрежимо малой плотности, характеризующейся постоянным давлением Ра (в частности, атмосферным). Предполагается, что несущая фаза - идеальная несжимаемая жидкость, вязкость которой проявляется только на межфазной границе; дисперсная фаза - недеформируемые сферические частицы радиуса а. Введем декартову систему координат так, что невозмущенная свободная поверхность совпадает с плоскостью z - 0, ось z направлена противоположно вектору g. Пусть возмущение свободной поверхности, вызванное распространением волны, задается уравнением z = д [t ,х ).
Пусть по свободной поверхности слоя двухфазной смеси в положительном направлении оси х распространяется волна длиной Я. Длина волны много больше ее высоты ( » fmax ) и много больше характерного размера частиц (А» а). Нелинейная задача о волнах на поверхности среды с равномерным распределением дисперсной фазы в покоящемся слое имеет вид [10]:
Здесь индексы і = 1,2 относятся соответственно к несущей и дисперсной фазе; звездочкой обозначены (где это необходимо) размерные величины; р = Pj-Pa+p gz - возмущение давлений, вызванное распространением волны; 20, a , v., Pt) р - концентрация дисперсной фазы, возмущение концентрации дисперсной фазы, вектор скорости, давление, плотность і-й фазы. Эмпирический коэффициент R характеризует силу вязкого трения Стокса, вызванную несовпадением скоростей фаз. Для сферических частиц радиуса а его значение принимается равным R = 9///2а [55], где /л - коэффициент динамической вязкости жидкости. Безразмерный коэффициент s принимает значение 1 или 0 в зависимости от того, учитывается или нет сила присоединенных масс.
Для решения задачи воспользуемся методом переменной во времени частоты, который был применен для решения нелинейной задачи на поверхности слабовязкой жидкости. Будем искать зависимыми от времени неизвестные фазовую скорость и амплитудные коэффициенты в нелинейных приближениях, как было предложено в параграфе 3.3. Обезразмерим уравнения и граничные условия (5.1.1), считая, что все волновые возмущения одного порядка малости. В качестве малого параметра возьмем где к = 2л/Л - волновое число, тах - максимальное значение высоты свободной поверхности. Параметр є мал в силу, сделанного в 5.1, предположения о длине волны (Л» тах). Введем следующие безразмерные переменные и величины / = kct , х = кх , г = kz , juf = р I р, г = R/ ркс0, Г = а /єа0 , = Щє, v. = v]/eco, р = р /єрс20 , с = с/с0 . (5.2.1) Здесь р =(1-а0)р +аор2 - плотность покоящейся смеси, с (7) -фазовая скорость волны, подлежащая определению, со - фазовая скорость, соответствующая линейной задаче. Подставляя выражения (5.2.1) в систему (5.1.1), получаем следующую нелинейную задачу.
Уравнения для определения неизвестных скоростей фаз, возмущений давления и концентрации имеют вид
В силу малости волнового параметра є условия на свободной поверхности можно свести к условиям на фиксированной поверхности z = 0. Для этого вместо скорости волнового движения, динамического давления и их производных в граничные условия нужно подставить их разложения в окрестности Z = 0.
Подставив эти ряды в уравнения и граничные условия системы (5.2.2), (5.2.3) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получим задачи соответствующих приближений. В первом приближении задача имеет вид: при є
Таким образом, получено асимптотическое решение нелинейной задачи с точностью до членов третьего порядка по малому амплитудному параметру. При нулевой концентрации дисперсной фазы из найденных выражений (5.2.19) следуют известные результаты для идеальной жидкости
Формула (5.2.20) в отсутствие дисперсной фазы дает известную формулу Стокса для идеальной жидкости. Из нее следует, что с течением времени частота (фазовая скорость) стремится к значению соответствующему линейной задаче. На рисунке 5.1 приведены графики зависимости фазовой скорости волны (А = 5 м) от времени t для смеси с более легкой (р2 - 500 кг/м ) и более тяжелой (/?2 = 1500 кг/м3) дисперсной фазой, чем несущая жидкость (/ =1000 кг/м3, 77 = 10" кг/(м с)).
Дисперсная фаза моделируется в виде шариков радиуса а - 0,15 -10 м. Из графиков видно, что максимальное значение фазовая скорость принимает в начальный момент времени и с течением времени уменьшается, стремясь к линейному значению. В случае р2 А фазовая скорость больше, чем при р2 Р\ . Из графиков зависимости амплитуды волны от времени, приведенных на рис. 5.2, видно, что волновое движение затухает раньше, чем фазовая скорость достигает линейного значения.
При а0-0 формула (5.3.4) переходит в известное выражение переносной скорости Стокса для однофазной среды [3]. Из полученных выражений для траекторий следует, что движение частицы состоит из двух затухающих движений: непериодического и вращательного. Непериодическое происходит тем быстрее, чем ближе частица к свободной поверхности. Оно обеспечивает разомкнутость траекторий частиц. Вращательное движение осуществляется по круговым спиралеобразным траекториям, которые со временем сходятся к центру начальной окружности. Как видно из (5.3.3), (5.3.4) скорость приповерхностного течения зависит не только от вертикального положения частицы, но и от времени - с течением которого затухает, и траектории частиц стремятся к линейным.
Для иллюстрации на рис. 5.3-5.6 приведены траектории частиц несущей и дисперсной фазы при р2 -500 кг/м3 (рис. 5.3, 5.4) и р2 =1500 кг/м3 (рис. 5.5, 5.6). Длина волны Я = 5 м. В качестве несущей фазы выбрана жидкость плотности /9 =1000 кг/м3, динамическая вязкость которой характеризуется коэффициентом /л = 10 кг/(м с); дисперсная фаза представляет собой недеформируемые сферические частицы радиуса (2 = 0,15-10" м. Амплитуда колебаний частиц дисперсной фазы, имеющих меньшую плотность, чем несущая фаза, больше амплитуды колебаний частиц жидкости. В случае дисперсных частиц большей плотности, наблюдается обратная картина. При этом более легкие частицы заглубляются по мере движения (рис. 5.4), а более тяжелые, наоборот, поднимаются ближе к свободной поверхности (рис. 5.6).
